Bài tập luyện thi V2 ngày 14 tháng 2

BÀI TẬP
Bài 1 Cho một số tự nhiên có 2 chữ số, ta lập một số mới bằng cách viết thêm
chữ số 0 vào giữa hai chữ số của số đã cho.
a) Chứng tỏ rằng: Hiệu của số mới và số đã cho chia hết cho 45.
b) Tìm số đã cho biết số mới gấp 9 lần số đã cho.
Bài 2 Rút gọn biểu thức:
2 2
2 2
4 4
4 4
x x x x
A
x x x x
+ − − −
= −
− − + −
Bài 3 : Cho các số dương a, b, x thoả mãn
2
2
1
ab
x
b
=
+
Xét biểu thức
1
3
a x a x
P
b

a x a x
+ + −
= +
+ − −
a). Chứng minh P luôn xác định.
b). Rút gọn P.

Bài 4 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2007x y+ =
Bài 5 Cho tam giác ABC (AC>AB). Lấy các điểm D, E tuỳ ý thứ tự nằm trên
các cạnh AB, AC sao cho BD=CE. Gọi K là giao điểm của DE với BC. Chứng minh
rằng tỉ số
KE
KD
không đổi.
Bài 6 Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng m đi qua
A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D. Chứng minh rằng khi m
quay quanh A ( thoả mãn m không trùng với AB) thì
ˆ
CBD
không đổi.
Trang 1
HƯỚNG DẪN

BÀI Ý NỘI DUNG
1
a
(1 đ)
Gọi số đã cho là
ab

thì số mới sau khi thêm 0 vào giữa hai chữ số là
0a b
0 9;0 0 9a≤ ≤ < ≤
.
Hiệu của số mới và số đã cho là:
0a b ab−
=
0 100 (10 ) 90 2.45. 45a b ab a b a b a a− = + − + = = M
.
Vậy hiệu của số mới và số đã cho chia hết cho 45.
b
(1,5)
Vì số mới gấp 9 lần số đã cho và
; ;0 9;0 0 9a b N a∈ ≤ ≤ < ≤
nên ta có :
:
0 9.
100 9(10 )
100 90 9
110 8 5 4
4
5
4, 5
a b ab
a b a b
a b a b
a b a b
a
b
a b

=
⇒ + = +
⇒ + = +
⇒ = ⇔ =
⇒ =
⇒ = =
Vậy số đã cho là 45.
2 (1)
Rút gọn:
2 2
2 2
4 4
4 4
x x x x
A
x x x x
+ − − −
= −
− − + −
Điều kiện :
2; 2x x≤ − ≥
Ta có

(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
4 4
4 4
4 4
4 4
2 4 4 2 4 4
4
4 4
4
4
x x x x
x x x x
A
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x
x x
x x

+ − − − −
+ − − −
= − =
− − + −
− − + −
 
+ − + − − − − + −
 
 
=
− +
−
=
= −
3
a
(1)
1
3
a x a x
P
b
a x a x
+ + −
= +
+ − −
với
2
2
1

ab
x
b
=
+

Ta có: a>0, b>0, x>0
0a x⇒ + >
(1)
Xét
( )
( )
2
2
2 2 2
1 2
1
2
0
1 1 1
a b ab
a b
ab
a x a
b b b
+ −
−
− = − = = ≥
+ + +
(2)

Ta có a+x>a-x
0 0a x a x a x a x+ > − ≥ ⇒ + − − ≠
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra P luôn xác định.
b
(1)
Rút gọn
1
3
a x a x
P
b
a x a x
+ + −
= +
+ − −
Ta có :
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
1 2
1
2
1
1 1 1 1
a b ab
a b

ab a
a x a a x b
b b b b
+ +
+
+ = + = = ⇒ + = +
+ + + +
( )
( )
2
2
2 2 2 2
1 2
1
2
1
1 1 1 1
a b ab
a b
ab a
a x a a x b
b b b b
+ −
−
− = − = = ⇒ − = −
+ + + +
Trang 2
( )
( )
2 2

2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
3 1 1 3
1 1
1 1
a a
b b
b b
b b
P
b b b b
a a
b b
b b
+ + −
+ + −
+ +
⇒ = + = +
+ − −
+ − −
+ +
* Nếu 0<b<1 thì
2 1 4
2 3 3
P
b b b
= + =

* Nếu
1b ≥
thì
2
1 3 1
3 3
b
P b
b b
+
= + =
4 1
Nghiệm nguyên dương của phương trình
2007x y+ =
2007 3 223x y x y+ = ⇔ + =
Vì x, y nguyên dương nên vai trò như nhau. Do đó
;x y
có dạng:
223x a=
và
223y b=
223 223 3 223a b⇒ + =
Với a+b=3 suy ra a=1; b=2 hoặc a=2; b=1.
Các cặp ngiệm nguyên dương cần tìm là: (223;892); (892;223)
5
(1,5)
Cách
2.
Từ D kẻ
/ / ( )DP AC P BC∈

Theo định lí Ta-let ta có :
(1)
KE EC KE BD
KD DP KD DP
= ⇒ =
Lại có:
(2)
BD DP DB AB
AB AC DP AC
= ⇒ =
Từ (1) và (2)
KE AB
KD AC
⇒ =
AB và AC có độ dài không đổi nên tỷ số
AB
AC
không
đổi. Điều đó chứng tỏ tỷ số
KE
KD
không phụ thuộc vào
cách chọn các điểm D và E.
6
(2)
Vẽ hình
Trong đường tròn (O), có
ˆ
ACB
là góc nội

tiếp,
ˆ
AOB
là góc ở tâm cùng chắn cung AB
nên
1
ˆ ˆ
2
ACB AOB=
ˆ ˆ
'ACB O OB⇒ =
(1)
Tương tự trong đường tròn (O’) ta có
1
ˆ
ˆ
'
2
ADB AO B=
ˆ
ˆ
'ADB OO B⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
ˆ ˆ ˆ
ˆ
' 'ACB ADB O OB OO B+ = +
. Mà
0
ˆ

ˆ ˆ
180ACB ADB CBD+ = −
và
0
ˆ ˆ
ˆ
' ' 180 'O OB OO B OBO+ = −
( Tổng ba góc trong của một tam giác bằng 180
0
)
ˆ ˆ
'CBD OBO⇒ =
ˆ
'OBO
không đổi nên
ˆ
CBD
không đổi.
Trang 3
P
K
D
E
C
B
A
D
A
B
O'

O
C