Chuyên đề ôn thi giới hạn của hàm số và ứng dụng vào đạo hàm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (631.9 KB, 76 trang )
Phần 1: Khái niệm và các kí hiệu.
Ví dụ 1:
2 2
1
3 1 1 3 1 1
lim
1 1 1 2
x
x x
x
→
− + − +
= = −
+ +
.
Ví dụ 2:
3
0
1 1
lim
3 3
x
x
x
→
+
=
+
.
Ví dụ 3:
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
1
1 3 1 3 1
3 3 7
lim
1 1 1 2
x
x x x
x
→−
− − − + −
− +
= =
− − −
.
Ví dụ 4:
3 2 3 2
1
2 2 1 2.1 1 2 2
lim
2 1 2.1 1 3
x
x x x
x
→
− + − − − + − −
= = −
÷
÷
+ +
.
Ví dụ 5:
3 3
1
3 1 3
lim 2
1
1 1
x
x
x
→
+ +
= =
÷
÷
+
+
.
Vi dụ 6:
1
3 1 2 3.1 1 2
lim 4
3 2 3 2.1
x
x
x
→
+ + + +
= =
÷
÷
− −
.
Ví dụ 7:
( )
0
lim sin 2 cos sin 0 cos0 1
x
x x
→
− = − = −
.
Ví dụ 8:
( )
4
lim tan 2cot tan 2cot 1
4 4
x
x x
π
π π
→
− = − = −
.
Ví dụ 9:
( )
2 2
2
lim 2 3 2 3 4 9 5
x x
x→
− = − = − = −
.
Ví dụ 10:
( )
4 4
2 2
4
4
1
lim log 3 log 3 2
3
x x
x
− −
→
+ = + = +
.
Ví dụ 11:
( )
2 1 1 2
1
1 5
lim 3 2 3 2 2
3 3
x x
x
+ − − +
→−
− = − = − = −
.
Ví dụ 12:
( )
3
2 3
lim 2cos 3sin 2 2cos 3sin 1 3
3 3 2
x
x x
π
π π
→
− = − = +
.
Ví dụ 13:
3
3
lim cos sin 3 cos sin
2 6 2
x
x
x
π
π
π
→
+ = + =
÷
.
Ví dụ 14:
( ) ( )
2 9 9
3 3
9
lim log 2 log 3 9 2 1 2
x x
x
x
→
− − = − − = − −
.
Ví dụ 15:
3 3
2 2
2
2 2 4 2 2 2.2 4
lim 0
3 2 2 3.2 2
x
x x
x x
→
+ − + + − +
= =
÷
÷
+ + + +
.
Ví dụ 16:
1
2
1 1 2
lim
1
2 5
2
2
x
x
→
= =
÷
+
+
.
1
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ 17:
( )
2
0 0
2
lim lim 2 0
x x
x
x
x
→ →
= =
÷
÷
.
Ví dụ 18:
0 0
3 3 3
lim lim
2 2 2
x x
x
x
→ →
= =
÷ ÷
.
Ví dụ 19:
2
0 0
1
lim lim
x x
x
x
x
→ →
= = ±∞
÷
÷
.
Ví dụ 20:
2
0 0
3 3
lim lim
x x
x
x
x
→ →
= = ±∞
÷
÷
.
Ví dụ 21:
( )
3
2
0 0
2
lim lim 2 0
x x
x
x
x
→ →
= =
÷
÷
.
Ví dụ 22:
( ) ( )
( )
1 1
1 2 1
lim lim 2 1 3
1
x x
x x
x
x
→ →
− +
= + =
−
.
Ví dụ 23:
( )
2
2 2
4
lim lim 2 4
2
x x
x
x
x
→ →
−
= + =
÷
÷
−
.
Ví dụ 24:
2
2 2
2 1 1
lim lim
2 4
4
x x
x
x
x
→− →−
+
= = −
÷
÷
−
−
.
Ví dụ 25:
2
1 1
1 1 1
lim lim
1 2
1
x x
x
x
x
→ →
−
= =
÷
÷
+
−
.
Ví dụ 26:
( )
2
5 5
25
lim lim 5 10
5
x x
x
x
x
→ →
−
= − + = −
÷
÷
−
.
Ví dụ 27:
( )
3
2
1 1
1
lim lim 1 3
1
x x
x
x x
x
→ →
−
= + + =
÷
÷
−
.
Ví dụ 28:
3 2
1 1
1 1 1
lim lim
3
1 1
x x
x
x x x
→− →−
+
= =
÷ ÷
+ − +
.
Ví dụ 29:
( )
3
2
2 2
8
lim lim 2 4 12
2
x x
x
x x
x
→− →−
+
= − + =
÷
÷
+
.
Ví dụ 30:
( )
3
2
2 2
8
lim lim 4 2 12
2
x x
x
x x
x
→ →
−
= − + + = −
÷
÷
−
.
Ví dụ 31:
( ) ( )
( )
( )
2 2
4
2
1 1 1
1 1
1
lim lim lim 1 1 4
1 1
x x x
x x
x
x x
x x
→ → →
− +
−
= = + + =
÷
÷
− −
.
Ví dụ 32:
( )
( )
4
2
2 2
2 1 1
lim lim
32
16
2 2
x x
x
x
x x
→ →
−
= =
÷
−
+ +
.
Ví dụ 33:
( )
( )
( ) ( )
2
3 2
2
1 1 1
1 1
1 1 3
lim lim lim
1 1 1 2
1
x x x
x x x
x x x
x x x
x
→ → →
− + +
− + +
= = =
÷ ÷
÷ ÷
− + +
−
.
2
Ví dụ 34:
2
3 2
2 2
4 2 1
lim lim
3
8 2 4
x x
x x
x x x
→ →
− +
= =
÷
÷
÷
− + +
.
Ví dụ 35:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
4
3
2 2
1 1 1
1 1 1 1 1
1 4
lim lim lim
3
1
1 1 1
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x
→ → →
− + + + +
−
= = =
÷
÷
−
− + + + +
.
Ví dụ 36:
( )
( )
( )
2
3
4
2
2 2
2 4
8 3
lim lim
8
16
2 4
x x
x x
x
x
x x
→ →
− + +
−
= = −
÷
÷
−
+ +
.
Ví dụ 37:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
2 1
3 2 1 1
lim lim lim
2 2 2 4
4
x x x
x x
x x x
x x x
x
→ → →
− −
− + −
= = =
÷
÷
÷
− + +
−
.
Ví dụ 38:
( )
( )
2
2
1 0
2 1
2 3 1 1
lim lim
2 1 4
2 2
x x
x
x x
x
x
→ →
−
− +
= =
÷
÷
+
−
.
Ví dụ 39:
( )
( )
( )
( )
2
3 2 2
3 2
2
1 1 1
1 1
2 1 1 1
lim lim lim
3
1 1
1 1
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
→ → →
− − −
− + − −
= = = −
÷ ÷
÷ ÷
− + +
− + +
.
Ví dụ 40:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1 1
1 3 1
3 4 1 3 1 2
lim lim lim
1 2 1 2 1 3
2 1
x x x
x x
x x x
x x x
x x
→ → →
− −
− + −
= = =
÷
÷
÷
− + +
− −
.
Ví dụ 41:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 3 2 3
6
4
2 2
1 1 1
1 1 1 1 1
1 3
lim lim lim
2
1
1 1 1 1 1
x x x
x x x x x x x
x
x
x x x x x
→ → →
− + + + + + +
−
= = =
÷
÷
−
− + + + +
.
Ví dụ 42:
( )
3
6
3
1 1
1 1 1
lim lim
2
1
1
x x
x
x
x
→ →
−
= − = −
÷
÷
−
+
.
Ví dụ 43:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4 3 2 4 3 2
5
4
3 2 3 2
1 1 1
1 1 1
1 5
lim lim lim
4
1
1 1 1
x x x
x x x x x x x x x
x
x
x x x x x x x
→ → →
− + + + + + + + +
−
= = =
÷
÷
−
− + + + + + +
Ví dụ 44:
( )
( )
( )
( )
5 4 3 2
6
5
4 3 2
1 1
1 1
1 6
lim lim
5
1
1 1
x x
x x x x x x
x
x
x x x x x
→ →
− + + + + +
−
= − =
÷
÷
−
− + + + +
.
Ví dụ 45:
( )
( )
( )
( )
6 5 4 3 2
7
8
7 6 5 4 3 2
1 1
1 1
1 7
lim lim
8
1
1 1
x x
x x x x x x x
x
x
x x x x x x x x
→ →
− + + + + + +
−
= =
÷
÷
−
− + + + + + + +
.
Ví dụ 46:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
3
2
1 1 1
1 2 2 1 2 2 1
2 1 5
lim lim lim
1 4 4 3
5 4
x x x
x x x x x
x x
x x x
x x
→ → →
− − − − − − −
− + +
= = =
÷
÷
− − −
− +
.
Ví dụ 47:
( )
1 1
1
lim lim 1 2
1
x x
x
x
x
→ →
−
= + =
÷
−
.
3
Ví dụ 48:
( )
( )
2
4 4
2 1 1
lim lim
32
2 4
16
x x
x
x x
x
→ →
−
= =
÷
÷
+ +
−
.
Ví dụ 49:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
4
4 2
1 1 1
3 2 3 2
1
3 2 1
lim lim lim .
16
1
1 3 2 1 1 1 3 2
x x x
x x
x
x
x
x x x x x x
→ → →
+ − + +
−
+ −
= = =
÷
÷
−
− + + − + + + +
Ví dụ 50:
( )
( ) ( )
3
2 2
2 1
2 2 2 2
lim lim
1 1 2 4 9
8
x x
x
x
x x
x
→ →
−
+ −
= − = −
÷
÷
− + +
−
.
Ví dụ 51:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1
3 2 3 2 3 1 2 1 3 1 2
3 2 1
lim lim lim .
3
3 1 2
3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 2
x x x
x x x x x
x
x
x x x x x
→ → →
+ − + + + + − + +
+ −
= = =
÷
÷
+ −
+ − + + + + − + +
Ví dụ 52:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3 2
1 1 1
3 1 3 3 1 3
2 1
3 1 3 1
lim lim lim .
6
1
1 3 1 3 1 1 3 1 3
x x x
x x x x
x
x x
x
x x x x x x x x
→ → →
+ − + + + +
−
+ − +
= = − = −
÷
÷
−
− + + + − + + + + +
Ví dụ 53:
( )
( )
2
3 3 3
3
2 2
1 1 1
3 3 3 3
1 1
1 1 1
lim lim lim .
1 3
1 1 1
x x x
x x x
x
x
x x x x x
→ → →
− + +
÷
−
= = =
÷
÷
−
− + + + +
÷ ÷
Ví dụ 54:
( ) ( )
( )
2
3 3
2
3
2 2
2 2 4 2 4 4
4
lim lim 12
4 2
4 2
x x
x x x x
x
x
x
→ →
− + + +
÷
−
= − = −
÷
÷
−
−
.
Ví dụ 55:
( )
( )
( )
2
3 3
3
1 1
1 1
1 3
lim lim .
2
1
1 1
x x
x x x
x
x
x x
→ →
− + +
÷
−
= =
÷
÷
−
− +
Ví dụ 56:
( )
( ) ( )
3
2
2
1 1
3 3
1
1 1
lim lim
6
1
1 1 1
x x
x
x
x
x x x x
→− →
+
+
= = −
÷
÷
−
+ − − +
÷
.
Ví dụ 57:
( )
( ) ( )
3
2
2
1 1
3 3
1
1 1
lim lim .
3
3 2
1 2 1
x x
x
x
x x
x x x x
→− →−
+
+
= =
÷
÷
+ +
+ + − +
÷
Ví dụ 58:
( )
1 1
1 1 1
lim lim .
1 2
1
x x
x
x
x
→ →
−
= =
÷
÷
−
+
Ví dụ 59:
( ) ( )
( )
( )
4
2
4
1 1
1 1 1 1
1
lim lim 8.
1
1
x x
x x x x
x
x
x
→ →
− + + +
−
= =
÷
÷
−
−
Ví dụ 60:
( )
( )
( )
( )
4
3
4
2
1 1
3 3
1 1 1
1 4
lim lim .
3
1
1 1
x x
x x x
x
x
x x x
→ →
− + +
−
= − =
÷
÷
−
− + +
÷
Ví dụ 61:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
2
4 4
0 0 0
1 1 1 1
lim lim lim .
8
2
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
x x x
x x
x x
x x x x x x x
→ → →
+ −
= = =
÷
÷
+
+ + + + + + + + + +
4
Ví dụ 62:
( )
( )
( )
( )
4
4
4
1 1 1
1 1
1
lim lim lim 1 2
1
1
x x x
x x
x
x
x
x
→ → →
− +
−
= = + =
÷
÷
−
−
.
Ví dụ 63:
( )
( )
( )
( )
2
4
2
4
1 1
1 1 1
2 1
lim lim 0.
1
1
x x
x x x
x x
x
x
→ →
− + +
− +
= =
÷
÷
−
−
Ví dụ 64:
3
1
lim
1
x
x x
I
x
→
−
=
÷
÷
−
Cách 1:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
3 3 3
2 2 2
2 2 2
1 1 1
3 3 3 3 3 3
1
1
lim lim lim .
6
1 1 1 1
x x x
x x x x x x
x x
x
I
x x x x x x x x x x x x x x x x
→ → →
− + +
÷
−
= = − = − = −
− + + − + + + + + +
÷ ÷ ÷
Cách nhanh:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3
2 2
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3
1 1
1 1
1 1 1
lim lim lim lim lim lim .
1 1 6
1 1 1
1 1 1
x x x x x x
x x
x x
x x
I
x x
x x x
x x x x x
→ → → → → →
− − −
− −
−
= = = − = − = −
÷
÷
− −
− + +
− + + + +
÷ ÷
Ví dụ 65:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3
2
1 1 1 1 1
3 3
3 6 2 6 2 2
3 2
1 6 1
1 1 1
lim lim lim lim lim .
1 1 1 4 2 4
1 3 2
1 6 2 2 6 2 4
x x x x x
x x x
x
x x
I
x x x
x x
x x x
→ → → → →
+ − + + −
+ −
− −
= = − = − = − = −
− − −
− + +
− + + + +
÷
Ví dụ 66:
( )
( )
( )
3 3
2 2 2
2
0 0 0 0 0
3 3
1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
lim lim lim lim lim .
6 2 3
2 2 1 1
2 2 2
2 1 1 1
x x x x x
x x x x x x
I
x x x
x x x x x x
x x x x
→ → → → →
+ − + + − + −
= = − = − = − + =
÷ ÷
÷
÷
÷ ÷
− + +
+ − −
− + + + +
÷
Ví dụ 67:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
4 4
4
3
2 2
4 4
1 1 1
1
1
lim lim lim .
12
1
1 1 1 1 1 1
x x x
x x x x
x x
x x
I
x
x x x x x x x x x x x x
→ → →
− +
−
−
= = = − = −
÷
÷
−
− + + + + − + + + +
Ví dụ 68:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3 3
4 4
2 2 2
4 2
1 1 1 1 1
3 3
1 1
1 1 1 1 1
lim lim lim lim lim .
8 6 24
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x x
I
x x x
x x x x
x x x x
→ → → → →
− −
− − −
= = − = − − − = − + =
÷ ÷
÷
÷
÷ ÷
− − −
− + + +
− + + +
÷
Ví dụ 69:
5
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3
4 4
4 4 4
1 1 1
2
2 2
4
1 1
2 2
3 3
2
1
2
3 3
7 12 4 7 2 12 4 2
lim lim lim
1 1 1
1 1 12 1 1
lim lim
1 1 12 4 2 12 4 4
1 1 7 2 7 4
1
lim lim
1 7 2 7 4
x x x
x x
x x
x x x x
I
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
→ → →
→ →
→ →
+ − + + − + −
= = − =
÷ ÷
÷
÷
÷ ÷
− − −
− + − +
= − =
− + + + + +
− + + + + +
÷
= −
+ + + + +
÷
( )
( )
( )
2
4
1
12 1 12
.
24 64
1 12 4 2 12 4 4x x x
= −
+ + + + +
Ví dụ 70:
5
4
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
÷
÷
−
Đặt
20
20
t x t x= ⇒ =
Với
1 1x t→ ⇒ ⇒
Khi đó ta có :
( )
( )
( )
( )
3 2
5
20 4
5
4 3 2
4
20
1 1 1
1 1
1 1 4
lim lim lim
5
1
1 1
1
t t t
t t t t
t t
t
t t t t t
t
→ → →
− + + +
− −
÷
= = =
÷
÷
÷
−
− + + + +
−
.
Ví dụ 71:
4
6
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
÷
÷
−
Đặt
12
12
t x t x= ⇒ =
Với
1 1x t
→ ⇒ ⇒
Khi đó ta có :
4
12 3 2
2
6
12
1 1 1
1 1 1 3
lim lim lim .
1 2
1
1
t t t
t t t t
t
t
t
→ → →
− − + +
÷
= = =
÷ ÷
÷ ÷
÷
+
−
−
Ví dụ 72:
6
5
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
÷
÷
−
Đặt
30
t x=
30
x t⇒ =
Với
1 1x t→ ⇒ ⇒
Khi đó ta có:
( )
( )
( )
( )
4 3 2
6
30 5
6
5 4 3 2
5
30
1 1 1
1 1
1 1 5
lim lim lim .
6
1
1 1
1
t t x
t t t t t
t t
t
t t t t t t
t
→ → →
− + + + +
− −
÷
= = =
÷
÷
÷
−
− + + + + +
−
Ví dụ 73:
6
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3
3
2
2
1 1 1 1 1
3 3
2
1 1
3 3
1 2 1
1
2 1 1
1 2
lim lim lim lim lim
1 2 1 2
1 2 1
3 2
1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 1
lim lim .
3 2 6
2 1
2 1 2 1 2 1
x x x x x
x x
x
x
x x
x x
x x x x
x x x
x x
x x x x
x x
x x x
→ → → → →
→ →
− +
−
− −
− +
= + = − + =
÷
÷
− − − −
− − +
− +
− − − − − +
÷
= − + = − =
− +
− − − − +
÷
Ví dụ 74:
8
4
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
Đặt
8
8
t x t x= ⇒ =
Với
1 1x t
→ ⇒ →
Khi đó ta có :
( )
( )
( )
( ) ( )
8
8
2
4
8
1 1 1
1 1
1 1
lim lim lim
1 1 2
1
1
t t t
t t
t
t t
t
t
→ → →
− −
−
= = − = −
− +
−
−
.
Ví dụ 75:
( )
( )
5
4
3
1
lim
x
x x
x x
→
−
−
Đặt
60
60
t x t x= ⇒ =
Với
1 1x t→ ⇒ →
Khi đó ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
5
4
60 60
12 15 12 2
20 30 20 10 8 9 8 7 6 5 4 3 2
3
1 1 1 1
60 60
1
1 1
1
lim lim lim lim .
5
1 1 1
t t t t
t t
t t t t
t t
t t t t t t t t t t t t t t t
t t
→ → → →
−
− −
− +
= − = =
− − − + + + + + + + + +
−
7
Phần 2: Các công thức của giới hạn hàm số
Công thức số (1):
Áp dụng :
Ví dụ 1:
0 0
sin 1 sin 1
lim lim .
2 2 2
x x
x x
x x
→ →
= =
Ví dụ 2:
0 2 0
sin 2 sin 2
lim 2 lim 2.
2
x x
x x
x x
→ →
= =
Ví dụ 3:
0 3 0
sin 3 sin3
lim 3 lim 3.
3
x x
x x
x x
→ →
= =
Ví dụ 4:
1
0
2
sin
sin
1 1
2
2
lim lim .
2 2
2
x
x
x
x
x
x
→
→
÷
= =
Ví dụ 5:
3
0
0
2
3 3
sin sin
3 3
2 2
lim lim .
3
2 2
2
x
x
x x
x
x
→
→
÷ ÷
= =
Ví dụ 6:
8
0
sin
lim 1.
x
x
x
→
=
2 2
0
0 0
3 3
2 2 2
sin sin sin
1 1 1
3 3 3
lim lim lim .
1 2
4 6 6 6
.4
6 3
x x
x
x x x
x
x
x
→
→ →
÷ ÷ ÷
= = =
Ví dụ 7:
0 3 0
0
0 2 0
sin 3 sin 3
sin 3
lim 3 lim
3
3
lim .
sin 2 sin 2 sin 2
2
lim 2 lim
2
x x
x
x x
x x
x
x
x
x x x
x x x
→ →
→
→ →
= = =
Ví dụ 8:
0 4 0
0
0 3 0
sin 4 sin 4
lim 4 lim
sin 4 4
4
lim .
sin 3 sin 3
sin 3 3
lim 3 lim
3
x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x
x x
→ →
→
→ →
= = =
Ví dụ 9:
1
0
2
0
0
1
0
0
3
sin
1
2
sin
lim
2
2
sin
lim
3
2
2
lim .
2
sin sin sin
1
3 3 3
lim lim
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x
→
→
→
→
→
÷
÷
÷
= = =
÷ ÷ ÷
Ví dụ 10:
3
0
2
0
2
0
3
3
sin
3
2
lim
3
3
2
sin
9
2
2
lim .
2 2
4
sin sin
2
3 3
lim
2
3
3
x
x
x
x
x
x
x x
x
→
→
→
÷
÷
= =
÷ ÷
Ví dụ 11:
0 0 0 0 0
sin
tan sin 1 sin
cos
lim lim lim lim . lim 1.
cos cos
x x x x x
x
x x x
x
x x x x x x
→ → → → →
= = = =
÷
Ví dụ 12:
0 0 0 0 2 0
sin 2
tan 2 sin 2 2 sin 2 2
cos2
lim lim lim lim lim .
2
3 3 3 cos 2 3cos 2 3
3 cos2
3cos 2
x x x x x
x
x x x
x
x x x x x
x x
x
→ → → → →
÷
= = = =
÷
÷
÷
÷
Ví dụ 13:
0 4 0
0
0
0
0 3 0
4 sin 4
sin 4
lim lim
lim
tan 4 4
cos 4 4
cos 4
lim .
sin 3
3 sin3
tan 3 3
lim
lim lim
cos3
cos3 3
x x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x
x
x
x
x x
x x
→ →
→
→
→
→ →
÷
= = =
÷
9
Ví dụ 14:
2
2
0 0 0
sin sin sin
lim lim . lim 1.
x x x
x x x
x x
x
→ → →
= =
Ví dụ 15:
2
2
0 0 0 2 0 2 0
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2
lim lim . lim 2 lim .2 lim 4.
2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x
x
→ → → → →
= = =
Ví dụ 16:
2
2
1 1
0 0 0
0 0
2 2
sin sin sin sin sin
1 1 1
2 2 2 2 2
lim lim . lim lim . lim .
1 1
2 2 4
2 2
x x x
x x
x x x x x
x x
x
x x
→ → →
→ →
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
= = =
Ví dụ 17:
2
0 0 3 0 3 0
2
0 0 0
0 0 2 0 2 0
sin 3 sin 3 sin3 sin 3
lim lim 3 lim 3 lim
sin 3 sin 3 sin 3 9
3 3
lim lim . lim . . .
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2
sin 2 sin 2 4
sin 2
lim lim 2 lim 2 lim
2 2
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
x
x x x x
→ → → →
→ → →
→ → → →
= = = =
Ví dụ 18:
2 2
2 2
0 0 2 0 2 0
sin 2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2 4
lim lim 2 lim .2 lim .
3 3 2 2 3
3
x x x x
x x x x
x x
x x
→ → → →
= = =
÷
Ví dụ 19:
( )
2
2 2
0 0
1 cos 2
1 sin
lim lim 1.
2
x x
x
x
x x
→ →
−
= =
Ví dụ 20:
( )
2 2
2 2 2
0 0 0 2 0 2 0
1 cos4
2sin 2 sin 2 sin 2 sin 2
lim lim lim 2 lim .2 lim 4.
2 2
2 2
x x x x x
x
x x x x
x x
x x x
→ → → → →
−
= = = =
Ví dụ 21:
( )
2
2 2
1 1
0 0
0 0
2 2
sin sin
sin
1 cos
1 1 1
2 2
2
lim 2 lim 2 lim . lim .
2 2 2
2 2
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
→ →
→ →
÷ ÷
−
= = =
Ví dụ 22:
2
0 0
0 0
2
1 1
0 0
2 2
sin sin
lim . lim
1 cos 2 2sin
lim lim 4.
1 cos
2sin sin sin
1 1
2 2 2
lim . lim
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
→ →
→ →
→ →
−
= = =
−
÷ ÷ ÷
Ví dụ 23:
3 0
0 0 0
2 0
sin 3
3 lim
cos4 cos 2 2sin3 sin sin 3 3
3
lim lim lim .
sin 2
cos3 cos 2sin 2 sin sin 2 2
2 lim
2
x
x x x
x
x
x x x x x
x
x
x x x x x
x
→
→ → →
→
−
= = = =
−
Ví dụ 24:
2
0
3 0
sin 2
2lim
cos3 cos 2
2
lim .
sin 3
cos4 cos 2 3
3 lim
3
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
→
→
−
= =
−
Ví dụ 25:
2
2 2
0 0
3
2sin
1 cos3 9
2
lim lim .
4
2 2
x x
x
x x
→ →
÷
−
= =
Ví dụ 26:
2
2 2
0 0
5
sin
1 cos5 2 25
2
lim lim .
3 6
3
x x
x
x
x x
→ →
÷
−
= =
10
Ví dụ 27:
2
5 5
0 0
2
2 2
0 0
2
0 0
5 5
sin sin
5 5
2 2
lim . lim
5
5 5
2 2
sin
1 cos5 25 4 5
2
2 2
lim lim .
3 3 3
1 cos3 4 9 3
sin sin sin
3 3
2 2 2
lim . lim
3 3
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x
x x x
x x
→ →
→ →
→ →
÷ ÷
÷
−
= = = =
÷
−
÷ ÷ ÷
.
• Công thức số (2):
• Công thức số (3):
Ví dụ 28:
2
2
2
1 1
lim 1 lim 1 .
x x
x x
e
x x
→∞ →∞
+ = + =
÷ ÷
Ví dụ 29:
2
2
1 1 1
lim 1 lim 1 lim 1
2 2 2
x x x
x x x
e
x x x
→∞ →∞ →∞
+ = + = + =
÷ ÷ ÷
Ví dụ 30:
3
3
3
1 1
lim 1 lim 1 .
3 3
x
x
x x
e
x x
→∞ →∞
÷ ÷
+ = + =
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
Ví dụ 31:
4
4
4
4 1 1
lim 1 lim 1 lim 1 .
4 4
x
x
x
x x x
e
x x
x
→∞ →∞ →∞
÷ ÷
+ = + = + =
÷ ÷
÷
÷ ÷
÷ ÷
Ví dụ 32:
1
1
1 1 1
lim 1 lim 1 lim 1 .
x x x
x x x
e
x x x
−
−
−
→∞ →∞ →∞
− = + = + =
÷ ÷ ÷
− −
11
( )
1
2 , lim 1
x
x
e
x
→+∞
+ =
÷
( )
1
3 , lim 1
x
x
e
x
→−∞
+ =
÷
Ví dụ 33:
2
2
2
2 1 1
lim 1 lim 1 lim 1 .
2 2
x
x
x
x x x
e
x x
x
−
−
−
→∞ →∞ →∞
÷ ÷
− = + = + =
÷ ÷
÷
÷ ÷
− −
÷ ÷
Ví dụ 34:
3
2
2
3
3
2
3
3 1 1 1
lim 1 lim 1 lim 1 .
2 2
2
3 3
x
x
x
x x x
e
x x
x
e
−
−
−
→∞ →∞ →∞
÷ ÷
− = + = + = =
÷ ÷
÷
÷ ÷
− −
÷ ÷
• Ta có
1
lim 1
x
x
e
x
→∞
+ =
÷
Đặt
1
t
x
=
0x t
→ ∞ ⇒ →
Khi đó
( )
1
0
lim 1
t
t
t e
→
+ =
⇒
công thức số (4):
Ví dụ 35:
( )
1
0
lim 1
x
x
x e
→
+ =
Ví dụ 36:
Cách 1:
( ) ( )
1
1
1
0 0
lim 1 lim 1
x
x
x x
x x e
−
−
→ →
− = + − = −
.
Cách 2:
Đặt
1 1
t x
x t
= ⇒ =
với
0x t→ ⇒ → ∞
Khi đó ta có :
1
1
1 1
lim 1 lim 1
t t
t t
e
t t
−
−
−
→∞ →∞
− = + =
÷ ÷
−
Ví dụ 37:
( ) ( )
2
1 1
2
2
0 0
lim 1 2 lim 1 2 .
x x
x x
x x e
→ →
+ = + =
Ví dụ 38:
( ) ( )
2
6
1
2
2
6
3
0 0 0
lim 1 3 lim 1 3 lim 1.
x
x
x
x
x x x
x x e
→ → →
+ = + = =
• Ta có :
( ) ( )
1 1
0 0
lim 1 ln lim 1 ln .
x x
x x
x e x e
→ →
+ = ⇒ + =
12
( )
1
0
lim 1
x
x
x e
→
+ =
Hay công thức số (5):
Đặt
( )
( )
1
ln 1 log 1 1
x
t t
e
t x t e x x e
+
= + ⇔ = ⇒ = + ⇒ = −
Khi
0 0x t
→ ⇒ →
Thay vào
( )
5
ta có :
0 0 0
1 1
lim 1 lim 1 lim 1
1 1
t
t t
t t t
t e
t
e e
t
→ → →
−
= ⇒ = ⇒ =
− −
⇒
công thức số (6):
Ví dụ 1:
( ) ( )
0 3 0
ln 1 3 ln 1 3
lim 3 lim 3.
3
x x
x x
x x
→ →
+ +
= =
Ví dụ 2:
1
0
0
2
ln 1 ln 1
1 1
2 2
lim lim .
2 2
2
x
x
x x
x
x
→
→
+ +
÷ ÷
= =
Ví dụ 3:
( )
( ) ( )
0 0 0
ln 1 ln 1
ln 1
lim lim lim 1.
x x x
x x
x
x x x
→ → − →
+ − + −
−
= = − = −
−
Ví dụ 4:
3 3
0 3 0
1 1
lim 3 lim 3.
3
x x
x x
e e
x x
→ →
− −
= =
Ví dụ 5:
ln 3 ln 3
0 ln 3 0
1 1
lim ln3 lim ln 3.
ln3
x x
x x
e e
x x
→ →
− −
= =
Ví dụ 6:
sin
0
1
lim 1.
sin
x
x
e
x
→
−
=
Ví dụ 7:
( )
0
ln 1 sin
lim 1.
sin
x
x
x
→
+
=
Ví dụ 8:
sin 2
sin 2
0
0 2 0
0 0
1
lim
1 1 sin 2
sin 2
lim 2 lim 2.
2
lim lim
sin 2 sin 2
x
x
x
x x
x x
e
e x
x
x x
x x
x x
→
→ →
→ →
−
−
= = = =
Ví dụ 9:
( )
( )
0 0 0
ln 1 sin 3
ln 1 sin 3
sin 3
sin 3
lim lim lim 3.
sin 3
x x x
x
x
x
x
x
x x
x
→ → →
+
+
= = =
Ví dụ 10:
ln 2 ln 2
0 0 ln 2 0
2 1 1 1
lim lim ln 2 lim ln 2.
ln 2
x x x
x x x
e e
x x x
→ → →
− − −
= = =
13
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
Ví dụ 11:
ln 4 ln 4
0 0 ln 4 0
4 1 1 1
lim lim ln 4 lim ln 4.
ln 4
x x x
x x x
e e
x x x
→ → →
− − −
= = =
Ví dụ 12:
ln ln
0 0 ln 0
1 1 1 1
lim lim ln lim ln lim ln .
ln
x x a x a x
x x x a x
a e e a
a a a
x x x a x
→ → →
− − − −
= = = = =
.
Đề số 6
Câu IV.1: Tìm giới hạn
Giải
L
3
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ + −
= =
( ) ( )
( )
( )
2
3 3 3
3
2
0 0 0 0
3 3
2
0 0
3 3
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim lim
1 1
1 1 1
1 1 5
lim lim .
6
1 1
1 1 1
x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
→ → → →
→ →
− + − − − +
÷
+ − + +
+ − − +
= + = + =
+ +
− − − +
÷
= + =
+ +
− − − +
Đề số 8
Câu IV.2: Tìm giới hạn
Giải
( ) ( ) ( )
( )
3
2 2
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
0 0 0 0
2
3
2 2 2 2
2
2
0 0 0
2
3 3
2 2 2
3 1 2 1
3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1
lim lim cos 1 lim cos 1 lim cos 1
1 cos
1 cos sin sin
3 1 1 2 1 1 3 2
lim lim cos 1 lim
3 1 3 1 1
x x x x
x x x
x x
x x x x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x x
x
x
x
x x x
→ → → →
→ → →
− + −
− + + − + + − + +
= + = + = + =
−
−
− + + + −
= + = +
− − − +
÷
÷
( )
0
2
lim cos 1 2.2 4
2 1 1
x
x
x
→
+ = =
+ +
÷
14
1. Khái niệm về số gia đối số và số gia hàm số.
Cho hàm số
( )
y f x=
có tập xác định là D với
o
x
thuộc D
Cho
o
x
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
Ví dụ 1: Xác đinh số gia hàm số tại
1
o
x =
cùng hàm số :
( )
2
y f x x= =
Cho
o
x
một số gia đối số
x∆
Khi đó ta có số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 2 .
o o
y f x x f x f x f x x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − = ∆ ∆ +
Ví dụ 2: cho
( )
2 3y f x x= = +
Tính
y∆
tại
2
o
x =
Giải
Cho
2
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 3 2.2 3 2 .
o o o
y f x x f x f x f x x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ + − + = ∆
Ví dụ 3: Cho
( )
2
2y f x x= = −
Tính số gia hàm số
y∆
tại
o
x
=-1
Giải
Cho
o
x
=-1 một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 2 1 2 2 2 .
o o
y f x x f x f x f x x x∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − ∆ − + = − ∆ ∆ −
Ví dụ 4: Cho
( )
3 3y f x x= = − +
15
( ) ( )
.
o o
y f x x f x
∆ = + ∆ −
CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM
Tính số gia hàm số
y∆
tại
o
x
=2
Giải
Cho
2
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 2 3 3.2 3 3 .
o o
y f x x f x f x f x x∆ = + ∆ − = ∆ + − = − ∆ + + − − + = − ∆
Ví dụ 5: Cho
( )
3
y f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
2
o
x =
Giải
Cho
2
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
3 2
2 2 2 2 12 6 .
o o
y f x x f x f x f x x x x∆ = + ∆ − == ∆ + − = ∆ + − = ∆ + ∆ + ∆
Ví dụ 6: Cho
( )
3
y f x x= = −
Tính số gia hàm số
y∆
tại
2
o
x = −
Giải
Cho
2
o
x = −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 2 2
2 2 2 2 6 12 8 8 6 12 .
o o
y f x x f x f x f x x x x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − ∆ − − − − = − ∆ − ∆ + ∆ − − = −∆ ∆ − ∆ +
Ví dụ 7: Cho
( )
4
y f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x =
Giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 .
o o
y f x x f x f x f x x x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆ + − = ∆ + − ∆ + + = ∆ ∆ + ∆ + +
Ví dụ 8: Cho
( )
4
y f x x= = −
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x =
Giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
4
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 .
o o
y f x x f x f x f x x x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ + − = − ∆ + − − = − ∆ + + ∆ + = −∆ ∆ + + ∆ +
Ví dụ 9: Cho
( )
1
y f x
x
= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
2
o
x =
Giải
Cho
2
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
2 2 .
2 2 2 2 2 2
o o
x x
y f x x f x f x f
x x x
− − ∆ −∆
∆ = + ∆ − = + ∆ − = − = =
+ ∆ + ∆ + ∆
Ví dụ 10: Cho
( )
2
y f x
x
= = −
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x = −
Giải
16
Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 1
2 2 2 2
1 1 2 .
1 1 1 1 1
o o
x
x
y f x x f x f x f
x x x x
+ ∆ −
∆
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − − − = − − = − = −
÷
∆ − − ∆ − ∆ − ∆ −
Ví dụ 11: Cho
( )
2
1
y f x
x
= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x =
Giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
1 1 2
1 1
1 1 .
1
1 1 1
o o
x x x
y f x x f x f x f
x x x
− + ∆ −∆ + ∆
∆ = + ∆ − = + ∆ − = − = =
+ ∆ + ∆ + ∆
Ví dụ 12: Cho
( )
y f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
4
o
x =
Giải
Cho
4
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4 4 2.
o o
y f x x f x f x f x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ −
Ví dụ 13: Cho
( )
3
y f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x =
Giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
3
1 1 1 1.
o o
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + −
Ví dụ 14: Cho
( )
4
y f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x =
Giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
4
1 1 1 1.
o o
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = + ∆ − = + ∆ −
Ví dụ 15: Cho
( )
2y f x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x = −
Giải
Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 0.
o o
y f x x f x f x f∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − =
Ví dụ 16: Cho
( )
10y f x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
2
o
x = −
Giải
Cho
2
o
x = −
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
2 2 10 10 0.
o o
y f x x f x f x f∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − =
Ví dụ 17: Cho
( )
siny f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
3
o
x
π
=
17
Giải
Cho
3
o
x
π
=
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
sin sin 2cos sin .
3 3 3 3 2 3 2
o o
x x
y f x x f x f x f x
π π π π π
∆ ∆
∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆ + − = +
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
Ví dụ 18: Cho
( )
sin 2y f x x= = −
Tính số gia hàm số
y∆
tại
6
o
x
π
= −
Giải
Cho
6
o
x
π
= −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
sin 2 sin sin sin 2 2cos sin .
6 6 6 3 3 6 2 4 2 12
o o
x x
y f x x f x f x f x x
π π π π π π π π
∆ ∆
∆ = + ∆ − = ∆ − − = − ∆ − − − − = − − ∆ − = − − −
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
Ví dụ 19: Cho
( )
cosy f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
3
o
x
π
= −
Giải
Cho
3
o
x
π
= −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
cos cos 2sin sin .
3 3 3 3 2 3 2
o o
x x
y f x x f x f x f x
π π π π π
∆ ∆
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = ∆ − − − = −
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
Ví dụ 20: Cho
( )
2cos 2y f x x= = −
Tính số gia hàm số
y∆
tại
3
o
x
π
= −
Giải
Cho
3
o
x
π
= −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
2cos 2 2cos 2cos 2cos 2 2sin sin .
3 3 3 3 3 3 3
o o
y f x x f x f x f x x x x
π π π π π π π
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − ∆ − + − = − − ∆ − = ∆ − ∆
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
Ví dụ 21: Cho
( )
y f x c= =
với c là hằng số
Tính số gia hàm số
y∆
tại
5
o
x = −
Giải
Cho
5
o
x = −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
5 5 0
o o
y f x x f x f x f c c∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − =
Ví dụ 22: Cho
( )
tany f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
4
o
x
π
=
Giải
Cho
4
o
x
π
=
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
18
( ) ( )
sin sin
sin
4 4
tan tan
4 4 4 4
cos cos cos cos
4 4 4 4
.
o o
x
x
y f x x f x f x f x
x x
π π
π π π π
π π π π
∆ +
÷ ÷
∆
∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆ + − = − =
÷ ÷ ÷ ÷
∆ + ∆ +
÷ ÷ ÷ ÷
Ví dụ 23: Cho
( )
coty f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
4
o
x
π
= −
Giải
Cho
4
o
x
π
= −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( )
cos cos
sin
4 4
cot cot .
4 4 4 4
sin sin sin sin
4 4 4 4
o o
x
x
y f x x f x f x f x
x x
π π
π π π π
π π π π
∆ − −
÷ ÷
−∆
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = ∆ − − − = − =
÷ ÷ ÷ ÷
∆ − − ∆ − −
÷ ÷ ÷ ÷
Ví dụ 24: Cho
( )
x
y f x e= =
Tính số gia hàm số
y
∆
tại
1
o
x =
Giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia đối số
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 1 .
x x
o o
y f x x f x f x f e e e e e
∆ + ∆
∆ = + ∆ − = ∆ + − = − = +
Ví dụ 25: Cho
( )
x
y f x e
−
= = −
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x = −
Giải
Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1
1
1 1 1 .
x x
o o
y f x x f x f x f e e e
e
−∆ − −∆
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − + = − −
Ví dụ 26: Cho
( ) ( )
ln 1y f x x= = +
Tính số gia hàm số
y∆
tại
1
o
x =
Giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1 1 ln 2 ln 2 ln
2
o o
x
y f x x f x f x f x
∆ +
∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆ + − =
÷
Ví dụ 27: Cho
( ) ( )
ln 2y f x x= = − +
Tính số gia hàm số
y∆
tại
2
o
x =
Giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4
2 2 ln 4 ln 4 ln .
4
o o
y f x x f x f x f x
x
∆ = + ∆ − = ∆ + − = − ∆ + + =
÷
∆ +
Ví dụ 28: Cho
( )
lny f x x= =
Tính số gia hàm số
y∆
tại
o
x e=
19
Giải
Cho
o
x e=
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( )
ln ln ln .
o o
x e
y f x x f x f x e f e x e e
e
∆ +
∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆ + − =
÷
Ví dụ 29: Cho
( )
2
log
x
y f x= = −
Tính số gia hàm số
y∆
tại
8
o
x =
Giải
Cho
8
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( )
8
2 2 2
8
8 8 log 8 log log .
8
o o
y f x x f x f x f x
x
∆ = + ∆ − = ∆ + − = − ∆ + + =
÷
∆ +
2. Định nghĩa đạo hàm
cho hàm số
( )
y f x=
có tập xác định là D với
o
x ∈
D
giới hạn
lim
y
x
∆
∆
nếu tồn tại và duy nhất thì được gọi là
đạo hàm của hàm số
( )
y f x=
tại điểm
( )
'
o
f x
hoặc
( )
'
o
y x
.
Bài tập 1: Cho hàm số
( )
2
y f x x= =
tính đạo hàm của hàm số tại
o
x
trong các trường hợp sau :
, 1; , 0; , 1
o o o
a x b x c x= = = −
Bài giải
a, Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 2
o o
y f x x f x f x f x x x∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆ + − = ∆ ∆ +
Ta có:
( )
( )
0 0 0
2
lim lim lim 2 2
x x x
x x
y
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ +
∆
= = ∆ + =
∆ ∆
Vậy
( )
' 1 2.f =
b, Cho
0
o
x =
một số gia đối số
x
∆
khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
2
0
o o
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = ∆ − = ∆
Ta có
2
0 0 0
lim lim lim 0
x x x
y x
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
= = ∆ =
∆ ∆
Vậy
( )
' 0 0f =
.
c, Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x
∆
khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 2
o o
y f x x f x f x f x x x∆ = + ∆ − = ∆ − − − = ∆ − − = ∆ ∆ −
Ta có :
( )
( )
0 0 0
2
lim lim lim 2 2
x x x
x x
y
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ −
∆
= = ∆ − = −
∆ ∆
20
Vậy
( )
' 1 2f − = −
.
Tổng quát:
Cho x một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2y f x x f x x x x x x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ ∆ +
Ta có :
( )
( )
0 0 0
2
lim lim lim 2 2
x x x
x x x
y
x x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ +
∆
= = ∆ + =
∆ ∆
Vậy
( )
' 2y x x=
Bài tập 2: Cho hàm số
( )
2
y f x x= = −
.
Tính đạo hàm của hàm số tại
o
x
trong các trường hợp sau :
, 2; , 0; , 2
o o o
a x b x c x= = = −
Bài giải
a, Cho
2
o
x =
một số gia đối số
x
∆
khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 4
o o
y f x x f x f x f x x x x x∆ = + ∆ − = ∆ + − = − ∆ + − − = − ∆ − + ∆ + = −∆ ∆ +
Ta có :
( )
( )
0 0 0
4
lim lim lim 4 4
x x x
x x
y
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
−∆ ∆ +
∆
= = − ∆ + = −
∆ ∆
Vậy
( )
' 2 4f = −
b, Cho
0
o
x =
một số gia đối số
x∆
khi đó số gia hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
o o
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = ∆ + − = −∆
Ta có :
2
0 0 0
lim lim lim 0
x x x
y x
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ −∆
= = − ∆ =
∆ ∆
Vậy
( )
' 0 0f =
.
c, Cho
2
o
x = −
một số gia đối số
x
∆
khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 4
o o
y f x x f x f x f x x x
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − ∆ − − − − = ∆ − ∆
Ta có :
Vậy
( )
' 2 4f − =
.
Tổng quát:
Cho x một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2y f x x f x x x x x x x∆ = + ∆ − = − + ∆ = −∆ ∆ +
Ta có:
( )
( )
0 0 0
2
lim lim lim 2 2
x x x
x x x
y
x x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ +
∆
= − = − ∆ + = −
∆ ∆
Vậy
( ) ( )
' ' 2f x y x x= = −
Bài tập 3: Cho
( )
3
y f x x= =
Tính
( ) ( ) ( )
, ' 1 ; , ' 1 ; , ' 0a f b f c f−
21
Bài giải
a, cho
1
o
x =
một số gia đối số
x
∆
khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
1 1 1 1 1 1 1
o o
y f x x f x f x f x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆ + − = ∆ ∆ + + ∆ + +
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0 0 0
1 1 1
lim lim lim 1 1 1 3
x x x
x x x
y
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ + + ∆ + +
∆
= = ∆ + + ∆ + + =
∆ ∆
Vậy
( )
' 1 3.f =
,b
Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
1 1 1 1 1 1 1
o o
y f x x f x f x f x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = ∆ − + = ∆ ∆ − − ∆ − +
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0 0 0
1 1 1
lim lim lim 1 1 1 3
x x x
x x x
y
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ − − ∆ − +
∆
= = ∆ − − ∆ − + =
∆ ∆
Vậy
( )
' 1 3.f − =
,c
Cho
0
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
3
0 0
o o
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆
Ta có :
3
0 0
lim lim 0
x x
y x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆
Vậy
'0 0f =
.
Tổng quát:
Cho x một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
y f x x f x x x x x x x x x x x
∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ + ∆ − ∆ + +
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
0 0 0
lim lim lim 3
x x x
x x x x x x x
y
x x x x x x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ + + ∆ + +
∆
= = ∆ + + ∆ + + =
∆ ∆
Vậy
( ) ( )
2
' ' 3f x y x x= =
Bài tập 4: cho
( )
3
y f x x= = −
Tính
( ) ( ) ( )
' 1 ; ' 1 ; ' 0f f f−
Bài giải
,a
Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2
1 1 1 1 1 1 1
o o
y f x x f x f x f x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − ∆ − − − − = −∆ ∆ − − ∆ − +
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0 0 0
1 1 1
lim lim lim 1 1 1 3
x x x
x x x
y
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
−∆ ∆ − − ∆ − +
∆
= = − ∆ − − ∆ − + = −
∆ ∆
Vậy
( )
' 1 3f − = −
.
,b
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
22
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2
1 1 1 1 1 1 1
o o
y f x x f x f x f x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ + − = − ∆ + − − = −∆ + ∆ + + ∆ +
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0 0 0
1 1 1
lim lim lim 1 1 1 3.
x x x
x x x
y
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
−∆ + ∆ + + ∆ +
∆
= = − + ∆ + + ∆ + = −
∆ ∆
Vậy
( )
' 1 3f = −
,c
Cho
0
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
3
0
o o
y f x x f x f x o f x∆ = + ∆ − = ∆ + − = −∆
Ta có :
3
0 0
lim lim 0
x x
y x
x x
∆ → ∆ →
∆ −∆
= =
∆ ∆
Vậy
( )
' 0 0f =
.
Tổng quát:
Cho x một số gia đối số
Khi đó số gia hàm số
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2
y f x x f x x x x x x x x x x x
∆ = + ∆ − = − + ∆ = −∆ + ∆ + + ∆ +
Ta có:
( ) ( )
2
2
2
0 0
lim lim 3
x x
x x x x x x x
y
x
x x
∆ → ∆ →
∆ + + ∆ + ∆ +
∆
= − = −
∆ ∆
Vậy
( )
2
' 3y x x= −
Bài tập 5: Cho
( )
4
y f x x= =
Tính
( ) ( ) ( )
' 1 ; ' 0 ; ' 1f f f −
Bài giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
o o
y f x x f x f x f x x x x x x
∆ = + ∆ − ∆ + − = ∆ + − = ∆ + − ∆ + + = ∆ ∆ + ∆ + +
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0 0 0
2 1 1
lim lim lim 2 1 1 4
x x x
x x x
y
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆ + +
∆
= = ∆ + ∆ + + =
∆ ∆
Vậy
( )
' 1f
=4.
Cho
0
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
4
0
o o
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = ∆ − = ∆
Ta có :
4
3
0 0 0
lim lim lim 0
x x x
y x
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
= = ∆ =
∆ ∆
Vậy
( )
' 0 0f =
.
Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
so
23
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
o o
y f x x f x f x f x x x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = ∆ − − = ∆ − − ∆ − + = ∆ ∆ − ∆ − +
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0 1 0
2 1 1
lim lim lim 2 1 1 4
x x x
x x x
y
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ − ∆ − +
∆
= = ∆ − ∆ − + = −
∆ ∆
Vậy
( )
' 1 4f − = −
.
Tổng quát:
Cho x một số gia đối sô
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2
4 2
2y f x x f x x x x x x x x x x
∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆ ∆ + ∆ + +
Ta có:
( ) ( )
2
2
3
0 0
2
lim lim 4
x x
x x x x x x
y
x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆ + +
∆
= =
∆ ∆
Vậy
( )
3
' 4y x x
=
Bài tập 6: Cho
( )
4
y f x x= = −
Tính
( ) ( ) ( )
1 ; 0 ; 1f f f −
Bài giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
o o
y f x x f x f x f x x x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ + − = − ∆ + = − ∆ + ∆ + + = −∆ ∆ + ∆ + +
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 0 0
2 1 1
lim lim lim 2 1 1 4
x x x
x x x
y
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆ + +
∆
= − = − ∆ + ∆ + + = −
∆ ∆
Vậy
( )
' 4f x = −
.
Cho
0
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
4
o o
y f x x f x f x f o x∆ = + ∆ − = ∆ − = −∆
Ta có :
4
3
0 0 0
lim lim lim 0
x x x
y x
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
= − = − ∆ =
∆ ∆
Vậy
( )
' 0f x =
.
Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2
1 1 1 1 2 1 1
o o
y f x x f x f x f x x x x
∆ = + ∆ − = ∆ − − − = − ∆ − = ∆ − ∆ ∆ − +
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0 0 0
2 1 1
lim lim lim 2 1 1 4
x x x
x x x
y
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ − ∆ ∆ − +
∆
= = − ∆ ∆ − + =
∆ ∆
Vậy
( )
' 4f x =
.
Tổng quát:
Cho x một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2
4 2
2y f x x f x x x x x x x x x x
∆ = + ∆ − = − + ∆ = −∆ ∆ + ∆ + +
Ta có:
( ) ( )
2
2
3
0 0
2
lim lim 4
x x
x x x x x x
y
x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆ + +
∆
= − = −
∆ ∆
24
Vậy
( )
3
' 4y x x
= −
Bài tập 7: Cho
( )
y f x x= =
Tính
( ) ( ) ( )
' 1 ; ' 0 ; 1f f f −
Bài giải
Cho
1
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
o o
y f x x f x f x f x x∆ = + ∆ − = ∆ + − = ∆ + − = ∆
Ta có :
0 0
lim lim 1
x x
y x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆
Vậy
( )
' 1f x =
.
Cho
0
o
x =
một số giá đối sô
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
0
o o
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = ∆ − = ∆
Ta có :
0 0
lim lim 1
x x
y x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆
Vậy
( )
' 1f x =
.
Cho
1
o
x = −
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
1 1
o o
f x x f x f x f x+ ∆ − = ∆ − − − = ∆
Ta có :
0 0
lim lim 1
x x
y x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆
Vậy
( )
' 1f x =
.
Tổng quát:
Cho x một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
y f x x f x x x x x∆ = + ∆ − = + ∆ − = ∆
Ta có:
0 0
lim lim 1
x x
y x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆
Vậy
( )
' 1y x
=
Bài số 8 : Cho
( )
2y f x x= = −
Tính
( ) ( ) ( )
' 2 ; ' 0 ; ' 2f f f −
Bài giải
Cho
2
o
x =
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
2 2 4 2 4 2
o o
y f x x f x f x f x x∆ = + ∆ − = ∆ + − = − ∆ − = − ∆
Ta có :
0 0
2
lim lim 2
x x
y x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
= − = −
∆ ∆
Vậy
( )
' 2 2f = −
.
Cho
0
o
x =
một số gia đối số
x
∆
Khi đó số gia hàm số
( ) ( )
( ) ( )
0 2
o o
y f x x f x f x f x∆ = + ∆ − = ∆ − = − ∆
Ta có :
0 0
2
lim lim 2
x x
y x
x x
∆ → ∆ →
∆ ∆
= − = −
∆ ∆
Vậy
( )
' 0 2f = −
.
Cho
2
o
x = −
một số gia đối số
x∆
Khi đó số gia hàm số
25
