CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
CHUYÊN ĐỀ: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1) Hàm đặc trưng được xác định ngay từ một phương trình trong hệ
Bài ❶: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
(1)
1 (2)
x y y x
x xy y
ì
ï
- = -
ï
í
ï
+ + =
ï
î


Lời giải:
Ta có :
3 3
(1) ( ) ( )x x y y f x f yÛ + = + Û =
với +
3
( )f t t t= +

2

3 1 0'( ) t tf t + > "= Î ¡
nên hàm số
( )f t
đồng biến trên
¡

Nên
(1) x yÛ =
thay vào
(2)
ta được phương trình:
2 2 2
12 2x x x x+ + = Û = ±
Với
2 2yx ± Þ = ±=

Vậy hệ có 2 nghiệm là
( ) ( ) ( )
; 2;2 ; 2; 2x y = - -

Bài ❷: Giải hệ phương trình
3 3
2 4
3 3 (1)
1 (2)
x y x y
x y
ì
ï
- = -

ï
í
ï
+ =
ï
î


Lời giải:
Ta có :
3 3
3 3 ( ) ( )x x y y f x f yÛ - - - Û =
với
3
( ) 3f t t t= -

Từ phương trình
2 4
(2) : 1 | |,| | 1 1x y x y t+ = Þ £ Þ £

Khi đó
2
'( ) 3 3 0 1f t t t- £ " £=

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 1
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
Hm s
( )f t

nghch bin trờn
( ;1)-Ơ
. Nờn
(1) x y =
thay vo
(2)
ta c:
2 4 4 2 2
1 5 1 5
1 1 0
2 2
x x x x x x
- + - +
+ = + - = = =
Vi
1 5 1 5
2 2
yx
- + - +
ị = =

Vy h cú 2 nghim
1 5 1 5 1 5 1 5
( ; ) ; ; ; .
2 2 2 2
x y
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + - + - + - +

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

Bi : Gii h phng trỡnh
3 3 2
5 3
2 3 4 (1)
1 0 (2)
x x y y y
x y
ỡ
ù
+ - = + +
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ợ

Li gii:
3 3 2 3 3
(1) 3 4 2 ( 1) ( 1)x x y y y x x y y + = + + + + = + + +


( ) ( 1)f x f y = +
vi
3
( ) tf t t= +

2
'( ) 3 1 0 tf t t + > "= ẻ Ă
. Nờn
(1) 1 1x y y x = + = -
thay vo
(2)
ta c:

5 3
( 1) 1 0x x+ - + =
( )
4 2
3 3 0x x x x + - + =

2
4 2
4
0
0

3 3
3 3 0
0
2 4
x
x
x x x
x x
ộ
=
ờ
ộ
=
ờ
ờ

ổ ử
ờ
ờ
ữ
ỗ
+ - + =
ữ
+ - + =
ỗ
ờ
ờ
ữ
ở
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ
ờ
ở

Vi
0 1x y= ị = -

Vy h cú nghim duy nht
( ) ( )
0; ; 1 .x y = -

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 2
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Bài ❹: Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2
3 2 3 (1)
3 2 8 (2)
x x y y
x y y
ì
ï
- + = +
ï
ï
í

ï
- = +
ï
ï
î


Lời giải:
Điều kiện:
3 2
2
3 0
0
8 0
2
2 0
y y
y
y y
x
x
ì
ï
+ ³
ï
ì
ï
³
ï
ï

ï
+ ³ Û
í í
ï ï
³
ï ï
î
- ³
ï
ï
î

Khi đó
3 2
(1) 3 2 3x x y yÛ - + = +


( )
3
3
( 1) 3( 1) 3 3 3x x y yÛ - - - = + - +


( )
( 1) 3f x f yÛ - = +
với
3
( 3)f t t t-=

2

'( ) 3 3 0 1f t t t= - ³ " ³
.Hàm số
( )f t
đồng biến trên
( )
1;+¥

Nên
2
1 3 2 1 3(1) x y x x yÛ - = + Û - + = +

Kết hợp với
(2)
ta có hệ phương trình :
2
2 2
2 2
2
2 1 3
2 1 3 2 2 (1 )
9( 2) 8 9 18 8 (2 )
3 2 8
x x y
x x y x x y
x y y x y y
x y y
ì
ì ì
ï
- + = +

¢
ï ï
- + = + - - =
ï
ï ï
ï
Û Û
í í í
¢
ï ï ï
- = + - = +
- = +
ï ï ï
î î
ï
î

Thế
(1')
vào
(2 ')
ta được phương trình:

( ) ( )
2
2 2
2 2 89 2 218 x xx x x- - + -=

4 3 2
9 18 4 8 8 12x x x x xÛ - = - + - -

( )( )
4 3 2 3 2
4 8 17 6 0 3 5 2 0x x x x x x x xÛ - + - + = Û - - + - =

3 2
3
3
5 2 0
x
x
xx x
Û Û =
- + -
é
ê
ê
ê
ë
=
=
. Do
3 2
5 2 0 2x xx x- + - > " ³

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 3
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Với

3 1x y= Þ =
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 3;1 .x y =

Bài ❺: Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
2 3 3 (1)
1 3 2 2 0 (2)
x y x y
x x y y
ì
ï
- - = -
ï
ï
í
ï
+ - - - + =
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
1 1
0 2
x
y

ì
ï
- £ £
ï
í
ï
£ £
ï
î

Khi đó:
( ) ( )
3 2
3 3 2 3 2
3 2 3(1) 1 31 3x x x yx y y yÛ - - = - Û = -+ - +

( ) ( )
1 yf x fÛ + =
với
( )
3
3f t t t= -
.
( )
2
3 0 [ 1 ]3 1' ;f t tt - £ " Î -=
. Hàm số nghịch biến trên
( )
1;1-

Nên
11) .( x yÛ = -
Thay vào
(2)
ta được phương trình:
( ) ( )
2
2 2
1 3 2 1 1 2 0x x x x+ - - + - + + =


2 2
2 1 2 0x xÛ - - + =


2 2
2 2 1 (*)
0
x x
x
Û + = -
Û =

Do
2
(*)
2
(*)
2
2 2

1 2
VT
VP
x
x
=
=
ì
ï
+ ³
ï
ï
í
ï
- £
ï
ï
î
.
Với
1.0x y= Þ =
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;1 .x y =

Bài ❻: Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0 (1)
4 2 4 5 4 2 0 (2)

x x y y
x x y y
ì
ï
- - + - =
ï
ï
í
ï
+ - - - + =
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
2 2
0 4
x
y
ì
ï
- £ £
ï
í
ï
£ £
ï
î

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 4
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Khi đó:
3 3 2
12 61 6 1( ) x x y yÛ - = - +


( ) ( )
( ) ( )
3
3
12 2 12 2
2
x x y y
f x f y
Û - = - - -
Û = -

Với
( )
3
12t tf t= -
.Với điều kiện
2;2 ; 0;4 2;2tx y
é ù é ù é ù
Î - Î Þ Î -
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û

Suy ra
( )
2
3 12 0 2;2' t t tf
é ù
= - £ " Î -
ê ú
ë û
. Hàm số
( )
f t
nghịch biến trên
2;2
é ù
-
ê ú
ë û

Nên
21) 2( x y y xÛ = - Û = +
thay vào
(2)
ta được phương trình :

( ) ( )
2
2 2
2 4 5 4 2 2 04 6x x xx + - - + - + + =

( )
2 2 2
2 2
4 2 2
4 2 2 2
4 2 4 5 4 6 0
4 6 3 4
16 48 36 36 9
16 57 0 16 57 0
0
x x x
x x
x x x
x x x x
x
Û + - - - + =
Û + = -
Û + + = -
Û + = Û + =
Û =

Với
0 2x y= Þ =
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;2x y =
.
Bài ❼: Giải hệ phương trình
( )
2 2

2
2 4 7 3 2 0 (1)
1 1 (2)
x x x y y x y
x y x y
ì
ï
+ + + + + + + + =
ï
ï
í
ï
+ + = - +
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
2
1 0x y+ + ³

Khi đó
( ) ( ) ( )
2 2
2(1) 2 3 2 3x x x y y yÛ + + + + + = - - + -


( ) ( )
2f x f yÛ + = -

với
( )
2
3f t t t t= + +

( )
2
2
2
3 1 0'
3
t
t t t
t
f = + + + > " Î
+
¡
.Hàm số đồng biến trên
¡

Nên
2(1) 2x y y xÛ + = - Û = - -
thay vào
(2)
ta được phương trình :
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 5
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
( )

2
2
2 1 2 1x x x x+ + + = + + +


2
2 2
2
2
2 4 5 2 3
3
2 3 0
2
2 4 5 4 12 9
2 8 4 0
3
2 2
2
4 2 0
x x x
x
x
x x x x
x x
x
x
x x
Û + + = +
ì
ï

ì
ï
ï
+ ³
³ -
ï
ï
Û Û
í í
ï ï
+ + = + +
ï ï
+ + =
î
ï
î
ì
ï
ï
³ -
ï
Û Û = - +
í
ï
ï
+ + =
ï
î
Với
22 2x yÞ= + =

(không thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Bài ❽: Giải hệ phương trình
( ) ( )
2
53 5 10 5 48 9 0 (1)
2 6 2 11 2 66 (2)
x x y y
x y x x y x
ì
ï
- - + - - =
ï
ï
í
ï
- + + = - + + + +
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
10, 9
2 6 0
2 11 0
x y
x y
x y
ì

ï
£ £
ï
ï
ï
- + ³
í
ï
ï
- + + ³
ï
ï
î

Khi đó
( ) ( )
50 5 3 10 5 45 3 9 0(1) x x y yÛ - + - + - - - =


( ) ( )
3 3
5 10 3 10 5 9 3 9
10 9
x x y y
f x f y
Û - + - = - + -
Û - = -

Với
( )

3
5 3 , 0f t t t t= + ³
.
( )
2
3' 15 0 0t tf t= + > " ³
.
Hàm số đồng biến trên
( )
0;+¥
. Nên
10 9(1) 1x y y xÛ - = - Û = -
thay
vào
(2)
ta được phương trình :
( )
2
2 1 6 2 1 11 66x x x x x- - + + = - + - + +

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 6
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014

2
2
7 10 2 66
7 10 2 66 0

x x x x
x x x x
Û + + = - + +
Û + - - + - - =

Bài ❾: Giải hệ phương trình
3
2
2 2 1 3 1 (1)
1 2 2 1 (2)
y x x x y
y x xy x
ì
ï
+ - = - -
ï
ï
í
ï
+ = + +
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
11 x- £ £

Khi đó
3

2) 2 1(1 1 3y y x x xÛ + = - - + -


( )
( )
( )
( )
3
3
3
2 2 1 1 1 3 1
2 2 1 1
1
y y x x x
y y x x
f y f x
Û + = - - - + -
Û + = - + -
Û = -

Với
( )
3
2 , 0t tf t t= + ³
.
( )
2
1' 06 0f t t t+ > " ³=
.
Hàm số đồng biến trên

( )
0;+¥
. Nên
(1) 1y xÛ = -
thay vào
(2)
ta được:
2 2
1 1 2 2 2 1x x x x x- + = + + -

Đặt
( )
cos , 0;tx t p= Î
. Ta được phương trình
2 2
1 cos 1 2cos 2 cos 1 cost t t t- + = + -


2 2
2 sin 2cos 1 2cos sin
2
2 sin cos2 sin2
2
sin sin 2
2 4
t
t t t
t
t t
t

t
p
Û = - +
Û = +
æ ö
÷
ç
÷
Û = +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 7
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014

( )
4
2 2
4 2 6 3
,
3 4
2 2
4 2 10 5
t

t k t k
k m
t
t m t m
p p
p p
p p
p p p
ộ ộ
ờ ờ
+ = + = - +
ờ ờ
ẻ
ờ ờ
ờ ờ
+ = - + = +
ờ ờ
ở ở
Â

Do
( )
3 3
cos
10 10
0; t xt
p p
pẻ ị = ị =

Vi

3 3 3
cos 1 cos 2 sin
10 10 20
x y
p p p
ị = -= =
(tha món iu kin)
Vy h cú nghim duy nht
( )
3 3
cos ; 2 sin
10 20
;x y
p p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Bi : Gii h phng trỡnh
1
1 (1)
1 1 1

1 4 2 2 (2)
x y
x y
x y
x y
ỡ
ù
-
ù
ù
- + + =
ù
ớ
+ - +
ù
ù
ù
- + + =
ù
ợ

Li gii: iu kin
0 1
0 1
x
y
ỡ
ù
Ê Ê
ù

ớ
ù
Ê Ê
ù
ợ

Khi ú
( )
( )
1
1
1 1
1 1 1
(1)
x y
x y
x
y
-
+ = + -
+ -
+ - -


( )
( ) 1f x f y = -
vi
( )
, 0
1 1

t
t tf t
t
= +
+ -

( )
( )
( )
2
1
1 1
2
'
2 1
1 0 0
1 1
t
t t
t t
t t
t
f
+ - +
-
= + > "
+ -

Hm s ng bin trờn
( )

0;+Ơ
.Nờn
1 1(1) x y y x = - = -
thay vo
(2)

c:
NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 8
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
1 4 1 2 2x x- + + - =


1 5 2 2
1 3
1 5 0
2 2
1 1
2 2
0
1 3
1 5
2 2
1 1 1
0
1 3
2
1 5
2 2

1
2
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
- + - =
- - + - - =
- -
+ =
- + - +
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
- + =
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ố ứ
ữ
ỗ
- + - +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
=

Do
1 1
0 0;1
1 3
1 5
2 2
x
x x
ổ ử

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ộ ự
ỗ
+ > " ẻ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ở ỷ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
- + - +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vi

1 1
2 2
x yị ==
. Vy h cú nghim duy nht
( )
2
;
1 1
;
2
x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Bi : Gii h phng trỡnh
( )
3
3 2 2 2 1 0 (1)
2 2 2 5 (2)
x x y y
x y

ỡ
ù
- - - - =
ù
ù
ớ
ù
+ + + =
ù
ù
ợ


Li gii: iu kin
2
1
2
x
y
ỡ
ù
Ê
ù
ù
ớ
ù

ù
ù
ợ

Khi ú
( ) ( )
2 1 2(1 1) 2 1 2 1 0x x y y - + - - - + - =

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 9
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014

( ) ( )
( ) ( )
3 3
2 2 2 1 2 1
2 2 1
x x y y
f x f y
- + - = - + -
- = -

Vi
( )
3
, 0t t tf t= +
.
( )
2
1' 3 0 0t tf t= + > "
. Hm s ng bin trờn
( )

0 ;+ Ơ

Nờn
21) 2( 2 1 3x y x y - = - = -
thay vo
(2)
ta c phng trỡnh:
3
25 2 2 5y y- + + =
t
3
3
5 2
5
4;
2
2
u y
u v
v y
ỡ
ổ ử
ù
= -
ù
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ

Ê
ớ
ữ
ỗ
ữ
ù
ỗ
ữ
ỗ
= +
ố ứ
ù
ù
ợ
. Ta cú ngay h:

2
3 2
3 2
3
5
5
2 5
2
2
5
2 9
2 10 7 0
2 9
2

u
v
u
u v
v
u
u v
u u u
u
ỡ
ù
-
ù
ỡ
=
ù
-
ù
ỡ
ù
ù
+ =
ù
=
ù
ù
ù

ớ ớ ớ
ổ ử

ù ù ù
-
+ =
ữ
ỗ
ù ù ù
+ - + =
ợ
ữ
+ =
ỗ
ù ù
ữ
ợ
ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ợ

( )( )
2
5
2
5
2
3 65
1 2 3 7 0

4
3 65
1
4
u
u
u
v
u
u u u
u
v
ỡ
ù
-
ù
=
ù
ù
ù
ù
ù
ỡ
ù
-
ù
ù
ù
=
ù

ù
ù

ớ ớ
- +
ù ù
ù
ộ
ù
- + - =
ù ù
ù
ợ
ờ
=
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ù
ù
ù
ở
- -

ù
ù
ù
ù
ợ

Vi nhng giỏ tr ca
u
u tha món iu kin nờn
3
3 3
5
; 3 2 3 5 2
2
u
x y uy u
-
= = + =- - -=
vi
3 5
1
6
4
3 65
4
u
u
u
- +
- -

ộ
ờ
=
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ờ
ờ
ờ
=
ờ
ở

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 10
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
Vy h phng trỡnh cú 3 nghim.
Bi : Gii h phng trỡnh
( )( )
2 2
6 3
4 1 2 (1)
27 8 2 (2)
x x y y
x x y
ỡ
ù

+ + + + =
ù
ù
ớ
ù
= - +
ù
ù
ợ



Li gii: Ta cú
( ) ( )
2 2
4( 2 11) x x y y + + = + -
do
2
1 0y yy + ạ "- ẻ Ă


( )
( ) ( )
2
2
4 2 2 4
2
x x y y
f x f y
+ + = - + - +

= -

Vi
( )
2
4t tf t= + +
.
( )
2
2 2 2
4 | |
4
' 1 0
4 4
f
t t t t t
t t
t t t
+ + +
= + = > " ẻ
+ + +
Ă

Hm s ng bin trờn
Ă
nờn
(1) 2x y = -
thay vo
(2)
ta c phng trỡnh:

6 3
27 42 x xx = + +

( ) ( )
( )
( )
2 3
3
3
3 3
3
3
3
3 4 2
1 1 4 2 4 2
(*1 4 )2
x x x
x x x x x x
f x f x x
= + +
+ + + = + + + + +
+ = + +

Vi
( )
3
f t t t= +
ng bin trờn
Ă
. Nờn

3
3
(*) 1 4 2x x x + = + +


2
1 13
6
3 1 0
1 13
6
x
x x
x
ộ
+
ờ
=
ờ
- - = ờ
ờ
-
ờ
=
ờ
ở

Vi
1 13 1 13
6 12

yx
+ - -
ị ==
; vi
1 1
12
3 13 1
6
yx
- -
ị ==

Vy h cú 2 nghim
( )
1 13 1 13 1 13 13 1
; ;
6 12 6 1
; ;
2
x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ổ ử

+ - - - -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ứ ứ
ữ
ỗ
ố ố
ỗ
.
NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 11
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014

Bi : Gii h phng trỡnh
( )( )
2 2
1 1 1 (1)
6 2 1 4 6 1 (2)
x x y y
x x xy xy x
ỡ

ù
+ + + + =
ù
ù
ớ
ù
- + = + +
ù
ù
ợ


Li gii: iu kin
6 1 02x xy + -

Khi ú
( )
2
2
(1) 1 1x x y y + + = - + - +


( ) ( )
f x f y = -
vi
( )
2
1t t tf = + +

Hm s

( )
f t
ng bin
trờn
Ă

Nờn
(1) x y = -
thay vo
(2)
ta c phng trỡnh:
2 2
6 2 1 4 6 1x xx x x+ + = - + +


( )
2 2 2
6 2 1 2 6 1 6x x x x x x + + = + + -

t
2
2 6 1u x x
v x
ỡ
ù
= + +
ù
ù
ớ
ù

=
ù
ù
ợ
phng trỡnh tr thnh
2 2
6v vu u= -


0v = ị
Phng trỡnh vụ nghim

0v ạ
, chia 2 v phng trỡnh cho
2
v
ta c:
2
6
u u
v v
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= -
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ


2
3
6 0
2
u
u u
v
u
v v
v
ộ
ờ
=
ổ ử
ờ
ữ
ỗ
ữ
- = - =
ỗ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

ờ
= -
ờ
ở

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 12
( )
2
2 2 2
1 | |
1 0
1 1 1
'
t t t t t
t t
t t t
f
+ + +
= + = > " ẻ
+ + +
Ă
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Với
2
2
0 1
3 2 6 1 3
7 6 1 0 1

x x
u
x x x
x x y
v
ì ì
ï ï
³ =
ï ï
= Þ + + = Û Û
í í
ï ï
- - = = -
ï ï
î î
(thỏa mãn ĐK)
Với
2
2
3 11
0
2
2 2 6 1 2
2 6 1 0
11 3
2
x
x
u
x x x

x x
v
y
ì
ï
-
ï
ï
=
ì
ï
£
ï
ï
ï
= - Þ + + = - Û Û
í í
ï ï
- - =
-
ï ï
î
ï =
ï
ï
î
(thỏa)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm
( ) ( )
3 11 11 3

;y 1; 1 ; ;
2 2
x
æ ö
- -
÷
ç
÷
ç
= -
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Bài ⓮: Giải hệ phương trình
( )
3
2 3 2
8 3 2 1 4 0 (1)
4 8 2 2 3 0 (2)
x x y y
x x y y y
ì
ï
- - - - =
ï

ï
í
ï
- + + - + =
ï
ï
î


Lời giải: Điều kiện
1
2
x ³

Khi đó
( )
3
8 4 1 21 1 4( ) x x y yÛ - + - = +


( )
( )
( )
3
3
4 2 1 2 1 4
2 1
x x y y
f x f y
Û - + - = +

Û - =

Với
( )
3
4f t t t= +
.
( )
2
12 1' 0t t tf = + > " Î ¡
. Hàm số đồng biến trên
¡

Nên
2
0
2 1(1
1
)
2
y
x y
y
x
ì
ï
³
ï
ï
Û - = Û

í
+
ï
=
ï
ï
î
thế vào
(2)
ta được :

2
2 2
3 2
0
1 1
4 8 2 2 3 0
2 2
y
y y
y y y
³
æ ö
+ +
÷
ç
÷
- + + - + =
ì
ï

ï
ç
÷
ï
ï
ç
÷
ç
è ø
í
ï
ï
ï
ï
î
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 13
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
( )
4 3 2
2 2
1
2
0
0 0
2 2 0 1
1
2 0
0

1
2
y
y y
x
y y y y y
y y y
x
y
y
y
ỡ
ù
ù
ù
ù
ù
ỡ
ộỡ
ù
ù

=
ù
ù
ù
ù ù
ờ
ị
ớ ớ ớ

ờ
ù
ộ
ờ
=
ờ
ờ
=
ờ
ở
ộ
=
ờ
ù ù
+ - - = =
+ - - =
ờù ù ù
ợ ở
ù
ợ
ù
ờ
=
ờ
ở
ù
ù
ù
ù
ợ

Vy h cú 2 nghim
( ) ( )
1
; 1;1 ; ;0
2
x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Bi : Gii h phng trỡnh
( ) ( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
x x y y
x y x
ỡ
ù
+ + - - =

ù
ù
ớ
ù
+ + - =
ù
ù
ợ

(Trớch thi tuyn sinh i hc khi A nm 2010)

Li gii: iu kin
3
4
5
2
x
y
ỡ
ù
ù
Ê
ù
ù
ớ
ù
ù
Ê
ù
ù

ợ

Khi ú
( )
( )
3
3
8 2( 5) 5 21 2x x y y + = - + -


( )
( )
2 5 2f x f y = -
vi
( )
3
f t t t= +

( )
2
' 3 1 0t tf t= + > " ẻ Ă
. Hm s ng bin trờn trờn
Ă

Nờn
2
2
0
0
2 5 2

5 4
4 5 2
2
(1)
x
x
x y
x
x y
y
ỡ
ù

ỡ
ù
ù

ù
ù
= -
ớ ớ
-
ù ù
= -
=
ù ù
ợ
ù
ợ
thay vo

(2)
ta c:
2
2
2
0
5 4
4 2 3 4 7
2
(*)
x
x
x x
ỡ
ù

ù
ù
ù
ổ ử
ớ
-
ữ
ỗ
ù
ữ
+ + - =
ỗ
ù
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ù
ợ

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 14
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
Xột hm s
( )
2
2
2
5 4
4 2 3 4
2
x
x xg x
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
= + + -
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
liờn tc trờn
3
0;
4
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ

( ) ( )
2 2
5 4 4 3
8 8 2 4 4 3 0 0;
2 4
'
3 4 3 4
x x x x x x x
x x
g
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= - - - = - - < " ẻ
ỗ ỗ
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
- -
.
Mt khỏc
1
7
2
g
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
nờn
(*)
cú nghim duy nht
1
2
2
x y= ị =

Vy h cú nghim duy nht
( )
1
; ;2 .
2
x y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Bi : Gii h phng trỡnh
3 3 2
2 2
3 6 3 4 0 (1)
2 4 3 3 2 3 2 0 (2)
x y x x y
x y y x
ỡ
ù
- + + - + =
ù
ù

ớ
ù
- - + - - + =
ù
ù
ợ


Li gii: iu kin
2
2 2
3 2 0
x
y y
ỡ
ù
- Ê Ê
ù
ớ
ù
+ -
ù
ợ

Khi
3 2 3 2
3 6 4( ) 31 x x x y y + + + = +

( ) ( )
( ) ( )

3
3
1 3 1 3
1
x x y y
f x f y
+ + + = +
+ =

Vi
( )
3
3f t t t= +
.
( )
2
' 3 3 0t tf t= + > " ẻ Ă
. Hm s ng bin trờn
Ă

Nờn
(1) 1x y + =
thay vo
(2)
ta c:
( ) ( )
2
2
2 4 3 3 2 1 1 3 2 0x x x x- - + + - + - + =

2
3 2 4x x - + = -
NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 15
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014

( )
3 2 2
2 2
3 3
9 12 4 4 10 12 0
2
0 1
3
2 5 6 0
x x
x x x x x
x
x y
x x
ì ì
ï ï
ï ï
£ £
ï ï
Û Û
í í
ï ï

ï ï
- + = - - =
ï ï
î î
ì
ï
ï
£
ï
ï
Û Û = Þ =
í
ï
ï
- =
ï
ï
î

Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 0;1x y =
.
Bài ⓱: Giải hệ phương trình
2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 2 0 (1)
1 2 2 1 (2)
x y x y y
y x y xy x x xy y y

ì
ï
- - + - =
ï
ï
í
ï
+ + - = - + - + + +
ï
ï
î

Lời giải: Điều kiện
0
0
x y
y
ì
ï
- ³
ï
í
ï
³
ï
î

Khi đó:
( ) ( )
2 2

2 2
1 1(2) y y y x y x y x yÛ + - - = - + - - - -


( ) ( )
f y f x yÛ = -
. Với
( )
2 2
,1 0t t tf tt= + - - ³

( )
2
1 1
2 2 0
1 2
'
2
t
t t t t
t
f
t t
= - - £ - - <
+
. Hàm số đồng biến trên
(0; )+¥

Nên
2(1) y x y x yÛ = - Û =

thay vào
(1)
ta được:
3 2
4 10 5 2 0y y y- + - =


( )( )
2
2 4 2 1 0
2 4
y y y
y x
Û - - + =
Û = Þ =

Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 4;2x y =
.
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 16
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Bài ⓲: Giải hệ phương trình
( )( )
2
2 2
2
5

9
2 6 ln (1)
9
3 1 0 (2)
y y
x y x xy y
x x
x y xy
ì
æ ö
ï
+ +
÷
ï
ç
÷
ç
ï
- + + - =
÷
ç
ï
÷
ç
÷
í
ç
+ +
è ø
ï

ï
ï
- - =
ï
î


Phân tích và hướng giải:
Phương trình thứ 2 của hệ dường như ta khó tìm hàm đặc trưng nên ta cố gắng tìm
hàm đặc trưng ở phương trình (1)
Ta có:
( )
( ) ( )
3 3 2 2
2 6ln(1) 9 6 ln 9x y x y y y x xÛ - - - = + + - + +

( ) ( )
3 2 3 2
2 6ln 9 2 ln 9x x x x y y y yÛ - + + + = - + + +

Hàm đặc trưng:
( )
( )
3 2
2 6 ln 9t t t t tf = - + + +

Việc giải quyết phương trình (2) có đôi chút phiền phức. Các bạn hãy thử chứng minh
phương trình
6 2
3 1x 0x - - =

chỉ có nghiệm trong
(0; 2)
và dùng lượng giác để tìm
nghiệm phương trình bằng các đặt
2
2 cos , 0;
2
t tx
p
æ ö
÷
ç
÷
= Î
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Bài ⓳: Giải hệ phương trình
( )
4
4
2 2
1 1 2 (1)
2 1 6 1 0 (2)
x x y y
x x y y y

ì
ï
+ + - - + =
ï
ï
í
ï
+ - + - + =
ï
ï
î



( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2013)

Lời giải: Điều kiện
1x ³

Khi đó
4
4
1 1 2(1) x x y yÛ + + - = + +


( )
( )
( )
4
4 4

4
4
1 2 1 2
1
x x y y
f x f y
Û - + + - = + + +
Û - =

Với
( )
4
2t tf t= + +
.
( )
3
4
2
' 1
2
t
tf
t
= +
+

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 17
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014

Để ý phương trình
(2)
:
( )
2 2
2 1 6 1 0y y y yx + - - + =

( )
2
1 4 0 0x y y y
é ù
Û + - = ³ Þ ³
ê ú
ë û
. Nên
( )
0' 0t tf > " ³

Hàm
( )
f t
đồng biến trên
( )
0;+¥
. Nên
4
4
1(1) 1x y x yÛ - = Û = +
thay vào
(2)

ta được phương trình :
( ) ( )( )
2
4 4 2
1 2 1 1 6 1 0y y y y y+ + + - + - + =
( )
( )
8 4 5 4 2
8 5 2
7 4
3 1 2 1 6 1 0
2 4 0
2 4 0
y y y y y y y
y y y y
y y y y
Û + + + - + - + - + =
Û + + - =
Û + + - =
( )( )
6 5 4 3 2
1 3 3 3 4 0
0
1
y y y y y y y y
y
y
Û - + + + + + + =
é

=
ê
Û
ê
=
ê
ë

Do
( )
6 5 4 3 2
3 3 3 4 0 0y y y y y y y+ + + + + + > " ³

Với
0 1y x= Þ =

Với
1 2y x= Þ =

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm
( ) ( ) ( )
; 1;0 ; 2;1x y =
.
Bài ⓴: Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 (1)
1
(2)
2

x x x y y y
x y x y
ì
ï
- - + = + -
ï
ï
í
ï
+ - + =
ï
ï
î

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A-A1 năm 2012)

Lời giải: Ta có
3 2 3 2
3 3 1 12 12 3 3 1 1(1) 2 12x x x x y y y yÛ + - - + = + + + - -+


( ) ( ) ( ) ( )
3 3
1 12 1 1 12 1x x y yÛ - - - = + - +

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 18
GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
T phng trỡnh

2 2
(2
1 1
) 1
2 2
x y
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ị - + + =
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

1
1 3 3 1
1
1
2
2 2 2 2
3 1 1 3
1
1
1
2 2 2 2
2

x
x x
y y
y
ỡ
ù
ỡ ỡ
ù ù
ù
- Ê
ù ù
ù
- Ê Ê - Ê - Ê
ù ù
ù
ù ù
ù
ị
ớ ớ ớ
ù ù ù
ù ù ù
- Ê Ê - Ê + Ê
+ Ê
ù ù ù
ù ù ù
ợ ợ
ù
ợ

Xột hm s

( )
3
12t tf t= -
trờn
3 3
;
2 2
ộ ự
ờ ỳ
-
ờ ỳ
ở ỷ
.
( )
2
3 3
3 12 0 ;
2 2
' t t tf
ộ ự
ờ ỳ
= - < " ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ

Hm s nghch bin trờn
3 3
;
2 2
ộ ự

ờ ỳ
-
ờ ỳ
ở ỷ

Nờn
(1) 1 1 2x y y x - = + = -
thay vo
(2)
ta c phng trỡnh:
( )
2
2
1
2 2
2
x xx x+ - - + - =

2
3
3
2
2 4 0
1
2
2
x
x x
x
ộ

ờ
=
ờ
- + =
ờ
ờ
=
ờ
ở

Vi
1
2
3
2
yx ị = -=
, vi
1 3
2 2
yx ị = -=

Vy h phng trỡnh cú 2 nghim
( )
3 1 1 3
; ; ; ;
2 2 2 2
x y
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ

ữ ữ
= - -
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
2) Hm c trng c xỏc nh sau khi thc hin cỏc phộp bin i gia cỏc phng
trỡnh
Bi : Gii h phng trỡnh
2
2
3 2 3 (1)
3 2 3 (2)
x x y
y y x
ỡ
ù
+ + = +
ù
ù
ớ
ù
+ + = +
ù
ù
ợ

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 19
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014

Phân tích và hướng giải:
Để ý hai phương trình của hệ có sự đối xứng của ẩn
x
và ẩn
y
. Nếu ta trừ từng vế
phương trình
(1)
cho phương trình
(2)
ta nhận ra ngay hàm đặc trưng:
2 2
3 3 3 3(1) (2) x x y yÞ + + = + +-

Hàm đặc trưng:
( )
2
3 3t tf t= + +
đơn điệu
0t" ³

Nghiệm : …
Bài ❷: Giải hệ phương trình
2
2

3 2 3 5 3 (1)
3 2 3 5 3 (2)
x x y
y y x
ì
ï
+ + + = + +
ï
ï
í
ï
+ + + = + +
ï
ï
î


Phân tích và hướng giải:
Tương tự với bài ❶, 2 phương trình của hệ có sự đối xứng nên:
2 2
3 3(1) (2 3 3 3 3) x x y yÞ + + + = + + +-

Hàm đặc trưng:
( )
2
3 3 3f t t t= + + +
đơn điệu
3t" ³ -

Nghiệm: …

Bài ❸: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2 2 2 1 (1)
2 2 2 0 (2)
x x x y y y
x y x y
ì
ï
+ + + = + + +
ï
ï
í
ï
+ - + - =
ï
ï
î


Phân tích và hướng giải:
Nhìn vào 2 phương trình của hệ, ta thấy phương trình 1 xuất hiện 2 căn thức là
2x +

và
2 1y +
. Liệu 2 căn thức này có liên quan?
Mặt khác phương trình thứ 2 xuất hiện dạng tam thức bậc 2 nhưng sự phân tích kiểu
D
chính phương có vẻ không ổn

Nếu ta dựa vào 2 căn thức này làm “điểm” tựa cho việc tìm hàm đặc trưng thì việc tìm
hàm đặc trưng khá dễ dàng bằng việc đưa phương trình
(2)
về sự độc lập:
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 20
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
2 2
2 2 2x yx y- = - - +

Rồi lấy từng vế
(1) (2)-
ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1x x x y y y+ + + - + = + + + - +
Ta thấy rõ ngay hàm đặc trưng:
( )
4 2
t t tf t= + -

Bài ❹: Giải hệ phương trình
( )
2
2
2
3
1 1 (1)
2

2 5 1 2 2 4 2 (2)
y y y x
x x x x y
ì
ï
ï
+ + + = +
ï
ï
í
ï
ï
+ - + = + - +
ï
ï
î


Phân tích và hướng giải:
Phương trình
(2)
của hệ có xuất hiện 2 căn thức, một căn thức có sự độc lập là
2
2 5x x- +
và căn thức còn lại không có sự độc lập. Nhưng biểu thức trong căn
2x 4 2y- +
lại có ẩn
x
bậc nhất liên hệ mật thiết với ẩn
x

cũng bậc nhất ở phương
trình
(1)
. Liệu rằng phương pháp thế có phát huy tác dụng trong việc tìm hàm đặc
trưng?

Lời giải: Điều kiện
x 2 02 4y + ³-

Khi đó
2 2
2 2 4( 2 11) 1x y y y yÛ = + - + +
thế vào
(2)
ta được phương trình:

2 2 2
2 5 1 2 2 1 2 1x x y yx y- + = + ++ + +

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2

2
1 1 4 2 1
1 1 4 2 1
1 1 ( )4 4 4 32
x x y y
x x y y
x x y y
Û - + - + = + +
Û - + - + = + +
Û - + - + = + +

Xét hàm số
( )
2
4t tf t= + +
.
( )
2
' 1 0
4
f
t
t t
t
= + > " Î
+
¡

Hàm số đồng biến trên
¡

. Nên
1 2( 2) 13 x y x yÛ - = Û - =
thay vào
(1)
ta được:
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 21
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014

( )
2
2
5
1 1 2
2
y y y y+ + + = +

( )
2
2 2
2
2 2 2 4 2
3
1
2
3 3
9 3
2 2
9 9

16 4
1 3 4
4 4
y y y
y y
y y
y y y y y
Û + = -
ì ì
ï ï
ï ï
£ £
ï ï
ï ï
Û Û Û = Û = ±
í í
ï ï
ï ï
+ = - + =
ï ï
ï ï
î î

Với
3 5
4 2
y xÞ ==
,với
3 1
4 2

xy Þ = -= -
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có 2 nghiệm
( )
5 3 1 3
; ; ; ;
2 4 2 4
x y
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
= - -
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Bài ❺: Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 5 3 4 (1)
3 3 1 0 (2)
x x x y y
x y x y
ì
ï
+ - + = + +

ï
ï
í
ï
- - + + =
ï
ï
î

Phân tích và hướng giải:
Sự xuất hiện những căn thức cho chúng ta những cơ sở để tìm hàm đặc trưng
Nhận thấy
( )
2
2
2 5 1 4x x x- + = - +
và
2
4y +
nên ta tìm hàm
f
sao cho
( ) ( )
1f x f y- =
.
Mặt khác khi ta cộng phương trình
(1)
với phương trình
(2)
:

( )
2
2
2x 11x xx + + -=-
và
2 2
3 3 yy y y- =+
thì hàm đặc trưng sẽ xuất hiện
Cộng từng vế phương trình
(1)
với phương trình
(2)
ta được phương trình :
( ) ( )
2 2
2 2
1 1 4 4x x y y- + - + = + +

Hàm đặc trưng:
( )
2 2
4t tf t= + +

ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 22
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Nghiệm
( )
3 1

; ;
2 2
x y
æ ö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Bài ❻: Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2
3 17 27 3 13 (1)
6 5 10 0 (2)
y xy x x x y
x y xy y x
ì
ï
+ - + = - +
ï
í
ï
+ + - - + =
ï

î


Phân tích và hướng giải:
Nhìn thoáng qua phương trình
(1)
của hệ có dạng hàm bậc 3 quen thuộc. Nhưng chỉ có
điều biểu thức
3xy
làm mất sự độc lập của hai ẩn nên ta có gắng làm mất biểu thức
đó.
Mặt khác, ở phương trình
(2)
cũng xuất hiện biểu thức
xy
nên chúng ta muốn tiêu biến
3xy
ở phương trình trên thì ta lấy phương trình
(1)
-
3(2)
khi đó ta được:
3 2 3
3 5 3 2y y xy x- + - = +

Nhìn vào biểu thức trên việc chọn hàm đặc trưng dễ nhận thấy, chúng ta lấy biểu thức
đơn giản để chọn hàm đặc trưng
3
2xx +
khi đó

( ) ( )
3
3 2
3 5 3 1 2 1y y y yy - + - = - + -

Hàm đặc trưng:
( )
3
2f t t t= +

Nghiệm
( ) ( )
2 5
; 2;3 ; ;
3 3
x y
æ ö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Bài ❼: Giải hệ phương trình
5 4 10 6

2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
ì
ï
+ = +
ï
ï
í
ï
+ + + =
ï
ï
î


Phân tích và hướng giải:
Đây là bài toán có khác nhiều trong các tìa liệu tham khảo. Mặc dù hàm đặc trưng
không có sự độc lập của
x
và
y
nhưng số mũ ở phương trình
(1)
cho chúng ta suy
nghĩ đến việc chia cho biểu thức (dạng đẳng cấp).
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 23

GII H PHNG TRèNH BNG PHNG PHP HM S
15/09/2014
Chia nh th no. Chỳ ý phng trỡnh
(1)
biu thc
45
x xy+
ng cp bc 5 nờn ta
chia hai v phng trỡnh (1) cho
5
y
c:
5
5
x x
y y
y y
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Hm c trng:
( )

5
f t t t= +

Nghim
( ) ( ) ( )
; 1;1 ; 1; 1x y = -
.
Bi : Gii h phng trỡnh
( ) ( )
2 3 6 4
2
2 2 (1)
2 1 1 (2)
x y y x x
x y x
ỡ
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
+ + = +
ù
ù
ợ


Phõn tớch v hng gii:
Tng t nh Bi , ta chia 2 v phng trỡnh

(1)
cho
3
x
ta c:
3
3
2 2
y y
x x
x x
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ = +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Hm c trng:
( )
3
2f t t t= +

Nghim:
Bi : Gii h phng trỡnh

( )
( )
3
3
2 3 8 (1)
2 6 (2)
x y
x y
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ


Phõn tớch v hng gii:
em li s cụ lp hai n bng cỏch a h v dng
3
3
8
2 3 (1 )
6
2 (2 )
y

x
y
x
ỡ
ù
ù
Â
+ =
ù
ù
ớ
ù
ù
Â
- =
ù
ù
ợ

3
3
(1') (2')
2 2
3y y
x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ị + = +

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+

Hm c trng:
( )
3
3f t t t= +

NG XU H KHI KHễNG BIT, CH XU H KHI KHễNG HC.
LP 12A1-THPT Lấ LI, TN K, NA 24
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
15/09/2014
Nghiệm
( ) ( )
1
; 1;2 ; 4;
2
x y
æ ö
÷
ç
÷
= - -
ç
÷

ç
÷
ç
è ø
.
Bài ❿: Giải hệ phương trình
( )( )
( )
2 4 6 3 (1)
3 1 4 2 1 1 3 (2)
x y x y x y
x x y y
ì
ï
+ - + = - -
ï
ï
í
ï
- + + = - +
ï
ï
î


Phân tích và hướng giải:
Ta không tìm thấy sự liên quan giữa các căn thức nên việc dựa vào các căn thức để tìm
hàm đặc trưng khá khó khăn. Tuy nhiên phương trình (1) lại có dạng bậc hai đối với ẩn
x
hoặc ẩn

y
nên ta thử phân tích
(1)
thành tích:
( )( )
1 2(1) 4 0x y x yÛ + + - + =

Khi đó công việc còn lại khá nhẹ nhàng !!! Các bạn làm tiếp nhé!
Bài ⓫: Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
3 2 2
2 2 2
4 1 2 1 6 (1)
2 2 4 1 1 (2)
x y x x
x y y x x
ì
ï
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + = + +
ï
ï
î



Phân tích và hướng giải:
Nhìn phương trình
(2)
có vẻ quen thuộc hơn. Nếu ta chia cả hai vế
(2)
cho
2
x
(
0x ¹
) thì ta sẽ nhận ra ngay hàm đặc trưng:
( )
2
2
1 1 1
12 22 1y
x x x
y y
æ ö
÷
ç
÷
+ = + +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
+

Hàm đặc trưng:
( )
2
1t t tf t= + +


Lời giải: Điều kiện
0x ³

Nhận thấy
0x =
không là nghiệm của hệ, nên ta chiacả hai vế phương trình
(2)
cho
2
x
được:
( )
2
2
1 1 1
2 1 12 2 (3)y
x x
y
x
y
æ ö
÷
ç
÷

+ = + +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
+
ĐỪNG XẤU HỔ KHI KHÔNG BIẾT, CHỈ XẤU HỔ KHI KHÔNG HỌC.
LỚP 12A1-THPT LÊ LỢI, TÂN KỲ, NA 25