Khoá luận tốt nghiệp toán Dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua việc dạy học Giới hạn ở các lớp THPT

Đề tài: Dạy học phát huy tính tích cực học tập của
học sinh thông qua việc dạy học Giới hạn ở các lớp
THPT
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
1.1. Cơ sở lí luận
Đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực trong hoạt động học
tập của học sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục. Luật giáo dục năm 2005
chương II mục 2 điều 25 có ghi: “phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện
kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại niềm vui
hứng thú cho học sinh”. Đứng trước nhu cầu đó đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc
vận động đổi mới phương pháp dạy học dần dần khắc phục những tồn tại phổ biến của
phương pháp dạy học cũ như: thuyết trình tràn lan; GV cung cấp kiến thức dưới dạng
có sẵn, thiếu yếu tố tìm tòi phát hiện; thầy áp đặt, trò thụ động; thiên về dạy, yếu về
học; không kiểm soát được việc học. Thay vào đó là sự đổi mới về phương pháp dạy
học với mục tiêu cốt lõi là phát huy tính tích cực hoạt động học tập của HS, khơi dậy
và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập,
sáng tạo, để tạo cho học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen
học tập thụ động. Trong môn Toán ở trường THPT, dạy học chủ đề Giới hạn là minh
chứng rõ nét cho việc dạy học theo hướng phát huy tính tích cực trong hoạt động học
tập của học sinh, phù hợp với mục tiêu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Chủ đề “Giới hạn” là một trong những nội dung quan trọng, cơ bản, nền tảng và
khó của Giải tích Toán học ở THPT. Bởi lẽ: “không có Giới hạn thì không có Giải
tích. Hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn”. Khái niệm Giới
hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”,
“biến thiên”. Do vậy nắm vững được nội dung khái niệm Giới hạn là khâu đầu tiên, là
tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu
1
quả các kiến thức Giải tích toán học ở phổ thông. Ngoài ra, Giới hạn là một trong

những khái niệm quan trọng chứa đựng nhiều kiến thức, nhiều tư duy, nhất là tư duy
trừu tượng, tư duy logic Trong đó thể hiện nhiều thao tác tư duy: phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa nó đòi hỏi phẩm chất tư duy: linh
hoạt sáng tạo, sự tính toán chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì chịu khó. Do đó,
việc phát huy tính tích cực trong dạy học chủ đề Giới hạn cần được chú trọng và quan
tâm.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Quá trình dạy học tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò. Trong cách tiếp cận dạy học truyền thống người ta thường chú ý đến
chất lượng của hoạt động dạy (chất lượng bài giảng, khả năng lôi cuốn học sinh, phong
thái, cách trình bày bảng, ) xong lại xem nhẹ hoạt động học, chưa chú ý đến việc phát
huy tính tích cực tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học. Vì thế, đã có một số
công trình nghiên cứu về việc phát huy tính tích cực trong dạy học: “vận dụng lí luận
vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông, của Bùi Văn Nghị, NXB Đại học
sư phạm, 2009”; Luận án tiến sĩ “phát huy tính tích cực trong dạy học Toán” của Lê
Thị Xuân Liên, 2006; “phương pháp dạy học môn Toán ở THPT theo định hướng tích
cực” của Bùi Thị Hường, NXB Giáo dục, 2010 Chủ đề Giới hạn tuy mới, trừu tượng
nhưng đã có những đề tài nghiên cứu: Luận văn “quan điểm giải tích về cách tiếp cận
khái niệm Giới hạn và việc phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới
hạn ở bậc THPT”, Đại học sư phạm Thái Nguyên; đề tài nghiên cứu khoa học “bồi
dưỡng năng lực giải bài toán Giới hạn cho học sinh thông qua việc phân tích các sai
lầm” của Đoàn Quỳnh Giang Từ đó cho thấy, việc phát huy tính tích cực trong học
tập của học sinh là vấn đề cấp bách trong dạy học, được nhiều nhà nghiên cứu quan
tâm và tìm hiểu; đặc biệt việc dạy học Giới hạn, một chủ đề quan trọng trong Giải tích
Toán học cũng được chú trọng nghiên cứu.
Không chỉ vậy, Giới hạn là một khái niệm mới và trừu tượng đối với học sinh
THPT, HS còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng khi học về lí thuyết và vận dụng vào
làm bài tập. Bởi vậy để HS hiểu được chứng minh, nắm vững nội dung kiến thức về
Giới hạn đòi hỏi GV phải có những biện pháp sư phạm tốt, đó là các cách thức và
phương tiện thích hợp như: tổ chức cho HS đa dạng các hoạt động trong quá trình học

tập; kết hợp nhiều phương pháp trong giờ dạy; thực hiện kiểm tra đánh giá cho HS sau
2
mỗi bài học thông qua những bài tập thích hợp Trong quá trình dạy học, GV phối
hợp sử dụng các biện pháp thích hợp với từng nội dung bài học để góp phần tạo nên
những hoạt động giao lưu của GV với HS, HS với HS, nhằm phát huy tính tích cực,
chủ động, tự giác trong học tập của HS khi học về chủ đề quan trọng này.
Xuất phát từ cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu khóa
luận: “Dạy học phát huy tính tích cực trong hoạt động học tập của học sinh thông
qua việc dạy học Giới hạn ở các lớp THPT”.
II. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực học tập của học
sinh ở trường THPT. Vận dụng các biện pháp đó vào phần dạy học Giới hạn ở các lớp
THPT nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán ở trường THPT.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lí luận cơ bản về phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh
qua học môn Toán.
- Tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề Giới hạn ở trường THPT.
- Đề xuất những biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát huy tính tích cực của học
sinh khi dạy học chủ đề Giới hạn.
- Khảo nghiệm sư phạm qua thiết kế một số giáo án.
IV. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở nội dung chương trình và SGK hiện hành nếu xây dựng được một số
biện pháp sư phạm thích hợp vào dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy tính
tích cực hoạt động học tập của học sinh thì sẽ kích thích tính tích cực, tự giác, chủ
động, độc lập, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương
pháp giải toán Giới hạn. Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của GV
và HS.
V. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận các văn bản của ngành Giáo dục - Đào tạo, các tài liệu lí luận
có liên quan đến việc dạy học môn Toán ở trường THPT, các tài liệu tâm lí giáo dục

về phát huy tính tích cực trong hoạt động học tập của học sinh.
- Tìm hiểu phân tích chương trình SGK liên quan đến chủ đề Giới hạn và các tài
liệu tham khảo khác có liên quan.
- Điều tra tìm hiểu thực tiễn dạy học Giới hạn ở trường THPT.
- Khảo nghiệm sư phạm.
VI. Cấu trúc của luận văn
3
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn có 3 chương:
Chương 1: Tính tích cực học tập và thực tiễn dạy học Giới hạn ở trường THPT.
Chương 2: Dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua dạy học
Giới hạn ở các lớp THPT.
Chương 3: Khảo nghiệm sư phạm.
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1
TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP VÀ THỰC TIỄN DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở
TRƯỜNG THPT
1.1. Tính tích cực của học sinh trong dạy học
1.1.1. Quan niệm về tính tích cực của học sinh
1.1.1.1. Tính tích cực
Theo nghĩa từ điển: “tích cực là một trạng thái tinh thần có tác dụng khẳng
định và thúc đẩy sự phát triển. Người tích cực là người tỏ ra chủ động, có những hoạt
động nhằm tạo ra sự biến đổi theo hướng phát triển”. Các nhà tâm lí học cũng đã phân
tích, làm rõ hơn nội hàm của khái niệm tích cực:
Theo V.O.Kôn: “khi nói đến tính tích cực, chúng ta quan niệm là mong muốn
hành động được nảy sinh một cách không chủ định và gây nên những biểu hiện bên
ngoài hoặc bên trong của sự hoạt động”.
Theo Kharlamop: “tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể nghĩa là
người hành động. Vậy tính tích cực của nhận thức là trạng thái hoạt động đặc trưng
bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến
thức”.

Như vậy hiểu một cách đầy đủ, tích cực là một trạng thái của hành động trí óc
hoặc chân tay của người có mong muốn hoàn thành tốt mọi công việc nào đó, thể hiện
một phẩm chất vốn có của con người trong đời sống xã hội. Việc hình thành và phát
triển tính tích cực là một trong các nhiệm vụ chủ yếu của giáo dục nhằm đào tạo
những con người năng động, thích ứng và góp phần phát triển cộng đồng.
1.1.1.2. Tính tích cực học tập
Học tập là hoạt động chủ đạo ở lứa tuổi đi học. Thông qua quá trình học tập,
con người nhận thức được, lĩnh hội được những tri thức loài người đã tích lũy, đồng
thời có thể nghiên cứu và tìm ra những tri thức mới cho khoa học.
4
Theo Nguyễn Ngọc Bảo: “tính tích cực học tập là thái độ cải tạo của chủ thể
đối với khách thể, thông qua sự huy động ở mức độ cao các chức năng tâm lí nhằm
giải quyết những vấn đề học tập, nhận thức”.
Tính tích cực học tập là một phẩm chất, nhân cách của người học, được thể
hiện ở tình cảm, ý chí quyết tâm giải quyết các vấn đề mà tình huống học tập đặt ra để
có tri thức mới, kĩ năng mới; giúp cho người học có khả năng học tập không ngừng.
Trong hoạt động học tập, nó diễn ra ở nhiều phương diện khác nhau: tri giác tài liệu,
thông hiểu tài liệu, ghi nhớ, luyện tập, vận dụng
Tính tích cực học tập, vận dụng đối với HS liên quan trước hết với động cơ học
tập. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác. Tính tích cực nhận
thức trong học tập sản sinh nếp tư duy độc lập. Suy nghĩ độc lập là mầm móng của sự
sáng tạo. Do đó tích cực sẽ gắn liền với động cơ, với sự kích thích hứng thú, với ý thức
hứng thú, có ý thức về sự tự giác học tập, ý thức về sự giáo dục của chính mình nên có
thể hiểu tiêu chí nhằm phát huy tích tích cực học tập là tính tích cực tư duy. Biểu hiện
ở 3 mức độ tư duy khác nhau.
+ Tư duy tích cực: Học sinh chăm chú nghe giảng để hiểu bài. Nghiêm túc thực
hiện các yêu cầu của GV.
+ Tư duy độc lập: Học sinh tự mình tìm tòi suy nghĩ xây dựng khái niệm, phân
tích định lí dựa trên sự gợi mở của GV. Trong quá trình học tập khi vấn đề được đặt ra
HS suy nghĩ tìm tòi hướng giải quyết vấn đề.

+ Tư duy sáng tạo: Học sinh không chịu dừng lại ở những cái đã biết mà tìm tòi
giải pháp mới hoặc khám phá ra vấn đề mới.
1.1.2. Vì sao phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh ?
Trong quá trình dạy học, tính tích cực học tập của học sinh không chỉ tồn tại
như một trạng thái, một điều kiện, mà nó còn là kết quả của quá trình hoạt động nhận
thức, là mục đích của quá trình dạy học, chỉ có quá trình nhận thức tích cực mới tạo
cho HS có tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, hình thành ở HS tính độc lập sáng tạo và nhạy bén
khi giải quyết các vấn đề trong học tập.
Hiện nay và trong tương lai xã hội loài người đang và sẽ phát triển tới một hình
mẫu “xã hội có sự thống trị của kiến thức” dưới tác động của sự bùng nổ về khoa học
và công nghệ cùng nhiều yếu tố khác. Để có thể tồn tại và phát triển trong một xã hội
như vậy, đòi hỏi con người phải có khả năng chiếm lĩnh tri thức một cách độc lập sáng
5
tạo. Điều này đòi hỏi HS phải hoạt động tích cực, tìm tòi khám phá những khâu còn
thiếu trong thông tin đã tiếp thu được và mở rộng, cải biến nó thành cái có nghĩa đối
với mình.
Phát huy tính tích cực trong học tập của HS và tăng cường hoạt động trí tuệ độc
lập của HS trong quá trình thu nhận tri thức sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho
HS. Phát huy tính tích cực học tập của HS có tác dụng phát triển những đức tính quý
giá như luôn xác định mục đích, động cơ; lòng ham hiểu biết, tính kiên trì, óc sáng tạo,
tính tò mò Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố kích thích bên
trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của HS đó là những điều kiện hết sức quan trọng
giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt.
Quán triệt tinh thần đó việc vận dụng phương pháp dạy học hiện đại vào dạy học
môn Toán đòi hỏi phải tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh nhằm hình
thành cho HS tư duy tích cực độc lập và sáng tạo, tự tìm tòi khám phá phát hiện
nguyên nhân, khai thác và xử lí thông tin, tự hình thành hiểu biết năng lực và phẩm
chất dựa trên cơ sở những kiến thức Toán học được tích lũy có hệ thống. Để khai thác
hết năng lực học tập của HS, việc tổ chức quá trình dạy học phải theo đúng con đường
nhận thức khách quan “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu

tượng đến thực tiễn” mà điều quan trọng nhất là học sinh hứng thú, tự giác tham gia
vào quá trình học tập và chỉ có thế mới đảm bảo cho quá trình học tập đạt kết quả cao.
1.1.3. Các cấp độ của tính tích cực nhận thức
Trong tác phẩm “Giáo dục học trường phổ thông” G.I.Sukina đã chia trong học
tập tính tích cực có ba cấp độ từ thấp đến cao:
a) Tính tích cực bắt chước, chấp nhận và tái hiện: Là tính tích cực chủ yếu
dựa vào trí nhớ và tư duy tái hiện do các tác động bên ngoài như yêu cầu bắt buộc của
của giáo viên. Trong trường hợp này học sinh bắt chước và tái hiện các kiến thức đã
học, thực hiện các thao tác và kĩ năng dựa trên mẫu hoặc mô hình của GV, nhằm
chuyển đối tượng từ bên ngoài vào bên trong theo cơ chế nhập tâm chưa có nỗ lực của
tư duy. Cấp độ này thường phát triển mạnh ở HS có năng lực nhận thức ở mức độ
trung bình và dưới trung bình.
Ví dụ 1: Trong dạy bài tập toán Giới hạn, để giúp HS giải dạng toán vô định
0
0
,
GV có thể giải một bài tập mẫu lên bảng, để HS nhận dạng và HS dựa vào đó để giải
quyết các bài tập tương tự cùng dạng trên.
6
b) Tính tích cực tìm tòi áp dụng: Học sinh độc lập giải quyết các tình huống học
tập như quá trình lĩnh hội khái niệm, định lí, bài toán với sự tham gia của động cơ
nhu cầu hứng thú và ý chí của học sinh, sự tự giác tìm kiếm các phương thức lĩnh hội
có hiệu quả. Tính tích cực tìm tòi không bị hạn chế trong khuôn khổ những yêu cầu
của GV trong giờ học mà hoàn toàn tự phát trong quá trình nhận thức học tập của HS.
Trong giờ học loại này thường phát triển mạnh mẽ ở những học sinh có lực học trên
trung bình và khá, giỏi.
Ví dụ 2: Đứng trước một bài toán tìm Giới hạn của hàm số, HS không chỉ dừng
lại ở việc giải được bài toán mà còn có nhu cầu tìm ra lời giải ngắn gọn nhất, hay nhất
như sử dụng tìm Giới hạn bằng định nghĩa hay sử dụng các quy tắc, đặt ẩn phụ, sử
dụng đạo hàm, đó là sự thể hiện tính tích cực tìm tòi.

c) Tính tích cực sáng tạo: Là tính tích cực có mức độ cao nhất, thể hiện ở chỗ
trong học tập học sinh tự mình cũng có thể tìm ra được những cách giải quyết mới,
không dập khuôn máy móc hay thực hiện tốt các yêu cầu hành động do GV đưa ra mà
không cần sự giúp đỡ của giáo viên. Loại này thường thấy ở học sinh có năng lực nhận
thức ở mức độ giỏi, học sinh năng khiếu.
Ví dụ 3: Khi giải một bài toán người học thể hiện tính tích cực sáng tạo ở việc cố
gắng tìm cách giải bài toán bằng nhiều con đường khác nhau, nhiều phương pháp khác
nhau, đó chính là thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau.
1.1.4. Các mặt biểu hiện tính tích cực trong học tập của học sinh
a) Biểu hiện về mặt hoạt động nhận thức: Tính tích cực học tập của HS thể hiện ở
thao tác tư duy, ngôn ngữ, sự quan sát, ghi nhớ, tư duy hình thành khái niệm, phương
thức hành động, hình thành kĩ năng, kĩ xảo các câu hỏi nhận thức của HS; giải đáp các
câu hỏi do GV đưa ra nhanh chóng chính xác, sự khát khao học hỏi, biết nhận rõ đúng
sai khi bạn đưa ra ý kiến, hoài nghi, phê phán và xác lập các quan hệ giúp ích cho hoạt
động nhận thức.
b) Biểu hiện về mặt cảm xúc, tình cảm: Thể hiện ở niềm vui, sốt sắng thực hiện yêu
cầu của GV, hăng hái trả lời các câu hỏi của GV, thích phát biểu ý kiến của mình trước
vấn đề nêu ra. Hay thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ những vấn đề chưa đủ rõ.
c) Biểu hiện về mặt động cơ ý chí: Thể hiện ở sự nỗ lực ý chí giải quyết nhiệm vụ
học tập, tập trung chú ý vào vấn đề đang học, có nhu cầu hứng thú học tập, hoàn thành
7
các bài tập, kiên trì tìm tòi đến cùng, không nản trước những tình huống khó khăn và
hơn nữa là vạch ra được mục tiêu kế hoạch học tập.
d) Biểu hiện về kết quả nhận thức: Thể hiện ở kết quả lĩnh hội kiến thức một cách
nhanh chóng, chính xác, chủ động vận dụng kiến thức, kĩ năng đã học để nhận thức
vấn đề mới.
1.1.5. Những yếu tố ảnh hưởng tới tính tích cực học tập của học sinh
a) Hứng thú: Có vai trò rất lớn trong quá trình học tập của học sinh, khi HS có hứng
thú với đối tượng nào đó sẽ hướng toàn bộ quá trình nhận thức của mình vào đối
tượng, làm cho sự quan sát nhạy bén hơn, tư duy linh hoạt tích cực, ghi nhớ nhanh

chóng và lâu bền, góp phần nâng cao tính tích cực học tập của HS.
b) Nhu cầu: Là yếu tố đặt ra để nảy sinh, thúc đẩy hành động là nguồn gốc của tính
tích cực học tập. Đôi khi, nhu cầu là nguyên nhân nảy sinh những hứng thú trực tiếp
trong học tập như nhu cầu được điểm tốt, nhu cầu được tuyên dương trong buổi chào
cờ đầu tuần Nhưng quan trọng hơn là nhu cầu tìm hiểu và vận dụng kiến thức thực
tiễn, điều này sẽ kích thích HS thường xuyên trau dồi tri thức trong quá trình học tập.
c) Động cơ hoạt động: Được thúc đẩy bởi động cơ xác định và diễn ra trong một tình
huống cụ thể. Động cơ học tập sẽ làm cho HS có lòng khao khát được mở rộng tri
thức, say mê với quá trình giải quyết các nhiệm vụ học tập, nỗ lực vượt qua mọi khó
khăn. Động cơ học tập là nguyên nhân bên trong đã được học sinh ý thức trở thành
động lực tâm lí nội tại, có tác dụng phát huy mọi sức mạnh về trí tuệ của người học,
thúc đẩy họ học tập một cách tích cực.
d) Năng lực: Là điều kiện về mặt trí tuệ giúp cho HS có khả năng lĩnh hội với tốc độ
nhanh, có nghĩa là có sự khái quát nhanh, trình độ phân tích tổng hợp cao với tính
mềm dẻo của tư duy.
e) Ý chí: Là một trong những phẩm chất quan trọng của nhân cách con người. Ý chí
giúp con người vượt qua mọi khó khăn, đi sâu vào nhận thức các biểu hiện của tính
tích cực. Ngược lại có tình cảm học tập và một số yếu tố mang tính tự phát như: tò mò
yêu thích hoạt động sẽ kích thích được học sinh có ý thức tìm tòi để chiếm lĩnh kiến
thức góp phần hình thành ý chí bản lĩnh cho HS.
f) Môi trường: Là một trong những nhân tố tác động mạnh mẽ tới tính tích cực học
tập của HS. Khi giáo viên tạo dựng được môi trường học tập tốt sẽ tạo nên hứng thú
8
học tập cho HS bởi sự cạnh tranh, thi đua giữa các HS trong lớp với nhau, từ đó hình
thành ý chí học tập và phát huy được tính tích cực trong học tập của HS.
g) Sức khỏe: Là nền tảng cho tính tích cực học tập của học sinh, người có sức khỏe,
thể lực phát triển thì tác phong cử chỉ nhanh nhẹn, khả năng tư duy nhạy bén, linh
hoạt, cường độ hoạt động học tập cao, tập trung chú ý lâu bền.
Bên cạnh những yếu tố trên, để phát huy tính tích cực trong học tập của HS,
người giáo viên cần xây dựng những biện pháp sư phạm thích hợp từ đó xác định thiết

kế phương thức dạy học sao cho kích thích tính chủ động, tự giác, khả năng tự thể
hiện, đánh giá trong học tập, phát triển những cơ hội, động cơ học tập, xây dựng mối
quan hệ tương tác giữa GV và HS, HS và HS.
1.2. Thực tiễn dạy học Giới hạn ở trường THPT
Qua quá trình dự giờ, giảng dạy và tham dự các tiết thao giảng, thi giáo viên dạy
giỏi của thầy cô ở các trường THPT trong đợt kiến tập và thực tập vừa qua; kết hợp
tham khảo qua sách vở, các sáng kiến kinh nghiệm, đề tài nghiên cứu khoa học của
thầy cô và các bạn sinh viên, tôi đã tìm hiểu thực tiễn dạy học chủ đề Giới hạn ở
trường THPT như sau:
1.2.1. Thuận lợi
- Các khái niệm cơ bản trong SGK được trình bày theo hướng phát huy tính tích
cực của học sinh, nghĩa là xuất phát từ kiến thức cũ đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức
mới.
- Phân biệt rõ cho HS khái niệm +
∞
và
−∞
chứ không trình bày chung là
∞
như
trước đây.
- Các khái niệm giới hạn 0, giới hạn vô cực của dãy số, được định nghĩa theo con
đường qui nạp. Cụ thể qua các hoạt động xây dựng khái niệm được mô tả nhờ vào ghi
nhận trực giác số và trực giác hình học, sau đó đi đến định nghĩa trọng tâm làm cho
HS tiếp cận vấn đề dễ hơn.
- Các bài tập trong SGK đa dạng, phong phú, có sự phân loại trình độ HS, bám
chặt với nội dung kiến thức của mỗi bài học.
1.2.2. Khó khăn
a) Về kiến thức
- Trong nhận thức khái niệm Giới hạn, HS thường gặp khó khăn liên quan đến ngôn

ngữ: “giới hạn”, “dần về”, “nhỏ tùy ý” có ý nghĩa thông thường không tương hợp với
9
khái niệm giới hạn dạng hình thức trong mỗi bài tập, do đó khiến cho HS khó hiểu,
dẫn đến áp dụng các định nghĩa trở nên máy móc.
- Ở chương trình SGK ban cơ bản không đưa qui tắc tìm giới hạn dạng vô định dẫn
tới khó khăn cho GV khi dạy phần này.
- Việc vận dụng qui tắc tìm giới hạn ở SGK rất khó đối với học sinh có trình độ
trung bình và dưới trung bình vì HS phải thực hiện qua một số bước biến đổi trung
gian trước khi áp dụng. Ngoài ra, học sinh có thể nhầm lẫn giữa các qui tắc khi giải
các bài toán tìm giới hạn. Học sinh thường hiểu nhầm bản chất của +
∞
và
−
∞
, đó
không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra là nói đến lân cận của +
∞

tức là trong khoảng
( ; )a +∞
và lân cận của
−
∞
là khoảng
( ; )a−∞
với a
∈R
, do đó
không thể thực hiện các phép toán đại số trên chúng.
b) Về tư duy: Trong quá trình giải các bài toán về Giới hạn đòi hỏi HS phải vận dụng

linh hoạt các qui tắc và định lí, các phép biến đổi đại số, có sự nhìn nhận và phân tích
bài toán theo nhiều hướng nhằm tìm ra hướng đi đúng. Tuy nhiên, điều này không phải
học sinh nào cũng làm được với kiến thức Giới hạn vừa khó, vừa trừu tượng và mới
mẻ.
c) Về phương pháp
- Khi học về chủ đề này HS đôi khi phải sử dụng phương pháp đặc biệt hóa, khái
quát hóa để làm công cụ học tập. Nhưng khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh trừu
tượng của HS còn gặp nhiều hạn chế dẫn đến sự khó khăn trong quá trình học.
- Các hoạt động chỉ đạo, nghiên cứu, bồi dưỡng giảng dạy còn nặng về tìm hiểu,
làm quen và khai thác nội dung chương trình và SGK. Thiếu sự chuẩn bị đồng bộ đối
với các mắt xích trong mối quan hệ rất chặt chẽ là mục tiêu, nội dung, phương pháp,
phương tiện giảng dạy, đánh giá. Ngoài ra, việc cụ thể hóa, quy trình hóa những
phương pháp dạy học về chủ đề Giới hạn để giúp GV sử dụng trong giảng dạy còn hạn
chế.
d) Về kĩ năng: Kĩ năng linh hoạt trong biến đổi các khâu trung gian, phân tích bài
toán trước khi áp dụng qui tắc, định lí để tính Giới hạn ở HS còn khó khăn.
e) Về đánh giá: Các kiểu đánh giá và thi cử cũng ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp
giảng dạy. Do đó, trong giảng dạy, mỗi GV cần có quá trình kiểm tra đánh giá chính
xác, khắt khe, công bằng, tạo điều kiện cho HS tự đánh giá lẫn nhau nhằm tăng tính
hứng thú học tập và giúp HS nắm chắc kiến thức bài học.
10
1.2.3. Những sai lầm thường mắc phải của học sinh khi học “ Giới hạn”
Khi học chủ đề Giới hạn học sinh sẽ làm quen với đối tượng mới, kiểu tư duy
mang tính biện chứng, do đó HS gặp phải rất nhiều khó khăn sai lầm không thể tránh
khỏi. Tuy nhiên, những sai lầm lại có tác dụng tích cực, sai lầm cũng có ích trong việc
xây dựng tri thức, đặc biệt khi tạo nên sự xem xét lại các tri thức đã biết trước đây.
Hơn nữa, việc phát triển và biết khai thác các tình huống sai lầm HS hay mắc phải
trong học tập cũng chính là quá trình phát huy tính tích cực của HS. Sau đây là một số
sai lầm học sinh thường hay mắc phải khi học về Giới hạn:
a) Sai lầm khi áp dụng sai định lý

Ví dụ 1: Tính giới hạn
L=
2 2 2
1 1 1
lim( )
1 2n n n n
+ + +
+ + +
- Sai lầm: Học sinh làm như sau:
L=
2 2 2
1 1 1
lim( )
1 2n n n n
+ + +
+ + +

=
2 2 2
1 1 1
lim lim lim
1 2n n n n
+ + +
+ + +
= 0+0+ +0 = 0
Vậy HS đã sai lầm ở đâu? Cách giải đúng là gì?
- Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ HS hiểu sai định lí các phép toán về giới hạn, định
lí này chỉ đúng cho hữu hạn số hạng, còn trong bài này là tổng vô hạn nên không thể
áp dụng định lí đó được.
- Lời giải đúng: Với mỗi số nguyên k mà

1 k n≤ ≤
, ta có
2 2 2
1 1 1
1n n n k n
≤ ≤
+ + +
Do đó
2 2 2
1
1
,
1
n
k
n n
n
n n n k n
=
≤ ≤ ∀
+ + +
∑

Mà
2 2
lim lim 1
1
n n
n n n
= =

+ +

Áp dụng nguyên lí kẹp ta được kết quả: L=
2
1
1
lim 1
n
k
n k
=
=
+
∑

11
Từ sai lầm trên ta có nhận xét: Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc
đã có giới hạn 0 và các phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và
được sử dụng cho hữu hạn các số hạng.
b) Sai lầm do biến đổi đại số
Ví dụ 2: Tìm giới hạn
2
2
4
lim
2
x
x
x
→

−
−

- Sai lầm: HS giải như sau:

2
2 2 2
4 ( 2)( 2)
lim lim lim( 2) 4
2 2
x x x
x x x
x
x x
→ → →
− + −
= = + =
− −

- Phân tích sai lầm: Lời giải trên là chưa chính xác do HS đã xem
2 2,x x x− = − ∀
.
HS nhầm lẫn trong cách biến đổi đại số.
- Lời giải đúng:
2, 2
2
( 2), 2
x x
x
x x

− ≥

− =

− − <


Tức là: khi
2x
+
→
thì
2 ( 2)x x− = −
và khi
2x
−
→
thì
2 ( 2)x x− = − −
Để xem giới hạn khi
2x
→
có tồn tại hay không ta thực hiện tính các giới hạn :

2
2
4
lim
2
x

x
x
+
→
−
−
và
2
2
4
lim
2
x
x
x
−
→
−
−

Ta có:

2
2
2
4 ( 2)( 2)
lim lim 4
2 2
x
x

x x x
x x
+
→
→
− − +
= =
− −
;
2
2 2
4 ( 2)( 2)
lim lim 4
2 ( 2)
x x
x x x
x x
− −
→ →
− − +
= = −
− − −
Ta thấy:
2 2
2 2
4 4
lim lim
2 2
x x
x x

x x
− +
→ →
− −
≠
− −
. Vậy không tồn tại giới hạn
2
2
4
lim
2
x
x
x
→
−
−

Ví dụ 3: Tính giới hạn:
2
1
lim
1
x
x
x
→−∞
+
+

- Sai lầm: HS làm như sau:

2
2
1
1
1
lim lim 1
1
1
1
x x
x
x
x
x
→−∞ →−∞
+
+
= =
+
+
12
- Phân tích sai lầm: Lời giải trên đã chia cả tử và mẫu của phân thức
2
1
1
x
x
+

+
cho x để
khử dạng vô định
∞
∞
. Nhưng sai lầm ở chỗ khi cho x vào trong dấu căn không để ý
x → −∞
.
- Lời giải đúng:

2
2
2 2
1 1
(1 ) 1
1
lim lim lim
1
1 1
(1 )
x x x
x x
x
x x
x x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
+ +
+

= =
+ +
+


2 2
1 1
1 1
lim lim 1
1 1
(1 ) 1
x x
x
x x
x
x x
→−∞ →−∞
− + − +
= = = −
+ +

c) Sai lầm của học sinh khi gặp giới hạn vô cực
Ví dụ 4: Tìm giới hạn
I=
5 1
lim
3
x
x
x

→+∞
+
−
- HS giải như sau:
I=
lim (5 1)
5 1
lim 1
3 lim ( 3)
x
x
x
x
x
x x
→+∞
→+∞
→+∞
+
+ +∞
= = =
− − +∞

- Phân tích sai lầm: Lời giải trên sai ở chỗ
+ Áp dụng định lí các phép toán về giới hạn là sai vì tử số và mẫu số không có giới
hạn hữu hạn.
+ HS chưa hiểu rõ khái niệm vô cực, vô cực không phải là một số cụ thể mà chỉ là
một kí hiệu.
- Lời giải đúng:
I=

1 1 1
(5 ) 5 lim (5 )
5 1
lim lim lim 5
3 3 3
3
(1 ) 1 lim (1 )
x
x x x
x
x
x
x x x
x
x
x x x
→+∞
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
+ + +
+
= = = =
−
− − −

Ví dụ 5: Tính
2
lim ( 1 )
x
x x

→+∞
+ −

13
- HS giải như sau:

2 2
lim ( 1 ) lim ( 1) lim ( ) ( ) 0
x x x
x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
+ − = + − = +∞ − +∞ =

- Phân tích sai lầm: Lời giải trên sai ở chỗ coi +
∞
,
−
∞
là một số cụ thể nên áp dụng
định lí các phép toán về giới hạn hữu hạn và thực hiện phép toán
∞
−
∞
=0 như một
biểu thức đại số.
- Lời giải đúng :

2 2
2
2

( 1 )( 1 )
lim ( 1 ) lim
1
x x
x x x x
x x
x x
→+∞ →+∞
+ − + +
+ − =
+ +


2 2
2 2
1 1
lim lim 0
1 1
x x
x x
x x x x
→+∞ →+∞
+ −
= = =
+ + + +

d) Sai lầm của học sinh khi tìm giới hạn bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Tính
0
2 1 1

lim
x
x
x
→
+ −

- HS giải như sau:
Đặt t =
2 1x +
⇔

2
2
1
2 1
2
t
t x x
−
= + ⇔ =
Vậy:
2
0 0 0
2 1 1 1 2
lim lim lim 2
1
1
2
x t t

x t
t
x t
→ → →
+ − −
= = =
−
+

- Phân tích sai lầm: Sau khi biến x chuyển qua biến t học sinh chưa tìm giới hạn cho
biến t.
- Lời giải đúng: Đặt
2
2
1
2 1 2 1
2
t
t x t x x
−
= + ⇔ = + ⇔ =

Khi
0x
→
thì
1t
→

Vậy:

2
0 1 1
2 1 1 1 2
lim lim lim 1
1
1
2
x t t
x t
t
x t
→ → →
+ − −
= = =
−
+

e) Sai lầm khi không hiểu rõ khái niệm giới hạn một phía
Ví dụ 7: Cho hàm số
1
, 1
( )
1
2, 1
x
x
f x
x
x
−


>

=
−


<

14
Tìm
1
lim ( )
x
f x
→

- HS làm như sau:

1 1 1 1
1 ( 1)( 1)
lim ( ) lim lim lim 1 0
1 1
x x x x
x x x
f x x
x x
→ → → →
− − −
= = = − =

− −

- Phân tích sai lầm: HS đã nhầm lẫn cho rằng giới hạn của f(x) khi
1x
→
chính là
giới hạn của f(x) khi
1x
−
→
và
1x
+
→

- Lời giải đúng:

1 1 1 1
1 ( 1)( 1)
lim ( ) lim lim lim 1 0
1 1
x x x x
x x x
f x x
x x
+ + + +
→ → → →
− − −
= = = − =
− −

1 1
lim ( ) lim 2 2
x x
f x
− −
→ →
= =

Vì
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
+ −
→ →
≠
. Nên không tồn tại
1
lim ( )
x
f x
→
.
Như vậy, những sai lầm phổ biến của HS khi làm các bài tập về Giới hạn thường
xuất phát từ chỗ các em chưa nắm vững lí thuyết, nhầm lẫn trong cách biến đổi đại số,
khả năng vận dụng các định lí, qui tắc chưa nhuần nhuyễn, chưa hiểu rõ yêu cầu của
bài toán. Vì thế, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh những ý trọng tâm
của định nghĩa, khái niệm, nhấn mạnh điều kiện áp dụng của định lí và rèn luyện cho

HS làm nhiều bài tập hơn, nhằm khắc phục những sai lầm các em thường hay mắc
phải.
1.3. Kết luận chương
Từ sự phân tích về lí luận tính tích cực và thực tiễn dạy học chủ đề Giới hạn cho
thấy:
- Tính tích cực của con người được biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động,
trong đó học tập là hoạt động chủ đạo của lứa tuổi học sinh. Tính tích cực nhận thức là
điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, là trạng thái hoạt động của học sinh,
đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm
vững kiến thức.
- Tính tích cực học tập ở HS thể hiện ở sự tập trung chú ý vào vấn đề đang học, sự
tự nguyện tham gia xây dựng bài, tham gia thảo luận, tranh luận, đóng góp những suy
nghĩ về các vấn đề được đưa ra, không nản chí trước những tình huống khó khăn. Tính
tích cực học tập được chia ra thành ba cấp độ: tính tích cực bắt chước,chấp nhận và tái
hiện; tính tích cực tìm tòi và áp dụng; tính tích cực sáng tạo.
15
- Để HS hoạt động trong học tập một cách tích cực, độc lập và sáng tạo, người GV
cần thúc đẩy các yếu tố như: hứng thú, gợi động cơ, nhu cầu, năng lực , thực hiện tốt
vai trò thiết kế, tổ chức các hoạt động nhận thức cho người học, tạo ra tình huống học
tập hấp dẫn, lôi cuốn.
- Trong thực tế dạy học ở THPT hiện nay, kĩ năng giải toán của HS nói chung cũng
như kĩ năng giải bài tập về Giới hạn nói riêng còn gặp nhiều hạn chế; HS còn gặp
không ít khó khăn trong quá trình tiếp cận các khái niệm giới hạn, vận dụng các qui
tắc, định lí. Để khắc phục tình trạng này, trong chương 2 của đề tài đề cập tới vấn đề
dạy học phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn
ở các lớp THPT với mục đích xây những biện pháp sư phạm để phát huy tính tích cực
trong học tập của HS.
16
Chương 2
DẠY HỌC PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở CÁC LỚP THPT
2.1. Mục tiêu dạy học Giới hạn ở các lớp THPT
2.1.1. Mục tiêu dạy học Giới hạn ở lớp 11 THPT
Khi dạy học chủ đề này giáo viên phải làm cho HS nắm được những nội dung:
- Các khái niệm về Giới hạn của dãy số, hàm số.
- Các định lý, tính chất về Giới hạn của dãy số, hàm số.
- Các quy tắc phương pháp tìm Giới hạn hữu hạn, Giới hạn vô cực, Giới hạn một
bên của dãy số, hàm số.
- Học sinh vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc để làm các
bài tập về Giới hạn và một số bài toán thực tế trong đời sống.
- HS biết được ứng dụng Giới hạn trong xây dựng định nghĩa đạo hàm, vi phân;
hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong khoảng xác định.
2.1.2. Mục tiêu dạy học ứng dụng Giới hạn ở lớp 12 THPT
Sau khi HS được tiếp cận với nội dung kiến thức của Giới hạn ở chương trình
lớp 11, GV cần giúp HS nắm bắt được những vấn đề sau về ứng dụng của Giới hạn
trong Giải tích:
- Ứng dụng Giới hạn vào xác định tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Dãy số, hàm số cùng với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm tích phân.
- Giới hạn như một phương pháp để giải một số dạng toán: tìm điều kiện để
phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm; chứng minh các đẳng thức và bất đẳng
thức trong ôn thi Đại học, Cao đẳng.
Không chỉ vậy, qua chủ đề này, rèn luyện cho HS kỹ năng biến đổi đại số. Rèn
luyện tính tự giác, tích cực, chủ động phát hiện cũng như lĩnh hội được kiến thức, rèn
luyện tính cẩn thận chính xác trong lập luận và tính toán.
2.2. Những tình huống trong dạy học Giới hạn ở các lớp THPT
2.2.1. Dạy học khái niệm Giới hạn
Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học ở bất cứ một môn khoa học nào
ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho
HS một hệ thống khái niệm. Đó là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học
17

sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời
có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan cho HS.
* Việc dạy học khái niệm Toán học nói chung và dạy khái niệm Giới hạn nói
riêng phải làm cho HS dần dần đạt được những yếu tố sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng khái niệm: biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc
một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác, nắm chắc định nghĩa của một số khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong hoạt động giải toán và trong ứng dụng thực tế.
- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những
khái niệm khác trong hệ thống khái niệm. Ví dụ: Trong chủ đề Giới hạn, HS phải nhận
biết được mối liên hệ giữa khái niệm Giới hạn của dãy số và Giới hạn của hàm số.
Những yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lí do sư phạm, các
yêu cầu này không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau của từng khái
niệm. Chẳng hạn: đối với khái niệm Giới hạn hữu hạn của một dãy số, đòi hỏi HS phải
phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được định nghĩa trong khi
làm bài tập. Còn đối với khái niệm Giới hạn vô cực của dãy số, thì không đòi hỏi phải
nêu được khái niệm một cách tường minh mà chỉ cần HS hình dung ra được khái niệm,
một cách trực quan thông qua ví dụ cụ thể.
* Trong Giải tích, Giới hạn là một khái niệm trừu tượng, khó hiểu đối với học sinh
THPT. Do vậy, GV cần phải làm cho HS tiếp cận được khái niệm. Đó là khâu đầu
tiên, trong quá trình hình thành khái niệm Giới hạn. Trong dạy học, người ta phân biệt
ba con đường tiếp cận khái niệm như sau:
- Con đường suy diễn
- Con đường quy nạp
- Con đường kiến thiết
Tùy theo từng khái niệm cụ thể, mà GV nên chọn con đường hình thành khái niệm
khác nhau để HS có hứng thú trong việc hình thành, nắm bắt khái niệm một cách say
mê chủ động và tích cực.
Ví dụ 1: Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như sau:

+ Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số:
(1) Dãy
( )
n
u
với
1
n
u
n
=

18
(2) Dãy
( )
n
u
với
( 1)
n
n
u
n
−
=

(3) Dãy
( )
n
u

với
3 1
n
n
u
n
+
=

(4) Dãy
( )
n
u
với
7 1
n
n
u
n
+
=

(5) Dãy
( )
n
u
với
3 1
2 4
n

n
u
n
+
=
−

+ HS quan sát các hình biểu diễn và nhận xét xem các dãy số trên có tính chất gì? Nêu
lên sự giống nhau và khác nhau, từ đó rút ra tính chất đặc trưng ?
+ GV hướng dẫn HS nhận xét: từ chỉ số nào đó khá lớn của n các dãy (1), (2) gần bằng
0, các số hạng của dãy (3) gần bằng 3, các số hạng của dãy (4) gần bằng 7, các số hạng
của dãy (5) gần bằng
3
4
−
.
+ Sau khi cùng HS quan sát, GV yêu cầu HS nhận xét, từ đó đưa ra định nghĩa giới
hạn 0 và giới hạn L của dãy số.
Qua ví dụ trên, GV đã cho HS tiếp cận theo con đường quy nạp; GV gợi mở để HS
phát biểu định nghĩa cần tìm hiểu.
Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa khái
niệm đó. Một khâu rất quan trọng trong dạy học khái niệm là củng cố khái niệm.
* Trong hoạt động củng cố khái niệm thường được tiến hành bằng các hoạt động :
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm: Một trong những chủ nghĩa hình thức
trong học tập môn Toán là một số HS học thuộc cách phát biểu khái niệm nhưng lại
không nhận biết một đối tượng cụ thể thỏa mãn khái niệm đó hay không tự mình tạo ra
những đối tượng thỏa mãn khái niệm. Vì vậy cần thiết phải cho HS tiến hành hoạt
động “nhận dạng” và “thể hiện” để củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho vận dụng khái
niệm.
Ví dụ 2: Sau khi học xong khái niệm Giới hạn hữu hạn của dãy số, để giúp HS khắc

sâu khái niệm và hiểu rõ nội dung trọng tâm của khái niệm, GV yêu cầu HS làm các
bài tập sau:
1. Chứng minh rằng:
2 5 5
lim
2 2
n
n
− −
 
=
 ÷
 
( nhận dạng)
19
2. Cho
1
5
n
n
u =
. Tìm
lim( )
n
u
(thể hiện)
- Hoạt động ngôn ngữ: Để giúp HS củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần
chú ý hướng dẫn và khuyến khích HS diễn đạt các định nghĩa bằng lời theo cách hiểu
của bản thân. Sự chú ý đến phương diện ngôn ngữ trong dạy học khái niệm sẽ góp
phần phát triển ngôn ngữ toán học cho HS, bao gồm vốn từ ngữ và các kí hiệu toán

học, tạo cơ sở phát triển năng lực vận dụng toán học vào học tập các bộ môn khác, vào
khoa học và đời sống.
Ví dụ 3: Từ cách hiểu về khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số, học sinh có thể phát
biểu lại khái niệm đó theo các cách như sau:
Cách 1: Dãy
( )
n
u
được gọi là có giới hạn L nếu khoảng cách từ
n
u
đến L càng dần tới
0 khi n càng lớn.
Cách 2: Dãy số
( )
n
u
được gọi là có giới hạn L khi n tăng lên vô hạn nếu có thể làm
cho
n
u
sai khác với L một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn n đủ lớn.
- Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa: Là các hoạt động nhằm mở rộng
khái niệm, nêu lên sự đặc trưng của khái niệm, sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống
khái niệm đã học hay nhận biết mối quan hệ giữa các khái niệm khác nhau.
Ví dụ 4: Sau khi học xong phần Giới hạn của dãy số, GV cho HS hệ thống lại các khái
niệm Giới hạn của dãy số đã học như sau:
Giới hạn 0
→
Giới hạn hữu hạn L

→
Giới hạn vô cực của dãy số.
Trong quá trình dạy học GV cần hướng dẫn cho HS phân biệt rõ “Giới hạn hữu hạn”
và “Giới hạn vô cực” của dãy số, hàm số; cụ thể ở sự khác nhau trong định nghĩa khái
niệm cũng như về kí hiệu của mỗi giới hạn.
* Phân chia khái niệm: Giúp HS nắm vững những khái niệm Toán học.
Khi dạy học khái niệm Giới hạn GV có thể cho HS phân chia như sau:
20


Bên cạnh đó, khi dạy học khái niệm giới hạn, GV cần làm cho HS hiểu rõ không
phải dãy số, hàm số nào cũng có giới hạn.
Ví dụ 5: Dãy số
( )
n
u
với
( 1)
n
n
u = −
. Dãy này không có giới hạn vì khi biểu diễn các
số hạng của dãy trên trục số ta thấy nếu n chẵn thì:
1
n
u =
và nếu n lẻ thì:
1
n
u = −

. Nên
khi n tăng các điểm
( 1)
n
n
u = −
không chụm lại quanh bất kỳ một điểm L nào.
2.2.2. Dạy học về định lý của Giới hạn
Các định lý cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn
Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận
và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo
đức. Việc dạy học định lý Toán học nói chung và định lý về Giới hạn nói riêng cần đạt
được các yêu cầu sau:
- Học sinh nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có
khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề
trong thực tiễn.
- Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý; thấy được chứng minh
định lý là một yếu tố quan trọng trong học toán.
- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu
chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ
để tìm ra cách chứng minh mới.

21
Giới hạn
Giới hạn dãy số
Giới hạn hàm số
Giới hạn
hữu hạn
Giới hạn
vô cực

Giới hạn
hữu hạn
Giới hạn
vô cực
Giới hạn
tại vô cực
Giới hạn
một bên
Trong việc dạy học định lý Toán học có hai con đường khác nhau: Con đường có
khâu suy đoán và con đường suy diễn được minh họa như sau:

Tùy thuộc vào nội dung của mỗi định lý và tùy thuộc vào điều kiện cụ thể của HS
mà GV lựa chọn con đường tiếp cận định lý cho thích hợp.
Ví dụ 1: Khi dạy cho HS định lý kẹp về giới hạn của dãy số, theo con đường suy diễn,
GV có thể gợi động cơ và phát biểu vấn đề bằng cách cho HS làm bài tập sau:
Bài tập: Cho 3 dãy số (
n
u
),
( )
n
v
,
(w )
n
với
lim limw
n n
u a= =
và

w
n n n
u v≤ ≤
.
Hãy tìm
lim
n
v
?
HS có thể giải như sau:
Từ giả thiết:
w
n n n
u v≤ ≤
suy ra
0 w ,
n n n n
v u u n≤ − ≤ − ∀

Theo định lí về giới hạn của dãy số ta có:

lim(w ) limw lim 0
n n n n
u v a a− = − = − =
nên
lim( ) 0
n n
v u− =
Do đó:
[ ]

lim lim ( ) lim( ) lim 0
n n n n n n n
v v u u v u u a a= − + = − + = + =

Vậy:
lim
n
v a=

Từ bài toán này, GV có thể hướng dẫn để HS suy diễn dẫn tới phát biểu định lý
sau đây:
22
Con đường có khâu suy đoán
Con đường suy diễn
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lý
Chứng minh định lý
Phát biểu định lý
Củng cố định lý
Suy diễn dẫn tới định lý
Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra
Định lý: “Cho ba dãy số (
n
u
),
( )
n
v
,
(w )

n
. Nếu
w
n n n
u v≤ ≤
, với mọi n và
lim limw ,( )
n n
u a a= = ∈R
thì
lim
n
v a=
”.
Sau khi phát biểu xong định lý, GV cho HS vận dụng định lý để giải bài toán sau:
Bài toán: Tìm giới hạn:
3sin 4cos
lim
5
n n
n
+
+

Giải:
HS nhận xét: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

2 2 2 2 2
(3sin 4cos ) (3 4 )(sin cos ) 25n n n n+ ≤ + + =

Suy ra:
3sin 4cos 5 5 3sin 4cos 5n n n n+ ≤ ⇔ − ≤ + ≤

Vì n+5 >0,
*
n N∀ ∈
. Nên

5 3sin 4cos 5
5 5 5
n n
n n n
− +
≤ ≤
+ + +

Mà
5 5
lim lim 0
5 5n n
−
= =
+ +

⇒

3sin 4cos
lim 0
5
n n

n
+
=
+

Trên đây chính là hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý kẹp của giới hạn dãy số.
Trong việc dạy học định lý cũng như khái niệm việc phát triển ngôn ngữ cho HS
là không thể thiếu. GV cần cho HS phát biểu định lý dưới dạng nhiều ngôn ngữ khác
nhau: dạng công thức, dạng mệnh đề “ Nếu - thì ”.
Ví dụ 2: Từ định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số ở SGK, HS có thể phát biểu lại
theo cách hiểu của mình như sau:
Cách 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, của hai hàm số tại một điểm bằng tổng,
hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó (trong trường hợp thương thì
giới hạn của mẫu phải khác không).
Cách 2: Nếu “
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
và
0
lim ( )
x x
g x M
→
=
(
,L M ∈ R

) thì:

[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
→
+ = +
;
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
→
− = −
;

[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x LM
→
=
;

0
( )

lim
( )
x x
f x L
g x M
→
=
(
0M ≠
)”
Ngoài ra, từ định lý này ta có thể khái quát hóa thành định lý tổng quát sau:
“ Nếu
0 0 0
1 1 2 2 1 2
lim ( ) , lim ( ) , , lim ( ) ( , , )
n n n
x x x x x x
f x M f x M f x M M M M
→ → →
= = = ∈R
thì
23

[ ]
0
1 2 1 2
lim ( ) ( ) ( )
n n
x x
f x f x f x M M M

→
+ + + = + + +
”
Hoặc cũng từ định lý:
“Nếu
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
và
0
lim ( )
x x
g x M
→
=
thì
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x LM
→
=
”
Ta có thể đặc biệt hóa thành nhận xét sau:
“ Nếu k là một số nguyên dương và a là một hằng số thì với mọi
0

x ∈ R

ta có:
0 0
0
lim ax (lim )
k k k
x x x x
a x ax
→ →
= =
”
* Khi dạy định lý cho học sinh cần lưu ý tới các điều kiện để áp dụng định lý, để
tránh những sai lầm đáng tiếc, những suy luận vô nghĩa.
Ví dụ 3: Tính
2
1
lim( 1 1)
x
x x
→
− + −

+ Có học sinh lập luận như sau:
Ta có:
2
1 1
lim 1 0,lim 1 0
x x
x x

→ →
− = − =
. Vậy theo định lý về giới hạn của tổng hai hàm số
thì:
2
1
lim( 1 1) 0
x
x x
→
− + − =
+ Thực ra hàm số
2
( ) 1 1f x x x= − + −
không có giới hạn tại x=1 do biểu thức
2
1 1x x− + −
chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x=1 nên tập xác định của f(x) là
{ }
1D =
. Do đó không thể định nghĩa
1
lim ( )
x
f x
→
được, vì không thể lấy bất kỳ dãy
{ }
n
x

nào với
, 1
n n
x D x∈ ≠
mà
{ }
n
x
dần tới 1 được.
+ Qua ví dụ ta thấy: HS đã áp dụng định lý nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng định
lý.
* Sau khi học xong định lý để giúp HS có thể nắm vững và hiểu sâu định lý, GV
có thể củng cố định lý bằng cách thành lập các mệnh đề đảo, phản đảo rồi cho HS
nhận xét xem các mệnh đề có đúng không hoặc từ các ví dụ để rút ra những nhận xét
có ích cho HS trong quá trình làm toán Giới hạn.
Ví dụ 4: Tính
2
1 2
lim
2
x
n
n
→+∞
+ + +
+
+ Ở bài toán này, nếu không nắm vững định lí về phép toán giới hạn thì HS sai lầm
trong khi làm, cụ thể:
24

2
1 2
lim
2
x
n
n
→+∞
+ + +
+
2 2 2
1 2
lim lim lim 0 0 0 0
2 2 2
x x x
n
n n n
→+∞ →+∞ →+∞
= + + + = + + + =
+ + +

Ta thấy: định lý về phép toán giới hạn chỉ áp dụng cho hữu hạn số hạng nhưng trong
lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng.
+ Lời giải đúng: Ta có:
( 1)
1 2
2
n n
n
+

+ + + =
. Nên

2
1 2
lim
2
x
n
n
→+∞
+ + +
+
2
2 2
( 1)
lim lim
2( 2) 2 4
x x
n n n n
n n
→+∞ →+∞
+ +
= =
+ +

2
1
1
1

lim
4
2
2
x
n
n
→+∞
+
= =
+
+ Từ bài toán trên đi đến nhận xét: Tổng vô hạn của các đại lượng có giới hạn 0
chưa chắc đã có giới hạn 0.
Ví dụ 5: Xét xem mệnh đề sau có đúng không: “Nếu hai dãy số
( ),( )
n n
u v
đều không
có giới hạn thì tổng của chúng cũng không có giới hạn”
Giải: Ta thấy mệnh đề trên rõ ràng là sai vì:
Phản chứng: xét 2 dãy số
( 1)
n
n
u = −
và
1
( 1)
n
n

v
+
= −
. Ta thấy rằng:
( ),( )
n n
u v
đều
không có giới hạn nhưng:
1
lim( ) lim ( 1) ( 1) lim0 0
n n
n n
u v
+
 
+ = − + − = =
 

Như vậy: Hai dãy số không có giới hạn nhưng tổng của chúng vẫn có thể có giới hạn.
2.2.3. Dạy học quy tắc tìm Giới hạn
Thực ra, những quy tắc không hoàn toàn độc lập với định nghĩa, định lý. Có
những quy tắc dựa vào một định nghĩa hay định lý, có khi chỉ là một hình thức phát
biểu khác của định nghĩa hay định lý. Đối với dạng toán tìm Giới hạn, ta trình bày các
quy tắc dựa trên khái niệm thuật giải.
Trong môi trường toán học, chúng ta sẽ được tiếp xúc với nhiều bài toán khác
nhau, từ đơn giản đến phức tạp; trong số đó, có những bài toán tồn tại những quy tắc
xác định mô tả quá trình giải. Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải.
Thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị
và kết thúc sau hữu hạn bước.

25