SKKN Áp dụng diện tích để giải các dạng toán THCS

Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
A- PHẦN MỞ ĐẦU

I- Lý do chọn đề tài
- Dạy học toán 8 ta bắt gặp các công thức tính diện tích đa giác và tính chất
diện tích đa giác. Nhìn chung việc khai thác công thức diện tích và tính chất
diện tích để giải các dạng toán là còn khá khiêm tốn. Hiện nay chưa có nhiều
tài liệu khai thác công thức diện tích đa giác để giải các dạng toán, có chăng
chỉ là những bài viết vận dụng công thức diện tích để giải một vài dạng toán
đơn lẽ chứ chưa có tính tổng hợp.
- Khi nghiên cứu về diện tích đa giác nếu chúng ta biết nhìn các công thức
khô khan đó dưới nhiều khía cạnh khác nhau và vận dụng khéo léo ta sẽ giải
được khá nhiều dạng toán.
- Để học sinh có kỹ năng vận dụng diện tích vào các dạng toán, cũng như
góp thêm vào kho tàng toán học một điều nhỏ bé, tôi đã chọn đề tài “ Áp
dụng diện tích để giải các dạng toán THCS” để nghiên cứu.
II- Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Củng cố kiến thức về diện tích đa giác
- Hình thành và rèn luyện kỹ năng để giải một số dạng toán ở THCS
- Trao đổi với đồng nghiệp một số kinh nghiệm giảng dạy
III- Nhiệm vụ của đề tài
- Nhắc lại kiến thức cơ bản về diện tích đa giác (lớp 8,9)
- Khai thác diện tích đa giác dưới nhiều góc đô, áp dụng giải một số dạng
toán ở THCS như :
 Tính độ dài đoạn thẳng
 Tính tỷ số của các đoạn thẳng
 Chứng minh các đẳng thức hình học
 Chứng minh các đẳng thức hình học
 Giải các bài toán đại số
thông qua các bài tập cụ thể.
1

Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
- Tổng hợp hệ thống các dạng toán giải bằng phương pháp sử dụng diện tích
tam giác đã có, đồng thời tìm tòi các dạng khác cũng như giải bằng phương
pháp sử dụng diện tích đa giác.
IV- Phạm vi đề tài
- Cũng cố và khai thác kiến thức về diện tích đa giác ở toán THCS (chủ yếu
ở toán 8)
- Nghiên cứu giải các dạng toán ở THCS (chủ yếu ở lớp 8, lớp 9)
V- Đối tượng nghiên cứu
- Diện tích đa giác ở toán 8 THCS
- Học sinh THCS: Lớp 8, 9
VI- Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu, tổng hợp, hệ thống hoá
- Phân tích, tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá
- Trao đổi, thảo luận, rút kinh nghiệm
- Kiểm tra, đánh giá, rút kinh nghiệm
B. NỘI DUNG
I- Các kiến thức cơ bản
1. Khái niệm diện tích đa giác
• Số đo của phần mặt phẳng bị giới hạn bởi 1 đa giác là diện tích đa giác
đó
• Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích của đa giác là một số
dương
• Các tính chất của đa giác:
T/c 1. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
T/c 2. Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có
điểm chung thì diện tích của đa giác đó bằng tổng diện tích của
những đa giác đó
2
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác

T/c 3. Nếu chọn hình vuông có có cánh 1 cm, 1dm, 1m…, làm đơn
vị diện tích thì đơn vị diện tích tương úng là: 1 cm
2
, 1dm
2
, 1m
2
,…
• Diện tích đa giác thường được kí hiệu bằng chữ S. (Ví dụ: Diện tích đa
giác ABCD thì được kí hiệu là S
ABCD
hoặc S )
2. Công thức tính diện tích của một số đa giác
2.1 Hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông
a) Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật bằng tích 2 kích thước của nó
S = a.b
b) Hình vuông: Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó
S = a
2
c) Tam giác vuông: Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc
vuông
S =
2
1
a.b
2.2 Diện tích tam giác: Diện tích tam giác bằng nữa tích của 2 cạnh với chiều
cao tương ứng cạnh đó.

S =
2

1
a.h
2.3 Diện tích hình thang: Diện tích hình thang bằng nữa tổng hai đáy với
chiều cao
S =
2
1
(a+b).h
3
a
h
h
a
a
b
a
b
a
b
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
2.4 Diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành bằng tích của 1 cạnh
với chiều cao tương ứng với cạnh đó
S = a.h
2.5 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc, diện tích hình thoi:
a) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: Diện tích tứ giác có hai
đường chéo vuông góc bằng nữa tích hai đường chéo
S =
2
1
d

1
.d
2
b) Diện tích hình thoi:
+ Diện tích hình thoi bằng nữa tích hai đưòng chéo
S =
2
1
d
1
.d
2
+ Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao tương ứng
cạnh đó. S = a.h
3. Phương pháp diện tích
3.1 Phương pháp diện tích là phương pháp sử dụng kiến thức diện tích đa
giác ( tính chất, công thức tính diện tích) để giải các dạng toán liên quan.
3.2 Một số kết quả liên quan đến diện tích cần ghi nhớ
a) Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng
dạng
4
2
d
1
d
2
d
1
d
h

a
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
b) Hai tam giác có chung đáy (hai đáy bằng nhau) thì tỉ số diện tích bằng
tỉ số hai đường cao
c) Hai tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích bằng tỉ số
hai đáy
II- Các dạng toán sử dụng phương pháp diện tích đa giác
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1: Cho tam giác ABC,
A
ˆ
=

90
, AB = 3 cm, AC = 4 cm, đường cao AH.
Tính AH
Giải:
SC =
22
ACAB +
= 5(cm)
S
ABC
=
2
1
AB.AC = 6(cm
2
)
Lại có S

ABC
=
2
1
AH.BC
⇒
AH=
BC
S
ABC
2
= 2,4 cm
Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh 3cm, hai đường chéo AC=6cm,
BD=5cm.Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các cạnh đối diện?
Giải: Khoảng cách từ đỉnh A đến hai cạnh BC và CD đều bằng nhau. Kẻ AH
vuông góc với CD(H thuộc CD)
S
ABCD
=
2
1
AC.BD= 15cm
Lại có: S
ABCD
= AH.DC
⇒
AH=
CD
S
ABC

= 3,75cm
Dạng 2: Tính tỉ số đoạn thẳng
Bài 1: Cho a//b, trên a lấy B và C, trên b lấy D và E, sao cho góc ADB bằng
góc AEC và bằng

90
.Giả sử CE= 2, DB=3, DB=4, EA=5.Tính
AC
AB
5
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
Giải: a//b
⇒
khoảng cách từ D và E đến a là bằng nhau
AC
AB
=
AEC
ADB
S
S
(chiều cao
bằng nhau)
⇒
AC
AB
=
25
21
Bài 2: Trên các cạnh AC và AB của tam giác ABC lấy B

1
và C
1
tương
ứng.Gọi 0 là giao điểm của BB
1
và CC
1
. Hãy tính
1
AC
OB
nếu biết
1
1
AC
BC
=m và
1
1
AB
CB
=n.
Giải: Nối A với O, kẻ BI và AH
⊥
CC
1
1
OB
BO

=
OCB
BOC
S
S
1
OCB
AOC
S
S
1
=
CB
CA
1
=
CB
CBAB
1
11
+
=1 +
CB
AB
1
1
=1+
h
1
∆

BOC và
∆
AOC có chung OC nên
AOC
BOC
S
S
=
AH
BI
, mà
AH
BI
=
1
1
AC
BC
=m
⇒
1
OB
BO
=
OCB
BOC
S
S
1
=

AOC
BOC
S
S
.
OCB
AOC
S
S
1
=m.( 1+
h
1
)
Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học
Bài 1: Chứng minh định lý Talet trong tam giác: Cho tam giác ABC, nếu
DE//BC thì:
AB
AD
=
AC
AE
6
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
Giải: Nối B với C; C với D ta có:
AB
AD
=
SABE
S

ADE
(2 tam giác chung đường cao)
(1)
AC
AD
=
ACD
ADE
S
S
(2 tam giác chung đường cao) (2)
S
BEC
=S
DBC
(chung đáy BC, hai đường cao bằng nhau)
⇒
S
ABC
– S
BEC
= S
ABC
- S
DBC
⇒
S
ABC
= S
ACD

(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
AB
AD
=
AC
AE
Bài 2: Chứng minh tính chất đường phân giác
Trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác thì:
DC
DB
=
AC
AB
Giải:
DC
DB
=
ADC
ABD
S
S
( chung đường cao) (1)
AD là đường phân giác
⇒
DH=DI
⇒
AC
AB
=

ADC
ABD
S
S
(2) (Vì hai đường cao kẽ từ D bằng nhau)
Từ (1) và (2) suy ra
DC
DB
=
AC
AB
Bài 3: Cho
∆
ABC cântại A, M bất kỳ thuộc BC. Kẽ MH và MK lần lượt
vuông góc với AB, AC(H và C thuộc AB và AC).BI là đường cao của
∆
ABC. Chứng minh rằng MH+MK=BI
Giải: S
ABM
=
2
1
MH.AB
⇒
MH =
AB
S
ABM
2
Tương tự ta có: MK =

AC
S
ACM
2
⇒
MH+ MK =
AC
SS
ACMABM
)(2 +
(Vì AB = AC)
⇒
MH+MK =
AC
S
ABC
2
= BI
7
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
Bài 4: (Định lý Xêra)Cho
∆
ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần
lượt cắt AB, BC, CD tại A
1
, B
1
, C
1
.Chứng minh:

CB
AB
1
1
.
BA
CA
1
1
.
AC
BC
1
1
=1
Giải:
1
1
AC
BC
=
ABD
ACD
S
S
;
AC
BC
1
1

=
D
AC
BCD
S
S
;
CB
AB
1
1
=
D
BC
ABD
S
S
Nhân vế theo vế của 3 đẳng thức ta có đpcm.
Bài 5: Cho
∆
ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần lượt cắt AB,
BC, CD tại A
1
, B
1
, C
1
.Chứng minh:
1
1

BB
OB
+
1
1
AA
OA
+
1
1
CC
OC
=1
Giải: Đặt S = S
ABC
, S
1
=S
OBC
, S
2
= S
OAC
, S
3
= S
OAB
1
1
AA

OA
=
1
1
A
AB
OBA
S
S
=
1
1
ACA
OCA
S
S
⇒
1
1
AA
OA
=
ABC
OBC
S
S
=
S
S
1

Tương tự ta có:
1
1
BB
OB
=
S
S
2
;
1
1
CC
OC
=
S
S
3

Do đó
1
1
BB
OB
+
1
1
AA
OA
+

1
1
CC
OC
=
S
S
1
+
S
S
2
+
S
S
3
=1
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh
AB, BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh
rằng KD là tia phân giác của góc AKC.
Giải: Kẻ DH
⊥
KA, DI
⊥
KC, ta có:
DH.AN = 2 S
ADN
(1)
DI.CM = 2 S
CDM

(2)
Lại có S
ADN
=
2
1
S
ABCD
8
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
S
CDM
=
2
1
S
ABCD

⇒
S
ADM
= S
CDM
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra DH.AN = DI.CM
Do AN = CM suy ra DH = DI suy ra KD là phân giác góc AKC
Dạng 4: Chứng minh BĐT hình học
Bài 1: Cho tam giác ABC (AC >AB), đường cao BI. D là điểm nằm giữa B
và C. Gọi BH và CK theo thứ tự là các đường vuông góc kẻ từ B và C đến
đường thẳng AD. Chứng minh rằng: BH + Ck > BI

Giải: Ta có : BI =
AC
S
ABC
2
(1)
BH =
AD
S
ABD
2
CK =
AD
S
ACD
2
BH + CK =
AD
SS
ACDABD
)(2 +
=
AD
S
ABC
2
(2)
Lại có AD < AC (3) (Ta dễ dàng chứng minh được điều này khi xét các
trường hợp của góc BAC)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BH + Ck > BI

Bài 2: Gọi h
a
, h
b
, h
c
là ba đường cao của một tam giác chứng minh rằng
a
h
1
<
b
h
1
+
c
h
1
Giải: Gọi diện tích tam giác là S, ba cạnh ứng với 3 đường cao h
a
, h
b
, h
c
là
a, b, c ta có:
a =
a
h
S2

; b =
b
h
S2
; c =
c
h
S2
9
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
a < b + c ( BĐT tam giác) suy ra
a
h
S2
<
b
h
S2
+
c
h
S2
suy ra
a
h
1
<
b
h
1

+
c
h
1
Bai 3: Trong tam giác ABC ta lấy M, ký hiệu khoảng cách từ M tới đỉnh A
của Tam giác là R
a
, còn khoảng cách tới cạnh CA và AB là d
b
và d
c
. Chứng
minh rằng: a.R
a

≥
c. d
c
+ b.d
b
Giải:
Vẻ BK và CL vuông góc với AM
( K và L thuộc AM)
Đặt BK = a
1
, CL = a
2
ta có: a
1
+a

2
≤
a
Suy ra
cbABMACMaaa
cdbdSSRaRaaR
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
12
+=+=+≥
suy ra đpcm.
Bài 4: Cho tam giác ABC, M nằm trong tam giác. Các đường thẳng AM,
BM, CM cắt các cạnh của tam giác tương ứng tại các điểm A
1
, B
1
, C
1
. Chứng
minh rằng
8
111

≥⋅⋅
MC
CM
MB
BM
MA
AM
Giải:
Đặt a = S
MBC
, b = S
MAC
, c = S
MAB
ta có: 1+
a
ba
a
cba
S
S
MA
AA
MA
MAAM
MA
AM
MBC
ABC
+

+=
++
===
+
= 1
1
1
1
1
1

suy ra
a
cb
MA
AM +
=
1
(1)
Chứng minh tương tự ta có
b
ac
MB
BM +
=
1
và
c
ba
MC

CM +
=
1
(2)
10
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
Ta biết rằng với các số dương a, b và c ta có (a+b)
2

≥
4ab
(b+c)
2

≥
4bc
(c+a)
2

≥
4ac
Suy ra (a+b)(b+c)(c+a)
≥
8abc
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Dạng 5: Giải toán Đại số bằng phương pháp diện tích
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a) x
2
+10x = 39

b) x
2
-8x = 33
Giải:
a) Giả sử x là cạnh của một hình vuông
thì x
2
là diện tích của hình vuông đó.
Kéo dài 2 cạnh hình vuông thêm 5 đơn vị
ta được hình vuông mới có cạnh là x+5,
có diện tích bằng: (x+5)
2
= x
2
+ 10x + 25 = 39 + 25 = 64 suy ra x = 3
b) Giả sử x là cạnh của một hình vuông.
Giảm hai cạnh của hình vuông đi 4 đơn vị
ta được hình vuông mới có cạnh là x – 4,
có diện tích bằng:
(x-4)
2
= x
2
-8x+16 = 33 + 16 = 49 suy ra x = 11
Bài 2: Với x, y, z, t dương thì
))(())(())((
22222222
tzyxtytxzyzx ++≥+++++
Gải: Vì x, y, z, t > 0 nên luôn tồn tại tứ giác ABCD có AC
⊥

BD tại O, vói
OA= x, OC=y, OB= z, OD=t.
Dễ thấy AB=
22
zx +
BC =
22
zy +
11
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
CD=
22
ty
+
AD =
22
tx
+
S
ABC
=
ACBCABh .
2
1
2
1
1
≤
S
ADC

=
ADDCADh .
2
1
2
1
2
≤
S
ABCD
= S
ABC
+S
ADC
S
ABCD
=
))((
2
1
tzyx ++
Vậy
))(())(())((
22222222
tzyxtytxzyzx ++≥+++++
C. KẾT QUẢ THU ĐƯỢC
Sau 5 năm công tác dạy học ở trường THCS, tôi đã tổng họp, bổ sung và
phát triển những dạng toán giải được bằng phương pháp diện tích. Đồng thời
đã đưa vào giảng dạy(Dạy đại trà và dạy bồi dưỡng học sinh giỏi) và thu
được:

- Học sinh nắm chắc, sâu sắc hơn về diện tích đa giác
- Chất lượng giảng dạy thu được sau khi tiến hành kiểm tra là: Giỏi 20%, khá
35% , trung bình 45%
- Hứng thú và sự sáng tạo trong giải toán của học sinh được nâng lên rõ rệt.
D. KẾT LUẬN
Đề tài chỉ khai thác một phần kiến thức nhỏ, song theo tôi nó rất hữu ích
trong dạy học toán. Với học sinh, đề tài phát huy được tư duy sáng tạo, rèn
luyện được kỹ năng vận dụng và hình thành cho các em niềm say mê học
toán. Với các bạn đồng nghiệp, đề tài là tài liệu tham khảo bổ ích phục vụ
cho công tác giảng dạy, nghiên cứu toán.
12
Sáng kiến kinh nghiệm Diện tích đa giác
Ở đề tài này, mặc dù tôi đã dày công nghiên cứu song không thể không có
những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp chân thành của các bạn
đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Yên Thành, tháng 5 năm 2008
Người viết
Vũ Văn Quý
13