lý thuyết toán ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (838.12 KB, 18 trang )
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 1
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƢU CHÍNH VIỄN THÔNG
CƠ SỞ TẠI TP HỒ CHÍ MINH
Môn học:
XỬ LÝ ẢNH
Chuyên đề:
“ LÝ THUYẾT TOÁN ỨNG DỤNG ”
GVHD: Th.S Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 7: Trần Anh Tuấn Kiệt
Trần Thị Hoàng Linh
Nguyễn Thị Thu
Võ Văn Quốc Hƣng
Lớp : D09VTH2
TP HỒ CHÍ MINH , 2010
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 2
1.Mở đầu
Khi ta biến đổi một bức ảnh gốc thành một bức ảnh mới theo yêu
cầu về mặt toán học ta cho bức ảnh gốc qua một hệ thống biến đổi gọi
là hệ thống xử lý ảnh để cho ảnh biến đổi đầu ra ta có mô hình như hình
vẽ sau:
Các hệ thống xét ở đây là các hệ thống tuyến tính thỏa tính chất
sau:
U
1
(m,n) v
1
(m,n)
U
2
(m,n) v
2
(m,n)
a
1
u
1
(m,n)+ a
2
u
1
(m,n) a
1
v
2
(m,n)+a
2
v
2
(m,n)
Một bức ảnh gốc u khi qua hệ thống biến đổi ta sẽ có bức ảnh biến
đổi v ngõ ra để có thể tìm được v hệ thống biến đổi phải được đặc trưng
bởi các hàm hay các thông số. một trong những thông số được dùng
nhiều nhất đó là xung lựcđơn vị trong không gian 2 chiều được mô tả
bởi biểu thức toán học sau:
2. Đáp ứng xung của hệ thống:
Nếu u(m,n) = (m,n) v(m,n) = h(m,n)
H(m,n) gọi là đáp ứng của hệ thống
Ta có:
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 3
V(m,n) = u(m,n) * h(m,n)
Ví dụ:cho hệ thống xử lý ảnh với đáp ứng xung và ngõ vào u như
hình vẽ. hãy tìm ảnh biến đổi v ngõ ra.
Ta có:
H
v
u
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 4
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 5
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 6
Kết luận:
Như vậy phép toán chập trong không gian 2 chiều m,n được
tính bằng phương pháp đồ thị tiện lợi hơn đại số. Tuy nhiên chương
trình thực hiện phải viết bằng phương pháp đại số.
3. Các định lý về đáp ứng xung h(n) của các hệ xử lý ghép với
nhau:
a/ Ghép nối tiếp:
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 7
Kết luận: Đáp ứng xung của hệ thống xử lý ảnh của nhiều hệ thống
ghép nối tiếp bằng tích chập các đáp ứng xung của các hệ thống ghép.
b/ Ghép song song:
Kết luận: Đáp ứng xung của hệ thống xử lý ảnh bao gồm nhiều hệ
thống ghép song song sẽ bằng tổng các đáp ứng xung của các hệ ghép.
Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm
Nhúm 9 Trang 8
4. Biến đổi Fourier:
Tr-ớc tiên ta xem xét các khái niệm và bản chất của biến đổi TF cho tín
hiệu số một chiều và hai chiều. Vì ảnh số chỉ là một phần của tín hiệu số nên
phải dùng một dạng khác của biến đổi TF đó là biến đổi Fourrier rời rạc
DFT(Discrete Fourrier Transform). Cuối cùng, sẽ trình bày sẽ trình bày thuật
toán biến đổi nhanh FFT(Fast Fourrier Transform) để tính các DFT.
4.1. Biến đổi Fourrier-TF:
Biến đổi Fourrier cho một tín hiệu có thể hình dung nh- sau:
x(t) TF X(f)
Miền thời gian Miền tần số
Một số ứng dụng cần miền phức, ng-ời ta dùng biến đổi phức (biến đổi z) :
x(n) TZ X(z) với z là biến phức
Biến đổi Fourrier cho một tín hiệu một chiều gồm một cặp biến đổi:
- Biến đổi thuận: Chuyển sự biểu diễn từ không gian thực sang không
gian tần số (phổ và pha). Các thành phần tần số này đ-ợc gọi là các biểu diễn
trong không gian Fourrier của tín hiệu.
- Biến đổi ng-ợc: Chuyển đổi sự biểu diễn của đối t-ợng từ không gian
Fourrier sang không gian thực.
a) Không gian một chiều:
Cho một hàm f(x) liên tục. Biến đổi Fourrier của f(x), kí hiệu F(u), u biểu
diễn tần số không gian, đ-ợc định nghĩa:
F(u) =
dxexf
ixu
2
)(
(4.1)
trong đó:
f(x): biểu diễn biên độ tín hiệu
e
-2
ixu
: biểu diễn pha.
Biến đổi ng-ợc của F(u) cho f(x) đ-ợc định nghĩa:
f(x) =
F u e du
ixu
( )
2
(4.2)
Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm
Nhúm 9 Trang 9
b) Không gian hai chiều:
Cho f(x,y) hàm biểu diễn ảnh liên tục trong không gian 2 chiều, cặp biến
đổi Fourier cho f(x,y) đ-ợc định nghĩa:
- Biến đổi thuận F(u,v) =
f x y e dxdy
i xu yv
( , )
( )
2
(4.3)
u,v biểu diễn tần số không gian.
- Biến đổi ng-ợc f(x,y) =
F u v e dudv
i xu yv
( , )
( )2
(4.4)
4.2. Biến đổi Fourrier rời rạc - DFT :
Biến đổi DFT đ-ợc phát triển dựa trên biến đổi Fourrier cho ảnh số. ở
đây, ta dùng tổng thay cho tích phân. Biến đổi DFT tính các giá trị của biến
đổi Fourrier cho một tập các giá trị trong không gian tần số đ-ợc cách đều.
a) DFT cho tín hiệu một chiều:
Với tín hiệu một chiều, ng-ời ta biểu diễn bởi một chuỗi trực giao các
hàm cơ sở. Với các hàm liên tục, khai triển chuỗi trực giao sẽ cung cấp chuỗi các
hệ số dùng trong nhiều quá trình khác nhau hay trong phân tích hàm. Khai
triển Fourrier rời rạc DFT cho một dãy {u(n), n = 0, 1, , N-1} định nghĩa bởi:
x(n) X(k) =
kn
N
n
NWnx
1
0
)(
với k =0, 1, , N-1 (4.5)
với W
N
= e
-j2
/N
và biến đổi ng-ợc :
X(k) x(n) =
1
0
)(
1
N
k
kx
N
W
N
-kn
, k=0, 1, , N-1 (4.6)
Thực tế trong xử lý ảnh ng-ời ta hay dùng DFT đơn vị:
x(k) X(k) =
1
0
)(
1
N
n
kx
N
W
N
kn
, k=0, 1, , N-1 (4.7)
X(k) x(n) =
1
0
)(
1
N
k
kx
N
W
N
-kn
, k=0, 1, , N-1 (4.8)
Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm
Nhúm 9 Trang 10
Các DFT và DFT đơn vị có tính đối xứng. Hơn nữa khai triển DFT và DFT
đơn vị của một chuỗi và biến đổi ng-ợc lại của nó có tính chu kỳ và chu kỳ N.
b) DFT cho tín hiệu hai chiều (ảnh số)
DFT hai chiều của một ảnh M x N : {u(m,n) } là một biến đổi tách đ-ợc
và đ-ợc định nghĩa :
F(p,q) =
1
0
1
0
),(
M
m
N
n
nmf
W
M
pm
W
N
qn
0 q, p N-1 (4.9)
và biến đổi ng-ợc:
f(m,n) =
1
0
1
0
),(
1
M
p
N
q
qpF
MxN
W
M
-pm
W
N
-qn
0 m, n N-1 (4.10)
Nh- vậy các phép biến đổi fourier 2 chiều cũng nh- 1 chiều sẽ biến tín
hiệu từ miền không gian hay thời gian sang miền tần số p,q trong xử lý ảnh p,q
đ-ợc gọi là tần số không gian. Tóm lại ta có công thức sau đây:
f(m,n) F(p,q)=
1
0
1
0
),(
M
m
N
n
nmf
W
M
-pm
W
N
-qn
0 q, p N-1
(4.11)
F(p,q) f(m,n)=
1
0
1
0
),(
1
M
p
N
q
qpF
MxN
W
M
pm
W
N
qn
0 m, n N-1 (4.12)
ở đây, W
N
(pm+qn)
là ma trận ảnh cơ sở. Nhắc lại rằng
e
j
= cos() +jsin() (công thức Ơle).
Do vậy:
W
N
(pm+qn)
= e
-j2
(pm+qn)/N
= cos(2(pm+qn)/N) - j sin (2(pm+qn)/N).
Nh- vậy, các hàm cơ sở trong ma trận ảnh cơ sở của biến đổi Fourier là
các hàm cosine và hàm sine. Theo tính toán trên, ta thế biến đổi Fourrier biễu
diễn ảnh trong không gian mới theo các hàm sin và cosine.
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 11
Bµi tËp ¸p dông:
f(m,n)=
t×m DFT (2x2) cña f:
F(0,0)= 1+2+1 = 4
Trong matlab:
f = zeros(30,30);
>> f(5:24,13:17) = 1;
>> imshow(f,'notruesize')
>> F = fft2(f);
>> F2 = log(abs(F));
>> imshow(F2,[-1 5],'notruesize')
>> colormap(jet); colorbar
>> F = fft2(f,256,256);
>> imshow(log(abs(F)),[-1 5]);colormap(jet);colorbar
>> F2 = fftshift(F);
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 12
>> imshow(log(abs(F2)),[-1 5]);colormap(jet);colorbar
H×nh t¹o ban ®Çu
H×nh sau biÕn ®æi Fourrier
H×nh ®-îc nhuém mµu
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 13
H×nh sau khi ®-a phæ vÒ trung t©m ( DC )
5. Các tính chất của DFT N điểm:
5.1 Tuần hoàn:
Nếu x(n) và X(k) là 1 cặp biến đổi DFT N điểm thì :
x(n+N) = x(n)
X(k + N) = X(k) k
5.2 Tuyến tính:
Nếu:
x
1
(n)
DF
T
N
X
1
(k)
X
2
(n)
DF
T
N
X
2
(k)
thì: a
1
x
1
(n) + a
2
x
2
(n)
DF
T
N
a
1
X
1
(k) + a
2
X
2
(k)
5.3 Đối xứng:
Xét x(n) = x (n) + jx (k) + jX(k) thì:
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 14
Và :
Nếu x(n) chẵn : x(n) = x(-n) thì
X(k) = X (k) = X (-k)
Nếu x(n) lẽ : x(n) =- x(-n) thì
X(k) = jX(k) = -jX(-k)
Nếu x(n) là tín hiệu thực ,
:
Hay X(k) = X*(-k)
Nếu x(n) là tín hiệu ảo ,
Hay X(k) = -X*(-k)
5.4 Tích chập vòng:
Nếu :
DFT-N
DFT-N
Thì
Trong đó biểu diễn tích chập vòng tròn :
N
N
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 15
Ví dụ : Cho 1 mạch lọc với ngõ vào và đáp ứng tần số cho bởi các
hình vẽ sau.
u(m,n) v(m,n)
Với u(m,n) =
h(m,n) =
Hãy tìm ngõ ra v(m,n) bằng phương pháp tích chập vòng.
v(m,n) = u(m,n) 2x2 h(m,n)
- Đầu tiên ta tìm DFT 2x2 của f lần lượt u và h.
V(p,q) =
. H(p,q) =
V(p,q) = U(p,q) . H(p,q)
=
.
=
(quá trình nhân ảnh)
- Sau khi tìm được V(p,q) là biến đổi DFT của v(m,n), để tìm được
v(m,n) ta phải dùng biến đổi ngược DFT MxN theo công thức sau :
+ v(0,0) =
=
+ v(0,1) =
=
= 3
+ v(1,0) =
=
+ v(1,1)
=
H(m,n)
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 16
v(m,n) =
- Nếu tính bài trên dùng Matlab ta làm như sau :
- Đầu tiên ta tính DFT của u(m,n) và v(m,n).
>>u = [1 0;2 1] % nhập ma trận u
>>h = [1 0;1 1] % nhập ma trận h
>>f1 = fft2 (u) % tính DFT của u
f1 =
4 2
-2 0
>>f2 = fft2 (h) % tính DFT của h
f2 =
3 1
-1 1
Sau đó ta nhân ảnh của 2 ma trận trên được ma trận mới, đặt ma
trận tìm được là c:
>>c = immultiply(f1,f2) % Nhân ảnh
c =
12 2
2 0
Rồi dùng biến đổi ngược DFT tính ma trận trên sẽ được v(m,n)
>> ifft2 (c) % biến đổi ngược DFT
ans =
4 3
3 2
5.5 Đảo trên miền thời gian:
Nếu :
x(n) DFT-N X(k)
thì :
DFT-N X(N - k)
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 17
5.6 Dịch chuyển thời gian và dịch chuyển tần số:
Nếu :
x(n) DFT-N X(k)
thì :
x(n - 1) DFT-N
và :
DFT-N X(k-1)
5.7 Liên hiệp phức:
Nếu : x(n) DFT-N X(k)
Thì : x*(n) DFT-N X*(N - k)
5.8 Tƣơng quan:
Nếu : x(n) DFT-N X(k)
Và y(n) DFT-N Y(k)
Thì :
DFT-N X(k)Y*(k)
Trong đó :
=
5.9 Nhân:
Nếu :
DFT-N
DFT-N
Thì :
DFT-N
N
Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm
Nhóm 9 Trang 18
5.10 Định lý Paserval:
Nếu : x(n) DFT-N X(k)
Và y(n) DFT-N Y(k)
Thì :
