Bài tập Toán cao cấp B2

BÀI TẬP CHƯƠNG 3
1. Cho ánh xạ f : R2 ^ R2 xác định bởi f(xi,x2) = (xi+2x2,xi-x2)
a. Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính .
b. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f .
c. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2} với u1=(1,1) , u2=(1,0)
2. Cho ánh xạ f : R3 ^ R2 xác định bởi f(x13x2,x3) = (2x1+x2-x3,x1+x2-3x3)
a. Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính .
b. Tìm ma trận chính tắc của f .
c. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u^u2, u3} với u1=(1,1,1) ,
u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) = {v1,v2} với v1=(1,2) ,v2=(0,2) trong R2
3. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 ^ R2xác định bởi f(x^x2,x3) = (x1+2x2+x3,x1+5x2+x3)
a. Tìm ma trận chính tắc của f .
b. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u^u2, u3} với u1=(1,1,1) ,
u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) ={v1,v2} với v1=(1,3) ,v2=(-1,2) trong R2
4. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :
a. A =
2 1
0 3
b. B = c. C =
1 2
2 4
5. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :
a. A =
3 3 2
1 1 -2
-3 -1 0
b. B =
2 1 0
0 1 -1
0 2 4
c. C =

2 2 1
1 3 1
1 2 2
6. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận sau
a. A =
2 - 1 3
0 -3 0
-1 0 -2
b. B =
5 0 0
1 5 0
0 1 5
c. C =
0 1 0
-4 4 0
-1 1 2
7. Các ma trận sau đây có chéo hóa được hay không ?
"0 1 1 ■ "-2 -2 -2 ■ "2 1 1"
a. A =
0 0 2 b. B = 2 3 2 c. C = 1 2 1
0 0 1 4 2 4 1 1 2
8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 ^ R3
với f(x1,x2,x3) = (x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3 ,x1 +x2 +x3)
a. Tìm ma trận chính tắc A của ánh xạ f .
b. Ma trận A có chéo hóa được hay không ? Nếu có hãy làm chéo A .
9. Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc, xác định dấu của chúng
(trong R3)và chỉ ra phép biến đổi tọa độ tưong ứng :
a. Q= x12+5x22+8x32-2x1x2+4x2x3+4x1x3
b. Q= -2xi2+6x22+X32-4xiX2+8x2X3+4xiX3
c. Q= x12+2x22+6x32-2x1x2-6x2x3+2x1x3

BÀI TẬP CHƯƠNG 2
1. Cho các vectơ 3 chiều : ai=(2,1,0) , a2=(1,-1,1) và a3=(0, 1,-2)
a. Tìm vectơ u = 3a1 - 2a2 + a3
b. Tìm vectơ x sao cho a1 + x = a2 + a3 .
c. Tìm vectơ v là tổ hợp tuyến tính của a1,a2,a3 với các hệ số 4,3,5 .
d. Vectơ x = (1,2,3) có phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 không ?
2. Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,1,2) và a2=(0,-1,1)
a. Các số u1,u2,u3 thỏa điều kiện gì để vectơ u = (u1,u2,u3) là tổ hợp tuyến tính
theo a1 và a2 .
b. Vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của a1 và a2 :
x = (1,2,5) ,y = (2,4,2) .
3. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :
a. a1=(1,3,-1) , a2=(-1,2,1) và a3=(2, -1,-1)
b. a1=(1,2,-1) , a2=(4, 1,2) và a3=(2, -3,4)
c. a1=(1,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(5, -1,m)
4. Tìm hạng của hệ các vectơ :
a. a1=(0,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(-3, 0,1)
b. a1=(1,-2,0,3) , a2=(0,0,1,0) và a3=(0, -2,-1,1).
c. a1=(1,2,3, 4) , a2=(-1,2,-3,4) , a3=(0,1,-1,1) và a4=(1,1,1,1).
5. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :
a. a1=(1,-2,0) , a2=(3,2,1) và a3=(0,1,2)
b. a1=(1,-1,2,-1) , a2=(2, 1,0,2) và a3=(1, 2,4,-1)
c. a1=(1,0,2) , a2=(2,2,1) ,a3=(3, -1,0) và a4=(-1,1,0)
6. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R3 :
a. a1=(1,7,0) , a2=(1,-5,1)
b. a1=(1,0,2,0) , a2=(1, 1,0,1) , a3=(1, 0,4,3) và a4=(0, -2,4, 1)
c. a1=(1,0,1) , a2=(2,1,1) và a3=(-3, 2,0)
d. a1=(1,1,1) , a2=(0,1,1) và a3=(2, 2,2) .
7. Trong R3 cho cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (u)={u1,u2,u3} với u1=(0,1,1), u2=(1,0,1),
u1=(1,1,0) .

a. Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u) .
b. Tìm công thức đổi tọa độ từ (e) sang (u) .
c. Tìm tọa độ của vectơ x = (25,8,51) trong cơ sở (u).
d. Tìm tọa độ của vectơ y khi biết tọa độ của y trong cơ sở (u) là (31,12,50)(u)
8. Trong R3 cho các vectơ : u1=(m,1,1), u2=(1,m,1), u3=(1,1,m)
a. Tìm m để hệ (u)={u1,u2,u3} là một cơ sở của R3 .
b. Đặt (v)=(u) khi m=0 và (w)=(u) khi m=-1.Chứng tỏ (v) và (w) là hai cơ sở
của R3.
c. Tìm ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (w).
d. Cho x = (1,2,3),tìm tọa độ của x trong cơ sở (v) và (w) .
e. Cho biết tọa độ của y trong cơ sở (w) là (5,12,51)(u),tìm tọa độ của y trong cơ
sở (v).
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1. Cho các ma trận :
"1 0 -1 2" "2 1 0
1"
A = 3 - 2 1 0
và B =
0 - 2 3 2
1 - 2 -3 1 1 3 - 2 1
Gọi C = 2A - 3B , D = 3At + Bt , E = At.B . Tìm C23, Ổ31, e43 .
2. Cho các ma trận :
" 2 1 0 " " 0 1
1"
A = -1 1 3
và B =
1 2 3
3 0 - 2 - 2 0 1
Gọi C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI - B2 , F = AB - BA. Tìm c2 i, d33, e22, fi3
" 2 1" "1 2"

3. Cho các ma trận : B =
- 3 0
và C =
4 -1
Tìm ma trận A , biết rằng
a. A = 2B + 3C b. AB = C
4. Đưa các ma trận sau đây về dạng bậc thang :
"1 3 - 2 -1"
"1 - 2 0 3" "1 2 3
4"
2 5 - 2 1
0 0 1 0
b.
2 4 6 8
c.
1 1 6 13
0 -2 -1 1 3 6 9 12
- 2 - 6 8 10
5. Tìm ma trận đảo :
"- 3 4
6 "
"2 4
6"
"1 2" "5 - 4"
a.
3 7
b.
4 - 3
c.
0 1 1

d.
3 1 1
2 -3 - 4 1 2 3
6. Tìm hạng của các ma trận :
"3 -1
4"
"2 -1 3 - 2
4"
"4
2"
a.
3 5
b.
0 2 1
c.
4 - 2 5 1 7
0 4 2 2 -1 1 8 2
"0 2 -4 "
"1 7 1 3
0"
-1 - 4 5
1 7 -1 - 2 - 2
d. 3 1 7 e.
2 14 2 7 0
0 5 -10
6 42 3 13 - 3
2 3 0
7. Tìm ma trận đảo bằng định thức :
a.
2 3

3 5
b.
cos X sin X
- sin X cos X
"1 1 - 1
"1 a a 2
c.
2 3 1
d.
0 1
a
-
5 8 2
0 0 1
8. Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
X1 - X2 + 2X3 = 0
a) ị - 3x1 + 4 X2 + X3 = 2 b) ị
2X1 - 2X2 + 4X3 =1
9. Giải hệ phương trình Cramer :
3x1 - X2 - X3 + 2X4 =1
X1 + X2 - 2X3 + 4X4 = 5
X1 + 2X2 + 3x3 - 6X4 = - 9
12 X1 - 2X2 + X3 - 2X4 =10
2X1 + X2 - X3 = -1 X1 + 3x2 - X3 = -1
a)
X1 - 2 X2 + X3 = 5
b) -
- X1 + 2 X2 + X3 =1
c) ị
- X1 + X2 + 2 X3 =14

2 X1 - X2 - X 3 = 2
V.
2X1 + 3x2 - X3 =16
c) ị X1 - 4X2 + X3 = -11
- X1 + X2 + 3x3 = 7
X1 + 2 X2 + 3x3 + 4 X4 = 30
- X1 + 2X2 - 3x3 + 4X4 =10
X2 - X3 + X4 = 3
X1 + X2 + X3 + X4 =10
X1 + 2X2 - X3 = 3
d) ị - X1 + X2 - 2 X3 = 0
2 X1 - X2 + 4 X3 = 1
X1 + X2 - X3 = 4
e) ị3X1 - 2 X2 + 3x3 = 2 f) ị
5x1 - X2 + 3x3 =1
X1 - 2 X2 = 1
3x1 + 2 X2 + X3 =1
X2 + 2 X3 = -1
10. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss :
X1 + 2X2 - X3 = 2
a) ị X1 - X2 + X3 = 5
X1 + 3x2 - 2X3 = -1
X1 - 2X2 - X3 + X4 = 2
b) ị 3x1 - 6X2 - 4X3 + 2X4 = 4 c) ị 4X1 + X2 + 2X3 = 1
- X1 + 2 X2 + 2 X3 = 0
X1 + 2X2 - X3 = 3
2 X1 - 3x2 + 4 X3 = 2
X1 - 2 X2 + X3 + X4 = 1
d) ị X1 - 2X2 + X3 - X4 = - 1e) ị
X1 - 2 X2 + X3 + 5x4 = 5

X1 + X2 + X3 = 3
X1 + X2 - 3x3 = -1
2x1 + X2 - 2x3 = 1
X1 + 2X2 - 3x3 =1
f) ị
2X1 + X2 + X3 - X4 + X5 =1
X1 - X2 + X3 + X4 - 2 X5 = 0
3x1 + 3x2 - 3x3 - 3x4 + 4X5 = 2
4X1 + 5X2 - 5x3 - 5x4 + 7X5 = 3
11. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
X1 - X2 + 2 X3 = 0 X1 + 2 X2 + X3 = 0
a)
- 2 X1 + 4 X2 + X3 = 0
b )‘
X1 + 3x2 + 3x3 = 0
c) ị
2 X1 - X2 + 4 X3 = 0 2 X1 + 6 X2 + 6 X3 = 0
V.
X1 - X2 + 2 X4 = 0
2X1 + X2 - X3 + X4 = 0
- 3x1 + X3 - 2X4 = 0