Chuyên Đề: Hàm Số Mũ Và Logarit

Chuyên đề 6:
HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:

•
(n

n
n thừa số
a a.a a=

Z ,n 1,a R)
+
∈≥∈
•
1
aa=
a
∀
•
0
a1=
a0
∀≠
•
n
n

1
a
a
−
=
{
}
(n Z ,n 1,a R/ 0 )
+
∈≥∈

•
m
n
m
n
aa= ( )
a0;m,nN>∈
•
m
n
m
n
m
n
11
a
a
a
−

==

2. Các tính chất :

22

•
mn mn
a.a a
+
=
•
m
mn
n
a
a
a
−
=

•
mn nm m.n
(a ) (a ) a==
•
nnn
(a.b) a .b=
•
n
n

n
aa
()
b
b
=




3.
Hàm số mũ
: Dạng : ( a > 0 , a
x
ya=
≠
1 )
• Tập xác đònh :
DR=
• Tập giá trò : ( )
TR
+
=
x
a0 x>∀∈R
a=
a=
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
y

đồng biến trên R
x
* 0 < a < 1 :
y
nghòch biến trên
x
R
• Đồ thò hàm số mũ :
•
N.Đ.K

a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1

Minh họa
:

f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5

-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=2
x
y=
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1

1
x
y
y
x
1

O
O











II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0


dn
M
a
log N M a N
= ⇔=


23


Điều kiện có nghóa

: có nghóa khi N
a
log
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≠
>
0
1
0
N
a
a
2. Các tính chất :

•

a
log 1 0
=
•

a
log a 1
=
•

M
a
log a M
=
•

log N
a
aN=
•
a12 a1 a2
log (N .N ) log N log N=+
•

1
aa1
a2
2
N
log ( ) log N log N
N
=−

N.Đ.K

24
a
•

a
log N .log N
α
=α
Đặc biệt :
2
aa
log N 2.log N
=


3. Công thức đổi cơ số
:

•

aab
log N log b.log N
=
•

a
b
a
log N
log N
log b
=

* Hệ quả:

•

a
b
1
log b
log a
=
và
k
a
1
log N log N
k
=
a



4.
Hàm số logarít
: Dạng ( a > 0 , a
a
ylogx
=
≠
1 )
•
Tập xác đònh :
+

=DR
•
Tập giá trò
=
TR
•
Tính đơn điệu:
* a > 1 : yl đồng biến trên
a
ogx
=
+
R

* 0 < a < 1 : yl nghòch biến trên
a
ogx
=
+
R

•
Đồ thò của hàm số lôgarít:

Minh họa:
0<a<1

y=log
a
x
1
x
y
O
a>1

y=log
a
x
1
y
x
O

f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y

y=log
2
x
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5

-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1
log=
1
O
1
O


N.Đ.K
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1. Đònh lý 1: Với 0 < a 1 thì : a
≠

M
= a
N

⇔
M = N

2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔
M > N (nghòch biến)

3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N

⇔
M < N (đồng biến )

4. Đònh lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì : log
≠
a
M = log
a
N
⇔

M = N

5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M >N (nghòch biến)

6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M < N (đồng biến)


25

III.
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG
:

1.
Phương pháp 1
: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
= a

N
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
x1 2x1
927
++
=
2)
2
x3x2
24
−+
=

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
34
2)
2x 8 x 5
.3270
++
−+=

xxx
6.9 13.6 6.4 0− +=
3)
xx
(2 3) (2 3) 4

−++=

4)
2 −
−
5) 6)
32
2
2
2
=
−+ xxxx
027.21812.48.3
=−−+
xxxx
07.714.92.2
22
=+−
xxx
Bài tập rèn luyện:
1)
4)32()32 =−+
xx
( +
(
1±x
)
2)
8
+

(x=0)
xxx
27.218
=
+
=+
xxx
+
=+
xxx
3)
125
(x=0)
13
250
4)
25
(x=0)
12
210
5)
xx
8) (3 8) 6++−=(3
(
)2
±=
x

6) (x=0)
xxx

8.21227 =+
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1.
Phương pháp 1
: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a
log M log N
a
=
(đồng cơ số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2
21
2
1
log log (x x 1)
x
=−
−

2)
[
]
2
log x(x 1) 1−=

3)
22
log x log (x 1) 1+−=

2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.

Ví dụ
: Giải các phương trình sau :
N.Đ.K
1)
2
22
64
3
log 2x log x
+=
2)
051loglog
2
3
2
3
=−++ xx

V.
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG
:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
( )
,,
≤>≥

Ví dụ
: Giải các bất phương trình sau :

36x
4x 11
2
x6x8
1) 2 1
1
2) 2
2
−
−−
+ +
>
⎛⎞
>
⎜⎟
⎝⎠


2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ
: Giải các bất phương trình sau :

xx
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4

+
< +
>+

VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:

1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : ( )
aa
log M log N
<
,,
≤>≥

Ví dụ
: Giải các bất phương trình sau :
1)
2
22
log (x x 2) log (x 3)
+ −> +

2)
2
0,5 0,5
log (4x 11) log (x 6x 8)
+ <++

3)
2
13

3
log (x 6x 5) 2log (2 x) 0
− ++ −≥


2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số
Ví dụ
: Giải bất phương trình sau :

2
22
log x log x 2 0
+ −≤

VII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH:

Ví dụ :
Giải các hệ phương trình
1)
23
93
x1 2y 1
3lo
g
(9x ) lo
gy
3
⎧
−+ − =
⎪

⎨
−=
⎪
⎩
6)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−
=
−−
4)(log)(log
)
3
1
()3(
22
2
yxyx
yxyx

2)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+

=−−
25
1
1
log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
7)
y
3
34 x
(x11)3
x
ylogx1
⎧
−
+− =
⎪
⎨
⎪
+=
⎩

3)
⎪

⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
−=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
8)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=
−
2)(log
11522.3

5
yx
yx

4)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
+=−
102
1
yx
xxy
9)
x4y30
log x log y 0
42
−+=
− =
⎧
⎨
⎩

5) 10)
⎩
⎨
⎧

=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=
3
644.2
yx
yx


Hết

26
N.Đ.K