Phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai_SKKN loại A cấp tỉnh

1

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Dùđãtrảiquahơnhaingànnămnhưngtoánhọcđãchứngtỏmìnhnhư
mộtđỉnhcaotrítuệcủaconngười,xâmnhậpvàohầuhếtcácngànhkhoahọcvà
lànềntảngcủanhiềulýthuyếtkhoahọcquantrọng.Ngàynayvớithờiđạicông
nghiệptiêntiếnvàsựpháttriểnnhưvũbãocủacôngnghệthôngtinthìvaitrò
củatoánhọccàngtrởnênquantrọngvàcầnthiếthơnbaogiờhết.
Trongquátrìnhgiáodụctrithứcchohọcsinh,thìviệcdạyđúng,đủtheo
chuẩnkiếnthứckỹnăngcủachươngtrìnhđàotạolànhiệmvụtrọngtâmcủa
mỗingườigiáo viên đứnglớp.Song,bêncạnh đómột nhiệmvụcũngkhông
kémphầnquantrọngvàcầnthiếtđốivớicáctrườngtrunghọccơsởđólàviệc
bồi dưỡng,đàosâukiếnthứcmởrộng, nângcao chođốitượnghọcsinhkhá
giỏi.Việcbồidưỡngđógiúpcácemkhôngchỉnắmvữngkiếnthức,kỹnăngcơ
bảnmàcònrènthóiquensuynghĩ,tìmhiểu,suyluận,giảiquyếtmộtvấnđề,
mộtbàitoánkhómộtcáchchặtchẽ,logic.Từđórènchocácemtríthôngminh,
sángtạo,niềmyêuthích,hứngthúđốivớibộmônToán.
 QuamộtthờigiangiảngdạybộmônToánlớp9ởtrườngtrunghọccơsở
thịtrấnThanUyên,huyệnThanUyên,tỉnhLaiChâu,tôinhậnthấy,phầnkiến
thứcvề“Phươngtrìnhbậchai”,“Phươngtrìnhquyvềphươngtrình bậc hai”là
phầnkiếnthứctrọngtâm,cơbản,thườngxuyênxuấthiệntrongcácđềthituyển
sinhvàolớp10,thihọcsinhgiỏicáccấp.Dođótôithấyhọcsinhcầnnắmthật
vữngmảngkiếnthứcnày,đặcbiệtđốivớihọcsinhkhágiỏithìgiáoviêngiảng
dạycũngnhưgiáoviênbồidưỡngcầngiúpcácemcócáinhìnrõnét,đầyđủvề
phươngtrìnhbậchaivàcácdạngphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchai.
 Nhậnthứcđượctầmquantrọngcủavấnđề,saukhinghiêncứukỹlưỡng
mộtsốtàiliệucóliênquan,tôimạnhdạnđưaramộthệthốngcáckiếnthức,các
dạngphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchaivàcáchgiải.Tôihyvọngrằngđề
tàinàyítnhiềusẽgiúpíchđượcthầycôvàcácemhọcsinhkhibồidưỡngmảng
kiếnthứcvềphươngtrìnhbậchai.Đóchínhlàlýdotôichọn“Phương pháp giải

các phương trình quy về phương trình bậc hai”làmđềtàinghiêncứucủamình
tronghainămhọcvừaqua.
II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
1. Phạm vi nghiên cứu
-Cácdạngphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchaitrongchươngtrình
Đạisố9THCS. 
2

2. Đối tượng nghiên cứu
- Một số kiến thức về phương trình bậchai. Một sốphương trình quy
đượcvềphươngtrìnhbậchaitrongchươngtrìnhĐạisố9trunghọccơsởvà
phươngphápgiải.
III. Mục đích nghiên cứu
Nhằmmụcđíchnângcao,mởrộnghiểubiếtchohọcsinhnhấtlàviệcbồi
dưỡnghọcsinhgiỏi,giúpcácemcócáinhìnđầyđủhơnvềphươngtrìnhbậc
hai,phươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchai.Quađó giúphọcsinhcóđiều
kiệnhoànthiệncácphươngphápvềgiảiphươngtrìnhvàrènluyệntưduysáng
tạochohọcsinh.
IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
Đãápdụngtrongcôngtácbồidưỡnghọcsinhgiỏinămhọc2011-2012,
2012-2013vàthuđượcnhữngkếtquảkhảquan,thuhútđượcsựchúý,tăng
cườngtínhsángtạo,tưduycủahọcsinh.

3

PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Trongchươngtrìnhgiáodụcphổthông,Toánhọclàmộtmônkhoahọc
quantrọng,làthànhphầnkhôngthểthiếucủanềnvănhóaphổthôngmỗicon
người.Với cácđặc trưnglàsuy luận, tínhtoán, chứng minh,phân tích, tổng
hợp,sosánh,môntoáncótiềmnăngkhaithácgópphầnpháttriểnnănglựctrí
tuệ,rènluyệnvàpháttriểncácthaotáctưduyvàcácphẩmchấttưduy.
 Đểgiảicácbàitoán,ngoàiviệcnắmvữngcáckiếnthứccơbảncũngcần
cóphươngphápsuynghĩkhoahọccùngvớinhữngkinhnghiệmcánhântích
lũyđượctrongquátrìnhhọctập,rènluyện.Trongmôntoánởtrườngtrunghọc
cơsởcórấtnhiềubàitoánchưacóhoặckhôngcóthuậttoánđểgiải.Đốivới
nhữngbàitoánấy,ngườigiáoviêncầnphảicốgắnghướngdẫnhọcsinhcách
suynghĩ,tìmtòilờigiải.
Trongquátrìnhgiảngdạybộmôntoánởnhàtrườngcũngnhưtrongcáckỳ
thihọcsinhgiỏicáccấp,thituyểnsinhvàolớp10trunghọcphổthông,chuyên

đềvềphươngphápgiảimộtsốphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchailàmột
chuyênđềhayvàlýthú,thuhútđượcđôngđảothầycôvàhọcsinhquantâm.
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số
Ở chương trình toán 9THCS,định nghĩa phươngtrình bậc haimột ẩn
đượctrìnhbàynhưsau:Phươngtrìnhbậchaiđốivớiẩn
x R

làphươngtrìnhcó
dạng:ax
2
+bx+c=0(a

0).
2. Một số kiến thức và kỹ năng cần nắm được khi giải phương trình
bậc hai
-Cácquytắctínhtoánvớicácbiểuthứcđạisố.
-Cáchằngđẳngthứcđángnhớ.
-Kỹnăngphântíchđathứcthànhnhântử.
-Kiếnthứcvềgiátrịtuyệtđối.
-Kỹnăngtìmtậpxácđịnhcủamộtbiểuthức.
-Kỹnăngbiếnđổicácbiểuthức.
-Kỹnănggiảivàbiệnluậnphươngtrình.
II. Thực trạng vấn đề
1. Thuận lợi
Vớiđặcđiểmphânchiacáclớptheolựchọctạitrườngtrunghọccơsởthị
trấnThanUyên,thìviệccácemhọcsinhđangtheohọctạicáclớpchọnmuốnđào
sâu,mởrộngkiếnthứclàđiềudễdàngnhậnthấyvàcầnđượckhíchlệ,biểudương.

4

TrongchươngtrìnhtoánTHCSphầnkiếnthứcvềphươngtrình,phương
trình bậc hai được đông đảo học sinh yêu thích, say mê tìm hiểu. Các dạng
phươngtrìnhquyđượcvềphươngtrìnhbậchaitrongchươngtrìnhtoánTHCS
tuyrấtđadạngvàphongphúnhưngmỗidạngđềucónhữngđặcđiểmriêng,dễ
dàngnhậnbiết,đồngthờimỗidạngphươngtrìnhđềucómộtphươngphápgiải
cụthể,phùhợpvớitừngdạngbài.
2. Khó khăn
* Về phía giáo viên: 
Căncứvàothựctếgiảngdạytạinhàtrường,tôinhậnthấyphầnkiếnthức
vềphươngtrìnhvàphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchaiởtrườngtrunghọc
cơsởchưađượcgiáoviênthườngxuyênquantâmvàđềcậpđếnnhiều.Trong
quátrìnhbồidưỡnghọcsinhgiỏi,phầnkiếnthứcnàygiáoviênthườngchuẩnbị
chưachuđáo,còntựbiênsoạntàiliệugiảngdạy,hoặcdựavàoquánhiềutàiliệu
thamkhảo,cònbịđộngtrướccáctìnhhuốnghọcsinhđưara,gâykhôngítkhó
khănchocảngườidạyvàngườihọc.
Cóthểkhẳngđịnhrằngphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchailàmột
trongnhữngkiểubàitươngđốikhóvớigiáoviên.Khókhăntrướchếtlàkhó
khănvềkiếnthức,vềphươngpháp.Khókhăntrongviệchướngdẫnhọcsinh
pháthiệnvấnđề,làmsaođểchỉtrongmộtvàitiếtcóthểgiúphọcsinhnhậnbiết
thành thạo cácdạngphương trìnhquy được vềphươngtrìnhbậc haivà cách
giải,chỉtrongmộtsốtiếtmàdunglượngkiếnthứckhôngít,córấtnhiềudạng
toán,rấtnhiềuvấnđềcầnđềcậpnângcao.Giáoviênphảilàmsaođểgiờhọc
vừatruyềnthụđủkiếnthứcchohọcsinhđểhọcsinhcó“nghệthuậtgiảiphương
trình”vừa cô đọng, tập trung vào phương pháp giải đồngthời tránh được sự
giảnggiảinhàmchánvàcuốnhúthọcsinh.Vậynguyênnhândođâu?
Thứ nhất:Cáctàiliệuvềphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchaiđểgiáo
viênthamkhảocònrấthiếmnêngiáoviênítcócơhộiđểbổsungkiếnthức,
phươngpháp.
 Thứ hai: Do giáo viênchưa tìm được phương pháp tối ưu,chưađầu tư
nhiềuđểsuynghĩđưarahệthốngnhữnglờichỉdẫncầnthiếtchohọcsinhtrong

cáctiếthọc.
* Về phía học sinh:
Vớigiáoviên,việcgiúphọcsinhlĩnhhộiphươngphápgiảicácphương
trìnhquyvềphươngtrìnhbậchailàkhóthìvớihọcsinhkiểubàinàycònkhó
hơnrấtnhiều.

5

Việchọctậpcácphươngpháptổngquátvàđặcbiệtđểgiảicácbàitoán,việc
hìnhthànhkỹnăngvàkỹxảovậndụngtoánhọcvàonhữngsựkiệnkhácnhau
trongđờisốngnhưtađãbiếtcómộtýnghĩaquantrọng.
Họcsinhtrongkhinghiêncứutoánhọccácemcónhữngkiếnthứcnộidung
tài liệu học tập, các em hiểu các định lý và quy tắc nhưng không hiểu các
phươngphápchungđểgiảicácbàitoán.Bởivìcácthủthuậtấykhôngđượcnêu
rõvàhìnhthànhtrongbảnthânkhoahọc.
Điềuquantrọngkhôngchỉthôngbáochohọcsinhnhữngthôngtinvềnhững
thủthuậtvàphươngphápấymàphảilàmsaochohọcsinhhiểuthấuđáonhững
kiếnthứcthuđượcvềphươngpháp.Điềunàylàbắtbuộcbởilẽsáchgiáokhoa
vàtuyểntậptàiliệudùngchohọcsinhhiệnnaykhôngcóđầyđủnhữngchỉdẫn
liênquanđếnphươngphápnhậnthứcriêngvàlôgicđạicươngápdụngchokhi
nghiêncứutoánhọcởnhàtrường.
Nhữngchỉdẫntảnmạncủagiáoviênthôngthườnghọcsinhkhôngnhớvà
hệthốnghóađược.Vìthếtấtcảnhữngchỉdẫnđóchỉtrôngcậyvàotrínhớcủa
họcsinh,họcsinhlạinhanhquên.Mặcdùtrongsáchgiáokhoađãcómộtsốbài
tậpgiảimẫuvàmộtvàichỉdẫngiảiphươngtrìnhnhưngnhữnghướngdẫnđó
chưacungcấpchohọcsinhđầyđủnhữngcơsởvữngchắcđểnắmvữngcách
giảicácbàitoán.
Cònmộtsốnguyênnhânkháckhiếnhọcsinhgiảichưatốtphươngtrình
quyvềphươngtrìnhbậchai,đólà:
-Học sinh còn yếuvề kỹnăngphát hiệnphương trìnhquy vềphương

trình bậc hai, khi đứng trước một phương trình học sinh không biết được
phươngtrìnhđócóđưavềphươngtrìnhbậchaiđượchaykhông,nguyênnhân
làdohọcsinhchưanắmrõ,chưaphânbiệtđượccácdạngphươngtrìnhquyvề
phươngtrìnhbậchai.
- Khi đứng trước mộtphương trình học sinh còn nhầm lẫn vềphương
phápgiảigiữaphươngtrìnhnàyvớiphươngtrìnhkia.
-Một sốhọc sinhkhônghiểu giảimột bài toán lànhưthế nào. Vì thế
khônggiảiđầyđủ,khôngbiếtnghiệmcủaphươngtrìnhtìmđượccólàđápsố
củabàitoánnàykhông.
 Trước khi tiến hành bồi dưỡng, nghiên cứu chuyên đề này,tôi đã tiến
hànhkiểmtrakhảosátnhằmđánhgiákhảnăngvốncócủahọcsinh.Mặtkhác
lưugiữkếtquảđểđánhgiátừngbướctiếnbộcủahọcsinh.
 Dướiđâylàđềkiểmtrakhảosát:

6

Câu 1.Giảiphươngtrình:
6
17
1
2
3
12
2




 x
x

x
x
x

Câu 2.Giảiphươngtrình:
2 2 2
3( ) 2( ) 1 0
x x x x
    

Giải
Câu 1: Điềukiệnxácđịnhcủaphươngtrình:x

0;x


2
1

 Phươngtrìnhđãchotươngđươngvới:
2(2x
2
+1)(2x-1)+6x
2
=x(2x-1)(7x-1)

6x
3
-11x
2

-3x+2=0

(6x
2
+x-1)(x-2)=0
2
1 2
3
1 1
6x x 1 0 x ; x
2 3
x 2 0 x 2


     



   



Vậyphươngtrìnhđãchocó3nghiệm:x
1
=
2
1

;x
2

=
3
1
;x
3
=2.
Câu 2:
2 2 2
3( ) 2( ) 1 0
x x x x
    

 Đặtx
2
+ x = t,tacó
2
3 2 1 0
t t
  

1
2
1
1
3
t
t











 Vớit
1
=1,tacó:x
2
+ x =1 hayx
2
+ x – 1 = 0

Giảiratađược:
1
1 5
2
x
 

;
2
1 5
2
x
 



Vớit
2
=
1
3

, tacó
2
1
3
x x
  
hay
2
1
0
3
x x
  

Phươngtrìnhnàyvônghiệm.
Vậyphươngtrìnhđãchocóhainghiệm:
1 2
1 5 1 5
;
2 2
x x
   
 


Kết quả thu được: BẢNG 1
ĐỐI TƯỢNG I ĐỐI TƯỢNG II ĐỐI TƯỢNG III
NĂM HỌC
Số
lượng
%
Số
lượng
%
Số
lượng
%
2011-2012 6 30 10 50 4 20
2012-2013 7 30,4 11 47,9 5 21,7

7


Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau:
- Đối tượng I: Cácemchỉmớilàmđượcbài1nhưngthiếukếtluậnnghiệm:
+Nămhọc2011-2012:6/20emchiếmtỷlệ30%;
+Nămhọc2012-2013:7/23emchiếmtỷlệ30,4%.
 - Đối tượng II:Cácemlàmhoànthiệnbài1nhưngbài2chưabiếtcách
đặtẩnphụ:
+Nămhọc2011-2012:10/20emchiếmtỷlệ50%;
+Nămhọc2012-2013:11/23emchiếmtỷlệ47,9%. 
 -Đối tượng III:Cácemđãbiếtlàmcảhaibàinhưnglậpluậnchưachặtchẽ:
+Nămhọc2011-2012:4/20emchiếmtỷlệ20%;
+Nămhọc2012-2013:5/23emchiếmtỷlệ21,7%.
 Từthựctrạngtrên,đểhọcsinhcóđịnhhướngrõnét,đồngthờitrangbị

cho các em hệ thống phương pháp giải các dạng phương trình quy được về
phươngtrìnhbậchai,nhằmmụcđíchgiúpcácemkhiđứngtrướcmộtphương
trìnhbấtkỳcóthểdễdàngđịnhhướngđượccáchgiảitôiđãđềracácbiệnpháp
nhưsau:
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
1. Nhắc lại định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số
a) Địnhnghĩa:Phươngtrìnhbậchaiđốivớiẩn
x R

làphươngtrìnhcó
dạngax
2
+bx+c=0(a

0)(1)
b) Cáchgiải:Tính
2
4
b ac
  

Nếu
0
 
thìphươngtrình(1)vônghiệm.
Nếu
0
 
thìphươngtrình(1)cónghiệmkép
1 2

2
b
x x
a
  
.
Nếu
0
 
thìphươngtrình(1)cóhainghiệmphânbiệt:
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
     
 
.
c) ĐịnhlýVietvềdấucácnghiệm.
Địnhlý:Nếuphươngtrìnhbậchaiẩn
x R

:


2
ax 0 0
bx c a
   

cóhai
nghiệm
1 2
,
x x
thì
1 2 1 2
, .
b c
S x x P x x
a a

    
.
Dấucácnghiệm:
Phươngtrình


2
ax 0 0
bx c a
   
cóhainghiệmtráidấu
0
P
 

Phươngtrình



2
ax 0 0
bx c a
   
cóhainghiệmcùngdấu
0
0
P
 






8

Phươngtrình


2
ax 0 0
bx c a
   
cóhainghiệmcùngdương
0
0
0
P
S

 


 





Phươngtrình


2
ax 0 0
bx c a
   
cóhainghiệmcùngâm
0
0
0
P
S
 


 






2. Giải và biện luận phương trình bậc hai
Phươngtrìnhbậchaicódạngtổngquátlà:


2
ax 0 0
bx c a
   
(1)
Giải vàbiệnluậnphươngtrìnhbậchaiở dạngtổngquát tatiếnhành
nhưsau:
Tínhbiệtthức
2
4
b ac
  
,căncứvàođóđểbiệnluậntheothamsố:
Nếu
0
 
thìphươngtrình(1)vônghiệm.
Nếu
0
 
thìphươngtrình(1)cónghiệmkép
1 2
2
b
x x

a
  
.
Nếu
0
 
thìphươngtrình(1)cóhainghiệmphânbiệt:
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
     
 
.
 Khibchẵntacóthể kếtluậnsố nghiệmcủaphươngtrìnhbậchaiqua
biệtsốthugọn
'

với
' 2
'
b ac
  
;
'
2
b
b




'

>0:phươngtrìnhbậchaicóhainghiệmphânbiệt:x
1,2
=
' '
b
a
  
.

'

=0:phươngtrìnhbậchaicónghiệmképx
1
=x
2
=
'
b
a

.

'

<0:phươngtrìnhbậchaivônghiệm.

Cácbàitoánvềphươngtrìnhbậchairấtphongphúvàđadạng.Đểgiảiđược
cácbàitoánđóphảikhéoléokếthợpgiữaviệcvậndụngcáckếtquảđãbiếtvề
phươngtrìnhbậchaiđặcbiệtlàđịnhlýViet,vớiđặcthùriêngcủaphươngtrìnhđã
chomàbiếnđổichophùhợp.
3. Các dạng phương trình quy được về phương trình bậc hai
Trongtrườngphổthôngtathườnggặpmộtsốdạngphươngtrìnhquyvề
phươngtrìnhbậchainhưsau:
-Phươngtrìnhchứaẩnởmẫu.
-Phươngtrìnhbậc3.
-Nhữngphươngtrìnhbậccaoquyđượcvềphươngtrìnhbậchaibaogồm:
+)Phươngtrìnhtrùngphương:ax
4
+bx
2
+c=0.

9

+)Phươngtrìnhdạng:(x+a)
4
+(x+b)
4
=c.
+)Phươngtrìnhdạng:(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m.
+)Phươngtrìnhgiảibằngcáchđặtẩnphụ.
+)Phươngtrìnhdạngax
4
+bx
3
+cx

2


kbx+k
2
a=0.
+)Phươngtrìnhgiảibằngcáchđưavềdạngtích.

CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Phương trìnhchứa ẩn ở mẫu là phương trình chứa ẩn ở mẫu thức của
phươngtrình.
a)Cáchgiải:
 +Tìmtậpxácđịnhcủaphươngtrình.
+Quyđồng,khửmẫu.
 +Biếnđổiđưaphươngtrìnhvềdạng:ax
2
+bx+c=0(a

0)(1).
 +Giảiphươngtrìnhdạng(1).
 +Kiểmtrakếtquả,kếtluậnsốnghiệmcủaphươngtrình.
b)Vídụ:
Giảiphươngtrình:
2
2
36 24
12 4 5
x x
x x

    

Giải
2
2
36 24
12 4 5(1)
x x
x x
    

2
2
36 6
4 17 0
x x
x x
   
     
   
   

Đặtt=x-
6
x


2
2
36

x
x

=t
2
+12
Tađượcphươngtrìnhtrunggian:t
2
-4t-5=0
Giảiphươngtrìnhnàytađượct
1
=-1;t
2
=5
 +)Vớit
1
=-1

x-
6
x
=-1

x
1
=2;x
2
=-3
 +)Vớit
2

=5

x-
6
x
=5

x
3
=6;x
4
=-1
 Vậyphươngtrình(1)có4nghiệm:x
1
=2;x
2
=-3;x
3
=6;x
4
=-1
c)Nhậnxét:
-Dạngphươngtrìnhchứaẩnởmẫuthứclàdạngphươngtrìnhrấtthường
gặpởtrườngphổthôngđặcbiệtlàtrunghọccơsở.

10

Khigiảidạngphươngtrìnhnàyhọcsinhthườnggặpnhữngkhókhănsau:
+Tìmđiềukiệnxácđịnhcủamẫuthức.
+Tìmmẫuthứcchung.

+Quyđồng,khửmẫu.
-Khigiảidạngphươngtrìnhnàycầnlưuýhọcsinh:Trướctiếncầntìmtập
xácđịnhcủaphươngtrình,saukhigiảitìmđượcnghiệmphảikiểmtra,đối
chiếukếtquảvớitậpxácđịnhvàkếtluậnsốnghiệmcủaphươngtrình.
DẠNG 2:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Phươngtrìnhbậcbamộtẩnsốlàphươngtrìnhcódạngtổngquát:
ax
3
+bx
2
+cx+d=0(trongđóxlàẩnsố,a,b,c,dlàcáchệsố,a

0).
a)Cáchgiải:
 Để giải mộtphương trình bậc ba, thông thường ta phảibiến đổi đưa về
phươngtrìnhtích,ởđóvếtráilàtíchcủamộtnhântửbậcnhấtvớimộtnhântửbậc
hai,cònvếphảibằng0.Đểlàmtốtđiềunàyhọcsinhcầncókỹnăngphântíchđa
thứcthànhnhântửđãđượctìmhiểuởchươngtrìnhtoánlớp8.
 b)Vídụ:Giảiphươngtrình:x
3
–x
2
–x=
3
1
(2)
Giải
Phươngtrình(2)tươngđươngvới:3x
3

–3x
2
–3x=1


4x
3
=x
3
+3x
2
+3x+1


(
3
4
x)
3
=(x+1)
3


3
4
x=x+1

3
1
4 1

x 


 Vậyphươngtrình(2)cómộtnghiệm
3
1
4 1
x 

.
 c)Nhậnxét:
-Đốivớidạngphươngtrìnhnàychủyếudùngphươngphápphântíchđa
thứcthànhnhântửđểđưaphươngtrìnhvềdạngphươngtrìnhtích,tasẽđượcmột
phươngtrìnhmàvếtráigồmcácphươngtrìnhbậcnhất,phươngtrìnhbậchaiđã
biếtcáchgiải.
-Lưuý:Nếuphươngtrìnhbậc3:ax
3
+bx
2
+cx+d=0(a

0)có:
 +)a+b+c+d=0thìphươngtrìnhcómộtnghiệmx
1
=1
 +)a–b+c–d=0

thìphươngtrìnhcómộtnghiệmx
1
=-1


11

DẠNG 3: NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO QUY ĐƯỢC VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
3.1. Phương trình trùng phương:
 Dạngtổngquát:ax
4
+bx
2
+c=0
 (trongđóxlàẩnsố;a,b,clàcáchệsố,
0
a

)  
 a)Cáchgiải:
-Đặtx
2
=t,tađượcphươngtrìnhbậchaitrunggian:at
2
+bt+c=0
-Giảiphươngtrìnhbậchaitrunggiannày,tatìmđượct
-Sauđóthayx
2
=tđểtìmx.
 b)Vídụ:Giảiphươngtrình:
4 2
2 3 2 0
x x

  
(3)
Giải
-Đặt
2
( 0)
x t t
 
tacóphươngtrìnhtrunggianẩnt:









2
1
2
0232
2
1
2
t
t
tt



2
1
2
t
(loại)
 Vớit
1
=2

x
2
=2

x=

2

 Vậyphươngtrìnhđãchocóhainghiệmlàx=

2

c)Nhậnxét:
Khigiảitìmnghiệmcủaphươngtrìnhtrùngphương,tacầnlưuýmộtsố
điểmnhưsau:
-Phươngtrìnhtrùngphươngvônghiệmtrongtrườnghợpphươngtrình
bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai
nghiệmcùngâm.
- Phương trình có nghiệm khi phương trình bậc hai trung gian có hai
nghiệm, có nghiệm kép dương hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai
nghiệmtrongđócómộtnghiệmdươngvàmộtnghiệmâm.

3.2. Phương trình dạng: (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c (c > 0)
(trongđóxlàẩn,a,b,clàcáchệsố)
 a)Cáchgiải:Tađặtt=x+
2
ba


 Khiđómọiphươngtrìnhdạng(x+a)
4
+(x+b)
4
=c(c>0)đềuđưađược
vềdạngphươngtrìnhtrùngphương(At
4
+Bt
2
+C=0)
 Phươngtrìnhnàylàphươngtrìnhtrùngphươngđãbiếtcáchgiải.

12


b)Vídụ:Giảiphươngtrình





1631
44
 xx
(4) 
Giải
Đặtt=x+2
Tađượcphươngtrìnhtrunggianẩnt:(t–1)
4
+(t+1)
4
=16
Khaitriểnvàrútgọntađược:
2t
4
+12t
2
+2=16

t
4
+6t
2
–7=0
Đặtz=t
2
>0,tađượcphươngtrình:z
2
+6z–7=0
Giảiphươngtrìnhnàytađược:z

1
=1;z
2
=-7(loại)

Vớiz
1
=1,tagiảiphươngtrìnht
2
=1.
Tađượchainghiệm:t
1
=1;t
2
=-1,tươngứngx
1
= -1;x
2
=-3
c)Nhậnxét:Nhưvậy,đểgiảiphương trìnhdạng:




cbxax 
44
ta
đặt:
2
ba

xt


,khiđótađưaphươngtrìnhdạng




cbxax 
44
vềphương
trìnhtrunggianlàphươngtrìnhtrùngphươngcódạngtổngquát:
0
24
 CBtt

Bằngphépđặtt
2
=XvớiX

0tađưaphươngtrìnhvềphươngtrìnhbậc
haitrunggian:X
2
+BX+C=0
Sốnghiệmcủaphươngtrình




cbxax 

44
phụthuộcvàosốnghiệm
củaphươngtrìnhtrunggianX
2
+BX+C=0
- Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng
nghiệmđólànghiệmâmthìphươngtrìnhtrùngphương
0
24
 CBtt
vônghiệm,do
đóphươngtrình




cbxax 
44
vônghiệm.Nếuphươngtrìnhbậchaitrunggian
cónghiệmkhôngâmX
0
thìphươngtrìnhbanđầucónghiệm:
1 0
2 0
2
2
a b
x x
a b
x x


 

  

-Tathấy,sốnghiệmcủaphươngtrìnhbanđầuphụthuộcvàosốnghiệm
của phương trình trùng phương, do đó phụ thuộc vào số nghiệm của phương
trìnhbậchaitrunggian.
3. 3. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
(trongđó:a+c=b+dhoặca+b=c+dhoặca+d=b+c)
a)Cáchgiải:
Nhóm(x+a)với(x+d);(x+b)với(x+c)khaitriểntíchđó. 

13

Tađưaphươngtrìnhđãchovềdạng:




2 2
x a d x ad x b c x bc m
   
      
   

Doa+d=b+cđặtx
2
+(a+d)x+k=t(vớik=adhoặck=bc)
Tađưaphươngtrìnhvềdạng:At

2
+Bt+C=0
Giảiphươngtrìnhnàytatìmđượcnghiệmtcủaphươngtrình.
Thayx
2
+(a+d)x+ad=t
Giảiphươngtrìnhnàytatìmđượcnghiệmxcủaphươngtrìnhbanđầu
NếuphươngtrìnhAt
2
+Bt+C=0vônghiệmthìphươngtrìnhđầucũng
vônghiệm.
b)Vídụ:Giảiphươngtrình:
(x- 1)(x+1)(x+3)(x+5)=9(5)
Giải
Nhậnthấy5+(-1)=1+3

[(x–1)(x+5)][(x+1)(x+3)]=9

(x
2
+4x–5)(x
2
+4x+3)=9

(x
2
+4x–5)
2
+8(x
2

+4x–5)–9=0
Đặtx
2
+4x–5=t.
Tađượcphươngtrình:t
2
+8t–9=0
Giảiratađược:t
1
=1;t
2
=-9
Phươngtrình(5)cónghiệm:
1
2
3
2 10
2 10
2
x
x
x
  
  
 

c)Nhậnxét:Nhưvậy,đểgiảiphươngtrìnhdạngtrên,tacầnnhómhợplý
sauđóđổihệsố,khaitriển,biếnđổimỗinhómđểđưavềphươngtrìnhbậchai
trunggian.Căncứvàosốnghiệmcủaphươngtrìnhbậchaitrunggianđểkết
luậnsốnghiệmcủaphươngtrìnhbanđầu.

3.4. Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ:
 a)Cáchgiải:
-Tìmđiềukiệnxácđịnhcủaphươngtrình.
- Đặtẩnphụ,tađượcphươngtrìnhtrunggian,tìmnghiệmcủaphương
trìnhtrunggian.
-Trởvềẩnbanđầu,tìmnghiệmcủaphươngtrìnhbanđầu.
 b)Vídụ:Giảiphươngtrình:
(x
2
+2x+3)
2
-9(x
2
+2x+3)+18=0(6)

14


Giải
 Đặtx
2
+2x+3=t
 Tađượcphươngtrìnhẩnt:t
2
–9t+18=0
 Giảiphươngtrìnhnàytađược:t
1
=3;t
2
=6.

 Từđó,thayvàocáchđặtbanđầutađượchaiphươngtrình:
 +)x
2
+2x+3=3
 Giảiphươngtrìnhtađược:x
1
=0;x
2
=-2
 +)x
2
+2x+3=6
 Giảiphươngtrìnhtađược:x
3
=1;x
4
=-3
 Vậyphươngtrình(6)có4nghiệmx
1
=0;x
2
=-2;x
3
=1;x
4
=-3.
 c)Nhậnxét:Vớidạngphươngtrìnhnàycầnchúýchohọcsinhtìmđiều
kiệnxácđịnhcủaphươngtrình. Quansátkỹ phươngtrình banđầu đểtìm ra
cáchđặtẩnphụđưavềphươngtrìnhtrunggian.Saukhitìmđượcnghiệmđối
vớiphươngtrìnhtrunggiancầnđưavềphươngtrìnhbanđầuđểtìmnghiệmcủa

phươngtrìnhbanđầu,sosánhvớiđiềukiệnxácđịnhcủaphươngtrìnhđểcókết
luậnnghiệmchínhxác.
 3.5. Phương trình dạng ax
4
+ bx
3
+ cx
2


kbx + k
2
a = 0
(Phươngtrìnhđốixứng)
a)Cáchgiải:
Nhậnthấyx=0khôngphảilànghiệmcủaphươngtrình.Chiahaivếcủa
phươngtrìnhchox
2
tađược:
2
2
2
( ) ( ) 0
k k
a x b x c
x x
    

đặt
kt

x
k
xk
x
k
xt
x
k
xt 22
2
2
2
2
2
2
22


Tacóphươngtrìnhbậchai:
2
( 2 ) 0
a t k bt c
   

b)Vídụ:Giảiphươngtrình:x
4
+5x
3
–12x
2

+5x+1=0(7)
Giải
Vìx= 0khônglànghiệmnênchiahaivếchox
2
tađược:
2
2
1 1
( ) 5( ) 12 0
x x
x x
     
(7
’
)
Đặt:
1
x t
x
 



2
7 ' 2 5 12 0
t t
    


2

5 14 0
t t
   

15

 Giảiphươngtrìnhtađượct
1

=-7,t
2
=2
 +)Vớit
1

=-7

2
1
7 7 1 0
x x x
x
       




Phươngtrìnhcóhainghiệmphânbiệtx
1
=

2
457 
;x
2
=
2
457 

 +)Vớit
2

=2
2
1
2 2 1 0
x x x
x
      

Phươngtrìnhcónghiệmképx
3
=x
4
=1
Vậyphươngtrìnhđãchocócácnghiệmcầntìm:
x
1
=
2
457 

;x
2
=
2
457 
;x
3
=x
4
=1
c)Nhậnxét:
-Đểgiảiphươngtrìnhđốixứngnhưtrêntadùngnhữngphépbiếnđổi
tươngđương và“đổibiến”đểđưa vềphương trìnhbậchaitrunggianrồi trả
biếnsẽtìmđượcnghiệmphươngtrìnhbanđầu.
- Số nghiệm của phương trình đối xứng phụ thuộc vào số nghiệm của
phươngtrìnhbậchai.
3.6. Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích
Vídụ:Giảiphươngtrình:
5x
2
–4(x
2
–2x+1)-5=0(8)
Giải
5x
2
–4(x
2
–2x+1)-5=0



5(x
2
–1)–4(x–1)
2
=0
 

(x–1)(x+9)=0
1
2
1
9
x
x




 


 IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Saukhithựchiệnđềtàitrêntôinhậnthấy,khigặpcácphươngtrìnhcó
thểđưavềphươngtrìnhbậchaicácemđềugiảimộtcáchthànhthạo,saymê
hứngthú,kíchthíchđượcniềmđammê,sángtạocủahọcsinh.
 Mộtđiềuđángmừnghơncảlàkếtquảthuđượcquacácbàikiểmtra.Chất
lượngbàikiểmtrasaubaogiờcũngcaohơn,trìnhbàychặtchẽhơnbàikiểmtra
trướcvềtrìnhđộnhậnthức,vềphươngphápgiải,vềtínhthôngminhsángtạo.
 Đểkiểmtrakhảnănglĩnhhộicủahọcsinh,tôichocácemlàmmộtsốbàitập

nhưsau:
16


Giảiphươngtrình:
Câu 1.
3 2
2 5 8 3 0
x x x
   

Câu 2.x
4


3x
3
+4x
2


3x+1=0
Giải
Câu 1:Nhâncảhaivếvới2
2
tacó:
 2
3
.x
3

-5.2
2
.x
2
+16.2x-12=0
 Đặtt=2x

t
3
-5t
2
+16t-12=0


t=1

x=
1
2

 Vậyphươngtrìnhcónghiệm:x

=
1
2

Câu 2.Nhậnthấyx=0khôngphảilànghiệmcủaphươngtrình,chiacả
haivếcủaphươngtrìnhchox
2
tađược:

2
2
1 1
3 4 0
x x
x x
   
    
   
   

Đặtt=
1
x
x

;điềukiện
2
t



t
2
–3t+2=0
1
2
1
2
t

t







Nghiệmt
1
=1loạidokhôngthỏamãnđiềukiện
2
t


Vớit
2
=2

1
x
x

=2

x=1
Vậyphươngtrìnhcónghiệmduynhấtx=1
Kếtquảthuđượcquabàikiểmtrathậtđángphấnkhởinh
ưsau:
Kết quả thu được: BẢNG 2

ĐỐI TƯỢNG I ĐỐI TƯỢNG II

ĐỐI TƯỢNG III
NĂM HỌC
Số
lượng
%
Số
lượng
%
Số
lượng
%
2011-2012 1 5 7 35 12 60
2012-2013 2 8,7 7 30,4 14 60,9

17

Đối chiếu kết quả thu được sau hai năm như sau:
Đối tượng I:Ởbàitập1,2đãbiếtvậndụngphươngphápgiảiđãđượchọc
đểtìmnghiệmcủaphươngtrìnhnhưngởbài2chưađốichiếuvớiđiềukiện
2
t

.
Nămhọc2011-2012:1/20emchiếmtỷlệ5%
Nămhọc2012-2013:2/23emchiếmtỷlệ8,7%
Đối tượng II: Cácemđãlàmđượcbài1vàbài2,nhưnglậpluậncòn
chưađượcchặtchẽ.
Nămhọc2011-2012:7/20emchiếmtỷlệ35%

Nămhọc2012-2013:7/23emchiếmtỷlệ30,4%
Đối tượng III: Các em đãlàmhoànchỉnhcảhai bài,vàiem còn lúng
túngtrongviệckếtluậnsốnghiệmcủaphươngtrình.
Nămhọc2011-2012:12/20emchiếmtỷlệ60%
Nămhọc2012-2013:14/23emchiếmtỷlệ60,9%
 Quahainămthựchiệnđềtài,sosánhbảngsốliệuđầunămhọcvàcuối
nămhọc,tanhậnthấykỹnănggiảiphươngtrình,phươngtrìnhquyvềphương
trìnhbậchaicủahọcsinhđãtiếnbộhơnrấtnhiềuthểhiệnởsốlượngcácem
hoànthiệnbàitậptheođúngyêucầucủagiáoviêncósựgiatăngđángkể.

PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm
 Từthựctếgiảngdạychuyênđềnàytôinhậnthấy,đểhọcsinhcóthểgiải
thànhthạocácphươngtrìnhbậchaicơbảnvànângcao,mộtkinhnghiệmquý
báuđượcrútralàhọcsinhphảinắmchắccáckiếnthứccơbản,biếtcáchvận
dụng linh hoạt các kiến thức ấy. Từđó giáo viên cung cấp cho học sinh các
phươngphápđượccoilàthuậtgiải,sauđómớidạycácchuyênđềmởrộng,nâng
cao,khắcsâukiếnthứcmộtcáchhợplývớicácđốitượnghọcsinhnhằmbồi
dưỡngnăngkhiếu,rènkỹnăngchohọcsinh.
Đểchuyênđềpháthuyhiệuquảkhigiảngdạygiáoviênphảicungcấp
nhiềudạngbàitậpkhácnhauđểpháttriểntưduychohọcsinh.
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
 Saukhihọcsinhhọcxongchuyênđềnày,tôithấyhọcsinhnắmchắchơn
vềphươngtrìnhbậchai,khiđứngtrướcmộtbàitoánvềphươngtrìnhbậchai
họcsinhkhôngcòncảmthấyesợ,ngỡngàng.Từđókíchthíchniềmsaymêhọc
toáncủacácem.

18

III. Khả năng ứng dụng, triển khai

 Căncứvàokếtquảthuđượctừhaibảng1vàbảng2tathấytrướckhi
thực hiện chuyên đề nàyhọc sinhthường gặp khúc mắc khiđứng trướcmột
phươngtrìnhbậchaikhôngởdạngtổngquátmàkhôngđịnhhìnhđượchướng
giải,khôngbiếtbắtđầutừđâu,đườnglốilàmnhưthếnàomặcdùrấtdễ.Sau
khiđãđược họcvàđượclàm quenvớichuyên đềtrênthì đasốcácemhiểu
đượccáchlàmcủacácdạngphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchai.Điềuđó
chứngtỏviệcphândạngcácbàitoánvềphươngtrìnhbậchailàkhôngthểthiếu
đượctrongchươngtrìnhtoáncấp2.
 Quaviệcthamkhảo,nắmbắtýkiếnđồngnghiệp,tôitintưởngrằngđềtàitôi
nghiêncứucókhảnăngứngdụngnhânrộngracáctrườngcùngloạihìnhtrong
toànhuyện,giúpíchđượcnhiềuchogiáoviêngiảngdạyvàgiáoviênbồidưỡng
họcsinhgiỏicũngnhưcácemhọcsinhcónhucầuđàosâumởrộngkiếnthức.
IV. Những kiến nghị, đề xuất
PhòngGiáodụcvàĐàotạo,cáctổchuyênmôntrongcácnhàtrườngnên
tổ chứcthườngxuyên các cuộchội thảovề các chuyênđề khó trong chương
trìnhtrunghọccơsởđểgiáoviêncáctrườngnóichung,giáoviêntrongtổnói
riêngcóthểtraođổi,thảoluậnnhấtlàvấnđềbồidưỡnghọcsinhgiỏiđểnâng
caochấtlượngmũinhọn.
Theotôimuốnchohọcsinhtựnguyệncónhucầuđàosâu,mởrộngvốn
kiếnthứctrongchươngtrình,pháthuytínhđộclậpsángtạotronghọctậpthì
bảnthânmỗi giáo viên chúngta cầnkhôngngừng sáng tạo, đổi mớiphương
phápgiảngdạy,đặcbiệttăngcườnggiảngdạytheocácchuyênđề,từđókích
thíchhứngthú,niềmhamhọchỏicủahọcsinh.
Dothờigiancóhạn,chuyênđềtôinghiêncứuchỉtrongphạmvichương
trìnhđạisốlớp9,ápdụngchủyếuởhọcsinhkhối9,họcsinhthamgiabồidưỡng
họcsinhgiỏi,dovậykhôngtránhkhỏikhiếmkhuyết.Rấtmongsựđónggópý
kiếncủacácđồngchí,đồngnghiệpđểchuyênđềtôiviếtđượchoànthiệnhơnvà
việcápdụngđềtàivàothựctếgiảngdạycóhiệuquảhơn.



Than Uyên, ngày 15 tháng 3 năm 2013

Người thực hiện



Nguyễn Thị Mai

19


PHỤ LỤC: CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG

1. DẠNG 1: Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Bàitậptươngtự:Giảiphươngtrình:
1)
 
)3)(1(
2
2232 



 xx
x
x
x
x
x

2)
1
4
1




x
x
x
x

3)
( 2 ) (3 6)
0
3
x x x
x
  



4)
2
2
11
x
x
x

x 

2. DẠNG 2: Phương trình bậc ba.
Bàitậptươngtự:Giảiphươngtrình:
 1)x
3
–2x
2
–x+2=0
 2)x
3
–x
2
–3x+3=0
 3)2x
3
–5x
2
+8x- 3=0
4)x
3
+2x
2
–4x-8=0
3. DẠNG 3:Phương trình bậc cao đưa được về phương trình bậc hai.
3.1. Phương trình trùng phương:
Bàitậptươngtự:Giảiphươngtrình:
1)x
4
–3x

3
–6x
2
+3x+1=0
2)x
4
+2x
3
–6x
2
+2x+1=0
3)x
4
+10x
3
+26x
2
+1=0
4)x
4
+5x
3
–12x
2
+5x+1=0
3.2. Phương trình dạng: (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c (c > 0)

(trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số)
Bàitậptươngtự:Giảiphươngtrình:
1)(x-2)
4
+(x-3)
4
=1
2)(x-5)
4
+(x-2)
4
=17
3)x
4
+(x-1)
4
=97
3. 3. Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
Bàitậptươngtự:Giảiphươngtrình:
1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3
2)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680
20

3)(x-1)(x+5)(x-3)(x+7)=297
3.4. Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ:
Bàitậptươngtự:Giảiphươngtrình:
 1)(x
2
+3x+1)(x
2

+3x–1)=3
 2)(x
2
–5x)
2
+10(x
2
–5x)+24=0
3)
2 2
1 3
( ) ( )
1 2
x x
x x

 


3.5. Phương trình dạng ax
4
+ bx
3
+ cx
2


kbx + k
2
a = 0

(Phương trình đối xứng)
Bàitậptươngtự:Giảiphươngtrình:
1)x
4
-x
3
-x+1=0
2)x
5
-5x
4
+4x
3
+4x
2
-5x+1=0
3.6. Phương trình giải bằng cách đưa về dạng tích
Bàitậptươngtự:Giảiphươngtrình:
1) x
4
+2x
3
-6x
2
+2x+1=0
2) (x
2
+4x+21)
2
=(x+3)

4





















21

TÀI LIỆU THAM KHẢO
-SáchgiáokhoaToán9-TônThân-Nhà xuất bản giáo dục.
-SáchThựchànhgiảitoán-Giáotrìnhcaođẳngsưphạm- Nhà xuất bản
giáo dục.
-1001bàitoánsơcấpbồidưỡnghọcsinhgiỏivàluyệnthivàolớp10-
Nhà xuất bản trẻ.

-Mộtsốđềthihọcsinhgiỏicáccấp.
-Mộtsốtàiliệuthamkhảokhác.





























22


MỤC LỤC
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU

I.Lýdochọnđềtài. 1
II.Phạmvivàđốitượngnghiêncứu. 1
III.Mụcđíchnghiêncứu. 2
IV.Điểmmớitrongkếtquảnghiêncứu. 2
PHẦN NỘI DUNG

I.Cơsởlýluận. 3
II.Thựctrạngvấnđề. 3
III.Cácbiệnphápđãtiếnhànhđểgiảiquyếtvấnđề. 7
1.Nhắclạiđịnhnghĩaphươngtrìnhbậchaimộtẩnsố. 7
2.Giảivàbiệnluậnphươngtrìnhbậchai. 8
3.Cácdạngphươngtrìnhquyvềphươngtrìnhbậchai. 8
IV.Hiệuquảsángkiến 15
PHẦN KẾT LUẬN

I.Bàihọckinhnghiệm 17
II.ÝnghĩacủaSKKN 17
III.Khảnăngứngdụng,triểnkhai 18
IV.Nhữngkiếnnghị,đềxuất 18
Phụlục:Cácbàitậpvậndụng 19
23

