Các phương pháp lí thuyết nghiên cứu về khuếch tán trong tinh thể rắn

I HM HÀ NI 2













KHÓA LUN TT NGHII HC











HÀ NI, 2014

LI CM 

Trong thi gian hoàn thành khóa lun tt nghic
s  ca các thy, cô giáo trong T Vt lí lí thuyt, Ban ch nhim
Khoa Vt lý n tình ging dy tu kin giúp tôi hoàn thành khóa hc
u ý kin quý báu trong thi gian nghiên cu khóa lun.
c bit tôi xin bày t lòng bic ti TS. Phan Th Thanh Hng
 tu ý kin quý báu trong
thi gian nghiên cu khóa lun.
Tôi xin chân thành c
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên thc hin

Bùi Th Hng Nhung




L

Khóa lun tt nghi thuyt nghiên cu v khuch
tán trong tinh th ri s ng dn tn tình, nghiêm
khc ca ging viên, Tin  Thanh Hng.
 tài này là kt qu nghiên cu ca tôi và không trùng
vi bt k kt qu nghiên cu ca tác gi nào khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh Viên

Bùi Th Hng Nhung

















MC LC
M U 1
1. Lí do ch tài 1
2. Mu 2
ng và phm vi nghiên cu 2
u 2
c và thc tin ca khóa lun 2
6. B cc ca khóa lun 2
NG KHUCH TÁN TRONG TINH TH RN 3
1.1. Hing khuch tán 3
1.1.1. Hing khuch tán 3
1 khuch tán 4

1.1.2.1. Khái nim v khuch tán 4
1 khuch tán 4
1.2. Các nghiên cu v khuch tán trong tinh th rn 6
T NGHIÊN CU V HIN
NG KHUCH TÁN TRONG TINH TH RN 9
2.1. Lí thuyt thng kê c n 9
2.2. Lí thuyt t phn ng 10
2.3. Lí thuyng lc hc 13
2.4 initio 16
2.4.1. Lí thuyt hàm m 16
2.4.2. Các ng dng ca lí thuyt hàm m 21
2.5 25
2.6ng kê mômen 27
2.6.1. Các công thc tng quát v mômen 28


2.6.2. Công thc tng t do 32
Kt lun 34
Tài liu tham kho 35

1

M U

1. Lí do ch tài
Khuch tán là mn và ph bin ca t nhiên, nó có
mt trong mc ca cuc sng và nó xy ra trong tt c ng
vt chng cht khí, cht lng, cht rng vt, thc
vì vy, nghiên c hiu các quá trình khuch tán chính
là nghiên cu các quy lun ca t nhiên. Nó góp phn làm cho con
i hiu rõ v các quá trình vng vt cht trong t nhiên nht là trong
th ging khuch tán trong t nhiên nói chung và
khuch tán trong tinh th rc s quan tâm
c bit ca các nhà nghiên cu lí thuyc nghim.
T u th k u rt mnh các dng khác
nhau ca tinh th rn: Bán dn, kim loi, h to ra nhng vt liu
mi phc v cuc sng cu c
v lí thuyt ln thc nghim v s khuch tán trong tinh th rc bit là s
khuch tán trong bán dn, kim loi, hp kc chính
ng khuch tán là mu ri phi có các trang
thit b him. V mt lí thuyt
có nhi c s d nghiên cu v khu
t ch kinh
nghi         
c thành công nh
t nào thc s hoàn ho, các tính toán còn b hn ch và
các kt qu s  i giá tr thc nghim.

Vì vy, vic tìm hic s d nghiên
cu v khuch tán trong tinh th rn là v c.
2

Vi tt c nha ch tài: 
pháp lí thuyt nghiên cu v khuch tán trong tinh th rn
2. Mu
Tìm hic s d nghiên cu v
hing khuch tán trong tinh th rn.
3. ng và phm vi nghiên cu
Là ni dung ct nghiên cu v khuch tán
trong tinh th rn, t  - m ca t
4. u
c các tài liu vit v thuyt nghiên cu v
hing khuch tán trong tinh th r - c
m ca t
5. c và thc tin ca khóa lun
c thy  - m ca m
pháp lí thuyt và phm vi áp dng ca m
6. B cc ca khóa lun
Khóa lun 
: Hing khuch tán trong tinh th rn.
 2:     t nghiên cu v hi ng
khuch tán trong tinh th rn.

3


HIN NG KHUCH TÁN TRONG TINH TH RN

1.1. Hing khuch tán
1.1.1. Hing khuch tán
Hi ng khuch tán ca các nguyên t trong tinh th rn là mt
trong nhng v  quan tr  c rt nhiu nhà khoa hc quan tâm
nghiên cu. Lí thuyt khuch tán xut hic mô t
nh lut Fic. Tin là thc nghim v hing khuch tán c n
c Roberts và Austin tin hành l       n khi
i ta bu ng dng v phóng x thì vic nghiên cu hing
khuch tán thc s phát trin mnh m. Hàng lo
cu mi:
+ .
+ n t u.
+ ng t ht nhân, cng gamma ht nhân,
tán x noron nhi
+ t cht
c bic áp dng rt ph bi nghiên
cu các tính cht nhing ca vt rn ng khuch tán ca
kim loi, hp kim, các cht bán dn, chnh hình
Các nghiên cu c v lí thuyt ln thc nghi  a nhn hin
ng khunh lut Agrenhius:

0
exp
B

Q
DD
kT





(1.1)


là tha s có d
Q lng kích hot, ph thuc rt ít vào nhi.


là hng s Boltzmann.
4

V   h, khi nghiên cu hi ng khuch tán dnh lut
Agrenhius phù hp trong mt khong nhi  uy nhiên, vi các
c hin  vùng nhi cao hoc trong mt khong hp ca nhit
 cao thì dn kt qu sai lch vnh lut Agrenhius. Vi nhiu khó
c tp v mt lí thuyt mi ch c gii quyt
trn vn, cht ch. Vì vy, v này cu và phát
trin hoàn thin khi nghiên
cu v hing khuch tán nói chung và hing khuch tán trong tinh
th rn nói riêng.
1.1.2.  khuch tán
1.1.2.1. Khái nim v khuch tán
Theo tài liu [5] khuch tán là mt quá trình di chuyn ngu nhiên ca

mt hay mt s loi nguyên t vt chng vt cht
khác (gi là vt cht gc) i tác dng cu kit
, áp sut, n - t ng và n tp ch
Nu chính các nguyên t vt cht cng gc khuch tán trong
ng vt chc gi là s t khuch tán (self-diffusion).
1.1.2.2.  khuch tán
 khuch tán nói chung bao gm c quá trình khuch tán và t
khuch tán.  khuch tán là cách thc di chuyn ca các nguyên t bên
trong mng tinh th.    i ta v  t rõ v quá trình
khua các nguyên t vi nhau trong quá trình khuch
tán. Tuy nhiên, có m u chc chn là các nguyên t trong quá trình
khuch tán nhy t v trí này sang v trí kia trong mng tinh th. S dch
chuyn ca các nguyên t có th thc hin bng cách dn dn lp vào ch
trng trong mng tinh th. S dch chuyn này có tính chn lc, 
các nguyên t ng dch chuyng có ng sut tip tuyn
5

ln nht. Khi nhi  ng nhit, nguyên t di khi v trí cân
bn mt v trí cân bng mi. S dch chuyn ca các nguyên t
trong tinh th rn có th chia làm hai c ch ch yu:
  xen k.

 khuch tán xen k
 khuch tán này xy ra vi các hp cht ca các loi nguyên t
c khác nhau. Các nguyên t  i tác dng
ca nhi và ng sut có th dch chuyn t l trng này sang l trng khác
trong mng tinh th. i ta có th khnh rng, các tp
cht có bán kính nh      gc thì có kh  n là
khu ch xen k.
  thay th

 khuch tán thay th
  này xy ra vi mi loi vt liu.  ng các tinh th
trong thc t là không lí ng. Trong mng s xut hin nhng nút khuyt
6

(Vi tác dng ca nhi và ng sut các nguyên t u có th
dch chuyn bng cách thay th. Nu trên mng n  nút khuyt
(Vacancy) càng ln thì quá trình khu này càng cao. Khi
nhi i tác dng ca ng sut ba chiu, các nguyên
t s khuch tán mng sut ln nht. S chuyn dnh
ng không thun nghch ca các nguyên t   bin dng phi
tuyn vt th.
 trên thì các nguyên t trong tinh th rn còn có th
khu sau:





a) C phc hi  ng  hn hp




 i trc ti i vòng  ch kéo cm li

1.2. Các nghiên cu v khuch tán trong tinh th rn
Có th nói, lí thuyt khuch tán bi sau khi các kt qu ca
A. c công b  Fick coi quá trình khuch tán gi
quá trình truyn nhit trong cht rn và t nh lut v
khuch tán gnh lut Fick I nh lut Fick II 
7

nh lut Fick I: M dòng khuch tán t l thun vi gradien nng


C
JD
x




(1.2)
T (1.1) suy ra th nguyên ca h s khuch tán D là cm
2
/s. D _
biu th s khuch tán theo chiu gim dn ca n.
nh lut Fick II: T i n cht khuch tán t l thun
vo hàm bc hai ca n theo t không gian:

2
2
C J C
D
t x x

  
  
  
(1.3)
nh lut Fick I nh lut Fick II ch mô t quá trình khuch tán trên
 hin ng lun. Chính vì th lí thuyt khuch tán mô t bnh
lut Fick là lí thuyt khun. Trong mng hc bit
vu ki, có th gi tìm phân b n
tp cht.
Các nghiên cu c v mt lí thuyt và thc nghim sau này  a
nhn rng rãi rng, s ph thuc nhi ca h s khuc mô t
bnh lut Arr

0
exp
i
B
Q
DD
kT




(1.4)
T: Q ng kích hot ca h (nó bao gng hình
thành và dch chuyn ca nguyên t trong mng tinh th), D
0
là h s c
hàm s  thuc vào tính cht ca h  


là hng s Boltzmann,
T là nhi tuyi và 

là h s khuch tán thun không ph thuc vào
n.
Khi khuch tán vi n pha tp cao, h s khu là
D ch không phi
i
D
.  n tp cht cao, giá tr
0
D
c gi thit là
8

không ph thuc vào n tp cht. Gi thit này có th chp nhc vì
0
D
t l vi tích ca tn s ng mng cách gia
hai nguyên t gc mà nhng này li bii rt ít. Nhi
này ng liên kt gia nguyên t tp và nguyên t gc b yu
 co dãn m làm cho hàng rào th n dng không
còn bii tu lí luy,
 gim ng kích hot hiu dng (

Q)
bng hiu cng kích hong (khi n pha tp thp) và
ng kích hot khi n pha tp caou thc
vit l

exp
i
B
Q
DD
kT





(1.5)
Trong khóa lun này, chúng tôi ch  cn s khuch tán bên trong
ca tinh th rn vi n tp cht rt nh, c
34
10 10


% so vi n
nguyên t gc. Vì vy, các tính cht cu kin cân bng
ca h có th i và h s khuch tán D không ph
thuc vào n tp cht bng
nhi s nh luc mô t 
Có rt nhi v lí thuyt ln thc nghic s
d ng kích hot Q, h s khuch tán D. V lí thuyt
có: Lí thuyt thng kê c n, lí thuyt t phn ng, lí thuyng lc
h          áp ab initio,
phc bing kê
mômen. Ni dung m ca các lí thuy

a khóa lun.

9

C
CÁC  LÍ THUYT NGHIÊN CU V HING
KHUCH TÁN TRONG TINH TH RN

2.1. Lí thuyt thng kê c n [2, 4]
Mô hình: Einstein coi tt c các mng tinh th t tp hp các
ng t u hòa vi cùng tn s

.

0
1
,
2
k
m



(2.1)
Trong  k là hng s lc, 

là khng nguyên t.
Gi thing t u hòa tuân theo thng kê Boltzmann.
 hng l cao hàng rào th E là:

exp
B
E
kT





(2.2)
Theo mô hình Einstein thì trung bình ca quá trình dch chuyn t m


m 

trong m thi gian (chính là tn s nhy khui)
bng tích ca tn s ng và xác sut qua hàng rào th:

exp
B
E
kT


  


(2.3)
Trong : ng kích hot, ph thuc rt ít vào nhi.
 là s c nhy ca các nguyên t trong mv

thi gian.
Vy:
2
.g.aD 
(2.4)
g là tha s cu trúc, ph thuc vào cu trúc ca mng tinh th.
a  c nhy.
10


2
exp
B
E
D g a
kT





(2.5)
2
0
D g a


tha s có d
Nhận xét:
Thành công của lí thuyết: Tc biu thc tính h s khui

D, h s
0
.D

Hạn chế của lí thuyết: Mô hình Einstein da vào phép gu
hòa. ng ca các nguyên t là mt tp hng t u hòa
c lp cùng mt tn s. Tuy nhiên khi nguyên t thc hi c nhy
khu dch chuyn ca nó pht giá tr so sánh c vi
chu kì mng ca các nguyên t không th 
iu hòa.
Mt khác theo mô hình hàng rào th t tha s kinh
nghim. Lí thuyt không cho chúng ta m  nh nó. a
mi quan h ging kích hot E ng vt lí khác không th
c trong mô hình này.
2.2. Lí thuyt t phn ng [2, 4]
Mô hình: Theo lí thuyt này mt phn ng hóa hc hay mt quá trình
n ra theo thi gian là quá trình bii t trn
trng thái cui trong s i liên tc ca các t ng.
n nht áp dng cho s dch chuyn ca các nguyên t
c Vert và Zinher nêu lên lu tiên.
Coi nguyên t có 3 bc t ng trong tru (

),
trng thái cui (

) còn trong trng t 
có hai bc t do. S i th  xy ra dong dch
chuyn.
11

Mt khác li coi các nguyên t trong mc lp vi nhau mà
i nhau.   thuc vào t ca nguyên t và
hàm có dng:
(x,y,z,

)
y, theo lí thuyt này thì tn s c nhc tính theo công
thc:

exp exp
mm
BB
SH
k k T

   
   
   
   
(2.6)
Theo công thc này thì ta thy tn s c nhy không ch ph thuc
ng kích hot mà còn ph thung t do to ra s
dch chuyn ca ht.
Hiu qu  lí thuyt v các tra
  mô hình nguyên t cô lp bng phép gn
a h nhiu ht và áp dng kê cân bng.
Gi s trong tinh th có N bc t do ca mt tp hp gm n nguyên t,
nguyên t thc hic nhy làm nhin tp h. Nng
ca mng
11

n


, thì hàm phân b ca bc t do th i ca chuyn
c vii dng:

 
1
1
1 1 1
1
0
exp exp 1 exp
n
B B B
n
P
k T k T k T
  



     
    

     
     


(2.7)

Vì các dao c lp nên ta có:

   
1
1
N
N
i
i
PP



(2.8)
i vi trng thái bn vng thì:

 
1
1
1
1 exp
N
N
i
B
P
kT






  





(2.9)
12

i vi trn s ng mi


sao
cho:

 
1
*
1
1
3
1
1 exp
N
N
i
B
P

kT






  





(2.10)
Vy:

1
*
1
1
1
1 exp
exp
1 exp
B
B
B
B
kT
k T E

kT
kT












  











(2.11)
 nhi cao ta tính g:

*

1
1
exp
B
B
B
B
kT
k T E
kT
kT






  







(2.12)
Hay

**
exp

B
B
k T E
kT


  


(2.13)
Theo  i v ng hp này tn s c  c nhy ca
nguyên t  cnh vacancy có th vit là:

 
 
*1
3
1
exp
N
B
N
B
P k T E
kT
P


  



(2.14)
T


là hàm phân b ca h  tru vi N bc t do.



là hàm phân b ca h  trng thái trung gian vi (N-1) bc
t do ca chuyng.
Mt bc t ng i bi bc tnh tin dng
dch chuyn sao cho:
13


   
*1NN
ll
P P P


(2.15)
Du (*) chng t rng các mng trong trng thái bn vng và trng
thái kích thích là khác nhau.

*
exp
B
E

PP
kT




(2.16)
Trong biu thc (2.16) E là hing ca nguyên t trong trng
ng  trng thái kích thích.
 nhi cao các tác gi c nhiu kt qu:

**
exp
B
E
kT

   


(2.17)
T
**
1
*
1
N
i
i
N

i
i








Công thc (2.17) cho thy tn s cc nh
i nhi, ng kích hot bng hiu th a h trong
trng thái kích thích và tru.
Nhận xét: P phn c tn s
c nhy khuch tán ph thuc vào nhi mn, d hiu.
Tuy nhiên, n ch  cn tính cht
u hòa cng mu ng t, hiu 
quan. Khi k n hiu nh lut Agrenhius b vi phm.
2.3. Lí thuyng lc hc [2, 4]
Mô hình: Coi s dch chuyn ca mi nguyên t khi v trí bn vng
t tp hp s rt ln ng chuc lp. Vì vy mi
ng chun thc hin có s tham gia ca tt c các nguyên t ca mng
c nhy khuc thc hin mang tính tp th.
14

 dch chuyn trung bình ca nguyên t th i theo tt c ng
chun s khác không nu nguyên t bên cnh là nút khuyt (vacancy). Nh
ng kê áp dng vi các t chun 
c xác su nguyên t nhng cho phép thc hic nhy.
 dch chuyn (


) ca nguyên t th i t v trí nh (trong phép
gu hòa) bng:

 
1
cos2
ik k k k
k
xt
    


(2.18)
Vi 

,


và 

ng, tn s  lch pha ca mng th k,


là tha s nhân và 




 dch chuyn ca nguyên t th i

tác dng ca mt nguyên t th k. Trong mô hình này, na h bng:

k
k
U



(2.19)
Bc nhy ca nguyên t c thc hin vu kin là:
*  dt giá tr ti hn.
* Nguyên t bên cnh là vacancy.
Ký hiu bin c (1) là 
1
, bin c 2 là 

. Do vy tn s trung bình ca
c nhy là:





(2.20)


2
2
1
1

exp
ik k
k
q









(2.21)
và

22
2
22
ik k k
k
ik
k
  





(2.22)

Vi
2

là tn s  trung bình cng chun.
15

 nhi cao, ng trung bình ca mng bng 

T nên
(2.21) có th vii dng :

0
1
exp
B
E
kT





(2.23)
Tng quát:

 
 
 
 
 

 
12
1 2 1
11
, , , ,
nn
n
n j kl k
jk
P x x x P x g x x



(2.24)
i giá tr xác sut 

ng vi mt nguyên t bt kì v chính
n mt hng s, có th vii dng:

 
 
1
1
1
exp
B
E
Px
kT





(2.25)
vi
2
2
j
j
jk
k
q
E



(2.26)
 tính tn s c nhy cp, lí thuyt
không th xây dng biu thi vp mng
minh. i d
gin:

 
2
2
exp
kl
kl
B
G

g
kT




(2.27)
Vy

2
0
exp exp
j
kl
j k l
BB
E
E
g
k T k T


   
   
   
   

(2.28)
Nu k n (2.23) thì:

2
0
exp
j kl
j k l
B
E E g
kT





  




(2.29)
16

Nhận xét: Png lc hc tn s ca
c nhng kích hot to nên c nhy khuch tán.
Tuy nhiên,  v ng ca hiu ng
u hòa cng mng cng  cp.
y, bt nhiu
công trình nghiên cu v khuch tán ca nguyên t trong tinh th rn. Tuy
 các nghiên cu lí thuyt mi ch n biu thc gii tích
cng kích ho cn vinh h s c


0
D
. Mt khác, các nghiên cu lí thuy
n nên còn rt nhiu hn ch. Ngày nay, khi nghiên cu khuch tán trong
tinh th rng s d
           ng kê
mô
2.4. Cab - initio
2.4.1. Lí thuyt hàm m [1]
ab initio c s dng trong các tính toán động lực
học phân tử (MD) ca cht rn cho phép tính chính xác và linh hot nht các
lc tác dng lên các nguyên t trong h mô hình, các tính chn t và dao
ng ca mô hình. Mt s ln các tính toán ab initio d lí thuyết
hàm mật độ. Vì vy, c ht chúng tôi xin trình bày ni dung ca lí thuyt
hàm m (DFT).
Nói chung, vinh chính xác các lc nguyên t và bn cht ca
liên kt hóa hc trong h i mi vi cn
t ca nó.  n giSchrodinger i vi h
nhiu ht sau

   
 
   
 
,,
MB i MB i
H r R E r R

  
(2.30)

17

T

là mt hàm sóng nhiu ht thc ca h (có s i xng chính
xác), 

ng riêng,
 
i
r
và
 
R

ng là các h t n
t và ion, các ch s i và   tt c n t và ion. Hàm
Hamilton ca h có dng :
22
, , ,
1 1 1
2 2 2 2
i
MB
i i j i
i
i j i
Z Z Z
PP
H

Mm
r r r R R R

  
      

    
  
    
(2.31)
T

và 

n tích và khng ca ion th ,
P

và
i
P

ng là các toán t ng ca ion th  n t th i.
Rõ ràng vic git cht ru
 Cn nhi làm cho bài toán này có th gii
c. u tiên tách riêng chuyn t và chuyn
ng ion là phép g - Openheimer

 
 
2

MB
P
H E R
M






(2.32)

 
 
 
 
 
 
 
 
2
,
2
MB i i
RR
P
H r E R r
M








   



(2.33)
 
 
 
ER

ng trn ca h mn t vi các
t nh
 
R

và
 
 
 
i
R
r


là hàm sóng ca h nhiu ht (nó

cn phi là hàm phi xng).
Các lc nguyên t  c bng cách lo hàm riêng ca
 
 
ER


 
 
v
ER
F
R





(2.34)
18

N  
 
 
ER

ti
mc phc tp hin t n là cách tip cn lí thuyết
trường trung bình khi s dng nguyên lí thuyt hàm m   
pháp hàm m d định lí Hohenberg - Kohn bao gm các ni


ng tng cng ca mt h gn t 
c biu dit hàm ch ph thuc vào m n t

 
 
 
2
22
,
N
e
e
eN
R
r N r r r dr dr




,
T
e
N

là s n t trong hó
 
EE



và ta có th chuyn bài
toán nhin t thành bài toán mn t.
(2) M n t trn
 
gs
r

làm cc tiu phim hàm
 
E

:

   
gs
E r E r

   

   

 ng
 
gs
Er



biu din ph   n t   ng
tng cng ca h

 
 
ER

:

 
 
 
1
2
gs
ZZ
E R E r
RR


  






(2.35)
y, thay vì giu ht th tìm
 
 
ER


, ta
ch cn tìm mt cc tiu ca phim hàm
 
E

. n
hóa này là  ch ta thc s không bit dng chính xác ca phim hàm
 
E

.
Tuy nhiên, bài toán này có th gi c bng cách áp dp

19

    g pháp này, phim    n t
 
Er



c tách thành bn phn:

         
e ion H xc
E T E E E
    
   
(2.36)
T :

 
e
T

     n t,
 
ion
E


là  ng ca
n t - ion
 
   
ion ion
E V r r dr



,
 
ion
Z
Vr
rR






(2.37)
 
H
E


là năng lượng của tương tác điện tử - điện tử Hartree cổ điển

 
   
1
2
HH
E V r r dr



,
 


,
,
H
r
V r dr
rr





(2.38)
 
H
Vr
là thế Hartree và s hng cui cùng
XC
E
là s hn các hiu
n t t. Ta có th vit mt biu thc
hình thi vi mt thế tương quan – trao đổi khi s do hàm phim
hàm
 
 
 
xc
xc
E
Vr
r



(2.39)
n t
 
e
T

mt cách trc tip t

m n t
 
r

,  ngh  xut s dng các
qu o mt nguyên t
 
i
r

(các quỹ đạo Kohn - Sham  
 
r

và
 
e
T


có dng:

   
2
2
1
2
e
N
i

i
rr





20

   
2
2
1
1
2
2
e
N
e i i
i
T r r
m



    


(2.40)
Bây gi có th áp dng nguyên lí biến phân 

t c mt h i vi các qu o Kohn  Sham
       
 
     
22
11
22
ion H xc i i i i
V r V r V r r V r r r
mm


   
            
   
   

(2.41)
T:


là trị riêng Kohn – Sham i vi qu o
 
i
r

và
 
 
Vr


là th
t l thuc vào m n t
 
r

).
 
   
 
 
 
,
xc
ion
r
E
V r V r dr
r
rr




  


(2.42)
V  duy nht còn tn t     n t loi
  n (2.   t th    i

 
 
 
XC XC
V r E r
  

. Nu bit phim hàm
 
XC
E

-
Sham s cho giá tr chính xác cng trn
 
 
ER

và
nh  c các lc nguyên t. Không may là ta không bit dng
ca
 
XC
E


n tin hành mt phép gn i vi nó. Mt phép
gi vi di là phép gần đúng mật độ địa
phương
 

XC
E

c gi nh là hi chm mt
cách hp lí ca 
 
 
 
LDA
xc xc
E r dr
   


(2.43)
T:
 
XC

là m i cn t ng nht có
m n t .