Khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Đề tài: Khắc phục hiện tượng phương sai của sai số
thay đổi
Lời nói đầu

Trong việc tính toán các giá trị ước lượng bình phương tối thiểu thông
thường(OLS) cũng như các giá trị ước lượng cực đại(MLE), chúng ta đã thiết
lập giả thuyết cho rằng các số hạng sai số Ui có phân phối giống nhau với giá
trị trung bình bằng không và phương sai δ2 như nhau. Gỉa thuyết phương sai
bằng nhau được hiểu là phương sai của sai số không đổi(có nghĩa là phân tán
như nhau). Phương sai δ2 là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của các
số hạng sai số t, xung quanh giá trị trung bình 2ero. Một cách tương đương,
đó là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của giá trị biến phụ thuộc quan
sát được (Y) xung quanh đường hồi quy β1 + β2Y2 +…+ βkk. Phương sai của
sai số không đổi có nghĩa là mức độ phân tán như nhau cho tất cả các quan
sát.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp thông thường có liên quan đến những dữ
liệu chéo, giả thuyết này có thể sai, gây ra hiện tượng phương sai của sai số
thay đổi. Nhóm chúng tôi sẽ đi sâu vào nghiên cứu vấn đề khắc phục hiện
tượng phương sai của sai số thay đổi.

I, Phương sai của sai số thay đổi.
Khi xét mẫu hàm hồi quy tuyến tính(MHHQTT) cổ điển ta có giả thiết rằng:
Phương sai của mỗi một ngẫu nhiên Ui trong điều kiện giá trị đã cho của biến
giải thích Xi là không đổi, hay:
Var(Ui / Xi) = E[Ui - EUi]2 = E(Ui)2 = δ2 i=(1,n)∀
Hiện tượng phương sai có điều kiện của Yi thay đổi khi Xi thay đổi hay
E(Ui)2 = δ2
(các δ2 khác nhau), là hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.

II, Nguyên nhân của phương sai của sai số thay đổi.
- Do bản chất của mối quan hệ kinh tế VD: mối quan hệ giữa thu

nhập và tiết kiệm.
- Do kỹ thuật thu nhập, xử lý số liệu được cải tiến thì δ2 có xu
hướng giảm dần.
- Do việc tích lũy kinh nghiệm từ quá khứ.
- Do việc thu thập dữ liệu chưa chuẩn xác.
- Do mô hình định dạng sai. Có thể do bỏ sót biến thích hợp hoặc
dạng giải tích của hàm là sai.

III, Hậu quả.
1
- Các ước lượng theo phương pháp OLS không còn là ước lượng
hiệu quả nữa(không còn blue),
- Ước lượng của các phương sai sẽ bị chênh, do đó các kiểm định
mức ý nghĩa và khoảng tin cậy dựa theo phân phối t và F không còn ý
nghĩa nữa.
Vì quan tâm của chúng ta chủ yếu là hệ số góc β2 cho nên để đơn giản ta xét
mô hình không có hệ số chặn sau:
Yi = βiXi + Ui (a)
Trong đó Ui là ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện:
• E(Ui) = 0
• Cov(Ui, UJ) = 0
• Var(Ui) = δ2
Theo phương pháp bình phương nhỏ nhất ta được ước lượng bình phương
nhỏ nhất của β2 là:
β2 = i=1nXiYii=1nXi2 = i=1nkiYi : trong đó ki = Xii=1nXi2.
Vậy β2 vẫn tuyến tính theo Yi. Mặt khác từ Yi = β2Xi + Ui ta suy ra:
β2 = i=1nXiYii=1nXi2 = i=1nXi(β2Xi + Ui)i=1nXi2 = β2 +
i=1nXiUii=1nXi2.
Vì E(Ui) = 0 và X không phải ngẫu nhiên nên E(β2) = β2, vậy β2 là ước
lượng không chệch của β2.

Ta tính được:
Var(β2*) = i=1nXi2δi2i=1nXi22 (b)
Với: β2* = i=1nWii=1nWiXiYi-i=1nWiXii=1nWiYii=1nWii=1nWiXi2-
i=1nWiXi2 (c)
(cách làm tương tự như đã nói ở trên).
Bây giờ chúng ta thực hiện đánh trọng số cho quan sát thứ i là 1Zi trong đó
Zi thỏa mãn điều kiện Zi2 = δi2 / δ2 (δ2 là hằng số). (Lưu ý rằng phép biến
đổi ở đây tổng quát hơn ở trên một chút vì chỉ cần đặt δ2 = 1 ta được ngay Zi
= 1/ Wi). Ta sử dụng β* để chỉ ước lượng tham số của mô hình đã biến đổi.
Lúc đó (c) có thể viết lại là:
YiZi = β2XiZi + UiZi . (d)
Đặt Vi = UiZi, khi đó
E(Vi)2 = E(UiZi)2 = E(Ui2)Zi2; E(Vi)2 = δi2Zi2 = δ2.
Hồi quy mẫu của (d) có dạng:
YiZi =β2* XiZi + Vi,
Ưowc lượng bình phương nhỏ nhất của (a) như đã biết đó là ước lượng bình
phương nhỏ nhất có trọng số và ta ký hiệu là β2* thì:
β2* = i=1nYi/Zi(Xi/Zi)in(Xi/Zi)2 = β2 + i=1n(Xi/Zi)Viin(Xi/Zi)2 (e)
Lấy kỳ vọng 2 vế của (e) ta có E(β2*) = β2
Như vậy β2* là ước lượng không chệch của β2. Ta sẽ chỉ ra rằng β2* hiệu
quả hơn β2.
Chúng ta có
Var(β2*) = δ2in(Xi/Zi)2
2
Thay δi2 = δ2Zi vào Var(β2*) = i=1nWii=1nWii=1nWiXi2-i=1nWiXi2, ta
có:
Var(β2) = δ2i=1nXi2Zi2i=1nXi22.
Lập tỉ số
Var(β2*)Var(β2) = i=1nXi22i=1nXi2/Zi2i=1nXi2Zi2.
Đặt ai = XiZi; bi= Xi/Zi lúc đó:

Var(β2*)Var(βi) = i=1naibi2i=1nai2i=1nbi2 (f)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski cho n số tùy ý thì:

i=1nai2i=1nbi2 ≥ i=1naibi2;

a1b1 = a2b2=…=anbn.

Var(β2*)Var(β2) ≤ 1
Nghĩa là Var(β2*) ≤ Var(β2), dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi
a1b1 = XiZiXi/Zi = Zi2 = const
Nghĩa là δi2 không đổi, vậy ước lượng β2 không hiệu quả. Bây giờ ta quay lại với ước
lượng của phương sai của β2 như đã biết, nó được ước lượng bởi công thức sau: RSSn-
11Xi2. Trong đó RSS là tổng bình phương các phần dư thu được từ mô hình ước lượng
bình phương nhỏ nhất. Ta tính kỳ vọng của RSS:
E(RSS) = E[Yi-β2Xi2]
= i=1nδi2 - i=1nXi2δi2i=1nXi2 = i=1nδi2i=1nXi2-i=1nXi2δi2i=1nXi2
Lưu ý rằng nếu δI2 =δ2 ( i) thì E(RSS) = (n-1)∀ δ2. Chúng ta ước lượng phương sai β2
mà giá trị kỳ vọng của nó là:
ERSSn-i1Xi2 = 1(n-1)Xi2E(RSS) = δi2Xi2- δi2Xi2(n-1)Xi22.
Trong khi đó phương sai thực là: Xi2δi2Xi22.
Như vậy phương sai đã được ước lượng cũng là ước lượng chệch. Bây giờ giả thiết
rằng δi2 và Xi2 có tương quan dương (điều này thường xảy ra với các số liệu kinh tế)
mà thỏa mãn điều kiện
i=1nXi2δi2> 1ni=1nXi2i=1nδi2
Thì giá trị kỳ vọng của phương sai đã được ước lượng nhỏ hơn phương sai thực. Như
vậy chúng ta sẽ ước lượng quá thấp phương sai thực của ước lượng bình phương nhỏ
nhất và sẽ thu được khoảng tin cậy hẹp hơn khoảng tin cậy thực. Điều này sẽ làm ảnh
hưởng kiểm định giả thiết về β2. Hay nói cách khác là khoảng tin cậy và các kiểm định
giả thiết dựa trên phân phối t và F không còn đáng tin cậy nữa. Vì vậy nếu sử dụng thủ
tục kiểm định giả thiết thông thường có thể dẫn đến những kết luận sai lầm. Điều này sẽ

dẫn đến hậu quả không lường trước được trong thực tiễn. Đó chính là lý do vì sao chúng
ta phải nghiên cứu vấn đề này. Nhưng làm thế nào để biết được rằng phương sai của sai
số thay đổi hay không?

IV, Phát hiện ra phương sai của sai số thay đổi.
 Kiểm định PARK.
Kiểm định PARK là một phương pháp kiểm định hiện tượng phương sai
của sai số thay đổi trong các mô hình hồi quy. Đây là một phương pháp kiểm
định cho kết quả khá chính xác.
Xét mô hình hồi quy đơn:
Yi = βiXi + Ui (g)

3
Kiểm định: - H0: phương sai của sai số ngẫu nhiên Ui là đồng đều
- H1: phương sai của sai số ngẫu nhiên Ui là thay đổi.
PARK đã giả thiết rằng nếu phương sai của sai số thay đổi thì nó là một
hàm của biến giải thích, cụ thể là hàm số sau.
Var(Ui) = δi2 = α1Xiα2eVi
Trong đó:
- α1, α2 là các hệ số hồi quy
- Vi là sai số ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết của phương pháp BPNN ∀
thong thường.
Gỉa thiết trên có thể đưa về dạng tương đương sau:
Ln(δi2) = Lnα1 + α2LnXi + Vi (h)
= thủ tục kiểm định PARK như sau: ≫
Bước 1: Dùng OLS hồi quy mô hình (g) để tìm các phần dư Ej
Bước 2: Lấy Ei2 thay cho δi2 ở mô hình (g) và dùng OLS hồi quy mô hình sau:
Ln(Ei2) = α1 + α2LnXi + Vi (i)
Bước 3: Dùng kết quả hồi quy thu được ở bước 2 để tiến hành kiểm định T với
cặp giả thiết:

- H0 : α2 = 0 (phương sai của sai số ngẫu nhiên trong MH(g) đồng đều)
- H1 : α2 ≠ 0 (phương sai của sai số ngẫu nhiên trong MH(g) thay đổi)
Nếu H0 bị bác bỏ thì KẾT LUẬN có phương sai của sai số thay đổi.
Tuy nhiên kiểm định này cho KL với độ chính xác cao đối với MHHQ đơn. Vì thế cần
có những phương pháp để mở rộng nó cho các MHHQ bội.
Xét MHHQ bội:
Yi = β1 + β2X2i + … + βkXki + Ui (j)
Kiểm định PARK có thể mở rộng để áp dụng cho mô hình (g) theo 3
phương pháp sau:
 Phương pháp 1: Tiến hành kiểm định theo phương pháp đã trình bày ở
trên, lần lượt với từng biến giải thích. Tuy nhiên hạn chế của phương pháp
nayflaf nếu kết quả kiểm định với mọi biến giải thích đều cho kết quả giống
nhau(hoặc mô hình có hiện tượng phương sai của số thay đổi hoặc không) thì
mới cho phép đưa ra KL cuối cùng, còn nếu chúng lại cho KL mâu thuẫn nhau
thì không thể đưa ra được một KL chung cho cả M.
 Phương pháp 2: Lấy kỳ vọng toán của biến phụ thuộc đại diện cho tất cả
các biến giải thích, vì bản than kỳ vọng toán của biến phụ thuộc theo giả thiết
là 1 hàm của các biến giải thích. Lúc đó giả thiết (h) có dạng:
Var(Ui) = δi2 = α1[E(Yi)]α2EVi
4
 Ln(δi2) = Lnα1+ Ln[E(Yi)] + Vi (k)
Thủ tục kiểm định:
Bước 1: Dùng OLS HQMH (j) để tìm các Ei và các giá trị ước lượng của Y
là YMUi.
Bước 2: Lấy Ei2 và YMUi thay cho δi2 và E(Yi) trong mô hình (k) và
dùng OLS hồi quy mô hình sau:
Ln(Ei2) = α1 + α2Ln YMUi + Vi (l)
Bước 3: Dùng kết quả hồi quy thu được ở B2 để tiến hành kiểm định T với
giả thiết:
H0 : α2 = 0 (phương sai của sai số ngẫu nhiên trong MH(j) đồng đều)

H1 : α2 ≠ 0 (phương sai của sai số ngẫu nhiên trong MH(j) thay đổi)
(chú ý:MHjphải được định dạng đúng)
 Phương pháp 3: Gỉa sử phương sai của sai số ngãu nhiên là một
hàm của tất cả các biến giải thích, tức là ta giả thiết rằng:
Var(Ui) = δi2 = α1X2iα2X3iα3…XkiαkEVi
=>Lnδi2 = Lnα1 + α2LnX2i + … + αkLnXki + Vi (m)
Bước 1: Dùng OLS hồi quy MH(j) để tìm Ei
Bước 2: Lấy Ei2 thay cho δi2 và dùng OLS hồi quy MH sau:
LnEi2 = α1 + α2LnY2i + … + αkLnYki + Vi
Bước 3: Dùng kết quả hồi quy thu được ở B2 để tiến hành KĐ F với cặp
giả thiết:
H0 : α1=α2=…=αk= 0 (phương sai của sai số ngẫu nhiên trong MH (j)đồng
đều)
H1 ; có ít nhất 1 hệ số α ≠0 (phương sai của sai số ngãu nhiên trong
MH(J)thay đổi)
chú ý: phương pháp này cho cùng một kết quả đáng tin cậy khi giả thiết
(m) là đúng, đồng thời không có hiện tượng đa cộng tuyến giữa các biến
giải thích của mô hình.
 Kiểm định GLEJSER.
Sauk hi thu được phần dư ei từ hồi quy theo phương pháp BPNN, glejser đề
nghị hồi quy giá trị tuyệt đối của ei, |ei| đối với biến X nào mà có thể có kết
hợp chặt chẽ với δi2
5
Xét hàm:
- | ei| = β1 + β2Xi + Vi
- | ei| = β1 + β2Xi + Vi
- | ei| = β1 + β21Xi + Vi
- | ei| = β1 + β21Xi + Vi
- | ei| = β1+β2Xi + Vi
- | ei| = β1+ β2Xi2 + Vi

Trong đó Vi là sai số.
Nếu H0: β2 = 0 bị bác bỏ thì KL phương sai của sai số thay đổi.
 Ngoài ra còn có thể phát hiện phương sai của sai số thay đổi bằng các
kiểm định.
- Kiểm định tương quan của SPEARMAN
- Kiểm định GOLDFELD – QUANDT
- Kiểm định BREUSCH – PAGAN – GODFREY(BPG)
- Kiểm định WHITE
- Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc
- Xem xét đồ thị phần dư.
V, Phương pháp khắc phục thay đổi.
Để khắc phục hiện tượng này phải phụ thuộc vào δ2 được biết hay chưa. Có 2 trường
hợp:
1, δi2 đã biết
- Khi δi2 đã biết chúng ta sử dụng phương pháp bình
phương nhỏ nhất có trọng số
Xét mô hình 2 biến: Yi = β1 + β2Xi + Ui
<=> Yi = βiX0i + β2XiUi (1)
trong đó: X0i = 1 ( i)∀
Với mỗi i, chia cả 2 vế của 1cho δi (δi>0)ta được:
Yiδi = β1Xiδi + β2Xiδi + Uiδi (2)
6
Đặt : Xiδi = X0i* ; Xiδi = Xi* ; Uiδi = Ui* và ta cũng sử dụng kí
hiệu β1* và β2* chỉ các tham số của mô hình đã được biến đổi để
phân biệt với các tham số của ước lượng bình phương nhỏ nhất
thông thường β1 & β2.
Vậy mô hình đã được biến đổi có dạng:

Yi* = β1*Xi* + β2*Xi* + Ui* (3)
Xét số hạng sai soosddax được biến đổi Ui* ta được:

Var(Ui*) = E(Ui*2) = 1δi2E(Ui )2 = δi2δi2 = 1 ( i)∀
Vậy Ui* có phương sai không đổi.
Thủ tục ước lượng β1* và β2*:
Hàm hồi quy mẫu dưới dạng:
Yiδi = β1*X0iδi + β2*Xiδi + eiδi
 Yi* = β1*X0i* + β2* Xi*+ ei* (4)
Cực tiểu hàm:
i=1n(ei*)^2 = i=1nYi*- β1*X0i*- β2*Xi*2
 i=1nei2δi2 = i=1nYiδi- β1*X0iδi- β2*Xiδi2
= i=1n1δi2Yi- β1*- β2*Xi2.
Đặt Wi = 1δi2,
β1* = Y* - β2*X*
β2* = i=1nWii=1nWiXiYi- i=1nWiXii=1nWiYii=1nWii=1nWiXi2- i=1nWiXi2
Var(β2*) = i=1nWii=1nWii=1nWiXi2- i=1nWiXi2

2, δi2 chưa biết:
Xét mô hình hồi quy 2 biến gốc:
Yi = β1+ β2Xi+ Ui
Gỉa sử mô hình này thỏa mãn các giả thiết của MHHQ tuyến tính cổ điển(trừ giả thiết
phương sai của sai số không đổi).
Giả thiết 1 : Phương sai của sai số tỷ lệ với bình phương biến giải thích.
7
E(Ui2) = δ2Xi2
Chia 2 vế của MH gốc cho Xi(Xi ≠0)
YiXi = β1Xi + β2+ UiXi = β11Xi + β2 + Vi
Trong đó Vi = UiXi là số hạng nhiễu được biến đổi
 EVi2 = EUiXi2 = 1Xi2EUi2 = δ2Xi2Xi2 = δ2
Như vậy các giả thiết của MHHQ tuyến tính cổ điển được thỏa mãn ta có thể áp dụng
phương pháp BPNN cho các phương trình đã được biến đổi.
ei2 = α1+ α2X2+ α3X3+ α4X22+ α5X32+ α6X2X3+ Vi

Hồi quy YiXi theo 1Xi
Chú ý: trong hồi quy đã được biến đổi thì số hạng chặn β2 là hệ số góc trong phương
trình hồi quy gốc và hệ số góc β1 là số hạng chặn trong MH gốc.
Gỉa thiết 2: Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X.
EUi2 = δ2Xi2
Với mỗi i chia cả 2 vế của MH gốc cho X (với X>0)
YiXi = β1Xi+ β2Xi + UiXi = β1Xi + β2Xi + Vi
Trong đó Vi = UiXi => E(Vi) = δ2
CHÚ Ý: Mô hình biến đổi không có hệ số chặn nên ta sẽ sử dụng MHHQ qua gốc để
ước lượng và .

Gỉa thiết 3: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Y.
Nghĩa là E(Ui2) = δ2E(Yi)2,
Chia 2 vế cho E(Yi). Ta có:
YiE(Yi) = β1E(Yi)+ β2E(Yi)Xi + UiE(Yi)
= β11E(Yi) + β2XiE(Yi) + Vi
Trong đó: Vi = UiE(Yi) ; Var(Vi) = δ2
 Nhiễu vi có phương sai không dổi dẫn tới hồi quy (3) thỏa
mãn giả thiết phương sai không đổi của MHHQ tuyến tính cổ điển.
Tuy nhiên E(Yi) phụ thuộc vào β1,β2 chưa biết
Mà Yi = β1 + β2Xi là ước lượng của E(Yi). Do đó có thể tiến hành theo 2 bước sau;
8
Bước 1: Uoc lượng hồi quy bằng phương pháp BPNN thong thường, thu được Yi,
sau đó sử dụng Yi để biến đổi MH gốc thành dạng như sau:
YiYi = βi1Yi + βiXiYi + Vi (*)
Trong đó Vi = UiYi
Bước 2: ước lượng hồi quy (*), dù Yi không chính xác là E(Yi), chúng chỉ là ước
lượng vững nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ đến E(Yi) vì vậy phép
biến đổi (*) có thể sử dụng trong thực hành khi cỡ mẫu tương đối lớn.
Gỉa thiết 4 : Hạng hàm sai:

Đôi khi thay cho việc dự đoán về δi2 người ta định dạng lại mô hình. Chẳng hạn thay
cho việc ước lượng hồi quy gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi quy
lnYi = β1 + β2lnXi + Ui (**)
Việc ước lượng hồi quy (**) có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác
động của phép biến đổi loga. Một trong ưu thế của của phép biến đổi loga là hệ số góc
β2 là hệ số co dãn của Y đối với X.
CHÚ Ý: HiỆN tượng mà chúng ta đang xét đến là tương đối phổ biến, cho nên biện
pháp khắc phục nó là rất quan trọng. Nhưng biện pháp khắc phục thực chất là toa thuốc
cho con bệnh, bệnh đó có chữa được hay không chỉ toa thuốc có hay hay không, mà
trước hết là chuẩn đoán đúng bệnh. Vì vậy, cả hai vấn đề chuẩn đoán và chữa bệnh đều
quan trọng.
Vì thế cần phải lưu ý một số vấn đề sau:
• Khi nghiên cứu mô hình có nhiều biến giải thích thì việc cọn lựa biến nào để
biến đổi cần phải có xem xét cẩn thận.
• Phép biến đổi loga không dùng được khi các giá trị X hoặc Y là âm
• Có thể xảy ra tình trạng là bản than biến gốc không tương quan nhưng tỉ số của
các biến lại có thể tương quan: chẳng hạn xét mô hình:
Yi = β1 + β2Xi + Ui
Giữa Yi & Xi có thể không tương quan nhưng trong mô hình được biến
đổi dước dạng:
YiXi = β1(1Xi) + β2
Thì YiXi và 1Xi lại là tương quan
• Khi δi2 chưa biết nố được ước lượng từ một trong các cách biến đổi trên. Tất cả
các kiểm định t, F mà chúng ta sử dụng chỉ có hiệu lực trong những mẫu lớn.
Do đó chúng ta phải cẩn thận khi giải thích các kết quả dựa trên các phép biến
đổi khác nhau trong các mẫu nhỏ.

VI, VÍ DỤ:
Ví dụ: Cho bảng số liệu sau
Y: Doanh thu ( triệu/tháng)

X
2
: Chi phí quảng cáo
X
3
: tiền lương của nhân viên tiếp thị ( triệu/ tháng)

Mô hình 1:
STT Y X
2
1 127 18
2 149 25
3 106 19
4 163 24
5 102 15
6 180 26
9
7 161 25
8 128 16
9 139 17
10 144 23
Mô hình 2:
STT Y X
2
X
3
1 127 18 10
2 149 25 11
3 106 19 6
4 163 24 16

5 102 15 7
6 180 26 17
7 161 25 14
8 128 16 12
9 139 17 12
10 144 23 12

1, Viết mô hình hồi quy mẫu cho 2 mô hình trên
2, Với độ tin cậy α = 1% thì mô hình 1 có được coi là có phương sai sai số đồng đều
không?
3, Kiểm định hiện tượng phương sai sai số thay đổi trong mô hình 2. với α = 5%.
4, Việc đổi dạng mô hình có khắc phục được hiện tượng phương sai sai số thay đổi
không?
5, Sử dụng kiểm định Park để phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi của mô
hình 2 với α = 5%.
6, Nêu cách khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi ở mô hình 2
Bài làm

1. Mô hình 1:

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares


Included observations: 10
Y=C(1)+C(2)*X2
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 36.18672 23.80498 1.520132 0.1670
C(2) 4.986216 1.123927 4.436422 0.0022
R-squared 0.711002 Mean dependent var 139.9000

Adjusted R-squared 0.674877 S.D. dependent var 24.90181
S.E. of regression 14.19890 Akaike info criterion 8.321062
Sum squared resid 1612.870 Schwarz criterion 8.381579
Log likelihood -39.60531 Durbin-Watson stat 1.957082
Mô hình 2:


Dependent Variable: Y
Method: Least Squares


Included observations: 10
Y=C(1)+C(2)*X2+C(3)*X3
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
10
C(1) 35.29590 6.401875 5.513369 0.0009
C(2) 2.232777 0.405583 5.505102 0.0009
C(3) 4.971140 0.488318 10.18013 0.0000
R-squared 0.981715 Mean dependent var 139.9000
Adjusted R-squared 0.976490 S.D. dependent var 24.90181
S.E. of regression 3.818154 Akaike info criterion 5.760736
Sum squared resid 102.0481 Schwarz criterion 5.851512
Log likelihood -25.80368 Durbin-Watson stat 2.231363

2, Sử dụng kiểm định dựa trên biến phụ thuộc
Từ mô hình 1 ta thu được
e
i
Y^
i

e
i
2
Y^
i
2
1.061404 125.9386 1.126578 15860.53
-11.8421 160.8421 140.2356 25870.18
-24.9248 130.9248 621.2462 17141.31
7.14411 155.8559 51.03831 24291.06
-8.97995 110.98 80.6395 12316.55
14.17168 165.8283 200.8365 27499.03
0.157895 160.8421 0.024931 25870.18
12.03383 115.9662 144.8131 13448.15
18.04762 120.9524 325.7166 14629.48
-6.86967 150.8697 47.19242 22761.66

Ta ước lượng mô hình sau đây bằng OLS:
E
2
i
= α
1
+ α
2
*Y^
i
2 + v
i
ta có bảng eviews sau :

Dependent Variable: E
i
2
Method: Least Squares


Included observations: 10

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 315.2428 231.1915 1.363557 0.2098
C(2) -0.007710 0.011156 -0.691107 0.5091
R-squared 0.056340 Mean dependent var 161.2870
Adjusted R-squared -0.061618 S.D. dependent var 189.7986
S.E. of regression 195.5586 Akaike info criterion 13.56645
Sum squared resid 305945.4 Schwarz criterion 13.62697
Log likelihood -65.83227 Durbin-Watson stat 2.203284



α^
2=
Công thức (T23)=(29837898*10-322070945,8) /(10*4294830764-3987533728)
= - 0.00771

R
2
= 0.05634
Bài toán: H
0

: phương sai đồng đều
H
1
: phương sai không đồng đều
•
Kiểm định X
2
TCKD:
X
2
= n*R
Với α = 1% ta tìm được phân vị chuẩn sao cho:
P( X
2
> X
2
α
) = α
11
Ta có miền bác bỏ :
W
α
=[ X
2
tn
: X
2
tn
> X
2

α
]
α = 1%  X
2( 1)
0,01
= 6, 6349
X
2
tn
= 10 * 0.05634 = 0.5634 không thuộc miền bác bỏ
Vậy chưa có cơ sở bác bỏ H
o
nên mô hình 1 có phương sai thay đổi
• Kiểm định F
Bài toán như trên
Ta có TCKĐ : F = (α^
2
/ se(α^
2
) )
2
có phânbố F (1, n-2 )

Với α = 1% ta tìm được phân vị chuẩn sao cho :
P( F > F
α
(1, n-2) ) =α
ta có miền bác bỏ :
W
α

=[ f
tn
: f
tn
> F
α
(1, n-2) ]

α = 1%  F
0,01
(1,8 ) = 11.3
f
tn
= (- 0.00771 / 0.011156 )
2
=0.47763 không thuộc miền bác bỏ  chưa có cơ sở bác
bỏ H
o
Kêt luận : mô hình 1 có phương sai của sai số thay đổi
3,
Từ mô hình 2 ta có:
e
i
Y^
i
e
2
i Y^
i
2

1.802714 125.1973 3.249778 15674.36
3.202135 145.7979 10.25367 21257.02
-1.5455 107.5455 2.38858 11566.04
-5.42079 168.4208 29.38494 28365.56
-1.58553 103.5855 2.513921 10729.96
2.142518 177.8575 4.590383 31633.28
0.288715 160.7113 0.083356 25828.12
-2.67401 130.674 7.15034 17075.7
6.093211 132.9068 37.12722 17664.21
-2.30345 146.3035 5.305887 21404.7
Ta ước lưọng mô hinh sau băng OLS
e
2
i = α
1
+ α
2
* Y^
2
+ v
i
Tương tự như câu 2 ta có bảng eviews sau :
Dependent Variable: E
i
2
Method: Least Squares


Included observations: 10

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 3.567071 13.37587 0.266680 0.7965
C(2) 0.000330 0.000632 0.522083 0.6158
R-squared 0.032949 Mean dependent var 10.20481
Adjusted R-squared -0.087933 S.D. dependent var 12.59897
S.E. of regression 13.14123 Akaike info criterion 8.166243
Sum squared resid 1381.536 Schwarz criterion 8.226760
Log likelihood -38.83122 Durbin-Watson stat 2.215392
Làm tương tự như câu 2 ta có được kết quả là mô hình 2 có hiện tượng phương sai
sai số thay đôi


4,
Việc đổi dạng mô hình chưa khắc phục được hiện tượng phương sai sai số thay đổi
12
5,
* bước 1 : Ước lượng mô hình hồi quy gốc
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 35.29590 6.401875 5.513369 0.0009
C(2) 2.232777 0.405583 5.505102 0.0009
C(3) 4.971140 0.488318 10.18013 0.0000
R-squared 0.981715 Mean dependent var 139.9000
Adjusted R-squared 0.976490 S.D. dependent var 24.90181
S.E. of regression 3.818154 Akaike info criterion 5.760736
Sum squared resid 102.0481 Schwarz criterion 5.851512
Log likelihood -25.80368 Durbin-Watson stat 2.231363

• Bước 2: từ mô hình hồi quy gốc ta thu được các phần dư e
i
e

i
e
i
2
1.802714 3.249778
3.202135 10.25367
-1.5455 2.38858
-5.42079 29.38494
-1.58553 2.513921
2.142518 4.590383
0.288715 0.083356
-2.67401 7.15034
6.093211 37.12722
-2.30345 5.305887
Ta ước lượng mô hình :
Lne
i
2
= β
1
+ β
2
*Y^
I
+ v
i
Ta có bảng eviews sau
Dependent Variable: Lne
i
2

Method: Least Squares


Included observations: 10

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 1.380321 3.431092 0.402298 0.6980
C(2) 0.000833 0.024189 0.034447 0.9734
R-squared 0.000148 Mean dependent var 1.496891
Adjusted R-squared -0.124833 S.D. dependent var 1.688186
S.E. of regression 1.790459 Akaike info criterion 4.179678
Sum squared resid 25.64595 Schwarz criterion 4.240195
Log likelihood -18.89839 Durbin-Watson stat 2.260206
 Ln^e
i
2
= 1,380321 + 0,000833*Y^
i
Bài toán kiểm định H
o
: β
2
= 0
H
1
: β
2
khác 0
XDTCĐ:
T = ( β^

2
- β
2
) / se(β^
2
) có phân phối chuẩn hoá là : T(n-2 )
v ới α = 5% ta t ìm đ ư ợc ph ân v ị chu ẩn sao cho :
P ) │T│> t
α/2
(n-2) ) = 1-α
miền bác bỏ : W
α
= [ t
tn
: │t
tn
│ > t
α/2
(1, n-2) ]

α =5%  t
0,025
(8) = 2.306
t
tn
= 0,000833/0,024189 =0,03443714  không thuộc miền bác bỏ
 Chưa có cơ sở bác bỏ H
o
Kết luận : mô hình 2 xảy ra hiện tượng phưong sai sai số thay đổi
13

6, Cách khắc phục
Theo các giả thiết
• E(U
i
) = б
2
i
= б
2
i
* X
i
2
Chia cả hai vế mô hình gốc cho X
2i
(X
2i
khác 0)
Ta có :
Y
i
/ X
2i
= β
1
/ X
2i
+ β
2
+ β

3
* X
3i
/X
2i
+ U
i
/X
2i
(3)
Ước lượng mô hình trên ta có :

Dependent Variable: Y/X
2
Method: Least Squares


Included observations: 10
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 2.169738 0.402759 5.387191 0.0010
C(2) 35.01082 6.191473 5.654683 0.0008
C(3) 5.108343 0.485673 10.51808 0.0000
R-squared 0.955978 Mean dependent var 6.798659
Adjusted R-squared 0.943400 S.D. dependent var 0.818672
S.E. of regression 0.194768 Akaike info criterion -0.190692
Sum squared resid 0.265541 Schwarz criterion -0.099917
Log likelihood 3.953461 Durbin-Watson stat 2.406404

Dùng kiểm định white có hạng số t ích chéo
White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 0.748949 Probability 0.627522
Obs*R-squared 4.835208 Probability 0.436321
Ta có p- value = 0,436321 < 0,05 nên ta b ác b ỏ H
o
mô hình 3 v ẫn v ẫn c òn phư
ơng sai thay đổi.
• * E(U
i
) = б
2
i
= б
2
i
* X
i
Chia cả hai vế của mô hình gốc cho X
2i
1/2
( với X
2i
> 0)
Ta có:
Y
i
/X
2i
1/2
= β
1

/ X
2i
1/2
+ β
2
* X
1/2
2i
+ β
3
* X
3i
/X
2i
1/2
+ U
i
/X
2i
1/2
(4)
ước lượng mô hình trên ta có:
Dependent Variable: Y/X
2i
1/2
Method: Least Squares
Included observations: 10
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 19.58609 3.571741 5.483627 0.0009
C(2) -8.325818 13.12763 -0.634221 0.5461

C(3) 5.070190 0.483290 10.49099 0.0000
14
R-squared 0.950001 Mean dependent var 30.69002
Adjusted R-squared 0.935715 S.D. dependent var 3.373430
S.E. of regression 0.855313 Akaike info criterion 2.768628
Sum squared resid 5.120928 Schwarz criterion 2.859403
Log likelihood -10.84314 Durbin-Watson stat 2.361404
Sử dụng kiểm định white để phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đ ổi

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.561037 Probability 0.730594
Obs*R-squared 4.122131 Probability 0.531970
Nhận thấy p-value= 0.53197 >0,05 nên chấp nhận H
0
.Vậy không còn phương sai thay
đổi
• Dùng biến đổi logarit
Y
i
= β
1
+ β
2
*X
2
+ β
3
*X
3
+U

i
 Ln Y
i
= α
1
+ α
2
* lnX
2
+α
3
* lnX
3
+ ln U
ước lượng mô hình trên ta có
Dependent Variable: LnY
Method: Least Squares


Included observations: 10

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 2.954672 0.123267 23.96962 0.0000
C(2) 0.340213 0.051276 6.634928 0.0003
C(3) 0.391672 0.032194 12.16617 0.0000
R-squared 0.985341 Mean dependent var 4.926097
Adjusted R-squared 0.981152 S.D. dependent var 0.183589
S.E. of regression 0.025204 Akaike info criterion -4.280283
Sum squared resid 0.004447 Schwarz criterion -4.189508
Log likelihood 24.40142 Durbin-Watson stat 2.657137

sử dụng kiểm định white để phát hiện hiện tượng phương sai số thay đổi
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.500879 Probability 0.766583
Obs*R-squared 3.850314 Probability 0.571162
Nhận thấy P-value = 0,571162 > 0,05 nên chấp nhận H
o
.Vậy không còn hiện tuợng
phương sai thay đổi




15