SKKN Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi

Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
Phương trình PT
Bất phương trình BPT
Hệ phương trình HPT
Hệ bất phương trình HBPT
Học sinh giỏi HSG
Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Như chúng ta biết, trong các đề thi đại học và đề thi HSG cấp tỉnh những
năm gần đây bao giờ cũng có ít nhất một bài toán chứa tham số. Nó có thể rơi
vào phần câu hỏi phụ trong bài khảo sát hàm số, cũng có khi là trong một bài
toán hình học, nhưng thông thường nhất vẫn là trong các bài toán về PT, HPT,
BPT, HBPT. Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không
thể giải được bằng phương pháp đại số thông thường, kinh điển hoặc có thể giải
được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp.
Bên cạnh đó, đạo hàm là một nội dung quan trọng của chương trình toán
THPT. Nó vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công cụ hữu hiệu để giải
quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT. Trong đó có việc ứng dụng đạo
hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số.
Về vấn đề này, cũng đã có rất nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm
(SKKN). Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống về những ứng dụng của
đạo hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số không nhiều
và học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng trong việc nhận diện, giải quyết
dạng toán.
Do đó việc chọn lựa một đề tài SKKN nhằm góp phần giải quyết vấn đề
trên là việc làm phù hợp với thực tiễn, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của
người cán bộ giáo viên. Chính vì vậy tôi chọn đề tài SKKN là: “Ứng dụng đạo
hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi
đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi”.

II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
- Giúp học sinh nhận dạng được các PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số
có thể ứng dụng đạo hàm để giải. Trang bị cho học sinh một phương pháp mang
lại hiệu quả rõ nét.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
1
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán
trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và ôn luyện HSG môn Toán.
III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Các dạng toán giải PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số trong chương
trình toán phổ thông, đặc biệt là trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, trong
các kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh.
- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu
tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).
- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS
thông qua trao đổi trực tiếp).
- Phương pháp thực nghiệm.
Phần II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
1. Lí luận chung:
Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ

động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối
tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương
pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách
nhiệm học tập cho học sinh.
Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn
luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây
dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự
giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm
vụ đã được đề ra.
2. Kiến thức vận dụng:
a) Định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo
hàm của các hàm số thường gặp, công thức tính đạo hàm của hàm hợp.
b) Để giải các PT, HPT, BPT, HBPT có chứa tham số bằng phương pháp
đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững các mệnh đề (MĐ) sau:
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
2
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Cho hàm số
( )y f x=
liên tục trên tập
D
MĐ1: Số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) bằng số giao điểm của hai
đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x).
MĐ2: Phương trình
( )f x m=
có nghiệm
( ) ( )
min max

x D
x D
x D f x m f x
∈
∈
∈ ⇔ ≤ ≤
MĐ3: BPT
( )f x m≤
có nghiệm
( )
min
x D
x D f x m
∈
∈ ⇔ ≤
MĐ4: BPT
( )f x m≤
nghiệm đúng với mọi
( )
max
x D
x D f x m
∈
∈ ⇔ ≤
MĐ5: BPT
( )f x m≥
có nghiệm
( )
max
x D

x D f x m
∈
∈ ⇔ ≥
MĐ6: BPT
( )f x m≥
, nghiệm đúng với mọi
( )
min
x D
x D f x m
∈
∈ ⇔ ≥
MĐ7: Cho hàm số
( )y f x=
đơn điệu trên tập
D
Khi đó
( ) ( )
f u f v u v= ⇔ =
(với mọi
,u v D∈
)
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:
Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy ứng dụng của đạo
hàm trong giải các bài toán cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là trong giải các
PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số. Nhưng học sinh thường không mạnh dạn,
tự tin sử dụng công cụ rất mạnh này (hay nói cách khác là chưa có kỹ năng sử
dụng) trong giải toán vì:
- Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện
đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11. Trong khi đó từ

cấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài
toán về giải PT, HPT, BPT, HBPT (có tham số và không có tham số) và đã quen
sử dụng các phương pháp giải toán đại số kinh điển để giải.
- Tài liệu viết về ứng dụng của đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT,
HBPT chứa tham số không nhiều, học sinh không nhận diện được các dạng toán
và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán
trọn vẹn.
- Số lượng các bài toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề
thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, trong các kỳ thi HSG cấp tỉnh những năm
gần đây và phương pháp sử dụng để giải chủ yếu là sử dụng đạo hàm.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã giúp học sinh nhận
dạng bài toán và phương pháp giải các dạng toán theo hệ thống bài tập được sắp
xếp theo một trình tự logic.
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
3
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
1. Phương pháp giải
Dạng toán thường gặp là tìm giá trị tham số m để PT, BPT có nghiệm
(hoặc có nghiệm thõa mãn điều kiện nào đó). Với dạng toán này ta có thể thực
hiện theo các bước như sau:
Bước 1: Biến đổi PT, BPT về dạng
( ) ( )
f x g m=
(hoặc
( ) ( )
f x g m≥
,
hoặc

( ) ( )
f x g m≤
. Hay còn gọi là cô lập m).
Bước 2: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
f x
Bước 3: Tính
( )
'f x
Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
Bước 5: Xác định
( )
min
x D
f x
∈
và
( )
max
x D
f x
∈
Từ đó vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở phần kiến thức bên trên
rút ra kết luận cho bài toán.
Lưu ý: Trường hợp các PT, BPT chứa các biểu thức phức tạp, ta có thể
xem xét đặt ẩn phụ để đơn giản chúng. Nếu được ta làm như sau:

+ Đặt
( )
t x
ϕ
=
(
)(x
ϕ
là một biểu thức trong PT, BPT)
+ Từ điều kiện ràng buộc của ẩn số
Dx
∈
, tìm điều kiện của ẩn số
t
,
ví dụ
Kt ∈
(chú ý là phải tìm được điều kiện chặt của t)
+ Đưa PT, BPT ẩn số
x
về PT, BPT ẩn số
t
ta được
( ) ( )
f t h m=

(hoặc
( ) ( )
f t h m≥
, hoặc

( ) ( )
f t h m≤
).
+ Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
trên tập K.
+ Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán.
2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + − + + − =

Lời giải:
điều kiện
81
≤≤−
x
.
Đặt f(x)=
1 8 (1 )(8 )x x x x+ + − + + −
, với
81 ≤≤− x

'
1 1 7 2 8 1 7 2
( )
2 1 2 8 2 1 8 2 1 8 2 1 8
1 1
(7 2 )

2 1 8 ( 8 1 ) 2 1 8
x x x x
f x
x x x x x x x x
x
x x x x x x
− − − + −
= − + = +
+ − + − + − + −
 
= − +
 
+ − − + + + −
 
Mà
1 1
2 1 8 ( 8 1 ) 2 1 8x x x x x x
+
+ − − + + + −
>0 nên f
’
(x)=0
⇔
7-2x=0
⇔
x=
7
2
Bảng biến thiên :

Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
4
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
x
-1
7
2
8
f’(x) + 0 -
f(x)

9
3 2
2
+
3 3
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x)
và đường thẳng y=m. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có
nghiệm thì
[ ]
[ ]
)(max)(min
8;1
8;1
xfmxf
−
−
≤≤
⇔

23
2
9
3 +≤≤ m
.
Nhận xét:
Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là đặt ẩn phụ
t=
1 8x x+ + −
, sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số để
phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước. Tuy nhiên với cách đặt
ẩn phụ đó nếu không dùng đạo hàm thì thường phải vận dụng định lý đảo về
dấu của tam thức bậc hai. Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới
đã giảm tải. Vì vậy phương pháp dùng đạo hàm là sự lựa chọn thích hợp nhất
cho bài toán này.
Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương:

2
11 7
4 1
2
x
x x
 
+ + +
 ÷
 
= m
Lời giải:
Đặt y= f(x)=

2
11 7
4 1
2
x
x x
 
+ + +
 ÷
 
ta có
'
2
2 2
11 28
1
2
4 28
y
x
x x
= − −
+

'
2
2 2
11 28
0 ( ) 1
2

4 28
y g x
x
x x
= ⇔ = − =
+
Dễ thấy g(x) nghịch biến với x>0 (vì g’(x)<0,
∀
x>0). Mặt khác g(3)=1 nên x=3
là nghiệm duy nhất
mà
'
'
3 ( ) 1 0
3 ( ) 1 0
x g x y
x g x y
> ⇒ < ⇒ >
< ⇒ > ⇒ <
vì vậy ta có bảng biến thiên sau
x 0 3 +
∞
y
’
- 0 +
y +
∞
+
∞

15
2
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và
đường thẳng y=m. Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm dương
phân biệt
⇔
( )
∞+
>
;0
min ym

⇔
m>
15
2
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
5
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Nhận xét:
Cũng giống như Ví dụ 1, bài toán trên có điểm dễ là biến m đã được cô
lập từ đầu. Tuy nhiên nó lại gây khó khăn cho học sinh không chỉ ở công đoạn
tính đạo hàm mà còn cả trong việc giải phương trình y
’
=0 và xét dấu của đạo
hàm. Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng vững
vàng mới giải được. Ngoài cách dùng đạo hàm ta cũng có thể tiếp cận bài toán
trên theo cách khác như sau :
2

0 0
11 7
lim lim( 4 1 )
2
x x
y x
x x
→+ →+
 
= + + + = +∞
 ÷
 
,
2
11 7
lim lim ( 4 1 )
2
x x
y x
x x
→+∞ →+∞
 
= + + + = +∞
 ÷
 
Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki

( )
2
2 2 2

2 2
7 7 7 7
3 3.1 7 9 7 1 16 1
x x x x
 
     
+ = + ≤ + + = +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 

2
2
7 1 7
4 1 3
2x x
   
⇒ + ≥ +
 ÷  ÷
   
Dấu = xảy ra khi
3 7
3
1
x
x
x
= ⇔ =
Từ

11 1 7 3 9
3
2 2 2
x x
x x x
   
+ + + = + +
 ÷  ÷
   
Theo bất đẳng thức cô si ta có
3 9 3 15
6
2 2 2
x
x
+ + ≥ + =
Dấu bằng khi x=3
từ đó ta có
2
11 7 15
4
2 2
x
x x
 
+ + + ≥
 ÷
 

Lập bảng biến thiên ta được kết quả như trên

Nhận xét:
Cách giải này giúp học sinh không phải tính đạo hàm và xét dấu của đạo
hàm nhưng lại gặp khó khăn trong việc lựa chọn điểm rơi trong bất đẳng thức
Cô- si và Bunhiacopxki – một kỹ năng cần rèn luyện rất nhiều mới có thể có
được . Mặt khác cách giải này không mang tính thuật toán như dùng đạo hàm.
Vì thế rất khó khăn để vận dụng cho một lớp bài toán về PT, HPT, BPT, HBPT
chứa tham số.
Ví dụ 3: (Câu IV.2 khối A năm 2008)
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm
thực phân biệt:

4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =

Lời giải: Điều kiện
0 6x≤ ≤
Đặt
( )
[ ]
4 4
2 2 2 6 2 6 ; 0;6f x x x x x x= + + − + − ∈
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
6
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
3 3

4 4
1 1 1 1 1
, 0;6
2
2 6
2 6
f x x
x x
x x
   
′
= − + − ∈
 ÷
 ÷
−
 
−
 

Đặt
( )
( ) ( )
( )
( )
3 3
4 4
1 1 1 1
; 0,6
2 6
2 6

u x v x
x x
x x
= − = − ∈
−
−
, x
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
, 0, 0,2
2 2 0
, 0, 2,6
u x v x x
u v
u x v x x
 > ∀ ∈

⇒ = =


< ∀ ∈


( )
( )
( ) 0, 0,2
( ) 0, 2,6

(2) 0
f x x
f x x
f
′
 > ∀ ∈

′
⇒ < ∀ ∈


′
=

(Nghĩa là:
( ) ( ) ( )
2 2 0 ' 2 0u v f= = ⇒ =
và
( ) ( )
,u x v x
luôn dương khi
( )
0;2x ∈
và âm khi
( )
2;6x∈
). Do đó ta có bảng biến thiên:
x 0 2 6
f’(x) + 0 -
f(x)

236 +


4
2 6 2 6+


4
12 2 3+

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là:
4
2 6 2 6 3 2 6m+ ≤ < +
.
Nhận xét:
Trong ba ví dụ trên, chúng ta thấy một điểm chung là trong các PT, biến
m đã được cô lập cho nên bước 1 (trong phương pháp giải) không phải làm.
Nhưng trên thực tế có rất nhiều PT mà biến m chưa được cô lập. Khi đó ta phải
thực hiện bước 1 một cách khéo léo để cô lập biến m (có nhiều mức độ) thì mới
có thể tiến hành các bước tiếp theo được. Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 4: (Câu II.2 khối B năm 2006)
Tìm
m
để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt:
( )
2
2 2 1 1x mx x+ + = +
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với

( ) ( )
2
2
2
1
1
2
2
3 4 1
2 2 1 2
x
x
x x
x mx x m
x


≥ −

≥ −
 
⇔
 
+ +
 
+ + = + =



Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng

7
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Xét hàm số
( )
2
3 4 1 1
3
x x
f x x x
x x
+ +
= = + −
trên
( )
1
;0 0;
2
 
− ∪ +∞
÷

 
, ta có
( )
2
1
' 3 0f x
x
= + >

nên ta có bảng biến thiên

Vậy, phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt khi phương trình (2) có hai
nghiệm phân biệt trong khoảng
( )
1
;0 0;
2
 
− ∪ +∞
÷

 
. Từ bảng biến thiên, ta có.
Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt khi
9
2
m ≥
.
Ví dụ 5: (Câu II.2 khối B năm 2007)
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số
m
phương trình sau có hai
nghiệm thực phân biệt:

( )
2
2 8 2x x m x+ − = −
(1)
Lời giải:

Điều kiện:
2x ≥
.
Biến đổi phương trình ta có:
(1)
( ) ( ) ( )
2 6 2x x m x⇔ − + = −
( ) ( ) ( )
2 2
2 6 2x x m x⇔ − + = −
( )
( )
( )
3 2 3 2
2 6 32 0 2 V g x 6 32x x x m x x x m⇔ − + − − = ⇔ = = + − =
.
Yêu cầu bài toán
( )
g x m⇔ =
có đúng một nghiệm thuộc khoảng
( )
2;+∞
.
Thật vậy ta có:
( ) ( )
3 4 0, 2g x x x x
′
= + > ∀ >
. Do đó
( )

g x
đồng biến trên
( )
2;+∞
, mặt khác
( )
g x
là hàm số liên tục và
( )
( )
2 0; lim
x
g g x
→+∞
= = +∞
nên với
∀
m>0, phương trình
( )
g x m=
có đúng một nghiệm thuộc khoảng
( )
2;+∞
.
Vậy với mọi giá trị dương của tham số
m
phương trình đã cho có hai nghiệm
thực phân biệt
Nhận xét:
Một số bài toán sau quá trình biến đổi (cô lập m) thì hàm số f(x) nhận

được tương đối phức tạp (Việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm tương đối khó
khăn). Khi đó để có thể giải quyết bài toán theo hướng dùng đạo hàm một cách
đơn giản ngắn gọn hơn, ta cần xem xét đặt ẩn phụ một cách thích hợp để
chuyển sang xét hàm số khác đơn giản hơn với biến vừa đặt. Ta xét ví dụ sau:
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
8
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Ví dụ 6: (Câu II.2 khối A năm 2007)
Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm thực:
4 2
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
Lời giải: Điều kiện:
1x ≥
.
Phương trình đã cho
( )
4
1 1
3 2 1
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ − + =
+ +
.

Đặt
[
)
4
4
1
2
1 0,1
1 1
x
t
x x
−
= = − ∈
+ +
. Khi đó (1) trở thành
( )
2
3 2 2t t m− + =
Xét hàm số
( )
2
3 2f t t t= − +
trên nửa đoạn
[
)
0;1
Ta có
( )
( )

1
' 6 2; ' 0
3
f t t f t t= − + = ⇔ =
.
Ta có bảng biến thiên:
t
0
3
1
1
f’(t) + 0 -
f(t)

3
1
0 -1
Do đó phương trình đã cho có nghiệm thực (thõa mãn
1x ≥
) khi và chỉ
khi phương trình (2) có nghiệm
[
)
0;1t ∈
1
1
3
m⇔ − < ≤
Nhận xét :
- Trong ví dụ này sau khi biến đổi đến phương trình (1) ta có thể làm như các ví

dụ trên (tức là đặt f(x)=
4
1
1
2
1
1
3
+
−
+
+
−
−
x
x
x
x
) nhưng rõ ràng là hàm số f(x) khi đó
tương đối phức tạp. Vì thế việc đặt ẩn phụ để đơn giản hóa f(x) là điều hợp lí.
- Đối với các bài toán có chứa tham số: Khi đặt ẩn phụ ta phải chọn điều
kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ . Khi đó ta mới xét được một hàm số xác định
trên một miền xác định của nó . Từ đó mới tìm được điều kiện để tham số thoả
mãn yêu cầu đã cho của đề bài.
- Việc lựa chon ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc, ta có thể đặt như sau:
Đặt t =
4
1
0
1

x
x
+
>
−
, tuy nhiên lúc đó điều kịên của ẩn phu sẽ thay đổi theo

1 2
1 1 [1; )
1 1
x
t
x x
+
= + > ⇒ ∈ +∞
− +
Từ đó ta lại được một hàm số mới với tập xác
định tương ứng .
- Một số phương trình sau khi đặt ẩn phụ thì việc tìm được điều kiện chuẩn
cho ẩn phụ đôi khi lại phải dùng đến việc khảo sát hàm số .Ta xét bài toán
sau:
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
2
9 9x x x x m+ − = − + +
(1)
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
9
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Lời giải:

Điều kiện
0 9x≤ ≤

PT (1)
( )
2
9 2 9 9x x x x x x m⇔ + − + − = − + +

2 2
9 2 9 9x x x x m⇔ + − + = − + +
(2)
Đặt
2
9t x x= − +
. Ta có:
2
2 9 9
' ; ' 0
2
2 9
x
t t x
x x
− +
= = ⇔ =
− −
x
0
9
2

9
t’ + 0 -
t

9
2
0 0
Do đó
9
0
2
t≤ ≤
. Khi đó phương trình (2) trở thành
2
9 2t t m+ = +
2
2 9t t m⇔ − + + =
(3)
Xét hàm số
2
( ) 2 9f t t t= − + +
, với
9
0
2
t≤ ≤
.
( ) ( )
' 2 2; ' 0 1.f t t f t t= − + = ⇔ =
Lập bảng biến thiên hàm

( )
f t
trên đoạn
9
0;
2
 
 
 
t
0 1
9
2

( )
'f t
+ 0
−
( )
f t
10
9
9
4
−
PT (1) có nghiệm
[ ]
0;9x∈
khi và chỉ khi PT (3) có nghiệm
9

0;
2
t
 
∈
 
 
. Điều này
xảy ra khi và chỉ khi
)(max)(min
2
9
;0
2
9
;0
tfmtf












≤≤

⇔
9
10
4
m− ≤ ≤
. ■
Ví dụ 8: (Câu V- khối B năm 2004)
Xác định
m
để phương trình sau có nghiệm:

(
)
2 2 4 2 2
1 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
.
Lời giải:
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
10
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Điều kiện -1≤x≤1. Đặt
= + − −
2 2
1 1t x x
.
Ta có
+ ≥ − ⇒ ≥ = =
2 2
1 1 0; 0 0x x t t khi x

;
= − − ≤ ⇒ ≤ = = ±
2 4
2 2 1 2 2; 2 1t x t t khi x
Suy ra tập giá trị của t là
 
 
0; 2
(t liên tục trên đoạn [-1;1]).
Phương trình đã cho trở thành:
− + +
+ = − + + ⇔ =
+
2
2
2
( 2) 2 (*)
2
t t
m t t t m
t
Xét
− + +
= ≤ ≤
+
2
2
( ) ;0 2.
2
t t

f t t
t
Ta có f(t) liên tục trên đoạn
 
 
0; 2
.
Phương trình đã cho có nghiệm
x
khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t
thuộc
 
 
0; 2
   
   
⇔ ≤ ≤
0; 2 0; 2
min ( ) max ( )f t m f t
.
Ta có
− −
 
= ≤ ∀ ∈ ⇒
 
+
2
2
4
'( ) 0, 0; 2 ( )

( 2)
t t
f t t f t
t
nghịch biến trên đoạn
 
 
0; 2 .
   
   
= = − = =
0; 2 0; 2
Suy ra : min ( ) ( 2) 2 1; max ( ) (0) 1f t f f t f
Vậy giá trị cần tìm là:
− ≤ ≤2 1 1.m
Nhận xét :
Trong bài này ta đã linh hoạt trong việc đánh giá, nhận xét để tìm ra tập giá
trị của biến t. Cách làm này trong một số tình huống nên được phát huy vì nó có
thể nhanh gọn hơn việc dùng đạo hàm khảo sát hàm số. Tuy nhiên cũng giống
như nhận xét trong ví dụ 2, cách làm này không phải lúc nào cũng thực hiện
được. Vì vậy cách dùng đạo hàm vẫn là tổng quát nhất.
Ta xét thêm một số phương trình siêu việt khác:
Ví dụ 9: Cho phương trình
( )
2 2
2 1 2
2
log log 3 log 3x x m x+ − = −
(1)
Tìm m để phương trình có nghiệm

[
)
32;x∈ +∞
Lời giải:
Từ điều kiện:
[
)
32;x∈ +∞
=>
2
log 5x ≥
, suy ra
( )
2
log 3 2x − ≥
nên
0m ≥
.
PT (1)
( )
2
2 2 2
log 2log 3 log 3x x m x⇔ − − = −

( )
2
2 2
2 2 2
log 2log 3 log 3x x m x⇔ − − = −
(2)

Đặt
( )
2
log , 5t x t= ≥
. PT(2) trở thành
( )
2
2 2 2
1
2 3 3
3
t
t t m t m
t
+
− − = − ⇔ =
−
(3)
Xét hàm số
( )
1
3
t
f t
t
+
=
−
(với
5t ≥

).
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
11
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
( )
( )
2
4
' 0, 5
3
f t t
t
−
= < ∀ ≥
−
; ta có:
t 5
+∞
( )
'f t

−
( )
f t
3
1
Phuơng trình (1) có nghiệm
[
)

32;x∈ +∞
khi và chỉ khi PT (3) có nghiệm
5t ≥
điều này xảy ra khi
2
1 3m< ≤
. Kết hợp với
0m ≥
, ta được
1 3m< ≤
■
Ví dụ 10: Tìm m để PT:
( ) ( )
3 tan 1 sin 2cos sin 3cos (1)x x x m x x+ + = +
có nghiệm duy nhất thuộc khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
Lời giải:
Xét
0;
2
x
π
 
∈
 ÷

 
, khi đó
sin 0,cos 0,tan 0x x x≥ > >
và
sin 3cos 0x x+ >

PT (1)
sin 2cos
3 tan 1.
sin 3cos
x x
x m
x x
+
⇔ + =
+

tan 2
3 tan 1.
tan 3
x
x m
x
+
⇔ + =
+
(2)
Đặt
( )
tan , 0t x t= >

. PT (2) trở thành
2
3 1.
3
t
t m
t
+
⇔ + =
+
(3)
Xét hàm số
( )
2
3 1.
3
t
f t t
t
+
= +
+
, (với
0t >
).
( )
( )
2
3 2 3 1
' . 0; 0

3
2 1
3
t t
f t t
t
t
t
+ +
= + > ∀ >
+
+
+
; ta có:
t 0
+∞

( )
'f t

+
( )
f t

+∞
2
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
12
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.

Ứng với mỗi t > 0 thỏa mãn phương trình (3) ta được đúng một nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
của phương trình (1). Do đó phương trình (1) có duy nhất nghiệm
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
khi và chỉ khi phương trình (3) có duy nhất nghiệm t > 0.
Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là:
2m >
. ■
Đối với các bài toán về Hệ PT chứa tham số thì bước đầu ta phải vận dụng
các phương pháp cơ bản để giải Hệ PT (như phương pháp: Biến đổi tương
đương; Thế; Đặt ẩn phụ; dùng hàm số; đánh giá…). Rồi sau đó cũng quy về
các bài toán PT có chứa tham số như trên. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 11: (
Câu V- khối D năm 2011)
Tìm
m

để hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m
− + + =

+ − = −

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 1 2
x x x y m
x x x y m

− − =


− + − = −



Đặt
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y= − ≥ − = −
. Hệ phương trình đã cho trở thành
( ) ( )
2
2 1 0 1
1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u
=
+ − + =

⇔
 
+ = −
= − −


Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thoả mãn
1
4
u ≥ −

Với
1
4
u ≥ −
, ta có:
( ) ( )
2
2
1 2 1
2 1
u u
m u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+
Xét hàm số
( )
2
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
, với
1
4
u ≥ −

; ta có:
( )
( )
( )
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0
2
2 1
u u
f u f u u
u
+ − − +
= − = ⇔ =
+
Bảng biến thiên
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
13
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.

Suy ra giá trị cần tìm là:
2 3
2
m
−
≤

Ví dụ 12:

(HSG – Nghệ An năm học 2011 – 2012)
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hệ phương trình sau có nghiệm:





=+−−−+
=−+−−
045424
016612
222
233
myyxx
yyxx
(x, y
∈
R)
Lời giải:
Ta có hệ:
3 3 2
2 2 2
x 12x y 6y 16 0 (1)
4x 2 4 x 5 4y y m 0 (2)

− − + − =



+ − − − + =


Điều kiện xác định:
2 x 2
0 y 4
− ≤ ≤


≤ ≤

Ta có
( ) ( )
3
3
(1) x 12x y 2 12 y 2⇔ − = − − −
Xét hàm số
[ ]
3
f (t) t 12t, t 2;2= − ∈ −
( )
( )
2 2
f '(t) 3t 12 3 t 4 0, t 2;2
⇒ = − = − < ∀ ∈ −
Suy ra hàm số
f (t)
nghịch biến trên
[ ]
2;2−

(3)
Ta có
x
và
y 2−
cùng thuộc đoạn
[ ]
2;2−
và
f (x) f (y 2)= −
nên kết hợp (3) suy
ra
x y 2= −
Thay vào (2) ta có phương trình
2 2
3 4 x 4x m (4)− − =
Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4) có
nghiệm x thuộc đoạn [-2;2].
Đặt
2 2
g(x) 3 4 x 4x , x [ 2;2]= − − ∈ −
2 2
3x 3
g'(x) 8x x 8
4 x 4 x
 
−
= − = − +
 ÷
− −

 
g'(x) 0 x 0= ⇔ =
.
g(0) 6; g( 2) g(2) 16= − = = −
.
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
14
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
x [ 2;2]
x [ 2;2]
min g(x) 16; max g(x) 6
∈ −
∈ −
= − =
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
16 m 6− ≤ ≤
.
Đối với các bài toán về Bất PT chứa tham số thì phương pháp cơ bản
cũng tương tự như các bài toán về PT chứa tham số như trên. Tuy nhiên ta
cần bám sát và vận dụng các mệnh đề: MĐ3, MĐ4, MĐ5, MĐ6 trong phần
kiến thức vận dụng. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 13:
Tìm m để bất phương trình
3 1mx x m− − ≤ +
(1) có nghiệm.
Lời giải:
Đặt
3; [0; )t x t= − ∈ +∞

. Bất phương trình trở thành:
2 2
2
1
( 3) 1 ( 2) 1
2
t
m t t m m t t m
t
+
+ − ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤
+
(2)
(1) có nghiệm (2) có nghiệm t≥0  có ít nhất một điểm của đồ thị hàm số y=
2
1
2
t
t
+
+
với t≥0 không ở phía dưới đường thẳng y=m.
Xét y=
2
1
2
t
t
+
+

với t≥0 có
2
2 2
2 2
'
( 2)
t t
y
t
− − +
=
+
t

1 3− −
0
1 3− +
+
∞
y’
- 0 + | + 0 -
y

3 1
4
+

Từ bảng biến thiên ta có m ≤
3 1
4

+
.
Ví dụ 14:
(HSG – Thanh Hóa năm học 2009 – 2010)
Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình
( )( )
mxxxx ≥−+−+ 264
2

nghiệm đúng với mọi x
∈

[ ]
6;4−
.
Lời giải:
Đặt t =
( )( ) ( )
5012524264
2
2
≤≤⇒−−=++−=−+ txxxxx
t
2
= -x
2
+ 2x + 24
⇒
x
2

- 2x = 24 - t
2
Bất phương trình trở thành: t + 24 - t
2

≥
m ; t
[ ]
5;0∈
Xét hàm số f(t) = -t
2
+ t + 24 trên đoạn
[ ]
5;0
Ta có bảng biến thiên sau:
t
0
2
1
5
f’(t) + 0 -
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
15
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
f(t)

4
97
24 4

Từ đó suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
∈
[ ]
6;4−

[ ]
4)(min
5;0
=≤⇔ tfm
Vậy các giá trị cần tìm của m là: m
≤
4
Ví dụ 15:
Tìm m để bất phương trình
( )
2
2 2 1 2 0m x x x x
− + + + − ≤
(1) có
nghiệm
0;1 3x
 
∈ +
 
Lời giải:
Đặt
22
2
+−= xxt
;

0
222
22
'
2
=
+−
−
=
xx
x
t
⇔
1
=
x
ta có bảng biến thiên
x
0 1
1 3+

't

−
0
+
t
2
2
1

Từ đó
1 2t≤ ≤
. Với
1 2t≤ ≤
, ta biến đổi
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2t x x t x x t x x= − + ⇔ = − + ⇔ − = − −
.
Bất phương trình (1) trở thành
( )
2
2
2
1 2
1
t
m t t m
t
−
+ ≤ − ⇔ ≤
+
(2)
Xét hàm số
( ) ( )
2
2
, 1 2
1
t

f t t
t
−
= ≤ ≤
+
( )
( )
[ ]
2
2
2 2
' 0, 1;2
1
t t
f t t
t
+ +
= > ∀ ∈
+
. Suy ra hàm số
( )
f t
đồng biến trên
[ ]
1;2
.
Bảng biến thiên
t 1 2
( )
'f t

+
( )
f t

2
3



1
2

Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
16
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Từ bảng biến thiên, bất phương trình (1) có nghiệm
0;1 3x
 
∈ +
 
khi và chỉ
khi bất phương trình (2) có nghiệm
[ ]
1;2t ∈
.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
[ ]
( ) ( )

1;2
2
max 2
3
t
m f t f
∈
≤ = =
. ■
Nhận xét:
- Để học sinh có thể hiểu và vận dụng tốt các mệnh đề: MĐ3, MĐ4, MĐ5,
MĐ6. Ngoài việc chứng minh bằng lập luận thì ta cần minh họa bằng đồ thị để
học sinh hiểu rõ bản chất các mệnh đề trên thực chất là dựa vào sự tương giao
của hai đồ thị.
- Cũng giống như các ví dụ về PT chứa tham số. Trong phần BPT
chứa tham số thì hướng giải chủ đạo cũng là tìm cách đặt ẩn phụ để đơn
giản hóa bài toán, sau đó dùng đạo hàm. Tuy nhiên trong một số trường hợp
thì vẫn rất cần sự linh hoạt trong cách giải.
Ví dụ 16
: (HSG – Nghệ An năm học 2010 – 2011)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:
(m 2)x m x 1+ − ≥ +
có nghiệm thuộc đoạn
[-2;2]
.
Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với
12)2(
2
++≥−+ xxmxm

1)1(
2
+≥−⇔ xxm
(*)
Nhận thấy
1=x
không nghiệm đúng bất phương trình (*)
Với
[
)
1;2−∈x
. Ta có bpt (*)
1
1
2
−
+
≤⇔
x
x
m
(1)
Với
(
]
2;1∈x
. Ta có bpt (*)
1
1

2
−
+
≥⇔
x
x
m
(2)
Xét hàm số
( )
1
1
2
−
+
=
x
x
xf
, với
[
) (
]
2;11;2 ∪−∈x
Có
( )
2
2
'
)1(

12
−
−−
=
x
xx
xf
,
'
x 1 2
f (x) 0
x 1 2 (lo¹i)

= −
= ⇔

= +


Bảng biến thiên:
x
-2
21−
1 2
f’(x) + 0 -
f(x)

222 −
+
∞

3
5
−
-
∞
5
Từ bảng biến thiên suy ra:
Bpt (*) có nghiệm thuộc đoạn
[ ]
⇔− 2:2
hoặc bpt (1) có nghiệm thuộc
[
)
1;2−
hoặc
bpt (2) có nghiệm thuộc
(
]
2;1




≥
−≤
⇔
5
222
m

m
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
17
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Vậy
[
)
( ;2 2 2] 5;m∈ −∞ − ∪ +∞
là tất cả các giá trị cần tìm .
Đối với các bài toán về Hệ bất PT chứa tham số thì thông thường
trong hệ sẽ có một Bất PT không chứa tham số và có thể giải được. Rồi
sau đó cũng quy về các bài toán Bất PT chứa tham số. Ta xét các ví dụ
sau:
Ví dụ 17:
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
( )
2
2
7 6 0
2 1 3 0
x x
x m x m
− + ≤
− + − + ≥






Lời giải:
Hệ bất phương trình
( )
2
2
7 6 0 (1)
2 1 3 0 (2)
x x
x m x m

− + ≤


− + − + ≥


( )
1 1 6x⇔ ≤ ≤
. Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
[ ]
0
1;6x ∈
thỏa mãn (2).
( ) ( )
( )
[ ]
2
2
2 3
2 2 3 2 1 ( 1;6 2 1 0)

2 1
x x
x x x m m do x x
x
− +
⇔ − + ≥ + ⇔ ≥ ∈ ⇒ + >
+
Xét
[ ]
2
2 3
( ) ; 1;6
2 1
x x
f x x
x
− +
= ∈
+
. Hệ đã cho có nghiệm
[ ]
0 0
1;6 : ( )x f x m⇔ ∃ ∈ ≥
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2

2 4
2 2 8
'
2 1 2 1
x x
x x
f x
x x
+ −
+ −
= =
+ +
;
( )
2
1 17
' 0 4 0
2
f x x x x
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
Vì
[ ]
1;6x ∈
nên chỉ nhận
1 17
2
x
− +
=

. Ta có:
2 27 1 17 3 17
(1) , (6) ,
3 13 2 2
f f f
 
− + − +
= = =
 ÷
 ÷
 
Vì f liên tục và có đạo hàm trên [1;6] nên
27
max ( )
13
f x =
tại x=6
Do đó
[ ]
[ ]
0 0
1;6
27
1;6 : ( ) max ( )
13
x
x f x m f x m m
∈
∃ ∈ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
.

Ví dụ 18
: (HSG – Thanh Hóa năm học 2012 – 2013)
Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực






≤−−
≤+−
++
)2(042.34
)1(02
1
3
xxxx
mxx
Lời giải: điều kiện:
0x
≥
Bất phương trình (2)
x 2 x x 2 x
(2 ) 3.2 .2 4.2 0
⇔ − − ≤
( ) ( )
x x x x x x
2 2 . 2 4.2 0 2 4.2 0
⇔ + − ≤ ⇔ − ≤

⇔
2x x
≤ +
2 0 0 2 0 4x x x x
⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
. Đối chiếu ĐK được
0 4x
≤ ≤
(*)
Do đó: Hệ bất phương trình có nghiệm
3
3 2 0x mx⇔ + + ≥
có nghiệm
[ ]
0;4x ∈
Với
0x =
thì (1) không thỏa mãn.
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
18
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Với
0 4x
< ≤
: (1) có nghiệm thỏa mãn
(
]
0;4x ∈

( )
2
2
m x g x
x
⇔ ≥ + =
có nghiệm
(
]
0;4x ∈

(
]
0;4
min ( )m g x⇔ ≥
.
Xét
x
xxg
2
)(
2
+=
với
(
]
0;4x ∈
. Có
2
2

2)('
x
xxg −=
=0
⇔
x=1. Bảng biến thiên :
x 0 1 4
g’(x) - 0 +
g(x)
+
∞


2
33
3
Từ bảng biến thiên suy ra:
(
]
0;4
min ( ) (1) 3.g x g= =

Vậy
3m ≥
là giá trị cần tìm.
3. Bài tập tương tự.
BT1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
2 1x x m+ = +
BT2: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm dương:
2 2

4 5 4x x m x x− + = + −
.
BT3: Tìm a để phương trình
2
3 1
2 1
2 1
x
x ax
x
−
= − +
−
có nghiệm duy nhất.
BT4: Cho phương trình:
( )
2 2
3 3
log log 1 2 1 0 1x x m+ + − − =
(
m
là tham
số).Tìm
m
để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 
.

BT5: Tìm m để hệ phương tình





=+−−−+
=−−+−
0231
0233
222
233
myyxx
xyyx
có nghiệm.
BT6: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình sau:





−=−+
=++−
myxx
mxyxyx
21
)2(2
2
23
BT7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

3 2
1 ( 1) (1 ) 1x m x m x+ ≥ + + − +
.
BT8: Tìm m để mọi
[ ]
0;2x∈
đều thỏa mãn bất phương trình
( )
2 2
2 4
log 2 4 log 2 5x x m x x m− + + + − + ≤
.
BT9: Tìm giá trị lớn nhất của a để bất phương trình
( )
( )
2
3 3
4
2
1 sin
2
1
a x
a x a
x
π
− + ≤
−
có ít nhất một nghiệm.
BT10: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình.

( )
( ) ( )
1
.2 2 1 3 5 3 5 0
x x
x
a a
+
+ + − + + <
nghiệm đúng với mọi
0x ≤
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
19
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
BT11: Tìm m để hệ sau có nghiệm:



<++
<−+
)2(01mx3x
)1(01x2x3
3
2
(m - tham số)
BT12: Tìm m để hệ sau có nghiệm:






≥−−−
≤−−
0153
043
23
2
mmxxx
xx
IV. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên, hầu hết các em học sinh
khối 12 trong các lớp tôi dạy đã tỏ ra mạnh dạn, tự tin và linh hoạt hơn rất nhiều
trong việc dùng đạo hàm để giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham
số. Kết quả thực tế là trong hai lần ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi của trường
Lê Lai các năm 2009-2010 và 2012-2013 thì tất cả các em đi thi đều làm được
trọn vẹn
Ví dụ 14 và Ví dụ 18. Ngoài ra những em học sinh khá, giỏi khác
cũng nhanh chóng nắm bắt được phương pháp và vận dụng thành thạo cho
các ví dụ tương tự trong các đề thi ĐH và đề thi HSG khác.
Mặt khác rất nhiều học sinh tỏ ra rất hứng thú với ứng dụng này của
đạo hàm. Bởi vì phương pháp này không chỉ nhanh gọn, hiệu quả mà nó còn
có tính tổng hợp rất cao, đó là dùng đạo hàm để tìm cực trị, dùng đạo hàm
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, khảo sát và lập bảng biến
thiên của hàm số, và đó cũng là những bài toán hết sức quen thuộc và cơ
bản về ứng dụng của đạo hàm trong phân môn Giải tích 12.
Phần III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Tác giả cho rằng, việc khai thác tốt các kiến thức về đạo hàm để giải các
bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số là một yêu cầu quan trọng cả về
kiến thức lẫn kĩ năng đối với các học sinh ôn thi đại học và các học sinh trong

đội tuyển HSG các cấp. Khi dạy chủ đề này giáo viên cần chú ý ngoài việc hình
thành cho học sinh một tư duy thuật toán thì còn cần làm cho học sinh có ý thức
phân tích nhận dạng bài toán, thói quen đặt ra nhu cầu giải quyết bài toán theo
nhiều hướng khác nhau và cuối cùng phải biết tổng hợp lại bằng các đánh giá,
nhận xét sâu sắc. Từ đó rút ra những kết luận súc tích nhất.
Cái hay của cách giải này là ngoài việc sử dụng đạo hàm thì còn phải vận
dụng linh hoạt các mệnh đề (phần kiến thức vận dụng). Đồng thời với phương
pháp mới này (cũng nằm trong xu thế chung trong việc ra đề thi đại học và học
sinh giỏi hiện nay là tăng cường ứng dụng đạo hàm, hàm số vào giải toán) học
sinh đã hoàn toàn rủ bỏ được các phương pháp đại số kinh điển trước đây. Đặc
biệt là các ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vốn dĩ là cái
xương sống trong hệ thống phương pháp giải các bài toán về tham số, nhưng
hiện nay thì đã lỗi thời!
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
20
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Do khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm có hạn và trình độ bản thân
còn hạn chế. Nên phần nội dung chính của đề tài này (khoảng 16 trang giấy A4,
với 18 ví dụ và 12 bài tập tương tự) chưa thể khai thác hết tất cả các khía cạnh
của việc ứng dụng đạo hàm để giải các PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số.
Tuy nhiên tác giả tin rằng nó cũng vừa đủ để truyền tải đến học sinh trên tinh
thần là một chuyên đề nhỏ (khoảng 6-8 tiết học). Ngoài ra khi triển khai áp dụng
các giáo viên có thể sắp xếp lại các ví dụ theo một trình tự logic khác và bổ sung
thêm các ví dụ hoặc nhận xét mới để bài giảng đạt hiệu quả cao hơn. Chính vì
vậy tác giả rất mong nhận được sự chia sẻ và góp ý của các bạn đồng nghiệp.
Kiến nghị các nhà trường cần chọn lọc, triển khai ứng dụng các sáng kiến
kinh nghiệm đã đạt giải cấp tỉnh để nâng cao hiệu quả dạy học nói chung và của
môn Toán nói riêng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Huỳnh Công Thái, Phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán
luyện thi đại học tập 1, NXB Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh.
[2]. Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề hàm số tập 1, NXB Tri thức.
[3]. Các bài toán chọn lọc 45 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, NXB Giáo dục
việt nam. (ấn phẩm của Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ).
[4]. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.
[5]. Đề thi và đáp án thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán các khối A, B, D từ
năm 2002 đến năm 2012 do Bộ Giáo dục và Đào tạo.
[6]. Đề thi và đáp án thi học sinh giỏi các tỉnh môn Toán từ năm 2002 đến năm
2013 đưa lên các diễn đàn Toán học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
21
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
MỤC LỤC
Nội dung Trang
Danh mục chữ viết tắt 1
Phần I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1
I. Lí do chọn đề tài 1
II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 2
III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2
IV. Phương pháp nghiên cứu 2
Phần II: NỘI DUNG 2
I. Cơ sở lý luận 3

II. Thực trạng của vấn đề 3
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện 3
1. Phương pháp giải 4
2. Ví dụ minh họa 4
3. Bài tập tương tự 19
IV. Kết quả đạt được 19
Phần III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20
Tài liệu tham khảo 21
Mục lục 22
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
22
Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số dùng để ôn thi đại
học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Sáng kiến kinh nghiệm……………………………………………………….Nguyễn Đức Lượng
23