SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải một số bài toán phương trình, bất phương trình có chứa tham số TOÁN THPT

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Trong thời gian gần đây bài toán giải phương trình và bất phương trình có
chứa tham số không thể thiếu được trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng
và thi học sinh giỏi. Nhưng trong sách giáo khoa lại chủ yếu những dạng bài tập
giải phương trình, bất phương trình không có chứa tham số. Với kiến thức ở lớp 10
, 11 khi giải các bài toán đó học sinh biến đổi phương trình, bất phương trình để
quy phương trình dạng quên thuộc,với cách giải này học sinh thường mắc phải
những sai lầm như không xét hết các khả năng xảy ra của bài toán hoặc thiếu điều
kiện của ẩn phụ đặc biệt đối với các bài tập về phương trình, bất phương trình bậc
ba học sinh sẽ lúng túng về phương pháp giải. Từ những năm thay sách giáo khoa
không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo
suất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so
sánh các nghiệm của một tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách
rất lúng túng. Để tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập bản thân tôi một giáo
viên dạy toán phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán và ứng dụng đạo
hàm để khảo sát hàm số với cách giải này học sinh sinh sẽ có một lời giải nhanh
gọn hơn và ít xãy ra sai sót. Đó là lý do để tôi chọn đề tài này “ Ứng dụng đạo
hàm để giải một số bài toán phương trình , bất phương trình có chứa tham
số’’
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này là:
- Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số
giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó, nghiệm của
phương trình chính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu
vuông góc lên trục hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng.
- Trong bài viết này chủ yếu đề cập đến những bài toán về phương trình,
bất phương trình có chứa căn và tham số thức đòi hỏi học sinh phải tìm kiều kiện
để phương trình , bất phương trình tồn tại thay vào cách so sánh nghiệm của

1


phương trình, bất phương trình với điều kiện xác định bằng cách sử dụng đạo hàm
và lập bảng biến thiên từ đó tìm kết luận của bài toán.
Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em
học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán phương trình, bất phương
trình có chứa tham số
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên
cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình có chứa tham số và trong
lời giải có việc sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích
gồm: phương trình, bất phương trình có chứa tham số.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý thuyết
a) Tìm số nghiệm của phương trình
- Xét phương trình
( ) ( )f x g m=
, (1) . Trong đó
x
là ẩn thực và
m
là
tham số thực
- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số
( )y f x=
( có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua bảng biến thiên
của nó ) và đường thẳng

( )y g m=
là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm
có tung độ bằng
( )g m
.
- các nghiệm
1 2
, , ,
n
x x x
của phương trình (1) chính là hoành độ của các
giao điểm.
b) Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Từ việc lập lập bảng biến thiên của hàm số
( )f x
trên tập xác định của nó
ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó
chính là giá trị lớn nhất ( giá trị nhỏ nhất ) của hàm số .
- Nếu hàm số
( )f x
xác định và liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
thì ta có thể tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất theo các bước sau :

2


- Tìm các điểm

1 2
, , ,
n
x x x
trên đoạn
[ ]
;a b
mà tại đó
'
( )f x
bằng 0 hoặc
'
( )f x
không xác định
- Tính các giá trị
1 2
( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
f a f b f x f x f x
- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ
nhất ) của hàm số
( )f x
trên đoạn
[ ]
;a b
c) Bài toán bất phương trình có chứa tham số
Nếu hàm số
( )f x
có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định
D

khi đó
Bất phương trình :

( ) ( )f x g m≥
thỏa mãn
x D∀ ∈
khi và chỉ khi
( ) ( )
D
Min f x g m≥

( ) ( )f x g m≤
thỏa mãn
x D∀ ∈
khi và chỉ khi
ax ( ) ( )
D
M f x g m≤

( ) ( )f x g m≥
có nghiệm
x D∈
khi và chỉ khi
Max ( ) ( )
D
f x g m≥

( ) ( )f x g m≤
có nghiệm
x D∈

khi và chỉ khi
( ) ( )
D
Min f x g m≤

Trong trường hợp hàm số
( )f x
không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ
nhất trên tập
D
ta phải kết hợp với bảng biến thiên hoặc đồ thị của nó để có kết
luận bài toán
2. Thực trạng của vấn đề
Trong đợt ôn tập hè năm 2011 cho các em học sinh lớp 11 chuẩn bị lên
lớp 12 trong phần ôn tập môn toán có một số tiết ôn tập về phần phương trình, bất
phương trình đã học ở lớp 10 và lớp 11 tôi đã cho học sinh làm một số bài tập về
phương trình, bất phương trình có chứa tham số . Đến giữa học kỳ I lớp 12 tôi cho
học sinh lớp 12A3 làm bài toán
Bài toán. Tìm tham số
m
để phương trình sau

2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
(1) có nghiệm thực.
Lời giải:
Điều kiện
1x ≥
; phương trình (1)

⇔

4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
− + =
+ +
.

3


Đặt
[
)
4 4
1 2
1 0,1
1 1
x
t
x x
−
= = − ∈
+ +

khi đó phương trình(1) có dạng
2
3 2t t m− + =
. Và
học sinh giải bài toán này bằng cách tính biệt thức đenta và biện luận trên nữa
khoảng
[
)
0;1
. Vậy thay bằng cách làm trên để tránh xét không hết các điều kiện
của đenta tôi hướng dẫn cho học sinh giải bài toán trên bằng ứng dụng đạo hàm thì
kết quả thu được một lời giải .
Đặt
2
( ) 3 2g t t t m= − + =
ta có
'
( ) 6 2g t t= − +
,
'
1
( ) 0
3
g t t= ⇔ =

theo yêu cầu bài toán ta có
1
1
3
m− < ≤

Vói cách giải bằng ứng dụng đạo hàm cho chúng ta lời giải nhanh gọn hơn rất
nhiều.
Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứng
dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số. Do đó từ đầu năm học 2011 – 2012 tôi đã
nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết ôn tập tại hai lớp 12A
3
, 12B, và từ
đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình.
3. Các phương pháp đã tiến hành
Do những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và
phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng
đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tập ôn, tôi đã lồng ghép các bài tập
phương trình, bất phương trình có chứa tham số. Do thời gian không có nhiều, hơn
thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học
sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một
số học sinh lên bảng làm bài với kiến thức ở lớp 10, 11 và một số học sinh khác
nhận xét lời giải. Sau đó tôi trình bày lời giải bài tập đó bằng ứng dụng đạo hàm và

x
'
( )f x
( )f x
0 1
+ 0

0
-1
4

phân tích hai lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh
một số điểm quan trọng khi ứng dụng đạo hàm để giải các bài tập về phương trình,
bất phương trình sẽ đem lại cho chúng ta một đáp án nhanh gọn và độ chính xác
cao đặc biệt có thể giải được tất các dạng bài tập phương trình, bất phương trình
bậc cao.
III. NỘI DUNG
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Tìm m để
2
(4 )(6 ) 2x x x x m+ − ≤ − +
nghiệm đúng
[ ]
4;6∀∈ −
Lời giải:
Bất phương trình
⇔

2
( ) 2 (4 )(6 )f x x x x x m= − + + + − ≤
đúng
[ ]
4;6∀∈ −
'
( )f x
= -2x + 2+
2 2
2 (4 )(6 )
x
x x
− +

+ −
= (1 – x )
1
(2 ) 0
(4 )(6 )x x
+ =
+ −

⇔

1x
=

Từ bảng biến thiên suy ra Maxf(x) = f( 1 ) = 6
m≤
Nhận xét:
Bài toán trên với kiến thức ở lớp 10 hoc sinh có thể đặt
(4 ) (6 )
(4 )(6 ) 5
2
x x
t x x
+ + −
= + − ≤ =
và đưa về bất phương trình bậc hai ẩn t rồi
giải thì khá phức tạp . Bài toán còn có thể giải bằng cách đưa về hàm số
[ ]
2
( ) 24 ; 0;5f t t t m t= + − ≤ ∀ ∈
và tìm giá trị lớn nhất trên đoạn

[ ]
0;5
thông qua ứng
dụng đạo hàm
Bài 2. Tìm tham số
m
để bất phương trình sau có nghiệm:

3 1,mx x m− − ≤ +
(2)

x
'
( )f x
( )f x
-4 1 6
+ 0
6
24
−
24
−
5


Lời giải:
Điều kiện:
3x ≥
. Đặt
3 0t x t= − ⇒ ≥

và
2
3x t= +
Bất phương trình (2) trở thành
2
( 3) 1m t t m+ − ≤ +
với điều kiện
0t ≥
2
2
1
( 2) 1
2
t
m t t m
t
+
⇔ + ≤ + ⇔ ≤
+
, (2a) với điều kiện
0t ≥
Xét hàm số
2
1
( )
2
t
f t
t
+

=
+
Ta thấy bất phương trình (2) có nghiệm
⇔
bất phương trình (8a) có
nghiệm
0t ≥

[
)
0;
( )Max f t m
+∞
⇔ ≥

( )
2
' ' 2
2
2
1 3
2 2
( ) ; ( ) 0 2 2 0
1 3
2
t
t t
f t f t t t
t
t


= − +
− − +
= = ⇔ − − + = ⇔

= − −
+


Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
[
)
0;
1 3
( )
4
Max f t
+∞
+
=
Vậy điều kiện phải tìm là
1 3
4
m
+
≤
Nhận xét:
Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua
việc so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp vì

t
'
( )f t
( )f t
+
+ 0

6


có thể giải hệ bất phương trình lấy nghiệm không chính xác. Do đó ứng dụng đạo
hàm để giải bài toán trên nhanh hơn rất nhiều
Bài 3. Tìm tham số
a
để phương trình:
3 2
3 0x x a− − =
, (3) có ba nghiệm phân
biệt trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1
Lời giải:
Phương trình (1)
3 2
3x x a⇔ − =
, (3a) .
Yêu cầu của đề bài tương đương với phương trình (3a) có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,x x x
sao cho
1 2 3

1x x x< ≤ <
tức là đường thẳng
y a=
phải cắt đồ thị hàm số
3 2
( ) 3y f x x x= = −
tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,x x x
thỏa mãn
1 2 3
1x x x< ≤ <
Ta có
' 2 '
0
( ) 3 6 ; ( ) 0
2
x
f x x x f x
x
=

= − = ⇔

=


3
3
lim ( ) lim 1

x x
f x x
x
→−∞ →−∞
 
= − = −∞
 ÷
 
;
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
Bảng biến thiên của hàm số
( )f x

Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là
4 2a− < ≤ −
Nhận xét: Nếu bài toán trên không giải bằng ứng dụng đạo hàm để tìm giao điểm
của đồ thị hàm số
3 2
( ) 3f x x x= −
và đường thẳng y = a thì học sinh sẽ gặp khó
khăn khi giải và biện luận phương trình bậc ba

'
( )f x
( )f x
+ 0 - - 0 +

0
+∞
− ∞
-2
7
x
- 0 1 2 +
-4


Bài 4. Chứng minh rằng
0m∀ >
phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt:
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
(4)
Lời giải:
Phương trình (3)
( )
2
2
2
2 8 ( 2)
2 8 0
x x m x
x x

+ − = −

⇔


+ − ≥



( ) ( ) ( )
2 2
2 4 2x x m x⇔ − + = −
, (4a) với điều kiện
4x ≤ −
hoặc
2x ≥
Từ phương trình phương trình( 4a)
⇒
( )
2 0m x − ≥
mà
0 2m x> ⇒ ≥
do đó ta
chỉ cần xét phương trình (4a) với điều kiện điều kiện
2x ≥
Phương trình (3a)
( ) ( )
2
2
2 4 , (4 )
x
m x x b
=


⇔

= − +


(4b)
3 2
6 32m x x⇔ = + −
Xét hàm số
3
( ) 6 32f x x x= + −
với
2x ≥

' 2
( ) 3 12 0, 2f x x x x= + ≥ ∀ ≥
,
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
0m∀ >
phương trình (4b) có đúng một
nghiệm
2x >

⇒

phương trình (4) có đúng hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
Với kiến thức ở lớp 10 học sinh có thể giải bằng cách bình phương hai vế
để quy về bài toán phương trình bậc hai. Nhưng cách làm dó rất dễ dẫn đến học
sinh không xét hết các khả năng xảy ra của biệt thức đenta . Nên với điều kiện

x
'
( )f x
( )f x

+


8


2x ≥
việc khảo sát hàm số
( )f x
ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm
tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số
( )f x
Bài 5. Biện luận theo tham số
m
số nghiệm của phương trình:

4 4
4
4 4 6x x m x x m+ + + + + =

, (5)
Lời giải:
Điều kiện:
4
4 0x x m+ + ≥
, (*).
Đặt
4
4
4t x x m= + +

4 2
4x x m t⇒ + + =
với
0t ≥
Phương trình (5) trở thành
2
2
6 0
3
t
t t
t
=

+ − = ⇔

= −

mà

0t ≥
2t⇒ =
Từ
2t =
4 4
4
4 2 4 16x x m x x m⇒ + + = ⇔ + + =
, (5a)
Từ phương trình (5a) suy ra điều kiện (*) được thỏa mãn
(5a)
4
4 16m x x⇔ = − − +
, (5b)
Ta thấy số nghiệm của phương trình (4) bằng số nghiệm của phương trình
(5b) Xét hàm số
4
( ) 4 16f x x x= − − +
trên tập
¡

' 3 3
( ) 4 4 4( 1)f x x x= − − = − +
;
'
( ) 0 1f x x= ⇔ = −
4
3 4
4 16
lim ( ) lim 1
x x

f x x
x x
→−∞ →−∞
 
= − − + = −∞
 ÷
 
;
4
3 4
4 16
lim ( ) lim 1
x x
f x x
x x
→+∞ →+∞
 
= − − + = −∞
 ÷
 
Bảng biến thiên

9


Từ Bảng biến thiên
suy ra:
- Nếu
19,m >
phương trình (5) vô nghiệm

- Nếu
19,m =
phương trình (5) có một nghiệm
- Nếu
19,m <
phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét:
Nếu không giải bài toán trên bằng ứng dụng đạo hàm thì học sinh có thể
làm bằng cách giải và biện luận phương trình
4
4 16x x m+ + =
. Trong quá trình
biện luận hoc sinh có thể không xét hết các điều kiện của bài toán họặc không xét
các trường hợp xảy ra
Bài 6. Tìm tham số
a
để phương trình sau có nghiệm:

3 6 (3 )(6 )x x x x a+ + − − + − =
, (6)
Lời giải:
Điều kiện :
3 6x− ≤ ≤
Đặt
( )
2
2
2
9
3 6 3 6 (3 )(6 )

2
u
u x x u x x x x
−
= + + − ⇒ = + + − ⇒ + − =
Để tìm điều kiện của
u
ta xét hàm số
( ) 3 6u f x x x= = + + −
với
[ ]
3;6x ∈ −
Có
'
1 1
( ) ;
3 6
f x
x x
= −
+ −

'
3
( ) 0 3 6
2
f x x x x= ⇔ + = − ⇔ =
và
'
( )f x

không xác định tại các điểm
3, 6x x= − =

x
'
( )f x
( )f x
-1 +
0
− ∞

− ∞
10



3
( 3) 3, (6) 3, 3 2
2
f f f
 
− = = =
 ÷
 

[ ] [ ]
3;6 3;6
( ) 3 2, ( ) 3Max f x Min f x
− −
⇒ = =

vậy
[ ]
3;6x∀ ∈ −
3;3 2u
 
⇒ ∈
 
Phương trình (6) trở thành
2
2
9 1 9
2 2 2
u
u a u u a
−
− = ⇔ − + + =
, (6a) với
3;3 2u
 
∈
 
Phương trình (6) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (6a) có nghiệm
3;3 2u
 
∈
 
Xét hàm số
2
1 9
( )

2 2
g u u u= − + +
trên đoạn
3;3 2
 
 

'
( ) 1 0, 3;3 2g u u u
 
= − + < ∀ ∈
 
⇒
hàm số
( )g u
nghịch biến trên đoạn
3;3 2
 
 
và
9
(3) 3; (3 2) 3 2
2
g g= = −
Vậy điều kiện phải tìm là
9
3 2 3
2
a− ≤ ≤
Nhận xét:

- Có thể thay cách giải bài toán trên bằng cách tìm a để phương trình
2
1 9
2 2
u u a− + + =
có nghiệm với
3;3 2u
 
∈
 

- Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm điều kiện của
u
là không thể
bỏ qua và không được làm sai. Việc tìm điều kiện của
u
như trên thực chất là việc
tìm tập giá trị của hàm số
( )f x
trên tập xác định của phương trình đã cho.
Bài 7. Tìm tham số
m
để phương trình sau có nghiệm:
2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
, (7)

11

Lời giải:
Điều kiện:
1 1x− ≤ ≤
Đặt
2 2
1 1u x x= + − −
[ ]
2
2
1 1 2
1;1 0 2
1 1 0
x
x u
x

≤ + ≤

∀ ∈ − ⇒ ⇒ ≤ ≤

− ≤ − − ≤


Dễ thấy
0u =
khi
0; 2x u= =
khi
1x = ±
Vậy

[ ]
1;1 0; 2x u
 
∀ ∈ − ⇒ ∈
 
và
(
)
2
2 2 2 4 2
1 1 2 1 2u x x x u= + − − ⇒ − = −
Phương trình (7) trở thành
2
( 2) 2m u u u+ = − +
với điều kiện
0; 2u
 
∈
 

2
2
,
2
u u
m
u
− + +
⇔ =
+

(7a)
Phương trình (7) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (6a) có nghiệm
0; 2u
 
∈
 
Xét hàm số
2
2
( ) ,
2
u u
f u
u
− + +
=
+
với
0; 2u
 
∈
 

( )
2
'
2
4
( ) 0, 0; 2
2

u u
f u u
u
− −
 
= ≤ ∀ ∈
 
+
suy ra hàm số
( )f u
nghịch biến trên đoạn
0; 2
 
 

( )
(0) 1; 2 2 1f f= = −
Vậy điều kiện phải tìm là
2 1 1m− ≤ ≤
Nhận xét:
Đối với bài toán 7 có thể giải và biện luận phương trình 7a theo cách giải
và biện luận phương trình bậc hai tuy nhiên với cách giải này khi học sinh không
học định lý talét đảo thì học sinh giải sẽ rể dẫn đến không xét hết các trường hợp

12


xảy ra do đó với cách giải ứng dụng đạo hàm được trình bày ở trên cho chúng lời
giải nhanh gọn hơn
Bài 8. Tìm tham số

m
để phương trình sau có nghiệm:

2
4
3 1 1 2 1,x m x x+ + + = −
(8)
Lời giải:
Điều kiện:
1x ≥
, khi đó
1 0x + >
và phương trình (8)
2
4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ + =
+ +

4
1 1
3 2.
1 1
x x

m
x x
− −
⇔ + =
+ +
Đặt
2
4
1 1
1 1
x x
t t
x x
− −
= ⇒ =
+ +
, Xét hàm số
1
( )
1
x
g t
x
−
=
+
, với
1x ≥
Có
( )

'
2
2
( ) 0, 1
1
g x x
x
= > ∀ ≥
+
suy ra hàm số
( )g x
đồng biến
1x∀ ≥

(1) 0; lim ( ) 1
x
g g x
→+∞
= =
. Như vậy
1x∀ ≥
⇒

[
)
0;1t ∈
Phương trình đã cho trở thành:
2
3 2t t m− + =
, (8a) với điều kiện

[
)
0;1t ∈
Phương trình (8) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (8a) có nghiệm
[
)
0;1t ∈

Xét hàm số
2
( ) 3 2f t t t= − +
trên đoạn
[ ]
0;1

'
( ) 6 2f t t= − +
;
'
1
( ) 0
3
f t t= ⇔ =

13


Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là
1

1
3
m− ≤ ≤
Nhận xét:
Trong lời giải trên từ phương trình
2
3 2t t m− + =
, (8a) với điều kiện
[
)
0;1t ∈
và việc khảo sát hàm số
( )f t
không nhất thiết phải sử dụng đạo hàm có
thể trình bày bằng lập bảng biến thiên đối với hàm số bậc hai hoặc biện luận
phương trình bậc hai theo tham số m nhưng việc ứng dụng đạo hàm sẽ làm cho lời
giải ngắn gọn và dễ dàng hơn.
Bài 9. Biện luận theo tham số
m
số nghiệm của phương trình

2
3 1x m x+ = +
(9)
Lời giải:
Phương trình (1)
2
3
1
x

m
x
+
⇔ =
+
, (9a).
Xét hàm số
2
3
( )
1
x
f x
x
+
=
+
trên
¡
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình (9a) và là số
giao điểm của đồ thị hàm số
( )y f x=
với đường thẳng
y m=
2
2
' '
2
2 2
1 ( 3)

1 3 1
1
( ) ; ( ) 0
1 3
( 1) 1
x
x x
x
x
f x f x x
x
x x
+ − +
−
+
= = = ⇔ =
+
+ +

t
'
( )f t
( )f t
1
+ 0
0

-1
14

2
3
1
lim ( ) lim 1
1
1
x x
x
f x
x
→−∞ →−∞
+
= = −
− +
;
lim ( ) 1
x
f x
→+∞
=
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra:
- Nếu
10
1
m
m

>

⇒

≤ −

phương trình (1) vô nghiệm
- Nếu
10
1 1
m
m

=
⇒

− < ≤

phương trình (1) có một nghiệm
Nếu
1 10m< < ⇒
phương trình (1) có hai nghiệm
Nhận xét:
- Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên theo
cách bình phương hai vế để đưa về phương trình bậc hai sau đó giải và biện luận
nhưng rất phức tạp vì phải so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số cho
trước
- Với ứng dụng của đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng
Bài tập tự luyện:
1 Chứng minh rằng : với mọi
0m f
, phương trình

2
2x 8 ( 2)x m x+ − = −
có đúng
hai nghiệm
2.Tìm tham số
m
để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
2 2 2 1x m x+ + = +

x
'
( )f x
( )f x
+
+ 0

-1
1
15


3.Tìm tham số
m
để
2 2
3 6 18 3x 1x x x m m+ + − − + − ≤ − +
đúng
[ ]
3,6x∀ ∈ −

4.Tìm tham số
m
để bất phương trình
2
( 2 2 1) (2 ) 0m x x x x− + + + − ≤

có nghiệm
0;1 3x
 
∈ +
 
5.Tìm tham số
m
để phương trình sau có nghiệm:
12 ( 5 4 )x x x m x x+ + = − + −
6. Tìm tham số
m
để bất phương trình :
( )
2
2 2
1 2 4x m x x+ + ≤ + +
, thỏa
mãn
[ ]
0;1x∀ ∈
7. Tìm tham số
a
để bất phương trình :
2

2 7a x x a+ < +
nghiệm đúng với mọi
x
8.Tìm tham số
a
để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3 2
4 0x ax+ − =
9. Tìm tham số
m
để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
4
4
2x 2x 2 6 2 6x x m+ + − + − =
IV. Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm
Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy học sinh ở trường
THPT Lang Chánh, tơi nhận thấy các em rất hứng thú với mơn học , nhiều em lúng
túng trước một số bài tốn dường như bế tắc cách giải nhưng sau khi được học
phần ứng dụng đạo hàm thì bài tốn đó được giải quyết một cách dễ dàng hơn .
Chính vì thế các em nhận thấy được với mỗi bài tốn việc hoc tập và tìm tòi là hết
sức quan trọng do đó với mỗi năm học tơi nhận thấy chất lượng của mơn tốn tốt
hơn và kết quả học tập của học sinh được tăng lên rõ rệt cụ thể đầu năm học sinh
lớp 12 chưa được học phần ứng dụng đạo hàm và cuối kỳ I tơi đã dạy phần ứng
dụng đạo hàm để giải một số bài tốn về phương tình và bất phương trình có chứa
tham số. Kết quả cụ thể
Năm học
Đầu năm học (%) Cuối học kỳ I (%)
Yếu TB Khá Giỏi Yếu TB Khá Giỏi
2012-2013
25 37 28 10 10 25 50 15

Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này đã giúp các em học sinh lớp 12
thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa bài tốn phương trình, bất phương trình chứa

16


tham số và bài toán khảo sát hàm số đồng thời giúp các em có cái nhìn khá toàn
diện về bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số trong phạm vi toán
học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ cho các em học sinh trong việc ôn thi vào Đại
học.
V. KẾT LUẬN
Đảng , Nhà nước coi giáo dục là quốc sách hàng đầu, nên việc đổi mới
phương pháp dạy học là hết sức cần thiết . Muốn làm tốt việc đó người thầy phải
tự học để trau rồi kiến thức nâng cao chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương
pháp dạy học có hiệu quả tạo được sự hứng thú cho học sinh và niềm tin của nhân
dân nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nước nhà . Là một nhà giáo bản
thân tôi hàng năm tích lũy kiến thức và kinh nghiệm để viết thành những sáng kiến
kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học tốt hơn. Thực tế qua quá trình giảng dạy
các em đều ngại và lúng túng khi gặp các bài toán giải phương trình và bất phương
trình có chứa tham số. Từ những thực tế đó để các em hứng thú trong học tập toán
biết cách vận dụng, khai thác quy lạ về quen Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “ Ứng
dụng đạo hàm để giải một số bài toán phương trình , bất phương trình có chứa
tham số’’ Rất mong được sự góp ý của quí thầy cô.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số, Giải tích lớp 10, 11, 12
theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản
Giáo dục
2.Tuyển tập các đề thi tuyển sinh vào các trường Đai học và Cao đẳng từ năm
1996 đến năm 2009 của nhà xuất bản Hà Nội.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hoá, ngày 19 tháng 01 năm 2013
NGƯỜI VIẾT SKKN
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(ký và ghi rõ họ tên)

17


Lê Thị Tâm

18