Ôn tập thi vào 10

Tài liệu gồm 3 phần:
Phần một: Tóm tắt kiến thức cơ bản về:
A. Đại số :
I. Các phép biến đổi đồng nhất
II. Hàm số bậc nhất
III. Hàm số y=ax
2
. Phơng trình bậc hai một ẩn.
IV. Giải bài toán bàng cách lập phơng trình
B. Hình học :
I. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
II. Các loại đờng trong tam giác
III. Đờng tròn.

Phần hai : 18 đề luyện tập.
Phần ba: Một số đề thi và đáp án tham khảo.
Phần I : Kiến thức cần nhớ
A. Đại số
I. Các phép biến đổi đồng nhất
1) Cộng (trừ) các đơn thức : Chỉ cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng bằng cách cộng (trừ) các hệ
số.
2) Quy tắc về thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức đại số
3) Quy tắc về dấu : Khi bỏ dấu ngoặc, đổi dấu một phân thức .
4) Phép tính về lũy thừa (m,n N; m >n b0)
a
m
: a
n
= a
m-n

; a
m
. a
n
= a
m+n
; ( a
m
)
n
= a
m.n
; ( a: b)
n
= a
m
:b
n
; ( a. b)
n
= a
m
.b
n

5) Phép tính căn thức:

2
2
2

.
. 0
0
A B A B
A B A B neu A
A B A B neu A
=
=
= <

.
0
A B AB
A A
B
B
B
=
=
6) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
( a b)
2
= a
2
2ab+ b
2
; ( a b)
3
= a
3

3a
2
b+ 3ab
2
b
3
a
2
- b
2
= (a-b)(a+b) ; a
3
- b
3
= (a-b)(a
2
+ ab+ b
2
) ; a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
- ab+ b
2
)
Chú Chú ý:
( )( )A B A B A B
+ =

II. Hàm số bậc nhất
1. Hàm số y= f(x) đợc cho bởi công thức y= ax+b (a, b là các số thực a0)
Ta gọi d là đờng thẳng y= ax+b.
Đờng thẳng y= ax+b ( a0) cắt trục hoành tại điểm A(-
b
a
;0)
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
a. Minh họa : Tập nghiệm của hệ phơng trình minh họa trên mặt phẳng tọa độ .
Trên mặt phẳng tọa độ nếu gọi (d) là đờng thẳng ax+by =c
và (d) là đờng thẳng ax+by =c
+ Tập nghiệm của hệ phơng trình (I)đợc biểu diễn bởi tọa độ các điểm chung của (d) và(d)
Ta có: * (d) cắt (d) ú hệ (I) có 1 nghiệm duy nhất.
* (d) // (d) ú hệ (I) vô nghiệm
* (d) trùng (d) ú hệ (I) có vô số nghiệm
+ Xét hai đờng thẳng (d
1
) : y= ax+b (a0)và (d
2
) : y= ax+b(a0)
Ta có: * d
1
cắt d
2
ú a a.
* d
1
song song d
2
ú a =a; b b .

* d
1
trùng d
2
ú a =a; b= b
* d
1
cắt d
2
tại một điểm trên trục tung khi và chỉ khi

a a; b= b .
* d
1
vuông góc d
2
khi và chỉ khi a.a=-1.
- 1
+ Các dạng bài tập thờng gặp:
a. Xác định hệ số a,b của hàm số y =ax +b theo các điều kiện đã cho:
b. Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng thẳng
c. Vẽ đồ thị .
d. Lập phơng trình đờng thẳng theo các điều kiện bài toán.
b. Các cách giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Dùng phơng pháp thế:
- Dùng phơng pháp cộng đại số.
- Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ.
- Giải và biện luận hệ phơng trình.
Giải toán bằng cách lập hệ phơng trình
III. Hàm số y=ax

2
.Phơng trình bậc hai một ẩn.
1. Hàm số y=ax
2

(a0)
Đồ thị của hàm số y=ax
2
(a0) là một đờng cong đi qua gốc tọa độ (gọi là Parabol), nhận Oy là
trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol
+ Nếu a> 0 thì đồ thị nằm ở nửa mặt phẳng bờ xx chứa tia Oy.
+Nếu a< 0 thì đồ thị nằm ở nửa mặt phẳng bờ xx chứa tia đối của tia Oy.
2.Phơng trình bậc hai một ẩn.
a. Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng ax
2
+bx +c =0 (1)
a,b, c là các hệ số , a 0.
+ Có hai nghiệm phân biệt : a 0 và > 0
+ Có nghiệm kép : a 0 và = 0
+ Có một nghiệm : a= 0 và b 0
+ Vô nghiệm xét hai trờng hợp: + a= 0 và b=0 và c 0
+ a 0 và < 0
Chú ý: Đối với phơng trình (1), cần phân biệt rõ khi nào (1) là phơng trình bậc 2 hoặc trở thành
phơng trình bậc nhất.
+ Nếu phơng trình ax
2
+bx +c =0 có a+b+c =0 thì pt có một nghiệm x
1
= 1, x
2

=
c
a

+Nếu phơng trình ax
2
+bx +c =0 có a-b+c =0 thì pt có một nghiệm x
1
= -1, x
2
=
c
a


b. Hệ thức Viét. Phơng trình bậc hai ax
2
+bx +c =0 ; a 0 có hai nghiệm x
1
;

x
2
thì :
* x
1
+

x
2

=
b
a
; x
1
.x
2
=
c
a
.
*Nếu hai số có tổng bằng S và tích của chúng bằng P thì các số đó là các nghiệm của phơng
trình: ax
2
- Sx + P =0
c. Xét Parabol (P) : y=ax
2
(a0) và đờng thẳng y=bx +c (b0)

* Tọa độ giao điểm của (P)và(d) là nghiệm của hệ phơng trình:
2
ax y
bx c y

=

+ =

* Hoành độ giao điểm của của (P)và(d) là nghiệm của phơng trình ax
2

- bx- c=0(1).
* (P) không cắt (d) ú phơng trình (1) vô nghiệm .
- 2
* (P) cắt (d) ú phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
* (P) tiếp xúc (d) ú phơng trình (1) có nghiệm kép.
c.Điều kiện để phơng trình ax
2
+bx +c =0 (1)
* Có hai nghiệm phân biệt : a 0 và > 0
* Có nghiệm kép : a 0 và = 0
* Có một nghiệm : a= 0 và b 0
* Vô nghiệm xét hai trờng hợp: + a= 0 và b=0 và c 0
+ a 0 và < 0
Chú ý: Đối với phơng trình (1), cần phân biệt rõ khi nào (1) là phơng trình bậc 2 hoặc trở thành
phơng trình bậc nhất.
d. Xác định dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+bx +c =0.
i. Có hai nghiệm trái dấu: ú ac< 0
ii. Có hai nghiệm cùng dấu: ú 0 và
c
a
>0
iii. Hai nghiệm cùng dơng : ú 0 và
c
a
>0 ;
b
a

>0
iv. Hai nghiệm cùng âm : ú 0 và
c
a
>0 ;
b
a

<0
e.Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+bx +c =0 có hai nghiệm x
1
và x
2
thì tam thức ax
2
+bx+c phân tích đợc
thành nhân tử: ax
2
+bx +c= a(x x
1
) (x - x
2
)
IV.Giải bài toán bàng cách lập Phơng trình
Các bài giải toán bằng cách lập phơng trình có nội dung rất đa dạng và phong phú Dới đây các
thầy cô chỉ thống kê các dạng bài thờng gặp:

Dạng 1. Dạng công việc làm chung, làm riêng.

Dạng 2. Toán chuyển động
Dạng 3. Toán có nội dung hình học.
Dạng 4. Toán có nội dung phân chia sắp xếp.
Dạng 5. Toán có nội dung số học, phần trăm.
Dạng 6. Toán có nội dung vật lý,hóa học
B. Hình học.
Học sinh cần nắm đợc một số kiến thức cơ bản sau và vận dụng linh hoạt vào giải bài tập:
1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
+ Định lý Pitago
+Các hệ thức trong tam giác vuông: Ta kí hiệu độ dài các cạnh của tam giác ABC vuông tại
A là: BC=a, AB=c, AC =b; Đờng cao AH =h; Hình chiếu BH=c, CH= b.
Ta có các công thức: a
2
=c
2
+ b
2
; b
2
= a.b ; c
2
= a.
+ Tỉ số lợng giác của góc nhọn
2. Các loại đờng trong tam giác (Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biét): Đờng cao, đờng
trung tuyến, đờng phân giác, trung trực, trung bình.
a. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tam giác: cân, đều, vuông và vuông cân ,
tam giác đồng dạng(bằng nhau), các hệ thức lợng trong tam giác vuông. Tính chất của
- 3
tam giác vuông : 2 góc nhọn phụ nhau ; trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh
huyền ; cạnh góc vuông đối diện với góc 30

0

bằng nửa cạnh huyền.
b. Tứ giác và các tứ giác đặc biệt ( định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết), các hình
bình hành, thoi, vuông, hcn.
3. Đờng tròn: + Định nghĩa, tính chất đờng kính.
+ Các loại góc: góc ở tâm, góc nội tiếp, góc giữa tiếp tuyến và một dây, góc có
đỉnh ở trong, ở ngoài đờng tròn.(đ/n ,tính chất, hệ quả).
+Tứ giác nội tiếp đờng tròn. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Tiếp
tuyến của đờng tròn.
Phần II : một số đề luyện tập
Đề luyện tập số 1:
Bài 1: Cho biểu thức:
2
2
1
.
12
2
1
2

++
+



=
x
xx
x
x
x
P
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P >0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 2: Cho phơng trình: (m - 2)x
2
- 2mx + m - 4 = 0
a) Giải phơng trình khi
2
3
=m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và tính S =
2

2
2
1
xx +
.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong thời gian nhất định. Nhng khi còn cách B 18km, ngời
đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đờng còn lại, nên đã đến B sớm hơn 18 phút. Tính vận
tốc ban đầu của ngời đó.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O; điểm A ở bên ngoài đờng tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC, cát tuyến
ADE. Gọi H là trung điểm của DE.
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh AH là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB
2
= AI.AH.
d) BH cắt đờng tròn tâm O ở K; chứng minh rằng: AE//CK.
Bài 5: Cho b, c là hai số thoả mãn hệ thức:
2
111
=+
cb
Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phơng trình sau phải có nghiệm:
x
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ cx + b = 0.
Đề luyện tập số 2:
- 4

Bài 1: Cho biểu thức
( )
2
:
x y xy
x x y y
x y
A
x y
x y x y
+



=
ữ
ữ

+

a) Rút gọn A
b) So sánh
A
với
A
Bài 2: Cho parabol (P): y = ax
2
a) Xác định a để (P) đi qua điểm M (-2; 4)
b) Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua N(0; -9) và tiếp xúc với parabol đã xác định đợc ở
câu a.

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một lâm trờng dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vợt mức
5ha so với kế hoạch, nên đã trồng đợc 80ha và hoàn thành sớm 1 tuần. Hỏi mỗi tuần, lâm trờng dự
định trồng bao nhiêu ha rừng.
Bài 4: Cho ABC. Dựng ra ngoài tam giác các hình vuông ABEG và ACFH. Gọi K là giao điểm
của BH và CG.
a) C/M: AGC = ABH
b) C/M: BH CG
c) C/M các đờng thẳng CG, BH, EF đồng qui.
Bài 5: Cho 2 bất phơng trình: 3mx - 2m > x + 1 (1)
và m - 2x < 0 (2)
Tìm m để 2 bất phơng trình trên có cùng một tập hợp nghiệm.
Đề luyện tập số 3:
Bài 1: Cho biểu thức:
3 1 2
:
2 2
2 2 1 1
x x x x
A
x
x x x x x

+ +
= + +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn A; b) CMR: A > 1;
c) Tìm các giá trị của x để:
(2 2). 5 (2 2 2).(2 4)x A x+ + = +

Bài 2:Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Hai ca nô cùng khởi hành từ 2 bến A và B cách nhau 85km, đi ngợc chiều nhau. Sau 1h 40
phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc
ca nô đi ngợc là 9km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 3:
Cho phơng trình: x
2
(m 2) x m
2
+ 3m 4 = 0 (1) (m là tham
số).
a) CMR: Phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt m.
b) Tìm m để tỉ số giữa 2 nghiệm của phơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2.
Bài 4:
Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B trên cạnh Ox (A nằm giữa O và B), điểm M bất kỳ trên
cạnh Oy. Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt tia MA; MB lần lợt tại điểm thứ 2 là C; E. Tia OE cắt (T)
tại điểm thứ hai là F.
a) CM: 4 điểm O, A, E, M nằm trên 1 đờng tròn, xác định tâm của đờng tròn đó?
b) Tứ giác OCFM là hình gì ? Tại sao?
c) CM: OE.OF + BE.BM = OB
2
d) Xác định vị trí của M để tứ giác OCFM là hình bình hành.
Đề luyện tập số 4
Bài 1: Cho biểu thức:

+


+
+








+

+

=
2
2
2
1
:
2

1
1
1
xx
xx
x
x
xx
xx
x
P
a) Rút gọn P; b) Tìm x để P =
32 x
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2:Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
- 5
Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nớc vào 1 bể chứa 50m
3
trong một thời gian nhất
định. Do khi ngời công nhân cho máy bơm với công suất tăng 5m
3
/h thì bơm đầy bể sớm hơn 1h40
phút. Tính công suất máy bơm theo dự định ban đầu.
Bài 3: Cho PT: mx
2
2x 4m 1 = 0 (1)
a) Tìm m để PT (1) nhận
5=x
là nghiệm, hãy tìm nghiệm còn lại.
b) Với m 0; CMR: PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa (O)
đờng kính AB và nửa (O) đờng kính AO. Trên (O) lấy 1 điểm M (Khác A và O), tia OM cắt (O) tại
C, gọi D là giao điểm thứ 2 của CA với (O).
a) CM: ADM cân
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E. Xác định vị trí tơng đố của đờng thẳng EA đối với(O)
và (O).
c) Đờng thẳng AM cắt OD tại H, đờng tròn ngoại tiếp COH cắt (O) tại điểm thứ 2 là N.
CMR: 3 điểm A, M, N thẳng hàng.
d) Cho ME//AB, tính OM theo a.
Bài 5:
Cho đờng thẳng y = (m-1).x+2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng đó là lớn
nhất?
Đề luyện tập số 5
Bài 1: Cho biểu thức:
1 1 1
:
x x
Q x
x x x x

+

= +
ữ
ữ
ữ
+

a) Rút gọn Q; b) Tính giá trị Q biết
32
2
+
=x
c) Tìm giá trị x thoả mãn:
. 4 5 4Q x x x=
Bài 2: Cho parabol y = kx
2
và đờng thẳng y = (p 1) x p + 1.
a) Biết parabol đi qua điểm
)
4
1
;
2
1
(

M
và tiếp xúc với đờng thẳng trên. Hãy tìm k , p và toạ độ tiếp
điểm Q.
b) Viết phơng trình đờng thẳng QS, biết toạ độ điểm S (2;0). Tìm hoành độ các giao điểm của đờng
thẳng QS với parabol.
Bài 3:Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A về B một bè
nứa trôi với vận tốc dòng nớc là 4km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại điểm C cách A
là 8km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 4: Cho đờng tròn (O) và dây cung BC với góc BOC = 120
0

. Các tiếp tuyến vẽ tại B và C với đ-
ờng tròn cắt nhau tại A. Gọi M là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BC (trừ B; C). Tiếp tuyến tại M với (O)
cắt AB tại E, cắt AC tại F.
a) Tính số đo góc EOF.
b) CM: ABC đều. Tính chu vi AEF, biết bán kính đờng tròn (O) đã cho là R.
c) Gọi I và K tơng ứng là giao điểm của BC với OE và OF. CM tứ giác OIFC nội tiếp và các đờng
thẳng OM, EK, FI cùng đi qua 1 điểm.
d) CM: OIK đồng dạng với OFE và EF = 2KI.
Đề luyện tập số 6
Bài 1: Cho biểu thức
x
x
x
x
xx
x
A

+


+

+

=
3
12
2
3

65
92
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị x để A < 1
c) Tính giá trị của biểu thức A với
5122951229 +=x
.
d) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số nguyên.
Bài 2: Cho phơng trình x
2
2 (m-1) x + 2m 5 = 0 (1)
- 6
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm m để
6
2
2
2
1
=+ xx
.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Một ô tô đi trên quãng đờng AB dài 60km trong một thời gian đã định. Ô tô đi đợc nửa
quãng đờng đầu với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h và đi nửa quãng đờng sau với vận
tốc kém vận tốc dự định là 6km/h. Biết ô tô đến B đúng dự định. Tính thời gian ô tô dự định đi
quãng đờng AB.
Bài 4: Cho đờng tròn (O, R). Từ điểm A bất kỳ bên ngoài đờng tròn (O, R)(B,C là các tiếp điểm). I

là một điểm bất kỳ nằm giữa B và C, một đờng thẳng qua I và vuông góc với OI cắt đờng thẳng AB
tại E và cắt đờng thẳng AC tại F.
a) CMR: I là trung điểm của EF.
b) CMR: tứ giác AEOF nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
c) Trên cung nhỏ BC lấy điểm K (K B, C). Qua K kẻ t.tuyến nối (O, R) cắt AB tại P, cắt AC tại Q.
Tính chu vi tam giác APQ nếu OA =2R.
d) Đờng thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB và AC lần lợt tại M và N. Xác định
vị trí điểm A để S
AMN
nhỏ nhất.
Bài 5: Cho x, y > 0; x + y
4
3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
yx
yxS
11
+++=
Đề luyện tập số 7
Câu 1: Cho biểu thức

+












++


+

=
2
43
1
3
:
23
5
1
1
xx
xx

x
x
xx
x
x
x
P
a) Rút gọn P. b) Chứng minh P > 1.
c) Tìm x để:
( )
42)(22(5).22 +=++ xxPx
Câu 2:
Cho hàm số: y = x
2
; y = mx + 2 (x là biến).
a) Chứng minh: đồ thị 2 hàm số luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm m để đồ thị 2 hàm số có 1 giao điểm với hoành độ bằng 2.
Câu 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120km trong thời gian nhất định. Sau khi đi đợc 1 giờ ô
tô bị chắn đờng bởi tàu hoả mất 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe tăng vận tốc thêm 6km/h.
Tính vận tốc dự kiến lúc đầu.
Câu 4:
Cho đờng tròn (O; R), đờng kính AB. Lấy điểm K là điểm chính giữa cung AB, điểm N
thuộc đờng kính AB. Tia KN cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là M.
a) Nêu cách dựng đờng tròn (I) sao cho đờng tròn (I) tiếp xúc đờng tròn (O) tại M và đờng tròn (I)
tiếp xúc với AB tại N.
b) Gọi giao điểm của đờng tròn (I) với AM và BM là E, F. Chứng minh EF//AB.
c) Chứng minh tích KM. KN có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm N.
d) Gọi giao điểm của EN và FN với KB, KA lần lợt là P,Q. Tìm GTNN của chu vi NPQ khi N
chuyển động trên AB.

Đề luyện tập số 8
Câu 1: Cho biểu thức








+

++
+








++


+

=
2
2

23
12
:
23
3
1
2
xxx
x
xx
xx
x
x
P
a) Rút gọn P. b) Tìm x để: -
( )
22.1 +=+ xPx
c) Tìm m để x =1, x = 3 thoả mãn
mP = (m
2
1)x- m
1+x

Câu 2: Cho hai hàm số: y = x
2
y = 3x + m + 1
a) Tìm giao điểm của đồ thị hai hàm số khi m = -3
- 7
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Câu 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.

Một bể đựng nớc có hai vòi: vòi A đa nớc vào và vòi B tháo nớc ra. Mở vòi A từ khi nớc cạn
tới khi nớc đầy (có đóng vòi B) lâu hơn 2 giờ so với vòi B tháo nớc từ khi bể đầy tới lúc cạn nớc (có
đóng vòi A). Khi bể chứa một phần ba thể tích của nó nếu ngời ta mở cả 2 vòi thì sau 8 giờ bể cạn
hết nớc. Hỏi sau bao nhiêu giờ riêng vòi A có thể chảy đầy bể ? Hỏi sau bao nhiêu giờ vòi B có thể
tháo hết nớc trong bể ?
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Trên cạnh AB lấy điểm E. Dựng đờng tròn đờng
kính BE cắt cạnh BC tại F. CE cắt đờng tròn tại H. Kéo dài CA và BH cắt nhau tại K.
a) Chứng minh: góc FHB không phụ thuộc vào vị trí điểm E.
b) Chứng minh: AC, EF, HB đồng quy tại K.
c) Chứng minh: E là tâm đờng tròn nội tiếp AHF.
d) Xác địnhvị trí của điểm E để CA.CK =
2
2
CB
- 8
Đề luyện tập số 9
Bài 1: Cho biểu thức:

=
1(
1
1
2
:
1
1
xx
x
x
x
xP
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P < 4 -
32
c)Tìm x để P < 4x
2
d) Xác định m để có x thoả mãn: P = 2x (x-1) x
2
m
2
-
)12( mx
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với vận tốc đã định. Nhng khi đi đợc 1 giờ

ngời đó tăng vận tốc thêm 4km trong 1 giờ đó đã đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tính vận tốc của ng-
ời đi xe đạp theo dự định.
Bài 3: Cho phơng trình.
x
2
2 (m + 1) x + m 4 = 0 (ẩn x)
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) CMR: phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Chứng minh biểu thức M = x
1
(1- x
2
) + x
2
(1- x
1
) không phụ thuộc vào m.
Bài 4:
Cho đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D không nằm trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC.Gọi các điểm chính giữa của các cung AC, AD
lần lợt là M, N, giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H, I, giao điểm của MD với CN là K.
a) CM: NKD và MAK cân.
b) CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH//AD.
c) So sánh CAK và DAK.
d) Tìm 1 hệ thức giữa sđ cung AC và sđ cung AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND.
Đề luyện tập số 10
Bài 1: Cho biểu thức:

+








+
+

+
=
)3)(2(
6
3
2
:
65
3

3
2
2
xx
xx
x
x
xxx
x
P
a) Rút gọn P ; b) Tìm x để P -2
c) Tìm x để
83).4(2
3
+= xPx
Bài 2: Cho 2 hàm số
y = - 2x + 4 y = - mx + m
2
a) Tìm toạ độ giao điểm của 2 hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có 1 điểm chung duy nhất, có vô số điểm chung.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một ca nô chạy trên dòng sông trong 8h, đã xuôi dòng 81km và ngợc dòng 105km. Một lần
khác chạy trong 4h, xuôi dòng 54km và ngợc dòng 42km. Tính vận tốc xuôi và vận tốc ngợc dòng
của ca nô.
Bài 4:
Cho (O, R) và đờng thẳng d (với d và (O) không có điểm chung và khoảng cách từ O đến d
nhỏ hơn
2R
). Lấy M tuỳ ý trên d. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đoạn OM cắt AB tại N và cắt
đờng tròn ở I. E là điểm giữa M và I.

AO giao với (O) tại A ; AE giao với (O) tại C.
a) CM: OM.ON = R
2
b) CM: Tứ giác MBCE nội tiếp.
c) CM: I cách đều MA, MB, AB.
d) Qua O kẻ đờng vuông góc với OM cắt MA, MB lần lợt tại H và K. Tính min S
MHK.
.
Đề luyện tập số 11
- 9
Bài 1: Cho
4 2
:
1
1 1
x x x
P x
x
x x

+

=
ữ
ữ
ữ

+ +

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P < 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
5
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một đội dự định làm một công việc với mức 420 ngày công thợ. Tính số ngời của đội, biết rằng
nếu vắng 5 ngời thì số ngày hoàn thành công việc tăng lên 7 ngày.
Bài 3: Cho y = mx + 1 (d) và y = x
2
(P)
a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1
b) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của m (d) luôn đi qua một điểm cố định và cắt (P) tại 2
điểm phân biệt.
Bài 4: Cho (O; R) đờng kính AB. Dây MN vuông góc với AB tại I sao cho AI < IB. Lấy E thuộc MI,
AE cắt (O) tại K.
a) Chứng minh rằng: tứ giác IEKB nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: AME đồng dạng với AKM
c) Chứng minh rằng: AE.AK + BI. BA = 4R
2
d) Xác định vị trí của I đ chu vi MIO lớn nhất.
Đề luyện tập số 12
Bài 1: Cho biểu thức

+














=
43
2
4
:
2
42
2
22
xx
x
x

x
xx
xx
x
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P <
x
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
x 2 = 0
a) Giải phơng trình trên.
b) Vẽ đồ thị hai hàm số y = x
2
và y = x + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ và chứng tỏ hai nghiệm tìm
đợc trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 100km với vận tốc xác định. Khi từ B về A ngời
đó đi theo con đờng khác dài hơn 20km nhng vận tốc lớn hơn lúc đi là 5km/h. Tìm vận tốc lúc đi.
Biết thời gian về nhiều hơn thời gian đi 10 phút và vận tốc xe máy không quá 60lm/h.
Bài 4:
Cho đờng tròn (O, R) và dây AB < 2R. C là điểm tuỳ ý trên cung lớn AB (CA.B). Gọi I là
tâm đờng tròn nội tiếp ABM. M và N lần lợt là giao điểmcủa BI và CI với (O); H.K lần lợt là giao
điểm của MN với AC, AB.
a) Chứng minh BIKN là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh IN. NC NH. NM.
c) Chứng minh NI có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm C.
d) Xác định vị trí của điểm C để tứ giác AIBN có chu vi lớn nhất.
- 10

Đề luyện tập số 13
Bài 1: Cho biểu thức
2 2 1 1x x x x x
P
x x x x x
+ +
= +
+
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức P. c) So sánh P với 5.
d) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa. CMR: biểu thức
P
8
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 2: Cho phơng trình
ax
2
(b a + 1) x = m
2
+ 1 (1)
a)Với a = 1; b = 2 chứng minh rằng khi đó phơng trình (1) luôn luôn có nghiệm m
b)Tìm m để K = x
1
2
+ x
2
2
nhỏ nhất.
c)CMR: nếu 2a
2
b

2
2ab 6x + 2b + 5 = 0 thì phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau.
Bài 3: .Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một máy bơm phải bơm đầy nớc vào một bể chứa đợc 75m
3
nớc trong một thời gian dự định.
Sau khi bơm đợc 1/3 bể thì mất điện. Sau 50 phút có điện trở lại ngời ta cho máy bơm hoạt động
với công suất tăng thêm 10m
3
/h nên đã bơm đầy bể đúng thời gian dự định. Tính công suất của
máy bơm theo dự định ban đầu.
Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R; một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn (M
A; M B), đờng thẳng (d) tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt trung trực của đoạn AB tại I; đ-
ờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng (d) tại C và D. (D nằm trong góc BOM).
a) CMR: Tia OC, OD là tia phân giác của AOM và BMN.
b) CMR: CA và CB AB.
c) CMR: AC.DB = R
2
d) Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABCD nhỏ nhất.
Đề luyện tập số 14
Bài 1: Cho
a
aa
P
+

=
1
)1(
2

;









+
+








+


= a
a
aa
a
a
aa
Q

1
1
1
1
a) Tìm a để P và Q cùng có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức Q.
c) Rút gọn
Q
P
R =
d) Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của R.
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian nhất định. Khi còn cách B 30km, ngời đó
nhận thấy sẽ đến B chậm
2
1
giờ, nếu giữ nguyên tố độ đang đi, nhng nếu tăng thêm vận tốc 5km/h
thì sẽ đến B sớm
2
1
giờ. Tính vận tốc xe đạp dự định đi lúc đầu.
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
- ax + a 1 = 0 (1)
a) CMR: PT (1) có nghiệm với Ha.
b) Không phải phơng trình tính giá trị của M theo a.
)1(2
32
11
2
2

2
1
21
xxxx
xx
M
+++
+
=
c) M có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
Bài 4: Cho (O, R) đờng kính AB và điểm M bất kỳ thuộc (O). Gọi các điểm chính giữa cung AM,
cung BM lần lợt là H, I, các dây AM và HI cắt nhau tại K.
a) CMR: HKM có độ lớn không đổi.
b) Kẻ IP vuông góc AM. CMR: IP làtiếp tuyến của (O, R).
c) Q là trung điểm dây MB. Vẽ hình bình hành APQS. CMR: S cũng thuộc đờng tròn (O, R).
d) CMR: Khi M di động thì HI luôn luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn .
Đề luyện tập số15.
- 11
Bài 1: Cho biểu thức P=
2
1 1 1
.
2
1 1 2
x x x
x x x

+

ữ ữ

ữ ữ
+


a) Rút gọn P. b.Tìm x để
1
P
>
2
3
Bài 2 : Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Cùng một thời điểm, xe tải xuất phát từ A để đến B, xe con xuất phát từ B để đến A. Sau 2giờ 24
phút hai xe gặp nhau rồi đi tiếp với vận tốc không đổi. Hỏi mỗi xe đi cả quãng đờng AB mất bao
lâu? Biết rằng nếu xe tải xuất phát trớc xe con 1 giờ thì hai xe sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng.
Bài 3: Cho hệ phơng trình 2 ẩn x,y và m là tham số khác 0.

1
2
0 ( )
2 ( )
my x d
y mx d
=


+ =

(1)
a) Giải hệ với m=
3 2

b) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x= 2y.
c)Gọi
1
( )d
và
2
( )d
là đồ thị của hai phơng trìnhcủa hệ vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ xOy.
Chứng minh rằng với mọi m,
1
( )d
và
2
( )d
luôn cắt nhau tại một điểm.Gọi giao điểm này là A.
Chứng minh rằng khi m thay đổi A luôn chạy trên một đờng tròn cố định.
Bài 4: Cho ABC cố định vuông tại A, đờng cao AD. Vẽ đờng tròn tâm (O
1
) ngoại tiếp ABD và đ-
ờng tròn tâm (O
2
) ngoại tiếp ACD. Qua A kẻ đờng thẳng d bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Gọi
giao điểm của d với (O
1
) là E, với (O
2
) là F. Gopị giao điểm của DE với AB là M, giao diểm của DF
với AC là N.
a) Chứng minh rằng góc EDF là góc vuông. b) Chứng minh MN//EF.
c) Chứng minh khi d quay quanh A(vẫn không cắt đoạn BC) tỉ số

BE EA
AF FC
+
+
luôn không đổi.
d) Xác định vị trí của è để chu vi tứ giác BEFC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: Giải phơng trình (x
2
+1)- (2x+2) =
2
( 1)( 1)x x+ +
Đề luyện tập số 16
Bài 1: Cho biểu thức :









+
+

+


= x
x
xx
x
x
xx
A
1
1
1
1
a) Tìm x để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm x để A < 7 4
3
.
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
2 (m + 1) x + m 4 = 0
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) CMR: phơng trình luôn luôn có nghiệm phân biệt m.
c) CMR: K = x
1
(1 x
2
) + x

2
( 1 x
1
) có giá trị không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Cho một số gồm hai chữ số . Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần và
thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đợc số viết theo thứ tự ngợc lại với số đã cho.
Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R; một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn (M
A; M B), đờng thẳng (d) tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt trung trực của đoạn AB tại I; đ-
ờng tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng (d) tại C và D. (D nằm trong góc BOM).
a) CMR: Tứ giác ABCD tiếp xúc với nửa đờng tròn đã cho.
b) Gọi P là giao điểm của OC và AM ; Gọi Q là giao điểm của OD và BM.CM tứ giác CPQD nội
tiếp.
c) CMR: OC.OP =OQ.OD.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD khi M thay đổi trên nửa đ-
ờng tròn.
Đề luyện tập số17.
- 12
Bài 1: Cho biểu thức P=
1 2 5
:
2 2 1 2
x x x x x
x x x x x x

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a)Rút gọn P. b. Chứng minh P>2
b) Tìm x để
3
. 2 4 3 4x x P x x x x x + + = +

Bài 2 : Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong trong thời gian dự định. Thực tế xí nghiệp lại giao
80 sản phẩm, vì vậy mặc dù ngời đó đã làm mỗi giờ thêm 1 sản phẩm song thời gian hoàn thành
công việc vẫn chậm hơ 12 phút so với dự định .Tính năng suất dự kiến biết 1 giờ làm đợc không
nhiều hơn 20 sản phẩm.
Bài 3: Cho parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng (d): y = 2a + m
a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm m để (a) tiếp xúc với (P). Vẽ đồ thị ứng với m vừa tìm đợc.
c) Khi (d) tiếp xúc (P) làm trục toạ độ tiếp điểm.
d) Tìm m để (d) cắt (P) từ điểm có hoành độ x
1
= -1. Tìm hoành độ còn lại.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB =2R và điểm M cố định trên tiếp tuyến của đờng tròn
tại A (M A). Kẻ tiếp tuyến thứ hai MC và cát tuyến MHK ( C,H,K thuộc đờng tròn tâm O), H
nằm giữa M và K, tia MK nằm giữa hai tia MB và MO. Các đờng thẳng BH và BK cắt đờng thẳng
MO tại E và F. Qua A kẻ đờng thẳng song song với MK , đờng thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai
là I. CI cắt MK tại N.
a) Chứng minh rằng tứ giác MCHE là tứ giác nội tiếp . b) Chứng minh OE= OF.
c) Chứng minh tổng MN
2
+ON

2
có giá trị không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MHK .
d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích MKI khi cát tuyến MHK thay đổi nhng luôn nằm giữa MB
và MO.
Bài 5: Cho phơng trình x
3
+ax
2
+ bx -6 =0 ( x là ẩn , a,b Z)
a) CM mọi nghiệm hữu tỉ của pt đều là số nguyên và là ớc của 6.
b) Tìm các số a,b Z thỏa mãn pt có 3 nghiệm hữu tỉ dơng phân biệt nhỏ hơn 6.
Đề luyện tập số 18
Bài 1: Cho biểu thức A:
3 4 3 9 2 3
:
2 6 3 5 6
x x x x x x
P
x x x x x x

+ + + +
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ + + +

a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá tri nhỏ nhất của
P
.
c) Tìm để có x>1 thỏa mãn m(

x
-3)P = 12m
x
-4
Bài 2: Cho hệ phơng trình:
2 3 1
3
x y
ax y
+ =


=

x
2
2 (m + 1) x + m 4 = 0
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm và giải hệ khi có nghiệm.
Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Cho 2 vòi nớc cùng chảy vào bể cạn. Nếu dùng riềng từng vòi thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi
2laf 4giowf. Khi nớc đã đầy bể ngời ta đóng vòi 1 và vòi 2 lại, đồng thời mở vòi 3 cho nớc chảy ra,
sau 6 giờ thì bể cạn. Khi nớc đã cạn hết, nếu 3 vòi cùng mở đồng thời thì sau 24 giờ bể sẽ đầy. Nếu
mỗi vòi chảy vào một mình thì sau bao lâu bể đầy? Bao lâu vòi 3 chảy hết nớc trong bể sau khi đã
bơm đầy?
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và một điểm M nằm ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến MB
và MC cắt tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC. Kẻ đờng thẳng qua B song song với Mx, đờng thẳng
này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. AC cắt Mx tại I. BO cắt đờng tròn tâm O tại B. Qua O kẻ đờng
thẳng vuông góc với BB, đờng thẳng này cắt MC, BC tại K và E.
a) CMR: Tứ giác MOIC nội tiếp.
b) Chứng minh MOB= EBO .

c) CMR: ME có độ dài không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
d) Khi M di động trên (O; 2R) thì K di động trên đờng nào?
- 13