Lý thuyết đồng dư và một số ứng dung

Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một bộ môn khoa học rất trừu tượng, được suy luận một cách
lôgic và là nền tảng cho việc nghiên cứu các bộ môn khoa học khác. Số học là
một phần không thể thiếu và nó chiếm một vai trò khá quan trọng trong bộ
môn này.
Lý thuyết chia hết trong vành số nguyên là một nội dung khá quan trọng
trong phần số học. Hơn nữa, đây cũng là mảng rất khó khăn cho giáo viên và
học sinh trong quá trình dạy và học. Xuất phát từ vấn đề đó, tôi đã tìm tòi,
nghiên cứu, trao đổi và học hỏi ở bạn bè, đồng chí đồng nghiệp và đã tìm ra
chìa khoá để giải quyết vấn đề này. Đó là lý thuyết đồng dư. Năm học 2009-
2010, tôi được sự phân công của các đồng chí trong tổ và đã làm chuyên đề
cụm vấn đề này được nhiều đồng nghiệp quan tâm và chia sẽ. Vì vậy tôi đã
chọn “ Lý thuyết đồng dư và một số ứng dung” làm sáng kiến kinh nghiệm
nhằm trao đổi với bạn bè đồng nghiệp nhiều hơn về lĩnh vực này.
II- CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở lý luận.
Lý thuyết đồng dư được xây dựng trên nền tảng là phép chia trên vành số
nguyên. Là một nội dung được suy luận một cách lôgic, chặt chẽ. Trên cơ sở
lý thuyết đồng dư được hai nhà bác là Ơle và Fécma đã đưa ra 2 định lý rất
nổi tiếng và cố tính ứng dụng rất cao.
2. Cơ sở thực tiễn
Lý thuyết đồng dư sẽ cho ta phương pháp đồng dư, đố là một động tác có
tính chất kỷ thuật giúp chúng ta bổ sung giải quyết vấn đề chia hết trong vành
số nguyên.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu
- Trao đổi qua đồng nghiệp
2
Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông

B. NỘI DUNG
I- ĐỒNG DƯ THỨC
1. Định nghĩa và các điều kiện:
a. Định nghĩa:
Cho m
N
∈
*
; a,b
∈
Z. Nếu a và b khi chia cho m có cùng số dư ta nói: a
và b đồng dư theo môđun m.
Kí hiệu: a
≡
b (mod m)
Hệ thức: a
≡
b (mod m) gọi là đồng dư thức.
Ví dụ: 19
≡
3 (mod 8); -25
≡
3 (mod 4)
b. Các điều kiện tương đương:
1- a
≡
b (mod m)
2- (a - b)

m

3-
Zt
∈∃
sao cho: a = b + m.t.
2. Các tính chất
a. Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập hợp Z có nghĩa là:
1- a
≡
a (mod m)
2- a
≡
b (mod m) => b
≡
a (mod m)
3- a
≡
b (mod m); b
≡
c (mod m) => a
≡
c (mod m)
3
b. Ta có thế cộng từng vế một với nhau theo cùng một môđun.
Cụ thể:
a
i
b
i
(mod m) i = => (mod m)
Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông

3. Các hệ quả
a. a
≡
b (mod m) => a
±
c
≡
b
±
c (mod m)
b. a + c
≡
b (mod m) => a
≡
b - c (mod m)
c. a
≡
b (mod m) => a + k.m
≡
b (mod m)
d.
e. a
≡
b (mod m) => a
n

≡
b
n
(mod m)

Nn
∈∀
f. Cho f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ . . . +a
1
x + a
0

Za
i
∈∀
. Nếu
α

≡
β
(mod m) thì
ta cũng có f(
α
)
≡
f(
β

) (mod m)
Đặc biệt: f(
α
)
≡
0 (mod m) thì ta cũng có: f(
α
+ k.m)
≡
0 (mod m)
Zk
∈∀
g.
h.
4
c. Ta có thế nhân từng vế với nhau
nhiều đồng dư thức theo cùng một
môđun.
Cụ thể: a
i
b
i
(mod m);i =
=> (mod m);
a b (mod m) => a.c b.c (mod m)
Ta có thể chia cả hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung của
chúng nguyên tố với môđun.
Cụ thể là:
a.c b.c (mod m); ƯCLN (c; m) =1 => a b (mod m)
1. Ta có thể nhân cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với

cùng một số nguyên dương.
Cụ thể là:
a b (mod m) => a.c b.c (mod m.c)
2. Ta có thể chia cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với
cùng một ước dương của chúng.
Cụ thể là:
a b (mod m); 0 < c ƯC (a; b; m) => a/c b/c (mod m/c)
Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông
k. Nếu 2 số a và b đồng dư với nhau thêo nhiều môđun thì chúng đồng dư với
nhau theo môđun là bội chung nhỏ nhất của môđun ấy.
Cụ thể là:
a
≡
b (mod m
i
), i =
n,1
=> a
≡
b (mod m).
Trong đó: m = BCNN(m
1
, m
2
… m
n
)
l. Nếu a và b đồng dư với nhau theo môđun m thì chúng cũng đồng dư với
nhau theo môđun là ước dương của m.
Cụ thể là:

a
≡
b (mod m); 0 < ∂
∈
Ư(m) => a
≡
b (mod ∂ )
u. Nếu: a
≡
b (mod m) thì: ƯCLN( a; m) = ƯCLN( b; m).
II- ĐỊNH LÝ ƠLE VÀ ĐỊNH LÝ FÉCMA
5
Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông
1. Định lý Ơle
a. Hàm số Ơle- µ(m)
Cho hàm số µ(m) được xác định như sau:
- m = 1 ta có: µ(m) = 1
- m > 1 thì µ(m)là các số tự nhiên không vượt quá m – 1 và nguyên tố với m
b. Công thức tính µ(m)
b.1 m = p
α
( p là số nguyên tố, α là số tự nhiên khác 0)
Ta có:
µ(m) = µ(p
α
) = p
α
(1
p
1

−
)
b.2 m =
n
n
pppp
αααα

31
3
2
21
(p
i
là các số nguyên tố, α
1
là số tự nhiên khác 0

).
Ta có: µ(m) = m (1
1
1
p
−
)(1
2
1
p
−
)(1

3
1
p
−
)…(1
n
p
1
−
)
c.
2.
6
Định lý Ơle
Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố với
m.
Khi ấy ta có:
(mod m)
Định lý Fécma
Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông
III - MỘT SỐ ỨNG DỤNG
1. Tìm số dư trong phép chia
Ví dụ1: Tìm số dư trong phép chia: 2945
5
– 3 chia cho 9
Giải: Ta có: 2945
≡
2 (mod 9)
=> 2945
5

– 3
≡
2
5
– 3 (mod 9)
Mà 2
5
– 3
≡
2 (mod 9)
Vậy số dư của 2945
5
– 3 chia cho 9 là 2
Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia 109
345
chia cho 14
7
- Định lý Fécma 1
Cho p là một số tự nhiên khác và a là một số nguyên
không chia hết cho m.
Khi ấy ta có:
a
p - 1
1 (mod p)
- Định lý Fécma 2
Cho p là một số nguyên tố, a là một số nguyên bât kỳ.
Khi ấy ta có:
a
p - 1
a (mod p)

Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông
Giải:
Ta có: 109
≡
-3 (mod 14)
=> 109
345

≡
(-3)
345
(mod 14)
Ta lại có: ( -3; 14 ) = 1
Hơn nữa: µ(14) =
6)
7
1
1)(
2
1
1.(14 =−−
Nên: (-3)
6

≡
1 (mod 14) (theo đ ịnh l ý Ơle)
=> (-3)
345

≡

(-3)
3
(mod 14)
Mặt khác: (-3)
3
= -27
≡
1 (mod 14)
Vậy số dư trong phép chia 109
345
chia cho 14 là 1
Ví dụ 2:Tìm số dư trong phép chia: (1997
1998
+ 1998
1999
+1999
2000
)
10
chia cho
111
Giải: Ta có: 1998
≡
0 (mod 111)
=> 1997
≡
-1 (mod 111) và 1999
≡
1 (mod 111)
Nên ta có: 1997

1998
+ 1998
1999
+1999
2000

≡
2 (mod 111)
(1997
1998
+ 1998
1999
+1999
2000
)
10

≡
2
10
(mod 111)
Mặt khác ta có: 2
10
= 1024
≡
25 (mod 111)
Vậy (1997
1998
+ 1998
1999

+1999
2000
)
10
chia cho 111 có số dư là 25
2. Chứng minh chia hết
Ví dụ 1: Chứng minh: 3
100
– 3 chia hết cho 13
Giải.
Ta có: 3
3
= 27
≡
1 (mod 13)
=> 3
100
= 3.3
99

≡
3.1 (mod 13)
=> 3
100
- 3
≡
0 (mod 13). Vậy 3
100
-3 chia hết cho 13
Ví dụ 2: Chứng minh 6

2n + 1
+ 5
n + 2
chia hết cho 31 voíư mọi n là số tự nhiên
8
Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông
Giải:
Ta có: 6
2

≡
5 (mod 31) => 6
2n

≡
5
n
(mod 31)
Mặt khác: 6
≡
- 5
2
(mod 31)
Nên: 6
2n + 1

≡
-5
n + 2
(mod 31)

Vậy 6
2n + 1
+ 5
n + 2
chia hết cho 31.
Ví dụ 3: Chứng minh
1132
14
3

+
+n
với n là số tự nhiên
Giải: Ta có: µ(11) = 10; µ(10) =
)
5
1
1)(
2
1
1(10 −−
= 4.
Áp dụng ĐL Ơle ta có: (3; 10) = 1 =>
µ(10)
3

≡
1 (mod 10)
<=> 3
4

≡
1 (mod 10) => 3
4n + 1

≡
3 (mod 10)
Đặt 3
4n + 1
= 10.k + 3 với k
∈
N.
Khi đó ta có:
3232
1.103
14
+=+
+
+
k
n
Áp dụng định lý Ơle ta có: (2; 11) = 1
Nên
µ(11)
2

≡
1 (mod 11)
<=> 2
10

≡
1 (mod 11) => 2
10.k +3

≡
2
3
(mod 11)
=> 2
10.k +3
+ 3
≡
2
3
+3 (mod 11) <=>
32
14
3
+
+
n
≡
0 (mod 11)
Vậy
1132
14
3

+

+n
3. Tìm chữ số tận cùng
Ví dụ 1: Tìm 2 chữ số tận cùng của 2009
2010
Giải: Ta có: 2009
2010

≡
9
2010
(mod 100)
Áp dụng định lý Ơle ta có: (9; 100) =1
Nên:
µ(100)
9
≡
1 (mod 100). Mà µ(100) =
40)
5
1
1)(
2
1
1.(100 =−−
Hay: 9
40
≡
1 (mod 100) => 9
2010

≡
9
10
(mod 100)
Mà 9
10
= 3486784401
≡
1 (mod 100).
Vậy 2 chữ số tận cùng của 2009
2010
là 01.
9
Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông
Ví dụ 2: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2
1954
Giải: Ta thấy (2; 1000) = 2 nên chưa thể áp dụng trực tiếp định lý Ơle được.
Ta có: (2
1954
; 1000) = 8.
Ta xét 2
1951
chia cho 125
Áp dụng định lý Ơle ta có: (2; 125) = 1
Nên:
µ(125)
2
≡
1 (mod 125). Mà µ(125) =
25)

5
1
1(125 =−
Hay: 2
25

≡
1 (mod 125) => 2
1951

≡
2 (mod 125)
=> 2
1951
. 2
3

≡
2.2
3
(mod 125.2
3
) <=> 2
1954

≡
16 (mod 1000)
Vậy 3 chữ số tận cùng của 2
1954
là 016

Ví dụ 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của
9
9
9
Giải:
Áp dụng định lý Ơle ta có: (9; 100) = 1; µ(100) = 40;
=> 9
40

≡
1 (mod 100).
(
*
)
Mặt khác ta có: 9
2

≡
1 (mod 40) => 9
9

≡
9 (mod 40).
Đặt 9
9
= 40.k + 9 với k
∈
N
(
**

)
Từ (*) và (**) suy ra:
9
9
9
≡
9
9
(mod 100)
Mà: 9
9
= 387420489
≡
89 (mod 100)
Vậy 2 chữ số tận cùng của
9
9
9
là 89
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
10
Lý thuyÕt ®ång d vµ mét sè øng dông
I- KẾT LUẬN
Lý thuyết đồng dư là một mảng kiến thức khá rộng và tương đối phức tạp.
Tuy nhiên khả năng ứng dụng của nó thì rất rộng và có tính ưu việt cao. Nó
phục vụ rất nhiều trong quá trình giảng dạy môn Toán THCS. Hơn nữa từ lý
thuyết đồng dư mở sẽ cho ta các lĩnh vực khác. Ví dụ như: Phương trình vô
định, Lý thuyết chia hết trong vành đa thức Z(x), Vì vậy trong sáng kiến
kinh nghiệm này tôi không thể đưa ra hết được.
“Lý thuyết đồng dư và một số ứng dụng” là một điều tôi đang nung nấu và

hoàn thiện hơn nưa. Trong sáng kiến này chắc chắn còn nhiều vấn đề chưa
đầy đủ. Vì vậy tôi kính mong quý vị, bạn bè đồng nghiệp góp ý chia sẽ để
càng hoàn thiện hơn.
II- Ý KIẾN KIẾN NGHỊ
Trong nhiều năm qua, cùng với sự quan tâm giúp đỡ của các cơ quan về
nhiều mặt cho ngành giáo dục và cùng với sự phát triển nhanh của công nghệ
thong tin. Các sáng kiến kinh nghiệm của nhiều giáo viên cũng ngày càng có
chất lượng. Tuy nhiên khả năng trao đổi, phạm vi ứng dụng chưa được rộng
rải và nhiều ý tưởng hay chưa đến với tất cả mọi giáo viên và học sinh nhằm
biến các ý tưởng đó thành hiện thực. Vì vậy tôi kính mong Phòng GD-ĐT, Tổ
chuyên môn phòng nên tạo điều kiện để các sáng kiến, ý tưởng hay có thể đến
với tất cả các giáo viên và học sinh, bằng cách có thể in ấn, đưa lên trang Web
nội bộ của phòng để các ý tưởng đó trở thành hiện thực và có ý nghĩa hơn.
11