35 bài toán Quỹ tích tuyển chọn_BDHSG toán 9

VINAMATH.COM
Tuyển chọn 35 bài toán quỹ tích
I/ Các bài liên quan đến góc
µBài 1:
Cho góc xOt. Tìm tập hợp tâm K của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox và Ot.
HD giải: Giả sử có đường tròn K tiếp xúc với hai cạnh Ox và Ot ở I và H thì IK⊥
Ox và KH ⊥Oy mà IK = KH ⇒ điểm K cách
đều Ox và Oy.
 K nằm trên đường phân giác của ∠xOy.
Ta CM được mọi điểm K1 nằm trên phân giác
của xOy đều có thể lấy làm tâm đường tròn tiếp
xúc với 2 cạnh Ox và Oy.
µBài 2 Cho góc vuông yOx và điểm A cố định trên Oy. Một điểm B chuyển động
trên Ox. Dùng hình vuông ABCD ở miền trong của góc yOx.
a) Tìm quỹ tích cña điểm D.
b) Tìm quỹ tích cña điểm C.
HD giải :
a/ Hạ DK
⊥
Oy , ta chứng minh được

∆
vuông AKD =
∆
vuông AOB
⇒
DK = OA không đổi
⇒
D
∈
đường thẳng song song với Oy và cách

Oy một đọan h1 = OA.
Giới hạn của D
∈
tia D1m ở trong ∠xOy
 quỹ tích của điểm D là tia D1m.
b/ Dựng đường tròn tâm S ngoại tiếp hình vuông
ABCD,đường tròn này cắt Ox tại C1. Ta có tứ giác
ACBC1 cũng nội tiếp đường tròn S

⇒
∠ AC1O = ∠ ACB = 45º

⇒
C1 là điểm cố định; mà C1C
⊥
AC1
⇒
C
∈
tia C1n
⊥
AC1.
1
VINAMATH.COM
µBài 3:
Cho góc xOy =60º . Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm,
vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua
Ot). Hạ ID Ox, IE Oy.
a) Chứng minh DA = EB
b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B.

Chứng minh TAI, TBI là các ∆đều. Xác định vị trí của T
một cách nhanh nhất.
c) Tìm quỹ tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn
bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt tia Ox, Oy).
d) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AIB (theo
điều kiện câu c).
II. QT Liên quan đến cung, dây cung tiếp tuyến và cát tuyến
µBài 4: Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm trong đường tròn, MN là một
dây lưu động qua A. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
HD Giải:
Giả sử có dây cung MN qua A và MI = IN
Nối I với tâm O ⇒ AI ⊥ IO
Tương tự, nếu dây cung M’N’ qua A và
M’H = HN’; Nối H với tâm O ⇒ AH ⊥ HO
∠AIO và ∠AHO đều vuông và chắn AO
Là 2 điểm cố định ⇒ I và H cùng nằm trên
đường tròn có AO là đường kính.
Nếu lấy điểm K trên đường tròn có AO là đường
kính; Nối AK và kéo dài cho gặp đường tròn tâm O
tại M’ và N’ ta có OK ⊥ M”N’’ ta có
M”K = N”K Đường tròn lấy AO là đường
kính chính là Tập hợp các điểm I theo đầu bài
µBài 5: Tìm tập hợp những điểm M mà hai tiếp
tuyến với đường tròn (O;R) gặp nhau tại M vuông
góc với nhau.
HD giải:
2
VINAMATH.COM
Tiếp tuyến MI ⊥ MK đồng thời có
MI ⊥OI và MK ⊥OK

⇒MIOK là hình vuông
OI = R ⇒IK = OM =
 Tập hợp các điểm M là đường tròn cùng tâm O bán kình
µBài 6: Cho đường tròn tâm O, dây AB cố định (AB nhỏ hơn đường kính). Điểm C
chạy trên cung lớn AB. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.
µBài 7: Trên đường tròn tâm O, đặt cung AB cố
định. Điểm C chạy trên cung này. Tìm quỹ tích tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
µBài 8: Cho đường tròn (O;R). Từ điểm P ở bên
ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PAB với đường tròn.
Tìm quỹ tích trung điểm H của dây AB.
HD giải: Tương tự Bài 4 ( Chỉ khác đây là trường
hợp P nằm ngoài đường tròn ). Vẽ hình như bên
 Quỹ tích các điểm H là đường tròn lấy PO làm đường kính
µBài 9: Từ điểm M di động ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA và MB với
đường tròn (O). Tìm tập hợp tâm I của các đường tròn nội tiếp trong tam giác MAB.
µBài 10: Trên đường thẳng xy, cho hai điểm cố định A và B. Một đường tròn (O) di
động tiếp xúc với xy tại B. Kẻ từ A, tiếp tuyến AM với đường tròn (O). Tìm tập hợp
các điểm M.
III . QT liên quan đến tam giác và đường tròn
µBài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O, r) và một điểm M di
động trên cung BC. Tìm tập hợp trung điểm của dây
AM.
HD Giải:
Giải sử Lấy AM qua tâm O ⇒ AO = OM = r
Trên AM’ lấy AH = HM’⇒ OH⊥AM. Tương tự kẻ
AM’’ có AK = KM’’ và OK ⊥AM’’
 các trung đểm của AM nằm trên đường tròn
đường kính = r (bán kính đường tròn ngoại tiếp)
3

VINAMATH.COM
Giới hạn: Vì M chỉ chạy trên cung BC do đó trung điểm của AM chỏ trong ∆ABC.
µBài 12: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định , A di động, trung tuyến AI = 1
(một) không đổi. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC.
µBài 13: Tìm tập hợp các đỉnh C của tam giác ABC biết cạnh AB cố định và trung
tuyến AI = 1(một) không đổi.
µBài 14: Cho tam giác ABC cân ở A. Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên các
cạnh AB, AC sao cho AM = CN. Tìm quỹ tích tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam
giác AMN.
µBài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I đường kính AB và
đường tròn tâm K đường kính AC cắt nhau tại H. Một đường thẳng d đi qua A,
thuộc miền ngoài tam giác cắt đường tròn (I) tại E, cắt đường tròn (K) tại F.
a) Tìm quỹ tích trung điểm M của EF khi d thay đổi vị trí.
b) Xác định vị trí của d để tứ giác BCFE có chu vi nhỏ nhất.
µBài 16: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính
AD. Lấy M là điểm tùy ý chạy trên cung nhỏ AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E
sao cho ME = MC.
a) Chứng minh MD là tia phân giác của góc BMC.
b) Chứng minh AM vuông góc với CE.
c) Tìm quỹ tích điểm E khi M chạy trên cung nhỏ AC.
µBài 17: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ đường kính
AD. Lấy M là điểm tùy ý chạy trên cung nhỏ AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E
sao cho ME = MC.
a) Chứng minh MD là tia phân giác của góc BMC.
b) Chứng minh AM vuông góc với CE.
c) Tìm quỹ tích điểm E khi M chạy trên cung nhỏ BC.
µBài 18: Cho tam giác ABC và một điểm M di động trên cạnh AB. Trên tia đối của
tia CA, lấy đoạn CN =BM. Tìm tập hợp đỉnh thứ tư K của hình bình hành BMNK.
4
VINAMATH.COM

µBài 19: Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt hai
đường tròn tại C và D. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
µBài 20: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Lấy C là điểm tùy ý trên
đường tròn. Trên tia AC, lấy điểm M sao cho AM =BC. Tìm quỹ tích các điểm M
khi C chạy trên đường tròn đã cho.
µBài 21: Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt hai
đường tròn tại C và D. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
µBài 22: Cho đường tròn (O) đường kính
AB và một điểm C di động trên đường
tròn. Trên tia đối của tia AC, lấy đoạn MC =
2CB. Tìm tập hợp các điểm M khi C
di động trên cung AB.
Gọi ý Giải:
Các góc M, M’ , M’’ đều nhìn AB cố định 1
góc α không đổi ( tang α = ½)
 Tập hợp các điểm M khi C di động trên
cung AB là Cung lớn AB có bán kính = AB
Trong ∆AOO’ r = OO’ = 2OA = AB
µBài 23: Cho đường tròn tâm O đường kính
AB và M là một điểm di động trên đường tròn. Kẻ MH vuông góc với AB. Tìm tập
hợp tâm các đường tròn nội tiếp trong tam giác vuông HOM.
IV QT liên quan nửa đường tròn
µBài 24: Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. Trên dây AC kéo dài, lấy
điểm D sao cho CD = CB.
a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn.
b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB.
Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn.
c) Giải bài toán khi thay đường kính AB là dây PQ và C chỉ chạy trên cung nhỏ PQ.
µBài 25: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây
AC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = CB. Đường vuông góc với AC tại D

cắt tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn tại E.
5
VINAMATH.COM
a) Chứng minh ADE = BCA.
b) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
µBài 26: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên bán kính OC lấy điểm D sao
cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy
trên nửa đường tròn đã cho.
µBài 27: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố
định, và tia tiếp tuyến Ax trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn. Lấy
M tùy ý trên nửa đường tròn. Vẽ tia phân giác của góc Max, nó cắt đường thẳng BM
tại I.
a) Chứng minh ABI cân tại B.
b) Tìm quỹ tích các điểm I khi M chạy trên nửa đường tròn đã cho.
V . Một số Bài trong “Toán tuổi thơ„
µBài 28: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố định ; B là một điểm lưu động
trên đường tròn. Gọi C và D theo thứ tự là trung điểm của AB và OA. Tìm tập hợp
điểm C khi B chạy trên đường tròn (O;R).
µBài 29: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB
tại O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH vuông góc OA.
Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP =MH.
a) Tìm quỹ tích các điểm P khi M chạy trên cung AC.
b) Tìm quỹ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách
từ M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O).
Bài 27: 1) Cho đường tròn © tâm O và một điểm A khác O nằm
trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi, qua A nhưng không đi qua O cắt ©
tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một
điểm cố định khác O.
2) Cho đường tròn © tâm O và một đường
thẳng (D) nằm ngoài đường tròn. I là một điểm di động trên (D). Đường tròn

đường kính IO cắt © tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một
điểm cố định. (TTT7)
µBài 30: Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB cố định trương cung 120o.
Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B) ; M trên cung nhỏ AB (M
không trùng A và B). Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC.
1) Cho M cố định, hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi.
2) Cho M cố định, hãy chứng minh giá trị không thay đổi khi C thay đổi.
6
VINAMATH.COM
3) Khi M thay đổi, hạ MK vuông góc với AB.
Hãy xác định vị trí của M sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. (TTT11)
µBài 31: Cho đường tròn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn (O).
Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Vẽ đường
thẳng a đi qua S cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và
N (đường thẳng a không đi qua tâm O).
a) Chứng minh SO vuông góc với AB.
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng
OI và AB cắt nhau tại điểm E. Chứng minh IHSE là một tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh OI.OE = R2.
d) Cho biết SO = 2R và MN = Tính diện tích tam giác ESM theo R.(TTT12).
µBài 32:
Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao
cho AI = 2/3AO . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc
cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B.
Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM2 = AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho
khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

(TTT14)
µBài 33: Cho hai đường tròn (O1) và (O2)
cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với
(O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ
hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R.
Hãy chứng minh rằng :
1) Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn ;
2) Tam giác BPR cân ;
3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.(TTT20)
µBài 34: Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không
qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài
đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là
trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K.
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh KN.KC = KH.KO.
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN.
7
VINAMATH.COM
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E
và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.
(TTT26).
µBài 35: Cho tam giác ABC vuông (AC ^ BC). Đường tròn (O) đường kính CD cắt
hai cạnh AC và BC lần lượt tại E
và F (D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của
đường thẳng BE với đường tròn (O), hai đường thẳng AC và MF cắt nhau tại K,
giao điểm của đường thẳng EF và BK là P.
a) Chứng minh bốn điểm B, M, F và P cùng thuộc một đường tròn.
b) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng. Tính số đo góc của tam giác ABC.
c) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng
minh rằng CM vuông góc với đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

MEO với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MFP.
PHH sưu tâm & giới thiệu - 1 -2014 - Nguồn Internet & tạp chí TTT
( Các bài có HD giải của NST)
8