Chuyên đề luyện thi đại học bất đẳng thức

: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc


BẤT ĐẲNG THỨC



Mở đầu

Trước khi nghiên cứu về bất đẳng thức, ta cần nhắc lại định nghĩa, cũng như những
tính chất cơ bản của nó.

 Định nghĩa:

+ a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b nếu a − b < 0
+ a lớn hơn b, kí hiệu là a > b nếu a − b > 0
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b (a không lớn hơn b), kí hiệu là a

b nếu a − b

0
+ a lớn hơn hoặc bằng b (a không nhỏ hơn b), kí hiệu là a

b nếu a − b

0
Ta gọi mỗi hệ thức dạng a < b, a > b, a

b, a

b là một bất đẳng thức. Trong

đó, a gọi là vế trái (VT), b gọi là vế phải (VP) của bất đẳng thức.

 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
+ a > b

b < a
+ a > b, b > c

a > c
+ a > b

a + c > b + c
+ a > b, c > d

a + c > b + d
a > b, c < d

a − c > b − d
+ a > b, c > 0

ac > bc
a > b, c < 0

ac < bc
+ a > b

0, c > d

0


ac > bd
+ a > b > 0

a
n

> b
n


a > b

a
n

> b
n

(n lẻ)
|a| > |b|

a
n

> b
n

(n chẵn)
+ a > b, ab > 0


1
a
<
1
b


MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
 A
2



0 với

A. Dấu “=” xảy ra

A = 0
 |A|

A với

A. Dấu “=” xảy ra

A

0
 a
2

+ b
2

+ c
2



ab + bc + ca

a
2

+ b
2



2ab

(a + b)
2



4ab
 
3(a
2

+ b
2

+ c
2

)

(a + b + c)
2

(

a, b, c)
1
a
+
1
b



4
a+b
(a, b > 0)
 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng
thức AM-GM)
 Bất đẳng thức Cauchy (Bất đẳng thức Bunyakovsky hay bất đẳng thức
Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz (viết tắt là BCS), bất đẳng thức Schwarz hoặc

bất đẳng thức Cauchy - Schwarz)
: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc






A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ


I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA

Để chứng minh a < b (hoặc a > b hoặc a

b hoặc a

b), ta cần chứng minh
a − b < 0. Ta xét một số ví dụ sau đây.


 VÍ DỤ 1. 
2

+ b
2

+ c
2

 

Giải
A = (a
2

+ b
2

+ c
2


=
1
2




(a
2


2

) + (b
2



2

) + (c
2


2

)




=
1
2





2


2


2





 0 a, b, c.
Vì A  0 nên a
2

+ b
2

+ c
2

 ab + bc + ca
 a = b = c.


 VÍ DỤ 2. au:
A = (a + b)(a
4

+ b
4

)
và B = (a
2

+ b
2

)(a
3

+ b
3

)  0
So sánh A và B.

Giải

4

+ b
4


2

+ b
2

)(a
3

+ b
3

)
= (a

5

+ b
5

+ a
4

b + ab
4


5

+ b
5

+ a
3

b
2

+ a
2

b
3

)

= a
4

b 
3

b
2


2

b
3

+ ab
4


= a
3


3



2



2

)

2

 0 vì a, b  0
 B.
 


 VÍ DỤ 3. 

1
a
+
1
b

4
a+b


Giải
1
a
+
1
b


4
a+b
=
a+b
ab

4
a+b
=
( )
a+b
2


ab(a+b)
=
( )

2

ab(a+b)
 0
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc


 VT  
 a = b.

II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh là A < B về bất đẳng thức
C < D nào đó mà ta đã biết là đúng.


 VÍ DỤ 4.  |a + b| a, b.

Giải: 
2

= x
2

x và |x|.|y| = |xy| x, y.
Ta có:
|a| + |b|  |a + b|  (|a| + |b|)
2

 (|a + b|)
2


 |a|
2

+ 2|a|.|b| + |b|
2

 (a + b)

2


 a
2

+ 2|ab| + b
2

 a
2

+ 2ab + b
2


 |ab|  

 ab  0.

Chú ý: Ngoài ra, ta còn có một bất đẳng thức khác cũng liên quan tới dấu giá
trị tuyệt đối: |a| − |b|

|a − b| (Dấu “=” xảy ra

ab

0).

 VÍ DỤ 5.   a + b  a+b

Giải: Ta có: a + b  a+b
 a + 2 ab + b  a + b  ab   0)

 


 VÍ DỤ 6. 
2
2 2 2
33
a b c a b c   






Giải: 
 
 
 
 
 
 
 
     
2
2 2 2

2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
39
32
22
0
abc
abc
a b c a b c
a b c a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b b c c a


      
        
     
      



: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc


 a = b = c.
Θ Yêu cầu:

 Hãy giải các ví dụ 1, 2, 3 ở phần I. bằng phương pháp biến đổi tương
đương.
 Hãy giải các ví dụ 4, 5, 6 ở phần II. bằng phương pháp sử dụng định
nghĩa.


III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC


Bạn đọc hãy xem lại tính chất của bất đẳng thức trong phần Mở đầu trước khi
xem xét các ví dụ bởi vì muốn chứng minh một bất đẳng thức nào đó bằng
phương pháp này đòi hỏi phải sử dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất
đẳng thức.


 VÍ DỤ 7. 
12
a b c
a b b c c a
   
  


Giải: 
1
2
a b c
a b b c c a
a b c

a b b c c a

  


  


  

  



 
1
a b c
a b b c c a
  
  
(1)
Vì a, b, c > 0 nên ta có:
1
aa
b c a b c
a b a b c
bb
b c a b c
b c a b c
c a a b c

cc
c a a b c
a b c a b c
b c b c c a a b c a b c a b c



  
   



     

  

   




  

      
        


 
2
a b c

b c b c c a
  
  


x x z
y y z





(Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp
biến đổi tương đương)

: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc



2
a c a
a b a b c
b a b a b c c a a b b c
b c a b c a b b c c a a b c a b c a b c
c b c
c a a b c





  

   

       

           





  




 VÍ DỤ 8. 
a
3

+ b
3


1
4


Giải: Ta có: a

3

+ b
3

= (a + b)(a
2


2

) = a
2


2


Mà (a + b)
2

= 1  a
2

+ 2ab + b
2

= 1 (1)

2

 0  a
2


2

 0 (2)

2(a
2

+ b
2

)  1  a
2

+ b
2


1
2

 2ab  a
2

+ b
2


1
2
 ab 
1
4
  
1
4


3

+ b
3

= a
2


2


1
2

1
4
=

1
4

 a = b =
1
2


 VÍ DỤ 9. khác 0 và 
a
b
+
b
a
 2

Giải b
 0)
Vì c  0 nên ta có:
   
2 2 2
1 1 1 2
a b b c b c b bc c b b bc
b a b b c b b c b b c b b c
   
          
   

 c = 0  a = b

Chú ý: Bất đẳng thức trên có rất nhiều cách chứng minh và là một trong
những bất đẳng thức rất quan trọng. Ta cần chú ý rằng, vì a, b là hai số khác 0
và cùng dấu với nhau nên
a
b
và
b
a
là hai số dương nghịch đảo của nhau. Chính
vì thế bất đẳng thức này có thể được phát biểu như sau:
“Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2”
Sau đây xin nêu ra vài cách chứng minh bất đẳng thức trên để bạn đọc cùng
tham khảo:
 Cách 1:
: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc


Xét hiệu
a
b
+
b
a
− 2 =




a
b

− 1



+




b
a
− 1



=
a−b
b
+
b−a
a
= (a − b)




1
b
−
1

a





=
(a−b)
2

ab


0 (vì ab > 0 do a, b khác 0 và cùng dấu)

 Cách 2:

a
b
+
b
a


2

a
2

+ b

2



2ab

(a − b)
2



0 (vì ab > 0)

 Cách 3:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương
a
b
và
b
a


Ngoài ra vẫn còn nhiều cách chứng minh khác.


IV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT

Mời bạn đọc xem lại phần MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ở phần
đầu chuyên đề

 VÍ DỤ 10.  (a + b)(ab + 1)  4ab

Giải: 
2

 4xy, ta có:
(a + b)
2

 4ab (1)
(ab + 1)
2

 4ab (2)

2

(ab + 1)
2

 4ab.4ab
Vì a, b không âm nên (a + b)(ab + 1)  4ab
 a = b và ab = 1  a = b = 1.

Chú ý: Với bài toán này, ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM.


 VÍ DỤ 11. C
22

11
4
x xy y xy




Giải: 
1
a
+
1
b

4
a+b
(a, b > 0)

2

+ xy > 0 và b = y
2

+ xy > 0:
 
2
2 2 2 2
1 1 4 4
4
x xy y xy x xy y xy

xy
   
    

(vì x + y  1)


 VÍ DỤ 12. 
2

+ b
2

+ c
2


 6.
: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc



Giải: Ta có: ab + bc + ca  a
2

+ b
2

+ c
2

= 3
Mà (a + b + c)
2

 3(a
2

+ b
2

+ c
2

) = 3.3 = 9  a + b + c  3



 VÍ DỤ 13. 
ab bc ca
abc
c a b
    


Giải: 
x
y
+
y

x
 2 (xem VÍ DỤ 9.)
Ta có:
.2 2
ab bc a c
b b b
c a c a

    




2
ab ca
a
cb

,
2
bc ca
c
ab




Chú ý: Một cách khác để chứng minh là dùng phương pháp biến đổi tương
đương: nhân vào hai vế của bất đẳng thức với abc > 0. Ta có bất đẳng thức
đã cho tương đương với:

(ab)
2

+ (bc)
2

+ (ca)
2



(ab).(ca) + (ab).(bc) + (bc).(ca)
Bất đẳng thức này là một bất đẳng thức đúng (xem phần MỘT SỐ BẤT
ĐẲNG THỨC CƠ BẢN)


V. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG

Đầu tiên, xin được nhắc lại đôi chút về phương pháp chứng minh phản chứng
bằng ví dụ dưới đây.


Ví dụ. Có tồn tại các số thực a, b, c khác 0 và thỏa mãn a + b + c = 0 và
1
a
+
1
b
+
1

c
= 0 hay không?

Giải: Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng:
Giả sử tồn tại các số a, b, c thỏa mãn đề bài. Khi đó:
Từ
1
a
+
1
b
+
1
c
= 0

ab + bc + ca = 0

ab = − c(a + b) = (−c).(−c) = c
2


Tương tự bc = a
2

, ca = b
2

.
Suy ra a

2

+ b
2

+ c
2

= ab + bc + ca

a = b = c. Mà a + b + c = 0
Nên a = b = c = 0, trái với giả thiết a, b, c khác 0.
Do đó giả sử sai. Vậy không tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đề bài.


Trở lại với bài học, chúng ta hãy cùng xét các ví dụ về chứng minh bất đẳng
thức bằng phương pháp chứng minh phản chứng sau đây.
: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc




 VÍ DỤ 14. 
   
2
22
4
a
b c b a c c a b     

Giải
   
2
22
4
a
b c b a c c a b     


   
2
22
2
22
2
4
20
4
0
2
a
b c b a c c a b
a
b c ab ac bc
a
bc
     
      

   





2

  R.

   
2
22
4
a
b c b a c c a b     



 VÍ DỤ 15. Cho a
3

+ b
3

 2.

Giải
a + b > 2  (a + b)
3

> 8  a

3

+ b
3

+ 3ab(a + b) > 8
 2 + 3ab(a + b) > 8  ab(a + b) > 2  ab(a + b) > a
3

+ b
3


 
2


2

 
 2.

Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên một cách trực tiếp như
sau:
Vì a
3

+ b
3

> 0 nên a
3

> − b
3



a > − b

a + b > 0
Suy ra (a + b)(a − b)
2



0

a
3

+ b
3



ab(a + b)

3(a
3

+ b
3

)

3ab(a + b)

4(a
3

+ b
3

)

(a + b)
3



a + b

2.


VI. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Phương pháp quy nạp toán học dành cho các bất đẳng thức mà ít nhất biểu
thức ở một vế chứa biến lấy giá trị thuộc tập hợp số tự nhiên N.

 VÍ DỤ 16.  

n

> 2n + 1.

Giải:
1. Với n = 3 thì 2
n

= 2
3

= 8, 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7  2
n

> 2n + 1.

2. Giả sử  N, k  
k

> 2k + 1
: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc



2
k+1

2
k+1

= 2.2
k

> 2.(2k + 1) 
 2
k+1

> 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vì k  3)
 3.
3. Kết luận: 2
n

 N, n  3.


 VÍ DỤ 17. 
2

> n + 5

Giải: Vì n > 2 nên n  3.
1. Với n = 3 ta có n
2

= 3
2

= 9, n + 5 = 3 + 5 = 8  n
2

> n + 5.

2. Giả sử  N, k  
2

> k + 5.

(k + 1)
2

> (k + 1) + 5. 
(k + 1)
2


2


= k
2

 
 3.
3. Kết luận: n
2



Chú ý: Ta cũng có thể làm như sau:
n > 2

n

3

n − 1

2

n(n − 1)

6

n
2



n + 6 > n + 5


VII. PHƯƠNG PHÁP XÉT PHẦN TỬ ĐẠI DIỆN

Phương pháp này thường dùng cho việc chứng minh một bất đẳng thức có vế
trái là một tổng gồm nhiều hạng tử mà mỗi hạng tử đều có một dạng chung.
Ta có ví dụ:

 VÍ DỤ 18. 
2 2 2 2
1 1 1 1
01
234 n
    
 N, n  2

Giải:
2 2 2 2
1 1 1 1
234
S
n
   

a (n  

1
k
2

 2  n
Xét
 
2
1 1 1 1 1
. 1 1k k k k k k k

   


: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc


2 
2
2
2
1 1 1
2 1 2
1 1 1
3 2 3

1 1 1
1n n n


















1
11S
n
  



 VÍ DỤ 19. Cho n  
3 3 3
1 1 1
12
12 n
   


Giải: 


33
11
2
S
n
 

1

k
3

 
 2 
Xét
 
32
1 1 1 1 1
11k k k k k k
   


 
3
3
3
1 1 1
2 1 2
1 1 1
3 2 3

1 1 1
1n n n


















1
1
3



Chú ý: Ta không thể cho k nhận giá trị bằng 1 vì k − 1 phải khác 0. Do đó chỉ
có thể xét
33
11
2
S
n
 
mà thôi!



B. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài tập 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1.
11
ab

(a > b, ab > 0)
2.
2 4 6a a a a     
(a  0)
3.
22
0a ab b  

4.
a b a b  

: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc


5.
a b c a b c    

6.
1a b ab  
(|a|, |b| < 1)
7.
 

22
3
2
a ab b a b   
(a, b  0)
8.
2 2 2 2 2 2
33
a b c ab bc ca
a ab b b bc c c ca a
   

       
(a, b, c > 0)
9.
2
2
1 2 4
3
3 2 4
aa
aa




10.
2
0
11

2
ab
a ab b
ab

    

(0 < a < b)
11.
 
2
22
2
2
ab
a b ab

  

12.
 
2
2 2 2
3
abc
a b c ab bc ca

     

13.

1
1
2
ab bc ca    
(a
2

+ b
2

+ c
2

= 1)
14.
 
2 2 2
3a b c ab bc ca abc a b c       
(a, b, c > 0)
15.
28ab bc ca   
(a
2

+ b
2

+ c
2

 8)
16.
   
2
38a b c d ab ac ad bc bd cd        

17.
 
4 4 4
a b c abc a b c    

18.
 
2 2 2 2
a b c d a b c d     

19.
 
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e       

20.
2 2 3 3
2 2 2
a b a b a b  

(a, b  0)
21.
     
2 2 2 2 2 2

1 1 1 6a b b c c a abc     

22.
22
22
a b a b
b a b a
  

23.
22
22
43
a b a b
b a b a

   



24.
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
    

25.
 
4 4 2 2

a b ab a b  

26.
     
2 2 2
2 2 2
2010 2011 2012
a b b c c a
a b c ab bc ca
  
       

27.
2 3 4 5
4 6 8 10
2
1 1 1 1
a b c d
a b c d
   
   


28.
 
4
42ab a b a b a b     
(a, b  0)
29.
 

33
a b ab a b  
(a, b > 0)
30.
     
3 3 3
2
ab a b bc b c ca c a
abc
    
  
(a, b, c > 0)
: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc


31.
3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
abc
ab bc ca
  
    
(a, b, c > 0)
32.
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
  
     

(a, b, c > 0)
33.
3 3 3 3 3 3
2 2 2
5 5 5
3 3 3
b a c b a c
abc
ab b bc c ca a
  
    
  
(a, b, c > 0)
34.
12
a b c d
a b c b c d c d a d a b
    
       
(a, b, c, d > 0)
35.
 
8 8 8
3
1 1 1abc
abc
abc

  
(a, b, c > 0)

36.
 
   
3 3 4 4
2a b a b a b   
(a, b > 0)
37.
   
1
1 1 1
64
abc a b c   
(0 < a, b, c < 1)
38.
ab a b
(a, b > 2)
39.
4 4 3 3
a b a b  
(a + b = 2)
40.
4 4 4 3 3 3
a b c a b c    
(a + b + c = 3)
41.
12ab  
(a, b  0, a
2

+ b

2

= 1)
42.
1 3 1 2 1 2 2 1 2ab      
(a, b  0, a
2

+ b
2

= 1)
43.
22
1 1 2
1 1 1a b ab

  
(ab  1)
44.
16b c abc
(a, b, c > 0, a + b + c = 1)
45.
3a b c abc  
(a, b, c > 0,
1
a
+
1
b

+
1
c
 a + b + c)
46.
22
1a b ab  
(a, b > 0, a
3

+ b
3

= a
5

+ b
5

)
47.
1 1 1
abc a b c
abc

    


(a, b, c > 0)
48.

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 3 2 3 2 3 2a b b c c a
  
     
(a, b, c  0, abc = 1)
49.
2 2 2
2 2 2
3( )
abc
abc
b c a
    
(a, b, c > 0, a + b + c = 1)
50.
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
12
1 2 3 4 n
     
(n  N, n  2)
51.
1 1 1 1 1 3
2 1 2 3 2 4n n n n
    
  
(n  N*)
52.
1 1 1 1

10
1 2 3 100
   

53.
1 1 1 1
18 19
1 2 3 100
    

54.
2 3 4 2011 2012 2013 3


55.
1 1 1 1
. . . 2
2 1 3 2 4 3 2013 2012
    


56.
    
   
1 1 1 1
4
1 2 3 4 5 6 79 80

: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc

57.
3 3 3 3
1 1 1 1 1
2 3 4 2012 4
   

58.
 
2
1
2
32
m
n
n


(m, n  N*)
59.
1 1 1 1 13
1 2 3 2 24n n n n
   
  
(n  N, n  2)
60.
1 1 1 1
1 2 3 2 1 2
n

n
   

(n  N*)


Bài tập 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác ; p là nửa chu vi và
S là diện tích tam giác đó. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1.
   
abc a b c b c a c a b      

2.
   
1
8
p a p b p c abc   

3.
 
4
abc a b c
S



4.
 
2 2 2

2a b c ab bc ca    

5.
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
    
     

6.
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

    

  


7.
3
c a b
a b c b c a c a b
  
     

8.
a b c b c a c a b a b c          

9.
00

60 90
aA bB cC
abc





10.
 
2
2 2 2 2 2
4a b c b c  



____________________________________________________________________


HẾT









: Phan  www.fb.com/hocsinhlop13onthidaihoc