Một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ (FULL)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN LÊ NAM
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG
KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN LÊ NAM
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG
KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62. 46. 10. 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐOÀN THẾ HIẾU
TS NGUYỄN DUY BÌNH
NGHỆ AN - 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Duy
Bình. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.
Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trước đó.
Tác giả
Trần Lê Nam
ii
LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn đầy trách nhiệm của PGS. TS.
Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Duy Bình. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân
sâu sắc tới các Thầy, người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu
đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS. TS. Frank Morgan (Williams College,
USA) vì sự giúp đỡ về tài liệu nghiên cứu và thảo luận những bài toán có
liên quan.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:
- Khoa Sư phạm Toán học, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh,
- Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp,
về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của
một nghiên cứu sinh.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn
thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập.
Trần Lê Nam
iii
MỤC LỤC
Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1
MỞ ĐẦU 1
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10
1.1 Đa tạp với mật độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Độ cong trung bình và độ cong Ricci trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Bất đẳng thức và tích phân cần sử dụng trong luận án. . . . . . . . . 17
1.5 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG
TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA TẠP VỚI MẬT ĐỘ 19
2.1 f-độ cong của đường cong phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Định lý Gauss-Bonnet suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Định lý kiểu Fenchel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng
với mật độ log-tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Đường f-trắc địa cực tiểu trên đa tạp với mật độ. . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chương 3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA MẶT TRONG
KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ 50
3.1 f-độ cong trung bình của siêu mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Hình học định cỡ trên đa tạp với mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Siêu mặt trong không gian G
n
× R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5 Mặt 2-chiều trong không gian với mật độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Kết luận chung và kiến nghị 75
Danh mục công trình 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO 77
iv
1
MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
TRONG LUẬN ÁN
Kí hiệu Ý nghĩa
B
n
R
Hình cầu tâm O bán kính R trong R
n

G
n
Không gian Gauss n-chiều
G Độ cong Gauss
G
f
Độ cong Gauss theo mật độ
H Độ cong trung bình
H
f
Độ cong trung bình theo mật độ
Hess f Ma trận Hesse của hàm f
k
f
f-độ cong của đường cong phẳng
n, N Vectơ pháp của đường cong hoặc siêu mặt
S
n−1
R
Siêu mặt cầu tâm O bán kính R trong R
n
df
dn
Đạo hàm của hàm f theo hướng vectơ n
d Phần tử độ dài Riemann
d
f
Phần tử độ dài theo mật độ e
−f
dA Phần tử diện tích Riemann

dA
f
Phần tử diện tích theo mật độ e
−f
dV Phần tử thể tích Riemann
dV
f
Phần tử thể tích theo mật độ e
−f
r(x) r(x) =

x
2
1
+ ··· + x
2
n
, với x = (x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n
T
p
Σ Không gian tiếp xúc của Σ tại p
δ
ij
Ký hiệu Kronecker
∆f Laplacian của hàm f

∇f Gradient của hàm f, tức là ∇f =

df
dx
i

∇
X
Y Đạo hàm hiệp biến của trường vectơ Y dọc X
α(t) Tham số hóa của đường cong α
∂R Biên của miền R
|x| Chuẩn của vectơ x
p. i Trang thứ i trong tài liệu trích dẫn
 Kết thúc chứng minh
2
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M
n
, g) với một hàm trơn, dương,
thường được dùng là e
−f
ở đó f là một hàm trơn, được sử dụng làm trọng số
cho thể tích k-chiều (1 ≤ k ≤ n). Trong luận án, chúng tôi dùng các khái niệm
f-thể tích, f-diện tích, f-độ dài, f-độ cong trung bình, f-độ cong, f-trắc địa,
siêu mặt f-cực tiểu, siêu mặt f-ổn định lần lượt để chỉ thể tích, diện tích, độ
dài, độ cong trung bình, độ cong của đường cong phẳng, đường trắc địa, siêu
mặt cực tiểu, siêu mặt ổn định theo mật độ. Đây là một phạm trù mới, có nhiều
ứng dụng trong Toán học, Vật lý. Đặc biệt, không gian Gauss, tức là R
n

với mật
độ
1
(2π)
n/2
e
−|x|
2
/2
, được nhiều nhà xác suất quan tâm. Do đó, việc tìm hiểu hình
học vi phân trên đa tạp với mật độ không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý
nghĩa thực tiễn.
Nhận thấy vai trò quan trọng của đa tạp với mật độ, giáo sư F. Morgan đã
đề ra một dự án "rất quan trọng" là "tổng quát hóa toàn bộ hình học vi phân
cổ điển lên đa tạp với mật độ". Trong dự án đó, ông và các cộng sự đã đạt được
nhiều kết quả về bài toán đẳng chu, tổng quát một số định lý cổ điển của lý
thuyết đường lên mặt phẳng với mật độ. Chẳng hạn, C. Ivan và các đồng nghiệp
đã mở rộng Định lý Gauss-Bonet (xem [40]); F. Morgan đã chứng minh Định lý
Myers với mật độ (xem [50]). Họ cũng chứng minh được nghiệm của bài toán
đẳng chu trong không gian với mật độ nếu tồn tại thì biên của nó phải có f-độ
cong trung bình hằng (xem [40]). Do đó, việc khảo sát tính chất hình học của
siêu mặt có f-độ cong trung bình hằng, đặc biệt các siêu mặt f-cực tiểu là cần
thiết. Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũng chỉ ra một số kết quả về lý thuyết
đường không còn đúng khi được gia thêm mật độ. Qua đó, chúng ta thấy rằng
có rất nhiều vấn đề về lý thuyết đường trong không gian với mật độ cần được
nghiên cứu như: Định lý nào của hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳng
Ơclit? Các định lý nào có thể mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại các
đường có f-độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát các đường
f-trắc địa trên đa tạp với mật độ.
Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng là một lĩnh vực nghiên cứu

đang rất thời sự. Những năm gần đây, I. Corwin và các cộng sự đã cho một số ví
dụ và tính chất về các mặt có f-độ cong trung bình hằng (xem [40]). D. T. Hieu
3
và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f-cực tiểu, mặt tịnh tiến f-cực tiểu
trong không gian với mật độ log-tuyến tính (xem [32]). D. T. Hieu đã áp dụng
phương pháp dạng cỡ cho đa tạp với mật độ vào khảo sát tính f-ổn định của
một số lớp siêu mặt đặc biệt (xem [33]). T. H. Colding, W. P. Minicozzi II và S.
J. Kleene đã đưa ra một số tính chất hình học của mặt f-cực tiểu trong không
gian Gauss (xem [18], [45]),. . . Một số định lý cổ điển của hình học vi phân về
siêu mặt cực tiểu cũng được chứng minh trong không gian với mật độ cụ thể
như: Định lý Bernstein, Định lý Liouville, bất đẳng thức Simons (xem [8], [36],
[57]),. . . Các kết quả đó cho thấy lý thuyết mặt nói chung, lý thuyết mặt cực
tiểu nói riêng biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ. Do đó, việc khảo
sát các định lý của siêu mặt f-cực tiểu trong không gian với một số mật độ quen
thuộc là rất đáng quan tâm và cần thiết.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là "Một
số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ".
2 Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian
với mật độ theo các mục đích sau:
.
(a) Khảo sát Định lý bốn đỉnh và mở rộng Định lý Fenchel trên các mặt
phẳng với mật độ;
(b) Phân loại các đường cong có f -độ cong hằng trên mặt phẳng với mật
độ log-tuyến tính;
(c) Nghiên cứu các tính chất của đường f-trắc địa cực tiểu trên đa tạp với
mật độ;
(d) Chứng minh một số định lý kiểu Bernstein trên không gian Gauss,
không gian G
n

× R và trên các không gian với mật độ tổng quát;
(e) Chứng minh định lý kiểu Bernstein cho mặt f-cực tiểu trong không
gian G
2
× R
n−2
, với n ≥ 3.
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Lý thuyết đường và lý thuyết mặt trong không gian với mật độ.
3.2 Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
.
• Các định lý cổ điển của lý thuyết đường trên mặt phẳng với mật độ như:
Định lý bốn đỉnh, Định lý Fenchel;
4
• Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ;
• Khảo sát tính chất hình học của các đường f-trắc địa cực tiểu;
• Siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với mật độ tích;
• Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ cụ thể.
4 Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực hiện
đề tài. Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng 4 phương pháp chính. Đó là phương
pháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa của các đường cong có
f-độ cong hằng, các mặt f-cực tiểu; phương pháp biến phân để xác định tham
số của các đường f-trắc địa cực tiểu, xác định các biến phân f-diện tích; phương
pháp dùng dạng cỡ để chứng minh các tính chất cực tiểu diện tích; phương pháp
dùng các ước lượng gradient, ma trận của dạng cơ bản thứ hai và dùng nguyên
lý cực đại để chứng minh các định lý kiểu Bernstein.
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Như chúng ta đã thấy, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực nghiên cứu rất mới
và hấp dẫn. Các kết quả mang tính thời sự, có nhiều ứng dụng trong Toán học
và Vật lý. Đặc biệt, các tính chất hình học của đường và siêu mặt biến đổi rất
đa dạng khi được gia thêm mật độ. Do đó, việc nghiên cứu về lý thuyết đường
và lý thuyết mặt trên các không gian với mật độ là đáng quan tâm và cần thiết.
Những kết quả đạt được sẽ góp phần làm phong phú thêm sự hiểu biết về hình
học vi phân của đường và mặt trong không gian với mật độ.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô.
6 Tổng quan và cấu trúc của luận án
6.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án
Trên đa tạp với mật độ (M
n
, g, e
−f
dV ), D. Barky - M. Émery, M. Gromov
(xem [3], [30]) đề xuất mở rộng độ cong trung bình và độ cong Ricci của một
siêu mặt lần lượt là
H
f
= H +
1
n −1
df
dN
,
5
và
Ric
f

= Ric + Hessf,
ở đó N là trường vectơ pháp đơn vị của siêu mặt. Các mở rộng trên đã được
kiểm tra thỏa mãn các biến phân thứ nhất và thứ hai của phiếm hàm diện tích
theo mật độ (xem [40], [47], [49], [50]). H
f
, Ric
f
lần lượt được gọi là độ cong
trung bình theo mật độ hay f-độ cong trung bình và độ cong Ricci theo mật độ
hay f-độ cong Ricci.
Khái niệm đa tạp với mật độ đã từng xuất hiện trong Toán học với các tên
gọi khác nhau như: đa tạp với trọng (weighted manifolds), "không gian của các
kiểu thuần nhất" (space of homogeneous type) (xem [15]), "không gian mêtric-độ
đo" (metric-measure space) (xem [30]). Năm 2004, V. Bayle đã trình bày tổng
quan về không gian mêtric-độ đo và khảo sát biến phân thứ hai của phiếm hàm
f-diện tích trong luận án của ông (xem [4]). Một năm sau đó, F. Morgan đã
gọi tên các lớp đa tạp này là đa tạp với mật độ (manifolds with density) (xem
[49]). Trong bài báo đó, ông trình bày biến phân thứ nhất, thứ hai của phiếm
hàm f-diện tích, các mở rộng của ước lượng thể tích của Heintze và Karcher,
tổng quát bất đẳng thức đẳng chu của Levy và Gromov. Ông cũng trình bày chi
tiết hơn về đa tạp với mật độ, vai trò của mật độ trong chứng minh giả thuyết
Poincaré của Perelman ở cuốn sách Lý thuyết độ đo hình học (p. 197-201, [51]).
Đa tạp với mật độ là một phạm trù tốt để mở rộng các bài toán về biến
phân trong hình học như: bài toán đẳng chu, siêu mặt f -cực tiểu, f-ổn định. Sau
đây là một số kết quả về bài toán đẳng chu trên đa tạp với mật độ. Năm 1975,
C. Borell đã chứng minh một bất đẳng thức đẳng chu trong không gian Gauss.
Ông đã chỉ ra miền đẳng chu trên không gian này là nửa không gian (xem [7]).
Một kết quả hết sức bất ngờ. Tiếp theo, M. Gromov chứng minh được hình cầu
tâm O là miền đẳng chu trên không gian R
n

với mật độ e
a|x|
2
, a > 0, (xem [29]).
S. G. Bobkov và C. Houdré tìm ra nghiệm của bài toán đẳng chu trên đường
thẳng với mật độ giảm dần (xem [6]); E. A. Carlen và C. Kerce chứng minh
tính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chu trên nửa không gian Gauss (xem
[10]); C. Antonio, F. Morgan, A. Ros và B. Vincent chỉ ra điều kiện cần cho bài
toán đẳng chu tồn tại nghiệm, tính chính quy của miền nghiệm, chứng minh
rằng siêu mặt cầu là nghiệm duy nhất của bài toán đẳng chu trong không gian
R
n
với mật độ e
a|x|
2
, a > 0, (xem [11], [48], [55]).
Đối với bài toán đẳng chu trên mặt phẳng với các mật độ cụ thể, một nhóm
sinh viên của trường Williams, dưới sự hướng dẫn của giáo sư F. Morgan, đã có
6
một số kết quả ban đầu như: biên của miền đẳng chu trên mặt phẳng với mật
độ phải có f -độ cong hằng (xem [12], [40]), tính chất nghiệm của bài toán bong
bóng đôi trong không gian Gauss (xem [39], [11]), các kết quả về bài toán đẳng
chu trong các hình quạt Gauss (xem [11], [26]), không tồn tại nghiệm bài toán
đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ e
x
, tính duy nhất nghiệm của bài toán
đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ r
p
, p > 0 (xem [12]).
Theo hướng mở rộng các định lý cổ điển của hình học vi phân lên không gian

và đa tạp với mật độ, nhiều kết quả đã được công bố như: Định lý Gauss-Bonnet
suy rộng (xem [20], [40]), tính duy nhất của đường trắc địa trên mặt phẳng với
mật độ có độ cong Gauss suy rộng âm (xem [12]), Định lý Myers trên mặt phẳng
và không gian với mật độ (xem [50]), Định lý Liouville trên không gian với mật
độ (xem [8], [36]),. . . Tuy nhiên, một số định lý cổ điển không còn đúng khi gia
thêm mật độ. Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu là
không đúng (xem [31]).
Ngoài các hướng nghiên cứu trên, việc nghiên cứu lý thuyết về siêu mặt
f-cực tiểu, siêu mặt có f-độ cong hằng, f-độ cong Gauss hằng trong không gian
và đa tạp với mật độ cũng nhận được nhiều sự quan tâm. Các tác giả C. Ivan,
H. Stephanie, Ă. Vojislav và Y. Xu đã chỉ ra một số mặt có f-độ cong trung
bình hằng trong không gian Gauss, khảo sát một số chính chất hình học của các
mặt có f-độ cong trung bình hằng (xem [40]), J. M. Espinar và H. Rosenberg
đã khảo sát tính chất hình học của các mặt đầy đủ và có f-độ cong trung bình
hằng (xem [25]), D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ f-cực
tiểu trong không gian R
3
với mật độ log-tuyến tính (xem [32]). Tính chất cực
tiểu f-diện tích của các siêu mặt f-cực tiểu cũng được một số người làm hình
học quan tâm. Chẳng hạn, D. T. Hieu đã áp dụng phương pháp dạng cỡ với
mật độ để chứng minh một số đa tạp con là f-cực tiểu diện tích (xem [33]). Bên
cạnh đó, các tính chất của siêu mặt f-cực tiểu ổn định cũng được khảo sát bởi
một số tác giả (xem [13], [33], [47]).
Chúng ta có thể xem các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình
là các trường hợp đặc biệt của các siêu mặt f-cực tiểu trong các không gian với
mật độ. Cho M là một đa tạp Riemann khả vi n-chiều trong không gian R
n+1
.
Một phép nhúng phụ thuộc thời gian
x

t
= x(., t) : M ×[0, T) −→ R
n+1
,
7
ở đó [0, T) ⊂ R, là một nghiệm của dòng độ cong trung bình nếu
∂
∂t
x(p, t) = −H(p, t)N(p, t), p ∈ M, t ∈ [0, T), (1)
với H(p, t), N(p, t) lần lượt là độ cong trung bình và vectơ pháp đơn vị của siêu
mặt x
t
(M) tại x
t
(p). Trong hệ tọa độ chuẩn tắc, do ∆x = −HN nên phương
trình trên có thể viết lại dạng
∂
∂t
x(p, t) = ∆x. (2)
Đây là phương trình truyền nhiệt.
Trong không gian R
n+1
, xét các nghiệm của dòng độ cong trung bình dạng
x(u, t) = λ(t)x
0
(u), ở đó λ(t) > 0. Khi đó, chúng ta có
λ

(t)x
0

=

H

λ(t), x

, N

λ(t), x

. (3)
Từ đó, chúng ta được
H(x
0
) = a x
0
, N(x
0
), (4)
với a = λλ

là một hằng số và λ =

λ
2
0
+ 2at.
Chúng ta xét 2 trường hợp sau:
.
(i) Nếu a < 0 thì λ → 0 khi t →

−λ
0
2a
. Ta gọi x
t
là một tự co rút (self-shrinker).
(ii) Nếu a > 0 thì λ → ∞ khi t → ∞. Ta gọi x
t
là một tự giãn nở (self-
expander).
Mặt khác, chúng ta xét không gian R
n+1
với mật độ e
a|x|
2
/2
. Khi đó, f-độ
cong trung bình của siêu mặt xác định bởi x
t
được cho bởi
H
f
= H −a x, N. (5)
Từ các đẳng thức (4) và (5), chúng ta thấy rằng các siêu mặt f -cực tiểu trong
không gian R
n+1
với mật độ e
a|x|
2
/2

là các siêu mặt tự co rút nếu a < 0, là các
siêu mặt tự giãn nở nếu a > 0.
Hoàn toàn tương tự, các nghiệm tịnh tiến x
t
= x
0
+ at, ở đó a ∈ R
n+1
là
một vectơ hằng, của dòng độ cong trung bình là các siêu mặt f-cực tiểu trong
không gian R
n+1
với mật độ log-tuyến tính e
ax
. Một số tác giả còn mở rộng việc
8
nghiên cứu nghiệm tịnh tiến của dòng mở rộng với một lực tác động (with a
forcing term) dạng
∂
∂t
x
t
= −(H + b).N, b ∈ R.
Khi đó, f-độ cong trung bình của x
t
trên R
n+1
với mật độ log-tuyến tính là
một hằng số (xem [19], [22], [24], [37], [53]).
Như vậy, các mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss, không gian R

n
với mật
độ e
|x|
2
/4
và không gian với mật độ log-tuyến tính là các trường hợp đặc biệt của
nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. Đây là một lĩnh vực nghiên
cứu đang rất thời sự. Bên cạnh các kết quả về tính lồi, thời gian tồn tại hữu
hạn, hội tụ về điểm tròn, tính chính qui, phân loại các các kì dị loại I của dòng
độ cong trung bình (xem [27], [28]), việc phân loại các nghiệm tuyến tính với
vận tốc hằng cũng có một số kết quả ban đầu (xem [38], [41], [42], [43]). Đối với
các nghiệm tự đồng dạng, N. Kapouleas, S. J. Kleene và N. M. Møller đã xây
dựng thành công một dòng tự co rút không compact (xem [44]). S. J. Kleene
và N. M. Møller đã chỉ ra rằng một tự co rút tròn xoay, đầy đủ và nhúng trong
không gian R
n
hoặc là siêu phẳng, siêu mặt cầu, siêu mặt trụ hoặc là tích của
đường tròn với một (n − 2)-cầu (xem [45]). Một số tác giả nghiên cứu lĩnh vực
này cũng đưa ra các đánh giá về tăng trọng thể tích, ước lượng gradient, khảo
sát tính ổn định và compact của dòng độ cong trung bình (xem [14], [18], [19],
[23], [46]). K. Ecker và G. Huisken đã chứng minh được định lý kiểu Bernstein
cho các mặt tự co rút với điều kiện tăng trọng thể tích theo đa thức (xem [23]).
Sau đó, điều kiện này được bỏ đi bởi L. Wang (xem [57]).
6.2 Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần Một số ký hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết
luận chung và Kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án và
Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương.
Chương 1 được dành để giới thiệu các kiến thức cơ sở của luận án. Mục 1.1
trình bày các khái niệm cơ bản trên đa tạp với mật độ. Mục 1.2 trình bày các

định nghĩa và công thức tính độ cong trung bình của mảnh tham số của siêu
mặt trong không gian R
n
. Mục 1.3 trình bày khái niệm và công thức tính độ
cong trung bình và độ cong Ricci của một đa tạp con định hướng được trong
đa tạp Riemann. Mục 1.4 trình bày 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng
trong luận án.
9
Chương 2 trình bày về lý thuyết đường trên mặt phẳng và đa tạp với mật
độ. Mục 2.1 trình bày về khái niệm f-độ cong của đường cong phẳng, biến phân
thứ nhất của phiếm hàm f-độ dài. Mục 2.2 trình bày về Định lý Gauss-Bonnet
suy rộng. Mục 2.3 trình bày về định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng với mật
độ. Mục 2.4 trình bày về Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu.
Mục 2.5 phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật
độ log-tuyến tính. Mục 2.6 trình bày về đường f-trắc địa cực tiểu trong đa tạp
với mật độ. Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.7, Hệ
quả 2.4.10, Hệ quả 2.4.11, Định lý 2.5.3, và Mệnh đề 2.6.6. Các nội dung chính
của Chương 2 được trình bày trong 4 bài báo [5], [31], [34] và [52].
Chương 3 trình bày về lý thuyết mặt trong không gian với mật độ. Mục 3.1
trình bày về khái niệm f-độ cong trung bình, biến phân thứ nhất và thứ hai
của phiếm hàm f-diện tích. Mục 3.2 trình bày về nguyên lý dạng cỡ trên đa
tạp với mật độ, tính cực tiểu f-diện tích của đồ thị của một hàm khả vi trong
không gian với mật độ. Mục 3.3 trình bày về siêu mặt f-cực tiểu trong không
gian Gauss. Mục 3.4 trình bày về siêu mặt f-cực tiểu trong tích của không gian
Gauss với đường thẳng R. Mục 3.5 trình bày về mặt f-cực tiểu trong không gian
với mật độ. Các kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.3.2.3, Định lý 3.4.3 và
Định lý 3.4.5.3. Các nội dung chính của Chương 3 đã được trình bày trong bài
báo [35].
10
Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết
quả cơ bản cần sử dụng trong luận án như: đa tạp với mật độ, đa
tạp tích với mật độ tích, f-độ dài, f-diện tích, f-thể tích, độ cong
trung bình của siêu mặt trong không gian R
n
, vectơ độ cong trung
bình và độ cong Ricci của đa tạp con trong một đa tạp Riemann.
Đồng thời, chúng tôi đưa ra 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử
dụng trong các chứng minh ở Chương 2.
1.1 Đa tạp với mật độ
1.1.1 Định nghĩa (xem [40], [49]). Đa tạp với mật độ là một đa tạp Rie-
mann n-chiều với hàm mật độ trơn dương, thường được dùng là e
−f
ở đó f là
một hàm trơn, được sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều (1 ≤ k ≤ n).
Ký hiệu dV , dA và d tương ứng là các phần tử thể tích, diện tích và độ dài
Riemann. Khi đó, phần tử f-thể tích n-chiều, f-diện tích (n −1)-chiều và f-độ
dài, ký hiệu lần lượt là dV
f
, dA
f
và d
f
, được cho bởi các đẳng thức
dV
f
= e
−f
dV, dA

f
= e
−f
dA, và d
f
= e
−f
d. (1.1.1)
Chúng ta để ý rằng định nghĩa trên không tương đương với việc nhân một
hệ số λ vào mê-tríc vì khi đó phần tử f-thể tích n-chiều và phần tử f-diện tích
(n −1)-chiều có số mũ λ khác nhau.
Không gian Ơclit R
n
với tích vô hướng chính tắc và mật độ e
−f
được ký hiệu
(R
n
, e
−f
). Tương tự, (M, g, e
−f
dV ) được dùng để chỉ đa tạp Riemann (M, g) với
mật độ e
−f
.
Các ví dụ sau cho thấy đa tạp với mật độ xuất hiện một cách tự nhiên trong
Toán học và Vật lý.
1.1.2 Ví dụ. Xét đường cong trên nửa mặt phẳng đóng Ơclit (biên Ox) và mặt
tròn xoay được sinh ra khi quay nó quanh trục Ox. Khi đó, diện tích của mặt

tương ứng với độ dài của đường cong trên nửa mặt phẳng với mật độ 2πy. Do
11
đó, chúng ta có thể xem nửa mặt phẳng trên với mật độ 2πy là không gian
thương của R
3
với quan hệ tương đương cùng khoảng cách đến trục Ox.
1.1.3 Ví dụ. Trong Vật lý, một đối tượng có thể có mật độ nội tại khác nhau
tại các điểm. Do đó, để xác định khối lượng của nó ta phải tính tích phân theo
mật độ.
1.1.4 Ví dụ. Không gian Gauss n-chiều, ký hiệu G
n
, là không gian Ơclit R
n
với mật độ Gauss (2π)
−n/2
e
−r
2
/2
, ở đó r là hàm khoảng cách từ gốc tọa độ đến
điểm đang xét. Trong không gian này, mật độ tập trung ở gốc tọa độ và giảm
rất nhanh khi di chuyển ra ngoài (Hình 1.1.1). Trên mặt phẳng Gauss, độ dài
theo mật độ hay f-độ dài của trục hoành bằng

f
(Ox) =

+∞
−∞
e

−x
2
/2
2π
dx =
1
√
2π
.
Hình 1.1.1: Mật độ của không gian Gauss tập trung ở gốc tọa độ,
giảm rất nhanh khi di chuyển khỏi gốc tọa độ.
Hơn nữa, chúng ta kiểm tra được f-độ dài của một đường cong bất biến qua
phép quay quanh tâm O. Do đó, các đường thẳng qua gốc tọa độ có f-độ dài
bằng 1/
√
2π.
Mặt khác, f -diện tích của mặt phẳng Gauss G
2
bằng
Area
f
(G
2
) =

R
2
e
−r
2

/2
2π
dxdy
12
=

+∞
−∞

+∞
−∞
e
−(x
2
+y
2
)/2
2π
dxdy
=


+∞
−∞
e
−x
2
/2
√
2π

dx


+∞
−∞
e
−y
2
/2
√
2π
dy

= 1.
Đường tròn tâm O bán kính R có f-độ dài bằng Re
−R
2
và f-diện tích của
đĩa tròn B(O, R) tâm O bán kính R bằng
1
2π

2π
0

R
0
re
−r
2

/2
drdθ = 1 − e
−R
2
/2
.
Mở rộng khái niệm không gian Gauss là khái niệm không gian với mật độ cầu.
1.1.5 Định nghĩa ([40]). Không gian R
n
với mật độ e
−f(r)
, ở đó r là hàm
khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đang xét, f là một hàm trơn trên R
+
, được
gọi là không gian với mật độ cầu.
1.1.6 Ví dụ ([40]). Không gian R
n
với mật độ e

n
i=1
a
i
x
i
+b
, a
i
, b ∈ R,

n

i=1
a
2
i
=
0, được gọi là không gian với mật độ log-tuyến tính. Trong không gian này, tập
hợp tất cả các điểm có cùng mật độ là một siêu phẳng. Do đó khi giải quyết các
bài toán liên quan đến các tính chất mà nó bất biến qua phép quay quanh gốc
tọa độ, chúng ta có thể xét hàm mật độ dạng e
x
n
. Trong không gian R
n
với mật
độ e
x
n
, phép tịnh tiến theo vectơ v = (a
1
, . . . , a
n−1
, 0), a
1
, . . . , a
n−1
∈ R
∗
, không

làm thay đổi f-diện tích và f-thể tích. Hơn nữa, sau này chúng ta sẽ thấy phép
tịnh tiến theo vectơ v cũng không làm thay đổi f-độ cong trung bình.
1.1.7 Ví dụ (Định lý giá trị trung bình [2]). Nếu u(x) là một hàm điều
hòa trên B(a, r) ⊂ R
2
thì u(a) bằng trung bình của u trên ∂B(a, r). Tức là,
u(a) =
1
Vol

B(a, r)


∂B(a,r)
u(x)dx. (1.1.2)
Định lý giá trị trung bình cho chúng ta tính được giá trị của hàm u tại tâm
của hình cầu thông qua giá trị trên biên của hình cầu đó. Để tính giá trị của
hàm u tại một điểm bất kì trong B(a, r) người ta gia thêm vào tích phân một
mật độ Poisson. Cụ thể, lấy hàm P (x, ξ) = (R
2
− |x|
2
)/

|x − ξ|
2
Vol

B(a, r)


,
với mọi x, ξ ∈
B(a, r), chúng ta được
u(x) =

∂B(a,r)
u(ξ)P (x, ξ)dξ. (1.1.3)
13
1.1.8 Ví dụ (Tích của 2 đa tạp với mật độ). Cho 2 đa tạp với mật độ

M
1
, g
1
, e
−f
1
dV
M
1

,

M
2
, g
2
, e
−f
2

dV
M
2

. Trên đa tạp tích M
1
×M
2
, xét hàm mật
độ e
−ϕ
, ở đó ϕ(x, y) = f
1
(x) + f
2
(y) với mọi x ∈ M
1
, y ∈ M
2
. Khi đó, phần tử
thể tích và diện tích theo mật độ trên M
1
× M
2
được xác định bởi
dV
ϕ
= e
−ϕ
dV

M
1
dV
M
2
= e
−f
1
−f
2
dV
M
1
dV
M
2
, (1.1.4)
dA
ϕ
= e
−ϕ
dA
M
1
dA
M
2
= e
−f
1

−f
2
dA
M
1
dA
M
2
, (1.1.5)
ở đó dV
M
1
, dA
M
1
tương ứng là phần tử thể tích và diện tích của M
1
và dV
M
2
, dA
M
2
tương ứng là phần tử thể tích và diện tích của M
2
. Đa tạp M
1
×M
2
với mật độ

e
−ϕ
được gọi là đa tạp tích với mật độ tích hay tích của 2 đa tạp với mật độ.
1.2 Mảnh tham số của siêu mặt trong R
n
1.2.1 Định nghĩa (Definition 3.1.1, [21]). Một mảnh tham số của siêu mặt
trơn trong R
n
là một ánh xạ khả vi cấp vô hạn r : U −→ R
n
từ miền mở U của
R
n−1
vào không gian n-chiều R
n
.
Một mảnh tham số của siêu mặt được gọi là chính qui nếu n − 1 vectơ
∂r
∂x
1
(u), . . . ,
∂r
∂x
n−1
(u) là độc lập tuyến tính với mọi u ∈ U.
Cho Σ là một mảnh tham số chính qui được xác định bởi r : U −→ R
n
.
Không gian tiếp xúc của Σ tại p = r(u), ký hiệu T
p

Σ, là không gian vectơ được
sinh bởi n −1 vectơ
∂r
∂x
1
(u), . . . ,
∂r
∂x
n−1
(u).
Vectơ pháp đơn vị của Σ tại điểm p được định nghĩa là vectơ pháp đơn
vị N(u) của T
p
Σ sao cho
∂r
∂x
1
(u), . . . ,
∂r
∂x
n−1
(u), N(u) là một cơ sở định hướng
dương của không gian R
n
.
1.2.2 Định nghĩa (Definition 3.1.6, [21]). Cho r : U −→ R
n
là một mảnh
tham số của siêu mặt. Một trường vectơ dọc theo mảnh tham số của siêu mặt
là một ánh xạ X : U −→ R

n
từ miền xác định của tham số vào không gian R
n
.
Trường vectơ X được gọi là trường vectơ tiếp xúc nếu X(u) là một vectơ tiếp
xúc của siêu mặt tại r(u) với mọi u ∈ U.
Cho v là một vectơ tiếp xúc của Σ tại r(u
0
). Chúng ta định nghĩa đạo hàm
của trường vectơ X theo hướng v, ký hiệu ∇
v
X, bởi đẳng thức
∇
v
X = (X ◦u)

(0), (1.2.1)
14
ở đó u : [−1, 1] −→ U là một đường cong trong miền tham số U sao cho
u(0) = u
0
và (r ◦ u)

(0) = v.
Chúng ta ký hiệu ∂
i
r =
∂r
∂x
i

với mọi i = 1, . . . , n − 1. Khi đó, nếu v =

n−1
i=1
v
i
∂
i
r thì chúng ta được
∇
v
X =
n−1

i=1
v
i
∂X
∂x
i
(u
0
). (1.2.2)
1.2.3 Bổ đề (Lemma 3.1.8, [21]). Đạo hàm của trường vectơ pháp đơn vị N
theo hướng vectơ tiếp xúc v của một siêu mặt là một vectơ tiếp xúc của siêu mặt
đó. Nghĩa là, ta có ∇
v
N ∈ T
p
Σ với mọi vectơ tiếp xúc v của Σ tại điểm p.

1.2.4 Định nghĩa (Definition 3.1.9, [21]). Cho Σ là một mảnh tham số của
siêu mặt được xác định bởi r : U −→ R
n
trong R
n
, p = r(u) ∈ Σ, N là pháp
vectơ đơn vị của Σ tại p. Chúng ta có hai định nghĩa sau:
.
1. Ánh xạ tuyến tính S
p
: T
p
Σ −→ T
p
Σ, v −→ −∇
v
N được gọi là toán tử
hình dạng hay ánh xạ Weingarten của Σ tại p;
2. Ánh xạ song tuyến tính II
p
trên T
p
Σ được xác định bởi đẳng thức
II
p
(v, w) = S
p
v, w (1.2.3)
được gọi dạng cơ bản thứ hai của Σ.
1.2.5 Bổ đề (Lemma 3.1.12, [21]). Chúng ta có,

.
1. II
p

∂
i
r(u), ∂
j
r(u)

=

∂
ij
r(u), N(u)

, với mọi u ∈ U, i, j = 1, 2, . . . , n−1;
2. S
p
là một ánh xạ tuyến tính, đối xứng.
1.2.6 Định nghĩa (Definition 3.1.15, [21]). Cho Σ là một mảnh tham số
của siêu mặt được xác định bởi r : U −→ R
n
trong R
n
.
.
1. Một phương chính của Σ tại p là không gian con 1 chiều v, với v là một
vectơ riêng của S
p

. Một độ cong chính của Σ tại p là một giá trị riêng κ(p)
của S
p
.
2. Độ cong trung bình H(p) của Σ tại p được định nghĩa là bởi
H(p) =
1
n −1
tr S
p
. (1.2.4)
15
Do đó, chúng ta có
H =
1
n −1
n−1

i=1
κ
i
(p), (1.2.5)
với κ
i
(p) là các độ cong chính của Σ.
3. Vectơ

H := HN được gọi là vectơ độ cong trung bình của Σ.
Tiếp theo, chúng ta xây dựng công thức xác định độ cong trung bình cho
một mảnh tham số của siêu mặt trong hệ tọa độ địa phương.

Xét các biểu diễn dạng ma trận của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai đối
với cơ sở {∂
i
r}
g
ij
:= ∂
i
r, ∂
j
r, (1.2.6)
b
ij
:=II(∂
i
r, ∂
j
r) =

S(∂
i
r), ∂
j
r

. (1.2.7)
Gọi (S
ij
) là ma trận của ánh xạ tuyến tính S đối với cơ sở {∂
i

r}. Tức là, chúng
ta có
S(∂
i
r) =
n−1

k=1
S
ki
∂
k
r. (1.2.8)
Khi đó, chúng ta được
b
ij
=

n−1

k=1
S
ki
∂
k
r, ∂
j
r

=

n−1

k=1
S
ki
g
kj
.
Suy ra b = gS hay S = g
−1
b. Từ đó, chúng ta được
H =
1
n −1
n−1

i,j=1
g
ij
b
ij
. (1.2.9)
Với mỗi hàm trơn u : U ⊆ R
n−1
−→ R, đồ thị G
u
là một mảnh tham số của
siêu mặt được xác định bởi r(x) =

x, u(x)


, x ∈ U. Khi đó, trường vectơ pháp
đơn vị của G
u
được tính bởi
N =
1

1 + |∇u|
2
(−∇u, 1). (1.2.10)
Suy ra S
ii
= (−∇
∂
i
r
N)
i
=
∂
∂x
i

∇u

1 + |∇u|
2

với mọi i = 1, . . . , n −1. Từ đó,

chúng ta có định lý sau.
16
1.2.7 Định lý. Độ cong trung bình của đồ thị G
u
được cho bởi đẳng thức
H =
1
n −1
div

∇u

1 + |∇u|
2

. (1.2.11)
1.3 Độ cong trung bình và độ cong Ricci trên đa tạp
Cho Σ là một đa tạp con k−chiều định hướng có biên hoặc không có biên
trong đa tạp Riemann (M
n
, g) với liên thông Levi-Civita ∇. Với mỗi trường
vectơ X trên Σ, chúng ta ký hiệu X
T
và X
N
lần lượt là thành phần tiếp xúc và
thành phần pháp của nó.
1.3.1 Định nghĩa (Definition 1.1, [17]). 1. Dạng cơ bản thứ hai trên Σ
là một dạng song tuyến tính đối xứng A, nhận giá trị vectơ, được xác định
bởi đẳng thức

A(X, Y ) = (∇
X
Y )
N
, ∀X, Y ∈ T
x
Σ. (1.3.1)
2. Vectơ độ cong trung bình

H tại x được định nghĩa bởi đẳng thức

H =
1
k
k

i=1
A(E
i
, E
i
), (1.3.2)
ở đó {E
i
} là một cơ sở trực chuẩn của T
x
Σ. Nếu Σ là một siêu mặt có
trường vectơ pháp đơn vị N sao cho E
1
, . . . , E

n−1
, N định hướng dương
thì

H.N được gọi là độ cong trung bình của Σ tại x.
3. Bình phương chuẩn của dạng cơ bản thứ hai tại x được định nghĩa bởi
|A|
2
=
k

i,j=1
|A(E
i
, E
j
)|
2
. (1.3.3)
4. Cho X là một trường vectơ trên siêu mặt Σ, divergence của X tại x ∈ Σ,
ký hiệu là div
Σ
X, được xác định bởi
div
Σ
X =
k

i=1
g

x
(∇
E
i
X, E
i
). (1.3.4)
1.3.2 Nhận xét. 1. Nếu {N

} là một cơ sở trực chuẩn của không gian pháp
của Σ trong lân cận của x thì chúng ta có
n−k

=1
g

A(X, Y ), N


N

= −
n−k

=1
g(Y, ∇
X
N

)N


. (1.3.5)
17
2. Nếu Σ là một siêu mặt thì chúng ta được
(n −1)H =
n−1

i=1
g

A(E
i
, E
i
), N

= −
n−1

i=1
g (∇
E
i
N, E
i
) = −div
Σ
N,
(1.3.6)
ở đó N là vectơ pháp đơn vị của Σ tại x.

1.3.3 Định nghĩa (Definition 4.9.15, [21]). Cho X, Y, Z là 3 trường vectơ
trên Σ, độ cong Riemann của chúng được cho bởi
R(X, Y )Z = ∇
X
∇
Y
Z −∇
Y
∇
X
Z −∇
[X,Y ]
Z, (1.3.7)
ở đó [X, Y ] là tích Lie của X và Y .
Độ cong Ricci, ký hiệu Ric, của liên thông ∇ là trường tenxơ hai lần hiệp
biến được xác định bởi đẳng thức:
Ric(X, Y )|
p
= tr

Z
p
−→

R(Z, X)Y

|
p

.

Giả sử X
p
∈ T
p
Σ là một vectơ tiếp xúc khác 0 của Σ tại p. Độ cong Ricci
của M tại điểm p theo hướng X
p
, ký hiệu Ric(X
p
), là số
Ric(X
p
) =
Ric(X
p
, X
p
)
X
p

2
.
Nhận xét. Nếu {E
i
} là cơ sở trực chuẩn của T
p
Σ thì chúng ta được
Ric(X, Y )|
p

=
k

i=1
g

(R(X, E
i
)E
i
)
p
, Y
p

. (1.3.8)
1.4 Bất đẳng thức và tích phân cần sử dụng trong
luận án
1.4.1 Định lý ([56]). Cho τ : [a, b] −→ [a, b] là một hàm khả vi, biến đầu mút
của đoạn [a, b] thành đầu mút của đoạn [a, b] . Khi đó,

b
a

dτ
dt

2
dt ≥ b − a.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi τ là một ánh xạ đồng nhất.

18
1.4.2 Một số tích phân cần sử dụng trong luận án
Với mọi số thực a và |b| < 1, chúng ta có các tích phân sau:
1.

x
(1 + a
2
x
2
)(1 + x
2
)
dx =
−1
2(a
2
− 1)
ln
1 + x
2
1 + a
2
x
2
+ c;
2.

1 −a
2

x
2
(1 + a
2
x
2
)(1 + x
2
)
dx = −
a
2
+ 1
a
2
− 1
arctan x +
2a
a
2
− 1
arctan(ax) + c;
3.

be
2
√
1−b
2
x

− 2e
√
1−b
2
x
+ b
e
2
√
1−b
2
x
− 2be
√
1−b
2
x
+ 1
dx = bx − 2 arctan

e
√
1−b
2
x
− b
√
1 −b
2


+ c;
4.

√
1 −b
2
(e
√
1−b
2
x
− e
−
√
1−b
2
x
)
e
√
1−b
2
x
− 2b + e
−
√
1−b
2
x
dx = ln


e
√
1−b
2
x
+ e
−
√
1−b
2
x
− 2b

+ c;
ở đó hằng số c ∈ R.
1.5 Kết luận Chương 1
Trong Chương 1, luận án giới thiệu một số kiến thức cần thiết bao gồm:
.
- Các khái niệm đa tạp với mật độ, không gian Gauss, đa tạp tích với mật
độ tích, không gian với mật độ cầu và log-tuyến tính, f-độ dài, f-diện tích
và f-thể tích.
- Các khái niệm ánh xạ Weingarten, độ cong chính, phương chính, độ cong
trung bình của một mảnh tham số của siêu mặt trong không gian R
n
.
Công thức tính độ cong trung bình trong hệ tọa độ địa phương. Công thức
tính độ cong trung bình của đồ thị của một hàm trơn.
- Các khái niệm độ cong trung bình, độ cong Ricci của một đa tạp con
k-chiều trong một đa tạp Riemann.

- Giới thiệu 1 bất đẳng thức và 4 tích phân cần sử dụng trong các chứng
minh ở Chương 2.
19
Chương 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA
ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA
TẠP VỚI MẬT ĐỘ
Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý
Fenchel, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu, phân loại
các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-
tuyến tính và thiết lập mối quan hệ giữa các đường f-trắc địa cực
tiểu với f-phiếm hàm năng lượng. Các kết quả chính của Chương 2
được viết dựa trên bốn bài báo [5], [31], [34] và [52].
2.1 f-độ cong của đường cong phẳng
2.1.1 Định nghĩa ([40]). Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−f
cho đường tham
số α. Độ cong theo mật độ hay f-độ cong, ký hiệu k
f
, của α được định nghĩa
bởi công thức
k
f
= k +
df
dn
, (2.1.1)
trong đó k là độ cong của α và n là trường vectơ pháp đơn vị dọc α.

Giả sử α : I ⊂ R −→ R
2
là đường cong tham số hóa tự nhiên, ε là một số
thực dương. Biến phân chuẩn tắc của α theo hàm trơn u được xác định bởi
α
t
: I ×(−, ) −→ R
2
, (s, t) −→ α(s) + tu(s)n(s).
Trên mặt phẳng Ơclit R
2
, độ cong k của đường cong thỏa mãn công thức biến
phân thứ nhất
δ
1
(u) = −

kds.
Tương tự, f-độ cong k
f
của đường cong trên

R
2
, e
−f

cũng thỏa mãn công thức
biến phân thứ nhất của phiếm hàm f-độ dài qua mệnh đề sau.