Tích phân từng phần Hướng dẫn giải và bài tập

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

1













(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2013)

Giáo viên giảng dạy: Nguyễn Thành Long

“ Phương pháp là thầy của các thầy “






Bỉm sơn. 13.02.2014

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

2

MỤC LỤC


LÝ TUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN……………………………………………………………….1

MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ………………………………………………………………………………….8

Dạng 1……………………………………………………………………………………………………….8

Loại 1: ………………………………………………………………………………………………………9

Loại 2: …………………………………………………………………………………………………… 11

Loại 3: …………………………………………………………………………………………………… 17

Loại 4: …………………………………………………………………………………………………… 22

Loại 5: …………………………………………………………………………………………………… 31

Dạng 2: …………………………………………………………………………………………………….32

Dạng 3: …………………………………………………………………………………………………….37

Dạng 4: …………………………………………………………………………………………………….39

Dạng 5: …………………………………………………………………………………………………….41




CON DU LON VAN LA CON CUA ME

DI KHAP PHUONG TROI LONG ME VAN
THEO CON







Giỏo viờn: Nguyn Thnh Long Email:

3

PHNG PHP TCH PHN TNG PHN

I. Cụng thc tớch phõn tng phn:

Cho hai hm s
( ), ( )
u x v x
liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú

' '
' ' ' '
uv u v uv uv dx u vdx uv dx


( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d uv vdu udv



b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu


.
Ta cú cụng thc:

1
b b
b

a
a a
udv uv vdu


Cụng thc (1) cũn c vit di dng:

' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
b b b
b
a
a a a
f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx



II. Phng phỏp gii toỏn:
Bi toỏn: S dng CT.TPTP xỏc nh: I =

b
a
dxxf .)(
Phng phỏp chung:
Cỏch 1:
Bc 1: Bin i TP v dng: I =

b
a
dxxf .)(

=

b
a
dxxfxf .)().(
21

Bc 2: t:


1
1
2
2
( ) '
( )
( )
( )
du f x dx
u f x
dv f x dx
v f x dx

(tớnh ủaùo haứm)
(tớnh nguyeõn haứm cho C= 0)

Bc 3: Khi ú: I =


b
a
b
a
b
a
vduuvudv . (cụng thc (1))
Chỳ ý:
Vic t
( ), ( )
u f x dv g x dx

(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
( )
v x
v vi phõn
'
( )
du u x dx

khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu

phi n gin hn tớch phõn
b
a
udv


Cỏch 2:
Phõn tớch
'
1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x f x dx f x f x dx


v s dng trc tip cụng thc (2)

- Nhn dng: s dng tớch phõn tng phn thỡ du hiu thng gp ú chớnh l tớch ca hai loi
hm s khỏc nhau (ụi khi l tớch ca cựng mt loi hm)
- í ngha: Phng phỏp TPTP nhm a tớch phõn phc tp v tớch phõn n gin hoc kh bt
hm s di du tớch phõn (cui cựng ch cũn li 1 loi hm s di du tớch phõn)
- Cỏch t hp lý: nh nhanh cỏc dng ny ta khi t cho
u

theo quy tc


ln sin
x
x x x e


c l Nht lụ (hm logarit gm
ln
x
hoc
log
a
x
), nhỡ a (hm a thc


1
1 1 0

n n
n n
P x a x a x a x a



), tam lng (hm lng giỏc gm
sin
x

;
cos
x
;
tan
x
hoc
cot
x
), t
m (hm s m gm
x
a
hoc
x
e
) Vi a thc s m õm, khụng nguyờn ta vn xp vo a thc







Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

4
- Đối với nguyên hàm còn lại
vdu


chúng ta có thể sử dụng bảng nguyên hàm (cơ bản hay mở rộng),
phương pháp đổi biến số hay tích phân từng phần một lần (hay vài lần nữa)

Chú ý:

- Đôi khi tính TPTP mà chưa có một dạng cụ thể ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc
kết hợp với phương pháp biến đổi số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể

Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau
4
0
1 cos2
x
I dx
x





Giải:
Nhận xét:
Tích phân này nếu để nguyên mà tính TPTP thì không ra được vì
1 cos2
x

không có trong bảng nguyên
hàm chỉ có
2
2cos

x
là có nguyên hàm nên ta sử dụng công thức nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos
x x x
    
thì lấy nguyên hàm được
Ta biến đổi
4
2
0
1
2
cos
x
I dx
x




Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv

x






 






Khi đó
4
0
1 1 1 1
tan tan ln cos ln2
4 4
2 2 8 2 8 4
0 0
I x x xdx x

 
 
     


Chú ý:

- Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1 1
(tan ) tan tan ln cos ln 2
4 4
2 2 2 2 4 8 4
2cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx x
x
  
 
 
 
       
 
 
  

- Đừng quên
1
2
trước dấu tích phân nhé
Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau
2
1
3

0
x
I x e dx



Giải:
Ta có
2 2
1 1
3 2
0 0
x x
I x e dx x e xdx
 
 

Đặt
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx
    

Đổi cận
0 0
1 1
x t
x t

 
 

 
 
 

Khi đó
1 1
0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0
2 2 2 2 2 2
t t t t
e
I te dt te e dt e
     
 
(sử dụng công thức 2)
Chú ý:







Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

5
- Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp. Ta có
 
2 2
1 1
3 2 2
0 0
1
2
x x
I x e dx x e d x
 
 
. Đến đây ta có
thể sử dụng công thức (1) hoặc công thức (2) tuy là ngắn hơn nhưng độ phức tạp cao hơn nên tôi không đưa
ra, bạn đọc tự tìm hiểu nhé
Ví dụ 3: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau
 
4
2
0
2cos 1
I x x dx

 


Giải:
Nhận xét:
Nếu để nguyên như thế mà tính cũng ra nhưng độ phức tạp cao hơn chính vì thế ta sử dụng công thức hạ bậc

 
 
4 4 4
2
0 0 0
2cos 1 2 1 cos2 1 cos2
I x x dx x dx x xdx
  
     
 
 
  

Đặt
sin 2
cos2
2
du dx
u x
x
dv xdx
v






 







Khi đó
4
0
sin 2 1 cos2 1 2
. sin 2
4 4
2 2 8 4 8 4 8
0 0
x x
I x xdx

 
  

      



- Đôi khi tính TPTP ta phải tính đến 2 hay 3 lần TPTP

Ví dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau
4
3 2
1
5 1

ln
32
e
e
I x xdx

 


Giải:
Đặt
2
4
3
2ln
ln
4
dx
du x
u x
x
x
dv x
v





 


 








Khi đó
4 4
2 3
1
1
1 1
ln . ln .
1
4 2 4 2
e
e
x e
I x x x dx I
   


Tính
3
1
1

ln .
e
I x x dx


. Đặt
3 4
ln
4
dx
du
u x
x
dv x
x
v







 







Khi đó
4 4 4
3 4
1
1
1 1 3 1
ln .
1 1
4 4 4 16 16
e
e e
x e e
I x x dx x

    


Vậy
4 4 4 4
1
1 1 3 1 5 1
.
4 2 4 2 16 32
e e e e
I I
 
    
- Đôi khi tính TPTP ta còn gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp
một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân

Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau:
2
1
ln
e
x
I dx
x



Giải:







Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

6
Đặt
2
ln
2ln
ln
dx
u x

du x
x
dx
dv
v x
x




 

 

 




Khi đó
2
2
1
ln
ln .ln 2 1 2
1
e
e
x
I x x dx I

x
   


Đến đây ta coi như một phương trình bậc nhất theo I ta được
1
3
I


Chú ý:
- Đương nhiên ta có thể làm bằng phương pháp biến đổi số
Đặt ln
dx
t x dt
x
   . Đổi cận
1
1 0
x e t
x t
 
 

 
 
 

Khi đó
1

3
2
0
1
1
0
3 3
t
I t dt
  


Hoặc: Đưa vào vi phân như sau
 
2 3
2
1 1
ln ln 1
ln ln
1
3 3
e e
e
x x
I dx xd x
x
   
 

- Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln

t
t
e x
t x
e dt dx



 




sau đó mới TPTP
Ví dụ 2: Tính tích phân sau
4
2
0
(sin cos 1)
(1 cos )
x
e x x
I dx
x

 




Giải:
4 4 4
1 2
2 2
0 0 0
(sin cos 1) sin
1 cos(1 cos ) (1 cos )
x x x
e x x e e x
I dx dx dx I I
xx x
  
 
    
 
  

Tính
4
2
2
0
sin
(1 cos )
x
e x
I dx
x






Đặt
 
2
sin
1
1 cos
1 cos
x
x
u e
du e dx
x
dv dx
v
x
x







 


 






Khi đó
4
4
2 1
0
1
4
1 cos 1 cos 2
2
0
1
2
x x
e e e
I dx I
x x



    
 



Vậy

4
1
2
2
1
2
e
I

 


Chú ý:
Nếu như ta tính đồng thời
1 2
và
I I
thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính
1
I
hoặc
2
I
để
làm triệt tiêu đi
2
I
hoặc
1
I

…Tùy vào từng bài để ta chọn (kinh nghiệm thôi)

- Thông thường ta sử dụng CT (1) vì nó dễ nhìn hơn là CT (2) tuy là có dài hơn, muốn sử dụng nhanh
CT (2) các bạn phải biết đưa vào biểu thức vi phân








Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

7
- Thông thường trong phương pháp TPTP khi lấy nguyên hàm thường chọn hằng số C = 0 việc đó
hoàn toàn đúng nhưng không phải lúc cũng chọn C = 0 mà còn phụ thuộc vào tích phân
vdu

, các
bạn có thể chọn C bất kì nhưng chọn làm sao cho tích phân
vdu

dễ tính và đơn giản nhất

Ví dụ 1: (ĐH – A 2012) Tính tích phân
3
2
1
1 ln( 1)

x
I dx
x
 



Giải:
Cách 1:
Ta có
3
2
1
1 ln( 1)
x
I dx
x
 


=
3 3
2 2
1 1
1 ln( 1)
x
dx dx
x x



 
=
1
3
1
1
x


J

=
2
3
J

.
Tính
3
2
1
ln( 1)
x
J dx
x




Đặt

 
2
1
ln 1
1
1
1 1
1
u x
du dx
x
x
dv dx
v
x
x x

  


 


 


 
    





3
3
1
1
3 3
1 1
1 ln( 1) 1 ln( 1) ln
1 1
dx
J x x x
x x x
   
          
   
   

4
ln 4 2ln 2
3
  + ln3 =
2
ln 2 ln3
3
  .
Vậy
2 2
ln 2 ln3
3 3

I   
Trong bài này chọn C = -1 để dễ tính tích phân
vdu

. Chúng ta vẫn có thể làm bình thường nhưng
tích phân còn lại là tích phân hàm phân thức với mẫu có hai nghiệm đơn phân biệt
Các em có thể chọn
1
v
x
 
thì khi đó
Đặt
 
2
1
ln 1
1
1
1
u x
du dx
x
dv dx
v dx
x
x

  



 


 

 
 




 
 
3
3 3 3
1 1 1
1
3
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln 4 ln 2
1 3 1
1 1 3
ln 4 ln2 ln ln2 ln
3 1 3 2
J x dx dx dx
x x x x x
x
x

 
         
 
 
 
     

  

Vậy
2 1 3
ln 2 ln
3 3 2
I   
Cách 2:
Đặt
 
2
1
1 ln 1
1
1
1
u x
du dx
x
dv dx
v
x
x


   


 


 

 
 




Khi đó
 
3
3
1
1
1
1 ln( 1)
( 1)
dx
I x
x x x
     



 
3 3
1 1
1
1 ln( 1) ln
1
x
x
x x
   

=
2 2
ln2 ln3
3 3
 

Ví dụ 2: Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
x x
I dx
x





Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

8
Giải:
Đặt
2
cos sin
ln(sin cos )
sin cos
1
sin cos
tan 1
cos
cos
x x
u x x
du dx
x x
x x
dv dx
v x
x

x


 



 


 


 
  




Khi đó
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1)ln(sin cos )
cos
x x
I x x x dx
x




   


=
/4
0
3
2ln 2 ( ln cos ) ln2
4 2
x x


    

MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ

Ở đây tôi trình bày một số dạng cho những người bắt đầu học cho dễ, còn tôi khuyên các bạn không nên học
máy móc theo dạng quá như thế khi thi đại học sẽ rất khó nếu không rơi vào các dạng đã học…Bản thân tôi
khi dạy học sinh cũng rất ít khi dạy theo dạng mà dạy theo cách hiểu, như thế gần như bài nào học sinh
cũng làm đươc … Hãy làm chủ phương pháp và đọc kĩ những phần chú ý ở trên sẽ rất có ích cho các ban

Dạng 1: Tính tích phân
   
n
I P x Q x dx





với


n
P x
là một đa thức bậc n và
 
2 2
1 1
; ;sin ;cos ; ,
cos sin
x x
x x
x
Q e
x
x
a
 hoặc các hàm này cộng thêm một hằng số thì cách đặt vẫn tương tự
Đặt


 
n
P x
Q x dx
u
dv







(Nếu


n
P x
có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần


n
P x
sẽ giảm 1
bậc))
Đặc biệt:
- Khi




ln ;ln ;log ;ln
n
m
x x x f x
Q x 
 

 

Đặt


 
n
Q x
P x dx
u
dv






(nếu


ln
n
Q x x

ta phải tính n lần tích phân)
- Khi











sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log
a a
x xQ x
x x


Đặt


 
n
Q x
P x dx
u
dv






(thường thì người ta chọn





1;
k
n
P x Q x x
 
cho đơn giản)
Chú ý:
Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích
phân ban đầu)
Để nhớ nhanh các dạng này ta khi đặt cho u theo quy tắc


ln sin
x
x x x e
  
Đọc là Nhất lô (hàm logarit), nhì đa (hàm đa thức), tam lượng (hàm lượng giác), tứ mũ (hàm số mũ)


Loại 1: Khi
 
2 2
1 1
;
cos sin
Q x
x x


Bài tập giải mẫu:








Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

9
Bài 1: Tính tích phân sau
3
2
4
sin
xdx
I
x





Giải:
Đặt
2
cot

sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x






 
 





Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
 
3 3
2
4 4
9 4 3
1 1 3
3 3
cot cot . ln sin ln
3 36 2 2

sin
3
4 4
xdx
I x x xdx x
x
 
 
 


 

        
 

Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
 
3 3
2
4 4
cot
sin
xdx
I xd x
x
 
 
  
 

Bài 2: Tính tích phân sau
3
2
0
cos
x
I dx
x




Giải:
Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x







 






Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
 
3 3 3
4
2
0 0 0 0
cos
3 sin 3
tan tan
3
3 cos 3 cos
cos
0
3 3
ln cos ln 2
3
3 3
0
d x
x x
I dx x x xdx dx
x x
x

x
  

 

 
      
   
   

Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
 
3 3
2
0 0
tan
cos
x
I dx xd x
x
 
 
 


Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau
1
2

0
sin
cos
x x
I dx
x




HD:
Đặt
 
2
sin
1 cos
1
tan
cos
u x x
du x dx
dv dx
v x
x
 

 

 


 







Hoặc







Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:

10
- Tách thành tổng hai tích phân
1 2
3 3 3
2 2 2
0 0 0
sin sin
cos cos cos
I I
x x xdx x
I dx dx
x x x

  

  
  
 

Tính
1
I
bằng TPTP và tính
2
I
bằng đổi biến số
- Sử dụng trực tiếp công thức (2) ta có
   
1 1
2
0 0
sin
sin tan
cos
x x
I dx x x d x
x

  
 

Bài 2: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau:
4

0
1
ln2
1 cos2 8 4
x
I dx
x


  



HD:
Sử dụng công thức nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos
x x x
    

Khi đó
4
2
0
1
2
cos
x
I dx
x




. Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x






 






Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
Ta có
4 4 4
2

0 0 0
1 1 1 1
(tan ) tan tan ln ln 2
4 4
2 2 2 4 8 42cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx
x
  
 
 
 
       
 
 
  

Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau:
 
1
2
0
tan tan1 ln cos1 0,5
I x xdx   


HD:
Phân tích
1 1

2
0 0
cos
x
I dx xdx
x
 
 

Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x






 







Chú ý: Công thức
2
2
1
tan 1
cos
x
x
 

Bài 4: Tính tích phân sau:
2
0
1 sin 2
xdx
I
x





HD:
Biến đổi
2
1 sin 2 1 cos 2 2cos
2 4
x x x

 
   
     
   
   
rồi mới TPTP

Loại 2: Khi


sin ;cos
Q x x x



Chú ý: Đối với dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định
Nếu bậc của


P x
bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau:
Bước 1: Ta có ( )cos ( )sin ( )cos
I p x xdx A x x B x x C
 
   

, (1)
(A(x) và B(x) cùng bậc với



P x
)
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) :





( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos
p x x A x B x A x B x
 
   

Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x)