Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán năm học 2011-2012 tỉnh Cao Bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011-2012

MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian ra đề)
(Đề gồm 01 trang)

Câu 1 (4 điểm):
a, Giải và biện luận phương trình theo m:
3
3 3
x m x m
x x
 

 

b, Giải phương trình:
3
24 12 6
x x
   


Câu 2 (4 điểm):
a, Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
20 20
sin osy x c x
 

b, Cho m > 1 và 3 số thực a,b,c (với
0a 
)
sao cho:
0
2 1
a b c
m m m
  
 


Chứng minh rằng phương trình
2
ax 0bx c  

luôn có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Câu 3 (4 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát:

( 1) 2 3 1,m x my m   

trong đó m là tham số. Tìm m để cho:
a, (d) đi qua điểm (2;-3)
b, (d) tiếp xúc với đường tròn tâm O(0;0) có bán kính bằng 1.
c, (d) cách tâm O(0;0) một khoảng lớn nhất.

Câu 4 (5 điểm): Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , BC = b, AA’ = c. Gọi
M,N lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’.
a, Xác định thiết diện do mặt phẳng (AMN) cắt khối hộp chữ nhật.

b, Mặt phẳng (AMN) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ra thành hai khối đa diện
(H) và (H’). Trong đó (H’) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Tính thể tích của khối đa diện (H’)
theo a,b,c.

Câu 5 (3 điểm):
a, Hãy chia một khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.
b, Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của
3
x

là một số nguyên, thỏa mãn: f(1999) = 2000,
f(2000) = 2001. Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số.
Hết .
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu)

Họ và tên thí sinh:………………………………………… Số báo danh:………………………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………………………….
ĐỀ CHÍNH THỨC