BÁO CÁO HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN nonlenear

BÁO CÁO HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN
SVTH: Nguyễn Ninh Bình
Mssv: 09390929
I. Điều khiển mặt trượt
II. Điều khiển thích nghi
III. Điều khiển backstepping
IV. Điều khiển tuyến tính hóa
MÔ HÌNH HỆ THỐNG NÂNG TỪ TRƯỜNG

Mô hình hệ thống nâng từ bao gồm quả cầu sắt khối lượng m được giữ lơ lững do lực từ
trường được điều khiển bởi nguồn điện áp e.
p là khoảng cách từ quả cầu đến bộ phận phát từ
Ta có phương trình:


= 
Gọi R là điện trở trong của cuộn cảm, L là từ cảm của cuộn cảm, i là cường độ dòng điện
trong bộ phát từ, e là nguồn cấp, ta có:
+
(())

= 
Và
 = 


= 



= 


(


)
2

Trong đó




= 
1
+
2


Đặt: x1=p ; x2 = 1

= v ; x3= I; u = e
Ta có
1

= 2
2

= 





(
3
1
)
2

3

= 


3 +
2


2. 3
1
2
+
1


Từ các phương trình trên ta đặt biến đưa sang hệ tọa độ phi tuyến
1 = 1 
1

2 = 2
3 = 





(
3
1
)
2

T ∞; z1,z2,z30;
Từ đó ta có:
1

= 2
2

= 3
3

= + . 
Với :
=
2

(1 
2
1

2. 3

2
1
3
+


3
2
1
2
)
= 
23
1
2

I. Thiết kế hệ thống điều khiển trượt
Dựa vào lý thuyết mặt trượt ta lựa chọn mặt trượt như sau:

Vậy ta chọn n=2 ta có:
=  + 1. + 2. = 3 + 1. 2 + 2. 1
Suy ra:
= 




(
3
1

)
2
+ 1. 2 + 2. (1 
1
)
Ta xét hàm Lyapunov:
=
1
2

2

Điều kiện để hàm ổn định theo Lyapunov:  > 0, 

< 0


= . 
Ta có:
 = + . + 1. 3 + 2. 2
.  < 0
Ta đặt :
 = . ()
 + . + 1. 3 + 2. 2 = . ()
 =
1

[1. 3 2. 2 . 




]
Mô phỏng mô hình:
Chương trình Matlab:
%SLIDING MODE CONTROL (SMC) OF MAGNETIC LEVITATION
%16/2/2009
%NGUYEN NINH BINH MSSV: 09390929
%NOP TIEU LUAN CHO MON NONLENEAR

close all
clear all
clc;

%sampling time
tmax=50;
dt=0.01;
n=round(tmax/dt);
%para_system;

R=28.7;%om
L=.65;%H
gc=9.81;%miilisecon-2
C=1.41*10^(-4);
m=11.87*10^(-3);%gam

%du lieu dieu khien 1
W=300; %Do loi
lamda1=50;
lamda2=350;
%gia tri ban dau

x1(1)=0.02;%met%
x2(1)=4;
x3(1)=3;
x1d=.01;
z1(1)=x1(1)-x1d;
z2(1)=x2(1);
z3(1)=gc-C*(x3(1)/x1(1))^2/m;
%Gia tri ban dau cua cac ham
f1(1)=2*C*((1-2*C/(L*x1(1)))*x2(1)*x3(1)^2/x1(1)^3 + R*x3(1)^2/(L*x1(1)^2))/m ;
g1(1)=-(2*C*x3(1))/(L*m*x1(1)^2);
%Gia tri ban dau cua ham dieu khien
u(1)=[-f1(1)-lamda1*(gc-C*(x3(1)/x1(1))^2/m)-lamda2*x2(1)-W*sign( gc-C*(x3(1)/x1(1))^2/m
+lamda1*x2(1)+lamda2*(x1(1)-x1d)) ]/g1(1);
%mat truot
s1(1)= gc-C*(x3(1)/x1(1))^2/m +lamda1*x2(1)+lamda2*(x1(1)-x1d);
for i=2:n
%cac bien
z1(i)=z2(i-1)*dt+z1(i-1);
z2(i)=z3(i-1)*dt+z2(i-1);
z3(i)=(f1(i-1)+g1(i-1)*u(i-1))*dt+z3(i-1);

x1(i)=z1(i)+x1d;
x2(i)=z2(i);
x3(i)=x1(i)*sqrt((gc-z3(i))*m/C);
% cac ham
f1(i)=2*C*((1-2*C/(L*x1(i)))*x2(i)*x3(i)^2/x1(i)^3 + R*x3(i)^2/(L*x1(i)^2))/m ;
g1(i)=-(2*C*x3(i))/(L*m*x1(i)^2);

u(i)=[-f1(i)-lamda1*(gc-C*(x3(i)/x1(i))^2/m)-lamda2*x2(i)-W*sign(gc-
C*(x3(i)/x1(i)^2/m)+lamda1*x2(i)+lamda2*(x1(i)-x1d)) ]/g1(i);

s1(i)=gc-C*(x3(i)/x1(i)^2/m)+lamda1*x2(i)+lamda2*(x1(i)-x1d);
end
for i=1:n
t(i)=i*dt;
end
figure ;
plot(t,x1);xlabel('time '); ylabel('position ');
figure ;
plot(t,x2);xlabel('time '); ylabel('velocity ');
figure;
plot(t,x1,t,x2);xlabel('time'); ylabel ('position, velocity ');
figure;
plot(t,s1);
hold on
figure;
plot(t,u);xlabel('time');ylabel('control input');
hold on

Vị trí:

Hệ điễu khiển


II. ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI (ADAPTIVE CONTROL) CHO HỆ THỐNG NÂNG
TỪ TRƯỜNG
Giả sử p không được đo chính xác.
Ta đặt:  = 1
Với:  là sai số ước lượng
 là giá trị ước lượng.

1 là giá trị chính xác
 

= 



1


= 2
2

= 




(
3
1

)
2

3

= 



3 +
2


2. 3
1

2
+
1



1 = 1= + 1 1
 2 = 

= 


3 = 




(
3
1

)
2

Từ đó ta có:
1

= 2
2

= 3
3

= 

+ . 
Với :
=
2

(1 
2
1


2. 3
2
1

3
+



3
2
1

2
)
= 
23
1

2

Ta chọn lyapunov:
=
1
2
1
2
+
1
2
2
2
+
1
2
3
2
+
1

2
1

2

 

= 1. 1

+ 2. 2

+ 3. 3

+
1

1

. 1



 

= (

+ 1 1)1

+ 2. 2


+ 3.



+ . 

+
1

1

. 1



 

= 1

. 2 +
1



+

1 1+ 3

. 2 + 3.




+ . 


Ta chọn


= . 2
1 = 1. 2 + 13



+ . = 2. 3
Hay:

=
1

(2. 3 

)
Lập trình bằng matlap:
%ADAPTIVE CONTROL OF MAGNETIC LEVITATION
%16/2/2009
%NGUYEN NINH BINH MSSV: 09390929
%NOP TIEU LUAN CHO MON NONLENEAR
close all
clear all
clc;

%sampling time
tmax=50;
dt=0.01;
n=round(tmax/dt);
%para_system;
R=28.7;%om
L=.65;%H
gc=9.81;%miilisecon-2
C=1.41*10^(-4);
m=11.87*10^(-3);%gam
%he so trong dieu khien
k1=.5;
k2=5;
gama=2000;
x1d=.01;
%gia tri ban dau
xmu1(1)=.5;%met%
x2(1)=4;
x3(1)=3;
x1d=.01;
z1(1)=xmu1(1)-x1d;
z2(1)=x2(1);
z3(1)=gc-C*(x3(1)/xmu1(1))^2/m;
%Gia tri chinh xac cua x1
x1(1)=-k1*z2(1)+x1d-z3(1);
%Gia tri ban dau cua cac ham
f(1)=2*C*((1-2*C/(L*xmu1(1)))*x2(1)*x3(1)^2/xmu1(1)^3 +
R*x3(1)^2/(L*xmu1(1)^2))/m ;
g(1)=-(2*C*x3(1))/(L*m*xmu1(1)^2);
%hàm ?i?u khi?n

u(1)=-(k2*z3(1)-f(1))/g(1);
for i=2:n
%cac bien
z1(i)=z2(i-1)*dt+z1(i-1);
z2(i)=z3(i-1)*dt+z2(i-1);
z3(i)=(f(i-1)+g(i-1)*u(i-1))*dt+z3(i-1);

xmu1(i)=z1(i)+x1d;
x2(i)=z2(i);
x3(i)=xmu1(i)*sqrt((gc-z3(i))*m/C);

%gia tri cua x1
x1(i)=-k1*z2(i)+x1d-z3(i);
%C?p nh?t giá tr? ??c l??ng
xmu1(i)=-gama*z2(i-1)*dt+xmu1(i-1);
% cac ham
f(i)=2*C*((1-2*C/(L*xmu1(i)))*x2(i)*x3(i)^2/xmu1(i)^3 +
R*x3(i)^2/(L*xmu1(i)^2))/m ;
g(i)=-(2*C*x3(i))/(L*m*xmu1(i)^2);
%hàm ?i?u khiên
u(i)=-(k2*z3(i)-f(i))/g(i);
end
for i=1:n
t(i)=i*dt;
end
hold on;
plot(t,x1);xlabel('time '); ylabel('gia tri chinh xac cua p ');
figure ;
plot(t,xmu1);xlabel('time '); ylabel('gia tri uoc luong ');
figure;

plot(t,x2);xlabel('time'); ylabel ('velocity ');
figure;
plot(t,u);xlabel('time');ylabel('control input');
Kết quả mô phỏng:




III. ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING
Từ những phương trình trên ta xử lý backstepping như sau:
Step1:
1 = 2 
1

Ta xét hàm lyapunov như sau:
=
1
2

1
2

 

= 1. 1

= 1. (1 + 1)
Ta đặt:

1 = 1. 1

 Vậy ta có: 

= 1. 1

= 1. 1 1. 1
2

Step2:
2 = 3 
2

Ta xét hàm lyapunov như sau:
1 = +
1
2
1
2

 1

= 

+ 1. 1

= 1. 1
2
+ 1(1 + 2 + 2 + 1. 2)
Ta đặt:

2 = (2. 1 + 1 + 1. 2)

Ta có: 1

= 1. 1
2
2. 2
2
+ 1. 2
Ta tiếp tục xét:

2

= 3


2
 = + + 2. 2
Xét hàm lyapunov:
2 = 1 +
1
2
2
2

 2

= 1

+ 2. 2

= 1. 1

2
2. 2
2
+ 1. 2 + 2. (+ . + 2. 2)
 2

= 1. 1
2
2. 2
2
+ 2. (+ . + 2. 2 + 1)
Ta chọn hàm
+ . + 2. 2 + 1 = 3. 2
 =
3.212.2


Lập trình MatLap:
%BACKSTEPPING CONTROL OF MAGNETIC LEVITATION SYSTEM
%16/2/2009
%NGUYEN NINH BINH MSSV: 09390929
%NOP TIEU LUAN CHO MON NONLENEAR
close all
clear all
clc;
%sampling time
tmax=50;
dt=0.01;
n=round(tmax/dt);
% du lieu he thong

R=28.7;%om
L=.65;%H
gc=9.81;%miilisecon-2
C=1.41*10^(-4);
m=11.87*10^(-3);%kg
%he so trong dieu khien
k1=1;
k2=2;
k3=100;
%gia tri ban dau
x1(1)=0.02;%met%
x2(1)=4;
x3(1)=3;

x1d=.01;

z1(1)=x1(1)-x1d;
z2(1)=x2(1);
z3(1)=gc-C*(x3(1)/x1(1))^2/m;
%Gia tri cua ham dieu khien ao\\
Z1(1)=z2(1)+k1*z1(1);
Z2(2)=z3(1)+(k2*Z1(1)+z1(1)+k1*z2(1));
%Gia tri ban dau cua cac ham
f(1)=2*C*((1-2*C/(L*x1(1)))*x2(1)*x3(1)^2/x1(1)^3 + R*x3(1)^2/(L*x1(1)^2))/m ;
g(1)=-(2*C*x3(1))/(L*m*x1(1)^2);
%hàm ?i?u khi?n
u(1)=(-k3*Z2(1)-Z1(1)-k2*z2(1)-f(1))/g(1);
for i=2:n
%cac bien
z1(i)=z2(i-1)*dt+z1(i-1);

z2(i)=z3(i-1)*dt+z2(i-1);
z3(i)=(f(i-1)+g(i-1)*u(i-1))*dt+z3(i-1);

x1(i)=z1(i)+x1d;
x2(i)=z2(i);
x3(i)=x1(i)*sqrt((gc-z3(i))*m/C);
%Gia tri cua ham dieu khien ao\\
Z1(i)=z2(i)+k1*z1(i);
Z2(i)=z3(i)+(k2*Z1(i)+z1(i)+k1*z2(i));
% cac ham
f(i)=2*C*((1-2*C/(L*x1(i)))*x2(i)*x3(i)^2/x1(i)^3 + R*x3(i)^2/(L*x1(i)^2))/m ;
g(i)=-(2*C*x3(i))/(L*m*x1(i)^2);
%hàm ?i?u khiên
u(i)=(-k3*Z2(i)-Z1(i)-k2*z2(i)-f(i))/g(i);
end
for i=1:n
t(i)=i*dt;
end
hold on
figure ;
plot(t,x1);xlabel('time '); ylabel('position ');
figure ;
plot(t,x2);xlabel('time '); ylabel('velocity ');
figure;
plot(t,x1,t,x2);xlabel('time'); ylabel ('position, velocity ');
figure;
plot(t,u);xlabel('time');ylabel('control input');
Kết quả mô phỏng:

IV. ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH HÓA
(Bài tập điều khiển tuyến tính được trích từ đề tài báo cáo nhóm robot môn học Robot Nâng Cao
thầy Phan Tấn Tùng do nhóm Nguyễn Tấn Phúc, Lê Minh Đông, Nguyễn Ninh Bình làm)
Mô hình robot:

Các phương trình động lực học của mô hình:
- Khâu 1:
Động Năng: 
1
=
1
2

1

2


1
2
+
1
2

1



1
2

Thế Năng bằng 0
- Khâu 2:
Tọa độ trọng tâm khâu 2:

2
= 
1
sin


1

+ (
1
+ 
2
)

2
= 
1
cos


1


+ (
1
+ 
2
)
 
2
= 

1

1
cos


1

+ (

1
+ 

2
)(
1
+ 
2
)


2
= 

1

1
sin


1

(

1
+ 

2
)(
1
+ 
2
)

 
2
= 
2
+ 
2
= 

1
2


1
2
+ 



1
2
+ 2

1


2
+ 

2
2

+ 2
1
(

1
2
+ 


1


2
)cos(
2
)
Động năng :

2
=
1
2

2
[
1
2


1
2
+ 
2



1
2

+ 2

1


2
+ 

2
2

+ 2
1
(

1
2
+ 

1


2
)cos(
2
)] +
1
2

2



2
2

Thế Năng không thay đổi.
-Hàm Larange
= 
1
+ 
2



1
+ 
2

=
1
2

1

2


1
2
+

1
2

1


1
2
+
1
2

2
[
1
2


1
2
+ 
2



1
2
+ 2

1



2
+ 

2
2

+ 2
1
(

1
2
+ 

1


2
)cos(
2
)] +
1
2

2


2

2

Suy ra:


=



1
=


1

2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2




1
+ 
2

2


2
+ 2
2

1
(

1
+ 

2
/2)cos(
2
)




=






1
=


1

2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2



1
+ 
2

2


2

2
2

1


1
+


2
2


2
sin


2

+ 2
2

1
(

1
+ 

2

/2)cos(
2
)


1
= 0


1
=





1



1
=


1

2
+ 
1
+ 

2

1
2
+ 
2

2
+ 2
2

1
cos(
2
)



1
+


2

2
+ 
2

1
cos



2



2
2
2

1



2



1


2

2

1



2




2
2

Tương tự ta có:

2
=





2



2
=


2

2
+ 
2

1

cos(
2
)



1
+


2

2
+ 
2



2
+ 
2

1



2




1
2

Ta có ma trận tổng quát như sau:
 + 

, 

 = 
Với
= (

1

2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2
+ 2
2

1

cos(
2
)


2

2
+ 
2

1
cos


2



2

2
+ 
2

1
cos(
2
)
 


2

2
+ 
2


= (
2
2

1



2



2

2

1



2




2

2

1



2



1
0
)
 = 


1


2
= (


1

2


(


1


2
))
1



1
= {[ 
1
+ 2
2

1



2



1



2
+ 
2

1



2



2
2
]


2

2
+ 
2

1
cos


2







1

2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2
+ 2
2

1
bcos(
2


[
2

2


1



2



1
2
]}/{


2

2
+ 
2

1
cos


2


2
[
1


2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2
+ 2
2

1
cos(
2
)][
2

2
+ 
2
]}



2

= {
2

2

1



2



1
2
[
2

2
+ 
2

1
cos(
2
)]{[ 
1
+ 2
2


1



2



1


2
+ 
2

1



2



2
2
]


2


2
+ 
2

1
cos


2






1

2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2
+ 2

2

1
bcos(
2


[
2

2

1



2



1
2
]}/{


2

2
+ 
2


1
cos


2


2
[
1

2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2
+ 2
2

1
cos(
2

)][
2

2
+ 
2
]}}/{
2

2
+ 
2
}

Vòng điều khiển trong là vòng điều khiển có nhiệm vụ tuyến tính hóa hệ thống.
Vòng điều khiển ngoài là vòng điều triển bám, và ổn định hóa hệ thống dựa vào sai số
đọc về .Đây là vòng điều khiển chính, có nhiệm vụ tracking đầu ra do chênh lệch từ sai
số.Cấu trúc vòng điều khiển này gồm một bộ vi phân và tỷ lệ PD, giúp triệt tiêu sai số.

Để tuyến tính và điều khiển được bằng phương pháp momen tính , ta tách luật điều khiển
gồm thành phần:
= 

+ 



Với



= 

 + : là thành phần điều khiển được tuyến tính hóa.


= 

: là thành phần điều khiển tracking.
Bằng cách phân tách ma trận M ra cũng bao gồm 2 thành phần : tuyến tính hóa và
tracking , ta được momen lực tác động lên 2 khớp của robot được chia làm 2 thành phần
như sau:
= 

+ 




= [
2
2

1
bcos


2


2


1
cos


2


2

1
bcos


2

0
]


= [

1

2
+ 
1
+ 
2


1
2
+ 
2

2

2

2

2

2


2

2
+ 
2

]


=


1


2

= [
(
1

2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2
)

1
+ 
2

2


2

2


2


1
+


2

2
+ 
2



2
]

Điều khiển PD :
Đặt y= với y là tín hiệu vào mới, ta có luật điều khiển được mô tả như sau:


= 


Mục đích điều khiển là tín hiệu ra q(t) bám theo quỹ đạo q
d
(t) đã định trước:
Ta đặt e=q

d
(t)- q(t): là sai số .
Ta sẽ điều khiển để lái sai số này về 0 bằng cách thành lập phương trình hutzwit có chứa sai số này trong
bộ điều khiển PD.
Đặt: () = 

() + 



() + 



().
Chọn luật điều khiển:
= 

() 

() + () .(1)
Ta được luật điều khiển momen phần tuyến tính là:
 

=


1

2


= (
(
1

2
+ 
1
+ 
2

1
2
+ 
2

2
)(
1
+ 


1
+ 


1
) + 
2


2
(
2
+ 


2
+ 


2
)

2

2
(
1
+ 


1
+ 


1
) +


2


2
+ 
2

(
2
+ 


2
+ 


2
)

Luật điều khiển này cập nhật các thông số động lực học bao gồm moment tại các biến khớp theo các sai
số đọc về từ các cảm biến vị trí
Từ những phân tích ta đưa ra luật điều khiển trên mathlab :
Đoạn chương trình như sau:
%chuong trinh mo phong dieu khien dong luc scara robot
% nguyen tan phuc-le minh dong-nguyen ninh binh
% su dung linearization and PID controller for controlling the scara robot
clear all;
close all;
para_scara_pid;
%sampling time
tmax=8;
dt=0.001;

n=round(tmax/dt);
%reference data
for i=1:n
t(i)=i*dt;
rd1(i)=sin(4*t(i));
rd2(i)= sin(4*t(i));
end
drd1(1)=0;drd2(1)=0;
d2rd1(1)=0;d2rd2(1)=0;
for i=2:n
drd1(i)=(rd1(i)-rd1(i-1))/dt;
d2rd1(i)=(drd1(i)-drd1(i-1))/dt;
drd2(i)=(rd2(i)-rd2(i-1))/dt;
d2rd2(i)=(drd2(i)-drd2(i-1))/dt;
end
%Controller parameters
%initial values
x1(1)=0.5;x2=0.5;
dx1(1)=0; d2x1(1)=0;
x2(1)=0;dx2(1)=0;
d2x2(1)=0;
%initial control
de1(1)=0;de2(1)=0;
tl1(1)=1;tl2(1)=1;
e1(1)=0;e2(1)=0;
for i=2:n
%system dynamics
d2x1(i)=(m2*b^2+I2)*tl1(i-1)-m2*b^2*tl2(i-1))/((m1*a^2+I1+m2*l1^2+m2*b^2)*(m2*b^2+I2)-
m2^2*b^4) ;
dx1(i)=d2x1(i)*dt+ dx1(i-1);

x1(i)=dx1(i)*dt+x1(i-1);
%system dynamics bien khop 1
d2x2(i)= (m2*b^2*tl1(i-1)- (m1*a^2+I1+m2*l1^2+m2*b^2)*tl2(i-1))/((m2^2*b^4)-
(m1*a^2+I1+m2*l1^2+m2*b^2)*(m2*b^2+I2));
dx2(i)=d2x2(i)*dt+ dx2(i-1);
x2(i)=dx2(i)*dt+x2(i-1);
% system dynamics bien khop 2
%tracking error
e1(i)=rd1(i)-x1(i);
e2(i)=rd2(i)-x2(i);
de1(i)=(e1(i)-e1(i-1))/dt;
de2(i)=(e2(i)-e2(i-1))/dt;
%controlller
tl1(i)=(m1*a^2+I1+m2*l1^2+m2*b^2)*(d2rd1(i)+Kp*e1(i)+Kd*de1(i))+m2*b^2*(d2rd1(i)+Kp*e2(i)+K
d*de2(i));
tl2(i)=m2*b^2*(d2rd1(i)+Kp*e1(i)+Kd*de1(i))+(m2*b^2+I2)*(d2rd2(i)+Kp*e2(i)+Kd*de2(i));
end;
figure;
plot(t,e1);ylabel('sai so cac bien khop 1');
figure;
plot(t,e2);ylabel('sai so bien khop 2');
figure;
plot(t,rd1,t,x1);ylabel('tracking output bien khop1');
figure;
plot(t,rd2,t,x2);ylabel('tracking output bien khop 2')
figure;
plot(t,tl1,t,tl2);ylabel('control input');
Một số kết quả mô phỏng được thực hiện:
Các thông số dùng mô phỏng:
m2= 12 ; m1= 10 ;

l1=0.8 ;l2= 0.5 ;
b=0.5 ;I2= 0.041 ;I1=1.8 ;
a= 0.30 ;
Td=0.04957;
Kp=2; Kd=6;
Đồ thị tracking các biến khớp 1:

Khớp 2:

sai số khớp 1:

Sai số khớp 2:

Đồ thị control input TL1 và Tl2 lên các khớp:

Nhận xét:
Khi ta thay đổi các giá trị Kp,Kd ta nhận thấy rằng cá giá trị sai số thay đổi trong phạm vi cho phép . Các
thông số này được tìm từ phương pháp thử sai, tùy vào yêu cầu của bài toán tracking mà ta chọn các
thông số Kp,Kd cho phù hợp. Tuy nhiên việc lựa chọn thử sai tốn khá nhiều thời gian và công sức. Phát
triển của bài toán dùng GA hoặc fuzzy logic để tìm ra các thông số này.