Rèn luyện cho học sinh kỹ năng và phát triển tư duy toán học qua việc giải một số bài toán tích phân

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy toán học phổ thông trung học ,để giúp học sinh say mê
sáng tạo trong học toán cần phải làm cho học sinh hiểu rõ ,toán học không những là
công cụ cho các môn khoa học tự nhiên mà còn được ứng dụng trong đời sống hàng
ngày.Bên cạnh đó học toán giúp cho các em học sinh hình thành và phát triển tư duy
lôgic, khả năng tìm tòi, tư duy sáng tạo, khả năng phân tích trong toán học và đời
sống .Từ đó giúp cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức đã học vào
thực tiễn.Bài toán tích phân là một trong những bài toán nằm trong chương trình toán
học phổ thông, là một dạng toán có ứng dụng thực tiễn cao.Trong các đề thi tốt
nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp hàng năm thường có các
bài toán về tích phân hoặc sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật
thể ngoài ra tích phân còn được sử dụng ở một số bài toán đại số tổ hợp.Tích phân là
một trong những bài toán khó đối với học sinh và có bài cần đến sự áp dụng linh hoạt
của định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính tích phân.Vì vậy khi gặp bài toán tích
phân học sinh thường rất ngại, hoặc lúng túng không biết cách giải.Trong phạm vi
nghiên cứu đề tài tôi chỉ đề cập đến vấn đề :Khi nào thì giải bài toán tích phân bằng
phương pháp đổi biến số (Đổi biến số về hàm số và ngược lại hàm số về biến số),hoặc
dùng phương pháp tích phân từng phần .Qua đó giúp cho các em say mê sáng tạo
trong học toán ,hình thành và phát triển tư duy toán học.Vì vậy tôi chọn đề tài: “Rèn
luyện cho học sinh kỹ năng và phát triển tư duy toán học qua việc giải một số bài
toán tích phân”.Từ đó giúp các em biết cách giải tốt hơn, hiểu sâu hơn các bài toán
về tích phân nhằm nâng cao kết quả học tập của học sinh .

PHẦN II: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN
1. Thực trạng vấn đề:
Khi gặp một số bài toán về tích phân học sinh còn lúng túng về cách giải quyết bài
toán, các em không biết nên đổi biến như thế nào? Nên chọn cách giải nào cho phù
hợp đối với các bài toán liên quan đến dùng phương pháp đổi biến số và bài toán về
tích phân từng phần.Vấn đề đặt ra là làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy và
kết quả học tập của học sinh?.
2. Phương pháp nghiên cứu:Sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:Học sinh trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp,
Đại học, Cao đẳng ,Trung học chuyên nghiệp .
4. Cách thực hiện:
- Đưa ra hệ thống lý thuyết tích phân.
- Phân loại bài tập và phương pháp giải.
5. Nội dung:
A. CƠ SỞ KHOA HỌC:
1.Cơ sở lý thuyết:
1.1, Định nghĩa tích phân:
1.2, Các tính chất:
1
1.3, Bảng nguyên hàm:
1.4, Các phương pháp tính tích phân:
a. Phương pháp biến đổi số.
b. Phương pháp tích phân từng phần.
Trên đây là các kiến thức cơ bản trong chương trình trung học phổ thông.
Ngoài ra cần trang bị thêm cho các em một số kết quả tích phân của hàm số chẵn,hàm
số lẻ:
* Hàm s ố chẵn :
Hàm số f(x) liên tục [-a;a],f(x) là hàm số chẵn khi đó :
∫∫
=
−
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2)(
* Hàm s ố lẻ:
Hàm số f(x) liên tục [-a;a],f(x) là hàm số lẻ khi đó :

0)(
=
∫
−
dxxf
a
a
Phương pháp chứng minh: Đặt t = - x
2.Cơ sở thực tiễn.
Trong một số năm học trước đây khi chưa sử dụng đề tài thì kết quả học tập của
học sinh phần này tương đối thấp.Qua quá trình dạy học ,tôi đã áp dụng đề tài vào các
lớp mà tôi được phân công giảng dạy kết quả đáng khích lệ .Từ chỗ các em thấy rất
khó khăn khi giải các bài toán dạng này ,sau khi được học chuyên đề này học sinh
không còn thấy lo ngại khi làm các bài tập về tích phân nữa ,mà các em lại say mê ,có
hứng thú hơn,tự tin hơn khi làm bài.
B.BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
1. Phương pháp đổi biến số :
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức:
∫∫
=
′
)(
)(
)(
)()].([
bu
au
x
b
a

duufdxuxuf
Trong đó u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K .Hàm số y = f(u) liên tục và sao cho hàm
hợp f[u
(x)
] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K.
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo 2 dạng sau đây:
Dạng 1: Đặt f(x) = t (Đổi hàm số về biến số)
Dạng 2: Đặt x = g(t) (Đổi biến số về hàm số)
Dạng 1:Sử dụng cách đặt t = f(x)
Trước khi làm bài học sinh cần nhận dạng bài tập để lựa chọn cách đặt. Sau khi lựa
chọn phương pháp đặt thì bài toán sẽ đưa về tích phân đơn giản hơn dễ giải hơn
nhưng học sinh cần lưu ý đổi cận. Sai lầm thường mắc phải của học sinh là sau khi đặt
các em quên không đổi cận.Sau đây là một số ví dụ minh hoạ và bài tập tương tự:
Ví dụ 1: Tính tích phân :
dxxI
∫
−=
2
0
3
.48

Hướng dẫn giải
2
Đặt
tx
=−
3
48
dttdxtx

23
3
4
1
48
−=⇒=−⇒

Đổi cận:
20
=⇒=
tx
;
02 =⇒= tx

Khi đó:
3
16
3
4
3
2
0
43
2
0
===
∫
tdttI
. Vậy
3.48

2
0
3
=−
∫
dxx
* Học sinh có thể dùng cách đặt:
tx =− 48
Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm .
Điều quan trọng là học sinh thành thạo sử dụng phép vi phân
dxxfxfad )()]([
′
±=±
.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
dxxxI
∫
=
π
0
sincos
2.
dx
x
xI
e
∫
+=
1

1
ln1

3.
xdxxI cossin41
6
0
∫
+=
π
4.
dx
x
xx
I
e
∫
+
=
1
3
2
ln2ln
Ví dụ 2: Tính tích phân :
∫
−=
1
0
35
1 dxxxI

Hướng dẫn giải
Đặt
tx
=−
3
1
tdtdxxtx 231
223
=−⇒=−⇒
Đổi cận x = 0
1
=⇒
t
; x=1
0
=⇒
t
.Khi đó
I =
45
4
)
5
1
3
1
(
3
2

)
53
(
3
2
)(
3
2
)1(
3
2
1
0
1
0
53
1
0
422
=−=−=−=−
∫ ∫
tt
dttttdttt
Vậy
45
4
1
1
0
35

=−
∫
dxxx
* Có thể giải theo cách khác như đặt
tx
=−
3
1
.Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
3
1.
dxxxI
2
2
0
3
3
.8
∫
−=
2.
∫
−=
1
0
23
1 dxxxI

3.

∫
+=
2
0
32
1 dxxxI
4.
xdxxxI
2
2/
0
6
3
cossin.cos1
∫
−=
π
Ví dụ 3: Tính tích phân :
∫
+
=
1
0
12x
xdx
I

Hướng dẫn giải
Đặt
tx

=+
12

tdtdxtdtdxtx =⇒=⇒=+⇒ 2212
2
Đổi cận: x = 0
1
=⇒
t
; x =1
3
=⇒
t

Khi đó:
2
3
3
1
)
3
(
2
1
)1(
2
1
3
1
3

1
3
2
−=−=−=
∫
t
t
dttI
. Vậy
2
3
3
1
12
1
0
−=
+
∫
x
xdx
*Có thể giải theo cách khác như đặt 2x + 1 = t .Giáo viên yêu cầu học sinh về tự làm.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
dx
x
x
I
∫
+

+
=
3
0
2
1
1
2.
dx
x
x
I
∫
+
=
2
1
3
2
2
3.
dx
xx
I
∫
+
=
2
1
3

1
1

4.
dx
xx
I
∫
=
4
6
2
cotsin
1
π
π
5.
∫
−
=
3ln
2ln
2
1
x
x
e
dxe
I
6.

∫
+
=
4
7
2
9xx
dx
I

7.
∫
+
=
32
5
2
4xx
dx
I
8.
∫
+
=
3
1
2
1ln
.ln
e

xx
dxx
I
9.
∫
−
=
3
2
2
1x
dx
I
Những tích phân có biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn ở mẫu nhưng sử dụng cách
đặt ở trên không được thì ta cần chọn cách đặt khác như:
Ví dụ 4: Tính tích phân :
∫
+
=
1
0
2
4x
dx
I

Hướng dẫn giải
4
Đặt
txx

=++
4
2
dt
t
dx
x
dtdx
x
xx
dtdx
x
x 1
4
1
4
4
)
4
1(
22
2
2
=
+
⇒=
+
++
⇒=
+

+⇒

Đổi cận
20
=⇒=
tx
;
511
+=⇒=
tx
Khi đó
2
51
lnln
51
2
51
2
+
===
+
+
∫
t
t
dt
I
. Vậy
2
51

ln
4
1
0
2
+
=
+
∫
x
dx
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
∫
−
=
3
2
2
1x
dx
I
2.
∫
+
=
1
0
6
2

1x
dxx
I

3.
∫
+
=
1
0
2
ax
dx
I
( a > 0) 4.
∫
−
+++
=
1
1
2
11 xx
dx
I
Ví dụ 5: Tính tích phân :
a.
dxxxxI
∫
=

π
0
2
cossin
b.
dxxxI
∫
=
π
2
0
3
cos
c.
dx
xx
x
I
∫
+
=
2
0
cossin
cos
π
Hướng dẫn giải
a. Đặt
dtdxxt
−=⇒−=

π
Đổi cận
0;0
=⇒==⇒=
txtx
ππ
.Khi đó :
IdxxxdttttdtttdttttI
−=−=−=
∫∫∫∫
ππππ
πππ
0
2
0
2
0
2
0
2
cossincossincossincossin)(
Do đó
3
2
cos
3
1
coscoscossin2
0
3

0
2
0
2
π
πππ
π
ππ
=−=−==
∫∫
xxxddxxxI
.Hay
3
π
=I
b. Đặt
dtdxxt
−=⇒−=
π
2
Đổi cận
02;20
=⇒==⇒=
txtx
ππ
Khi đó
IdxxdtttdttdtttI
−=−=−=
∫∫∫∫
ππππ

πππ
2
0
3
2
0
3
2
0
3
2
0
3
cos2coscos2cos)2(
5
Do đó
0)sin
3
(sin)sin1(cos
2
0
3
2
0
2
2
0
3
=−=−==
∫∫

π
ππ
π
πππ
xinxsxdxdxxI
. Hay
0
=
I
c. Đặt
dtdxtx
−=⇒−=
2
π
Đổi cận
02/;2/0
=⇒==⇒=
txtx
ππ
Khi đó
dx
xx
x
dt
tt
t
I
∫∫
+
=

+
=
2
0
2
0
cossin
sin
cossin
sin
ππ
.Do đó
42
cossin
sin
cossin
cos
2
2
0
2
0
2
0
2
0
ππ
π
πππ
=⇒===

+
+
+
=
∫∫∫
Ixdxdx
xx
x
dt
xx
x
I
* Đối với những bài tập dạng này cần nhắc học sinh chú ý dựa vào cận của tích phân
để lựa chọn cách đặt cho phù hợp.Sau khi đặt xong thường đưa về tích phân ban đầu
hoặc tích phân đơn giản hơn,dễ giải hơn.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
dx
xx
xx
I
∫
+
−
=
2
0
3
)sin(cos
sin4cos5

π
2.
dxxxI )sincos(
2
0
∫
−=
π
3.
dxxI )tan1ln(
4
0
+=
∫
π
4.
dxxxfI
∫
=
π
2
0
)(cos
5.
dx
x
x
I
x
∫

+
+
=
+
2
0
cos1
cos1
)sin1(
ln
π
Ví dụ 6: Tính tích phân :
dx
x
xx
I
∫
+
=
2
0
1cos
2sin.cos
π

Hướng dẫn giải
Đặt
xdxdttx sincos1
−=⇒=+
Đổi cận

12/;20
=⇒==⇒=
txtx
π
Khi đó
dt
t
t
I
∫
−
=
2
1
2
)1(
2
12ln2)ln24()
1
2(2
2
1
2
2
1
−=+−=+−=
∫
tttdt
t
tI

.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
6
1.
dx
x
x
I
∫
+
−
=
4
0
2
12sin
sin21
π
2.
dxxexI
x
∫
+=
4
0
sin
)cos(tan
π

3.

dxxxI
∫
=
3
0
2
tansin
π
4.
dx
xx
x
I
∫
++
=
π
0
1sincos
2cos

5.
dx
xxx
x
I
∫
+++
−
=

4
0
)cossin1(22sin
)
4
sin(
π
π
Ví dụ7: Tính tích phân :
dx
x
I
x
∫
−
+
=
π
π
13
sin
2
.
Hướng dẫn giải
* Ta có
xxf
2
sin)(
=
là hàm số chẵn .Đặt

dtdxtx
−=⇒−=
Đổi cận
ππππ
−=⇒==⇒−=
txtx ;
Khi đó:
Idttdt
t
dttdt
t
dt
t
I
tt
t
t
−=
+
−=
+
=
+
−
=
∫∫∫∫∫
−−−−
−
ππ
π

π
π
π
π
π
π
0
2
2
2
22
sin2
13
sin
sin
13
sin3
13
)(sin
π
π
π
=−=−=⇒
∫
0
0
)2sin
2
1
()2cos1(2 ttdttI

.Do đó
2
π
=
I
* Hoặc đặt
dtdxtx
−=⇒−=
Đổi cận
ππππ
−=⇒==⇒−=
txtx ;
Khi đó:
Idttdt
t
dttdt
t
dt
t
I
tt
t
t
−−=
+
−=
+
=
+
−

=
∫∫∫∫∫
−−−−−
−
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
)2cos1(
2
1
13
sin
sin
13
sin3
13
)(sin
2
2
22

π
π

π
π
π
=−=−=⇒
−
−
∫
)2sin
4
1
2
1
()2cos1(
2
1
2 ttdttI
.Do đó
2
π
=
I
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
dx
x
I
x
∫
−
+

=
2/
2/
2
15
2sin
π
π
2.
dx
xx
I
x
∫
−
+
+
=
4/
4/
66
16
cossin
π
π
7
3.Bài tập tổng quát: Tính tích phân
dx
a
xf

I
b
b
x
∫
−
+
=
1
)(
f(x) liên tục và chẵn [-b;b]
a > 0 ; a khác 1.
* Thông qua một số bài tập trên học sinh trở nên thành thạo hơn trong việc tính tích
phân bằng phương pháp đổi biến số dạng này.
Dạng 2:Sử dụng cách đặt x = g(t)
* Nếu hàm số dưới dấu tích phân chứa căn bậc 2 mà biểu thức trong căn là 1-x
2

hoặc
22
xa
−
(a>0) .Phương pháp chung là:
+ Đặt x = sint hoặc x = asint với







−∈
2
;
2
ππ
t
+ Đặt x = cost hoặc x = acost với






−∈
2
;
2
ππ
t
Vì mối quan hệ trong hệ thức:
1sincos
22
=+
xx
,từ bài toán liên quan đến biểu
thức đại số chuyển về bài toán liên quan đến biểu thức lượng giác đơn giản hơn
dễ giải hơn.
Ví dụ 1: Tính tích phân sau:
∫
−=

1
0
22
1 dxxxI

Hướng dẫn giải
Cách 1:Đặt x= sint






−∈
2
;
2
ππ
t

tdtdx cos
=⇒
Đổi cận x = 0
0
=→
t
;x=1
2
π
=→

t
Khi đó I =
∫∫∫
−
==
2
0
2
0
2
2
0
22
2
4cos1
4
1
2sin
4
1
cossin
πππ
dt
t
tdttdtt

16
)4sin
32
1

8
1
()4cos1(
8
1
2/
1
2
0
π
π
π
=−=−=
∫
ttdtt
. Vậy
16
1
1
0
22
π
=−
∫
dxxx
8
Cách 2: Đặt x= cost







−∈
2
;
2
ππ
t
học sinh tự làm,vì các em đã nhận biết được cách
đổi biến số dạng này.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
∫
−
=
2
2
0
2
2
1
dx
x
x
I
2.
dx
x
x

I
∫
−
=
2
1
2
2
4

3.
∫
−=
1
0
23
1 dxxxI
4.
∫
+=
4
0
2
sin1
cos
tan
π
dxx
x
x

I
* Nếu hàm số dưới dấu tích phân là phân thức có mẫu chứa biểu thức
22
xa
+

hoặc căn bậc hai của
22
xa
+
(a > 0)Phương pháp chung là :
+ Đặt x = a tant với
)
2
;
2
(
ππ
−∈
t
+ Đặt x = a cott với
)
2
;
2
(
ππ
−∈t
Vì mối quan hệ trong hệ thức:
α

α
α
α
2
2
2
2
sin
1
cot1;
cos
1
tan1
=+=+
, mà từ bài
toán liên quan đến đa thức phức tạp các em sẽ chuyển về bài toán dạng lượng
giác đơn giản hơn ,dễ hiểu hơn,dễ giải hơn.
Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
a.
∫
+
=
2
0
2
2x
dx
I
b.
∫

−
++
=
0
1
2
22xx
dx
I

Hướng dẫn giải
a.
∫
+
=
2
0
2
2x
dx
I
Đặt
tx tan2
=
;
)
2
;
2
(

ππ
−∈
t
;
dttdx )tan1(2
2
+=
Đổi cận: x = 0
0
=→
t
;
4
2
π
=→=
tx

9
Khi đó
8
2
2
2
2
2
)tan1(2
)tan1(2
4
0

4
0
4
0
2
2
π
π
ππ
===
+
+
=
∫∫
tdt
t
dtt
I

b.
∫∫
−−
++
=
++
=
0
1
2
0

1
2
1)1(22 x
dx
xx
dx
I
Đặt
tx tan1
=+

)
2
;
2
(
ππ
−∈
t
;
dttdx )tan1(
2
+=
Đổi cận:
01
=⇒−=
tx
;
4
0

π
=⇒=
tx

Khi đó
4
tan1
)tan1(
4
0
4
0
4
0
2
2
π
π
ππ
===
+
+
=
∫∫
tdt
t
dtt
I

* Thông qua ví dụ a,b từ bài toán với các biểu thức đa thức phức tạp các em học sinh

dễ dàng chuyển về bài toán dạng lượng giác đơn giản hơn,dễ giải hơn. Đôi khi giáo
viên có thể hướng dẫn để các em tìm ra quy luật từ đó có thể tự ra các đề bài tương tự
và tự làm.
Bài tập:Tính các tích phân sau:
1.
∫
+
=
1
0
4
1
4
x
xdx
I
2.
∫
+
+
=
1
0
2
2
1
)1(
x
x
e

dxe
I

3.
dx
x
x
xxI )
1
sin(
1
0
32
∫
+
+=
4.
∫
−
++
+
=
1
1
2
52
)12(
xx
dxx
I

* Có những bài tập các em phải dùng đổi biến hai lần như:
Ví dụ 3: Tính tích phân sau:
∫
−
=
2
2
2
1xx
dx
I
Hướng dẫn giải
Đặt
yx
=−
1
2
Đổi cận:
32;12
=⇒==⇒=
yxyx
Ta có:
∫∫
+
=
+
=
3
1

2
3
1
2
1)1( y
dy
yy
ydy
I

10
Đặt
ty tan
=
với
)
2
;
2
(
ππ
−∈t
;
dttdy )tan1(
2
+=
Đổi cận:
4
1
π

=⇒=
ty

3
3
π
=⇒= ty
.Khi đó
12
tan1
)tan1(
3
4
3
4
3
4
2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
+
+
=

∫∫
tdt
t
dtt
I
. Vậy
12
π
=
I
*Với học sinh khá , giỏi ở ví dụ này các em có thể đặt gộp một lần.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
∫
−
=
6
2
2
3xx
dx
I
2.
∫
−
−
=
2
2
2

1xx
dx
I
Ví dụ 4: Tính tích phân sau:
∫
+
+
+
=
2
62
1
4
2
1
)1(
x
dxx
I
Hướng dẫn giải
Ta có
2
2
2
4
2
1
1
1
1

1
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
Đặt
dx
x
dtt
x
x )
1
1(
1
2
+=⇒=−
.
Khi đó
∫
+
=
2
0
2

2t
dt
I
Trở về ví dụ 2a.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
∫
+
=
1
0
6
2
1x
dxx
I
2.
dx
x
x
I
∫
+
+
=
1
0
6
4
1

1
3.
∫
+
+−
+
=
2
51
1
24
2
1
)1(
xx
dxx
I
2.Phương pháp tích phân từng phần
11
Cơ sở của phương pháp tính tích phân từng phần là công thức:
∫∫
′
−=
′
b
a
b
a
b
a

dxxuxvxvxudxxvxu )().()]().([)().(
Trong đó các hàm số u(x);v(x) có
đạo hàm liên tục trên K và a,b là hai số thuộc K.
Vấn đề đặt ra là khi nào thì sử dụng tích phân từng phần ?,các em học sinh thường
hay lúng túng .Vì vậy tôi đã chỉ ra cho các em nhận xét sau để các em khéo léo đặt và
sử dụng đưa bài toán về tích phân đơn giản hơn dễ giải hơn,tạo cho các em say mê
giải toán,và tin tưởng hơn vào khả năng của bản thân
Nhận xét Khi gặp tích phân dạng
∫
=
b
a
dxxQxPI )()(
* Nếu P(x) là đa thức của x ,Q(x) là một trong các hàm số cosx; sinx ;
x
a
thì ta
thường đặt



=
=
dxxQdv
xPu
)(
)(
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a .
∫

+=
1
0
22
)1( dxexI
x
b.
xdxxeI
x 3
2/
0
sin
cossin.
2
∫
=
π
c.
dxxxxI
∫
+−=
4
0
2
2sin)32(
π
d.
dx
xx
I

x
∫
−
+
=
2/
2/
2
12
sin
π
π
Hướng dẫn giải
a. Đặt





=
+=
dxedv
xu
x2
2
)1(
⇒






=
+=
x
ev
dxxdu
2
2
1
)1(2
Khi đó
)1(
4
1
4
1
2
1
.
2
1
2
1
.
2
1
0
2
1

0
2
1
0
2
1
0
2
+=−=−=
∫
eeexdxeexI
xxxx
b. Đặt
xdxxdtxt cossin2sin
2
=⇒=
Đổi cận: x = 0
0
=⇒
t
;
1
2
=⇒=
tx
π

12
dtteI
t

.)1(
1
0
∫
−=
Đặt



=
−=
dtedv
tu
t
1



=
−=
⇒
t
ev
dtdu
Khi đó
2
2
−
=
e

I
c. Đặt



=
+−=
xdxdv
xxu
2sin
32
2





−=
−=
⇒
xv
dxxdu
2cos
2
1
)22(
Ta có
dxxxxxxI
∫
−++−=

4
0
4
0
2
2cos)22(
2
1
2cos)32(
2
1
π
π

dxxxI
∫
−+=
4
0
2cos)1(
2
3
π
Đặt



=
−=
xdxdv

xu
2cos
1
1
1





=
=
⇒
xv
dxdu
2sin
2
1
1
1

Khi đó
4
3
8
2cos
4
1
8
12sin

2
1
2sin)1(
2
1
2
3
4
0
4
0
4
0
+=++=−−+=
∫
ππ
π
π
π
xxdxxxI
Vậy
4
3
8
+=
π
I
d. Ta có
xxxf sin)(
2

=
là hàm số chẵn , đặt x = - t thì
dt
tt
dtttI
t
∫∫
−−
+
−=
2/
2/
2
2/
2/
2
12
sin
sin
π
π
π
π

IdxxxIdxxxdx
xx
dxxx
x
−=−=
+

−=
∫∫∫∫
−−−
2/
0
2
2/
2/
2
2/
2/
2
2/
2/
2
sin2sin
12
sin
sin
ππ
π
π
π
π
π
Do đó
dxxxdxxxI
∫∫
==
2/

0
2
2/
0
2
sinsin
ππ

13
Đặt



=
=
xdxdv
xu
sin
2



−=
=
⇒
xv
xdxdu
cos
2

Khi đó
dxxxdxxxxxI
∫∫
=+−=
2
0
2
0
2
0
2
cos2cos2cos
ππ
π
Đặt



=
=
xdxdv
xu
cos
1
1



=
=

⇒
xv
dxdu
sin
1
1
Ta tính được
2
−=
π
I
Bài tập:Tính các tích phân sau:
1.
∫
+=
1
0
32
)1( dxexI
x
2.
dxxI
∫
=
4
0
sin
π
3.
∫

=
8
0
4cos3
π
xdxxI

4.
dxxxxI
∫
+−=
6
0
2
2sin)342(
π
5.
dxxxI
∫
=
4
0
2
sin
π
6.
∫
=
e
dxxxI

1
2
)ln.(
7.
dx
xx
I
x
∫
−
+
=
4/
4/
2
16
2sin
π
π
* Nếu P(x) là đa thức của x hoặc
n
x
1
(n là một số hữu tỷ tuỳ ý),Q(x) = lnx thì ta
thường đặt



=
=

dxxPdv
xu
)(
ln

Ví dụ : Tính các tích phân sau:
a.
∫
−=
2
1
ln)12( xdxxI
b.
∫
=
2
1
2
ln
x
xdx
I

c.
∫
+−=
e
xdxxxI
1
2

ln)32(
d.
∫
=
3/
6/
2
cos
)ln(sin
π
π
x
dxx
I
Hướng dẫn giải
14
a. Đặt



−=
=
dxxdv
xu
)12(
ln







−=
=
⇒
xxv
dx
x
du
2
1
Khi đó
2
1
2ln2)
2
1
(2ln2)1(ln)(
2
1
2
2
1
2
1
2
−=−−=−−−=
∫
xxdxxxxxI
b. Đặt






=
=
dx
x
dv
xu
2
1
ln







−=
=
⇒
x
v
dx
x
du
1

1
Khi đó
2
1
2ln
2
11
2ln
2
11
ln
1
2
1
2
1
2
2
1
+−=−−=+−=
∫
x
dx
x
x
x
I
c.Đặt




+−=
=
dxxxdv
xu
)32(
ln
2







+−=
=
⇒
xx
x
v
dx
x
du
3
3
1
2
3
Khi đó

18
47
29
2
)3
29
(ln)3
3
()3
3
(ln)3
3
(
23
1
23
1
2
3
1
2
1
2
3
+−=
+−−+−=+−−+−=
∫
ee
x
xx

xxx
x
dxx
x
xxx
x
I
ee
e
e

d. Đặt





=
=
dx
x
dv
xu
2
cos
1
)ln(sin






=
==
⇒
xv
xdxdx
x
x
du
tan
cot
sin
cos
Khi đó
6
4
3
ln3)])ln(sintan[)ln(sintan
3
3/
6/
3/
6/
3/
6/
π
π
π
π

π
π
π
−=−=−=
∫
xxxdxxxI
Bài tập:Tính các tích phân sau:
15
1.
∫
++=
e
xdxxxI
1
2
ln)3(
2.
∫
+
=
e
e
x
xdx
I
/1
2
)1(
ln
3.

∫
+
=
2
1
2
)1ln(
x
dxx
I

4.
∫
+=
2
1
2ln)3( xdxxI
5.
∫
=
10
1
2
log xdxxI
6.
∫
+
−=
1
2

)1ln(
e
dxxxI
* Nếu P(x) =
x
e
,Q(x) là hàm số cosx ; sinx thì ta thường đặt



=
=
dxxQdv
eu
x
)(
hoặc



=
=
dxedv
xQu
x
)(
Đối với bài tập dạng này khi tính tích phân thường phải đặt hai lần khi đặt lần hai phải
chú ý cách đặt lần một .
Ví dụ : Tính các tích phân sau:
a.

∫
=
2
0
2
3cos
π
xdxeI
x
b.
∫
=
1
0
2
)(sin dxxeI
x
π
c.
∫
+
+
=
2
0
cos1
sin1
π
dxe
x

x
I
x

Hướng dẫn giải
a. Cách 1: Đặt



=
=
xdxdv
eu
x
3cos
2

⇒





=
=
xv
dxedu
x
3sin
3

1
2
2

xdxeeI
x
3sin
3
2
3
1
2
0
2
∫
−−=
π
π
Đặt



=
=
xdxdv
eu
x
3sin
1
2






−
=
=
⇒
3
3cos
2
1
2
x
v
dxedu
x

xdxexeeI
xx
3cos
3
2
0
2
)3cos
3
1

3
2
(
3
1
2
0
22
∫
−+
−
=
π
π
π
16
IeIeI
9
4
9
2
3
1
)
3
2
3
1
(
3

2
3
1
−−−=+−−=
ππ
)
3
2
(
3
1
9
13
+−=⇒
π
eI

13
23 +
−=⇒
π
e
I
. Vậy
13
23 +
−=
π
e
I

Cách 2: Đặt



=
=
dxedv
xu
x2
3cos
Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm.
b.
∫∫
−==
1
0
1
0
2
)]2cos(1[
2
1
)(sin dxxedxxeI
xx
ππ
1
1
0
1
0

2
1
)1(
2
1
)2cos(
2
1
2
1
Iedxxee
xx
−−=−=
∫
π
Đặt



=
=
dxedv
xu
x
)2cos(
π

⇒




=
−=
x
ev
dxxdu )2sin(2
ππ
Khi đó
2
1
0
1
01
.21)2sin(2)2cos( IedxxexeI
xx
ππππ
+−=+=
∫
Tính
2
I
: Đặt



=
=
dxedv
xu
x

)2sin(
1
π

⇒



=
=
x
ev
dxxdu )2cos(2
1
ππ
Ta có
1
1
0
1
02
.2)2cos(2)2sin( IdxxexeI
xx
ππππ
−=−=
∫
. Vậy
14
)1(2
2

2
+
−
=
π
π
e
I
.
c. Đặt





=
+
+
=
dxedv
x
x
u
x
cos1
sin1

⇒






=
+
+
+
=
+
++
=
dxedv
dx
x
x
x
dx
x
xx
du
x
)
)cos1(
sin
cos1
1
(
)cos1(
sincos1
22

Ta có:
)
cos1)cos1(
sin
(
cos1
sin1
2
0
2
0
2
2
0
∫∫
+
+
+
−
+
+
=
ππ
π
dx
x
e
dx
x
xe

e
x
x
I
xx
x
17
* Tính
∫
+
2
0
2
)cos1(
sin
π
dx
x
xe
x
Đặt





+
=
=
⇒






+
=
=
x
v
dxedu
dx
x
x
dv
eu
x
x
cos1
1
)cos1(
sin
1
1
2
1
1

Nên
∫∫

+
−
+
=
+
2
0
2
0
2
0
2
cos1cos1)cos1(
sin
π
π
π
dx
x
e
x
e
dx
x
xe
xxx
Do đó
2
0
2

0
2
0
2
cos1cos1)cos1(
sin
π
ππ
x
e
dx
x
e
dx
x
xe
xxx
+
=
+
+
+
∫∫
Vậy
)
cos1)cos1(
sin
(
cos1
sin1

2
0
2
0
2
2
0
∫∫
+
+
+
−
+
+
=
ππ
π
dx
x
e
dx
x
xe
e
x
x
I
xx
x
22

0
2
0
cos1cos1
sin1
πππ
e
x
e
e
x
x
x
x
=
+
−
+
+
=
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
∫
=
2
0
2
3sin
π
xdxeI

x
2.
∫
=
2ln
0
cos xdxeI
x
3.
∫
=
2
1
)cos(ln dxxI
4.
∫
=
2
1
)cos(ln
π
e
dxxI
Ngoài ra còn một số dạng khác như:
Ví dụ : Tính các tích phân sau:
dxxI .1
3
2
2
∫

−=

Hướng dẫn giải
18
Đặt





=
−=
dxdv
xu 1
2
⇒





=
−
=
xv
dx
x
x
du
1

2
Khi đó
∫∫∫
−
−−−−=
−
−−=
3
2
2
3
2
23
2
2
3
2
2
2
3
2
2
1
1
.11
1
1 dx
x
dxxxxdx
x

x
xxI
Do đó
∫
−
−−=
3
2
2
3
2
2
1
1
12 dx
x
xxI
.Tính
∫
−
3
2
2
1
1
dx
x
bằng cách đặt Đặt
txx
=−+

1
2
1
2
−
=⇒
x
dx
t
dt
( làm tương tự như ví dụ 4 dạng 1 của phương pháp
đổi biến số).
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1.
dxxI .9
5
4
2
∫
−=
2 .
dxaxI
a
.
0
22
∫
+=
(a > 0 )
PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM

1.Kết quả nghiên cứu: Khi chưa giảng dạy đề tài này trong quá trình giảng dạy tôi
thấy học sinh hay vướng mắc trong quá trình lựa chọn cách đặt , đứng trước một bài
tập học sinh không biết mình nên đặt như thế nào? . Sau khi nghiên cứu và áp dụng
thực hiện giảng dạy đề tài này cho các em học sinh lớp 12 ,các buổi ôn thi tốt nghiệp,
đại học ,cao đẳng,THCN,các buổi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các năm trước
kết quả thu được đáng khích lệ .Học sinh không còn thấy lo ngại khi làm các bài tập
về tích phân nữa ,mà các em lại say mê ,có hứng thú hơn , đã tự rèn cho bản thân khả
năng tư duy,phát huy được tính sáng tạo,tích cực làm bài tập và tự tin hơn khi chuẩn
bị bước vào các kỳ thi.Sau khi thực hiện đề tài này chất lượng học tập của học sinh
được nâng lên rõ rệt,cụ thể qua kiểm tra đánh giá hàng năm sau khi thực hiện đề tài
này và nhất là năm học 2009-2010 tôi thực hiện đề tài này ở lớp 12K; năm học 2010-
2011 tôi thực hiện đề tài này ở lớp 12M kết quả học tập của học sinh như sau:

19
Kết quả thực nghiệm
Năm học Tổng
số học
sinh
Điểm
108
→
Điểm
85.6
→<
Điểm
5.65
→<
Điểm <5
SL % SL % SL % SL %
2009-2010 45 18 40 21 46,7 4 8,9 2 4,4

2010-2011 45 15 33,4 22 48,9 6 13,3 2 4,4
2.Bài học kinh nghiệm:
Các bài toán về tích phân tương đối khó,lại là bài tập hay có trong các đề thi tốt
nghiệp, đại học ,cao đẳng v v Vì vậy khi giảng dạy phần này giáo viên cần phải:
- Củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan,lựa chọn phương pháp, hệ thống lại
kiến thức ,phương pháp làm bài để các em tiếp thu được tốt hơn.
- Phải cho học sinh tiếp cận với nhiều bài toán,dạng toán khác nhau với nhiều cách
giải ,suy luận khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích ,tư duy theo nhiều hướng để tìm ra lời
giải tối ưu nhất,ngắn gọn nhưng chặt chẽ, logic.
- Phát huy tối đa tính tích cực khả năng sáng tạo,chủ động trong giải toán.
- Động viên, khích lệ học sinh nỗ lực học tập ,rèn luyện.Cần tập trung vào khâu sửa
bài làm của học sinh,kiểm tra, đánh giá,và chữa bài tỉ mỉ cho học sinh,vì rất nhiều học
sinh tiếp thu tốt nhưng khi trình bày thì không chặt chẽ hay bị mất điểm.
Trên đây là một số kinh nghiệm được rút ra từ thực tế giảng dạy. Rất mong được sự
quan tâm ,trao đổi ,đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài
nhằm hoàn thiện hơn,góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán .
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Nga Sơn, ngày 28 tháng 4 năm 2011
Người viết

Mai Thị Quỳnh Hoa
20