- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Giao thoa Coulomb - Hadron trong mô hình eikonal
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 52 trang )
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
======o0o======
CAO THỊ NGUYỆT
GIAO THOA COULOMB –HADRON
TRONG MÔ HÌNH EIKONAL
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2012
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
CAO THỊ NGUYỆT
GIAO THOA COULOMB–HADRON
TRONG MÔ HÌNH EIKONAL
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS: NGUYỄN NHƢ XUÂN
Hà Nội – 2012
3
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB.
1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác
1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal
CHƢƠNG 2 : HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ.
2.1. Hệ số dạng điện từ và công thức cho pha…………………
2.2. Hệ số dạng khi xung lượng truyền rất nhỏ………
CHƢƠNG 3 : PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB CẢI BIẾN
3.1. Phép khai triển Born eikonal………………………
3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm hệ số dạng
KẾT LUẬN
PHỤ LỤC A. PHA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ DẠNG GAUSS…
PHỤ LỤC B. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
B.1. Phương pháp khai triển theo sóng riêng phần
B.2. Phương pháp hàm Green
B.3. Phương pháp chuẩn cổ điển
B.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ sóng riêng phần về biên độ tán xạ eikonal
B.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal
B.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng phần
B.5 Sơ đồ mối liên hệ giữa các phương pháp của bài toán tán xạ
PHỤ LỤC C. HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLON………………………….
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1
6
7
11
13
16
17
22
23
26
26
34
41
43
43
44
45
46
48
4
MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết tán xạ tồn tại các bài toán, hạt thực tế tham gia đồng thời hai
hay nhiều tương tác khác nhau. Ví dụ, trong tương tác hạt nhân của các hạt mang
điện, ngoài tương tác hạt nhân, cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va
chạm [2].
Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử, Bethe đã thu
được công thức cho tán xạ thế, với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó
có tính đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân
[17]. Biên độ tán xạ đàn tính được ký hiệu bằng
CN
F
và có thể biểu diễn một cách
hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [17]:
C N C N i
F F F e
. (0.1)
trong đó
C
F
- biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb,
N
F
- biên độ tán xạ hoàn toàn
hadron (liên quan với tương tác mạnh),
1/137,036
là hằng số cấu trúc,
là
pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng tương tác Coulomb tầm xa. Sử dụng
mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết quả cụ thể cho pha [17]
2ln 1,06/ qa
. (0.2)
trong đó
q
là xung lượng truyền, còn
a
là tham số đặc trưng cho tương tác tầm xa
của hạt nhân. Công thức (0.2) đã được các nhóm thực nghiệm sử dụng để đánh giá
phần thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía trước. Phần thực của biên độ tán xạ cho
phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [16], hay dáng điệu tiệm cân khả dĩ của tiết diện tán
xạ toàn phần [10], hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho
tương tác mạnh.
Những tiến bộ trong khoa học công nghệ đã cho ra đời các máy gia tốc năng
lượng cao cung cấp cho chúng ta cơ hội nghiên cứu bằng thực nghiệm các quá trình
tán xạ đàn tính
pp
và
pp
ở năng lượng khối tâm ngày càng cao, đặc biệt là xác định
tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình này, liên quan đến phần ảo của biên độ tán
xạ trước và tỉ số giữa phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ, được suy ra từ các
5
định lý quang học. Lưu ý rằng, tiết diện tán xạ có thể suy ra được từ các nguyên lý
cơ bản của lý thuyết tán xạ lượng tử và có thể dễ dàng so sánh với thực nghiệm [2-
8].
Để xác định biên độ tán xạ phía trước thông thường người ta sử dụng sự giao
thoa với biên độ giao thoa Coulomb. Nếu tiến hành chuẩn hóa biên độ tán xạ
Coulomb theo công thức
2
cm
d
dt sp
. (0.3)
thì biên độ tán xạ Coulomb (cho các hạt tích điện cùng dấu) là
2
c
s
F
q
. (0.4)
với q là xung lượng truyền khối tâm. Nếu chúng ta giả thiết xung lượng này là nhỏ
thì có thể coi rằng năng lượng tán xạ
pp
và
pp
tại mọi điểm là rất cao:
2
p
sM
.
Chúng ta cũng xét quá trình tán xạ hạt – hạt trước, sau đó sẽ ngoại suy ra kết quả
đối với quá trình tán xạ giữa hạt và phản hạt.
Trong vùng xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ cổ điển có thể được tham
số hóa dưới dạng:
2
/2N Bq
F Ae
. (0.5)
trong đó :
15 2
10B GeV
. Theo định lý quang, biên độ tán xạ toàn phần bằng:
N
4
ImF 0
TOT
cm
q
ps
. (0.6)
Với năng lượng siêu cao, tiết diện tán xạ toàn phần xấp xỉ 40 mb thì
Im
2
A 4GeV s
khi đó biên độ tán xạ đàn tính Coulomb và hadron gần bằng xung
lượng truyền
22
q GeV
4
. Phần lớn, biên độ tán xạ này là thuần ảo. Từ việc xác
định sự giao thoa giữa biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hadron, chúng ta
có thể thu được pha giao thoa của 2 quá trình này.
Biểu thức (0.4) mô tả biên độ tán xạ Coulomb một cách đơn giản ở gần đúng
Born. Tuy nhiên, thực tế biên độ tán xạ Coulomb được đặc trưng bởi pha Coulomb
6
liên quan đến bản chất của lực Coulomb. Hơn nữa nó cũng không thực sự mô tả
đúng được biên độ tán xạ giao thoa Coulomb và hadron. Nó chỉ biểu diễn các biên
độ tán xạ đơn lẻ cho từng loại tương tác. Biên độ tán xạ Coulomb ở vùng xung
lượng truyền nhỏ và biên độ tán xạ hadron ở vùng xung lượng truyền lớn. Thậm chí
trong vùng tương tác mạnh của các hadron, việc tìm biên độ tán xạ của chúng liên
quan đến bài toán trao đổi giữa các photon “mềm” có xung lượng ảo. Rõ ràng là có
sự ảnh hưởng của tương tác điện từ đến biên độ tán xạ các hadron.
Giao thoa Coulomb trong chất hạt nhân cũng đã được West và Yennie [17]
xem xét lại không dựa trên lý thuyết tán xạ thế mà hoàn toàn dựa vào giản đồ
Feynman trong lý thuyết trường lượng tử. Họ đã thành công trong việc tìm ra biểu
thức tổng quát cho biểu thức của pha
theo các số hạng của biên độ tán xạ đàn tính
các hadron:
2 '2 '2
W-Y
'2 2 2
0
()
ln 1
| | ( )
s
N
N
q dq F q
s q q F q
. (0.7)
Bằng cách tham số hóa thích hợp cho biên độ tán xạ hadron dưới dạng:
exp(- / )
N2
F Bq 2
, suy ra:
22
ln / 2
WY
Bq O Bq
. (0.8)
với
, 0 577
là hằng số Euler.
West và Yennie cũng đã xem xét một vài vấn đề khác của bổ chính tương tác
điện từ với tương tác mạnh của các hadron. Họ xét đến sự bức xạ các photon thực
một yếu tố quan trọng trong tán xạ
p
nhưng lại bỏ qua vấn đề này trong tán xạ pp.
Các giản đồ Feynman được họ xem xét, chỉ bao gồm các thế phân kỳ hồng ngoại và
họ nhấn mạnh rằng có thể bỏ qua các giản đồ này vì nó chỉ cho sự đóng góp vào
pha
mà thôi. Một điểm cần lưu ý nữa là cần phải tính đến sự đóng góp của giản
đồ phân cực chân không đối với lực tương tác Coulomb [4]. Nó dẫn đến sự phụ
thuộc của hằng số tương tác điện từ vào bình phương xung truyền q
2
:
2
2
2
( ) 1 ln
34
e
q
q
m
. (0.9)
7
Kết quả này sẽ làm tăng khoảng 50% giá trị hằng số tương tác
trong khoảng
q
2
được quan tâm.
Mục đích của Luận văn Thạc sỹ khoa học sẽ xem xét lại vấn đề này kèm
theo việc xác đinh lại pha
trong khuôn khổ mô hình eikonal. Nó sẽ cung cấp toàn
bộ bức tranh vật lý của quá trình tán xạ và đưa ra cách nhìn hơi khác biệt so với các
tính toán của West và Yennie [8].
Bản luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu dẫn và các phụ
lục.
Chƣơng 1: Mô hình eikonal và giao thoa Coulomb. Ở đây ta xuất phát từ mô
hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ
phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born. Trong mục 1.1
ta tính biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và
tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal ở đây ta
vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb.
Chƣơng 2: Hệ số dạng điện từ . Để vấn đề giao thoa Coulomb được hiểu rõ
hơn, trong chương này chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của nuclon. Về mặt vật
lý, thì nuclon ở đây không phải là hạt điểm như quan niệm trước đây, mà nó có cấu
trúc. Cấu trúc này được xác định bằng các hệ số dạng điện từ ( bao gồm hệ số dạng
điện và hệ số dạng từ, xem trong phụ lục C). Trong Luận văn này ta bỏ qua spin của
hạt, nên các hệ số dạng điện từ đơn giản chỉ còn là một hàm số. Trong mục 2.1
nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb khi tính đến hệ số dạng điện từ, và
ta thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ thể hóa dạng của hệ số dạng được
xem xét ở mục 2.2.
Chƣơng 3: Pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến. Kể hệ số dạng của
nuclon sẽ làm thay đổi biên độ tán xạ Coulomb. Ở đây ta xem xét phép khai triển
hỗn hợp Born – eikonal cho biên độ tán xạ và tính pha của biên độ tán xạ Coulomb
cải biến. Trong mục 3.1 ta xem xét phép khai triển hỗn hợp Born – eikonal cho biên
8
độ tán xạ và cụ thể hóa trong trường hợp hoàn toàn Coulomb. Việc kể thêm bổ
chính của hệ số dạng của hạt và tìm biểu thức cho pha sẽ được xem xét ở mục 3.2.
Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu được và thảo luận việc
mở rộng những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán trong lý thuyết trường lượng tử.
Phần phụ lục A sẽ đưa ra một số tính toán bổ sung cho pha khi biên độ tán xạ
ở dạng Gauss.
Trong phần phụ lục B, ta trình bầy cách thu nhận biểu thức Eikonal cho biên
độ tán xạ từ các cách giải khác nhau phương trình Schrodinger trong cơ học lượng
tử.
Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c
và
metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ
0 1 2 3
, , , ,x x t x x x y x z t x
thì các véctơ tọa độ hiệp biến
0 1 2 3
, , , ,x g x x t x x x y x z t x
,
trong đó
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
gg
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
9
Chƣơng 1
MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB
Trong chương này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng
lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được
tính từ biên độ tán xạ Born. Trong mục 1.1 ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai
tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ
Born, việc tính pha eikonal khi ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác
Coulomb được trình bầy ở mục 1.2.
1.1. Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tƣơng tác.
Mô hình eikonal được thuận tiên sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với
góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn
gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ
b
sẽ chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ.
2 2 . 2 ( )
1
4
iq b i b
s
F q d be e
i
. (1.1)
Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao tổng quát, với ý
nghĩa, nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào. Tất cả động lực học của quá
trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể của pha
()b
. Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của khối tâm. Ở
năng lượng siêu cao pha
()b
được xác định bởi biểu thức:
2 . 2
1
2
iq b
Born
b d qe F q
s
. (1.2)
Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc s của biên độ tán xạ Born. Khi đó,
biên độ tán xạ eikonal ở vùng năng lượng lớn là:
2 2 . 2 ( )
1
4
iq b i b
eik
s
F q d be e
i
. (1.3)
Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal,
C
và
N
, tương ứng với 2 quá
trình tán xạ: tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy đủ sẽ là:
2 2 . 2 ( ( ) ( ))
1
4
CN
N C iq b i b b
s
F q d be e
i
. (1.4)
10
Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng:
2 2 . 2 ( )
1
4
C
C iq b i b
s
F q d be e
i
. (1.5)
Cón nếu bỏ qua lực tương tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ các
hadron trong hạt nhân:
2 2 . 2 ( )
1
4
N
N iq b i b
s
F q d be e
i
. (1.6)
Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ (1.4)
dưới dạng
2 2 2 . 2 ( ) 2 ( )
11
4
CN
N C C N iq b i b i b
s
F b F q F q d be e e
i
'
'
.
22
2 2 2
11
4
cN
i q q b
i b i b
C N iq b
s
F q F q d be e e e
i
(1.7)
2
2 2 2 ' '2 'C N C N
i
F q F q d q F q F q q
s
.
Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán
xạ các nuclon trong hạt nhân khi có sự trộn lẫn cả 2 loại tương tác, tương tác
Coulomb và tương tác hạt nhân.
1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal.
Để có thể áp dụng biểu thức này cho các bài toán về sau, chúng ta cần lấy
biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng eikonal. Từ biểu thức (1.2) và (0.4), chúng
ta đưa vào khối một photon khối lượng nhỏ
để khử phân kỳ hồng ngoại:
2.
22
1
2
C iq b
s
b d qe
sq
(1.8)
2.
0
22
11
( ) ln ( )
22
iq b
d qe K b b O b
q
.
các số hạng dạng
()Ob
có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ tiến
tới không. Như vậy thay (1.8) vào (1.5) ta có:
1
2 ln
2
22
1
4
ib
C iqb
s
F q d be e
i
11
2
2
2
1
42
i
i
iqb
se
d be bq
iq
(1.9)
2
2
0
0
1
22
i
i
se
dbbJ qb bq
iq
.
Sử dụng công thức tích phân sau [10]:
0
0
1
2
( ) 2
1
2
dx x J x
. ( 1.10)
Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc nhất
của hằng số tương tác
:
22
2 2 1
00
2
0
1
22
ii
ii
đ
ee
dbbJ qb bq d qb bq J qb
q q q
2
21
2
1 (1 )
2
2 (1 )
i
i
ei
q q i
.
2
()
2 1 2
22
(1 )
( ) 2
2 2 (1 )
C
eik
iq
Ci
s e i s
F q e
iq q i q
. (1.11)
với
2
2
2
( ) ln
C
eik
q
q
. (1.12)
Do tính kì dị của
()
C2
Fq
tại
2
q0
vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) như sau:
'2
2 2 2 2 ' '2 2 '2
2
([ ] )
( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1
()
N
N C C N C C
N
i i F q q
F q F q F q d q F q d F q
s s F q
(1.13)
Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho
0
.
Tóm lại chúng ta có thể viết:
12
2
22
2
c
eik
iq
N C N
s
F q e F q
q
'2 '2
2
'
2 ' 2 '
2
'2 2 '2
11
cc
eik eik
N
i q i q
N
F q q
i s i s
d q e d q e
s q s q
Fq
2
2
'
2
2 2 ' 2 '
2
2 '2 2 '2 '2
1
c
eik
N
i
iq
N
N
F q q
s i s q i s
F q e d q d q
q s q q s q
Fq
2
2
()
2
2
2 '2
()
2 2 ' 2 '
'2 2 '2 ' 2 2
()
()
( ) 1
[ ] ( )
C
eik
C
eik
iq
NC
i
N
iq
N
N
s
F q e
q
i s q i s F q
F q e d q d q
s q q s q q F q
(1.14)
Trong biểu thức này chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để nhằm khử
các phân kỳ xuất hiện khí lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung lượng q
2
lớn. Sau
khi lấy tổng hai tích phân này và lấy giới hạn
2
Q
sẽ thu được biểu thức hữu
hạn. Tổng của hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.14) là:
2
2
22
2 ' 2 '
1
'2 2 '2 2
'2 2
c
eik
i
ii
iq
i
q
i s q i
e d q d q
s q q q
q
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 ln
i i i i
Q Q Q
i
q q q q q
. (1.15)
Từ đó biểu thức (1.14) sẽ là:
2
2 '2
()
2 2 '2
2 2 2 '2 2
0
1 ( )
1 ln 1
| | ( )
C
eik
Q
N
iq
N C N
N
s Q F q
F q e F q i i dq
q q q q F q
.(1.16)
chú ý rằng:
2
' '2 2 '2
0
12
2 cos | |
d
qq q q q
. (1.17)
Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’. So sánh
biểu thức (1.16) và (0.5), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:
13
2
2
2 '2
'2
2 2 '2 2
0
1 ( )
lim ln 1
| | ( )
Q
N
eik
N
Q
Q F q
dq
q q q F q
2
2
2 '2
'2
2 2 '2 2
0
1 ( )
lim ln 1
| | ( )
Q
N
eik
N
Q
q F q
dq
Q q q F q
(1.18)
Kết quả này phù hợp với kết quả thu được (0.7) của West và Yennie bằng
phương pháp sử dụng giản đồ Feynman.
14
Chƣơng 2.
HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ
Để bài toán giao thoa Coulomb hiện thực tốt hơn, trong chương này chúng ta
kể thêm hệ số dạng điện từ của proton. Về mặt vật lý, thì proton ở đây không phải là
hạt điểm như quan niệm trước đây, mà nó có cấu trúc. Cấu trúc này được xác định
bằng các hệ số dạng điện từ (bao gồm hệ số dạng điện và hệ số dạng từ, xem trong
phụ lục C). Trong Luận văn này ta bỏ qua spin của nuclon, nên các hệ số dạng điện
từ đơn giản chỉ còn là một hàm số. Vấn đề giao thoa Coulomb trong bài toán tán xạ
bao gồm cả hai tương tác điện từ và tương mạnh của nuclon. Trong mục 2.1 nghiên
cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb bằng việc kể thêm hệ số dạng điện từ qua
số hạng gần đúng Born
()
22
fq
, và ta thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ
thể hóa dạng của hệ số dạng được xem xét ở mục 2.2.
2.1. Hệ số dạng điện từ và công thức cho pha
Khi bỏ qua spin cua hạt, thì hệ số dạng còn lại là hàm vô hướng
22
()fq
. Kể
thêm hệ số dạng, thì biên độ tán xạ Coulomb (1.11) trong gần đúng Born bây giờ
có dạng :
2
2 2 2
2 2 2
( ) ( )
i
C
s
F q f q
. (2.1)
Sử dụng (2.1) vào biên độ tán xạ Coulomb (1.13), chúng ta thu được biên độ
tán xạ cải biến:
2
2 2 2
22
( ) ( )
i
NC
s
F q f q
2
2 2 ' 2 '2
'2 2 '2
( ) 1 ( )
i
N
is
F q d q f q
s q q
2 ' 2
2 ' 2 '2
'2 '2 2
([ ] )
1
()
i
N
N
i s F q q
d q f q
s q q F q
.
2
2 2 2
22
( ) ( )
i
NC
s
F q f q
15
22
2 2 ' 2 '2
2 '2 2 '2
( ) ( )
ii
N
i s q
F q d q f q
q s q q
'2
2 ' 2 '2
'2 2
([ ] )
1
()
N
N
i s F q q
d q f q
s q F q
. (2.2)
Ở biểu thức này đã chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất của
trong số hạng
cuối. Tích phân của số hạng cuối trong biểu thức (2.2) được xác định như sau:
2
2 ' 2 '2
'2 2 '2
()
i
i s q
d q f g
s q q
2
'2 2 '2
'2 2 1
()
()
()
i
i
q
i dq f q
q
2 '2 2
'2 2 '2 '
22
0
[ ( ) ]
ii
dq f q
q
2 '2
2 2 '2 '
2
0
' 1 ln [ ( ) ]
i
dq i f q
q
2 '2
'2 2 '2 '
22
0
1 ln [ ( ) ]
i
i dq f q
q
. ( 2.3)
Ở đây các ký hiệu dấu phẩy ở ngoặc vuông có nghĩa là lấy đạo hàm theo q’
2
. Gộp
biểu thức (2.3) thế vào (2.2) bây giờ có dạng:
2 '2
2 2 2 2 '2 2 '2
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) 1 ln [ ( )]'
i
N C N
sq
F q f q F q i dq f q
q q q
2 '2 ' 2
2'
22
( ) ([ ] )
1
()
N
N
i f q F q q
dq
q F q
. (2.4)
Bây giờ chúng ta dễ dàng đi xác định biên độ tán xạ góc của các hadron
'2 2 2 ' '2 2
1
( , ) . 2 cos / ( )
2
N
N
N
F q q d F q qq q F q
. (2.5)
biểu thức này có tính chất là:
2
(0, ) 1
N
Fq
. (2.6)
16
Tiếp tục, chúng ta có:
2 '2 ' 2 2 '2
2 ' '2 '
2 2 2
0
( ) ([ ] ) ( )
1 ( , ) 1
()
N
N
N
f q F q q f q
d q dq F q q
q F q q
'
2 '2 '2 2 '2 '2 '2 '2 2 2 '2
0
0
, 1 .ln ln ,
N
N
f q F q q q dq q F q q f q
'
'2 '2 '2 2 2 '2 2 '2
0
ln ( , ) ( ) ( )
N
dq q F q q f q f q
. (2.7)
Sử dụng biểu thức (2.7), thì biểu thức (2.4) trở thành:
2
2 2 2
22
( ) ( )
i
NC
s
F q f q
'2
'
'
2 '2 2 '2 '2 '2 '2 2 2 '2 2 '2
2
00
1 ln . ln ,
N
N
qi
F q i dq f q dq q F q q f q f q
q
2 '2
'
2 2 2 2 '2 2 '2 '2 2
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) 1 ln ( ) ( , )
i
N
N C N
sq
F q f q F q i dq f q F q q
q q q
. (2.8)
So sánh lại với biểu thức (0.1), chúng ta thấy rằng:
'2
'
'2 2 '2 '2 2
'2
0
ln ( ) ( , )
N
qd
dq f q F q q
q dq
. (2.9)
Thực tế là q
2
là nhỏ so với thang đo, là nghịch đảo kích thước nuclon, vì thế
chúng ta có thể tổng quát hóa phép gần đúng
'2 2 '2
( , ) ( ) / (0)
N
NN
F q q F q F
. (2.10)
Từ đó suy ra biểu thức tổng quát cuối cùng của pha
'2
'2 2 '2 '2
'2
0
ln ( ) ( ) / (0)
NN
qd
dq f q F q F
q dq
. (2.11)
2.2. Hệ số dạng khi xung lƣợng truyền rất nhỏ.
Sự tham số hóa chuẩn của biên độ tán xạ hadron ở bậc thấp của q
2
được cho
bởi biểu thức (0.5). Dạng tham số thích hợp của hệ số tương tác điện từ là [2] :
2
2
2 2 2
22
( ) ; 0.71f q GeV
q
(2.12)
17
Hệ số dạng trong gần đúng bậc thấp theo q
2
, ta có thể chọn một dạng công
thức khác
2
2 2 /
()
q
f q e
. (2.13)
Sử dụng (2.13), để cho pha ta thu được :
'2 2 '2
'2
'2 4 / /2
2 '2
0
ln
q Bq
qd
dq e e
q dq
2
'2
2
8
'2 2
2
0
'2
0
1
B
q
dq e K Bq
q
2
2
8
ln ln 1
2
Bq
B
. (2.14)
Nói cách khác, đối với hệ số dạng lưỡng cực, thì pha có dạng :
22
ln
22
Bq B
g
. (2.15)
trong đó:
2 3 2
1
11 2
( ) 1 ( )
2 6 6 3 6
z
z z z z
g z z e E z
. (2.16)
và
()
1
Ez
là biểu thức tích phân [8]:
1
1
()
zt
dt
E z e
t
. (2.17)
Hai kết quả cho pha (2.14) và (2.15) có thể được so sánh bằng cách chọn tham
số B, độ dốc. Với B = 13 GeV
-2
thì hệ số dạng dạng hàm mũ cho biểu thức pha
của (2.14) là
ln / .
2
Bq 2 0 62
, còn hệ số dạng lưỡng cực của (2.15) bằng
ln / .
2
Bq 2 0 60
. Rõ ràng sự khác nhau ở đây là không đáng kể.
So sánh thêm với cách tham số hóa của mô hình Wu – Yang [19] trong tán xạ
đàn tính pp thấy rằng, trong mô hình này tiết diện tán xạ tỉ lệ với lũy thừa bậc 4 của
hệ số tương tác điện từ. Trong mô hình này thì B và
2
liên hệ với nhau bởi hệ thức
2
B8
. Khi đó pha giao thoa tham số mũ của (0.4) bằng:
ln / ln
2
Bq 2 2
,
18
còn pha giao thoa lưỡng cực của (2.15) bằng:
ln / ( ln / )
2
Bq 2 4 363 140
. Số hạng cuối cùng trong ngoặc gần bằng -
0.63, nó không sai khác nhiều lắm so với – ln2 = - 0.69. Tất nhiên trong mô hình
của Wu – Yang cũng không xem xét một cách chính xác, thậm chí cho các mục
đich của họ, vì rằng tham số B phụ thuộc vào xung lượng s chứ không phải là
2
.
Do sự khác nhau giữa biểu thức (2.14) và (2.15) là nhỏ, biểu thức (2.14) đơn
giản hơn thích hợp và tiện lợi cho việc tính toán pha tán xạ
.
19
Chƣơng 3
PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB CẢI BIẾN
Kể thêm hệ số dạng đã làm thay đổi biên tán xạ Coulomb bằng số hạng
()
22
fq
. Thêm vào đó, nó có thể làm thay đổi pha của biên độ tán xạ. Ở phần này
chúng ta không lặp lại cách hiệu chỉnh số hạng gần đúng Born một cách đơn giản
như phần trên nữa mà chúng ta đi hiệu chỉnh biên độ tán xạ bằng cách khai triển
biểu thức biên độ tán xạ (2.1) theo hằng số tương tác
.
3.1. Phép khai triển Born eikonal.
Để xác định các bổ chính cho biểu thức (2.1), ta trở lại mô hình eikonal các
biểu thức (1.2), (1.3) được khai triển theo chuỗi hỗn hợp Born - eikonal:
2 2 . 2 ( )
( ) 1
4
iq b i b
eik
s
F q d be e
i
( 3.1)
2
2.
4
1 2 ( ) 1
42
iq b
b
s
d be i b
i
2 . 2
2 ( ) 2 ( )
4
iq b
s
d be i b b
i
(3.2)
2 2 ' '2 ' 2
( ) ( ) ([ ] )
2
Born Born Born
i
F q d q F q F q q
s
(3.3)
Xét một ví dụ: xét biên độ tán xạ thuần túy chỉ có tương tác Coulomb thì:
2
22
()
Born
s
Fq
q
. (3.4)
Số hạng gần đúng Born bậc hai là:
2 2 '
'2 2 ' 2 2
11
()
2 ( )
i
s d q
s q q q
1
2 2 '
'2 ' 2 2 2
0
1
()
2 [ 2 ]
i
s dx d q
s q qq x xq
1
2
2
2 2 2 2
0
1
2 [ 1 ]
i
s dx p
s p xq x
1
2
2 2 2
0
1
21
i
s dx
s p xq x
20
2 4 2 2
2
2 4 2 2 2 4 2 2
4
1
2ln
2
44
q q q x
i
s
s
q q q x q q q
2
22
( )( )ln
sq
i
q
(3.5)
Với bậc này thì ta có biên độ tán xạ eikonal bằng:
2 2 2
2
( ) 1 ln /
eik
s
F q i q
q
22
ln /
2
iq
s
e
q
. (3.6)
Biểu thức (3.6) hoàn toàn phù hợp với (1.12).
3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm bổ chính của hệ số dạng.
Tiếp theo chúng ta xét trường Coulomb cùng với hệ số dạng (form factor). Để
cho đơn giản chúng ta lấy:
2
2
2 2 2 2
()
Born
sL
Fq
q L q
. (3.7)
Nó đưa đến hiệu chỉnh trạng thái bậc thấp của q
2
nếu chúng ta chọn:
/
22
L4
. Số hạng gần đúng Born bậc hai trong mô hình eikonal có thể được xác
định bằng cách tham số hóa Feynman như chúng ta đã làm ở trên:
2 2 2 2 2 '
'2 2 '2 2 ' 2 ' 2 2
1
( ) ( ) ( ).
2 [ ][ ][( ) ][( ) ]
eik
i
F q sL d q
s q q L q q q q L
1
11
2 2 2 ' '2 2 '2 2
0 0 0
' 2 2 ' 2 2 4
( ) .6{(1 )( ) ( )
2
[( ) ] [( ) ]}
yz
z
i
sL dz dy dx d q x y z q x q L
s
y q q z q q L
(3.8)
Thay thế:
()p q y z q
và tiến hành lấy tích phân theo
p
, chúng ta tìm
được:
1
11
2 2 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) .
2
yz
z
eik
i
F q sL dz dy dx dp
s
21
2 2 2 2 4
.6 { (1 ) ( ) 1 }p x z x z L q y z y z
1
11
2 2 2 2 2 2 2 2 3
0 0 0
( ) ( ) .2{ [( ) ( ) ] (1 ) ( )}
2
yz
z
eik
i
F q sL dz dy dx q y z y z x z x z
s
(3.9)
Dễ dàng lấy tích phân theo x:
11
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22
00
1
( ) ( ) .{[ ([ ] [ ] ) (1 )]
2
z
eik
i
F q sL dz dy q y z y z y L y
sL
2 2 2 2 2
[ ([ ] [ ] ) (1 ) ] }q y z y z z L z
. (3.10)
Như vậy chúng ta định nghĩa:
11
2 2 2 2 2 2 2 2
22
00
1
( , , ) .{[ [( ) ( ) ] (1 )}
z
I q L dz dy q y z y z y L y
L
. (3.11)
thì:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) [ ( , , ) ( , , )]
2
eik
i
F q sL I q L I q L
s
. (3.12)
Trong biểu thức (3.11), đặt t = y + z thì
11
2 2 2 2 2 2 2 2
22
00
1
2 2 2 1 2 2 2 2 1
22
0
1
( , , ) .{ [ (1 )} ]
1
{[ ( ) ] [ ( ) (1 )]
I q L dt dy q t t y L y
L
dt q t t L q t t t L t
L
(3.13)
Định nghĩa:
1
2 2 2 2 2 2 2 1
0
( , , ) [ ( ) (1 )]J q L dt q t t t L t
. (3.14)
chúng ta có hệ thức liên quan:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
( , , ) [ ( , , ) ( , , )]
()
I q L J q L J q L L
L
. (3.15)
Và:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
( ) ( ) [ ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )]
2 ( )
eik
i
F q sL J q L J q L J q J q L L
sL
.(3.16)
Dễ dàng xác định được
2 2 2
( , , )J q L
. Kết quả là:
22
1
2 2 2
2 2 2 2
0
1
( , , )
1
J q L dt
q t t t L t
1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
0
1 1 [ ( , , ) ] ( )
.ln
( , , ) [ ( , , ) ] ( )
S q L q L
dt
S q L S q L q L
q t q L t L
.(3.17)
Với :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( , , ) ( ) 4 ( , , )S q L q L L q S q L
. (3.18)
Đặc biệt :
2 2 2 2 2 2
( , , ) ( , , )J q L J q L
. Luôn nhớ rằng
L
nên :
22
2 2 2 2 2 2
22
( , , )
qL
S q L q L
qL
. (3.19)
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 ( )
( , , ) ln
qL
J q L
q L L
. (3.20)
Nói cách khác :
2
4 2 2 2
222
22
4 2 2
4
2
( , , ) ln
4
4
q q L q
J q L L
Lq
q q L
. (3.21)
2
222
22
2
( , , ) ln
q
Jq
q
. (3.22)
Chúng ta quan tâm đến pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến trong vùng q
2
rất nhỏ so với L
2
. Như vậy chúng ta có phép gần đúng sau:
22
2 2 2
2 2 2 2 2
11
( , , ) ln ln
qL
J q L
q L L q
. (3.23)
222
2
1
( , , )J q L L
L
. (3.24)
2
222
22
2
( , , ) ln
q
Jq
q
. (3.25)
Chúng ta tìm được:
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
( , , ) ( , , ) ( , , ) ln ln
()
2
L q q L q
J q L J q J q L L
q L q L q
L
.(3.26)
Sử dụng (3.16) và công thêm số hạng Born chúng ta có gần đúng eikonal bậc
hai theo
:
23
2
2 2 2 2 2
(1) (2) 2
2 2 2 2 2 2
( ) 1 ln ln
2
eik
s L q L q
F q i
q L q q L q
L
. (3.27)
Như vậy thì thêm vào biểu thức pha Coulomb (1.12) còn có thêm một số hạng
pha
v
mới, nó sẽ không xuất hiện trong hạt điểm:
2 2 2
22
ln
2
q L q
L q L
. (3.28)
Kết quả cuối cùng cho pha tán xạ là:
2 2 2 2
2 2 2 2
8 4 2
ln ln 1 ln
24
TOT
Bq q q
Bq
(3.30)
thu được từ biểu thức (2.14) và (3.28), với chú ý là
/
22
L4
. Pha của tán xạ như là
một hàm của q
2
(hình 1). Vấn đề quan trọng là suy ra kết quả của West – Yennie,
(2.14), (2.15) từ biên độ tán xạ Coulomb nhờ có các hệ số ảnh hưởng lên pha (3.28).
Sự đóng góp của
v
vào pha tán xạ được biểu diễn trên hình 2.
Mặc dù có sự khá khác nhau về cấu trúc, nhưng chúng ta cũng đã suy lại được
kết quả cơ bản của West – Yennie (0.7) và (1.18). Các cách tiếp cận này là khác
Hình 2: Đồ thị mô tả sự đóng góp của v (q
2
) vào pha tán xạ
toàn phần
TOT
v
. Hàm v (q
2
) thu được từ sự ảnh
hưởng của thừa số dạng vào pha của tương tác điện từ.
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
q
2
GeV
2
Hình 1: Đồ thị của pha tán xạ toàn phần,
TOT
, theo q
2
(GeV
2
) với giá trị B = 13 GeV
-2
và
.
22
0 71 GeV
.
Đường đậm biểu diễn kết quả đầy đủ pha tán xạ theo (3.30)
Đường gạch biểu diễn pha tán xạ không có đóng góp của
thức số dạng vào biên độ tán xạ Coulomb, tức là không tính
đến đóng góp của biểu thức (71)
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
q
2
GeV
2
Hình 1: Đồ thị của tán xạ toàn phần,
TOT
,
theo q
2
(GeV
2
) với giá trị B=13GeV
2
và
2
=
0,71 GeV
2
. Đường đậm biểu diễn đầy đủ pha
tán xạ theo (3.30). Đường gạch biểu diễn pha
tán xạ không có đóng góp của hệ số dạng vào
biên độ tán xạ Coulomb.
Hình 2: Đồ thị mô tả sự đóng góp của
2
q
vào
pha tán xạ toàn phần
TOT
hàm
2
q
thu
được từ sự ảnh hưởng của thừa số dạng vào pha
tương tác điện từ.
24
nhau về mặt kỹ thuật nhưng về tinh thần cơ bản thì là giống nhau, chúng đều bỏ quả
cùng một vài đóng góp vào biên độ tán xạ không cần thiết, những đóng góp này
hoàn toàn không làm thay đổi đến tính chất của biên độ tán xạ. Đặc biệt trong cách
tính này của chúng ta còn thỏa mãn thêm các tính chất của nhiễu xạ các nuclon ảnh
hưởng đến quá trình tán xạ, chứ không đơn thuần chỉ là tán xạ đàn tính. Về kết quả,
chúng tôi không đồng ý với kết luận của West và Yennie rằng có sự không chắc
chắn về mặt lý thuyết trong kết quả này. Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn có thể yên
tâm khi nhìn vào các kết quả này, như pha của biên độ tán xạ Coulomb với hệ số
dạng là không lớn.
Việc xét thêm sự ảnh hưởng của thừa số dạng của tương tác điện từ vào biên
độ tán xạ có tính thuyết phục hơn so với kết quả của West – Yennie. Nó dẫn đến kết
quả đặc biệt ngắn gọn (3.30). Trái với những kết quả hiệu chỉnh trước đó cho biên
độ tán xạ sẽ thu được kết quả rất nhỏ.
25
KẾT LUẬN
Trong Luận văn Thạc sỹ khoa học này, chúng tôi sử dụng mô hình eikonal để
phân tích giao thoa Coulomb cho bài toán tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân một
cách hệ thống với những giả thuyết : i/ Pha eikonal được tính qua biên độ tán xạ
trong gần đúng Born. ii/ Kể thêm cấu trúc của hạt- hệ số dạng điện từ của hạt trong
sơ đồ tính toán của ta trong gần đúng bỏ qua spin của hạt.
Những kết quả chủ yếu của Luận văn bao gồm :
1/ Thu được biểu thức cho biên độ tán xạ cho hạt tham gia cùng một lúc vào
hai loại là tương tác Coulomb và tương tác mạnh trong mô hình eikonal.
2/ Kể thêm hệ số dạng điện từ, ta thu được biểu thức cho pha
(
22
ln
22
Bq B
g
). Các ảnh hưởng của hệ số dạng điện từ đến biên độ
tán xạ và pha được xem xét một cách hệ thống, kết quả ta thu được biểu thức tổng
quát cho pha tán xạ
. Biểu thức này là tổng quát hóa của công thức West –
Yennie nhưng có nhiều ý nghĩ vật lý lý thú hơn.
3/ Cuối cùng là sự ảnh hưởng của các hệ số dạng trong biên độ tán xạ
Coulomb đã được tính toán cẩn thận nhờ khai triển theo chuỗi Born của biên độ tán
xạ eikonal. Sự đóng góp của các hệ số này làm cho pha tương đối
có bậc là
( ) log( )
22
qR qR
, với R là bán kính tương tác của các hadron.
4/ Các kết quả thu được này tương đương với các kết quả cơ bản của West –
Yennie. Trong cách tính này được đề cập của luận văn còn thỏa mãn thêm các tính
chất của nhiễu xạ các nuclon ảnh hưởng đến quá trình tán xạ, chứ không đơn thuần
chỉ là tán xạ đàn tính. Khi xét thêm sự ảnh hưởng của tương tác điện từ vào biên độ
tán xạ đã cho được kết quả có tính thuyết phục hơn so với của West – Yennie.
Các kết quả thu được có thể mở rộng nghiên cứu giao thoa Coulomb cho bài
toán tán xạ có tính thêm spin, hay tính số các công thức để so sánh với các số liệu
thực nghiệm thu được từ Liên hợp quốc. Mục tiêu này sẽ được phát triển tiếp theo
cho các nghiên cứu sắp tới.
