Cao học toán giải tích chuyên đề tích phân trương văn đại

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH PHÂN
PHẦN 1 : NGUYÊN HÀM
A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
1.Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K, khi đó :
Nguyên hàm của hàm số f (x) là một hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
(K là khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng)
VD1 :
 Hàm F(x) =
2
1
x

là một nguyên hàm của f(x) = 2x
Vì :
 
'
2
1
x

=2x
 Hàm f(x) =
1
2
x
có 1 nguyên hàm là
x
vì
 

'
1
2
x
x


VD2 : Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau
a) f(x) =
2
x

b) f(x) = sinx
c) f(x) = cosx
Giải:
a) f(x) =
2
x

Vì
'
3 2
1
3
x x
 

 
 
nên F(x) =

3
1
3
x
là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
2
x

Chú ý : Ta để ý rằng
3
1
3
x
+ c ( với c là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) =
2
x
. ( vì sao ???)
b) Lập luận tương tự ta tìm được F(x) =
cos x
là một nguyên hàm của f(x) = sinx và ta cũng có
cos x c 
( với
c là một hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) = sinx
c) Tương tự a , b
Nhận xét :
 Ta thấy ngay rằng, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).C là một
hằng số tùy ý
.Bạn đọc lí giải điều này là tại sao để hiểu thêm về định nghĩa nguyên hàm nhé ^^.
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
 Ngược lại , nếu F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm khác của f(x) đều sai khác với F(x)

một hằng số cộng. Điều này có nghĩa là, nếu F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của một hàm f(x) thì tồn tại số C sao
cho F(x) = G(x) + C
(hoặc G(x) = F(x) + C)
Chứng minh :Thật vậy , ta giả sử F(x) và G(x) là 2 nguyên hàm của một hàm f(x) khi đó ta xét :
 
'
' '
( ) ( ) ( ) ( )F x G x F x G x
  

=
( ) ( ) 0
f x f x
 

Suy ra
( ) ( )F x G x
=C, vậy F(x) = G(x) + C (đpcm)
Lúc này ta kí hiệu :

( )f x dx


để chỉ tập hợp ( hay họ ) tấc cả các nguyên hàm của f(x)
2.Tính chất của nguyên hàm :
1.1
'
( ) ( )
f x dx f x C 


1.2
. ( ) ( )k f x dx k f x dx

 
với k là một hằng số
( tức là ta có thể đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân)
1.3
 
( ) ( ) ( ) g( )f x g x dx f x dx x dx
  
  

(tức là nguyên hàm của một tổng(hay hiệu) bằng tổng (hay hiệu)các nguyên hàm tương ứng)
Chú ý : Hàm dưới dấu tích phân theo biến gì thì vi phân d phải là biến đó . tức là : hàm f(t) thì vi phân phải là dt ,
hàm f(u) thì vi phân phải là du . Cụ thể là :
( ) ( )
f t dt F t C 

hoặc
(u) (u)
f du F C 


Nguyên hàm dạng
(u)f dt

hay
(x)f dt


là không tính được .
VD :
Tìm nguyên hàm
 
2015
1
x dx


.
Nhận xét : nguyên hàm này có dạng
u dx


với
 
1
2015
u x

 







Nói chung , nếu không biến đổi thì đây là nguyên hàm không cơ bản và do đó không áp dụng công thức cơ bản để tính
được .

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224

3.Bảng các nguyên hàm cơ bản :
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
Hàm số hợp tương ứng
(dưới đây u = u(x))
0
dx C


dx x C 


1
1
x
x dx C




 


(

≠ -1)
1
ln

dx x C
x
 


x x
e dx e C 


ln
x
x
a
a dx C
a
 


cos sin
xdx x C 


sin cos
xdx x C  


2
1
tan
cos

dx x C
x
 


2
1
cot
sin
dx x C
x
  



0
du C


du u C 


1
1
u
u du C





 


(

≠ -1)
1
ln
du u C
u
 


u u
e du e C 


ln
u
u
a
a du C
a
 


cosudu sinu
C 


sinu cosu
du C  


2
1
tanu
cos
du C
u
 


2
1
cotu
sin
du C
u
  



B.MỘT SỐ CHÚ Ý KHI TÌM CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Chú ý 1 : Gặp nguyên hàm của một tổng các hàm thì ta thường tách thành từng tổng các nguyên hàm để tính cho đỡ
phức tạp .
VD1 : Tìm
3 2
(4 2 1)x x dx
 



Giải
3 2
(4 2 1)x x dx
 

=
3 2
4 2 1x dx x dx dx
 
  

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
=
4 3
1 2 3
4 2
4 3
x x
C C x C    

=
4 3
4 2
4 3
x x
x C  
( với
1 2 3

C C C C  
)
Chú ý 2 : một số công thức biến đổi hay hay dùng

m
m
m
n
a a



1
n
n
x
x



Chú ý 3 : công thức hay quên

ln
x
x
a
a dx C
a
 


; ví dụ :
3
3
ln3
x
x
dx C 


VD2 : Tìm họ các nguyên hàm của sau
a)
(2 4)x dx


b)
2
1
( 4 )x x dx
x
 

c)
2 2
(3 )x dx


d)
( )( 2)x x dx
 


e)
4
2
2x
dx
x

f )
3
1
( 2 )
x
x dx
x
 


Chú ý 4 : KĨ THUẬT DÙNG VI PHÂN HÀM HỢP ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM
Cơ sở của kĩ thuât này là việc vận dụng công thức :

   
'
d u x u x dx

   
   

Nếu để ý chúng ta sẽ nhận thấy rằng có những nguyên hàm mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng sau :

( ).g(x)dx
f u


Trong đó ,
( )du
f u

là nguyên hàm cơ bản và ta có thể tính ngay bằng bảng nguyên hàm cơ bản.
Tuy nhiên lúc này ta chỉ có vi phân trong dấu tích phân là dx , do đó ta không thể áp dụng ngay công thức
( )du
f u


ngay được .
Vậy làm sao để tính ???
Câu hỏi này được trả lời khi ta nhìn lại nguyên hàm
( ).g(x)dx
f u

và nhận xét rằng
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
g(x)dx có quan hệ với du ,và từ quan hệ này ta có thể chuyển g(x)dx về vi phân d(u) . Tới đây thì việc còn lại chỉ còn là
áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản nữa mà thôi . Và để hiểu hơn về kĩ thuật này tôi xin trình bày một vài ví dụ điển hình
sau :
VD3 : Tìm họ các nguyên hàm sau ,
1
I 
 
2015

1
x dx



Nhận xét :
Ta thấy rằng
 
2015
1
x dx


có dạng
u dx


với u = x+1 gần với công thức
u du


do đó ta dự đoán rằng dx và du có
mối quan hệ với nhau ( đây là ý tưởng hình thành các bước tìm nguyên hàm nói trên )
Giải :
Ta có , d(x+1)=
 
'
1
x dx dx 

Suy ra dx = d(x+1) .
Vậy
 
2015
1
x dx


=
 
2015
1 ( 1)
x d x
 


=
 
2016
1
2016
x
C



Bạn đọc đã hình dung được kĩ thuật này chưa ?, hãy cố gắng hình dung ý tưởng và tự tìm ra phương pháp cho trường
hợp tổng quát sau đây :
 
n

ax b dx



2015
2
ln ( )
x
I dx
x



Nhận xét :cũng với tư tương như câu trước , ta thấy rằng
2015
2
ln ( )
x
I dx
x


có dạng
2
.f(x)I u dx



với u = lnx và
f(x) =

1
x
gần với công thức
u du


do đó ta dự đoán rằng
( )f x dx
=
1
dx
x
và du có mối quan hệ với nhau ( đây là
ý tưởng hình thành các bước tìm nguyên hàm nói trên )
Giải :
Ta có , d(lnx)=
1
dx
x

Suy ra
dx
x
=d(lnx)
Vậy
2015
2
ln ( )
x
I dx

x


=
2015
ln ( ) (ln )x d x


Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
=
 
2016
ln
2016
x
C

Tới đây thì tôi nghĩ rằng bạn đọc đã hình dung được kĩ thuật này một cách rõ ràng lắm rồi , hãy chứng minh điều đó
bằng cách tự tìm ra phương pháp cho trường hợp tổng quát sau đây
ln ( )
n
x c
dx
x


, hơn thế nữa bạn đọc có thể thấy rằng việc xuất hiện lnx và
1
x
trong biểu thức dưới dấu tích phân có

thể là dấu hiệu để ta sử dụng kĩ thuật vi phân ở trên ^^.
2015
3
2
(1 tanx)
cos
I dx
x




Giải :
Ta có , d(1+tanx) =
 
'
2
1 tan
cos
dx
x dx
x
 

Suy ra
2
cos
dx
x
= d(1+tanx)

Vậy
2015
3
2
(1 tanx)
cos
I dx
x



=
2015
(1 tanx) (tan 1)
d x
 


=
2016
(1 tanx)
2016
C



Như vậy là tôi đã trình bày 3 ví dụ theo tôi là, mang tính điển hình để bạn đọc tiện hình dung về mặt phương pháp, sau
đây tôi xin giới thiệu thêm 1 hệ thống bài tập nữa để bạn đọc tự rèn lyện thêm nhé
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài tập 1 : CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC SAU ;

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
Bài tập 3 : TÍNH CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH SAU ;
 
 
2015
2015 2015
cos sin
)I cos sin ; )I ; ) I
cos sin
1
x
x
x x e
a x xdx b dx c dx
x x
e

  


  

 
 
2
4
3 4
2
2ln 1

2 3
) ; ) ; ) 1
3 2
x
x
d I dx e I dx f I x x dx
x x x


   
 
  

 
 
 
5
2015
2
g) 1 ; ) 1 2 ; ) sin 2015 1I x dx h x x dx i I x dx
    
  

Chú ý 5 : NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Theo kinh nghiệm chủ quan của tôi , tôi cho rằng khi tìm nguyên hàm của một số hàm lượng giác chúng ta phải đặc
biệt chú ý đến các công thức biến đổi sau ;

2
1 cos 2
sin

2
x
x




2
1 cos 2
cos
2
x
x




2 2
sin cos 1x x 
hay ý nghĩa hơn ta viết
2 2
1 sin cosx x
 


2 2
cos2 cos sin
1
cos cos 2
2

x x x
x x

 


 
 

 

 
 
 

suy ra :
2 2
cos cos sin
2 2
x x
x  


sin 2 2sin cos
1
sin sin 2
2
x x x
x x




 

 

 
 

 
 

suy ra :
sin 2sin cos
2 2
x x
x 


 
2
1 sin 2 sin cosx x x
  


 
'
2
2
1

tan 1 tan
cos
x x
x
  
suy ra :
 
2
2
1 tan (tan ) tan
1
(tan ) tan
cos
x dx d x x C
dx d x x C
x

   


  


 
 

 Gặp
 
tan ;cot
F x x dx


thường thì ta biến đổi thành
 
sin ;cos
F x x dx

, tức là biến đổi
sin
tan
cos
cos
cot
sin
x
x
x
x
x
x










VD4: Tìm họ các nguyên hàm sau

2 2 2 2
) sin ; ) cos ; ) tan ; ) cot ; ) ;
sin
dx
a xdx b xdx c xdx d xdx e
x
    

2 2 2 2
cos 2
f) ; g) ; h) sin 2 x cos3 ;
cos sin cos sin
dx x
dx xdx
x x x x
  

Giải :
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
a) Ta có
2
1 cos 2 1 1
sin cos 2
2 2 2
x
xdx dx x dx

 
  
 

 
  


1 2
1 1 1 1 1 1
cos 2 sin 2 sin 2
2 2 2 4 2 2
dx xdx x C x C x x C
     
        
     
     
 

Với
1 2
C C C 
.
b) Ta có
2
1 cos 2 1 1
cos cos 2
2 2 2
x
xdx dx x dx

 
  
 

 
  


1 2
1 1 1 1 1 1
cos 2 sin 2 sin 2
2 2 2 4 2 2
dx xdx x C x C x x C
     
        
     
     
 

Với
1 2
C C C 
.
c) Ta có :
   
2 2 2
tan 1 tan 1 1 tan 1
xdx x dx x dx
 
     
 
  

 
   
2
1 2
1 tan tan tan
x dx dx x C x C x x C         
 

Với
1 2
C C C 
.
d) Ta có :
   
2 2 2
co t 1 cot 1 1 cot 1
xdx x dx x dx
 
     
 
  


 
   
2
1 2
1 cot cot cot
x dx dx x C x C x x C          
 

Với
1 2
C C C 
.
e) Phân tích :
 Ta để ý rằng :
sin 2sin cos
2 2
x x
x 
, do đó
sin
2sin cos
2 2
dx dx
x x
x

 

 Lại tiếp tục :
2 2
1 sin cosx x
 
, do đó
2 2
sin cos
1 1
2 2

2 2
2sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2
x x
dx dx
dx
x x x x x x

 
  

 Vì
2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x x x x x x x x

   
nên ta có
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
2 2
sin cos sin cos sin cos
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
sin cos cos sin cos sin
2 2 2 2 2 2

x x x x x x
dx dx dx dx
x x x x x x
 
   

 
   
   
 
   
 
   
 
   
 
   

sin cos sin cos
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 4 2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
x x x x
x x x x
d d d d
x x x x
   
   

       
   
   
       
       
   
   
   

1 2
1
ln cos ln sin
4 2 2
x x
C C
 
   
    
 
   
   
 

Vậy bài giải là :
Ta có
2 2
sin cos
1 1
2 2
sin 2 2

2sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2
x x
dx dx dx
dx
x x x x x x
x

  
   


sin cos sin cos
1 1
2 2 2 2
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
x x x x
dx dx dx
x x x x
 
   
 
   
   
 
   
 
   

 
   
 
  


sin cos sin cos
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 4 2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
x x x x
x x x x
d d d d
x x x x
   
   
       
   
   
       
       
   
   
   


1 2
1 1

ln cos ln sin ln cos ln sin
4 2 2 4 2 2
x x x x
C C C
 
   
        
 
   
   
 

Với
1 2
C C C 

f) Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos
cos sin cos sin cos sin cos sin
dx x x x x
dx dx dx
x x x x x x x x

  
   


   

1 2
2 2
1 1
tan cot tan cot
cos sin
dx dx x C x C x x C
x x
         
 

Với
1 2
C C C 
.
g) Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
cos2 cos sin cos sin
cos sin cos sin cos sin cos sin
x x x x x
dx dx dx dx
x x x x x x x x

  
   

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224

     
1 2

2 2
1 1
cot tan cot tan
sin cos
dx dx x C x C x x C
x x
          
 

Với
1 2
C C C 
.
h) Ta để ý rằng
 
1
sin 2 x cos3 sin 5 sin
2
x x x
 
do đó
 
1 1 1
sin 2x cos3 sin5 sin sin 5 sin
2 2 2
xdx x x dx xdx xdx
   
   

1 2

1 1 1 1
cos5 cos cos5 cos
10 2 10 2
x C x C x x C
   
         
   
   

Với
1 2
C C C 
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Tính các tích phân bất định sau:
3
4 3 2 2010
2
3
2
1
–
ln
) ; ) ; ) ; ) 3
2 2 1 1
; )
cos
1 sin
x
a b c e dx

x
x x
x
x x x x
dx x dx dx d
x
x
x
dx
x
 
 
 







   

  
 


 
2
3
4 5 4

3
3
2 4
3
2 3 1 4 3 1 1
f) ; ) x ; ) x dx ; ) x 2 x dx
x
; )
x x x
dx g dx h dx j
x x
x
i
 
    
  
 
 
 
 
    
  
 
3
4
2
2
2 3
3
1 1 x 4

k) x 1 x- x 2 dx ; ) x dx ; ) x dx dx ; 0) ax b dx
x
x
; )
x
l m
x
n

 
 
    
 
 
 
 
    

 
  
 
2-5x
2
3
4
x
e 1
p) ; ) x x a x b dx ; ) 2 1-cos2xdx ; )
e
; )

x x
x x x dx q r e dx t dx
s

    
    



C .MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
:
1.Phương pháp đổi biến số.
Giả sử ta cần tính tích phân
( )dx
I f x


Đổi biến số dạng 1: Nếu f(x) có thể biểu diễn dưới dạng
 
,
1
( ) ( ) ( )f x f x x
 

, tức là
 
,
1
( ) ( ) dx
I f x x

 


. Lúc
này ta tính tích phân I như sau :
2
2
3 3
1 1 2 ( 1) 1
) ; v) ; ) ; )
x x x
u dx dx x dx y dx
x
x
x x x
 
  

 
 
   
Trng Vn i Cao Hc Toỏn Gii Tớch ST : 01672828224
i bin
,
t ( ) ( )x dt x dx



Thay vo I ta c

,
1
( ) ( ) dx ( ) dtI f x x f t




MT S KIU I BIN THNG DNG :
1. Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
2. Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
3. Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức.
4. Nếu tích phân chứa
x
dx
thì đặt
xlnt
.
5. Nếu tích phân chứa
x
e
thì đặt
x
et
.
6. Nếu tích phân chứa
x
dx
thì đặt
xt
.

7. Nếu tích phân chứa
2
x
dx
thì đặt
x
1
t
.
8. Nếu tích phân chứa
xdxcos
thì đặt
xsint
.
9. Nếu tích phân chứa
xdxsin
thì đặt
xcost
.
10. Nếu tích phân chứa
xcos
dx
2
thì đặt
tgxt
.
11. Nếu tích phân chứa
xsin
dx
2

thì đặt
gxcott
.

i bin s dng 2: Gi s ta mun tớnh tớch phõn
( )dx
I f x

m khụng dựng c phộp i bin dng 1 thỡ ta cú
th i bin nh sau :
t
(t)
x


vi
(t)

l hm cú o hm liờn tc v cú hm ngc . Khi ú tớch phõn cn tớnh c a v
dng n gin hn nh sau :

,
( )dx (t) (t)dt
I f x f




MT S KIU I BIN THNG DNG :
Du hiu Cỏch chn

2 2
a x

sin
2 2
ost 0 t
x a t t
x a c










2 2
x a


;
sin 2 2
0; \
ost 2
a
x t
t
a

x t
c


















Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT : 01672828224
2 2
a x

 
tan ;
2 2
cot 0;
x a t t
x a t t

 


 
   
 

 


  


a x a x
a x a x
 

 

x=a.cos2t
  
x a b x 

x=a+
 
2
sinb a t
