mặt trụ, hình trụ, khối trụ

BÀI 3:
BÀI 3:
M T TR ,HÌNH TR , KH I TRẶ Ụ Ụ Ố Ụ
Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng l song song với ∆, cách l một khoảng R.
Mặt tròn xoay sinh bởi đường
thẳng l như thế khi quay quanh
∆ được gọi là mặt trụ tròn
xoay(mặt trụ).
l:đường sinh
∆: trục
Nhận xét:
•
Mặt trụ nói trên là tập hợp tất cả các điểm M cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng R không đổi.
•
Nếu M1 là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng l1 đi qua M1 và song song với ∆ cũng nằm trên mặt trụ đó.Như vậy, có thể xem mặt trụ sinh bởi đường thẳng l1, nói cách
khác, đường thẳng l1 cũng là một đường sinh của mặt trụ.
Cho mặt trụ T có trục ∆ và bán kính R. Giao của mặt trụ T và mặt phẳng (P) là
hình gì trong các trường hợp sau đây?
a.
Mặt phẳng (P) đi qua ∆ .
b.
Mặt phẳng (P) song song với ∆.
c.
Mặt phẳng (P) vuông góc với ∆.
Giải :
a. Mặt phẳng (P) đi qua ∆ .
⇒
Giao giữa mặt trụ T và (P) là 2
đường sinh đối xứng nhau qua ∆ .

∆

P
đường sinh
Giải :
b.Mặt phẳng (P) song song với ∆.
Gọi d là khoảng cách giữa ∆ và (P):
•
d >R: giao là tập rỗng.
∆
P
Giải :
b.Mặt phẳng (P) song song với ∆.
Gọi d là khoảng cách giữa ∆ và (P):
•
d >R: giao là tập rỗng.
•
d= R: giao là 1 đường sinh.
∆
P
đường sinh
Giải :
b.Mặt phẳng (P) song song với ∆.
Gọi d là khoảng cách giữa ∆ và (P):
•
d >R: giao là tập rỗng.
•
d= R: giao là 1 đường sinh.
•
0<d<R: giao là 1 cặp đường sinh.
∆
P

đường sinh
Giải :
c.Mặt phẳng (P) vuông góc với ∆.
Giao giữa (P) và mặt trụ T là
đường tròn bán kính R.
∆
P
đường tròn
bán kính R
Cắt mặt trụ T trục Δ, bán kính R bởi hai mặt phẳng phân
biệt (P) và (P’) cùng vuông góc với Δ, ta được giao tuyến
là hai đường tròn (C) và (C’).
Phần mặt trụ T nằm giữa hai
mặt phẳng (P) và (P’) cùng
với hai hình tròn xác định
bởi (C) và (C’) được gọi là
hình trụ.
hình trụ
Chú thích:

O và O’là tâm của hai hình trụ đáy.

Khoảng cách giữa hai mặt đáy
gọi là chiều cao của hình trụ.

M thuộc (C) , M’ thuộc (C’)
sao cho MM’ //OO’. Với MM’ nằm
trên mặt xung quanh của hình trụ,
có độ dài bằng chiều cao của hình trụ.


Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là
mặt xung quanh của hình trụ.
Ta có:

(C) và (C’) gọi là hai đường tròn đáy,
hai hình tròn xác định bởi chúng
gọi là hai mặt đáy của
hình trụ.

MM’ là đường sinh của hình trụ.

OO’ (nằm trên Δ) gọi là trục hình trụ.
P
P’
Δ
M’
M
O
O’
(C’)
(C )
•
Từ đó ta thấy rằng mỗi hình trụ phân chia không gian thành 2 phần
,phần bên trong hình trụ và phần bên ngoài hình trụ.
Hình trụ cùng với phần bên trong
của nó được gọi là khối trụ.
VD1: Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có
hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không
phải là đường sinh của hình trụ.
Tính cạnh của hình vuông đó.

Giải:
Gọi C’ là hình chiếu của C trên mặt đáy chứa AB
thì
AB ┴ BC’ (vì AB
┴
BC). Vậy AC’ là đường kính
của đường tròn đáy hay AC’ = 2R.
Từ các tam giác vuông ABC’ và BCC’ ta có:
2
10
52
''
4''
22
22222
22222
R
AB
RAB
RABCCBCBC
ABRABACBC
=⇒
=⇒
−=−=
−=−=
Một hình lăng trụ gọi là nôi tiếp một hình trụ nếu hai đáy
của hình lăng trụ nôi tiếp hai đường tròn đáy của lăng
trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
Diện tích xung quanh của hình trụ là giới hạn của
diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp

hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Thể tích của khối trụ (còn gọi là thể tích của hình
trụ) là giới hạn của thể tích của hình lăng trụ đều nội
tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Cho hình trụ T có chiều cao h và
bán kính R.Giả sử H là một hình trụ đều
nội tiếp hình trụ T.

Gọi S là diện tích xung quanh
của hình lăng trụ H và V là thể tích của hình.

Ta biết rằng S = p.h, trong đó p là
chu vi đáy của hình lăng trụ H, và
V = S
đáy.
.h, trong đó S
đáy
là diện tích đáy
của hình lăng trụ H. Mặt khác khi số cạnh đáy của hình
trụ H tăng lên vô hạn thì chu vi p và diện tích S
đáy
lần
lượt có giới hạn là chu vi và diện tích của hình tròn đáy
của hình trụ T.

•
Diện tích xung quanh của hình trụ
bằng chu vi đáy nhân với đường cao.
•

Thể tích của khối trụ bằng diện tích
đáy nhân với chiều cao.
VD2: Cho hình trụ T có bán kính R, trục OO’ bằng 2R và mặt cầu (S) có đường kính OO’.
a.
So sánh diện tích xung quanh của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
b.
So sánh diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ(diện tích toàn phần của
hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy của nó).
c.
So sánh thể tích của khối trụ T và khối cầu (S).
2
4 R
Π
RR 2.2
Π
Giải:
a.S
mặt cầu
=
Sxq =
=>S
mặt cầu
= Sxq
b.S toàn phần =
=>S
mặt cầu
= S toàn phần .
c.V (S)= ;
=> V (S)= VT
2

6
2
2
2
4 RRR
ΠΠΠ
=+
3
2
3
3
4
R
Π
3
22.
2
RRRV
T
ΠΠ
==
3
2