Bài giảng Phân tích và Thiết kế giải thuật nâng cao: Chương 4 PGS.TS. Trần Cao Đệ

1
Chương 4:
Các giải thuật hình học
Computational Geometry
PGS. TS. TRẦN CAO ĐỆ
Đại Học Cần Thơ
2013
2
Dữ liệu nhiều chiều

Các giải thuật hình học
liên quan tới dữ liệu
không gian đa chiều.
–
Một điểm trong mặt phẳng (x,y)
–
Một điểm trong không gian (x,y,z)

Các ứng dụng máy
học, xử lí ảnh cần xử lí
dữ liệu hàng trăm, hàng
ngàn chiều.

Các bài toán thống kê,
điều khiển cũng cần xử
lí dữ liệu nhiều chiều

Một số bài toán quan
trọng
–
Tìm kiếm theo phạm vi (range searching

query)
–
Tìm bao lồi (convex hull)
3
Cây tìm kiếm phạm vi

Một điểm trong không
gian d chiều được biểu
diễn theo tọa độ bởi
(x
0
,x
1
,…,x
d-1
).

Tìm kiếm theo phạm vi
là tìm kiếm các điểm
trong một phạm vi nào
đó.
–
Ví dụ tìm các điểm gần với (xq,yq) trong
khoảng cách r.
–
Kết quả tìm kiếm là tất cả các điểm hình
tròn ((xq,yq),r)

Giải thuật tìm kiếm
thường tổ chức dữ liệu

theo cây cân bằng – gọi
là cây TK phạm vi.
4
Tìm kiếm 1 chiều theo phạm vi

Cho một tự điển (tập
hợp các phần tử) có
thứ tự

findAllInRange(k
1
,k
2
):
trả về các phần tử thỏa:
–
k1 ≤ x ≤ k2

Dùng cấu trúc cây
TKNP để lưu trữ các
phần tử

Giải thuật tìm kiếm
1DTreeRangeSearch(k1,k2,v)
–
Nếu v là nút ngoài (V=NULL): dừng
–
Nếu v là nút trong

Key(v)<k1: tìm đệ qui

trên cây phải của v

k
1
≤ key(v) ≤ k
2
: trả ra v
và tìm đệ qui trên cả 2
cây con

Key(v)>k2: tìm đệ qui
trên cây con trái của v.
5
Giải thuật 1DTreeRangeSearch
1DTreeRangeSearch(k1,k2,v){
if v.isExternal(v) return ∅;
if (k1 ≤ key(v) ≤ k2) {
L= 1DTreeRangeSearch(k1,k2,T.leftChild(v));
R= 1DTreeRangeSearch(k1,k2,T.rightChild(v));
return L U {element(v)} U R;
}
else if (key(v) <k1)
return 1DTreeRangeSearch(k1,k2,T.rightChild(v));
else
return 1DTreeRangeSearch(k1,k2,T.leftChild(v));
}
68
2312
21
18

6142
55
49
9074
81
37 99
Cho k1=30, k2=80
Tìm kiếm 1DTreeRangeSearch(k1,k2,T.Root()) sẽ trả ra các nút nằm giữa
hai nút ngoài màu đỏ ở trên.
68
2312
21
18
6142
55
49
9074
81
37 99

Gọi P1 là đường đi khi tìm kiếm trên cây theo khóa k1

Gọi P2 là đường đi khi tìm kiếm trên cây theo khóa k2

Định nghĩa;
–
V là nút biên: nếu v là nút thuộc P1 hoặc P2
–
V là nút trong: nếu v không là nút biên và v là nút thuộc cây con phải của nút thuộc P1 hoặc con trái của nút thuộc P2.
–

V là nút ngoài: nếu v không là nút trong cũng không là nút biên.
8
Hiệu quả của giải thuật

Định lý:
Tìm kiếm 1 chiều theo phạm vi trên một cây TKNP cân bằng có chứa n nút cần:

Không gian lưu trữ O(n)

Thời gian thực hiện 1DTreeRangeSearch là O(logn+s) với s là số phần
tử trả về sau tìm kiếm

Thời gian thực hiện xóa một phần tử là O(logn)
9
Chứng minh

Không duyệt nút ngoài nào

Có nhiều nhất là 2h+1 nút
biên

Mỗi khi duyệt nút trong v, tất
cả các cây con T
v
gốc v
cũng được duyệt và tất cả
các nút của T
v
có trong kết
quả tìm kiếm.

–
Nếu Tv có sv nút thì ta phải duyệt 2sv+1 nút (Sv
nút trong và sv+1 nút ngoài)
–
Các nút trong nằm trên j cây con rời nhau có
nút gốc là con của nút biên và
j ≤ 2h.
–
Gọi si là số nút của cây Ti ta có tổng số nút phải
duyệt là: ∑
j
i=1(2si+1)=2s+j ≤ 2s+2h

Vậy phải duyệt nhiều nhất là
2s+4h+1 tức là O(logn + s)
10
Tìm kiếm 2 chiều theo phạm vi

Cho không gian hai chiều

Mỗi điểm là một cặp (x,y)

FindAllInRange(x
1
,x
2
,y
1
,y
2

): Tìm kiếm tất cả các cặp thỏa:
–
x1 ≤ x ≤ x2
–
y1 ≤ y ≤ y2
11
Tổ chức dữ liệu tìm kiếm 2 chiều theo
phạm vi

Tổ chức dữ liệu lưu trữ
tự điển chứa các phần
tử (x,y)
–
Cấu trúc chính : Cây TKNP (cân bằng)
theo x. Kí hiệu T
–
Cấu trúc phụ: gắn vào mỗi nút của cấu trúc
chính là một cây TKNP (cân bằng) theo y.
kí hiệu T(v) là cây gắn với nút v.

Mỗi nút của cấu trúc
chính (cây T) lưu trữ
–
Một phần tử có tọa độ x(v), y(v) và giá trị
element(v), VÀ
–
Cây tìm kiếm một chiều theo y, kí hiệu T(v)
chứa các phần tử như cây con của T gốc v
với các khóa là tọa độ y.
12

Ví dụ minh họa cây tìm kiếm 2 chiều
theo phạm vi

Các phần tử (30,20), (15,40), (35,2), (5,33), (20,50)
30
35
205
15
Cấu trúc chính là một cây TKNP
(cân bằng) theo tọa độ x
20
40
33
2
50
2
40
33
50
5033
13
Xây dựng cây TK 2 chiều

Cây tìm kiếm hai chiều theo phạm vi chứa n nút cần dùng không gian
O(nlogn) và có thể xây dựng trong thời gian O(nlogn)
–
Cấu trúc chính dùng O(n) không gian
–
Cấu trúc phụ dùng không gian tỷ lệ với số nút lưu trữ. Một nút v trên cây T có thể có O(logn) tiền bối 
v được copy O(logn) lần

 Không gian lưu trữ O(nlogn)
–
Thời gian xây dựng cũng là O(nlogn).
14
Tìm kiếm 2 chiều theo phạm vi
FindAllInRange(x1,x2,y1,y2)

Tìm một xe mô tô giá
25tr40tr, tiêu thụ xăng 40-
50km/lít.

Giải thuật
–
Tìm trên cấu trúc chính [x1,x2]
–
Khi tìm thấy một nút trong v, tìm đệ qui trên cấu
trúc phụ [y1,y2]

Nút phân phối (allocation
node) : nút trong+nút con
của nút biên.

Các nút biên chia làm 3
nhóm
–
Nút giữa: giao của P1 và P2
–
Nút trái: nút thuộc P1 nhưng không thuộc P2
–
Nút phải: thuộc P2 nhưng không thuộc P1.


Với mỗi nút phân phối: tìm
trên cấu trúc phụ [y1,y2].
Ví dụ minh họa
Nút phân phối
Nút biên
16
Giải thuật tìm kiếm

2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,v,t)
–
Input: cho các khóa x1,x2,y1,y2 và cấu trúc chính T; v là nút trên T; t là kiểu của nút
–
Output: tập hợp các nút v mà các nút thuộc cây con gốc v có tọa độ thỏa mãn x1 ≤ x ≤ x2 và
y1 ≤ y ≤ y2
2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,v,t){
If T.isExternal(v) return ∅;
If (x
1
≤ x(v) ≤ x
2
) {
if (y
1
≤ y(v) ≤ y
2
)
M=[element(v)]
else M= ∅;
if (t==“left”){

L=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.leftChild(v),”left”)
R=1DTreeRangeSearch(y1,y2,T.rightChild(v))
} else if (t==“right”){
L=1DTreeRangeSearch(y1,y2,T.leftChild(v))
R=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.rightChild(v),”right”)
} else { //t==“middle”
L=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.leftChild(v),”left”)
R=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.rightChild(v),”right”)
}
}
else { //của if đầu tiên
M= ∅;
if (x(v) < x1){
L= ∅;
R=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.rightChild(v),t);
} else { //x(v) > x2
L=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.leftChild(v),t);
R= ∅;
}
}
Return L U M U R;
Gọi lần đầu tiên:
2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.root(),”middle”);
19
Hiệu quả của giải thuật

Giải thuật tìm kiếm 2 chiều theo phạm vi chứa n
phần tử lấy thời gian O(log
2
n+s) với s là số phần tử

trả về sau tìm kiếm.

Chứng minh: xem trang 554-Goodrich
–
O(logn) nút biên
–
Mỗi nút phân phối (allocation) v duyệt 1 chiều mất O(lognv+sv), nv là số nút trên cây Tv (cấu trúc phụ)
–
Có O(logn) nút allocation
 Thời gian O(log
2
n+s)
20
Cây tứ phân (Quadtrees)

Trong các bài toán xử lí ảnh
–
Xử lí các điểm có tọa độ hạn chế (2048x2048)
–
Các điểm tập trung

Xét các điểm trong mặt phẳng
(x,y)

Cây tứ phân là cây
–
mỗi nút trong ứng với một vùng hình vuông R
–
Các nút con của một nút tương ứng với 4 hình vuông
con ở 4 góc của R.

–
Các nút được phân chia một cách đệ qui để mỗi vùng
chứa 1 điểm. Vùng chứa 1 điểm coi như là một nút
ngoài.
r
r1r2 r4r3
21
Ví dụ
f
a
mk
bd
jil g h
ec
Nút trong
Nút ngoài
22
Hiệu quả cây tứ phân

Nếu có hai điểm rất gần nhau thì thời gian xây dựng cây sẽ rất lâu

Thiết kế một biên (bound) D, chiều sâu giới hạn.

Thời gian xây dựng cây tứ phân cho n điểm trong mặt phẳng là
O(D*n), D là chiều sâu giới hạn của cây.
23
Tìm kiếm trên cây tứ phân

Tập S các điểm


Giả sử câu truy vấn là hình
chữ nhật A

Kết quả tìm kiếm là tất cả
các điểm thuộc S nằm trong
A.

Tìm kiếm
–
Bắt đầu từ gốc r của cây.
–
Nếu vùng R (tương ứng với r) ∩ A = ∅ : dừng
–
Nếu R ⊆ A: tất cả các nút lá của cây gốc r đều
là kết quả.
–
Nếu R ∩ A ≠ ∅: tìm kiếm đệ qui trên mỗi con v
của nút r.

Thời gian tìm kiếm là
O(D*n), với n là số nút
ngoài.
–
Giải thuật tìm kiếm có thời gian > thời gian của
giải thuật tìm brute forte!
–
Trong thực hành thì TK trên cây tứ phân nhanh
hơn tìm kiếm brute forte!
24
k-d-Trees


Cây tứ phân không thể
tổng quát hóa cho
nhiều chiều.
–
KG 3 chiều mỗi nút có 8 nút con;
–
KG d chiều, mỗi nút có 2
d
nút con.

Cây k-d: là cây nhị
phân được xây dựng
khá tương tự với cách
xây dựng cây tứ phân.
–
Mỗi nút tương ứng với một vùng hình chữ
nhật
–
Phân chia không gian chứa các điểm
thành các hình chữ nhật, mỗi hình chứa 1
điểm.
25
Hai loại cây k-d

Dựa trên vùng (region
based)
–
Chia vùng HCN thành hai HCN theo trục
dài nhất. Nếu có nhiều trục dài bằng nhau

thì chia xoay vòng theo các trục.

Dựa trên điểm (point-
based)
–
Chia theo phân phối điểm. Mỗi HCN chứa
phân nửa số điểm