SKKN Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số

SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Mục lục
A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………… 2
I. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………… 2
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………2
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………2
IV. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………… 2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………………………………… ……3
I. Cơ sở lý luận………………………………………………………… 3
II. Thực trạng và giải pháp……………………………………………….4
1. Phương trình chứa tham số…………………………………… 4
2. Bất phương trình chứa tham số……………………………… 13
III. Hiệu quả của đề tài………………………………………………….19
C. KẾT LUẬN…………………………………………………………………19
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
1
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học
sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến
nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số. Khi giảm tải chương
trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể
vận dụng được nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách
giải khác như hàm số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa
tham số dẫn đến cách giải phức tạp do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần
này. Với việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì phần
lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số sẽ được giải
quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu. Đó là lí do để tôi chọn đề tài :

“ Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số”.
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học
sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán phương trình, bất
phương trình có tham số.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về
phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của
trung học phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình
lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số. Tuy
nhiên không phải mọi bài toán chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
2
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
có thể cô lập được tham số về một vế trong phương trình hoặc bất phương
trình.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải
đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc
sử dụng phương pháp trên. Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các
tài liệu tham khảo và các đề thi đại học các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến
khó. Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới
nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương phấp trên.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận.

Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây: Giả sử f(x) là hàm số liên tục
trên miền D, và tồn tại
Dx
)x(fmaxM
∈
=
,
Dx
)x(fminm
∈
=
. Khi đó ta có
1. Hệ phương trình



∈
=
Dx
αf(x)
có nghiệm khi và chỉ khi
Mαm ≤≤
.
2. Hệ bất phương trình



∈
≥
Dx

αf(x)
có nghiệm khi và chỉ khi
αM ≥
.
3. Bất phương trình
α≥)x(f
đúng với mọi x
D∈
khi và chỉ khi m
α≥
.
4. Hệ bất phương trình



∈
≤
Dx
αf(x)
có nghiệm khi và chỉ khi
αm
≤
.
5. Bất phương trình
α≤)x(f
đúng với mọi x
D∈
khi và chỉ khi M
α≤
.

Chứng minh
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
3
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
1. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại
0
x
D
∈
sao cho
α=)x(f
0
. Theo định nghĩa ta có
DxDx
)x(fmax)x(f)x(fmin
0
∈∈
≤≤
, hay

DxDx
)x(fmax)x(fmin
∈∈
≤α≤
.
Đảo lại, giả sử
DxDx
)x(fmax)x(fmin
∈∈

≤α≤
. Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó
nhận giá trị từ
Dx
)x(fmin
∈
đến
Dx
)x(fmax
∈
. Do đó khi f(x) nhận giá trị
α
, tức là tồn
tại
Dx
0
∈
sao cho f(
0
x
) =
α
. Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có
nghiệm trên D
đpcm⇒
.
2. Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại
0
x
D∈

sao cho
α≥)x(f
0
.
Rõ ràng là
α≥≥
∈
)x(f)x(fmax
0
Dx
.
Đảo lại, giả sử
α≥
∈Dx
)x(fmax
(1)
Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là
α<)x(f
,
Dx
∈∀
từ
đó suy ra
α<
∈Dx
)x(fmax
(2)
Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đã
cho có nghiệm
đpcm⇒

.
3. Giả sử
α≥
m
. Ta lấy
0
x
tùy ý thuộc D
⇒
α≥=≥
∈
m)x(fmin)x(f
Dx
0
.
Vậy
α≥)x(f
đúng với
∀
x
D
∈
.
Đảo lại, giả sử f(x)
Dx∈∀α≥
, khi đó do
Dx
)x(fminm
∈
=

nên theo định
nghĩa tồn tại
Dx
0
∈
mà m =
)x(f
0
. Từ
α≥⇒α≥ m)x(f
0
. Như vậy ta có
đpcm.
(4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3).
II. Thực trạng và giải pháp.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
4
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
1. Phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( )
2x2x44m)2x2)(x4(2x6 −+−+=−−++
Hướng dẫn giải
Điều kiện
4x1
02x2
0x4
≤≤⇔




≥−
≥−
.
Đặt
2x2x4t −+−=
.
Ta tìm miềm xác định của t, xét hàm số
2x2x4)x(f −+−=
với
4x1
≤≤
.
Ta có
2x2.x42
2x2x42
)x('f
−−
−−−
=
.
3x
1x2x416
4x1
2x2x420)x('f =⇔



−=−

≤≤
⇔−=−⇔=
Từ đó ta có bảng biến thiên
x 1 3 4
f’(x) + 0 -
f(x) 3
3

6

3)x(fmin
4x1
=
≤≤
và
3)x(fmax
4x1
=
≤≤
từ đó suy ra khi
4x1
≤≤
, thì
3t3 ≤≤
Từ
2x2x4t −+−=

)2x2)(x4(22xt
2
−−++=⇒

.
vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau



≤≤
=+−=
)2(3t3
)1(m4t4t)t(g
2
có nghiệm
Ta có g’(t) =
4t2 −
, và ta có bẳng biến thiên sau
t

3
2 1
g’(t) - 0 +
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
5
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
g(t)
347 −
1
0
Từ đó
0)2(g)t(gmin
3t3

==
≤≤
và
1)t(gmax
3t3
=
≤≤
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
⇔
m)t(gmin
3t3
≤
≤≤
3t3
)t(gmax
≤≤
≤

1m0 ≤≤⇔
.
Ví dụ 2. Cho phương trình
mx62x62x2x2
4
4
=−+−++
.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
Đặt f(x)

x62x2 −+=
;
4
4
x62x2)x(g −+=
. Lúc này phương trình đã cho
có dạng
m)x(g)x(f)x(h =+=
(1)
Phương trình (1) xác định trong miền
6x0 ≤≤
. Ta có
)x6(x2
x2x6
)x('f
−
−−
=
.
Nên ta có bảng biến thiên sau:
x 0 2 6
f’(x) + 0 -
f(x)
tương tự ta có
4
33
4
3
4
3

)x6()x2(2
)x2()x6(
)x('g
−
−−
=
, bảng biến thiên
x 0 2 6
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
6
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
g’(x) + 0 -
g(x)
Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x),
6x0 ≤≤
như sau
x 0 2 6
h’(x) + 0 -
h(x)
Ta có
}{
3212)6(h)6(h);0(hmin)x(hmin
4
6x0
+===
≤≤
và
236)2(h)x(hmax
6x0

+==
≤≤
.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔
623m)66(2
4
+<≤+
.
Chú ý:
1. Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ
là
623m)3212
4
+≤≤+
2. Trong bài này cần lưu ý khi
6x0
)x(hmaxm
≤≤
=
khi đó phương trình đã cho chỉ có
một nghiệm duy nhất. Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng
biến thiên để suy ra kết quả.
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình
4
2
1x41xm1x3 −=++−
có nghiệm.
Hướng dẫn giải
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ

7
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Điều kiện:
1x
≥
pt(1)
4
1x
1x
2m
1x
1x
3
+
−
=+
+
−
⇔

Đặt t =
4
1x
1x
+
−
do
0
1x

2
1
1x
1x
>
+
−=
+
−
nên
⇒

1t0 <≤
Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ



<≤
=+−=
1t0
mt2t3)t(f
2
có nghiệm.
Ta có
2t6)t('f +−=
nên có bảng biến thiên sau:
t
0
3
1

1
f’(t) + 0 -
f(t)

3
1


3
1
)
3
1
(f)t(fmax
1t0
==
<≤
; còn
1)t(flim
1t
−=
−
→
(chú ý rằng ở đây không tồn tại
1t0
)t(fmin
<≤
)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
3

1
m1 ≤<−
.
Chú ý:
1. Ở đây vì xét khi
1t0 <≤
, nên không tồn tại
1t0
)t(fmin
<≤
nhưng tồn tại
1)t(flim
1t
−=
−
→
Do đó điều kiện theo lý thuyết
3
1
m1 ≤≤−
phải thay bằng
3
1
m1 ≤<−
(tức là đã thay điều kiện
1t0
)t(fminm
<≤
≥
thành

−
→
>
1t
)t(flimm
).
2. Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét
Tìm m để hệ



<≤
=−+−=
)2(1t0
)1(0mt2t3)t(f
2
có nghiệm
Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
8
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
TH1) Phương trình (1) vô nghiệm
⇔
0'<∆
3
1
m0m31 >⇔<−⇔
TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2)
⇔

21
t10t ≤<<
⇔





≤<
<<
≥∆
21
21
t1t
t0t
0'
⇔







≤−−
<
≤
0)1t).(1t(
0t.t
3

1
m
21
21
⇔







≤+−
<
≤
01
3
2
3
m
0m
3
1
m
⇔
m
1−≤
Do đó hệ vô nghiệm khi





−≤
>
1m
3
1
m
. Vậy phương trình có nghiệm
⇔
3
1
m1 ≤<−
.
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình
1x22mxx
2
+=++
có hai nghiệm thực
phân biệt.
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho



+=++
≥+
⇔
22
)1x2(2mxx

01x2





−≥
=−+
⇔
)2(
2
1
x
)1(mx1x4x3
2
.
Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên








−≥
=
−+
=
⇔

)4(
2
1
x
)3(m
x
1x4x3
)x(f
2
.Ta có f’(x) =
2
2
x
1x3 +
và bảng biến thiên
x

2
1
−
0
f’(x) + -
f(x)
∞+

2
9
∞+
∞−
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ

9
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔
2
9
m ≥
.
Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét.
Tìm m để hệ





−≥
=−−+
)2(
2
1
x
)1(01x)m4(x3
2
có hai nghiệm phân biệt.
Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm
21
x,x
sao cho
2

1
xx
12
≥>








−>+
≥++
>∆
⇔
1xx
0)
2
1
x)(
2
1
x(
0
21
21







−>+
≥+++
⇔
1xx
0
4
1
)xx(
2
1
xx
21
2121
Áp dụng định lý Viét ta có







−>
−
≥+−
−
1
3

4m
0
4
1
6
1
3
4m
2
9
m
1m
2
9
m
≥⇔





>
≥
⇔
Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai.
Ví dụ 5. Cho phương trình
01m21xlogxlog
2
3
2

3
=−−++
.Tìm m để phương
trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
[ ]
3
3;1
.
Hướng dẫn giải
Đặt
1xlogt
2
3
+=
. Khi
3
3x1 ≤≤
2t1 ≤≤⇒
.
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình



≤≤
=−+=
)2(2t1
)1(m22tt)t(f
2
có
nghiệm

Ta có
1t2)t('f +=
và có bảng biến thiên sau:
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
10
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
t
2
1
−
1 2
f’(t) +
f(t)
4)2(f)t(fmax
2t1
==
≤≤
;
0)1(f)t(fmin
2t1
==
≤≤
.
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là
2m04m20 ≤≤⇔≤≤
.
Ví dụ 6. Tìm m để phương trình có nghiệm

01m23)2m(9

2
x11
2
x11
=+++−
−+−+
Hướng dẫn giải
Đặt
t3
2
x11
=
−+

9t3 ≤≤⇒
. Ta có phương trình
)2t(m1t2t
2
−=+−
. (1)
Do
02t9t3 ≠−⇒≤≤
. Nên phương trình (1)
m
2t
1t2t
2
=
−
+−

⇔
. Vì thế bài
toán trở thành: Tìm m để hệ





≤≤
=
−
+−
=
)3(9t3
)2(m
2t
1t2t
)t(f
2
có nghiệm
Ta có
2
2
)2t(
3t4t
)t('f
−
+−
=
và có bảng biến thiên sau đây:

t 3 9
f’(t) +
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
11
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
f(t)
7
64
)9(f)t(fmax
9t3
==
≤≤
;
4)3(f)t(fmin
9t3
==
≤≤
Vậy các giá trị m cần tìm là:
7
64
m4 ≤≤
.
Ví dụ 7. Cho phương trình
0mx2sin2x4cos)xcosx(sin2
44
=++++
. (1)
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn







π
2
;0
.
Hướng dẫn giải
Phương trình (1)
⇔
0mx2sin2x2sin21)x2sin
2
1
1(2
22
=++−+−

⇔

m3x2sin2x2sin3
2
=−−
(2)
Đặt t = sin2x. khi x
∈







π
2
;0
1t0 ≤≤⇒
.
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ



≤≤
=−−=
)4(1t0
)3(m3t2t3)t(f
2
Ta có
2t6)t('f −=
và có bảng biến thiên sau:
t
0
3
1
1
f’(t) - 0 +
f(t)
0
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
12

SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
3
10
)
3
1
(f)t(fmin
1t0
−==
≤≤
;
{ }
2)1(f);0(fmax)t(fmax
1t0
−==
≤≤
Vậy giá trị m cần tìm là
2m
3
10
−≤≤−
.
Ví dụ 8. Tìm m để hệ sau có nghiệm



=+
=+++
m3yx

m2y1x
Hướng dẫn giải
Đặt
1xu +=
;
0v;0u2yv ≥≥⇒+=
. Bài toán trở thành tìm m để hệ sau
có nghiệm:





≥≥
+=+
=+
0v;0u
3m3vu
mvu
22
. Nếu
0m ≤
hệ vô nghiệm.
Hệ đã cho



≤≤
=−−+−=
⇔

mu0
0)3m3m(mu2u2)u(f
22
Do đó ta cần tìm m để cho
≤≤
≤≤
0)u(fmin
mu0
mu0
)u(fmax
≤≤
m2u4)u('f −=
. Ta có bảng biến thiên sau
u
0
2
m
m
f’(u) - 0 +
f(u)

{ }
3m3m)m(f);0(fmax)u(fmax
2
mu0
−−==
≤≤
;
2
6m6m

)
2
m
(f)u(fmin
2
mu0
−−
==
≤≤
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
13
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Nên
≤≤
≤≤
0)u(fmin
mu0
mu0
)u(fmax
≤≤
⇔

≤≤
−−
0
2
6m6m
2
3m3m

2
−−
153m
2
213
+≤≤
+
⇔
Vây các giá trị cần tìm của m là:
153m
2
213
+≤≤
+
.
Bài tập
1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
22422
x1x1x12)2x1x1(m −−++−=+−−+
(ĐS:
1m12 ≤≤−
)
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn






ππ

−
2
;
2
2
)xcos1(mx2sin22 +=+
( ĐS:
2m0 ≤≤
)
3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
xsinxcosxsin
222
3m32 =+
(ĐS:
4m1
≤≤
)
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng
[
)
∞+;32

)3x(logm3xlog2xlog
22
2
2
−=−−
(ĐS:
3m1 ≤<
)

5. Tìm m để hệ sau có nghiệm





−=+
=+
m1yyxx
1yx
(ĐS:
4
1
m0 ≤≤
)
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
14
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
2. Bất phương trình chứa tham số
Ví dụ 1. Cho bất phương trình
mx2x)x6)(4x(
2
+−≤−+
.
Tìm m để bất phương trình đúng với
[ ]
6;4x −∈∀
Hướng dẫn giải
Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ)

Điều kiện cần

: Giả sử bất phương trình đã cho đúng
[ ]
6;4x −∈∀
thì điều đó
cũng đúng khi
6x;1x;4x ==−=
, tức là
6m
51m
024m
024m
≥⇔





≥−
≥+
≥+
Điều kiện đủ

: Giả sử
6m ≥
Ta có
[ ]
6;4x,51m)1x(mx2x
22

−∈∀≥−+−=+−
.
Theo bất đẳng thức Côsi
với
[ ]
6;4x −∈∀
thì
5
2
)x6)(4x(
)x6)(4x( =
−+
≤−+
.
Từ đó suy ra khi
6m ≥
thì
mx2x)x6)(4x(
2
+−≤−+
đúng với
[ ]
6;4x −∈∀
Vậy
6m ≥
.
Cách 2.(Sử dụng định lý Viét)
Đặt t =
24x2x)x6)(4x(
2

++−=−+

Xét g(x) =
24x2x
2
++−
với
6x4 ≤≤−
2x2)t('g +−=⇒
.
Ta có bảng biến thiên sau:
x - 4 1 6
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
15
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
g’(x) + 0 -
g(x) 25
25)1(g)x(gmax
6x4
==
≤≤−
,
{ }
0)6(g);4(gmin)x(gmin
6x4
=−=
≤≤−
⇒
5t0 ≤≤

Bài toán đã cho có dạng: Tìm m để bất phương trình
0m24tt)t(f
2
≤−−+=

đúng với mọi
5t0 ≤≤
.
TH1) Nếu
2
1
t,0)t(f0 −≠∀>≤∆ ⇒
( không thỏa mãn với mọi
5t0 ≤≤
)
TH2) Nếu
0>∆
⇒
f(t) = 0 có hai nghiệm phân biệt
21
t,t
. Lúc này yêu
cầu bài toán tương đương với



≤<
<≤
≤<≤ ⇔
21

21
21
t5t
t0t
t50t



≤−−
≤
⇔
0)5t)(5t(
0tt
21
21
6m
0m6
0m24
≥⇔



≤−
≤−−
⇔
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
6m ≥
.
Cách 3.(Phương pháp đồ thị).
Đặt

)x6)(4x(y −+=
, thì y
0≥
và ta có



=+−
≥
⇔



=++−
≥
25y)1x(
0y
y24x2x
0y
2222
.
Vì thế đồ thị của
)x6)(4x(y −+=
là nửa đường tròn (nằm phía trên trục Ox)
tâm I(1; 0), bán kính R = 5.
Còn
mx2xy
2
+−=
có đồ thị là Parabol có trục đối xứng x = 1 và (P)luôn

nằm trên nửa đường tròn.
Do đó bài toán có dạng: Tìm m để Parabol
mx2xy
2
+−=
luôn nằm trên nửa
đường tròn
)x6)(4x(y −+=
.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
16
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5)
⇔
6m51m =⇔=−
Vậy bất phương trình có nghiêm khi
6m ≥
.
x
y
-4
1
6
5
Cách 4. Viết lại bất phương trình dưới dạng

mx2x24x2x)x(f
22
≤+−++−=

Ta có:
1x0
24x2x
)24x2x21)(x1(
)x('f
2
2
=⇔=
++−
++−+−
=
Từ đó có bảng biến thiên sau:
x - 4 1 6
f’(x) + 0 -
f(x)
6)1(f)x(fmax
6x4
==
≤≤−
.
Vậy bất phương trình có nghiệm
[ ]
6;4x −∈∀
⇔
6mm)x(fmax
6x4
≥⇔≤
≤≤−
Nhận xét: qua các cách giải của bài toán trên ta nhận thấy cách 4 gọn và dễ làm
nhất!

GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
17
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình
18mx2x)x2)(x4(4
2
−+−≤+−−

đúng với mọi x
[ ]
4;2−∈
.
Hướng dẫn giải
Bất phương trình đã cho
⇔
m108x2x4)8x2x(
22
−≥−−+−+−−
(1)
Đặt
8x2xt
2
++−=
. Ta có
99)1x(8x2xt
222
≤+−−=++−=
⇒
3t0 ≤≤

.
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình
m10t4t)t(f
2
≤+−=
đúng với
mọi t
[ ]
3;0∈
. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi
m)t(fmax
3t0
≤
≤≤
Ta có
04t2)t('f =−=
2t =⇔

Bảng biến thiên sau:
t 0 2 3
f’(t) - 0 +
f(t)

{ }
10)3(f);0(fmax)t(fmax
3t0
==
≤≤
.
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là:

10m ≥
Nhận xét: khác với bài 1, bài này thì cách giải này là hợp lí nhât!
Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x
R
∈
mx9x2m
2
+<+
Hướng dẫn giải
Vì
019x2
2
>−+
,
Rx ∈∀
nên bất phương trình đã cho
⇔
m
19x2
x
2
−+
<
)x(f=

⇔
m
<
R
)x(fmin

GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
18
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Ta có f’(x)



=
−=
=+=
−++
+−
= ⇔⇔
6x
6x
99x20
)1)9x2(9x2
9x29
2
222
2
Bảng biến thiên
x
∞−
- 6 6
+
∞
f’(x) - 0 + 0 -
f(x)

2
1
−

4
3


4
3
−

2
1
R
)x(fmin
4
3
−=
.
Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x
R
∈
thì m
4
3
−<
Ví dụ 4. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm
1m3xmx +≤−−
Hướng dẫn giải

Điều kiện: x
3≥
Khi đó bất phương trình
⇔
)x(f
1x
3x1
m =
−
−+
≤
Bất phương trình đã cho có nghiệm
3x ≥
khi và chỉ khi m
≤
[
)
∞+∈ ;3x
)x(fmax
Xét hàm số
1x
3x1
)x(f
−
−+
=
trên
[
)
∞+;3

. Ta có
3x)1x(2
3x2x5
)x('f
2
−−
−−−
=

327x0)x('f −=⇔=
Bảng biến thiên:

GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
19
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
x
3
327 −
+
∞
f’(x) + 0 -
f(x)

4
31+
2
1
0
Suy ra

[
)
=
∞+∈ ;3x
)x(fmax
4
31+
.
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
4
31
m
+
≤
.
Ví dụ 5. Tìm m để hệ sau đây



≤+−
≤+−
0mmxx
03x7x2
2
2
có nghiệm.
(đây là bất phương trình chứa tham số và kèm theo điều kiện của x)
Hướng dẫn giải
Viết lại hệ dưới dạng






≤≤
−≤
)2(3x
2
1
)1()1x(mx
2
Do x = 1 không phải là nghiệm của (1) với mọi m
nên hệ (1)(2)


















<≤
≥
−
=





≤<
≤
−
=
⇔
)6(1x
2
1
)5(m
1x
x
)x(f
)4(3x1
)3(m
1x
x
)x(f
2
2
.
Hệ (1)(2)có nghiệm

⇔





≥
≤
<≤
≤<
1x
2
1
3x1
m)x(fmax
m)x(fmin
. Ta có



=
=
⇔=
−
−
=
2x
0x
0
)1x(

x2x
)x('f
2
2

Bảng biến thiên sau
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
20
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
x

2
1
1 2 3
f’(x) - - 0 +
f(x)
2
1
−

-
∞
∞+

2
9

2
1

)
2
1
(f)x(fmax
1x
2
1
−==
<≤
;
4)2(f)x(fmin
3x1
==
≤≤
Vậy các giá trị cần tìm của m là




−≤
≥
2
1
m
4m
Bài tập:
1. Cho bất phương trình
0)x2(x)12x2x(m
2
≤−+++−

. Tìm m để bất
phương trình có nghiệm x
[ ]
31;0 +∈
.
2. Tìm m để bất phương trình
( )
01m31m9.m
2xx
>−+−+
+
đúng với
∀
x
R∈
3. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x
[ ]
2;0∈
5)mx2x(log4mx2xlog
2
4
2
2
≤+−++−
4. Tìm m để hệ



≤++
≤−+

01mx3x
01x2x3
3
2
có nghiệm.
5. Tìm m để hệ sau có nghiệm



≥−−−−
≤−
0m20m2xx2x
0x3x
23
2
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
21
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
III. Hiệu quả của đề tài.
Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học
sinh tiếp thu và vận dụng tốt.
Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều bài và vận dụng được.
Lớp
12A1
Dùng điều kiện cần và đủ
và sử dụng đồ thị
Dùng định lý Viét Dùng GTLN,GTNN
50 HS
17% học sinh hiểu bài

8% học sinh vận dụng được
55% học sinh hiểu
và vận dụng được
75% học sinh hiểu
và vận dụng được
C. KẾT LUẬN
Qua các ví dụ vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc ứng dụng giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán chứa tham số là
cho ta một cách giải ngắn gọn và dễ hiểu. Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy
trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm
nghiệm thực tế, tuy nhiên trong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm
khuyết rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa
thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường. Giúp các em học sinh tìm cho mình
một phương pháp ưu việt nhất khi giải các bài toán liên quan đến phương trình
và bất phương trình có tham số.
Xin chân thành cảm ơn!
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
22
SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải
phương trình và bất phương trình có tham số
Thanh Hóa, ngày 29 tháng 5 năm 2012
Người thực hiện
Hoàng Văn Quang
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm 2000 đến 2011.
2. Báo Toán học và tuổi trẻ.
3. Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Tác giả: Nguyến Thái Hòe - XB năm 2006
4. Hàm số - Tác giả: Phan Huy Khải - XB năm 2001
5. SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 11 - NC.

6. SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 12 - NC.
GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ
23