100 bài toán hình học lớp 9 chọn lọc

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
1 LVC


Biên soạn
LƯU VĂN CHUNG









100 BÀI TOÁN
HÌNH HỌC 9




100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
2 LVC

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
3 LVC


PHẦN I
o0o


MỘT SỐ BÀI TOÁN
ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT






100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
4 LVC

A N

x

E

M D

H

B K C

F I







A
M
x
I K D
E
N H O


B F C

J Q

Bài 1
Cho BE , CD là hai đường cao , AI là đường kính của (O), Ax là tiếp
tuyến . Chứng minh :
1. BDEC nội tiếp và MN // DE
2. BH = BF và DM = DH
3. BHCI là hình bình hành
4. BCIF là hình thang cân
5. KH.KA = KB.KC

2
BC
4

6. H là tâm đường tròn nội tiếp

DEF


Bài 2
Cho BD , CE là hai đường cao , Ax là tiếp tuyến
AQ là đường kính I là trung điểm AH.
Chứng minh :
1. BEDC và AEHD nội tiếp
2. AE.AB = AD.AC
3.

MAN cân
4. KDCQ nội tiếp
5. AH = 2OF

6. IOFJ là hình thang cân
7. BC = R
3
. Tính DE theo R
8. BC = R
3
. Khi A chạy trên cung lớn BC thì H di chuyển trên
đường nào ?
9. Xác đònh tâm P của đường tròn ngoại tiếp

BHC và chứng minh
AOPH là hình thoi .

Bài 3
Cho H là trực tâm của

ABC , M là trung điểm BC . I là điểm đối xứng
với H qua K ; N là điểm đối xứng với H qua M. Chứng minh
1. I

(O) và N

(O) và A , O , N thẳng hàng
2. AF là tia phân giác chung của

ABC
và

HAN

3. AB.AC = AH.AD
4. Diện tích

AHM bằng 2 lần diện tích

AOM
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
5 LVC



A



D

O
E H

K
B C
M

I
F

A
E

O
H
S
C K M D

B





B
I


H O

A
C E
D

K

S




D

N
M

C

I K

A O B







Bài 4
Cho SA , SB là hai tiếp tuyến , M là trung điểm CD .
Chứng minh :
1. SO

AB và SAOB nội tiếp
2. SA

2
= SC.CD = SH.SO
3. SAOM nội tiếp
4. CHOD nội tiếp
5. AE // CD
6. CH cắt đường tròn tại F.
Chứng minh SO là phân giác của

FSC






Bài 5
Cho AB là tiếp tuyến , ACD là cát tuyến , BI // CD, EC = ED
1. Chứng minh ABOE và AHES nội tiếp
2. Chứng minh AK là tiếp tuyến của (O)
3. Chứng minh OE.OS = R
2

4. AO = 3R , CD = R
3
.
Tính diện tích

AOS theo R
5. A, B cố đònh , tìm vò trí của cát tuyến
ACD để S


AID
lớn nhất



Bài 6
Cho AC , BD , CD là các tiếp tuyến
1. Chứng minh AC + BD = CD
2. Chứng minh

COD vuông
3. Chứng minh AC.BD = R
2

4. Chứng minh ACMO và BDMO nội tiếp
5. Chứng minh CN = CA
6. Chứng minh IK // AB và IK = R

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
6 LVC





Y

D
X

M

C
I




E A H O B







A
E

C I
H
M O

K
F


B

A

K
H
C I


E O
N



D


B


Bài 7 Ax , By , ED là các tiếp tuyến . EO = 2R
1. Chứng minh ACDB là hình thang vuông
2. Chứng minh AC.BD = R
2

3. Chứng minh CM.DE = CE.DM
4. Chứng minh MI

AB và IM = IH

5. Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD
6. Tính chu vi và diện tích ACDB theo R











Bài 8
Cho OM = 2R , MA và MB là hai tiếp tuyến
EF tiếp xúc với (O) tại C.
1. Chứng minh EF = EA + FB
2. Tính chu vi

MEF theo R
3. Tính

EOF

4. Chứng minh EIKF nội tiếp
5. Chứng minh CH 
2
EF
4R

Bài 9
Cho NA , NB là hai tiếp tuyến . BK

NA , CI

AB , CD

NB.
1. Chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : AKCI , BDCI , NKCD , NDIA
2. Chứng minh CI
2
= CK.CD
3. Chứng minh CHIE nội tiếp
4. Chứng minh EH // AB
5. Chứng minh
2
2
KI CK
=
DI CD


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
7 LVC



K

x
M


I

E F


A C B




A

F
D
C

M O

E


B




x y

D


M

C
E F




A I O B




Bài 10
Cho Ax , By là hai tiếp tuyến . M



AB
, I

AO , CD qua M và
vuông góc với IM . Chứng minh :
1. CAIM và BDMI nội tiếp
2.

CID vuông
3. EF // AB
4. AC.BD

R
2

5. Khi M cố đònh , I chạy trên AO.
6. Tìm vò trí I để AC.DB lớn nhất


Bài 11
AB = 2R cố đònh , Ax , By

AB , I

Ax ,
C

AB , IC


CK. Đường tròn đường kính IC
cắt IK tại M. Chứng minh :
1. KBCM nội tiếp
2. AI.BK = CA.CB
3.

AMB vuông


4. Nếu C cố đònh , tìm vò trí của I trên Ax để S
ABKI
nhỏ nhất

Bài 12
Cho OM = 3R , MA , MB là hai
tiếp tuyến ,AD // MB , MD cắt (O)
tại C , BC cắt MA tại F , AC cắt
MB tại E. Chứng minh :
1. MAOB nội tiếp
2. EB
2
= EC.EA
3. E là trung điểm MB
4. BC.BM = MC.AB
5. Tia CF là phân giác của

MCA

6. Tính S


BAD
theo R
7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và MB


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
8 LVC

I

A D


H
M

N

B C
K

A E
M
H
D

C


K

B

F






Bài 13 ( Hình vẽ như Bài 12 )
Cho MO = 3R , MA , MB là hai tiếp tuyến . Elà trung điểm MB. EA cắt
(O) tại C. Tia MC cắt (O) tại D , BC cắt MA tại F .
1. Chứng minh MA
2
= MC.MD
2. Chứng minh ME
2
= EC.EA
3. Chứng minh AD // MB
4. Chứng minh

DAB cân

Bài 14
Cho DH

AC , DK


BC , KH cắt AB
tại I . MA = MB , NH = NK. Chứng minh
1. DHKC nội tiếp
2. DI

AB
3. DI.DK = DA.DC
4.

DHK ~

DAB
5.

DMN vuông


Bài 15
Cho MA , MB là hai tiếp tuyến , CD

AB .
CE

MA , CF

MB
1. Chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC
2. Chứng minh CE.CF = CD
2

3. Chứng minh CHKD nội tiếp
4. Chứng minh HK //AB







Bài 16
Cho đường thẳng d cắt (O;R) tại C và D. M là điểm di động trên d ( M
ngoài đường tròn và MC < MD ) MA , MB là hai tiếp tuyến , H là trung
điểm CD
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
9 LVC

F





A



d M C E H D

I O





B





A



H O


M B D I C


E K




N

1. Chứng minh MIHF nội tiếp
2. Chứng minh OHEI nội tiếp
3. Chứng minh MA
2
= MC.MD
4. Chứng minh CIOD nội tiếp
5. Chứng minh 4 IF.IE = AB
2




6. Chứng minh khi M di động thì đường thẳng
AB luôn điểm qua điểm cố đònh

Bài 17
Cho (O;R) và dây BC = R
3
.M là điểm di động trên tia đối của tia BC .
Vẽ tiếp tuyến MA với (O). Vẽ đường tròn tâm M bán kính MA cắt BC
tại H và cắt (O) tại E. AH cắt (O) tại K, OK cắt BC tại I và cắt AE tại N.
Chứng minh :
1. AK là tia phân giác của

BAC

2. MAOI và MHIN nội tiếp

3. ME là tiếp tuyến của (O)
4. BHOC nội tiếp
5. Đường thẳng AE đi qua điểm cố đònh





Bài 18
Cho (O;R) và dây BC = 2a cố đònh. M

tia đối tia BC. Vẽ đường tròn
đường kính MO cắt BC tại E , cắt (O) tại A và D ( A

cung lớn

BC
). AD
cắt MO tại H , cắt OE tại N. Chứng minh :
1. MA là tiếp tuyến của (O) và MA
2
= MB.MC
2. MHEN nội tiếp
3. Tính ON theo a và R
4. Tia DE cắt (O) tại F. Chứng minh ABCF là hình thang cân


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
10 LVC

A




M H O

E
B C



D






N








M

E

B O A
K H

C
I
D
N

















Bài 19
Cho đường tròn (O ;R) và điểm A sao cho OA =3R . Từ A vẽ hai tiếp

tuyến AM , AN với (O) ( M , N là tiếp điểm )
1. Chứng minh tứ giác MANO nội tiếp .Tính AM theo R
2. Vẽ cát tuyến ACD với đường tròn ( C nằm giữa A và D ; CN < CM
) . Chứng minh : AM
2
= AC.AD
3. Đường tròn đường kính OA cắt CD tại I.Chứng minh I là trung
điểm CD
4. Vẽ dây cung CB

OM , CB cắt MD tại K , cắt MN tại H. Chứng
minh HINC nội tiếp
5. Chứng minh đường thẳng DH đi qua trung điểm E của AM.













100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
11 LVC
Bài 20
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R); hai đường

cao AD và BE cắt nhau tại H ( D

BC ; E

AC ; AB < AC )
1. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp
2. Chứng minh CE.CA = CD.CB và DB.DC = DH.DA
3. Chứng minh OC vuông góc với DE
4. Đường phân giác trong AN của

BAC
cắt BC tại N , cắt đường tròn
(O) tại K. ( K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

CAN.
Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn (O).

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
12 LVC

PHẦN II



MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN THI VÀO
CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
13 LVC

C

A H O B

I
E
D

J


F
M

Bài 21

Cho đường tròn (O) và dây CD vuông góc với đường kính
AB tại H . trên tia đối tia DC lấy điểm M. Đường thẳng MB
cắt (O) tại F. AF cắt CD tại I
1. Chứng minh : ID.MC = IC.MD
2. Tiếp tuyến với (O) tại F cắt DM tại J. Ch/ minh IJ = JM
3. MA cắt (O) tại E. Chứng minh JE là tiếp tuyến của (O).

 Hướng dẫn giải:
1. Chứng minh ID.MC = IC.MD
FA , FM là phân giác trong
và ngoài của

CFD nên :

ID
MD
IC MC


ID.MC = IC.MD
2. Chứng minh IJ = JM
Sđ

AFJ

Sđ

AF

Sđ


DIF
= Sđ


AC Sd DF

= Sđ


AD SdDF


= Sđ

AF





AFJ JIF



IJ = JF
Mà

IFM vuông


FJ = JM

IJ = JM
3. Chứng minh JE là tiếp tuyến của (O)
Chứng minh E,I,B thẳng hàng



IEM vuông tại E

JE = JF. Suy ra

OEJ =

OFJ

JE

OE

JE là tiếp tuyến của (O).

Bài 22
Cho đường tròn (O) và dây cung AB quay quanh một điểm
cố đònh P.Vẽ đường tròn tâm C điểm qua A và P và tiếp
xúc với (O). Hai đường tròn này cắt nhau tại N
1. Chứng minh CODP là hình bình hành
2. Chứng minh

ABN ~


DCO
3. Tìm quỹ tích N khi AB quay quanh P
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
14 LVC




N
O
C
D

A P B












K

4. Nếu AB cố đònh, còn P là điểm di động trên AB thì N di

động trên đường nào? Chứng minh NP đi qua một điểm
cố đònh

 Hướng dẫn giải:
1. Chứng minh CODP là hình bình
hành



0
180 2
AOB B
 
,


0
180 2
PDB B
 






AOB PDB




OC // DP
Tương tự ta có OD // CP


CODP là hình bình hành .

2. Chứng minh

ABN~

DCO
PN

CD

CD là phân giác

NCP






1
2
DCP NCP

Mà



1
2
NAP NCP
 ( góc nội tiếp )





DCP NAP






NCP ODC


Tương tự cm


NBP OCD




ABN~


DCO
3. Quỹ tích điểm M
Ta có :


AOB ANB

(

đồng dạng )


A , O , N , B thuộc đường tròn AB là dây cung





NOB NAB
 ( cùng chắn

NB
)




NOB ODC



ON // CD

ON

NP



0
90
ONP 



N

đường tròn đường kính OP cố đònh
4. Nếu AB cố đònh , P di động trên AB thì N di chuyển trên cung
chứa góc AÔB =

( không đổi ) dựng trên đoạn AB cố đònh.
 NP đi qua điểm cố đònh
Gọi O’ là tâm đường tròn (AOB) , NP cắt OO’ tại K.
Do

ONK vuông tại N

OK là đường kính của (O’).
Suy ra K cố đònh ( do O , O’ cố đònh ).

Vậy NP điểm qua điểm K cố đònh.
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
15 LVC
I




A P



H
B

O K

O
1


C

Bài 23
Cho đường tròn (O,R). Từ điểm P cố đònh ở ngoài đường
tròn vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC với đường tròn . H
là trực tâm của

ABC. Đường thẳng AH cắt (O,R) tại K.
1. Chứng minh K đối xứng với H qua BC

2. Gọi O
1
đối xứng với O qua BC. Chứng minh O
1
H = R và
AOO
1
H là hình bình hành
3. Trên đường vuông góc với PA tại P lấy điểm I sao cho
PI = R và I , O nằm cùng phía đối với BC. Chứng minh
HIPO
1
là hình bình hành
4. Tìm quỹ tích của H khi cát tuyến PBC quay quanh P.

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh K đối xứng với H qua BC



BCK BAK

( chắn

BK
)



BCH BAK


( góc có cạnh

)





BCH BCK





HCK cân tại C


K đối xứng với H qua BC
1. Chứng minh O
1
H = R và AOO
1
H
là
hình bình hành
O đối xứng với O
1
qua BC
K đối xứng với H qua BC


O
1
H = OK = R
Ta có


1 1
H K
 ( t/c đối xứng )



1 1
K A

(

AOK cân )





1 1
A H




HO
1
// OA
AH

BC ; OO
1
// BC

AH // OO
1
. Suy ra AOO
1
H là hình bình hành
2. Chứng minh HIPO
1
là hình bình hành
HO
1
// OA và OA

AP

HO
1


AP mà PI

AP


HO
1
// PI
Mà O
1
H = PI = R

HIPO
1
là hình bình hành
3. Quỹ tích của H khi PBC quay quanh P
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
16 LVC



E F

N S

D C


H K
I

A B
M












P cố định , PI

AP ; PI = R

I cố định . PH = PO
1
= PO ( khơng đổi )
Suy ra quỹ tích của H là đường tròn (I ; PO )

Bài 24
Trên đoạn AB lấy điểm M .Trên AM , BM dựng hai hình vng AMCD và
BMEF về cùng một phía đối với đường thẳng AB . Hai đường tròn (I) và
(K) ngoại tiếp hai hình vngđó cắt nhau tại N .
1. Chứng minh N , E , A thẳng hàng
2. Tìm quỹ tích N khi M di động trên đoạn AB
3. Chứng tỏ trung điểm H của IK ln chạy trên một đường cố định

khi M di chuyển trên đoạn AB

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh A , N , E thẳng hàng
Gọi N là giao điểm của BC và AE . AC cắt EB tại S . Ta có :


0
45
SAB SBA 


AS

EB . Suy ra C là trực tâm của

AEB

BN

AE .

0
90
ENB 


N

( K ) ;


0
90
ANB 


N

( I )
Vậy A , E thẳng hàng với giao điểm N của ( I ) và ( K )
2. Quỹ tích của N khi M di động trên AB
Quỹ tích của N là nửa đường tròn đường kính AB.
Giới hạn : M

A

N

S ; M

B

N

S
3. Quỹ tích của H khi M chạy trên AB
MI

AC , MK


BE , AS

SB

ISKM là hình chữ nhật . H là trung
điểm IK

H là trung điểm SM . Mà S cố định (điểmchính giữa cung AB ).
Suy ra H chạy trên đường trung bình của

ASB














100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
17 LVC


P

K I
M



A O B




N

Q


Bài 25
Cho AB là đường kính cố đònh , MN là đường kính di động của đường
tròn (O) .Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt AM tại P , cắt AN tại Q
1. Chứng minh

AMN ~


AQP
2. Chứng minh trung tuyến AK của

APQ vuông góc với MN
3. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp

MNP.

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh

AMN ~

AQP
Sđ

ANM
=
1
2
sđ

AM

Sđ

1
2
APQ


(sđ

AB
– sđ

MB
)
1
2

sđ

AM







ANM AQP





AMN ~

AQP
2. Chứng minh AK


MN


PAQ vuông tại A

AK = KP




AKP cân






 
PAK APQ MNA

Mà NA

MA

AK

MN
3. Quỹ tích tâm đường tròn (MNP)
Tứ giác MPQN nội tiếp (




P ANM
)
Đường tròn (MNP) là đường tròn (MPQN)
có tâm là I

OI

MN ( đk – dc)

OI // AK . Mà IK

PQ

IK //AB
Do IK = OA = R nên quỹ tích tâm I của đường tròn (MNP) là đường thẳng
song song với PQ và cách PQ một đoạn bằng R

Bài 26
Cho

ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). M là một điểm tùy ý thuộc
(O;R).
1. Chứng minh MA + MB + MC

4R
2. Tìm vò trí của M



AB
để MA + MB lớn nhất


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
18 LVC

A



M
N
B

C



D

C

M
N

A B

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh MA + MB + MC

4R
Trên đoạn MC lấy điểm N sao cho CN = AM



BCN =

BMA

BM = BN




BMN đều

BM = MN


MA + MB + MC = NC + MN + MC
= MC + MC
= 2MC
Mà MC

2R


MA + MB + MC

4R

2. Tìm vò trí M để MA + MB lớn nhất
Theo chứng minh trên ta có MA + MB = MC
Do đó MA + MB lớn nhất

MC lớn nhất

MC = 2R


M là điểm giữa cung AB nhỏ

Bài 27
Cho nửa đường tròn đường kính AB . C là điểm chính giữa cung AB , M
là điểm di động trên cung AC . Trên BM lấy điểm N sao cho BN = AM.
1. Chứng minh CM = CN
2. Chứng minh đường thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua điểm
cố đònh

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh CM = CN

CMA =

CNB ( c- g – c)

CM = CN

2. Chứng minh đường thẳng

MB tại N
đi qua điểm cố đònh
Vẽ tia Nx

BM tại N cắt tia AC tại D


tứ giác DCNB nội tiếp





 
0
DBC DNC 45
( do

MCN vuông cân)





0
DBA 90

Suy ra BD là tiếp tuyến của (O) tại B. Vậy D là giao điểm của tia AC và tiếp

tuyến của (O) tại B. Vậy đường thẳng vuông góc với BM tại N đi qua điểm
cố đònh D.

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
19 LVC

C

K
I
G
A B
O






Bài 28
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB . C là điểm di động trên đường
tròn Gọi I , K là hình chiếu của O lên AC và BC.
1. Chứng minh AK
2
+ BI
2
không đổi
2. BI cắt AK tại G . Tìm quỹ tích của G khi C di động trên (O)
3. Tìm vó trí điểm C trên (O) để tích GA.GB lớn nhất . Tìm giá trò lớn
nhất đó

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AK
2
+ BI
2
không đổi
AK
2
+ BI
2
= AC
2
+ BC
2
+ CI
2
+ CK
2

= BC
2
+ IK
2
= 4R
2
+ R
2
= 5R
2

2. Quỹ tích của G
Ta có OG =
1
R
3
. Suy ra quỹ tích của G là
đường tròn (O ;
1
R
3
)
3. Tìm vò trí điểm C để GA.GB lớn nhất
Ta có GA.GB



2 2
GA GB
2

Dấu “ = “ xảy ra khi GA = GB

AC = BC


C là điểm chính giữa cung AB
Max(GA.GB) =

2 2

GA GB
2
=


2 2
2
4
(AK BI )
10R
9
2 9


Bài 29
Cho đường tròn (O;R) , từ điểm P trong đường tròn dựng hai dây cung
APB và CPD vuông góc với nhau
1. Tính PA
2
+ PB
2
+ PC
2
+ PD
2
theo R
2. Cho P cố đònh , khi hai dây AB và CD quay quanh P và vuông góc với
nhau. Chứng minh AB
2
+ CD

2
không đổi

 Hướng dẫn giải
1. Tính PA
2
+ PB
2
+ PC
2
+ PD
2
theo R
Vẽ đường kính AE. Suy ra CB = DE
Ta có : PA
2
+ PB
2
+ PC
2
+ PD
2

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
20 LVC

A

C D
P H

K
O




B E


A






O
M N

B C
K

B’ D C’

= CB
2
+ AD
2
= DE

2
+ AD
2
= AE
2
= 4R
2


2. Chứng minh AB
2
+ CD
2
không đổi
Vẽ OH

CD , OK

AB . Ta có :
AB
2
+ CD
2
= 4AK
2
+ 4HD
2

= 4( OA
2

– OK
2
+ OD
2
– OH
2
)
= 4( 2R
2
– OP
2
) không đổi




Bài 30
Cho

ABC cân tại A có


0
BAC 45
nội tiếp đường tròn (O;R).
1. Chứng minh AO là phân giác của

BAC

2. Tính các cạnh của


ABC theo R
3. Nêu cách dựng đường tròn tiếp xúc với OB và OC. Tính bán kính
đường tròn đó theo R

 Hướng dẫn giải 1. Chứng minh AO là phân giác

BAC



AOB =

AOC
2. Tính các cạnh của

ABC theo R


BOC vuông cân

BC = R
2



OK =
R 2
2


AK = R +
R 2
2



AC = 
R 2 2

3. Cách dựng đường tròn (I)
Gọi x là độ dài bán kính (I) ta có
CMIN là hình vuông


OI = x
2
, ID = x


x + x
2
= R

x = R(

2 1
)

 Cách dựng:

Dựng tiếp tuyến tại D của (O) cắt OB , OC tại B’ và C’ . I là giao điểm
của hai đường phân giác của

OB’C’.


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
21 LVC

A




M

O
I

N B C


D
K



E


Bài 31
Cho

ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm thuộc cung nhỏ
AB . AM cắt đường thẳng BC tại N
1. Chứng minh

ABM ~

ANB
2. Chứng minh đường tròn tâm I ngoại tiếp

MBN tiếp xúc với đường
thẳng AB
3. Gọi D là điểm chính giữa cung BC. Chứng minh tâm K của đường
tròn ngoại tiếp

MNC thuộc đường thẳng CD

Hướng dẫn giải
1.Chứng minh

ABM ~

ANB






1 1
ANB (sdAC sdMB) sdAM
2 2
  




1
MBA sdMA
2






ANB MBA





ABM~

ANB
 chung

2. Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp

MBN

ABM~

ANB

AB
2
= AM.AN


AB tiếp xúc với đường tròn (MBN)
3. Chứng minh tâm K của đường tròn (MNC) thuộc đường thẳng CD
Vẽ đường kính CE của đường tròn (K)



0
EMC 90

Mà


0
AMC ABC 60

 




0
NME 30





0
NCE 30

( cùng chắn cung NE )
Mặt khác D là điểm chính giữa cung BC




0
1
BCD 30 ( sdBD )
2
 





NCE NCD



K,C, D, E thẳng hàng.Vậy K thuộc đường thẳng CD



100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
22 LVC

A


E

F


B
D M C





D
A

M
N



B C

















Bài 32
Cho

ABC có trung tuyến AM và phân giác AD.Đường tròn ngoại
tiếp

ADM cắt AB , AC tại E và F. Chứng minh BE = CF.

 Hướng dẫn giải
Ta có
DB AB
DC AC

(tính chất phân giác)
Ta chứng minh : BE.BA = BD.BM (1)
CF.CA = CM.CD (2)



BE BD BA
: 1
CF CD CA
 



BE = CF


Bài 33
Cho

ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC. M và N là hai điểm
chạy trên AB và AC sao cho BM = CN. Chứng minh trung trực của MN
luôn đi qua điểm cố đònh

 Hướng dẫn giải

Gọi D là điểm chính giữa cung lớn BC




BMD =

CND


MD = ND




MDN cân tại D


Đường trung trực của MN đi qua điểm D
cố đònh

Bài 14
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và
CD vuông góc. Kẻ dây CE đi qua trung điểm I
của OB . Kẻ đường cao AH của

ACE.
1. Chứng minh các tam giác COI , EOC và AHI đồng dạng
2. Tính CE , AH và S


ACE
theo R
3. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

AEI


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
23 LVC

C


H





A O I B




K E



D

M

I A

N

E
I J

B
K
H C


 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh các tam giác COI , EOC và AHI
đồng dạng
Bạn đọc tự chứng minh
2. Tính CE , AH và S

ACE
theo R
CI = R
5
( đònh lý Pitago )


OCI ~


ECD



OC CI
EC CD



EC =
2R 5
5



AHI ~

COI


AH AI
CO CI




AH =
3R 5
10



2
ACE
1 3R
S AH.CE
2 10

 


3 . Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

AEI

CAI và

CEA có :


0
CAI CEA 45
 
và

C
chung


CAI ~


CEA


AC
2
= CI.CE

AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

AEI

Bài 34
Cho

ABC vuông tại A , dựng hai đường tròn (I ) và (J ) đường kính AB
và AC , chúng cắt nhau tại H
1. Chứng minh H thuộc đường thẳng BC
2. Qua A vẽ đường thẳng d cắt hai đường tròn tại M và N ( M

(I) )
Tìm quỹ tích trung điểm E của MN
3. Tìm vò trí của đường thẳng d để chu vi tứ giác BCNM lớn nhất

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
24 LVC



B M H



C O A





 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh H thuộc đường thẳng BC
Chứng minh


0
AHC AHB 90
 

H

B

2. Quỹ tích điểm I
BMNC là hình thang .
Vẽ IK

MN

K là trung điểm BC. ( cố đònh ).




AIK vuông tại I

I thuộc đường tròn đường kính AK
3. Tìm vò trí đường thẳng d để chu vi tứ giác BCNM lớn nhất
Chu vi BCNM = BC + BM + MA + NA + NC. Trước hết ta tìm vò trí M
để MA + MB lớn nhất . Ta có : (MA

+ MB)
2
= MA
2
+ MB
2
+ 2MA.MB
Suy ra MA + MB lớn nhất

MA.MB lớn nhất

MH.AB lớn nhất


MH lớn nhất

M là điểm chính giữa cung AB
Ta chứng minh khi M là điểm chính giữa

AB
thì N là điểm chính giữa


AC
. Thật vậy : M là điểm chính giữa

AB




0
MAB 45






0
NAC 45



N là điểm chính giữa

AC
.
Vậy chu vi tứ giác BCNM lớn nhất khi đường thẳng đi qua điểm chính giữa


AB
và

AC
.

Bài 35
Cho đường tròn (O :R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Từ điểm
tùy ý trên (O) vẽ BH

xy tại H.
1. Chứng minh BA là phân giác của

OBH

2. Chứng minh phân giác ngoài của

OBH
đi qua điểm cố đònh
3. Phân giác

AOB

cắt BH tại M. Tìm quỹ tích M khi B di động trên
(O;R)

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh BA là phân giác của

OBH

2. Chứng minh phân giác ngoài của

OBH

đi qua điểm cố đònh
AB

AC

AC là đường kính của (O)


C cố đònh
3. Tìm quỹ tích M
Chứng minh AOMB là hình thoi


AM = R

M

(A; R)

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
25 LVC


B

D



I O N A
K
H M

E

C




Bài 36
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố đònh với OA = R. BC là đường kính
quay quanh O (A

BC ). Đường tròn ngoại tiếp

ABC cắt đường thẳng
AO tại I.
1. Tính OI theo R. Suy ra I cố đònh

2. Trường hợp AB , AC cắt (O) tại D và E . DE cắt OA tại K.
a. Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp .
b. Tính AK theo R
c. Chứng tỏ tâm đường tròn (AED) thuộc một đường tròn cố đònh.
4. Tìm vò trí BC để diện tích

ABC lớn nhất
5. Tìm vò trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp

ABC nhỏ nhất

 Hướng dẫn giải
1. Tính OI theo R. Suy ra I cố đònh
OI.OA = OB.OC

OI =
2
R R
2R 2



I cố đònh ( do O cố đònh )

2.
a. Chứng minh tứ giác HECI nội tiếp .
BDEC nội tiếp (O)





DBC DEA


BICA nội tiếp (O’) ngoại tiếp

ABC



DBC AIC

. Suy ra :


AIC DEA

Suy ra : AKCI nội tiếp
b. Tính AK theo R
ECIK nội tiếp

AK.AI = AE.AC

BDEC nội tiếp

AE.AC = AD.AB = OA
2
– R
2


AK.AI = OA
2
– R
2
= 3R
2

Mà AI = AO + OI = 2R
R
2

=
5R
2


AK =
6R
5

c. Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp

AED thuộc một đường tròn cố đònh.
Gọi M là tâm đường tròn (ADE), gọi N là giao điểm của (M) và OA.
Ta có


DNA DEA


( chắn

DA
)
Mà :


DEA DBO

( cmt )




DNA DBO



BDNO nội tiếp
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
26 LVC

AN.AO = AD.AB = AK.AI. Do A, O , K , I cố đònh

N cố đònh

M thuộc đường trung trực của NA cố đònh
3. Tìm vò trí BC để diện tích

ABC lớn nhất

ABC
1
S BC.AH R.AH
2

 
. Do đó S

ABC
lớn nhất

AH lớn nhất


AH

AO

BC

OA
4. Tìm vò trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp

ABC nhỏ nhất
Bán kính đường tròn (ABC) là O’A. Vẽ O’O”

OA , ta có O’A

O”A

Mà O” cố đònh ( O” là trung điểm IA ).
Nên O’A nhỏ nhất

O’A = O”A

O’

O”.
Mà O”B = O”C

BC

O”A hay BC

OA
Khi đó : O’A =
IA 5R
2 4


Bài 37
Cho hình vuông ABCD cố đònh cạnh là a. E là điểm di động trên CD
( E

D ). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F. Đường thẳng
vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
1. Tính sđ

AFK
.


AFK

2. Gọi I là trung điểm FK. Chứng minh I thuộc đường thẳng cố đònh khi
E di chuyển trên cạnh CD
3. Chứng minh :


AFB AIB


4. Gọi N là giao điểm AF và BD. Chứng minh INCF nội tiếp .
5. Tính độ dài các cạnh

AEK theo a và x , với x = DE (0 < x
a

)
6. Tìm vò trí của K để EK ngắn nhất .

 Hướng dẫn giải
1. Tính sđ

AFK


ADK =

ABF


AK = AF



KAF vuông cân


AFK
= 45
0

2. Chứng minh I thuộc đường thẳng cố đònh
Tứ giác ADIK nội tiếp




0
KDI KAI 45
 

Mà

0
ADB 45






0
IDB 180


Suy ra : I , D , B thẳng hàng

I thuộc đường thẳng BD cố đònh.
3. Chứng minh :


AFB AIB

: Chứng minh ABFI nội tiếp
4. Chứng minh tứ giác INCF nội tiếp
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
27 LVC

A B




N a



K D x E C


I

F



Ta có IC = IA và NC = NA



INA =

ICA ( c- c-c )





IAN ICN


Mà IABF nội tiếp




0
IAN IBF 45
 





0
ICN IFA 45
 

Suy ra tứ giác INCF nội tiếp .
5. Tính độ dài các cạnh của

AEK theo a và x
CF //AD


EC FC a x FC a(a x)
FC
ED AD x a x
 
    



BF = BC + CF = a +
a(a x)
x



BF =
2
a

x

Ta có DK = BF =
2
a
x


KE = KD + DE =
2
a
x
+ x
2
=
2 2
a x
x


AE =
2 2 2 2
AD DE a x
  

AK
2
= KE
2
– AE

2
=
2
2 2 2 2 2
2 2
2
a x a (a x )
(a x )
x
x
 
 
  
 
 

Suy ra AK =
2 2
a
a x
x


6. Tìm vò trí điểm E để KE ngắn nhất
EK =
2 2
a x 2ax
2a
x x


 



EK
min
= 2a .
Dấu = xảy ra khi a = x


E

C. Khi đó KD = a.


Bài 38
Cho

ABC vuông tại A (AB < AC).Dưng ngoài tam giác hai hình vuông
ABHK và ACDE .
1. Chứng minh H , A , D thẳng hàng
2. Đường tròn ngoại tiếp

ABC cắt AD tại F. Ch/ minh

FBC vuông
cân
3. BF cắt ED tại M. Chứng minh K , B , C , E , M cùng thuộc một đường
tròn
4. Chứng minh MC

2
= MB.MF
5. Biết

0
ACB = 30
.Tính diện tích tứ giác HBCD theo BC.

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
28 LVC

E


M


K D

F
A

H




B O C

 Hướng dẫn giải

1. Chứng minh H , A , D thẳng hàng


0
HAB DAC 45
 


H , A , D thẳng hàng
2. Chứng minh

FBC vuông cân




0
FAC 45 FC FB FB FC
    

3. Chứng minh K , B ,C , E , M cùng thuộc đường tròn



0
BMC BKC 45
 


BKMC nội tiếp



0
BKC BEC 45
 


BKEC nội tiếp


K , B , C , E , M cùng thuộc đường tròn tâm F là trung điểm BM
4. Chứng minh MC
2
= MB.MF


0
MCB 90



MC làtiếp tuyến của (O)

MC
2
= MB.MF
5. Biết

0
ACB 30

.Tính diện tích tứ giác HBCD theo BC.
Đặt BC = 2a , ta có

0
ACB 30




ABC là nửa tam giác đều


AB = a và AC = a
3

S
BHDC
= S

ABH
+ S
ABC
+ S
ACD

=
1 1 1
AB.BH AB.AC AC.CD
2 2 2
 
=
2 2
1 1 1
R R.R 3 (R 3)
2 2 2
  =
2
1
R (4 3)
2


Bài 39
Cho

ABC vuông tại A. Lấy D thuộc cạnh AC (DC < DA). Vẽ đường
tròn (D) tiếp xúc với BC tại E. Vẽ tiếp tuyến BF với đường tròn (D) cắt
AD tại I , BD cắt AE tại K.
1. Chứng minh A , B , E , D , F thuộc một đường tròn. Xác đònh tâm.

2. Chứng minh IF.BK = IK.BF
3. Trung tuyến AM của

ABC cắt BF tại N. Chứng minh NA = NF.

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh A , B , E , D , F cùng thuộc một đường tròn
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
29 LVC

A F

I
N
D
K

B C
M E






x
E
M

O B A

I
E
K

F N









0
BAD BFD BED 90
  

2. Chứng minh IF.BK = IK.BF





AFD FBD DBE DAF
  


AD là phân giác

FAE



AB là phân giác ngoài của

FAE




IK BK
IK.BF IF.BK
IF BF
  
3. Chứng minh NA = NF
AM là trung tuyến của

ABC vuông




MAC MCA

(MC = MA)

Mà



FAM MAC FAC
 
và




AFB AEB ACE CAE
  

Do


FAC CAE

(cmt)




ANF cân tại N

NA = NF.

Bài 40
Cho


xOy = a
( không đổi ). Điểm O cố đònh . M

Ox , N

Oy sao cho
OM + ON = 2a ( không đổi ).
1. Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đoạn thẳng cố đònh.
2. Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố đònh
3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp

OMN đi qua điểm cố đònh khác
điểm O
4. Xác đònh vò trí MN để MN ngắn nhất

 Hướng dẫn giải










1. Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đoạn thẳng cố đònh
Lấy E


Ox , F

Oy sao cho OE = OF = a.
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
30 LVC
Do MO + NO = 2a

ME = NF.
Vẽ MK // EF (K

Oy)

KF = ME

FK = FN
Suy ra I là trung điểm MN ( đường trung bình )
Vậy I

EF cố đònh.
2. Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố đònh
Vẽ phân giác Oz của

xOy
. Vẽ Et

Ox cắt Oz tại A ( cố đònh)

AF

Oy tại F




MEA =

NFA

AM = AN

A thuộc trung trực của MN , mà A cố đònh. Đpcm
3. Chứng minh đường tròn (OMN) đi qua điểm cố đònh khác O
Tứ giác MEAI nội tiếp




AEI IMA

(chắn cung AI)
Mà


AEI EOA

góc có cạnh tương ứng vuông góc )








AEI AOF AOF AMN
   (

AMI
)

MOAN nội tiếp
Vậy đường tròn (MON) đi qua điểm cố đònh A
4. Xác đònh vò trí MN để MN ngắn nhất
Xét

MAN cân tại A có :



AMN ANM AON
2

  
( không đổi )
Mà AI

MN . Vậy MN

AI nhỏ nhất . Do tgAIB vuông tại B nên :
AI nhỏ nhất

I


B

MN

OA

MN

EF.

Bài 41
Cho BC là dây cung cố đònh của đường tròn (O;R). A

cung lớn Bcsao
cho O nằm trong

ABC .Vẽ đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H.
1. Chứng minh

AEF ~

ACB
2. M là trung điểm BC.Chứng minh OM =
1
AH
2

3. N là trung điểm EF .Chứng minh R.AN = AM.ON
4. Chứng minh : 2S


ABC
= (EF + FD +DE).R
5. Tìm vò trí điểm A trên (O;R) dể chu vi

DEF lớn nhất ?

 Hướng dẫn giải
3. Chứng minh R.AN = AM.ON
AEF ~

ACB ( tỉ số k )

AN AE
k
AM AB
 

( AN , AM là trung tuyến tương ứng )
Mặt khác :

BAE ~

BMO ( g- g)
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
31 LVC


A

E
F K
H
O


B D M C











A

F




E
I
B C
D



AE OM OM
AB OB R
 




AN OM
AM R


R.AN = AM.OM
4. Chứng minh : 2S

ABC
= (EF + FD +DE).R
Ta có :
EF AN AE OM
BC AM AB OB
  



EF.R = OM.BC = 2S

BOC

Tương tự ta chứng minh : FD.R = 2S

AOC
và DE.R = 2S

BOA

Suy ra : R(EF + FD + DE) = 2(S

BOC
+ S

COA
+ S

AOB
) = 2S

ABC

5. Tìm vò trí điểm A trên (O;R) dể chu vi

DEF lớn nhất ?
Theo câu 4 thì chu vi

DEF lớn nhất


S


ABC
lớn nhất

AD lớn nhất


A là điểm chính giữa cung lớn BC.

Bài 42
Cho

ABC vuông tại A , AI là trung tuyến . D

BC ( D

B , C )
E , F là tâm đường tròn (ABD) và (ADC). Chứng minh A, E , I , D , F
cùng thuộc một đường tròn .

 Hướng dẫn giải
Ta có :


AFD 2ACD

( góc ở tâm F và góc nội tiếp )



AIB 2ACD

(AI là trung tuyến tam giác vuông)





AIB AFD


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
32 LVC



P B
A

I


Q





D C




Suy ra : A , F , D , I cùng thuộc đường tròn (1)
Ta có :


1
ABD AED
2

( góc nội tiếp và góc ở tâm E )
Mà


1
FED AED
2


( EF là trung trực của AD)




FED ABD


Mà


0
ADE FED 90
  ( EF

AD )



0
ACD ABD 90
  (

ABC vuông )




AFE ADE



A, F , D , E cùng thuộc đường tròn (2)
Từ (1) và (2) ta có A , E , D , I , F cung thuộc một đường tròn

Bài 43
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 đơn vò. Trên cạnh AB , CD lấy hai
điểm P và Q sao cho chu vi

APQ = 2 ( đơn vò )
1. Chứng minh PB + QD = PQ
2. Chứng minh

0
PCQ 45


 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh PB + QD = PQ
Ta có : PB + QD
= AB – AP +AD +AQ = AB + AD – ( AP + AQ )
= 2 – ( AP + AQ ) = ( AB + AP + PQ ) – ( AP + AQ ) = PQ
2. Chứng minh

0
PCQ 45


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
33 LVC

A B

E

M

I H

F



D C
N

Vẽ đường tròn tâm C bán kính 1 đv


AB , AD là hai tiếp tuyến của (C ) .
Từ điểm P’ tùy ý thuộc AB vẽ tiếp tuyến với (C) tại I cắt AB tại Q’. Ta có :
P’B + Q’D = P’Q’

P’ và Q’ thõa mãn giả thiết câu 1. , tức là chu vi

AP’Q’ = 2 (đv). Ta lại có CI

P’Q’

CI là tiếp tuyến chung của hai
đường tròn (P’; P’B) và (Q’ ; Q’D) .
Suy ra :


1 2
C C

và


3 4
C C









0
1 2 3 4
C C C C 90
   





0
2 3
C C 45
 
hay

0
P'CQ' 45


Vậy nếu hai điểm P và Q thõa mãn chu vi

APQ = 2(đv) thì

0
PCQ 45
 .
 Chú ý
1. Có thể thay đổi giả thiết là hình vuông cạnh a , chu vi


APQ = 2a
2. Câu 2 có thể hỏi :
a. Chứng tỏ đường thẳng PQ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh
b. Chứng tỏ chân đường cao CI của

CPQ thuộc đường tròn cố đònh.

Bài 44
Cho hình vuông ABCD cạnh là a .Trên cạnh AD , CD lân lượt lấy 2 điểm
M , N sao cho

0
MBN 45

. BM , BN cắt AC tại E , F.
1. Chứng minh MEFN nội tiếp
2. MF , NE cắt nhau tại H. BH cắt MN tại I. Tính BI theo a.
Suy ra AM + NC = MN
( Hoăïc chứng tỏ MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh)

 Hướng dẫn giải

1. Chứng minh MEFN nội tiếp


0
EBN ECN 45
  
BENC nội tiếp





0
ENF BCE 45
 



0
MBF MAF 45
 


ABFM nội tiếp



0
BMF BAF 45
 

Suy ra :


0
EMF ENF 45
 


MEFN nội tiếp


2. Tính BI theo a. Suy ra AM + NC = MN


0
EBN ENB 45
 
( cmt)



EBN vuông cân

NE

BM
Tương tự : MF

NB . Suy ra : BH

MN tại I
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
34 LVC


A
I

E

D




B C
M





Suy ra :


MBI MNE

(góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Mà :


MNE MFE

( MEFN nội tiếp )



EFM ABM

( ABFM nội tiếp )




ABM MBI


Suy ra :

ABM =

IBM ( cạnh huyền – góc nhọn )

BI = AB = a Suy ra : AM = MI
Tương tự : NC =NI

MN = AM + NC
 MN

BI tại I


MN luôn tiếp xúc với đường tròn (B; a) cố đònh.

Bài 45
Cho


ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên BC lấy điểm M. Vẽ
MD // AB và ME // AC ( D

AC ; E

AB ). Chứng minh điểm dối
xứng với M qua DE thuộc đường tròn (O).

 Hướng dẫn giải
M đối xứng với I qua ED




EID EMD


AEMD là hình bình hành




EMD EAD








EAD EID



EAID nội tiếp





ADI AEI

(1)
Ta có DM =DI ( đối xứng )
DM = DC (

DMC cân )


DI = DC


DIC cân



ADI 2ACI

(2)

Tương tự :


AEI 2ABI

(3)
Từ (1) , (2) và (3)




ACI ABI




ABCI nội tiếp

I

(O)

Bài 46
Cho hình vuông ABCD tâm O.Vẽ đường thẳng d qua O cắt AD , BC tại E
và F. Từ E , F vẽ các đường thẳng song song với BD và AC cắt nhau tại I.
1. Tìm quỹ tích I khi E chạy trên AD
2. Vẽ đường cao IH của

IEF. Tìm quỹ tích của H
3. Chứng minh đường thẳng HI đi qua điểm cố đònh

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
35 LVC

K
A
I B
E

H


N


O

F

D
C



y

A

x
A

1
D A
2


E
H

B C




 Hướng dẫn giải
1. Tìm quỹ tích I khi E chạy trên AD
OE = OF ( tính chất đối xứng )
Mà EI // OM

MI = MF
Do FI

BD

I đối xứng với F qua BD


I

AB
2. Quỹ tích của H

IHFB nội tiếp




0
BHF BIF 45
 





0
BHO 45

.
Do B và O cố đònh nên H di chuyển trên
cung chứa góc 45
0
dựng trên đoạn BO
( có giới hạn )
3. IH điểm qua điểm cố đònh

Vẽ Ox

AB cắt IH tại K. Ta có :


0

KHB IFB 45
 
( HIBF nội tiếp )




0
KHB KOB 45
 


KHOB nội tiếp




0
BKO BHF 45
 
(=

BIF
)


OKB vuông cân tại B

OK = a


K cố đònh

Bài 47
Cho đường tròn (O) dây BC cố đònh . A



BC
lớn .
1. Tìm vò trí của A để

ABC có ba góc nhọn.
2. Tìm quỹ tích trực tâm H của

ABC khi A chạy trên (O)
thõa mãn điều kiện câu 1
3. Chứng minh ED

OA

 Hướng dẫn giải
1. Tìm vò trí của A để

ABC có ba góc nhọn.
Ta có Â < 90
0
, để

ABC có ba góc nhọn
thì


B
< 90
0
và

C
< 90
0


A



1 2
A A

2. Tìm quỹ tích trực tâm H
Ta có


0
BHC 180 A
 
( không đổi )

H

cung chứa góc


0
180 A
  
dựng trên
đoạn BC cố đònh
3. Chứng minh ED

OA
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
36 LVC

T E



D
O



A B C



Vẽ tiếp tuyến xAy của (O) , chứng minh xy // DE

DE

OA

Bài 48
Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B , C cố đònh. Biết AB = a, BC = b.
Đường tròn (O) di động đi qua B và C. Vẽ tiếp tuyến AT của (O) (T


(O) )
1. Tìm quỹ tích của T
2. Vẽ đường kính BE của (O). AE cắt (O) tại D. Chứng minh :
AD.AE = OA
2
– OC
2

3. Tìm quỹ tích D và E .

 Hướng dẫn giải

1. Quỹ tích của T
Chứng minh : AT
2
= AB. AC = ab


AT =
ab


T


(A;
ab
)


2. Chứng minh AD.AE = OA
2
– OC
2

Chứng minh AD.AE = AT
2
= OA
2
– OC
2

3. Tìm quỹ tích D và E .


ADB vuông tại D

D

đường kính AB


ACE vuông tại C

CE


AC

E

đường thẳng d

AC tại C

Bài 49
Cho đường tròn (O;R) có hai dây cung AC và BD vuông góc tại I nằm
trong đường tròn ( I

O ).
1. Chứng minh IA.IC = IB.ID
2. Vẽ đường kính CE của (O) .Chứng minh :
a. AB
2
+ CD
2
= 4R
2
b.

AB
2
+ BC
2
+ CD
2

+ AD
2
= 8R
2

3. Từ A và B hạ đường vuông góc với CD lần lượt cắt BD tại F , cắt
AC tại K. Chứng minh ABKF là hình thoi
4. Gọi M là trung điểm CD. Chứng minh AB = 2MO
5. Gọi P là trung điểm OI, IH là đường cao của

ICD. Chứng minh
6. MO
2
+ MI
2
– 2MP
2
=
2
OI
2

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
37 LVC


F

D
H

N M

A I C

K
P
O


E




B



 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh IA.IC = IB.ID
Chứng minh

IAB ~

IDC
2a. Chứng minh AB

2
+ CD
2
= 4R
2

AE // DB




AD EB






ADB EBD




ADBE là hình thang cân


AB = DE


AB

2
+ CD
2
= DE
2
+ CD
2
= CE
2
= 4R
2

2b. C/m AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ AD
2
= 8R
2

BC
2
+ AD
2
= BC
2
+ EB

2
(AD = BE)
= EC
2
= 4R
2



AB
2
+ CD
2
+ BC
2
+ AD
2
= 8R
2

3. Chứng minh ABKF là hình thoi



DCA DBK

(góc tương ứng

)



ACD ABD

( cùng chắn

AD
)





DBK ABD





ABK cân tại B

AI = IK (1)
Ta có :


FBK BFA

(so le trong )
Mà



DBK ABD

(cmt)





AFB ABF





FAB cân tại A

IF = IB (2)
Từ (1) và (2)

ABKF là hình bình hành
Mà AK

BF

ABKF là hình thoi
4. Chứng minh AB = 2MO
O là đường trung bình của

DCE


DE = 2OM ,
mà DE = AB

AB = 2OM
5. Chứng minh : MO
2
+ MI
2
– 2MP
2
=
2
OI
2


IMO có : IO
2
= IM
2
+ OM
2
– 2IM.OM.cos

IMO
(ch/ minh công thức)
= IM
2
+ OM

2
– 2IM.OM.cos

HIM

= IM
2
+ OM
2
– 2IM.OM.
HI
IM
(cos

HIM
=
HI
IM
)
= IM
2
+ OM
2
– 2OM.HI
= IM
2
+ OM
2
– [(OM + HI)
2

– OM
2
– HI
2
]
= IM
2
+ OM
2
– ( 4PN
2
– OM
2
– HI
2
)
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
38 LVC

A
E

D M

I

B C


F

= IM
2
+ OM
2
+ OM
2
+ HI
2
– 4(PM
2
+ NM
2
)
= IM
2
+ OM
2
+ OM
2
+ HI
2
– 4PM
2
– 4NM
2

= IM
2
+ 2OM

2
– 4PM
2
+ 4
2
2
HM
HI
4


= IM
2
+ 2OM
2
– 4PM
2
+ IM
2

= 2IM
2
+ 2OM
2
– 4PM
2

Vậy :
2
OI

2
= MO
2
+ MI
2
– 2MP
2
(đpcm)

Bài 50
Cho

ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). B và C cố đònh , D và
E là điểm chính giữa

AB
,

AC
. DE cắt AB , AC tại H và K.
1. Chứng minh AH = AK
2. Vẽ tia Ax

HK tại M cắt BE tại I. Chứng minh C , I , D thẳng hàng
và tia AI luôn đi qua điểm cố đònh
3. Chứng minh tỉ số
HK
AH
không phụ thuộc vào vò trí điểm A.

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AH = AK
Chứng minh


AHK AKH

(góc có đỉnh trong đường tròn )

AH = AK
2. Chứng minh C, D , I thẳng hàng
CD là phân giác

C
, AF là phân giác  , BE là phân giác

B

Suy ra C , I , D thẳng hàng

AI đi qua điểm cố đònh F (điểm chính giũa

BC
)
3. Chứng minh
HK
AH
không phụ thuộc vào vò trí điểm A



HK HM 1 1 A
sinHAM sin
AH 2AH 2 2 2
  
không đổi ( do B , C cố đònh)


Bài 51
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
39 LVC
M





F A I O K B

C H

N L D

E



Cho đường tròn (O) đường kính AB .Trên AB lấy hai điểm I và K đối

xứng nhau qua O. M là điểm

(O) ( M

A và B). MI , MO , MK cắt
(O) tại C , E , D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt ME tại L,
cắt MC tại N.
1. Chứng minh LN = LD
2. Vẽ OH

CD tại H . Chứng minh LHDE nội tiếp
3. CD cắt AB tại F. Chứng minh FE là tiếp tuyến của (O).]


 Hướng dẫn giải




1. Chứng minh LN = LD
IO OM
LN ML

( do IO // NL )


IO OK
NL LD



LN = LD ( do OI = OK )
OK OM
LD ML

( do OK // DL )
2. Chứng minh LHDE nội tiếp
H là trung điểm CD , L là trung điểm DN

HL // MN





CHL MCD

(slt) mà


MCD MED

(chắn

MD
)




CHL LED





HLED nội tiếp ( góc ngoài bằng góc trong đối diện )
3. Chứng minh FE là tiếp tuyến của (O)



HDL HEL

(tứ giác HLED nội tiếp )
Mà


HDL BFD

(slt)




OFH OEH



OFEH nội tiếp





0
FEO FHO 90
 


EF

OE

FE là tiếp tuyến của (O)

Bài 52
Cho

ABC đều .Trên các cạnh AB , BC , AC lấy các điểm M , N , R sao
cho AM = CN = BR .Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC. E , F , K
l;ần lượt là hình chiếu của O lên AB , AC , MN.
1. Chứng minh K , F , N , O cùng thuộc một đường tròn
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
40 LVC



A

M


E K F


O N

B
R C






2. Chứng minh K là trung điểm MN . Suy ra K thuộc đường thẳng
cố đònh khi M di động trên AB
3. Chứng minh E , K , F thẳng hàng
4. Tìm vò trí M , N , R để chu vi

MNR nhỏ nhất

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh K , F , N , O cùng thuộc một đường tròn


0
OKN OFN 90
 

2. Chứng minh K là trung điểm MN
Chứng minh

MNR đều , chứng minh

AMO =

CNO (c-g-c)

OM = ON

K là trung điểm MN
3. Chứng minh K , E , F thẳng hàng

OEM =

OFN ( OM = ON , OE = OF )




EOM FON


Mà


MKE MOE

và



FKN FON

( tứ giác nội tiếp )




MKE FKN


Do M , K , N thẳng hàng

E , K , F thẳng hàng
4 Tìm vò trí M , N , R dể chu vi

MNR nhỏ nhất
Chu vi

MNR min

KN min
Mà tg

OK
KNC
KN



KN =
0
OK
tg30
.
Do đó KN min

OK min
Mà K

EF cố đònh , nên OK min


OK

EF

MN = EF .
Vậy chu vi

MNR nhỏ nhất khi M , N , R
là các trung điểm của AB , BC , AC


Bài 53
Cho

ABC cân tại B , nội tiếp đường tròn (O). Trên cung


AC

không chứa B lấy 2 điểm K và M ( K , M

A , C ). BK cắt AM tại E ,
KC cắt BM tại D. Chứng minh ED // AC

 Hướng dẫn giải
Tứ giác KEDM nội tiếp (


BKC BMA

)
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
41 LVC

B









A C
E D
K

M



A

B’



H M



B A’ M’ C







EDK AMK


Mà


AMK ACK






EDK ACK




ED // AC







Bài 54
Cho

ABC có 3 góc nhọn . M là điểm trong

ABC. H là trực tâm .
Chứng minh :
MA.BC + MB.AC + MC.AB

HA.BC + HB.AC + HC.AB

 Hướng dẫn giải

Ta có AA’

AM’

AM + MM’


AH + AA’

AM + MM’


½ BC( AH + AA’)

½ BC( AM + MM’)


½ AH.BC + S

ABC


½ BC.AM + S

BMC

Tương tự :
½ BH.AC + S


ABC


½ AC.BM + S

AMC

½ CH.AB + S

ABC


½ AB.CM + S

AMB

Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được
điều phải chứng minh

 Chú ý: Ta có thể thay đổi câu hỏi bài toán này theo hai cách sau:
1. Tìm vò trí của M để MA.BC + MB.AC + MC.AB nhỏ nhất
2. Chứng minh MA.BC + MB.AC + MC.AB

4S

ABC

1. Dấu = xảy ra khi M

H


MA.BC + MB.AC + MC.AB nhỏ nhất khi M là trực tâm
của

ABC
2. Ta có AA’

AM’

½ BC.AA’

½ BC.AM

1/2BC(AM + MM’)

S

ABC


1/2BC.AM + ½ BC.MM’

S

ABC


½ BC .AM + S

BMC


½ BC.AM

S

ABC
– S

BMC
(1)
Tương tự : ½ AC.BM

S

ABC
– S

AMC
(2)
½ AB.CM

S

ABC
– S

AMB
(3)

Cộng (1) , (2) , (3) theo từng vế ta được : MA.BC + MB.AC + MC.AB

4S

ABC



100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
42 LVC
A


D
E
H

B K C



A


1 2 3 4

E
F I

J D K

1 1
2 2
B N M C



Bài 55
Cho

ABC có 3 góc nhọn . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Vẽ đường cao AK. Chứng minh : KH.KA


2
BC
4


 Hướng dẫn giải
Ta chứng minh

AKB ~

CKH

AK.HK = KB.KC
Mà theo BĐT Cauchy :
KB KC
KB.KC
2





KB.KC


2
(KB KC)
4

=
2
BC
4

Vậy AK.KH


2
BC
4




Bài 56
Cho

ABC vuông tại A . Đường cao AH. Gọi I , J , K lần lượt là tâm

đường tròn nội tiếp

ABC ,

ABH ,

AHC .
1. Chứng minh AI

JK.
2. Chứng minh BJKC nội tiếp .

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AI

JK
Ta có


0
0
1 1
90
A B 45
2
   Mà


0
2 3

A A 45
 



1
A
+

3
A
= 45
0




1
B
=

3
A




2
B
=


3
A
Mà

3
A
+

M
= 90
0




2
B
+

M
= 90
0


BE

AM

JE


AK



ABM cân tại B
Tương tự : KF

AJ

I là trực tâm

AJK

AI

JK
2. Chứng minh BJKC nội tiếp


EJK DAK

( góc có cạnh tương ứng

)




0

JAK IAJ 45 IAJ
   

Mà

2
C
=

2
A
=

1
A
( góc có cạnh tương ứng

)
=



0
IAB IAJ 45 IAJ
  

Suy ra


2

EJK C



BJKC nội tiếp
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
43 LVC

A





I
O K

B H C




Bài 57
Cho

ABC cân tại A. H là trung điểm BC. Vẽ HI

AC. Gọi O là trung
điểm HI.
1. Chứng minh AO


BI
2. Chứng minh OA.B =
1
2
AH.BI

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AO

BI
Gọi K là trung điểm

HK // BI và OK // BC
Mà BC

AH

OK

AH

O là trực tâm của

AHK


AO

HK


AO

BI
2. Chứng minh OA.B =
1
2
AH.BI


AOH và

BIC có :



AHI ACH

( cùng phụ với

HAC
)



OAH IBH
 ( góc t/ứng

)




AOH ~

BIC



AO AH
BI BC




AO.BC = AH.BI


AO.BH =
1
2
AH.BI

Bài 58
Cho

ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (I) tùy ý đi qua B
và C cắt AB , AC tại M , N. Đường tròn tâm K ngoại tiếp

AMN cắt (O)

tại điểm thứ hai là D.
1. Chứng minh AKIO là hình bình hành
2. Chứng minh

0
ADI = 90


 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AKIO là hình bình hành
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
44 LVC



A x
y

D
K N


M O


B C
I

Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) tại A
Ta cm được Ax // MN

OA

MN
Mà IK

MN ( đường nối tâm )


IK // OA (1)
Vẽ tiếp tuyến Ay của (K) tại A
Ta có

yAN
=

AMN
( chắn

AN

)
Mà


AMN ACB

(BMNC nội tiếp )





yAN ACB



Ay // BC
Mà BC

OI ( đường nối tâm )


Ay

OI
Mà Ay

AK (tiếp tuyến )

OI // AK (2)

Từ (1) và (2)

AKIO là hình bình hành
2. Chứng minh

0
ADI = 90

Hai đường tròn (O) và (K) cắt nhau tại A và D

OK là trung trực AD
Gọi E là giao điểm của KO và AI ta có : EA = EI ( hình bình hành )
Mà E

OK

EA = ED ( t/c trung trực )
Suy ra : ED = ½ AI



DAI vuông tại D



0
ADI = 90


Bài 59

Cho đường tròn (O;R) có dây AB cố đònh . Điểm M di chuyển trên

AB

lớn . Các đường cao AE , BF của

AMB cắt nhau tại H.
1. Chứng minh OM

EF
2. Đường tròn (H;HM) cắt MA , MB tại C , D. Ch . minh đường
thẳng kẻ từ M vuông góc với CD đi qua một điểm cố đònh
3. Chứng minh đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD cũng đi qua
một điểm cố đònh

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh OM

EF
Vẽ tiếp tuyến xMy của (O). Ta có :


xMA MBA
 ( chắn cung AM )
Mà


MFE MBA

(AFEB nội tiếp)





xMA MEF



xy // EF

OM

EF
2 . Ta có HE

MD ( đk-dc )
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
45 LVC


y
M


x E
F
H D

C O

A B

O’








A

B’
C’


M
K
B
H C

A’








1
2
MHE MHD

Mà


1
2
MCD MHD
 (góc nt-ở tâm)





MHE MCD


Mà


MFE MHE

(tứ giác nội tiếp)





MFE MCD



EF // CD
Do OM

EF

OM

CD




Vậy đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD đi qua điểm cố đònh O
3. Gọi O’ đối xứng với O qua AB . Ta chứng minh được : OO’ = MH
Mà OO’ // MH

MHOO’ là hình bình hành

O’H // MO


O’H


CD. Vậy đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD đi qua
điểm O’ cố đònh

Bài 60
Cho

ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi A’ , B’ , C’ là điểm chính giữa
của các cung nhỏ



BC , AC , AB
.
1. Chứng minh các đường tròn (A’;A’C) ; (B’;B’A) ; (C’;C’B) cùng đi
qua một điểm
2. Chứng minh AA’ + BB’ + CC’ > AB + AC + BC

 Hướng dẫn giải
1. Ta có AA’ , BB’ , CC’ là ba đøng phân giác của

ABC nên chúng
đồng qui tại M.


MCA’ có :



1
' ' ( ' ')

2
C CA C B BA
 




1
' ( ' ')
2
A MC C A CA
 
Mà




' ' ; ' '
AC BC CA BA
 






' '
A MC MCA





MA’C cân tại
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
46 LVC

A


N
M
O



B Q C





A


N
D
Q

P N

B C




A’M = A’C

M

(A’;A’C)
Tương tự ta chứng minh được: M

(B’;B’A) ; M

(C’; C’B)
Vậy ba đường tròn trên đồng quy tại điểm M
2. Chứng minh AA’ + BB’ + CC’ > AB + AC + BC
Kẻ A’H

AB ; A’K

AC

A’H = A’K



BHA’ =


CKA’

BH = KC

AB + AC = AH – BH + AK + KC = AH + AK = 2AK
Mà AK < AA’

2AK < 2AA’

AB + AC < 2AA’

AA’ >
2
AB AC


Chứng minh tương tự ta được : BB’ >
2
BC AB

và CC’ >
2
AC CB


Vậy : AA’ + BB’ + CC’ > AB + AC + BC

Bài 61
1. Cho


ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Các tiếp điểm M , N , Q lần
lượt của AB , AC , BC với (O).Ch. minh 2AM = AB + AC + BC
2. Cho tứ giác ABCD. Hai đường tròn nội tiếp hai

ABC và

ADC
tiếp xúc với AC tại M , N. Hai đường tròn nội tiếp

BAD và

BCD
tiếp xúc với BD tại P và Q. Chứng minh MN = PQ
3. Cho

ABC vuông tại C, đường tròn nội tiếp

ABC tiếp xúc với AB
tại I. Chứng minh S

ABC
= AI.BI

 Hướng dẫn giải
1. AB + AC – BC
= AM + MB + AN + NC – BQ – QC
Mà AM =AN ; BN = BQ ; CN = CQ


AB + AC – BC = AM + AN = 2AM

2. Theo kết quả câu 1. ta có ;
2AM = AB +AC – BC



2
AB AC BC
AM
 

Tương tự :
2
CA CD AD
CN
 

Ta có : MN = AC – AM – NC
= AC –
2
AB AC BC
 
–
2
CA CD AD
 

100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
47 LVC

C

B A
P







D


C N
H
M

E
A B
O




K


MN =
( ) ( )
2
AD BC AB CD
  

Tương tự ta chứng minh : PQ =
( ) ( )
2
AD BC AB CD
  

Suy ra : MN = PQ
3. p dụng câu 1. ta có : 2AI = AC +AB – BC
2BI = BC + BA – AC


4AI.BI = (AC +AB – BC )(BC + BA – AC )
= 2AC.BC = 4S


ABC


S

ABC
= AI.BI




Bài 62
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB . C là điểm

(O). M , N là điểm
chính giữa


,
AC BC
.
1. Kẻ ND

AC tại D. Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O)
2. Gọi E là trung điểm BC .Đường thẳng OE cắt (O) tại K
(K

N).Chứng minh ADEK là hình bình hành
3. Chứng minh khi C di chuyển trên (O) thì MN luôn tiếp xúc với một
đường tròn cố đònh

 Hướng dẫn giải
1. ND là tiếp tuyến
ON

BC , AC

BC

ON //AC Mà DN

AC

DN

ON tại N
Do N

(O)

DN là tiếp tuyến

2. ADEK là hình bình hành



DEN CNE
 ( hình chữ nhật )




CNE AKN

(


CK AN

)





DEN AKN


DE //AK
Mà AD // EK
Suy ra ADEK là hình bình hành
3. Chứng minh MN tiếp xúc với đường tròn cố đònh
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
48 LVC

A




O

B
H
Q D
N
I
M J C

K






MON vuông cân

OH =
2
2
R
.
Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn (O; OH) cố đònh

Bài 63
Cho

ABC cố đònh cân tại A. Gọi D là điểm di động trên BC. Qua D vẽ
hai đường tròn (I) và (J) tiếp xúc với AB tại B , tiếp xúc với AC tại C.
Hai đường tròn (I) và (J) cắt nhau tại K ( K


D)
1. Chứng minh ABKC nội tiếp đường tròn
2. Chứng minh DK luôn đi qua điểm cố đònh và AD.AK không đổi khi D
di động trên BC
3. Chứng minh tổng hai bán kính của (I) và (J) không đổi
4. Tìm tập hợp các trung điểm M của IJ

 Hướng dẫn giải
1. Trong (I) :


ABD BKD

( chắn

BD
)
Trong (J) :


DKC ACD

( chắn

DC
)
Mà




0
180
ABO ACD A  




0
180
AKC BKD A  






0
180
BKC A 


ABKC nội tiếp
2. Theo chứng minh trên ta có :



DKB DKC


KD là phân giác


BKC

Mà


AKC AKB

(


AB AC

)
Suy ra KA là phân giác của

BKC


K , D , A thẳng hàng


DK đi qua A cố đònh
Ta có

ADC ~

ACK

AD.AK = AC

2
( không đổi )
3. Gọi R là bán kính của (I) và r là bán kính của (J)
Vẽ IH , JN

BC


2 2
BD DC BC
HN

  (không đổi )



BIH BKD





DJN DKC


100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
49 LVC


A

D

K


I
O
E F

B C











2
Sd AB
BIH DJN

  
( không đổi )




BKD DKC


Ta có : R =

sin sin
sin
BH BH HD
BIH
 
  ; r =

sin
sin
DN DN
DJN


Suy ra : R + r =
sin 2sin
DH DN BC
 


( không đổi )
4. Kẻ MQ

BC ta có MQ là đương trung bình của hình thang HIJN



MQ =
2
IH JN


Ta có : IH = BH. cotg

; JN = DN.cotg




MQ = (BH + DN).cotg

=
2
BC
. cotg

( không đổi )
Vậy tập hợp M là đường thẳng // cách BC một đọan d =
2
BC
.cotg

.

Bài 64
Cho đường tròn (O;R) ngoại tiếp


ABC đều. K là điểm thuộc cung nhỏ
AB. Vẽ đường tròn (I; r) tiếp xúc với (O;R) tại K (R > r). Đường tròn (I)
cắt KA , KB , KC tại D , E , F
1. Chứng minh DE // AB và DF // AC
2. Chứng minh FC = AD + BE
3. Từ A , B , C vẽ cát tuyến AM , BN ,CP với (I).
Chứng minh CP = AM + BN

 Hướng dẫn giải
1. Chứng minh FC = AD + BE Ta có :


0
60
DEF AKF 
( chắn

AC
)



0
60
FDE BKF  (chắn

BC
)
Suy ra


DEF đều.
Theo bài 6 ta chứng minh được :
KC = KA + KB
KF = KD + KE


KC – KF = (KA – KD ) + (KB – KE)


FC = AD + BE
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
50 LVC

C


E
A



F

D


B

2. Chứng minh CP = AM + BN
AM , BN , CP là các tiếp tuyến của (I)

AM
2
= AD.AK , BN
2
= BE.BK

AM
2
.BN
2
= (AD.BK)(AK.BE)
Mà CP
2
= CF.CK = (AD + BE)(KA + KB)
= AD.AK + AD.KB + BE.KA + BE.KB
= AM
2
+ AD.KB + BE.AK + AN
2

Mặt khác : ED // AB


AD BE
KA KB




AD.KB = AK.BE
Từ AM
2
.BN
2
= (AD.BK)(AK.BE) ( chứng minh trên)

(AM.BN)
2
= (AD.BK)
2
= (AK.BE)
2


AM.BN = AD.BK = AK.BE
Suy ra : CP
2
= AM
2
+ 2AM.BN + BN
2
= (AM + BN)
2

Do đó : CP = AM + BN

Bài 65
Cho

ABC có phân giác BE tạo với cạnh AC một góc bằng 45
0


0
BEA = 45
Vẽ đường cao AD của

ABC. Tính số đo

EDC
?


Hướng dẫn giải
Từ E vẽ Ex

AC cắt BC tại F.
Suy ra FEAD nội tiếp
Ta có :

0
45
EAB 
;

0

90
AEF 

Suy ra :

0
45
BEF 



EFB =

EAB ( c-g-c)

EF = EA



FEA vuông cân



0
45
EAF 



0

45
EDF  ( cùng chắn

EF
)
Vậy

0
45
EDC 


Bài 66
Cho

ABC vuông tại A , A và B cố đònh , C di động trên tia At

AB
tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp

ABC với P , Q , R là các tiếp
điểm trên aC , BC , AB. Đường thẳng PQ cắt tia AI tại D
1. Chứng minh B , D , Q , R cùng thuộc một đường tròn