Tiểu luận Phân tích và thiết kế thuật toán Tính đầy đủ NP( NP-Completeness )

Đặt vấn đề





 !"#

$% &'(
Nội dung

)*"+ ,)-.)/01023

45*"+ ,67)895.:3

. ;<= ,>)6?3

+5. ,)@A=6?3

. ,)@6.:3
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
.$'C
95 !
)&*"+
$;G;HGB+
95
Thời gian đa thức – Polynomial #me
Thời gian đa thức – Polynomial #me
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
IJ95C

Bài toán trừu tượng Q  5$  + 8
: 2 & K L  minh dụ (instances)
M  5$&KNnghiệmM
J
AO'(C4N6P)QN)RS)6C)B5$
B T U  V "W M "X 8 G
;G%YZ[A\Q]J
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
Bài toán quyết định: E 5$ 5 có
^ khôngJ ) * K 0  
E _ `a5 5$ bài toán quyết định trừu
tượng5$`bc&5'(L &
5de\If
 AO '(C Z[Y\\ \;]  5$ 5 '( M 
0"8S)6J)ECS)6,3Z
gEC[Y\\ ]h5"*
"TUc" J
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
VJ5#E
Phép mã hóa5$&N"Kc
K  5$  `b a c & N  & 
i8:J
AO'(C.ZdI\V\j\kfdeI\Ie\II\kJf
a,Il3ZIeeeI
Bài toán cụ thể: 5&5'(
ME&i8:J
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
…
)&<5$(_
*P,),33C5i5'(E"$

'\&;<*
P,),33J
$(_<"Kthời
gian đa thứcXb&<E
*P,
;
3\;m%J
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
…
Lớp PCn&0"8(_
<"K*"+J
oCde\Ifpde\Ifphàm >nh toán được
theo thời gian đa thứcXb5$&
*"+S5U;7` q
de\Ifpo,`3
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
a
I
 a
V
Eliên quan đa thứcXbo
IV

o
VI
% qLE
o
IV
,a
I

,33Za
V
,3 o
VI
,a
V
,33Za
I
,3

 g  E < "K  *  "
+0;G;G($ 
5#EJ
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
gH"!jrJICsI&cK
2I&5'(L a
I
\a
V

5#EE2"+2LBCa
I
,s3q
 Wa
V
,s3qJ
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
jJ $ ;G ;H .G  B
+
g<Q&hữu hạn ;tuJ

AO'(CQZde\If
)cI'#0MQJ
$Gn2QI&c2QJ
AO'(CnZdee\eI\Ie\IIf
)ciCv
.GiCw
.GX5U<c2QCQp
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
…
QZde\IfJ
g0"s
.GnZd`qQpCs,`3ZIf
)&SU&5$c`qQpC
"@ `\S;<S,`3ZIJ
Sbx`S,`3ZeJ
.Gn"KU&ySC
nZd`qQpCS,`3ZIf
n"KU&yS*"
+Em;%5c`E"$'
"KSU&*P,
;
3
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
$Gn"K0"8y&
SC
`$nSU&` 
`;G$nSbx`J
n"K0"8yS*
"+Em%;%5c
` E "$ '  "K S 0 "8  *

P,
;
3
.*B0C Trương Nữ Thùy Duyên D.E5F
…
rJn
Định nghĩa: nPX5U<
<"K*"+,+
Xb&<0E *
b0"+3J
Zdnqde\IfpCE&S0
"8n*"+f
Định lý 34.2: ZdnG2QCE
&SU&nJJ"JJf
Xác minh thời gian
Xác minh thời gian
đ
đ
a thức
a thức
(Polynomial-#me verGca#on)
(Polynomial-#me verGca#on)
•
Ví dụ: bài toán tìm chu trình Hammilton
I
V
j
rF
Ie
z

{
l|
–
Input: cho đồ thị vô hướng G = (V, E)
–
Output: chu trình chứa mọi đỉnh của G
–
Thời gian giải bài toán: O(n!)
.*B0CHuỳnh Thị Kim Ngân D.E5F
45*đ+,3
•
Các thuật toán xác minh (Vertification algorithms)
–
Chu trình:
–
Chu trình: 1 2  4 3  5  6 
7  8  9  10  1
Thời gian để kiểm chứng:
O(n)
 3
 Đúng
4  5  6  7
 8  9  10  1
I
V
j
rF
Ie
z
{

l|
1 2
 Sai
2  4
.*B0CHuỳnh Thị Kim Ngân D.E5F
VJ45*đ+,3
•
Các thuật toán xác minh (Vertification algorithms)
–
Định nghĩa: Gọi A(x,y) trong đó:
•
x: chuỗi đầu vào thông thường (ordinate)
•
y: chuỗi nhị phân có tên là chứng chỉ [certificate]
Ta nói A xác minh x nếu tồn tại một chứng chỉ y sao cho
A(x,y)=1
–
Ngôn ngữ xác minh bởi một thuật toán xác minh A là:
L = {x ∈ {0,1}* : có tồn tại y ∈ {0,1}* sao cho A(x,y) = 1 }
.*B0CHuỳnh Thị Kim Ngân D.E5F
VJ45*đ+,3
•
Lớp phức NP (The complexity class NP)
•
Là lớp các ngôn ngữ có thể được xác minh bởi một thuật toán
thời gian đa thức.
•
Hay: một ngôn ngữ L thuộc về NP nếu và chỉ nếu ở đó tồn tại
một thuật toán thời gian đa thức A và hằng c sao cho:
L = { x ∈ {0,1}*: ∃y với |y| = O(|x|

c
) sao cho A(x,y) =1 }
•
Lớp phức co-NP (complexity class co-NP)
L
.*B0CHuỳnh Thị Kim Ngân D.E5F
•
Một ngôn ngữ L ∈ co-NP ⇔ ∈ NP
•
x ∈ L ⇔ x ∉ L
•
Phủ định của một bài toán quyết định là sự chuyển đổi câu
trả lời “yes”/ “no” cho mỗi đầu vào so với bài toán khẳng
định.
VJ45*đ+,3
•
Các câu hỏi mở:
–
P = NP?
}C~~•••J05J~€aa5%
–
NP = coNP?
–
P = NP ∩ co-NP?
.*B0CHuỳnh Thị Kim Ngân D.E5F
VJ45*đ+,3
•
Mối quan hệ có thể có giữa P, NP, co-NP
Z.Z•.
.Z•.


•.
.

•.
.
.∩•.

.*B0CHuỳnh Thị Kim Ngân D.E5F

Thuộc về lớp NPkhông rõ có thể thuộc về lớp
P0;GJ
Những bài toán NP có tính chất :
→ NP-đầy đủ (N P-complete)

.bất kỳ5$0E_<
"K*"+Btất cả
$.‚%ƒ"K<*"+J
.*B0C Đoàn Thanh Hòa D.E5F
Phép rút gọn - Reducibility
Phép rút gọn - Reducibility
•
Ngôn ngữ L1 là rút gọn được về ngôn ngữ L2 trong thời
gian đa thức nếu tồn tại một hàm tính toán được theo
thời gian đa thức:
f: {0,1}* > {0,1}* 
x > f(x)
sao cho x Є L1

f(x) Є L2

9"E
oC5
„C&

*"+
…
9tCL1 ≤
p
L2
.*B0C Đoàn Thanh Hòa D.E5F
Bổ đề 3:.nI\nV de\IfpG%⊆
L1 ≤
p
L2BL2Є P(tL1Є P
Chứng minh :
nU0 A
V
  5$ &  *  " + 0
"8L
V
U0F&*"+
5†5fJ%ƒ"^5$
&*"+A
I
0"8L
I
J
Phép rút gọn - Reducibility
Phép rút gọn - Reducibility
.*B0C Đoàn Thanh Hòa D.E5F

•
Ngôn ngữ L⊆ {0,1}* là NP-đầy đủ (Ký hiệu: NPC)
nếu:
IJ nq.
VJ n‡ˆ

n 5n‡q.J
…
.GnNP-khó ,.•'3nx5#"!
;V,;GU<"!;I3J
Lớp NP- đầy đủ (NP-completeness)
Lớp NP- đầy đủ (NP-completeness)
.*B0C Đoàn Thanh Hòa D.E5F