SKKN HƯỚNG DẪN TẠO BÀI GIẢNG ELEARNING VỚI PHẦN MỀM MASTER ELEARING

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Giúp học sinh học tốt dạng toán “Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức ”
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong 3 năm học gần đây BGD - ĐT tổ chức một sân chơi mới cho học sinh đó
là "Giải toán trên mạng". Trong quá trình tổ chức cho học sinh tham gia thi "Giải
toán trên mạng " tôi thấy dạng toán xuất hiện nhiều và khó đối với trò đó là "Tìm
chữ số tận cùng của một tích", đối với các dạng toán khác học sinh được làm
quen nhiều với phương pháp giải, giáo viên cũng đã có nhiều kinh nghiệm về
hướng dẫn học sinh. Song dạng toán "Tìm chữ số tận cùng của một tích", qua
tham khảo nhiều tài liệu tôi nhận thấy chưa có tài liệu nào hướng dẫn cụ thể, có
chăng chỉ là những dạng đơn giản như:
Ví dụ: Không thực hiện phép tích, hãy cho biết chữ số hàng đơn vị của mỗi kết quả
sau:
123 x 235 x 347 x 459 x 561 - 71 x 75 x 77 x 79
Còn đối với dạng toán tìm chữ số tận cùng của tích : 1993 x 1993 x x 1993 ( có
100 thừa số 1993 ).Dạng toán này xuất hiện nhiều ở vòng thi cấp Tỉnh, qua tham
gia thi nhiều em rất khá toán, các dạng bài đều làm tốt song khi gặp phải dạy bài
"Tìm chữ số tận cùng của một tích" học sinh bế tắc và bị mất điểm ở bài này.
Qua nghiên cứu tôi đã hệ thống đưa ra phương pháp giải dạng toán "Tìm chữ số
tận cùng của một biểu thức " để giúp học sinh học tốt dạng toán này .
PHẦN II. THỰC TRẠNG VÀ GIẢI PHÁP
1. Thực trạng
- Qua nghiên cứu chương trình Toán bồi dưỡng lớp 4 - 5 tôi nhận thấy dạng bài
"Tìm chữ số tận cùng của một biểu thức" đơn giản nhưng học sinh lại làm thiếu
tính logíc của toán học.
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của biểu thức sau:
123 x 346 x 459 x 561 - 71 x 73 x 77 x 79
Học sinh A làm: Tính kết quả 123 x 346 x 459 x 561
Tính kết quả: 71 x 73 x 77 x 79
Lấy hai kết quả trừ cho nhau để tìm chữ số tận cùng.
1

Học sinh B làm: Tính kết quả: 3 x 5 x 7 x 9 x 1 được chữ số tận cùng
Tính kết quả: 1 x 3 x 5 x 7 x 9 được chữ số tận cùng
Lấy hai chữ số tận cùng trừ cho nhau được chữ số tận cùng
của biểu thức.
- Với bài toán đơn giản nhưng học sinh A làm như vậy mất thời gian, kết quả số
to, chưa tối ưu.
- Học sinh B nhận xét tìm kết quả của chữ số tận cùng của từng tích nó nhanh hơn
nhưng còn rườm.
- Còn đối với những bài phức tạp chẳng hạn:
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của tích sau:
1993 x 1993 x x 1993
100 thừa số 1993
Thì học sinh và giáo viên chưa tìm được phương pháp giải. Từ thực trạng trên qua
nghiên cứu tôi đã đưa ra phương pháp giải cho dạng toán này như sau:
2. Giải pháp
* Dạng 1: Tìm chữ số tận cùng của các biểu thức đơn giản gồm có nhiều phép
tính.
Ví dụ: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả
sau:
a. (2001 + 2002 + 2003 + + 2009) - (21 + 32 + 43 + + 98 + 19)
Nhận xét:
- Chữ số hàng đơn vị của tổng 2001 + 2002 + 2003 + + 2009 và tổng 21 +
32 + 43 + + 98 + 19 đều bằng chữ số hàng đơn vị của tổng 1 + 2 + + 9 và
bằng 5.
- Cho nên hiệu trên có chữ số hàng đơn vị là 0
b. (12 + 23 + 34 + + 89 + 91) x 91 x 73 x 55 x 37 x 19
Nhận xét:
- Tổng 12 + 23 + 34 + + 89 + 91 có chữ số hàng đơn vị bằng chữ số hàng
đơn vị của tổng 1 + 2 + + 9 và bằng 5.
- Tích 91 x 73 x 55 x 37 x 19 có chữ số hàng đơn vị bằng 5.

2
Cho nên chữ số hàng đơn vị của tích trên bằng 5.
c. 1 x 3 x 5 x x 99
- Vì trong tích có thừa số bằng và các thừa số còn lại đều là số lẻ nên chữ số
tận cùng của tích bằng 5.
d. 6 x 16 x 116 x 1216 x 11996
- Chữ số tận cùng của tích chính bằng tích các chữ số tận cùng hàng đơn vị các
thừa số 6 x 6 x 6 x 6 x 6 chính bằng 6.
e. 31 x 41 x 51 x 61 x 71 x 81 x 91
- Chữ số tận cùng của tích chính bằng tích chữ số tận cùng hàng đơn vị các thừa số
và chính bằng 1.
Từ các ví dụ trên, qua hướng dẫn học sinh cách giải cụ thể của từng bài ta rút ra
kết luận :
+ Những chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các
chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng đó.
+ Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số
hàng đơn vị của các thừa số trong tích đó.
+ Tổng 1 + 2 + 3 + + 9 chữ số tận cùng bằng 5.
+ Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
+ Tích a x a không thể có chữ số tận cùng bằng 2; 3; 7; 8
+ Tích các chữ số tận cùng của các thừa số có hàng đơn vị là 1 luôn bằng 1.
+ Tích các chữ số tận cùng của các thừa số có hàng đơn vị là 5 luôn bằng 5.
+ Tích các chữ số tận cùng của các thừa số có hàng đơn vị là 6 luôn bằng 6.
+ Những tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 0 thì chữ số tận cùng của
tích là 0.
→ Vậy chữ số hàng đơn vị của các thừa số đề là 2, 3, 4, 7, 8, 9 thì chữ số tận cùng
của tích là bao nhiêu?
Dựa trên những nhận xét cơ bản trên ta xét các tích sau:
* Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của các tích có các thừa số bằng nhau
1.Tích của các thừa số có chữ số hàng đơn vị bằng 2.

VD1: Tìm chữ số tận cùng của tích:
3
A
1
= 2 x 2 x 2 x x 2
100 thừa số 2
Nhận xét:
- (2 x 2 x 2 x 2) có chữ số hàng đơn vị là 6
- Mỗi nhóm có 4 thừa số 2 có 100 thừa sơ thì sẻ có : 100 : 4 = 25 (nhóm)
- Chữ số tận cùng của 1 nhóm là 6, nên tích của 25 nhóm sé có chữ số tận cùng là
6
A
2
= 2 x 2 x 2 x x 2
101 thừa số 2
Nhận xét tương tự A
1
, ta có: 101 : 4 = 25 (nhóm) dư 1 (thừa số 2)
25 nhóm có chữ số tận cùng là 6 và 6 x 2 có chữ số tận cùng là 2.
Vậy: A
2
có chữ số tận cùng là 2.
A
3
= 2 x 2 x 2 x x 2
102 thừa số 2
Nhận xét:
- 102 : 4 = 25 dư 2
- Vậy với 25 nhóm sẽ có chữ số tận cùng là 6. Tích A
3

có chữ số tận cùng là tích
của 6 x 2 x 2 do đó A
3
chữ số tận cùng của tích là 4
A
4
= 2 x 2 x 2 x x 2
103 thừa số 2
Nhận xét:
- 103 : 4 = 25 dư 3
- Chữ số tận cùng của tích A
4
chính là cữ số tận cùng của tích 6 x 2 x 2 x 2 do đó
A
4
có chữ số tận cùng là 8.
Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 2 khi:
+ Số thừa số chia hết cho 4 thì tích có chữ số tận cùng là 6
+ Số thừa số chia cho 4 dư 1 thì tích có chữ số tận cùng là 2
+ Số thừa số chia cho 4 dư 2 thì tích có chữ số tận cùng là 4
+ Số thừa số chia cho 4 dư 3 thì tích có chữ số tận cùng là 8
2. Xét với những tích có các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 3, ta có:
4
Ví dụ:
B
1
= 13 x 13 x x 13
100 thừa số 13
Nhận xét:
- (13 x 13 x 13 x 13) tích 4 thừa số 13 có chữ số tận cùng là 1

- Mà 100 : 4 = 25
- Vậy một nhóm tích có chữ số tận cùng là 1, với 100 thừa số 13 có 25 nhóm nên
chữ số tận cùng của tích B
1
l 1.à
B
2
= 13 x 13 x x 13
101 thừa số 13
Nhận xét tương tự B
1
ta có: 101: 4 = 25 dư 1
Vậy chữ số tận cùng của tích B
2
chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 3 đó chính là
3.
B
3
= 13 x 13 x x 13
102 thừa số 13
Nhận xét tương tự B
1
ta có: 102: 4 = 25 dư 2
Vậy chữ số tận cùng của tích B
3
chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 3 x 3 đó
chính là 9.
B
4
= 13 x 13 x x 13

103 thừa số 13
Nhận xét tương tự B
1
ta có: 103: 4 = 25 dư 3
Vậy chữ số tận cùng của tích B
4
chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 3 x 3 x 3 đó
chính là 7.
Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 3 khi:
+ Số thừa số chia hết cho 4 thì tích có chữ số tận cùng là 1
+ Số thừa số chia cho 4 dư 1 thì tích có chữ số tận cùng là 3
+ Số thừa số chia cho 4 dư 2 thì tích có chữ số tận cùng là 9
+ Số thừa số chia cho 4 dư 3 thì tích có chữ số tận cùng là 7
3. Xét với những tích có chữ số hàng đơn vị của các thừa số là 4
Ví dụ:
5
C
1
= 124 x 124 x 124 x x 124
100 thừa số 124
Nhận xét:
- 124 x 124 tích này có chữ số hàng đơn vị là 6.
- Mà 100 : 2 = 50, mỗi nhóm có chữ số hàng đơn vị của tích là 6, có 100 thừa số
124 thì sẽ có 50 nhóm có chữ số hàng đơn vị là 6.
Vậy chữ số hàng đơn vị của tích C
1
là 6
C
2
= 124 x 124 x 124 x x 124

101 thừa số 124
Nhận xét tương tự C
1
ta có: 101 : 2 = 50 dư 1
Vậy chữ số tận cùng của tích C
2
chính là chữ số tận cùng của tích 6 x 124 đó chính
là 4.
Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 4 khi:
+ Số thừa số chia hết cho 2 thì tích có chữ số hàng đơn vị là 6
+ Số thừa số chia cho 2 dư 1 thì tích có chữ số hàng đơn vị là 4
4. Xét chữ số tận cùng của tích có chữ số hàng đơn vị của các thừa số là 7.
Ví dụ:
D
1
= 107 x 107 x x 107
100 thừa số 107
Nhận xét:
- (107 x 107 x 107 x 107) với 4 thừa số 107 tích có chữ số hàng đơn vị là 1.
- Mà 100 : 4 = 25
Vậy có 25 nhóm, mỗi nhóm có chữ số hàng đơn vị là 1. Nên chữ số hàng đơn vị
của tích D
1
là 1.
D
2
= 107 x 107 x x 107
101 thừa số 107
Nhận xét tương tự D
1

ta có: 101 : 4 = 25 dư 1
Vậy chữ số tận cùng của tích D
2
chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 107 đó chính
là 7.
D
3
= 107 x 107 x x 107
6
102 thừa số 107
Nhận xét tương tự D
1
ta có: 102 : 4 = 25 dư 2
Vậy chữ số tận cùng của tích D
3
chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 107 x 107 đó
chính là 9.
D
4
= 107 x 107 x x 107
103 thừa số 107
Nhận xét tương tự D
1
ta có: 103 : 4 = 25 dư 3
Vậy chữ số tận cùng của tích D
4
chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 107 x 107 x
107 đó chính là 3.
Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 7 khi:
+ Số thừa số chia hết cho 4 thì tích có chữ số tận cùng là 1

+ Số thừa số chia cho 4 dư 1 thì tích có chữ số tận cùng là 7
+ Số thừa số chia cho 4 dư 2 thì tích có chữ số tận cùng là 9
+ Số thừa số chia cho 4 dư 3 thì tích có chữ số tận cùng là 3
5. Xét tích có chữ số hàng đơn vị các thừa số là 8
Ví dụ:
E
1
= 158 x 158 x x 158
100 thừa số 158
Nhận xét:
- (158 x 158 x 158 x 158) với 4 thừa số 158 tích có chữ số tận cùng là 6
- Mà 100 : 4 = 25
Vậy có 25 nhóm, mỗi nhóm có chữ số tận cùng là 6 nên tích E
1
có chữ số tận cùng
là 6
E
2
= 358 x 358 x x 358
101 thừa số 358
Nhận xét tương tự E
1
ta có 101 : 4 = 25 dư 1
Vậy chữ số tận cùng của E
2
chính là chữ số tận cùng của tích 6 x 358 đó chính là 8.
E
3
= 278 x 278 x x 278
102 thừa số 278

Nhận xét tương tự E
1
ta có 102 : 4 = 25 dư 2
7
Vậy chữ số tận cùng của E
3
chính là chữ số tận cùng của tích 6 x 278 x 278 đó
chính là 4.
E
4
= 1998 x 1998 x x 1998
103 thừa số 1998
Nhận xét tương tự E
1
ta có 103 : 4 = 25 dư 3
Vậy chữ số tận cùng của E
4
chính là chữ số tận cùng của tích 6 x 1998 x 1998 x
1998 đó chính là 2.
Kết luận: Với tích các thừa số có chữ số hàng đơn vị là 8 khi:
+ Số thừa số chia hết cho 4 thì tích có chữ số tận cùng là 6
+ Số thừa số chia cho 4 dư 1 thì tích có chữ số tận cùng là 8
+ Số thừa số chia cho 4 dư 2 thì tích có chữ số tận cùng là 4
+ Số thừa số chia cho 4 dư 3 thì tích có chữ số tận cùng là 2
6. Xét tích có chữ số hàng đơn vị các thừa số là 9
Ví dụ:
M
1
= 1259 x 1259 x x 1259
100 thừa số 1259

Nhận xét:
- 1259 x 1259 tích này có chữ số tận cùng là 1.
- Mà 100 : 2 = 50
Vậy có 50 nhóm, mỗi nhóm có chữ số hàng đơn vị là 1 nên tích M
1
chính là chữ số
tận cùng là 1.
M
2
= 359 x 359 x x 359
999 thừa số 359
Nhận xét tương tự M
1
ta có: 999 : 2 = 499 dư 1
Vậy chữ số tận cùng của tích M
2
chính là chữ số tận cùng của tích 1 x 359 đó
chính là 9.
Kết luận: Với tích có chữ số hàng đơn vị là 9 có chữ số tận cùng của tích là 1 khi
số thừa số là chẵn, có chữ số tận cùng là 9 khi số thừa số của tích là số lẻ.
8
PHẦN III: KẾT LUẬN
- Qua nghiên cứu các ví dụ và tìm hiểu để đưa ra phương pháp chung của
những bài toán dạng "Tìm chữ số tận cùng của biểu thức" tôi đã vận dụng và
giúp học sinh trong khi học, giáo viên trong khi dạy có thêm kinh nghiệm để giải
các bài toán phức tạp. Đặc biệt giúp học sinh giỏi giải toán trên mạng các vòng thi
cấp Tỉnh tìm ra đáp số một cách nhanh và hiệu quả. Các em không còn bỡ ngỡ,
mất điểm mỗi khi gặp dạng toán này.
PHẦN IV: KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
- Thực tế đây chỉ là những phương pháp và một số dạng cơ bản của "Tìm

chữ số tận cùng của một biểu thức" bản thân tôi đã nghiên cứa hướng dẫn học
sinh.
- Rất mong bạn đọc tham khảo, góp ý, bổ sung để giúp tôi có thêm nhiều
kinh nghiệm, bài học để góp phần trong nâng cao chất lượng môn Toán cho học
sinh Tiểu học.
Tác giả
Trần Thị Bích
9