SKKN phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS

Phần I: Lý do nghiên cứu
1-Cơ sở lý luận:
Trong quá trình phỏt triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con
người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng với sự ra
đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội. Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm
tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và
Nhà nước đặt ra.
Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều
song lại rất quan trọng. Đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT.
Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức,
phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đại số. . . Học sinh biết vận dụng linh hoạt,
sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.
“Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ ”giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính
tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng
say mê học toán cho học sinh.
2. Cơ sở thực tiễn:
Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không
biết giải phương trình vô tỉ như thế nào?có những phương pháp nào?
Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học
sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế
hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của
học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên.
Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên
nghiên cứu.
Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo
viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở
các trường THCS.
II-Mục đích nghiên cứu:
~ 1
+ Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS”.

Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã
học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có
hiệu quả.
+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần phương
trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượngdạy và học
môn toán.
+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về phương
trình vô tỉ.
III- Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường.
2. Hệ thông hoá một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đật được khi triển khai đề tài.
4. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm.
IV- Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu:
a. Các tài liệu
b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Gia Sơn
2. Phạm vi nghiên cứu:
Các phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp ở THCS.
V- Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
2. Phương pháp điều tra, khảo sát.
3. Phương pháp thử nghiệm
4. Phương pháp ttổng kết kinh nghiệm
VI- Giả thuyết khoa học:
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn
Phần II: Nội Dung
A- Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:
* Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ

đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai và căn bậc ba)
~ 2
* Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phương trình vô tỉ là
làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ.
I-Phương pháp nâng lên luỹ thừa:
1. Kiến thức vận dụng:
+ (A
±
B)
2
= A
2

±
2AB + B
2
+ (A
±
B)
3
= A
3

±
3A
2
B + 3AB
2

±

B
3
+
[ ]





=
≥
≥
⇔=
2
)()(
0)(
0)(
)()(
xgxf
xg
xf
xgxf
+
3
3
mAmA =⇔=
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
xx =−+ 122
(1)

Giải
Điều kiện căn có nghĩa:
012
≥−
x
(2)

2
1
≥⇔ x
(1)
212 −=−⇔ xx
(3)
Với điều kiện
02 ≥−x
(4)
(3)
⇔
2x - 1 = (x-2)
2
(5)
056
4412
2
2
=+−⇔
+−=−⇔
xx
xxx
Giải ra ta được x

1
=1 không thoả mãn (4)
x
2
= 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phương trình: x = 5
Ví dụ 2: Giải phương trình:
23151 −=−−− xxx
(1)
Phương trình (1) có nghĩa:
0
023
015
01
≥⇔





≥−
≥−
≥−
⇔ x
x
x
x
(2)
(1)
15231 −+−=−⇔ xxx
Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được

~ 3




−=+−
≥−
⇔
+−=−⇔
−−+−+−=−
)3()72()21315(4
072
21315272
)15)(23(215231
22
2
xxx
x
xxx
xxxxx
Giải (3) ta được:
7
2
≤x
không thoả mãn (1).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3:Giải phương trình
121 =−−+ xx
(1)
Giải

Điều kiện:
2
≥
x
(2)
Viết PT (1) dưới dạng

121 +−=+ xx
(3)
Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được

22121 −++−=+ xxx

31212222 =⇔=−⇔=−⇔−=⇔ xxxx
thoả mãn điều kiện (2)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3
Lưu ý:
+ Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK
x+1
2
−≥
x
(Đk này luôn đúng)
+ Nếu biến đổi (1) thành
112 −+=− xx
rồi bình phương hai vế ta phải đặt ĐK
011 ≥⇔≥+ xx
Ví dụ 4: Giải phương trình:
33
721 xx −−=+

(1)
Giải:

33
33
33
2)71(
2271)1(
=−++⇔
=−++⇔
xx
xx
Giải (1)
7;1
0)7)(1(
0)7)(1(
21
3
=−=⇔
=−+⇔
=−+⇔
xx
xx
xx
Là nghiệm của phương trình
Chú ý:
~ 4
- Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương. - Trước khi
lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trường hợp hoặc có
lời giải ngắn gọn.

Ví dụ5: Giải pt:
844
2
=++− xxx
(1)
Giải:
8)2(
2
=+− xx
2−⇔ x
+
8=x
Nếu
2≥x
thì
582 =⇔=+− xxx
Nếu
x
<
2
thì
82
=+−
xx
vô nghiệm
Kết luận: x=5 là nghiệm của pt
4- Bài tập tương tự:
Giải các pt sử dụng phép bình phương.
1/ x
2

-4x =8
1−x
(x=4+2
2
)
2/
682
2
++ xx
+
1
2
−x
=2x+2
3/
2
2
7
x
x −
+
2
7
x
x −
=x (x=2)
4/
1+x
-
2+x

=
5+x
-
10+x
(x=-1)
Sử dụng phép lập phương:
1/
3
1−x
+
3
2−x
=
3
32 −x
(x=4; 2)
2/
3
1+x
+
3
1−x
=
3
5x
(x=0;
±
2
5
)

3/
3
1+x
+
3
13 +x
=
3
1−x
(x=- 1)
4/
3
1 x+
+
3
1 x−
=1 (x=
27
28
)
II -Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
1/kiến thức vận dụng:
+)
== )()(
2
xfxf

)(xf
nếu
0)( ≥xf

)(xf−
nếu
0)( <xf

+)phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu )
2-Ví dụ:
Ví dụ6:Giải phương trình:
242 −−+ xxx
+
1267 =−−+ xx
(1)
Giải:
~ 5
Điều kiện: x-2
0≥
hay x
2≥
(2)

13222
1)32()22(
22
=−−+−−⇔
=−−+−−⇔
xx
xx
Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức
baba +≥+

, dấu “=” xảy ra khi a, b > 0.
Khi đó
123222322 =−−+−−≥−−+−− xxxx
(3)
Dấu “=”xảy ra khi:
( )( )
02322 ≥−−−− xx
(4)
Giải (4) ta được:
116 ≤≤ x
Thoả mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình (1)là:
116
≤≤
x
3/ Chú ý:
+ Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết được
thành bình phương của một biểu thức.
+ Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên.
4/ Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
1)
21212
22
=+−+++ xxxx
( )
1≥x
2)
211
22
=−−−−+ xxxx

( )
2=x

3)
225225232 =−−−+−++ xxxx







≤≤ 3
2
5
x
III- Phương pháp đặt ẩn phụ:
1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới:
Ví dụ 7: Giải phương trình
954135
22
+−=+− xxxx
(1)
Giải:
Ta có:
4
11
2
5
95

2
+






−=+− xxx
> 0
Đặt:
222
95095 yxxyxx =+−⇒≥=+−

Khi đó (1)
⇔
y
2
+ 4 = 4y

055
455
2
2
2
=+−⇔
=+−⇔
=⇔
xx
xx

y
~ 6
⇔






−
=
+
=
2
55
2
55
x
x
Ví dụ 8: Giải phương trình:
2
4
1
2
1
=++++ xxx
(1)
Giải:
Điều kiện:
4

≥
x
(2)
Đặt:
0
4
1
≥=+ yx

4
1
2
−=⇒ yx
Khi đó (1) trở thành
2)
2
1
(
4
1
22
=++− yy
0744
2
=−+⇔ yy







−
=
〈
−−
=
⇔
2
122
0
2
122
y
y
Trường hợp
2
122 −−
=y
< 0 loại

22 −=⇒ x
, thoả mãn điều kiện (2)
Vậy nghiệm của phương trình là:
22 −=x
Ví dụ 9: Giải phương trình:
0331
333
=+++++ xxx
(1)
Giải:

Đặt:
yx =+ 2
(1)
yyy −=++−⇔
3
3
3
3
11
Lập phương hai vế ta có:
3
63
1−= yyy




−=
=
⇔
3
62
1
0
yy
y
(+) Nếu:
2020
3
−=⇔=+⇔= xxy

(+) Nếu
11
66
3
62
−=⇔−= yyyy
, vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là: x = -2
2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
~ 7
a. Dạng:
edxvuxrbax +++=+ )(
(1)
Với a, u, r
0
≠
Đặt
baxvyu +=+.
Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng:
0)12)(( =+++− urruxruyyxu
Ví dụ 10: Giải phương trình:
203232152
2
−+=+ xxx
(1)
Giải:
Điều kiện:
2
15
0152

−
≥⇔≥+ xx
Khi đó: (1)
28)24(2152
2
−+=+⇔ xx
(2)
Đặt:
15224 +=+ xy
(3)
Điều kiện:
2
1
024
−
≥⇔≥+ yy
Khi đó (2) trở thành (4x + 2)
2
= 2y + 15 (4)
Từ (3) ta có: (4y + 2)
2
= 2x + 15 (5)
Từ (4) và (5) có hệ:





+=+
+=+

)5(152)24(
)4(152)24(
2
2
xy
yx
Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0
+) Nếu: x-y = 0
yx
=⇔
thay vào (5) ta được: 16x
2
+ 14x-11 =0






−=
=
⇔
8
11
2
1
x
x
với
8

11
−=x
, loại
+) nếu 8x + 8y + 9 = 0
988 −−=⇔ xy
, Thay vào 9 (4) ta được:
64x
2
+ 72x-35 =0
, loại
~ 8






+−
=
−−
=
⇔
16
2219
16
2219
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là:
2

1
1
=x

16
2219
2
+−
=x
b) Dạng:
edxvuxrbax +++=+
3
3
)(
(1)
Đặt
3
baxvuy +=+
(1) đưa được về dạng:
0)1)((
22
=+++− rQrPQrPvyu

Trong đó:
vuyP +=

vuxQ +=
Ví dụ 11: Giải phương trình:
255336853
23

3
−+−=− xxxx
(1)
Giải
(1)
3
53 −⇔ x
=(2x-3)
3
-x+2 (2)
Đặt :2y-3=
3
53 −x

3
)32(53 −=−⇔ yx
(3)
khi đó (2)
3
)32(52 −=−+⇔ xxy
(4)
Từ (3), (4) có hệ :





−=−+
−=−
3

3
)32(52
)32(53
xxy
yx

Trừ vế với vế ta được:
0)1)((
22
=+++− PQQPyx
(5)
Trong đó:
32 −= yP

32 −= xQ
Vì:
01.
22
>+++ QPQP

yx,∀
Do đó:(5)
yx =⇔
Thay vào (3) ta được:
(x-2)(8x
2
-20+11)=0

⇔
x

1
=2 ; x
2
=
2
35 +
; x
3
=
2
35 −
c. Một số dạng khác:
Ví dụ 12: Giải phương trình:
312
3
=++− xx
(1)
Giải
Điều kiện: x
1−≥
(2)
~ 9
Đặt:
3
3
22 yxyx =−⇒=−

3
101
22

2
=−⇒
=+⇒≥=+
yz
zxzx
Với điều kiện (2) thì (1) đưa về hệ:






≥
=−
=+
0
3
3
22
z
yz
zy
Giải hệ này ta được:



=
=
2
1

z
y
Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 13: Giải phương trình:
2
2
11
2
=
−
+
x
x
(1)
Giải:
Điều kiện:



<<−
≠
22
0
x
x
Đặt:
202
222
=+⇒>=− yxyx
Ta có hệ: (1)






=+
=+
2
11
2
22
yx
yx

Đặt: x +y = S; xy = P

(1)




−=−=
==
⇔



=
=−
⇔

1,
2
1
2,1
2
22
2
SP
SP
PS
PS

+Trường hợp 1: Ta được x=y=1; Trường hợp 2:







−−
=
+−
=
2
31
2
31
y
x

hoặc







+−
=
−−
=
2
31
2
31
y
x
Từ đó ta được x = 1; x =
2
31−−
là nghiệm
3. Chú ý:
* Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều bài toán khó, tuy
nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên quan giữa
các biểu thức trong phương trình, liên quan giữa các ẩn
* Cần phải có kỹ năng giải phương trình và hệ phương trình.
~ 10
4. Bài tập áp dụng:
1)

22
24692 xxxx ++=−+
2)
41212 =−−+−+ xxxx
(đặt
5;01 =≥=− xyx
)
3)
14421 =−++−+ xxxx
(đặt
41; ≤≤= xyx
)
Đặt hệ phương trình:
1-
46283
23
+−=+ xxx
Đặt:
bxxax =+−=+ 42,2
2
2-
)2(215
23
+=+ xx
Đặt:
)
2
375
(1;1
2

±
−=+−=+ xbxxax

133;133 −=+= xx
3-
x
xx
x =−+
1
1
1
Đặt:
2
51
;
1
1;
1 +
==−=− xb
x
a
x
x
4 -
112
3
=−+− xx
Đặt
10;2;1;2
3

−=− xax
5 -
513413
2
−+−=+ xxx
(Đặt
)
8
3711
;
4
11
;1,1332
+
=+=− xxy
6 -
534
2
−=−− xxx
(Đặt
)
2
295
;1,25
+
−=−=+ xyx
7 -
3
3
2332 −=+x

(Đặt
)2;1,23 −==− xyx
IV- Phương pháp bất đẳng thức:
Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phương trình vô nghiệm:
* Phương trình: f(x) = g(x)
Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lượt là: S
1
, S
2
mà S
1
giao với S
2
bằng rỗng thì phương trình vô
nghiệm.
~ 11
* Ví dụ 14: Giải phương trình:
25373 −=−−− xxx
(1) Giải
Điều kiện: x
3
≥
Với điều kiện này thì:
373 −<− xx
Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dương do đó phương trình (1) vô nghiệm
2- Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
* Phương trình F(x) = G(x) (1)
Nếu: F(x)
≥
K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a

G(x)
≤
K, dấu đẳng thức sảy ra khi x=b
(k, a, b là các hằng số)
. ) a = b
⇒
(1) có nghiệm là: x = a
. ) a
≠
b
⇒
(1) vô nghiệm
* Ví dụ 15: Giải phương trình:
222
2414105763 xxxxxx −−=+++++
(1)
Giải
Vế trái:
5949)1(54)1(3
22
=+≥+++++ xx
Vế phải: 4-2x –x
2
= 5- (x+1)
2

≤
5
Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là đẳng thức.
Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình.

* Ví dụ 16: Giải phương trình:
13626
2
+−=++− xxxx
(1)
Giải Sử dụng bất đẳng thức:
2
2
2
1
2
2
2
12211
. bbaababa ++≤+
(Với dấu “=” xảy ra khi
)
2
2
1
1
b
a
b
a
=
Vế trái:
426.1126
22
=−+−+≤++− xxxx

Dấu “=” xảy ra khi x=3
Vậy phương trình vô nghiệm.
c. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
* Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh được các trường hợp khác của ẩn không là nghiệm của
phương trình.
* Ví dụ 17: Giải phương trình:
312
3
=++− xx
(1)
Giải
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình.
+ Với x > 3 thì
⇒<+>− 21,12
3
xx
vế trái của (1) lớn hơn 3
+ Với -1
3
<≤
x
thì
⇒<+>− 21,12
3
xx
vế trái của (1) nhỏ hơn 3
~ 12
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
d. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt.
* Ví dụ 18: Giải phương trình:

2
14
14
=
−
+
−
x
x
x
x
(1)
Giải
Điều kiện: x >
4
1
(2)
Sử dụng bất đẳng thức:
2≥+
a
b
b
a
Với a, b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Do đó:
2
14
14
≥
−

+
−
x
x
x
x
Dấu “=” xảy ra
14 −=⇔ xx

32
014
2
±=⇔
=+−⇔
x
xx
Thoả mãn (2)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2
3±
e. Bài tập áp dụng:
1)
271064
2
+−=−+− xxxx
(x = 5)
2)
51343
26122
=+−+
+−

yyx
x
(x = y = 2)
3)
126
22
−−=+ xxx
(Vô nghiệm)
4)
xxxxxx 24)53)(1(.231
2
−=+−−+++−
5)
665
1225
1
4
3
16
−
+
−
+
− zyx
= 82 -
66513 −−−−− zyx
(x = 19; y = 5; z = 1890)
V- Những chú ý:
* Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau:
+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức.

+ Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức.
* Để giải phương trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững.
+ Các phép biến đổi căn thức.
+ Các phép biến đổi biêủ thức đại số.
~ 13
+ Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình.
+ Các kiến thức về bất đẳng thức. . .
PHầN III: Kết luận
I-Bài học kinh nghiệm:
Phương trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu được trong chương trình bồi dưỡng học
sinh giỏi THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo
viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức và
tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này.
*Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phương trình vô tỷ thì bản
thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phương trình vvô tỷ: các dạng phương trình vô tỷ,
phân biệt sự khác nhau giữa phương trình vô tỷ với các dạng phương trình khác, đồng thời phải
nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỷ.
*Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng caokiến thức nâng cao nghiệp vụ,
bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phương pháp tự học,
tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học
của mình.
II-Kết luận chung:
Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi người thày phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu.
Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu
tham khảo. . . tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. hy vọng đề tài ”Một số phương pháp
giải phương trình vô tỷ” làm một kinh nghiệm của mình để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này,
phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phương trình vô tỷ cho
học sinh.
Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong

được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp.
~ 14