SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI

Đại Học Quốc Gia TP.HCM
Trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin
BÀI TIỂU LUẬN MÔN
LẬP TRÌNH SYMBOLIC VÀ ỨNG DỤNG
ĐỀ TÀI:
SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN
VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI
GVHD: PGS.TS Đỗ Văn Nhơn
Người thực hiện: Tô Hồ Hải
Mã số: CH1101011
Lớp: Cao học khóa 6
TP.HCM – 01/2013
MỤC LỤC

MỤC LỤC 2
LỜI NÓI ĐẦU 1
TỔNG QUAN 2
10
TÀI LIỆU THAM KHẢO 11
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình cao học ngành công nghệ thông tin, môn học đầu tiên
trong nhóm học phần tự chọn em được thầy Đỗ Văn Nhơn phụ trách. Đó là môn
Lập trình Symbolic và ứng dụng. Em đã học với thầy rất nhiều môn từ chương
trình đại học và giờ là cao học, cảm nhận chung của em là: Thầy rất tận tâm, luôn
tìm ra những cách tiếp cận mới hướng đến người học, giúp người học dễ dàng
tiếp thu những kiến thức mà thầy truyền đạt. Bên cạnh đó thầy rất vui tính và có
kiến thức rất sâu, rộng ở nhiều lĩnh vực nên luôn tạo cho bài giảng của mình một
cách rất sinh động, tự nhiên. Thầy dẫn dắt chúng em đi sâu vào bài học bằng
những kiến thức, những mẩu chuyện, những ví dụ rất quen thuộc và cách thầy
đan xen chúng vào nhau thật khéo léo. Và điều quan trọng hơn cả là cách thầy
truyền cảm hứng học tập cho chúng em và chỉ cách cho chúng em phải tự học,

nghiên cứu như thế nào để được kết quả tốt nhất.
Bên cạnh đó em cũng đúc kết được thêm một số kinh nghiệm, kỹ năng rất
quan trọng, cần thiết và nhất là phần kiến thức vô cùng bổ ích mà thầy đã truyền
đạt và định hướng cho chúng em.
Em xin gởi lời cám ơn đến thầy Đỗ Văn Nhơn, thầy đã rất tận tâm, truyền
đạt rất nhiều kiến thức, ý tưởng mà em rất tâm đắc. Em chúc thầy cùng luôn khỏe
mạnh và đạt nhiều thành quả trong công việc của mình.
Trang 1
TỔNG QUAN
Môn học “Lập trình Symbolic và ứng dụng” là môn tự chọn đầu tiên
trong chương trình cao học ngành công nghệ thông tin mà khóa 6 chúng em được
học. Qua môn học này thầy chỉ cho chúng em một hướng lập trình hơi khác so
với kiểu lập trình truyền thống mà em được học. Tuy có đôi chút khác lạ, nhưng
với kinh nghiệm và tâm huyết của thầy, chúng em đã tiếp thu được một số vấn đề
cốt lõi của môn học trong một tâm trạng vui vẻ và thoải mái.
Trong môn học này, thầy dùng phần mềm Maple để minh họa một số ví
dụ, bài tập và thầy chỉ rõ cho chúng em từng bước cụ thể để giải quyết một vấn
đề trên Maple như thế nào. Maple hiện tại đã rất phong phú và ứng dụng giải
quyết được rất nhiều vấn đề trong thực tế. Sau khi được tiếp cận Maple trong
môn học này, em xin trình bày cách giải quyết một vấn đề toán học bằng Maple,
đó là: “Sử dụng Maple giải các bài toán về siêu mặt bậc hai”.
Trang 2
SỬ DỤNG MAPLE GIẢI CÁC BÀI TOÁN
VỀ SIÊU MẶT BẬC HAI
1. Đặt vấn đề.
Toán học là môn học bắt buộc và cần thiết ở các cấp học tại Việt Nam. Do
đó những chương trình phục vụ cho việc minh họa giảng dạy toán học rất phổ
biến và đa dạng và xuất rất nhiều phần mềm hỗ trợ trong lĩnh vực này, nổi trội
trong số đó có phần mềm Maple. Thông qua phần mềm này em xin mô tả đoạn
chương trình nhỏ để giải quyết một số vấn đề của toán học như sau:

a) Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai.
b) Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai.
Các dạng toán về siêu mặt bậc hai nói chung, đường và mặt bậc hai nói
riêng là những nội dung quan trọng trong các môn toán cao cấp và hình học cao
cấp, và trên cơ bản những vấn đề này đã có những cách giải quyết rõ ràng, vì thế
trong phần này ta quan tâm đến cách biểu diễn từ các công thức sang Maple như
thế nào để có được bài toán hoàn chỉnh nhằm minh họa dễ dàng hơn cho người
dùng (đặc biệt là những đối tượng đang học về vấn đề này).
2. Lý thuyết bài toán.
a) Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai.
+ Khái niệm phương trình chính tắc siêu mặt bậc hai.
Trong không gian affine A
n
, cho (S) là một siêu mặt bậc hai có phương trình:
02
1,
0
1
=++
∑ ∑
= =
n
ji
n
i
iijiij
axaxxa
với
∑
=

≠≠∀=
n
ji
ijjiij
ajiaa
1,
2
0,,
(1)
Khi đó, tồn tại một phép biến đổi affine để đưa phương trình của (S) về một
trong ba dạng sau.
Dạng I:
1
22
1
22
1
=−−++
+ rkk
xxxx
Dạng II:
0
22
1
22
1
=−−++
+ rkk
xxxx
Dạng III:

02
1
22
1
22
1
=−−−++
++ rrkk
xxxxx
Các phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của (S).
Trang 3
+ Thuật toán xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai.
Để đưa phương trình của một siêu mặt bậc hai về dạng chính tắc, chúng ta
thực hiện các bước sau.
Bước 1. Đưa dạng toàn phương
∑
=
=
n
ji
jiij
xxaxH
1,
)(
về dạng chính tắc. Khi đó,
phương trình của (S) có dạng.
02
0
1 1
'

1
22
=++−
∑ ∑∑
= =+=
axaxx
i
k
i
n
i
i
m
kj
ji
Bước 2. Kiểm tra xem có tồn tại i ∈{m + 1, m + 2, . . ., n} để
0
'
≠
i
a
hay không?
- Nếu tồn tại i
0
∈{m + 1, m + 2, . . ., n} để
0
'
0
≠
i

a
thì đưa phương trình
của (S) về dạng III.
- Nếu
0
'
=
i
a
với mọi i ∈{m + 1, m + 2, . . ., n} thì đưa phương trình của
(S) về dạng I hoặc II.
Bước 3. Xác định phương trình chính tắc tương ứng của (S).
- Dựa và phương trình đề bài, ta xác định ma trận A = (a
ij
), [a]=(a
i
) và a
0
.
- Ta xác định ma trận C để C
t
AC là một ma trận đối xứng bằng cách.
- Đặt: C:= I
n
, xác định các ma trận CT[i] khử các số hạng a
ij
, i ≠ j và gán
C:=C.CT[i].
Khi đó, chúng ta đặt [Y]:= C[X], thay các x
i

vào phương trình của (S).
- Tiến hành kiểm tra xem có phần tử
0
'
≠
i
a
hay không, với i > m. Nếu có
thì ta kết luận (S) có phương trình chính tắc dạng III, ngược lại nếu
không có
'
i
a
nào khác 0 thì chúng ta đi khử các số hạng bậc nhất và xác
định lại số hạng tự do
'
0
a
. Căn cứ vào tính khác 0 của
'
0
a
chúng ta xác
định được phương trình chính tắc của (S) là Dạng I hay Dạng II.
b) Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai.
+ Phương trình xác định tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai.
Trong không không gian affine A
n
, cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình
[x]

t
A[x] + 2[a]
t
[x] + a
0
=0.
Trang 4
Khi đó, tọa độ tâm I và điểm kì dị N thỏa hệ phương trình
A[I] + [a] = 0 và



=+
=+
0][][][
0][][
0
aNa
aNA
t
3. Tiến hành cài đặt và mô tả bằng Maple.
a) Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai.
- Để nhập vào phương trình của siêu mặt bậc.
bt := readstat("Nhap phuong trinh sieu mat bac hai (S)");
- Ta xác định các ma trận A = (a
ij
), [a] = (a
i
) và a
0

.
- Dùng lệnh print(bt) để in kết quả tính toán ở Bước 1.
Trang 5
- Gán m:=rank(A) và kiểm tra
'
i
a
.
m:=rank(A):
k:=m:
- Nếu tồn tại
'
i
a
≠ 0 thì (S) có phương trình chính tắc dạng III -> in ra
phương trình chính tắc.
- Ngược lại nếu không tồn tại
'
i
a
≠ 0 thì ta khử (S) có phương trình chính
tắc dạng III -> in ra phương trình chính tắc.
Trang 6
b) Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai.
- Ta dùng một số kết quả ở câu a để tính tiếp cho câu b. (nhập phương
trình siêu mặt (S) và tính giá trị của các ma trận, …).
- Ta kiểm tra đẳng thức Rank(A) = Rank(<A|a>) để xác định (S) có tâm
hay không. Nếu có ta dùng lệnh X:=LinearSolve(A,-a,free= ‘t’) để xác
định tọa độ và thay tọa độ của tâm vào phương trình [a]
t

[x]+[a
0
]=0 để
xác định tọa độ các điểm kì dị của (S).
Trang 7
4. Thử nghiệm
a) Xác định phương trình chính tắc của siêu mặt bậc hai.
Nhập vào phương trình của (S):
035322
221
2
2
2
1
=−−++ xxxxx
Thực thi chương trình ta được kết quả như sau:
Trang 8
b) Xác định tọa độ tâm và điểm kì dị của siêu mặt bậc hai.
Nhập vào phương trình của (S):
035322
221
2
2
2
1
=−−++ xxxxx
Thực thi chương trình ta được kết quả như sau:
Trang 9
Trang 10
TÀI LIỆU THAM KHẢO


[1] Đỗ Văn Nhơn, Bài giảng Lập trình Symbolic và ứng dụng, Đại học CNTT,
2012.
[2] Tạp chí khoa học và công nghệ, Đại học Đà Nẵng, Số 2 (43), 2011.
[3] Tài liệu về Maple tại link:
/>exploring_discrete_mathematics_using_maple.html
[4] Phần mềm Maple 16 - Maple Help.
Trang 11