Thế năng của hệ điện tích

CHUYấN :
Chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trờng
I, Đặt vấn đề:
Khi giải các bài tập về Chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trờng
chúng ta thờng áp dụng các cách giải nh: Phơng pháp động lực học, phơng pháp năng lợng. Dới
đây tôi xin trình bày cơ sơ lý thuyết và một số bài tập về chuyển động của điện tích (hệ điện
tích) trong điện trờng đều và thế năng tĩnh điện của một điện tích đặt trong điện trờng, thế năng
tơng tác tĩnh điện của hệ điện tích.
II, Giải quyết vấn đề:
Để giải quyết vấn đề trên, dới đây tôi xin trình bày cơ sở lý thuyết của từng cách giải, và lời
giải một số bài tập liên quan. Trong đó đi sâu phân tích thế năng tĩnh điện của một điện tích đặt
trong điện trờng, thế năng tơng tác tĩnh điện của hệ điện tích và việc áp dụng trong giải bài tập.
A. Cơ sở lý thuyết
1
I. Trờng hợp điện tích (hệ điện tích) chuyển động trong điện trờng đều.
Cách 1: Ph ơng pháp động lực học
- Ta biết, tại một điểm có cờng độ điện trờng E, hạt tích điện q chịu tác dụng một lực điện:
.F q E
ur ur
=
, độ lớn
F q E=
F E
ur ur
khi q > 0.
F E
ur ur
khi q < 0.
Nh vậy, hạt mang điện tích q có khối lợng m chuyển động trong điện trờng chịu tác dụng của 2 lực:
+ Trọng lực
P mg

ur ur
=
+ Lực điện trờng
F qE
ur ur
=
(
F E
ur ur

nếu q>0 và ngợc lại)
Gia tốc mà nó thu đợc đợc xác định bằng định luật II Niutơn:

( )
1
a P F
m
r ur ur
= +
- Khi hạt điện chuyển động trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) ta sử dụg phơng pháp tọa độđể khảo sát chuyển động.
Cụ thể:
+ Phơng trình vận tốc
,
x y
v v
của nó theo các trục tọa độ là:
= +


= +

0
0
. (1)
. (2)
x x x
y y y
v v a t
v v a t
Trong đó a
x
, a
y
,
0 0
,
x y
v v
là gia tốc, vận tốc của hạt theo các trục tọa độ
+ Phơng trình chuyển động của hạt theo các trục khi đó đợc xác định theo công thức:

= + +




= + +


2

0 0
2
0 0
1
. . . (3)
2
1
. . . (4)
2
x x
y y
x x v t a t
y y v t a t
Trong đó, x
0
, y
0
là tọa độ ban đầu của hạt.
Khử t trong các phơng trình (3) , (4) ta đợc y = f(x). Đó là phơng trình quỹ đạo của chuyển động. Ph-
ơng trình quỹ đạo mô tả hình dạng hình học của chuyển động.
Cách 2: Sử dụng định lý động năng.
- Khi hạt chuyển động từ điểm M đến điểm N thì điện tròng thực hiện một công là:
( )
F MN M N
A qU q V V= = -
Theo định lý động năng ta có biểu thức:
dN dM F P
W W A A- = +
( )
2 2

2
N M F P
m
v v A A- = +
ở đây,
,
M N
v v
là vận tốc của hạt tại các điểm M và N
Chú ý:
Ngời ta còn dùng đơn vị năng lợng là eV. Đó là năng lợng mà 1 electrôn thu đợc khi dịch chuyển trong
điện trờng có hiệu điện thế là 1 (V).

19
1 1,6.10eV J
-
=
Ngoài ra khi giải bài tập về chuyển động của điện tích trong điện tròng ta cần chú ý đến một số công
thức động học nh:
0
2
0
2 2
0
.
1
2
2 .
v v a t
s v t at

v v a s
= +
= +
- =
2
Đối với điện trờng đều ta có: A
F
= q.E.d
Với d là độ dài đại số của hình chiếu điểm đầu, điểm cuối quỹ đạo trên một đờng sức điện truờng.
Điện trờng giữa 2 bản kim loại đặt song song cách điện và tích điện trái dấu, cùng độ lớn là điện trờng
đều, chiều của đờng sức hớng từ bản dơng sang bản âm.
Nếu bỏ qua trọng lực thì hạt điện chỉ chịu tác dụng của lực điện trờng khi đó việc nghiên cứu chuyển
động của điện tích trong điện trờng sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
II. Thế năng tĩnh điện và chuyển động của điện tích trong điện trờng
1 . Kiến thức tiên quyết
Điện thế của điện trờng tại điểm M đợc xác định bằng công của lực điện trờng làm dịch chuyển một điện
tích dơng đơn vị từ M ra xa vô cùng, với qui ớc điện thế tại vô cùng bằng không
( )
q
qA
V
M
M

=
(2.1)
Điện thế gây ra bởi điện tích điểm Q trong chân không tại điểm cách Q một khoảng r
( )
r
Q

rV
0
4

=
(2.2)
Điện thế có tính cộng đợc : điện thế gây ra tại một điểm bởi một hệ điện tích điểm thì bằng tổng đại số các điện
thế do từng điện tích gây ra tại đó
( )

=
1
iMM
QVV
(2.3)

2. Những khái niệm căn bản
2.1. Thế năng tĩnh điện và thế năng tơng tác
2.1.1. Thế năng tĩnh điện.
Thế năng tĩnh điện của một điện tích q nằm tại điểm M trong điện trờng (tĩnh) đợc xác định bằng độ lớn
công tối đa của lực điện trờng khi làm q dịch chuyển từ điểm M ra xa vô cùng, với qui ớc rằng tại vô cùng thế
năng của hạt bằng không. Do đó thế năng tĩnh điện của hạt đợc tính theo biểu thức
qVW
Mt
=
(2.4)
Trong đó V
M
là điện thế của điện trờng tại điểm M gây ra bởi các điện tích không phải q, với qui ớc rằng
điện thế tại vô cùng bằng không. Khi ra tới vô cùng thì thế năng ban đầu đợc chuyển hoá hoàn toàn thành động

năng của hạt.
2.1.2.Thế năng tơng tác của hệ điện tích.
Thực ra thì thế năng tĩnh điện đã nêu có nguồn gốc từ lực tơng tác tĩnh điện giữa điện tích q với các điện tích
khác gây ra điện trờng. Vì vậy thế năng tĩnh điện còn đợc gọi là thế năng tơng tác giữa điện tích q đang xét với
các điện tích còn lại của hệ.
Mặt khác, khi có một hệ các điện tích thì mỗi điện tích trong hệ đều có thế năng tơng tác (hoặc thế năng
tĩnh điện) trong điện trờng của các điện tích còn lại. Tuy nhiên, không phải vì thế mà thế năng tơng tác của toàn
hệ bằng tổng thế năng của từng điện tích. Theo định luật bảo toàn năng lợng, thì
3
Thế năng tơng tác tĩnh điện của toàn hệ phải bằng tổng động năng khi cả hệ dịch chuyển ra vô
cùng, bất kể sự dịch chuyển đó là đồng thời hay lần lợt từng điện tích một.
(2.5)
Vì vậy, trong trờng hợp hệ hai điện tích, mặc dù thế năng của mỗi điện tích đều bằng
rqq
021
4

/
, nhng thế
năng của cả hệ cũng chỉ bằng
rqq
021
4

/
, chứ không phải bằng 2 lần lợng đó. Điều này có thể kiểm tra lại
bằng phép tính công khi cho đồng thời hai điện tích ra vô cùng
Tơng tự, trong trờng hợp có ba điện tích giống nhau nằm trên ba đỉnh của một tam giác đều cạnh a, thì thế
năng của mỗi điện tích bằng
aq

0
2
42

/
. Song thế năng của cả hệ ba điện tích chỉ gấp rỡi lợng đó mà thôi.
Vận dụng cách đánh giá thế năng tơng tác theo (2.5), ngời ta tính đợc :
- Thế năng tơng tác của một hệ điện tích rời rạc bằng

=
iihệ
qVW
2
1
(2.6)
trong đó V
i
kí hiệu điện thế gây ra bởi các điện tích không phải q
i
tại nơi đặt q
i

- Thế năng tơng tác của các điện tích Q phân bố liên tục trên một vật dẫn bằng
VQdQVVdQQVW
vậttoànvậttoàn
i
iit
2
1
2

1
2
1
2
1
1
====



=

(2.7)
trong đó V là điện thế trên vật.
2.2. Thế năng tơng tác và năng lợng điện trờng riêng
2.2.1. Nghịch lí về thế năng tơng tác tĩnh điện.
Ta hãy xét bài toán sau. Hai quả cầu kim loại hoàn toàn giống nhau, bán kính R, nằm cách nhau một
khoảng L rất lớn so với kích thớc của chúng. Một quả cầu mang một điện tích q, quả kia cha tích điện. Nối hai
quả cầu bằng một dây dẫn mảnh rồi ngắt, kết quả là điện tích q đợc phân đôi cho mỗi quả. Song điều đáng nói
là, bây giờ do cả hai quả cầu cùng tích điện cùng dấu, nên giữa chúng có một thế năng tơng tác dơng, còn trớc
đó thế năng này cha có. Vậy thế năng này lấy ở đâu ra ? Đó là còn cha kể đến một lợng nhiệt nhất định toả ra
trên dây nối khi điện lợng q/2 chạy từ quả cầu thứ nhất sang quả cầu thứ hai.
Để giải thoát khỏi nghịch lí này ta cần nói thêm vài khái niệm xung quanh năng lợng tính điện.
2.2.2. Năng lợng điện trờng và mật độ năng lợng điện trờng.
Sự kiện lực điện trờng thực hiện công khi làm chuyển dời các điện tích đặt trong nó, chứng tỏ điện trờng có
mang năng lợng. Từ biểu thức năng lợng điện trờng trong tụ điện phẳng suy ra mật độ năng lợng điện trờng
bằng
2
0
2

1
Ew

=
(2.8)
Nhờ khái niệm mật độ năng lợng điện trờng ta có thể tính đợc năng lợng điện trờng xung quanh một vật
tích điện hoặc một hệ điện tích
4

==
toàn gianngkhtoàn
E
dEdwW
ô
.



2
0
2
(2.9)
Sự kiện mật độ năng lợng điện trờng tỷ lệ với bình phơng cờng độ điện trờng chứng tỏ năng lợng điện tr-
ờng là một lợng không âm, và không phụ thuộc chiều của vectơ cờng độ điện trờng. Năng lợng tính theo công
thức (2.9) đợc gọi là năng lợng điện trờng riêng, bởi vì nó không phụ thuộc vào sự có mặt của điện tích khác đặt
trong nó, mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn và sự phân bố của các điện tích trong hệ.
Dựa theo công thức (2.9) ta tính năng lợng điện trờng cho trờng hợp quả cầu kim loại bán kính R mang
điện tích Q nằm cô lập trong chân không. Do tính đối xứng của bài toán, ta chia không gian xung quanh quả cầu
thành các lớp cầu đồng tâm, bán kính r bề dầy dr. Khi đó yếu tố tích phân
drrd

2
4

=
. Quả cầu là kim loại,
điện trờng trong lòng quả cầu bằng không. Năng lợng toàn phần của điện trờng bằng
C
Q
R
QQ
R
Q
r
drQ
drrEdwW
R
R
E
24288
4
2
.
2
00
2
2
0
2
22
0

======







(2.10)
trong đó C là điện dung của vật dẫn hình cầu. Nhân tiện, từ biểu thức (2.10) ta có một kết luận quan trọng rằng,
khái niệm điện tích điểm chỉ là khái niệm lí tởng, thuận tiện khi xét điện trờng tại những điểm khá xa vật mang
điện so với kích thớc của nó. Khái niệm điện tích điểm cũng đợc dùng khi tính thế năng tơng tác của hệ điện
tích. Tuy nhiên, nó không những không thể áp dụng đợc đối với những điểm khảo sát nằm gần vật tích điện, mà
còn đa lại kết quả vô lí khi tính năng lợng điện trờng. Theo (2.10), thì năng lợng điện trờng của bất cứ điện tích
điểm nào, dù lớn, dù nhỏ, đều bằng vô cùng.
2.2.3. Mối quan hệ giữa năng lợng điện trờng riêng và thế năng tơng tác
2.2.3a. Với trờng hợp một vật tích điện :
Điều trùng hợp là, nếu thay lợng
RQ
0
4

/
trong biểu thức (2.10) bằng điện thế của quả cầu cô lập, thì
năng lợng điện trờng riêng của quả cầu tích điện nằm cô lập đúng bằng thế năng tơng tác tĩnh điện (2.7) của các
điện tích trên quả cầu.
VQ
Q
R
Q

R
Q
W
2
1
28
00
2
===

Sự trùng hợp này không phải là ngẫu nhiên, bởi vì về thực chất, năng lợng điện trờng do một vật mang điện
gây ra có nguồn gốc từ thế năng tơng tác giữa các điện tích trên vật đó. Thực vậy, nếu thoạt đầu vật cha tích
điện, thì năng lợng điện trờng bằng không. Khi trên vật đã có điện tích, mà ta đa thêm điện tích cùng dấu dq từ
xa vô cùng về, thì ngoại lực phải thực hiện một công dA. Theo định luật bảo toàn năng lợng, chính sự tích luỹ
các công nguyên tố dA của ngoại lực làm nên năng lợng điện trờng, hoặc làm nên thế năng tơng tác giữa các
điên tích trên vạt đó. Vì vậy trong trờng hợp chỉ có một vaat tích điện, thì hai năng lợng này phải là một. Kết
luận đó phải đúng cho vật tích điện có hình dạng bất kì.
2.2.3b. Trờng hợp hệ vật tích điện :
5
Năng lợng điện trờng của hệ điện tích cũng đợc tính theo công thức chung (2.9) trong đó
E
r
là vectơ cờng độ
điện trờng tổng hợp, vì vậy việc thực hiện đến cùng tích phan (2.9) chỉ làm đợc cho những hệ tơng đối đơn giản.
Tuy nhiên áp dụng công thức đó cho trờng hợp đơn giản nhất gồm hai quả cầu nhỏ ta sẽ thấy rằng năng lợng
điện trờng của hệ vật mang điện không phải là tổng đơn giản các năng lợng điện trờng riêng của mỗi vật. Thực
vậy, điện trờng của hệ bằng
21
EEE
rrr

+=
, nên lợng
2
E
r
gồm ba số hạng

21
2
2
2
1
2
2 EEEEE
rrr
++=
.









++==

dEEdEdEdEW
E 21
2
2
2
1
0
2
0
2
22
rrr
(2.11)
Khi đó các tích phân chứa
2
1
E
hoặc
2
2
E
cho các năng lợng điện trờng riêng. Còn tích phân chứa lợng
21
2 EE
rr
, thì
phép tính chi tiết cho thấy, nó chính là năng lợng tơng tác giữa hai quả cầu (xem bài tập 2.3). Khi hai điện tích
nằm xa nhau vô cùng thì chỉ có các năng lợng điện trờng riêng, không có năng lợng tơng tác.
Năng lợng điện trờng riêng luôn dơng, trong khi đó dấu của thế năng tơng tác phụ thuộc vào dấu các điện

tích trên các vật. Nếu hai điện tích cùng dấu, thì các điện tích đẩy nhau. Khi các điện tích lại gần nhau thì công
của ngoại lực, hoặc động năng ban đầu của các điện tích chuyển dần thành thế năng tơng tác. Nghĩa là thế năng
tơng tác khi này dơng, có độ lớn tăng dần khi khoảng cách giữa hai điện tích càng giảm, khiến năng lợng điện tr-
ờng toàn phần của hệ càng tăng. Ngợc lại, nếu hai điện tích trái dấu, thì từ xa các điện tích này hút nhau khiến
chúng dịch chuyển lại gần nhau, lực điện trờng sinh công, khiến năng lợng điện trờng toàn phần của hệ giảm. Đó
là lí do tại sao thế năng tơng tác khi này âm.

3. Vận dụng khái niệm thế năng t ơng tác vào bài toán chuyển động của điện tích trong điện tr ờng.
Khi một điện tích của hệ chuyển động trong điện trờng của các điện tích còn lại, thì lực điện trờng sinh
công, sẽ làm cho động năng của nó tăng, thế năng tơng tác của điện tích đó với các điện tích còn lại sẽ biến đổi
theo định luật bảo toàn năng lợng
constvmqV
iiii
=+
2
2
1
trong đó m
i
là khối lợng của hạt mang điện tích q
i
. Duf dấu của thế năng tơng tác là thế nào, thì khi các điện tích
chuyển động dới tác dụng của lực điện trờng, thế năng tơng tác cũng phải giảm
Trờng hợp đáng nói là khi cả hệ điện tích đợc thả ra đồng thời, thì mỗi điện tích không đợc quyền dùng
toàn bộ thế năng tơng tác
ii
qV
của nó trong điện trờng của các điện tích còn lại. Bởi nếu thế thì thế năng tơng
tác ban đầu của hệ sẽ đợc tính sai lên hai lần giá trị thực

ì=
i
ii
i
ii
qVqV
2
1
2
Tiếc rằng, do hiệu ứng tâm lí, sai lầm này đôi khi cũng khó tránh ngay cả với
những học sinh có năng khiếu tốt.
6
q a q
A B
a
D C
q q
Ví dụ. Có bốn hạt mang điện giống nhau, khối lợng mỗi hạt là m, điện tích mỗi hạt là q, đợc giữ trên bốn đỉnh
của một hình vuông
a. Hãy xác định động năng cực đại của mỗi hạt khi chúng đợc thả ra đồng thời.
b. Hãy xác định động năng của từng hạt khi ngời ta lần lợt thả từng hạt một sao cho hạt tiếp theo đợc thả ra khi
hạt trớc nó đã đi khá xa hệ.
Giải :
Thế năng tơng tác ban đầu của hệ bằng

( )
24
4
2
2
42
1
4Ư
0
2
0
0
+=






+ì=
a
q
a
q
a
qq
W

(a)
a. Khi thả đồng thi các hạt, do tính đối xứng của bài toán, các hạt đợc gia tốc nh nhau, khiến cho khi ra tới vô

cùng, động năng của chúng nh nhau và bằng
( )
24
16
Ư
4
1
2
1
0
2
0
2
ã1
+==
a
q
Wmv
MAX

(b)
b). Nếu thoạt đầu chỉ cho hạt ở đỉnh A đi ra xa thì động năng cực đại của bằng
( )
24
8
1
2
2
4
1

2
1
0
2
ã
+

=






+ì=

a
q
a
q
qmv
XAMA
(c)
Nếu hạt thứ hai đi ra từ đỉnh C, thì động năng cực đại của nó bằng
a
q
a
q
qmv
XCMA

0
2
0
2
ã
24
2
2
1

=ì=
(d)
Còn hai hạt tại các đỉnh B và D. Giữ một hạt và thả hạt kia, thì động năng cực đại của nó bằng
a
q
a
q
qmv
XBMA
0
2
0
2
ã
2424
2
1

=ì=
(e)

Điện tích thứ t đợc hoàn toàn tự do sau khi các điện tích khác của hệ đã ra xa vô cùng. Nó không thể tự chuyển
động từ trạng thái nghỉ và do đó không có đông năng.
Dễ dàng thấy rằng tổng các động năng (c), (d) và (e) đúng bằng động năng của cả hệ bốn điện tích khi thả
đồng thời. Cũng dễ dàng thấy rằng nếu đỏi thứ tự cho hai điện tích C và B, thì động năng cực đại của chúng tuy
sẽ khác đi, nhng tổng động năng của ba điện tích vẫn không đổi.
B. một số bài tập áp dụng
Bài 1: Một quả cầu nhỏ khối lợng 0,001g đợc tích điện 10
-6
C chuyển động từ điểm M có điện thế 400V đến
điểm N có điện thế 250V. Xác định vận tốc của qủa cầu tại M, biết vận tốc của quả cầu tại điểm N là 20m/s.
Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
NX: Với bài tập này, đề cho vận tốc và điện thế của quả cầu tại hai điểm. Do đó, ta sử dụng phơng pháp năng
lợng để giải.
Bài giải:
- Công lực điện trờng thực hiện khi điện tích di chuyển từ điểm M đến điểm N là:
. ( )
MN MN M N
A q U q V V= = -
7
- Độ biến thiên động năng của quả cầu khi điện tích di chuyển từ điểm M đến điểm N là:
2 2
1
( )
2
d N M
W m v v= -D
- Theo định lý động năng, ta có:
2 2
2
1

( ) ( )
2
2. .
0,28( / )
N M N M
MN
M N
m v v q v v
qU
v v m s
m
;
- = -
= -ị
Bài 2: Một điện tử bay từ bản âm sang bản dơng của một tụ điện phẳng, khoảng cách giữa hai bản tụ là d =
5cm và hiệu điện thế giữa hai bản tụ 3000V. Điện tích của điện tử là
q=-1,6.10
-19
C, khối lợng của điện tử là 3,1.10
-31
kg, vận tốc ban đầu của điện tử bằng không.
1, Xác dịnh thời gian điện tử bay từ bản âm đến bản dơng.
2, Xác định vận tốc của điện tử ngay khi chạm bản dơng.
Bài giải:
Với bài tập này ta có thể giải theo hai cách:
Cách 1: Dùng động lực học
Trong cách này ta phải tìm gia tốc dựa vào định luật II Niutơn để xác định tính chất của chuyển
động, thời gian chuyển động.
Cách 2: Sử dụng định lý động năng
áp dụng định lý động năng để xác định vận tốc của điện tử, từ đó sử dụng công thức động học

tìm gia tốc, thời gian chuyển động.
Nói chung cả hai cách đều phải xác định gia tốc của điện tử.
Sau đây là bài làm cụ thể:
Cách 1:
- Khi điện tử chuyển động từ bản âm sang bản dơng nó chịu tác dụng của lực điện tr-
ờng.
( Bỏ qua tác dụng của trọng lực vì nó quá nhỏ).
=
ur ur
.F q E
- áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta có:
=
ur r
.F m a
- Chiếu phơng trình lên chiều dơng Ox ngợc chiều
E
ur
, ta có:
=
= = =
.
. .
.
F m a
E q q U
F
a
m m m d
- Phơng trình vận tốc và chuyển động của điện tử:
= +

= +


0
2
0
. (1)
1
. . . (2)
2
v v a t
x v t a t
1, Xác định thời gian chuyển động của điện tử:
Khi điện tử chạm bản dơng, ta có: x = d
Thay vào (2), ta đợc:
8
+
+
+
-
- -
F
ur
E
ur
x
O

= + =
= = =
2
0 0
2 31 2 4
9
19
1
. . . ( 0)
2
2. . 2.9,1.10 .5 .10
3.10 ( )
. 1,6.10 .3000
d v t a t v
m d
t s
q U
2, Xác định vận tốc của điện tử ngay khi chạm bản dơng.
Thay giá trị của t vào phơng trình (1), ta đợc:



= + = = =
19
9 7
0
31 2

.
1,6.10 .3000
. . .3.10 3,15.10 ( / )
. 9,1.10 .5.10
q U
v v a t t m s
m d
Cách 2:
- Gọi v là vận tốc của điện tử khi chạm bản dơng.
- Công của lực điện thực hiện khi điện tử dịch chuyển từ bản âm tới bản dơng là:
.
ad
A q U=
- Theo định lý động năng, ta có:
=
= =
2 2
0
1 1
. . .
2 2
d nl
ad
W A
m v m v A q U
( Bỏ qua tác dụng của trọng lực vì khối lợng của nó rất nhỏ)



= = =

19
7
31
2. . 2.( 1,6.10 ).( 3000)
3,15.10 ( / )
9,1.10
q U
v m s
m
( U
ad
= -3000V, vì là hiệu điện thế giữa bản âm và bản dơng)
- Gia tốc của điện tử là:

= =
2 2
0
.
2. . .
ad
q U
v v
a
a d m d
Thời gian điện tử chuyển động từ bản âm đến bản dơng là:



= + = =
19

9 7
0
31 2
1,6.10 .3000
. .3.10 3,15.10 ( / )
9,1.10 .5.10
v v a t m s
Bài 3: Một tụ điện phẳng có hai bản cách nhau d = 5cm, chiều dài mỗi bản là l
= 10cm. Hiệu điện thế giữa hai bản tụ là U = 5000V. Một điện tử bay vào tụ
điện với động năng ban đầu
4
0
10
d
W eV
=
theo phơng song song với các bản tụ
nh hình vẽ.
1, Viết phơng trình quỹ đạo của điện tử, từ đó xác định độ lệch giữa điểm vào
và điểm ra của điện tử theo phơng đờng sức điện.
2, Xác định động năng của điện tử nhay khi bay ra khỏi tụ điện.
Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Bài giải:
NX:
Với bài tập này thì phơng pháp tọa độ là thích hợp nhất
1, - áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta đợc:
=
ur r
.F m a
- Chiếu phơng trình lên hệ trục Oxy, ta đợc:

=



= = =


0
. .
.
x
y
a
e E e U
F
a
m m m d
9
M
N
-
-
-
+
+ +
0
60
10( )l cm
=
N

-
-
-
+
+ +
10( )l cm
=
E
ur
F
ur
0
v
uur
x
y
M
O
- Phơng trình chuyển động của điện tử:
=



= =


0
2 2
. (1)
.

1 1
. . . . (2)
2 2 .
y
x v t
e U
y a t t
m d
- Từ (1), (2), ta đợc phơng trình quỹ đạo của điện tử:
=
2
2
0
.
. (3)
2. . .
e U
y x
m d v
- Vận tốc ban đầu cuả điện tử đợc xác định bởi:
= =
2 2
0
0 0 0
2.
1
. . (4)
2
d
d

W
W m v v
m
- Thay (4) vào (3), ta đợc:

= = =
2 2
4 2
0
.
5000
. 2,5. (5)
4. . 4.10 .5.10
d
e U
y x x
W d
- Phơng trình (5) chính là phơng trình quỹ đạo của điện tử, nó cho ta thấy quỹ đạo của điện tử là một nhánh
Parabol có đỉnh ở gốc tọa độ.
- Khi điện tử bay ra khỏi tụ điện, ta có:
= = 0,1x l m
- Thay vào (5), ta đợc độ lệch của điện tử :
= = =
2
2,5.(0,1) 0,025( )y MN m
2, Động năng của điện tử khi bay ra khỏi tụ điện tại điểm N.
NX: Ta có thể giải theo hai cách:
+ Cách 1: Sử dụng phơng pháp tọa độ.
+ Cách 2: Sử dụng định lý động năng.
Dới đây tôi trình bày theo hai cách để từ đó rút ra nhận xét.

Cách 1:
- Phơng trình vận tốc của điện tử:
=


=

0
.
.
x
y y
v v t
v a t
- Khi điện tử bay ra khỏi tụ điện, ta có
0,1x l m= =
- Từ (1), ta đợc:
= = =
0 0 0
.
.
y
e U
x l l
t v
v v m d v
- Vậy vận tốc của điện tử tại N ngay khi ra khỏi tụ là:

= + = +
ữ

2
2 2 2
0
0
.
.
x y
e U
l
v v v v
m d v
- Vậy động năng của điện tử ngay khi ra khỏi tụ điện là:



= = +
ữ



2
2 2
0
0
.
1 1
. . . .
2 2 .
d

e U
l
W m v m v
m d v
=2.10
-15
(J)
Cách 2:
- áp dụng định lý động năng, ta có:
10

=
= + = +
= +
=
0
0 0
0
15
.
. .
2.10 ( )
d d
d d d MN
d
W W A
W W A W e U
U
W e MN
d

J
Bài 4: Một êlêctrôn có vận tốc ban đầu v
0
bay vào khoảng không gian giữa hai
tấm kim loại phẳng, rộng vô hạn tích điện trái dấu qua một lỗ nhỏ O ở tấm tích
điện dơng. Vận tốc
0
v
uur
hợp với tấm kim loại một góc

nh hình vẽ. Khoảng cách
giữa hai tấm là d, và hiệu điện thế giữa hai tấm kim loại là U. Bỏ qua tác dụng của
trọng lực.
1, Xác định phơng trình quỹ đạo của êlêctrôn.
2, Xác định khoảng cách gần nhất từ êlêctrôn đến tấm tích điện âm trong quá
trình chuyển động của êlêctrôn. Coi tấm kim loại đủ dài để êlêctrôn chạm tấm tích điện âm ở trong khoảng
không gian giữa hai tấm kim loại nh hình vẽ.
Bài giải:

NX: Điện trờng trong khoảng không gian giữa hai tấm kim loại là điện trờng đều có cờng độ điện trờng
U
E
d
=
- Chọn hệ trục Oxy nh hình vẽ.
- Trong quá trình điện tích chuyển động thì khoảng cách từ điện tích đến tấm
tích điện âm đợc xác định theo biểu thức:
= h d y
Vậy để h nhỏ nhất thì y phải lớn nhất.

- Để xác định y
max
ta đi viết phơng trình quỹ đạo của điện tích.
- áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta đợc:
.F m a=
ur r
- Chiếu phơng trình lên hệ trục Oxy, ta đợc:
=





= = =


0
. .
.
x
y
a
e E e U
F
a
m m m d
- Phơng trình chuyển động của điện tử:


=

= + =


0
2 2
0 0
( . ). (1)
.
1 1
( .sin ). . . ( .sin ). . . (2)
2 2 .
y
x v cos t
e U
y v t a t v t t
m d
- Từ (1), (2), ta đợc phơng trình quỹ đạo của điện tử:


=
2
2 2
0
.
(tan ). . (3)
2. . .
e U

y x x
m d v cos
2, Phơng trình vận tốc của điện tử:


=



= + =


0
0 0
( . ).
.
.sin . .sin .
.
x
y y
v v cos t
e U
v v a t v t
m d
- Khi điện tử đạt độ cao lớn nhất y
max
thì thành phần vận tốc theo phơng Oy bằng không, ta đợc:
11
-
-

-
+
+ +
+
-
0
v
uur
-
-
-
+
+ +
+
-
0
v
uur
O
x
y
E
ur
F
ur



= =
=

0
0
.
0 .sin . 0
.
. . .sin
.
y
e U
v v t
m d
m d v
t
e U
- Thay vào (3), ta đợc:

=
2 2
0
.(sin ). .
2. .
max
v m d
y
e U
- Vậy khoảng cách gần nhất từ êlêctrôn đến tấm tích điện âm là:

= =
2 2
0

min
.(sin ). .
2. .
max
v m d
h d y d
e U
- Nếu
min
0h =
thì êlêctrôn chạm tấm tích điện âm.
Chú ý:
Có thể xác định y
max
từ phơng trình quỹ đạo.
Tọa độ điểm có y
max
là đỉnh của Parabol, ta có:


= =
2 2
0
.(sin ). .
4. 2. .
max
v m d
y
a e U
Bài 5: Một quả cầu nhỏ khối lợng m = 0,01g, tích điện q = - 10

-7
C đợc xâu vào một
thanh AB không dẫn điện đặt cố định trong điện trờng đều có cờng độ điện trờng
1000V/m nh hình vẽ. Quả cầu có vận tốc đầu tại A là 10m/s, chuyển động dọc theo thanh
AB và dừng lại ở B.
1, Xác định độ dài đoạn AB.
2, Xác định thời gian quả cầu chuyển động từ A đến B. Bỏ qua mọi ma sát và tác dụng
của
trọng lực.
Bài giải:

0
7
2
3
. 60 .
. 1000.10
5( / )
2. 2. 2.0,01.10
F cos m a
F E q
a m s
m m


=

= = = =
1, Độ dài đoạn AB là:
2 2

2
0 10
10( )
2. 2.( 5)
B A
v v
AB m
a

= = =


0 10
2( )
( 5)
B A
v v
t s
a

= = =

Bài 6: Cho hai quả cầu nhỏ giống nhau cùng có khối lợng m = 0,01g , và điện tích t-
ơng ứng là q
1
= -10
-7
C và q
2
= 4.10

-7
C, đợc nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ không
giãn, không dẫn điện dài 10cm, và đợc đặt trong điện trờng đều có cờng độ điện trờng
E
ur
( E = 10
6
(V/m)) nh hình vẽ. Cả hai quả cầu đợc xâu vào một thanh cứng không
dẫn điện, hai quả cầu chỉ có thể chuyển động dọc theo thanh. Ban đầu hai quả cầu đợc giữ cố định, sau đó thả
nhẹ cho chúng chuyển động. Coi rằng dây luôn căng trong quá trình hai quả cầu chuyển động. Bỏ qua mọi ma
sát và tác dụng của trọng lực. Hãy xác định gia tốc của mỗi quả cầu và lực căng của sợi dây. Hệ đặt trong chân
không.
- áp dụng Định luật
II Niutơn cho vật, ta có:
.=
ur r
F m a
- Chiếu phơng trình
lên chiều dơng
( chiều từ A đến B):
2, Thời gian quả cầu chuyển động từ A đến B là:
12
A
B
m, q
0
60

=
E

ur
A
B
0
60

=
E
ur
ur
F
q
1
q
2
E
ur
Bài giải:

- Lực điện tác dụng lên điện tích q
1
, q
2
nh hình vẽ:
- Vì dây luôn căng trong quá trình hai quả cầu chuyển động, dây
không dãn, nên gia tốc của hai quả cầu là nh nhau.
- áp dụng định luật II Niutơn cho từng quả cầu, ta có:
+ Với quả cầu mang điện tích q
1
:

1 21
' .F F T m a+ + =
uur uuur uur r
+ Với quả cầu mang điện tích q
2
:
2 12
.F F T m a+ + =
uur uur ur r
- Chiếu các phơng tình lên chiều dơng trùng với chiều của
E
ur
, ta có:
21 1
2 12
' .
.
T F F m a
F T F m a
+ =


=

Do dây nhẹ không dãn, ta có T = T.
Lại có
1 2
12 21
2
. .k q q

F F
l
= =
- giải hệ, ta đợc:
2 1
2 1 1 2
1 21 21
2.
2. 2
F F
a
m
F F F F
T m F F F
m


=



+

= + =



Với
6 7
2 2

6 7
1 1
9 14
21
2
. 10 .4.10 0, 4( )
. 10 .10 0,1( )
9.10 .4.10
0,036( )
0,1
F E q N
F E q N
F N



= = =
= = =
= =
Ta đợc:
3 2
15.10 ( / ) ; ' 0, 214( )a m s T T N= = =
Bài 7: Một quả cầu nhỏ khối lợng 0,001g tích điện
10q C
à
=
chuyển động từ
điểm M đến điểm N trong điện trờng đều giữa hai tấm kim loại tích điện trái
dấu, cách nhau 40cm. Vận tốc của quả cầu tại M là 10m/s. Xác định vận tốc của
quả cầu tại N, biết hiệu điện thế giữa hai tấm kim loại là 40V, chiều dài của tấm

kim loại là
30 3( )l cm=
. Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Bài giải:
- áp dụng định lý động năng khi điện tích chuyển động từ điểm M đến điểm N, ta có:
13
q
1
q
2
E
ur
1
F
uur
2
F
uur
12
F
uur
21
F
uuur
T
ur
'T
uur
M
N

M
v
uur
+
+
+
-
- -
30 3( )l cm
=
0
60
=
=
=
= =
= +
= + =
( ) ( )
2 2
0
0
2 2
0
2
0
1 1
. . . . .
2 2
.( . . 60 )

. . . .
tan 60
2
.( . . )
tan 60
2
.( . . ) 10 7 ( / )
tan 60
d N d M
N M MN
N M
N M
W W A
m v m v q U
q E MN cos
U l
q E MH q
d
U l
v v q
m d
U l
v v q m s
m d
Bài 8: Hai quả cầu nhỏ có điện tích và khối lợng lần lợt là q
1
, m
1
,q
2

, m
2
. Ban đầu chúng có vận tốc giống nahu
về độ lớn và hớng. Chúng bắt đầu chuyển động vào trong một điện trờng đều, sau một khoảng thời gian ngời ta
thấy hớng chuyển động của quả cầu 1 quay đi một góc 60
0
và độ lớn vận tốc giảm đi hai lần, còn hớng chuyển
động của quả cầu 2 thì quay đi 90
0
.
1, Vận tốc của quả cầu 2 thay đổi nh thế nào?
2, Xác định các tỷ số
=
2
2
2
q
K
m
theo
=
1
1
1
q
K
m
Bài giải:

1, Gọi

uur
0`
V
là vận tốc ban đầu của quả cầu 1 và 2.
Theo đề ra
uur
1
V
là vận tốc của quả cầu 1 khi
( )
=
uur uur
0
1 2
, 60V V
uur
2
V
là vận tốc của quả cầu 2 khi
( )
=
uur uur
0
2 2
, 90V V
Với
=
0
1
2

V
V

- Xét quả cầu 1:
+ Gia tốc theo phơng Ox là:
+
= =

0
0
0
1
1
1
cos60
.
2
x
x
V
V
q E
a
m t
(1)
+ Gia tốc theo phơng Oy là:
= =

0
0

1
1
1
sin 60
.
2
y
y
V
q E
a
m t
(2)
- Xét quả cầu 2:
+ Gia tốc theo phơng Ox là:

= =

2
0
2
2
.
( )
x
x
q E
V
a
m t

(3)
+ Gia tốc theo phơng Oy là:

= =

2
2
2
2
.
0
y
y
q E
V
a
m t
(4)
- Lấy (1) chia (2) và (3) chia (4) ta đợc:

= =
0
0
0
0
0
0
2
cos60
2

sin 60
2
x
y
V
V
E
V
V
E V
14
M
N
M
v
uur
+
+
+
-
- -
30 3( )l cm
=
0
60
H
Suy ra
=
0
2

3
V
V
.
Vậy vận tốc quả cầu 2 giảm
3
lần.
2, Lấy (1) chia (3), ta có

= =
0
0
0
1
2 0
cos60
3
2
4
V
V
K
K V
Vậy
=
2 1
3
4
K K
Bài 9: Một tụ điện phẳng đợc tích điện đến hiệu điện thế U = 100V. Hãy xác định công của

của lực điện trờng khi dịch chuyển một điện tích q = 0,52 àC từ diểm A đến điểm B, trong
đó mỗi điểm nằm cách đều các mép tụ điện
Bài giải:
Vì công của lực điện trờng không phụ thuộc dạng đờng đi, nên ta tính công theo đờng dịch
chuyển AA
1
B
1
B. Do điện trờng bên ngoài tụ điện bằng không, nên công của lực điện trờng
trên các đoạn đờng AA
1
và B
1
B bằng không. Công toàn phần của lực điện trờng đợc thực
hiện trên đoạn A
1
B
1
và bằng
JUqBAFA
q
6
11
1052

===
Bài 10: Hai vật có kích thớc nhỏ, khối lợng m
1
và m
2

,
mang các điện tích cùng dấu q
1
và q
2
nằm cách nhau
một khoảng a trong chân không. Hãy tính công của lực
điện trờng khi thả đồng thời cả hai điện tích cho chúng
tự do chuyển động. Xét trờng hợp các khối lợng bằng
nhau và trờng hợp các khối lợng khác nhau.
Bài giải:
a. Trờng hợp khối lợng các hạt bằng nhau, thì do lực nh nhau, gia tốc các hạt nh nhau. Chúng đợc đồng thời thả
ra, nên các điện tích luôn đối xứng qua khối tâm chung, nằm chính giữa đoạn a ban đầu. Gọi x là các khoảng
cách tức thời từ mối điện tích đến khối tâm, thì công dịch chuyển mỗi điện tích đi ra đến vô cùng bằng
( )
a
qq
x
qq
x
dx
qq
FdxA
a
aa
0
21
2
0
21

2
2
0
21
2
1
8
1
16
2
4

=






===



/
//
Suy ra công toàn phần của lực điện trờng khi cho cả hai điện tích đồng thời chuyển động ra xa vô cùng bằng
R
qq
AAAA
0

21
121
4
2

==+=
15
A A
1
B
1
B
q
1
, m
1
O q
2
, m
2

x
1
x
2

l
b. Trờng hợp các khối lợng m
1
và m

2
khác nhau. Khi đó, mặc dù lực tác dụng lên hai điện tích có độ lớn nh
nhau, nhng gia tốc của hai hạt là khác nhau. Tuy nhiên, nếu chú ý rằng hệ hai điện tích là một hệ kín, lực tơng
tác giữa chúng là nội lực, thì có sự bảo toàn khối tâm của hệ
l
mm
m
mm
m
xxx
m
xm
xxmxm
21
2
21
2
211
2
11
22211
+
=
+
+=== )(
và
l
mm
m
x

21
1
2
+
=
(3a)
3b)
trong đó l là khoảng cách tức thời giữa hai điện tích. Ta tính công của lực điện trờng khi cả hai điện tích đợc thả
ra đồng thời cho chuyển động đến vô cùng. Kí hiệu khoảng cách ban đầu từ khối tâm đến các điện tích lần lợt là
a
1
và a
2
, ta có công dịch chuyển của điện tích q
1
ra xa vô cùng bằng


=
1
111
a
dxFA
Thay x
1
theo l, ta đợc
amm
mqq
l
dl

mm
mqq
dxFA
aa
1
44
21
2
0
21
2
21
2
0
21
111
1
+
=
+
==



Tơng tự ta cóócong A
2
cho điện tích q
2
amm
mqq

A
1
4
21
1
0
21
2
+
=

Thế năng tơng tác ban đầu giữa hai điện tích đợc chuyển hoàn toàn thành công dịch chuyển đồng thời cả hai
điện tích ra xa vô cùng và bằng
a
qq
AAW
t
0
21
21
4

=+=
Tóm lại dù cho một hay cảc hai điện tích của hệ cùng dịch ra xa vô cùng thì công của lực điện trờng cũng
chỉ bằng thế năng của một điện tích này trong điện trờng của điện tích kia khi chúng cách nhau một khoảng r.
Bài 11: Hãy chứng tỏ rằng năng lợng điện trờng của hệ hai điện tích bằng tổng năng lợng tơng tác giữa hai điện
tích và các năng lợng điện trờng riêng của chúng.
Bài giải:

Vectơ cờng độ điện trờng của hệ bằng

21
EEE
rrr
+=
, nên lợng
2
E
r
gồm ba số hạng
21
2
2
2
1
2
2 EEEEE
rrr
++=
. Suy
ra năng lợng điện trờng của hệ bằng









++==

toànKG
E
dEEdEdEdEW




21
2
2
2
1
0
2
0
2
22
rrr
(a)
Các tích phân chứa
2
2
10
/E

hoặc
2
2
20
/E

cho các năng lợng điện trờng riêng của các điện tích q
1
và q
2
nh khi
chúng đứng cô lập. Ta sẽ chứng tỏ rằng tích phân chứa lợng
210
EE
rr

chính là năng lợng tơng tác giữa hai quả
16
cầu. Thực vậy, thay tích
21
EE
rr
bằng
( )

coscos
212121
EEEEEE =
rr
. Lấy yếu tố thể tích d

là một mảng có
diện tích dS trên mặt cầu tâm tại O
2
, bán kính r

2
, bề dầy dr
2
(hình). Khi đó, kí hiệu tích phân cần tìm là W
12
, thì
nó có dạng

=
gianngkhtoàn
drdSEEW
ô
.cos.
221012

Ta chuyển tích phân trên thành tích phân hai lớp









==
2210221012
2
drdSEEdrdSEEW
qquanhgianngkhtoàn

cos.cos.
ô
Tích phân

2
2
quanhq
dSE
thực chất là điện thông do điện tích q
2
qua
một mặt kín bao quanh q
2
, và bằng
02

/q
.


=
0
21212
drEqW

cos
Lợng
1212
FEq =

chính là lực mà điện trờng của q
1
tác dụng lên q
2
, còn dr
2
là độ dịch vi phân của q
2
dọc theo
các đờng thẳng đi qua q
2
, nên lợng dr
2
.cos

là độ dịch vi phân của q
2
trùng phơng với F
12
, tức là trùng phơng với
các bán kính vectơ
1
r
r
. Nói cách khác, lợng
112212
drEqdrEq =

cos
thực chất là công vi phân dA của lực điện

trờng tác dụng lên q
2
. Công toàn phần đợc tính khi q
2
dịch chuyển từ điểm O
2
ra xa vô cùng. Vì vậy khi chuyển
sang biến số tích phân dr
1
, cận tích phân phải bắt đầu từ l. Công dịch một điện tích từ một điểm nào đó trong
điện trờng ra xa vô cùng chính là thế năng tơng tác giữa điện tích đó với hệ điện tích gây ra điện trờng, ở đây là
giữa q
1
và q
2


====
l l
l
qq
r
drqq
drqEAW
0
21
2
1
1
0

21
12112
44

Vậy W
12
đúng bằng thế năng tơng tác của hai điện tích khi chúng cách nhau một khoảng l.
Nh vậy, năng lợng điện trờng của hệ hai điện tích quả thật bằng tổng hai năng lợng điện trờng riêng của mỗi
điện tích và thế năng tơng tác giữa hai điện tích đó.
l
qq
R
q
R
q
W
hệ
0
21
20
2
2
10
2
1
444

++=

Bài 12: Một điện tích q phân bố đều trong một khối cầu bán kính R. Giả thiết hằng số điện môi bằng đơn vị, hãy

tìm
1. Năng lợng điện trờng riêng của trờng tĩnh điện
2. Tỷ số năng lợng W
1
trữ trong lòng khối cầu và năng lợng W
2
hàm chứa trong không gian ngoài khối cầu.
Bài giải:
Năng lợng của toàn điện trờng
17



O
1
O
2

q
1
l q
2




+

=
===
R
R
drr
r
q
drrr
drrEdEW
0
2
42
0
2
2
0
2
2
0
0
22
0
2
0
4

16
2
4
32
4
22











trong đó năng lợng điện trờng hàm chứa trong lòng khối cầu bằng
R
q
drr
R
q
drrrW
R R
0
2
0 0
4
6

0
2
2
2
0
0
1
40
8
4
32






==








=

và phần năng lợng định xứ ở phàn điện trờng ngoài khối cầu bằng
R

q
r
dr
q
drr
r
q
W
RR
0
2
2
0
2
2
42
0
2
2
0
2
88
4
16
2




===

Suy ra
( )
R
q
R
q
WWW
0
2
0
2
21
20
3
51
40

=+=+=
và tỷ số năng lợng W
1
trữ trong lòng khối cầu và năng lợng W
2
hàm chứa trong không gian ngoài khối cầu
bằng
5
1
40
8

2
1
===
W
W

Bài 13: Các hạt khối lợng m, mang điện tích q bay vào tụ điện phẳng dới
góc so với mặt bản và ra khỏi dới góc . Tính động năng ban đầu của
hạt, biết điện trờng cờng độ E, chiều dài bản tụ là l . Bỏ qua hiệu ứng bờ
của tụ điện.
Bài giải:
Gọi v
1
là vận tốc lúc hạt vào, thì động năng ban đầu của nó bằng
2
11
2
1
mvK =
(1)
Gọi v
2
là vận tốc lúc hạt ra khỏi tụ điện, thì :
+ Thành phần vận tốc vuông góc với đờng sức có độ lớn không thay đổi :

scovscov
12
=
(2)
+ Thành phần vận tốc song song với đờng sức thay đổi với gia tốc

m
Eq
a =
và bằng
t
m
Eq
vatvv +=+=

sinsinsin
112
(3)
Trong đó:

scov
t
1
1
=
(4)
Thay v
2
theo (2) và t theo (4) vào (3) đợc :
18

m, q


scovm
qE

vtgscov
1
11
1
.sin +=
Suy ra:
2
1
2
mv
qEl
scotgsco +=

sin
Do đó
( )

tgtgsco
qEl
mvK
+
==
2
2
1
2
1
Bài 14: Một hạt bụi nằm trong một tụ điện phẳng cha tích điện, có các bản nằm ngang và cách nhau một khoảng
d = 1cm. Do lực cản của không khí, hạt bụi rơi đều và hết 10s để đi từ bản trên xuống tới bản dới. Ngời ta nối
hai bản tụ điện với một hiệu điện thế U = 980V, thì sau đó một khoảng t

2
= 5s hạt bụi đạt tới bản trên. Hãy xác
định thơng số q/m của hạt bụi. Xem rằng lực cản của không khí tỉ lệ thuận với vận tốc .
Bài giải:
Khi hạt bụi rơi đều xuống lực cản của không khí cân bằng với trọng lực đồng thời tỉ lệ thuận với vận tốc rơi
đều
1
101
t
d
kkvmgF ===
(1)
Khi chuyển động lên lực cản cộng với trọng lực phải cân bằng với lực tĩnh điện khi hạt bụi đã chuyển động
đều.
mgFEq +=
02
(2)
Giả thiết rằng gần nh ngay sau khi có điện trờng, hạt bụi đã đạt vận tốc không đổi v
2
, nghĩa là electron cũng
chuyển động đều trên suốt quãng đờng đi từ bản dới lên bản trên.
smmv
t
d
v /22
1
2
2
===
do đó

mgFkvF 22
01202
===
Vậy
mgmgFEq 3
02
=+=

Suy ra
kgC
U
gd
E
g
m
q
/.
1
103
33

===
* Cơ sở của giả thiết : Bây giờ ta làm một phép đánh giá để chứng tỏ rằng giả thiết về sự chuyển động đều của
hạt bụi trên toàn bộ đoạn đờng đi lên là phù hợp với điều kiện của đề bài. Thực vậy, lúc đầu v
2
còn rất nhỏ, lực
cản nhỏ, lực gây ra gia tốc đầu tiên chỉ là hợp lực của lực tĩnh điện và trọng lực:
mgmgEqf
R
2== .

. Cho đến
khi hạt bụi chuyển động đều thì hợp lực gây ra gia tốc bằng không :
0=
R
f
. Vậy trong khoảng thời gian tăng
19
tốc có thể xem giá trị trung bình của hợp lực bằng
mgf
R

. Suy ra gia tốc trung bình bằng
ga
. Với gia tốc
này, để đạt đợc
smmv /2
2
=
chỉ cần khoảng thời gian
t

rất nhỏ :
s
g
v
a
v
t
2
3

2
2
2
102
89
102


=== .
,
.

Vậy giả thiết trên hoàn toàn chấp nhận đợc.
Bài 15: Một electron đang bay với vận tốc v
1
thì chuyển từ miền điện trờng có điện thế

1
sang miền có điện thế
2
. Hỏi nó sẽ chuyển động dới góc bằng bao nhiêu so với
mặt phân cách, nếu nó tới mặt đó dới góc
Bài giải:
Các miền có các điện thế

1
và

2
là các miền đẳng thế. Chuyển động của hạt tích

điện trong các miền đó là đều. Kí hiệu vận tốc chuyển động trong miền sau là v
2
, và áp
dụng định luật bảo toàn năng lợng
2
2
221
2
1
2
1
2
1

evmemv +=+
suy ra
( )
( )
21
2
1
2
2
2
1

= evvm
(1)
trong đó

22
1
22
1
2
1
sinvscovv +=
và

22
2
22
2
2
2
sinvscovv +=
(2)
Để tìm mối liên hệ giữa các góc bay, ta chú ý thêm rằng hình mẫu thực tế của hai miền đẳng thế phân cách nhau
bằng một mặt phẳng có thể thực hiện đợc bằng một cặp lới kim loại phẳng song song nằm rất sát nhau, tích điện
bằng nhau và trái dấu. Khi ấy điện trờng ở khoảng không gian ngoài hai lới bằng không, ở giữa hai lới là đều, có
đờng sức vuông góc với mặt các lới. Nhờ thế khi bay qua tụ điện phẳng này thành phần vuông góc của vận tốc
bị thay đổi, còn thành phần tiếp tuyến của vận tốc (dọc theo mặt đẳng thế) không thay đổi :

scovscov
12
=
(3)
Thay (2) vào (1) và chú ý đến điều kiện (3) ta đợc
( )

22
1
22
221
2
1
sinsin)( vvme =
Sử dụng hệ thức (3) một lần nữa ta đợc
( )
( )

2222
121
2
1
sin= tgscomve
Suy ra
( )
1
2
22
1
21
+

=



sinmv

e
tgtg

Bài 16:
.
Một chùm electron đợc phun ra từ một sợi dây đốt nóng K và đ-
ợc gia tốc nhờ một điện áp V cho đến khi chui lọt qua một lỗ nhỏ trên
một màn chắn nối đất. Hiệu điện áp gia tốc V phải bằng bao nhiêu để sau
20
v
1

(
1
) (
2
)


K
V R
2


R
1

khi đợc gia tốc các electron đi theo đờng tròn các đều hai bản của một tụ điện trụ. Bán kính các bản tụ điện trụ là
R
1

và R
2
, hiệu điện thế giữa chúng là V
0
.
Bài giải:
Gọi v là vận tốc sau khi gia tốc thì :
2
2
1
mveV =

(1)
Để các electron chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính r, lực điện trờng phải đóng vai trò lực hớng tâm
21
22
2
RR
mv
r
mv
Ee
+
==
(2)
trong đó E là cờng độ điện trờng tại nơi có bán kính
2
21
RR
r

+
=
. Thay mv
2
theo (1) đợc
21
4
RR
eV
Ee
+
=
(3)
Mặt khác, cờng độ điện trờng E trong tụ điện trụ và hiệu điện thế V
0
giữa hai bản tụ điện liên hệ với mật độ điện
tích dài q
0
trên ống trụ trong theo các hệ thức:
( )
210
0
0
0
2 RR
q
r
q
E
+

==

và
1
2
0
0
0
2 R
R
q
V ln

=
nên
( )
1
2
21
0
2
R
R
RR
V
E
ln+
=
(4)
Thay vào (3) ta đợc

1
2
0
2
R
R
V
V
ln
=
Bài 17: Hai viên bi với điện tích q
1
và q
2
có các vận tốc ban
v
r
đầu giống nhau về độ lớn và hớng. Sau khi tạo ra
một điện trờng đều trong một khoảng thời gian nào đó, thì hớng của viên bi thứ nhất quay đi một góc 60
0
, nhng
độ lớn giảm đi 2 lần, hớng vận tốc của viên bi thứ hai quay đi 90
0
.
Hỏi vận tốc viên bi thứ hai thay đổi bao nhiêu lần ? Hãy xác định giá trị tuyệt đối của thơng số giữa điện
tích và khối lợng đối với viên bi thứ hai, nếu thơng số đó là k
1
đối với viên bi thứ nhất. Bỏ qua lực tơng tác tĩnh
điện giữa hai viên bi.
Bài giải:

Do điện trờng là đều, nên lực tác dụng lên mỗi điện tích có độ lớn và hớng không đổi trong suốt thời gian
tồn tại điện trờng. Trong khoảng thời gian đó các viên bi nhận đợc các xung lợng của lực tơng ứng bằng
tF
1

và
tF
2
r
. áp dụng định luật bảo toàn động lợng cho mỗi viên bi
21
vmvmtqEtF
vmvmtqEtF
rr
rr
rr
rr
22222
11111
==
==
(1)
(2)
đồng thời
tqEtqE
12
rr
//
, nghĩa là các xung lợng đó hợp với hớng của động lợng ban đầu các góc nh nhau bằng
, suy ra

3
1
30
2
0
222
==
v
v
vtgmvm
* Từ (1) và (2) suy ra
2
3
60
1
0
11
vmvmtEq == sin
(3)
3
2
30
2
0
2
2
vm
sco
vm
tEq ==

(4)
hay là
2
2
1
2
1
2
3








=
m
m
q
q


q
2
/m
2
= q

1
/m
1
. 4/3 = 4k
1
/3

Bài 18: Khi hai electron cách nhau một khoảng d, vận tốc của chúng đều có
độ lớn bằng v, nằm trong cùng một mặt phẳng và đều hợp với đờng nối hai
electron cùng một góc nhọn . y xác định khoảng cách ngắn nhất khi các
electron lại gần nhau.
Bài giải:
Do tính đối xứng của bài toán, khi lại gần nhau các electron có cùng vận tốc v và hợp với đờng nối hai electron
những góc nh nhau. Đồng thời ở khoảng cách ngắn nhát thì góc phải bằng 90
0
, bởi vì góc còn là nhọn, thì
các electron còn tiến dần lại nhau. Mặt khác theo phơng vuông góc với đờng nối hai electron lực tác dụng lên
mỗi hạt bằng không, nên vận tốc theo phơng đó bảo toàn, khiến

sin' vv =
. áp dụng định luật bảo toàn năng l-
ợng , ta đợc
2
0
2
22
0
2
44
mv

d
e
mv
d
e
MIN
+=+



sin
Suy ra

22
0
2
2
4 cosdmve
e
dd
MIN
+
=
Bài 19: Hai electron nằm cách nhau một khoảng r, đồng thời vận tốc của một hạt bằng không, vận tốc của hạt
kia hợp với đờng nối hai hạt một góc nhọn. Hỏi góc giữa các vận tốc của các electron sẽ nh thế nào khi chúng lại
cách nhau một khoảng đúng bằng r?
22
v v
d

60
0



Bài giải:
Do vận tốc một electron có một thành phần hớng về electron kia, nên chắc chắn khoảng cách hai electron thoạt
đầu phải giảm, trong quá trình đó vận tốc electron thứ nhất tăng dần, vận tốc electron thứ hai giảm dần, cho đến
khi động năng của hệ đạt cực tiểu, thì khoảng cách giữa hai electron là ngắn nhất. Sau đó, do lực đẩy tĩnh điện,
vận tốc electron thứ nhất tiếp tục tăng, vận tốc của electron thứ hai tiếp tục giảm, khiến khoảng cách giữa chúng
lại tăng. Bài toán có thể chuyển sang hệ quy chiếu đối xứng cho hai hạt. Tuy nhiên, ta sẽ giải bài toán nhờ các
định luật bảo toàn. Giả sử khi hai electron lại ở khoảng cách r các vectơ vận tốc có phơng, chiều nh hình vẽ. Khi
đó, lực tơng tác là nội lực, ta có bảo toàn động lợng (hệ thức (a)). Do lực tơng tác là xuyên tâm ta có bảo toàn
mômen động lợng (hệ thức (b))
2211
2211


sinsinsin
coscoscos
vvv
vvv
+=
+=
(a)
(b)
Ngoài ra hệ còn bảo toàn năng lợng, mà ở đây là bảo toàn động năng, vì trớc sau hai electron có cùng khoảng
cách r khiến có cùng thế năng tơng tác :
2
2

2
1
2
2
1
2
1
2
1
mvmvmv +=
( c )
Bình phơng hai vế của (a) và (b), trừ đi và chú ý đến (c), ta đợc
( )
0
212121
9002 ==

cosvv

Bài 20: Hai quả cầu nhỏ, có khối lợng nh nhau và điện tích
nh nhau đang nằm trên cùng một đờng thẳng đứng ở độ cao
h
1
và h
2
thì đợc ném theo phơng ngang về cùng một hớng
với vận tốc v nh nhau. Quả cầu 1 chạm đất ở chỗ cách đờng
thẳng đứng nơi ném một đoạn l. Hỏi lúc đó quả cầu 2 đang
ở độ cao h
2

bằng bao nhiêu ? Bỏ qua sức cản của không khí
và ảnh hởng của điện tích cảm ứng trên mặt đất.
Bài giải:
Tuy mỗi điện tích trong bài toán này chuyển động trong
một trờng lực phức tạp, gồm trọng trờng và điện trờng của
điện tích kia, đồng thời do hai điện tích đẩy nhau vì cùng
dấu, nên khoảng cách giữa hai điện tích tăng dần, điện tr-
ờng tác dụng len điện tích kia yếu dần. Song nếu xem hai
23
v
r
e
2
(lần đầu ) e
1


v
2


2
r
e
2
(lần sau) e
1

1
v

1
H
1

H
2

l
điện tích nh một hệ kín, thì lực tơng tác giữa chúng là nội lực, do đó ta có thể chỉ cần quan tâm tới chuyển động
của khối tâm của chúng trong trờng ngoài trọng trờng. Do hai điện tích có khối lợng nh nhau, nên khối tâm
của chúng luôn cách đều cả hai hạt. Vào thời điểm ban đầu, khối tâm của chúng cách mặt đất một khoảng
( )
2
211
/hhH +=
. Khi một hạt chạm đất thì độ cao h
2
của hạt kia bằng hai lần khoảng cách từ mặt đất tới vị trí
khối tâm mới của chúng
( )
yhhyHHh 222
21122
+==='
(1)
trong đó y là khoảng rơi của khối tâm trong khoảng thời gian t, là khoảng thời gian để các vật đi đợc đoạn đ-
ờng l theo phơng ngang
2
2
2
1

2
1






==
v
l
ggty
Thay vào (1) đợc
2
212






+=
v
l
ghhh '

Bài 21: Tại các đỉnh của một đa giác đều gồm 2004 cạnh, có gắn các viên bi giống nhau, mang điện tích giống
nhau. Mỗi cạnh đa giác bằng a. Vào một thời điểm nào đó ngời ta thả một viên bi ra, và sau một khoảng thời
gian đủ lâu, ngời ta thả tiếp viên nằm cạnh viên đã thả lúc trớc. Nhận thấy rằng khi đã cách đa giác một khoảng
đủ lớn thì động năng của hai viên bi đã thả chênh nhau một lợng bằng K. Hãy tìm điện tích q của mỗi viên bi.

Bài giải:
Giả sử viên bi thứ nhất đợc thả từ đỉnh thứ N. Khi đã ở vô cùng (sau một khoảng
thời gian đủ lớn), nó đạt đợc động năng bằng thế năng tơng tác ban đầu của nó với
1N
điện tích còn lại








++++==
12210
22
1
1111
42
NN
aaaa
qmv
K

Trong đó a
i
là khoảng cách từ các điện tích ở các đỉnh 1, 2 , đến q đặt tại đỉnh N.
Riêng a
1
và a

N-1
là các khoảng cách từ đỉnh cạnh nó và bằng a. Động năng của hạt thứ hai khi tới vô cùng đợc
tính tơng tự, nhng thiếu đi một số hạng của một điện tích cạnh nó, tựa nh nó cũng đợc thả ra từ đỉnh N, nhng đã
thiếu mất điện tích ở đỉnh N - 1 :








+++==
2210
22
1
111
42
N
aaa
qmv
K

Vậy :
a
q
KKK
0
2
21

4

==
suy ra :
Kaq
0
4

=
24
2
3
N 4
N -1 5
N -2
Bài 22: Một điện tích dơng +q
0
phân bố đều trên một vòng dây dẫn tròn mảnh bán kính R. ở tâm vòng có một
hạt nhỏ khối lợng m mang điện tích -q. Điện tích này đợc cấp một vận tốc ban đầu v
0
hớng dọc theo trục vòng
dây. Xác định đặc tính chuyển động của điện tích tuỳ thuộc vào độ lớn vận tốc ban đầu. Vòng dây đứng yên
Bài giải:
Năng lợng toàn phần của hạt lúc đầu bằng động năng và thế năng trong trờng tĩnh điện do vòng dây gây ra
R
qq
mvqmvW
0
0
2

00
2
0
42
1
2
1


==
(1)
Để hạt ra đến vô cùng thì
0
2
1
42
1
2
0
0
2
0
= mv
R
qq
mv

hay là
Rm
qq

v
0
0
0
2


(2)
Ngợc lại, nếu
Rm
qq
v
0
0
0
2

<
thì hạt chuyển động tuần hoàn qua lại trên trục vòng dây, với khoảng h xa nhất tính theo hệ thức
hR
qq
R
qq
mv
+
=
2
0
0
0

0
2
0
4
42
1


Thực ra, kết qủa đã nêu ta tìm đợc trên cơ sở giả thiết vòng dây đứng yên. Nếu vòng dây không đứng yên,
thì còn phải kể đến động năng của vòng dây và trong biểu thức năng lợng toàn phần của hệ còn phải kể đến năng
lợng điện trờng riêng của vòng và của hạt. May thay năng lợng này không phụ thuộc vị trí, vận tốc của các vật
trong hệ
Bài 23: Có hai điện tích điểm gắn cố định tại M và N. Ngời ta buông ra
tại A một hạt mang điện tích q, thì nó vợt quãng đờng AB trong khoảng
thời gian t. Hỏi nếu buông ra tại A hạt mang điện tích bằng 3q, thì nó vợt
quãng đờng đó trong khoảng thời gian bao lâu ? Khối lợng các hạt nh
nhau.
Bài giải:
Giả sử hạt mất một khoảng thời gian dt để đi thêm đoạn ds khi nó đang có vận tốc v thì,
v
ds
dt =
. Do đó
khoảng thời gian càn thiết để vật đi từ A tới B là

==
t B
A
v
ds

dtt
0
(1)
Tơng tự, gọi v
2
là vận tốc tơng ứng của hạt thứ hai, ta có

==
2
0
2
2
t B
A
V
ds
dtt
(2)
Ta tìm mối tơng quan v
2
với v theo định lý về động năng
25
M A B N