Hướng dẫn làm bài thi tuyển sinh đại học quốc gia hà nội 2015 phần 1

SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 1
HƯỚNG DẪN LÀM BÀI THI MẪU
TUYỂN SINH ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 2015

HD. Ta có
( )
2 2 2 2 2 2 22 2
00 0
2 22 24244224
0 00
aa a
x x x x x x aa a
a aa
xe dx xde xe e dx xe e ae e e a= = − = − = − += − +
∫∫ ∫

Từ giả thiết ta có
( )
( )
22 2
0
42 2442 20 2.
a
xa a
xedx ea ea a=⇔−+=⇔−=⇔=

∫

Đáp án: 2

HD.
44
56
4
11
31
1
33
CC
C
+
−=
.
Đáp án:
31
33







SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 2

HD. Góc giữa hai đường thẳng thỏa mãn công thức:
( )
( )
( )
( )

12
12
12
12
2
2 2 222
.
1.2 1 .1 2.1
1
cos , , 60
2
.
1 1 2. 2 1 1
dd
o
dd
dd
uu
u u dd
uu
+− +
= = =⇒=
+− + + +

 
 
 
.
Đáp án:
60
o


HD. Thể tích tứ diện ABCD là:
( )
21 11 12
11
, . .3 .3 . 3 4
20 04 42
66
ABCD
V AB AC AD
   

= = + + −=
   

   
  
.
Với
( ) ( ) ( )
1;2;1 , 4;2;0 , 3;3; 3AB AC AD −
  

.
Đáp án: 4






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 3

HD. Ta có:
22 2
3
2 33 3 3
11 1
2 22
1 1 1 1 1 87
ln ln ln ln ln2 .
1 11
3 333939
x
I x xdx xdx x x dx x x x
x
= = = − = −=−
∫∫ ∫

Đáp án:
87

ln2
39
−
.

HD. Ta có bán kính của mặt cầu cần tìm là:
( )
222
0126
,( ) 3.
111
R dI P
++ −
= = =
++

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
( ) ( )
22
2
1 2 3.xy z+− +− =

Đáp án:
( ) ( )
22
2
1 2 3.xy z+− +− =

SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 4

HD. Với hệ số a > 0, chúng ta cần tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên R (tức là
∆
của y’
phải nhỏ hơn hoặc bằng 0), hoặc khi y’ có hai nghiệm thì cả hai nghiệm đều phải < 0.
Cụ thể: Ta có
2
' 3 12y x xm=−+

Để hàm số đã cho đồng biến trên trên
( )
0;+∞
khi và chỉ khi:
' 36 3 0
12
' 36 3 0
12
12.
6 36 3
36 3 6
0
3
m

m
m
m
m
m
m
x
∆= − ≤

≥


∆= − >



<

⇔ ⇔≥




+−

− <−
= <









Chú ý: Trong bài toán trên, tại sao thầy không cho cả hai nghiệm cùng nhỏ hơn 0, mà chỉ cho một
nghiệm nhỏ hơn 0.
Vì nếu nghiệm lớn mà nhỏ hơn 0 thì hiển nhiên nghiệm nhỏ hơn cũng phải nhỏ hơn 0, nhưng cái
khó là bạn phải biết so sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai (phần này thầy đã dạy kĩ, các
bạn xem lại khi học lớp 10).
Đáp án:
12.m ≥








SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 5
HD. Ta có:
( )
2
3
'(0) 3.
01
y

−
= = −
−

Đáp án: -3


HD.
22
22 2
0,3 0,09 0,3 0,3 2 2 0 2 1.
xx xx
xx xx x
++
> ⇔ > ⇔ +<⇔ +−<⇔−<<

Chú ý: hàm mũ hoặc hàm logarit cơ số nhỏ hơn 1 thì hàm số nghịch biến nên ta có
2
22
0,3 0,3 2
xx
xx
+
> ⇔ +<
.
Đáp án: -2 < x < 1.

HD.

SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 6
Từ giả thiết các cạnh bên của khối chóp đều bằng 5a nên hình chiếu
O của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) chính là giao điểm hai
đường chéo AC và BD.
Ta có:
22
22 2
53
42
AB BC a
SO SC CO SC
+
= −= − =
.
Thể tích cần tìm là:
3
1 1 53
. .4a.3a. 10 3.
3 32
ABCD ABCD
a
V S SO a= = =

Đáp án:
3
10 3a
.

HD. Ta có
( )
4
44
4
7 7 28 11
44
44
00
11

k
k
k kk
kk
x C x Cx
xx
−
−
= =
  
+= =
  
  
∑∑

,
( )
kN∈
.
Để tìm hệ số của
26
x
ta phải tìm k sao cho
2
28 11 26
11
k kN
− = ⇔= ∉
.
Vậy hệ số của
26
x
là 0.
Đáp án: 0.

HD.
5a
4a
3a
O
D
C
B
A
S

SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 7
Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có:
( )
( )
22
2.3 1 5
, 25
21
IH d I d
+− +
= = =
+
.
Bán kính đường tròn cần tìm là:
( )
2
22 2
25 4 6R IH HA= + = +=
.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
( ) ( )
22

3 1 36.xy− ++ =

Đáp án:
( ) ( )
22
3 1 36.xy− ++ =




HD. Ta có
2
3
' 3 10 3 0
1
3
x
yx x
x
=


= − +=⇔

=

.
Vậy hàm số đã cho đạt cực trị tại
3
1

3
x
x
=



=

.
Đáp án:
3
1
3
x
x
=



=


d:2x+y+5=0
4
B
A
H
I(3;-1)

SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 8

HD. Ta có:
( )
2
22 2 2
2
2
12
21 0
4 2 3 2 2.2 3 0 0
1
23
xx
xx xx xx xx
xx
x
xx
x
−
− −+ − −
−


= =

+ =⇔ + −=⇔ ⇔ −=⇔


=


= −

.
Đáp án:
0
1
x
x
=


=

.

HD. Ta có:
32 32
3 30xxmmxxmm− = +⇔ − − −=
(*)
Xét hàm số
32
() 3fx x x m m

=−− −
trên R.
Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hàm số
()fx
phải có hai điểm cực trị và
D
(). () 0
C CT
f xf x
<
.
Ta có:
2
'( ) 3 3 0 1fx x x= −=⇔=±
( ) (
)
(
) ( )
22
1. 1 0 2 . 2 0f f mm mm⇒− <⇔−− −−−<

( ) ( )
22 2
2. 2 0 2 0 2 1mm mm mm m⇔ +− ++<⇔ +−<⇔−<<
.

SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 9
Đáp án: -2 < m < 1.

HD. Gọi
( )
2
,, , 1
z x yi x y i=+ ∈=−

, ta có:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
22
2
21 3 2 1 3x y ixy i x y x y
+++ =−+ ⇔ + ++ = +−+



2 2 22
44 21 69 1x x y y x y y yx⇔+++++=+++⇔=−
.
Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn bài toán là đường thẳng: y = x – 1.
Đáp án: y = x – 1.

HD. Ta có:
2
'2.y x mx m=+−

Đề hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
2
' 01 0mm m∆ = + ≤ ⇔− ≤ ≤
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đã cho đồng biến trên R là -1.
Đáp số: -1






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 10

HD. Trọng tâm G(1;0).
Phương trình đường thẳng AB:
12
2 1 30
31 2
xy
y x xy
−−
= ⇔ − =−+⇔ + −=
−−

.
Khoảng cách từ G đến đường thẳng AB là:
( )
22
103
G, 2.
11
d AB
+−
= =
+

Đáp án:
2
.

HD. Ta có:
(
)
sin3 sinx os3x+cosx 2sin2x.cosx=2cos2x.cosx osx sin2 os2x 0x c c xc+= ⇔ ⇔ − =

cosx=0 cosx=0
2
( ).
sin2 os2x tan2x=1
82
xk
k
k
xc

x
π
π
ππ

= +


⇔ ⇔⇔ ∈


=


= +










SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 11
Đáp án:
2

( ).
82
xk
k
k
x
π
π
ππ

= +

∈


= +





HD. Gọi số phức z có dạng
( )
2
,, , 1z x yi x y i=+ ∈=−
.
Từ giả thiết ta có:
( )( ) (
)
2

1 52 2 52
1
x
x yi i x yi i x y xi i
y
=

+++ − =+⇔ ++=+⇔

=


Vậy môđun của số phức z là:
22
21 5z = +=
.
Đáp số:
5
.

HD.






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 12

+) Gọi H là trung điểm của BC, khi đó ta có:
(
)


( ' ),( ) ' 60
o
A BC ABC A HA= =
.
+) Tam giác ABC đều cạnh a
3
2
a
AH⇒=
.
3
AA' AH.tan60
2
o
a
⇒= =
.
+) Vậy ta có thể tích cần tìm là:
' ' . ' ' ' 'B'C'
1
.' .'
3
ABCC B ABC A B C AA ABC ABC
V V V S AA S AA
∆∆

= −= −


3
2 21 3
.' . '
3 32 4
ABC
a
S AA BC AH AA
∆
= = =
.
Đáp án:
3
3
4
a
.

HD.
Gọi
;.I NK AB J NK AD=∩=∩
Ta có:
' , 'QMI BB P MJ DD∩= ∩ =
.
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình hộp là ngũ
giác MPNKQ.

Đáp án: ngũ giác.

H
C
B
A
C'
B'
A'
J
I
Q
P
K
N
M
D
C
B
A
C'
D'
B'
A'

SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 13
HD.
Gọi H là trung điểm của AB, từ giả thiết ta có
()SH ABCD⊥
và


( ,( ) 60
o
SC ABCD SCH= =
.
Ta có:
22
2HC BC BH a= +=

.tan 2 3SH HC SCH a⇒= =
.
Thể tích hình chóp S.ABCD là:
3
.
1
.4
3
S ABCD ABCD
V S SH a= =

3
4.

V
a
⇒=

Đáp án: 4.


HD. Gọi k là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến cần tìm, khi đó phương trình tiếp tuyến có
dạng:
( 1)y kx= −
.
Ta có hệ phương trình:
32 32
22
1
0
2 ( 1) 2 5 4 1 0
1
3 41 3 41
2
1
4
x
k
x x x kx x x x
x
xx k xx k
k
=




=



− + = − − + −=



⇔⇔

=


− += − +=







= −





Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

0
11
44
y
yx
=



=−+


H
C
D
B
A
S






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 14
Đáp án:
0
11

44
y
yx
=



=−+

.

HD.
Từ giả thiết ta có:


( ,( )) 60
o
SC ABCD SCA= =
,
22
3AC AB BC a= +=
.tan60 3
o
SA AC a⇒= =
.
Vậy thể tích của khối chóp là:
3
.
11
. . . 2.3 2.

33
S ABCD ABCD
V S SA a a a a= = =

Đáp án:
3
2.a



HD. Gọi
( )
2
,, , 1z x yi x y i=+ ∈=−
.
Ta có:
( )( ) ( )(
) ( ) ( )
1 2 4 22 4
pt i x yi i x yi i x yi xi y x yi xi y i⇔ + + + − − = −⇔ + + − + − − − = −

(
)
324 2
32 4
11
xy x
x y yi i
yy
−= =


⇔ − − = −⇔ ⇔

−=− =


Vậy phần thực của số phức z là 2.






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 15
Đáp án: 2.

HD. Ta có:
2 2 2 2 22 2
1 11 11 1 1
.
2 22 24 2 2
x x x x xx x
x e dx xde xe e dx xe e C e x C

= = − = − += − +


∫∫ ∫

.
Đáp án:
2
11
22
x
ex C

−+


.

HD. Ta có:
( )
( )
( )
3 2 22
' 4( 1) 2 2 2 2 1 2y mx mmxxmxmm

=−+ − = − +−


( )
( )
22
0
'0
21 20
x

y
mxmm
=

⇒=⇔

− +−=









SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 16
Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi
(
)
(
)
22
21 20mxmm− +−=
có hai nghiệm
phân biệt và khác 0
( )
( )

2
2
10
0
81 20
12
20
m
m
m mm
m
mm

−≠

<

⇔ ∆=− − − > ⇔


<<


−≠

.
Đáp án:
0
12
m

m
<


<<

.
Chú ý: Trong lời giải trên để
( )
(
)
22
21 20mxmm− +−=
có hai nghiệm phân biệt và khác 0, thầy
đã giải trong trường hợp tổng quát, để khi các em đi thi,các em vận dụng để giải quyết được tất cả
các dạng toán hỏi giống câu 28. Tuy nhiên các bạn khi đã hiểu bản chất thì các bạn có thể giải như
sau:
2
10
0
2
0
12
2( 1)
m
m
mm
m
m
−≠


<


⇔
−


−>
<<


−

.
Để giải những dạng bất phương trình kiểu trên, thầy đã dạy các bạn tuyệt chiêu là vẽ trục số, biểu
diễn nghiệm và xét dấu (các em xem lại bài giảng của thầy khi học lớp 10).

HD. Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất
2
1
0 1 0 1.
1
m
D mm
m
⇔ = ≠⇔− ≠⇔ ≠±

Đáp án:
1.m ≠±

SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 17
Lưu ý: Các bạn cần xem lại cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng định thức khi thầy dạy
các bạn ở lớp 10.

HD. Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;-2) và bán kính
15R =
.
Ta có khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
( )
22 2
1 1 2. 2 2
( ,( )) 6
112
dI P
−+ − −
= =
++
.
Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến là:
( )
22

,( ) 3r R d IP=−=
.
Đáp án: 3.

HD. Ta có:
(
)( ) ( )
2 1 13 2 1 13 42z ii i i i i
= + − ++ = −+ ++ = +
.
Vậy môđun của số phức z là:
22
4 2 25z = +=
.
Đáp án:
25
.






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 18

HD. Ta có:
2
'3 6y x xa= −+

.
Để hàm số đạt cực tiểu tại A(2;-2) thì ta có:
'(2) 0 0
2
(2) 2 2
ya
ab
yb
= =

⇔ ⇒+=

=−=

.
Đáp án: 2.
Chú ý: Với đề trắc nghiệm 32 thì ta giải như trên là xong (vì ta chỉ cần quan tâm đến đáp án).
Nhưng nếu là đề tự luận, thì các bạn nhớ sau khi tìm được a, b thì ta lại phải thay giá trị a, b vừa
tìm được vào hàm số ban đầu và kiểm tra xem đúng hàm số khi đó có điểm cực tiểu là A(2;-2) hay
không rồi mới được kết luận.

HD. Ta có:
2
'3 4y x xm= −+
.
Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ bằng 1, ta có:
'(1) 0 1.ym=⇔=

Đáp án: 1.
Chú ý: Tương tự bài 32 thì bài trắc nghiệm 33 ta giải như trên là xong (vì ta chỉ cần quan tâm đến

đáp án). Nhưng nếu là bài tự luận thì các bạn sau khi tìm được giá trị của m, ta cần thay giá trị đó
vào hàm số ban đầu và kiểm tra xem hàm số có đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ là 1 hay không,
rồi mới được kết luận.






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 19

HD. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
(
)
( )
( )
2
22
1 2.2 2. 3 2
,( ) 3
12 2
dM P
+ − −−
= =
+ +−
.
Đáp án: 3.

HD. Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là:
1
2
xt
yt
zt
=


= +


= +

với
t∈
.
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P), khi đó
()Hd P= ∩
.
Tức là:
( )
;1 ;2H d Ht t t∈⇒ + +
và
( ) ( )
() 1 2 0 1
HP t t t t
∈ ⇒+++ +=⇔=−
.
Vậy tọa độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (P) là: H(-1;0;1).

Đáp án: (-1;0;1).






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 20

HD. Ta có:
( )
( )
( )( )
( )
( )
2
2
11 1
43453 1 3453
43
lim lim lim
4 59 4 1
4 53
xx x
xx x x x x
xx
xx
x

→→ →
− + ++ − − ++
−+
= =
+− −
+−

( )
( )
1
3 4 53
lim 3
4
x
xx
→

− ++

= = −
.
Đáp án: -3.


HD. Áp dụng công thức của cấp số cộng:
( )
1
1
n
uu n d=+−

, ta có:

31
1
1
10 1
1
24
27
327
1
9 19.
2 4 10
10
2
uu
ud
u
uud
ud
uu
d
+=
+=
=



⇔ ⇔ ⇒=+=
 

+=
+=
=




Đáp án: 19.







SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 21
HD. Ta có hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho thỏa mãn:
22 2
0
212 413 60
2
x
xx xx xx
x
=

− + += − +⇔ − = ⇔


=

.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho là:
( ) ( )
(
) (
)
22
2 2 2 32
00
2
21 2 41 3 6 3 4
0
S x x x x dx x x dx x x

= −+ +− − + =− + =−+ =

∫∫
.
Đáp án: 4.

HD. Ta có:
2
'3 6y x xm= −+
.
Để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng -1 song song với đường thẳng d
thì ta có:
'( 1) 7 9 7 2.y mm−=⇔+ =⇔ =−

Đáp án: -2.

HD. Ta có:
( )
( )
4
1
2
8
2
3.2 8 0 2 8 3
3
log 3.2 8 1
2
3.2 8 4 2 4
2 12.2 32 0
x
xx
x
xx x
xx
x
x
x
−

>

−> = =




− = −⇒ ⇔ ⇔ ⇔



=
−= =




− +=


Vậy
12
5.xx+=

Đáp án: 5.






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 22

HD. Ta có:
2
' 3 2 '( 1) 1
yx y= −⇒ −=
và
( 1) 1y −=
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
1. 1 1 2y x yx= + +⇔ = +
.
Đáp án:
2
yx= +
.

HD. Ta có:
( )( )
22 2
2
00 0
57 57 2 3
32 1 2 1 2
xx
I dx dx dx
xx x x x x
++

= = = +


++ + + + +

∫∫ ∫

( )
2
2ln 1 3ln 2 2ln3 3ln 2
0
xx= ++ + = +
.
Đáp án:
2ln3 3ln 2+
.
Chú ý: với bài toán này các bạn có thể dùng máy tính sẽ cho kết quả nhanh hơn.






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 23

HD. Ta có
( )
(
)
()
2;1; 3 , 2;1; 1

dQ
un
−
 
.
Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
( ) ( )
() ()
, 4;8;0 4. 1; 2;0
P dQ
n un

= =− =−−

  
.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
( ) ( )
1. 1 2. 0. 1 0 2 1 0.x y z xy− − + + = ⇔ − −=

Đáp án:
2 1 0.xy− −=


HD. Ta có:
( ) ( )( )
( )
( )
2
1

0
1 14 2
14 2 3 7 2
00
3
1 11
12
x
xx x x
x x xx
x x xx xx
x

<<
+− − −
+ − − +−

> ⇔ >⇔ >⇔

− −−
<<


Đáp án:
1
0
3
12
x
x


<<


<<

.






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 24

HD. Mặt phẳng (P) cần tìm là:
( ) ( )
2 1 1. 2 1. 0 2 4 0x y z xyz− + − − =⇔ +−−=
.
Đáp án:
2 40xyz+−−=
.

HD. Ta có:
2
'3 6 6y x mx m=−+
.
Hàm số có hai điểm cực trị

'0y⇔=
có hai nghiệm phân biệt
(
) ( )
2
0
' 3 18 0 9 2 0
2
m
m m mm
m
<

⇔∆=− − >⇔ − >⇔

>

.
Đáp án:
0
2
m
m
<


>

.

HD.






SÂN CHƠI TÀI NĂNG VIỆ T

Page 25
Gọi H là trung điểm của BC, từ giả thiết ta có:
( )
'
' BC
AH BC
BC HAA
AA
⊥

⇒⊥

⊥


Kẻ
(
)
', ' ( ')AK HA K HA AK HAA
⊥ ∈ ⇒⊂
.

Suy ra:
BC AK⊥
. Khi đó
( ,( ' )) .d A A BC AK=

Xét trong tam giác HAA’ vuông tại A ta có:
222
111
'AK AH AA
= +
. (1)

Từ
23
.'''
1
. ' .4 .AA' 2 2 ' a 2.
2
ABC A B C ABC
V S AA a a AA
∆
= = = ⇒=
(2)
Và
222
111
2.AH a
AH AB AC
= + ⇒=
(3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta có: AK = a.
Vậy
1.
h AK
aa
= =

Đáp án: 1.

HD.
Kẻ
( ) ( )
, ,(SCD)
AH AD H SD d A AH⊥ ∈⇒ =
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
11
,( ) ,( ) ,( )
22
5
a
d M SCD d B SCD d A SCD= = =
.

( )
2
,(SCD) .
5
a

dA⇒=

Mặt khác:
22 2
22
111 .
2.
AH AD
SA a
AH AS AD
AD AH
= + ⇒= =
−


Vậy
2.
SA
a
=

K
H
C'
A'
B'
C
B
A
H

M
D
C
B
A
S