Chyên đề một số dạng căn bản trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 1




HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC
52 DẠNG
THƯỜNG GẶP
LIÊN QUAN KSHS




 Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số bậc 3:


=



+



+

+

.

 Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số trùng phương:
= 

+

+ .
 Các dạng “ chỉ có” đối với hàm số nhất biến:
=


.
 Dạng bài toán: “viết phương trình tiếp tuyến” của đồ thị hàm số
 Dạng bài toán: Biện luận phương trình bằng đồ thị
 Dạng bài toán: Tìm GTLN – GTNN của hàm số
 Dạng bài toán: Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng, trục
đối xứng
 Dạng bài toán: Điểm thuộc đồ thị, điểm cố định của một họ đồ thị.




Biên so
ạ
n: Đ
ỗ

T
ấ
n L
ộ

c
–

THPT Chu Văn An

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 2

HƯỚNG DẪN TỪNG BƯỚC - 52 DẠNG TOÁN
Trong các bài toán khảo sát hàm số
( Dành cho học sinh)
Lời mở đầu: các em thân mến. Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất “đa dạng” rất “phong
phú” rất rất (

he he ) Nhưng ở một mức độ khó nhất định bao gồm một số dạng được “ tạm”
chia ra như sau:
Các em hãy lưu ý rằng: Đây không phải là tất cả các dạng toán mà chỉ là các dạng toán thông dụng
xuất hiện thường xuyên trong các kỳ kiểm tra, thi HK, thi TNPT & thi ĐH-CĐ

Các dạng đặc trưng riêng cho từng loại hàm số

 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BẬC 3:

=

(

)
=




+



+

+


(trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C,D )

Dạng 1: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số đồng biến trên
ℝ
?
Dạng 2: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số nghịch biến trên
ℝ
?
Phương pháp:

Tìm TXĐ
Xét trường hợp riêng A = 0 ( nếu A có chứa tham
số m): Hàm số trở thành
y = Cx + D ( C > 0) (thỏa đề)
 Trường hợp A  0:
Ta có: y’ = ax

2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0
Hàm số đồng biến trên 
ℝ

⇔



>
0
Δ
≤
0


Phương pháp:

Tìm TXĐ
Xét trường hợp riêng A = 0 ( nếu A có chứa tham
số m): Hàm số trở thành
y = Cx + D ( C < 0) (thỏa đề)
 Trường hợp A  0:
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax

2
+ bx + c = 0
Hàm số nghịch biến trên
ℝ

⇔



<
0
Δ
≤
0


Dạng 3*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Định m để hàm số đồng biến trên miền K
(Thường miền K là (a;b) )
Dạng 4*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Định m để hàm số nghịch biến trên miền K
(Thường miền K là (a;b) )
Phương pháp: (Vận dụng GTLN – GTNN của hàm số)

Tìm TXĐ
 Tìm y’
 Hàm số đồng biến trên K = (a;b)
 y’ ≥0,∀∈



≤

(

)
,
∀

∈


(
ℎ



≥

(

)
,
∀

∈

)




min ( ) ( max ( ) )
x K x K
m g x hay m g x
 
 

Phương pháp: (Vận dụng GTLN – GTNN của hàm số)

Tìm TXĐ
 Tìm y’
 Hàm số nghịch biến trên K = (a;b)
 y’ ≤0,∀∈


≥

(

)
,
∀

∈


ℎ



≤


(

)
,
∀

∈




max ( ) ( min ( ) )
x K x K
m g x hay m g x
 
 

Dạng 5: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Đ
ị
nh m đ
ể

hàm s
ố

có c
ự
c tr

ị

?

Dạng 6: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Đ
ị
nh m đ
ể

hàm s
ố

không

có c
ự
c tr
ị

?

Phương pháp:
Tìm TXĐ
Xét trường hợp riêng A = 0 ( suy ra m): nếu hàm
số trở thành
y = Bx
2
+ Cx + D (B0) (thỏa đề - vì hàm số bậc 2
luôn có 1 cực trị)



Trư
ờ
ng h
ợ
p A


0:

Phương pháp:
Tìm TXĐ
Xét trường hợp riêng A = 0 ( suy ra m):
Nếu hàm số trở thành
y = Bx
2
+ Cx + D (B0) (không thỏa đề - vì hàm
số bậc 2 luôn chỉ có 1 cực trị)
Nếu hàm số trở thành
CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 3

Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)

Hàm số có cực trị  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
và y’ đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm ấy⇔

≠0
Δ> 0

y = CX + D ( thỏa đề - vì không có cực trị)
 Trường hợp A  0:
Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
Hàm số không có cực trị  pt (1) vô nghiệm hoặc
có 1 nghiệm kép
⇔



≠
0
Δ
≤
0


Dạng 7: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu?
Dạng 8: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.

Định m để hàm số không có cực đại và cực tiểu?
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu  pt (1) có 2 ng
phân biệt và y’ đổi dấu khi đi qua 2 nghiệm ấy
⇔

≠0
Δ> 0

Lưu ý:Không xét trường hợp riêng A = 0 vì hàm số
nếu có cực trị thì nhiều nhất là 1 cực trị

không
thể vừa có cực đại vừa có cực tiểu
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
Hàm số không có cực đại và cực tiểu  pt (1) vô

nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép
⇔

≠0
Δ≤0

Lưu ý:Không xét trường hợp riêng A = 0 vì hàm số
nếu có cực trị thì nhiều nhất là 1 cực trị

không
thể vừa không có cực đại vừa không có cực tiểu
Dạng 9: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm 2
phía so với trục Oy
Dạng 10: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm 2
phía so với đường thẳng x = x
0
.
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x

2
và
x
1
< 0 < x
2
 a.c < 0
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
và
x
1
< x
0
< x
2


(





+



+

)
<
0
.

Dạng 11: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có
hoành độ âm. (Hoành độ nằm bên trái gốc O)
Dạng 12: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có
hoành độ dương. (Hoành độ nằm bên phải gốc O)
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1

và x
2
và
x
1
< x
2
< 0
⇔

≠0
Δ> 0

<
0

>
0


Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c
y’ = 0  ax
2
+ bx + c = 0 (1)
YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1

và x
2
và
0 < x
1
< x
2

⇔

≠0
Δ> 0

>
0

>
0


Dạng 13*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có
hoành độ nhỏ hơn .
Dạng 14*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu có
hoành độ lớn hơn .
Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2

+ bx + c


y’ = 0


ax
2

+ bx + c = 0 (1)

Phương pháp:
Tìm TXĐ
 Ta có: y’ = ax
2
+ bx + c


y’ = 0


ax
2

+ bx + c = 0 (1)

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 4

YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
và
x
1
< x
2
< 
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
≠0
Δ> 0

2
−< 0

(

)
>
0
(với g
(
x

)
= ax

+ bx + c)
YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
và
 < x
1
< x
2

⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
≠0
Δ> 0

2
−> 0

(

)
>

0
(với g
(
x
)
= ax

+ bx + c)

Dạng 15: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số đạt cực đại tại x = x
0
?

Dạng 16: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
?
Phương pháp:

 Tìm TXĐ
 Hàm số đạt cực đại tại x = x
0
 y’(x
0
) = 0  giá
trị của tham số m.
Thử lại: ( có 2 cách )
Dùng dấu hiệu 1: thay giá trị m vào y’ và xét dấu
y’ và xem hàm số có đạt cực đại tại x = x

0
không
(nếu có thì giá trị m nhận được vì thỏa đề bài)
Dùng dấu hiệu 2:
 Tính y’’
 Thay giá trị m vừa tìm được và x = x
0
vào y’’ ta
được y’’(x
0
)
(Nếu y’’(x
0
) < 0 thì giá trị m thỏa đề bài)





Phương pháp:

 Tìm TXĐ
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0
 y’(x
0
) = 0 
giá trị của tham số m.
Thử lại: ( có 2 cách )
Dùng dấu hiệu 1: thay giá trị m vào y’ và xét dấu

y’ và xem hàm số có đạt cực tiểu tại x = x
0
không
(nếu có thì giá trị m nhận được vì thỏa đề bài)
Dùng dấu hiệu 2:
 Tính y’’
 Thay x = x
0
và giá trị m vào y’’ ta được y’’(x
0
)

(Nếu y’’(x
0
) > 0 thì giá trị m thỏa đề bài)
Dạng 17: Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x,m) và 1
đường thẳng (d): y = g(x,m) . Tìm tham số m sao
cho (C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
Dạng 18: Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x,m) và 1
đường thẳng (d): y = g(x,m) . Tìm tham số m sao
cho (C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm A,B,C sao cho
AB = BC ( hay 3 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp
số cộng).
Phương pháp: (cách này áp dụng khi nhẩm được 1
nghiệm của PTHĐGĐ)
 Lập PTHĐGĐ của (C) và (d):
f(x,m) = g(x,m)

2
0

( )(ax ) 0
x x bx c
    


0
2
0
ax 0 (1)
x x
bx c
 



  


(C) (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
 pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác x
0
.

2
0 0
0
0
ax 0
a
bx c




  


  

(giải tìm tham số m)
Phương pháp:

 Lập PTHĐGĐ của (C) và (d):
f(x,m) = g(x,m)

3 2
x 0
a bx cx d
    
(*)
 Giả sử (*) có 3 nghiệm phân biệt 

;

;

có
hoành độ lập thành 1 cấp số cộng
 Ta có: 

−


= 

−


⇒2

= 

+ 

(1)
Mặt khác: 

+ 

+ 

= −


(2)
Từ (1) và (2)  x
2
= thay vào (*) tìm được tham
số m
 thay tham số m giải phương trình nếu tìm được 3
nghiệm lập thành 1 CSC thì giá trị m thỏa đề bài.
( Have fun


)

Dạng này được áp dụng hoàn toàn tương tự
cho hàm số trùng phương y = Ax
4
+ Bx
2
+ C
hay các dạng hàm số khác
Dạng này được áp dụng hoàn toàn tương tự
cho hàm số trùng phương y = Ax
4
+ Bx
2
+ C
hay các dạng hàm số khác
CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 5


 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG:


=

(

)

=



+



+


(trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C )
Dạng 19: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Tìm m sao cho hàm số có 3 cực trị.
Dạng 20: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Tìm m sao cho hàm số có 1 cực trị.
Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 y’ = 4Ax
3
+ 2Bx
y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)
2
x
B

x
A




 


 Hàm số có 3 cực trị 
0
2
B
A
 


( gi
ả
i tìm m và k
ế
t lu
ậ
n)

Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 y’ = 4Ax
3
+ 2Bx

y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)
2
x
B
x
A




 


 Hàm số có 1 cực trị 
0
2
B
A
 


( gi
ả
i tìm m và k
ế

t lu
ậ
n)

Dạng 21: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Tìm m sao cho hàm số có cực đại và không có
cực tiểu.
Dạng 22: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Tìm m sao cho hàm số có cực tiểu và không có
cực đại.
Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 y’ = 4Ax
3
+ 2Bx
y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)
2
x
B
x
A





 


 Hàm số có cực đại và không có cực tiểu

0
0
0
0
2
A
A
B
B
A






 

 




( giải tìm m và kết luận)
Phương pháp:

 Tìm TXĐ
 y’ = 4Ax
3
+ 2Bx
y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)
2
x
B
x
A




 


 Hàm số có cực tiểu và không có cực đại

0
0
0
0
2
A

A
B
B
A






 

 




( giải tìm m và kết luận)

Dạng 23*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo
thành tam giác vuông cân

Dạng 24*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số có 3 cực trị tạo
thành tam giác đ
ề
u

Phương pháp:

 Tìm TXĐ
 y’ = 4Ax
3
+ 2Bx
y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)
2
x
B
x
A




 


 Hàm số có 3 cực trị 
0
2
B
A
 

 Tìm tọa độ 3 điểm cực trị:

M(x
M
;y
M
), N(0;C) và P(x
P
;y
P
)
 MNP vuông cân (tại N) 
. 0
NM NP

 

 tìm được tham số m



Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 y’ = 4Ax
3
+ 2Bx
y' = 0  4Ax
3
+ 2Bx = 0 
2
0
(*)

2
x
B
x
A




 


 Hàm số có 3 cực trị 
0
2
B
A
 

 Tìm tọa độ 3 điểm cực trị:
M(x
M
;y
M
), N(0;C) và P(x
P
;y
P
)
 MNP đều 


0
60
MNP 


1
os
2
c MNP

. 1
2
.
NM NP
NM NP

 
 
 tìm được tham số m
CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 6




Cách khác:

MNP đều


NM = MP





Dạng 25*: Cho hàm số y = f(x,m) (C) chứa
tham số m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt.
Dạng 26*: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số
m. Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt Ox tại 4
điểm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
, x
4
tạo thành 1 cấp Số
c
ộ
ng
.

Phương pháp:
 Lập PTHĐGD của (C) và Ox:



+

+ =  (1)
 đặt t = x
2
( t  0), pt trở thành:
At
2
+ Bt + C = 0 (2)
 YCBT  pt (1) có 4 nghiệm phân biệt
 pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

0
0
0
0
A
S
P



 















Phương pháp:
 Lập PTHĐGD của (C) và Ox:


+ 

+ =  (1)
 đặt t = x
2
( t  0), pt trở thành:
At
2
+ Bt + C = 0 (2)
 YCBT  pt (1) có 4 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
,
x
4
tạo thành 1 cấp số cộng

 pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
0 < t
1
< t
2
và t
2
= 9t
1

 Sử dụng:
t
2
= 9t
1
và Viet: t
1
+ t
2
= -B/A, t
1
t
2
= C/A
(ta suy ra giá trị tham số m)
 Thử lại: thay vào (1) để giải tìm x (nếu có 4
nghiệm phân biệt tạo thành 1 CSC thì giá trị m vừa
tìm thỏa đề.

 CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ NHẤT BIẾN:
Ax
B
y
Cx D



có đạo hàm
2
'
( )
AD BC
y
Cx D




(trong đó tham số (thường là m )có mặt trong các hệ số A,B,C,D )

Dạng 27: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
thuộc tập xác định?

Dạng 28: Cho hàm số y = f(x,m) chứa tham số m.
Định m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
thuộc tập xác định?
Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 Tìm
2
'
( )
AD BC
y
Cx D




 Hàm số đồng biến trên từng khoảng thuộc tập xác
định  y’ > 0  AD – BC > 0
( gi
ả
i tìm m và k
ế
t lu
ậ
n)

Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 Tìm

2
'
( )
AD BC
y
Cx D




 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng thuộc tập
xác định  y’ < 0  AD – BC < 0
( gi
ả
i tìm m và k
ế
t lu
ậ
n)

Lưu ý: pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t
1
< t
2

thì pt (1) có 4 nghiệm phân biệt x
1,2
=
1
t

 , x
3,4

=
2
t
 đối xứng từng cặp qua gốc tọa độ O
MNP luôn là 1 tam giác cân tại N, nên chỉ
cần vuông tại N thì MNP là tam giác vuông
cân  thỏa đề bài (ten ten ten tèn )
MNP luôn là 1 tam giác cân tại N, nên chỉ
cần góc N bằng 60
0
hoặc cạnh bên NM (hay
NP) bằng cạnh đáy MP là MNP là  đều
Lưu ý:nghiệm của (1) x = , (2) t =















−








−








CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 7

Dạng 29: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt
(d): y = g(x) chứa tham số m. Định m để (C) và (d)
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?
Dạng 30: Cho hàm số y =
Ax
B
Cx D



, có đồ thị (C).
Tìm trên (C) các
điểm có tọa độ nguyên?
Phương pháp:
 Lập PTHĐGD của (C) và (d):

Ax
( )
B
g x
Cx D



(≠−


)


 Thu gọn được 1 pt: ax
2
+ bx + c = 0 (1)
 YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác


=–





≠0
∆
>
0




+



+

≠
0
(giải tìm m,

he he )
Phương pháp:
 Tìm TXĐ
 Chia tử cho mẫu ta được: y = a +



 Xét từng trường hợp: Cx + D là ước số của b
Lần lượt tìm được:

x nguyên  y nguyên  điểm có tọa độ nguyên

Kết luận:
Dạng 31: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt
(d): y = g(x) chứa tham số m. Định m để (C) và (d)
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của
đồ thị (C)?

Dạng 32: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (C) và đt
(d): y = g(x) chứa tham số m. Định m để (C) và (d)
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc 1 nhánh của
đồ thị (C)?

Phương pháp:
 Lập PTHĐGD của (C) và (d):

Ax
( )
B
g x
Cx D




(≠−


)

 Thu gọn được 1 pt: ax
2
+ bx + c = 0 (1)
 YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và
x
1
< 

= −


< x
2

 
(


)
< 0 với g(x) = ax
2
+ bx + c


 

(



+ 

+ 
)
< 0
(Giải tìm m – have fun

)

Phương pháp:
 Lập PTHĐGD của (C) và (d):

Ax
( )
B
g x
Cx D




(≠−


)
 Thu gọn được 1 pt: ax

2
+ bx + c = 0 (1)
 YCBT  pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và


< 

< 

= −



hay −


= 

< 

< 


⟺

≠0

∆> 0
.
(


)
> 0
với g(x) = ax
2
+ bx + c

⟺

≠0
∆
>
0

.
(




+



+


)
>
0



Các dạng CHUNG cho các hàm số được học trong chương trình



CÁC BÀI TOÁN CĂN BẢN VỀ: VIẾT PTTT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Dạng 33: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp điểm
M
0
(x
0
;y
0
).
Dạng 34: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết hoành độ
tiếp điểm x
0
.
Phương pháp:
 PTTT có dạng: y – y
0
= f’(x
0

)(x – x
0
) (1)
 Ta có: x
0
= ; y
0
=
 Tìm y’ = f’(x)  f’(x
0
)
Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT
Phương pháp:
 PTTT có dạng: y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
) (1)
 Ta có: x
0
=  y
0
=
 Tìm y’ = f’(x)  f’(x
0
)
Thay vào (1) và thu g
ọ

n

ta đư
ợ
c PTTT

Dạng 35: Cho hàm số y = f(x) (*) có đồ thi (C).
Viết PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết
tung độ tiếp điểm y
0
.
Dạng 36: Cho hàm số y = f(x) có đồ thi (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết hệ số góc
k của tiếp tuyến.
Phương pháp:
 PTTT có dạng: y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
) (1)
Phương pháp:
 PTTT có dạng: y – y
0
= k(x – x
0
) (1)
CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 8

 Ta có: y
0
= thay vào (*)  x
0
=
 Tìm y’ = f’(x)  f’(x
0
)
Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT

 Tìm y’ = f’(x)
 Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm
được x = x
0
.)  y = y
0
.
Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT.
Dạng 37: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp
tuy
ế
n song song v
ớ
i đư
ờ
ng th
ẳ

ng (d): y = ax + b.

Dạng 38: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp
tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i đư
ờ
ng th
ẳ
ng (d): y = ax + b.

Phương pháp:
Do tt song song với (d): y = ax + b
 hệ số góc của tiếp tuyến k = a.
 PTTT có dạng: y – y
0
= k(x – x
0
) (1)
 Tìm y’ = f’(x)
 Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm
được x = x
0
.)  y = y
0
.
Thay vào (1) và thu gọn ta được PTTT.

Phương pháp:
Do tt song song với (d): y = ax + b
 hệ số góc của tiếp tuyến k = −


.
 PTTT có dạng: y – y
0
= k(x – x
0
) (1)
 Tìm y’ = f’(x)
 Lập pt: f’(x) = k ( giải phương trình này tìm
được x = x
0
.)  y = y
0
.

Thay vào (1) và thu g
ọ
n ta đư
ợ
c PTTT.

Dạng 39: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(x
A
;y

A
).
Dạng 40: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết
PTTT của đồ thị (C) của hàm số khi biết tiếp
tuyến đi qua điểm có hoành độ thỏa phương trình:


f'’(x) = 0 hay f’’(x) = b (
*)
.

Phương pháp:
 Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua A
 PTTT có dạng: y = k(x – x
A
) + y
A
(*)
Lập hệ phương trình:


(

)
= 
(
−

)
+ 


(1)


(

)
=  (2)

 giải hệ pt này bằng cách thay (2) vào (1)
Tìm được x =  k = (có thể có nhiều x, nhiều k)
Thay k vào (*) đ
ể

k
ế
t lu
ậ
n

Phương pháp:
 tìm f’(x) , f’’(x), thay vào pt (*)
giải tìm x = x
0
 y = y
0
và f’(x
0
) =
 Thay x

0
, y
0
f’(x
0
) vào dạng PTTT
y – y
0
= f’(x
0
) (x – x
0
)


 BÀI TOÁN: BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Dạng 41: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) (dạng
này thường là hàm số bậc 3, trùng phương) . Biện luân
phương trình: g(x,m) = 0 (*)
Dạng 42: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) (dạng
này thường là hàm số bậc 3, trùng phương) . Biện luân
phương trình: g(x,m) = 0 (*)
Phương pháp:
 Biến đổi phương trình đề cho (*) về dạng:
g(x,m) = 0 (*)
 f(x) = m (vế trái đúng bằng hàm số có đồ thị (C)

 Đặt y = f(x) có đồ thị là (C)
Đặt y = m có đồ thị là 1 đường thẳng (d) nằm

ngang
 Lập bảng biện luận ( gồm 3 cột)






Chú ý: dùng các giá trị y
CĐ
và y
CT
để biện luận

Phương pháp:
 Biến đổi phương trình đề cho (*) về dạng:
g(x,m) = 0 (*)
 f(x) = h(m) (vế trái đúng bằng hàm số có đồ thị (C)

 Đặt y = f(x) có đồ thị là (C)
Đặt y = h(m) có đồ thị là 1 đường thẳng (d) nằm
ngang
 Lập bảng biện luận ( gồm 4 cột)






Chú ý: biện luận theo cột h(m) trước. xong rồi từ

cột h(m) suy ra cột m
m
Số giao điểm của
(C) và (d)
Số nghiệm của
pt (*)














m h(m)
Số giao điểm
của (C) và (d)
Số nghiệm của
pt (*)

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

 “ Thêm 1 hạt muối vào biển xanh bao la “ Page 9


 BÀI TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT & GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

Dạng 43: Cho hàm số bậc nhất: y = f(x) = ax + b.
Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b].

Dạng 44: Cho hàm số bậc hai: y = ax
2
+ bx + c.
Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên [a;b].
Phương pháp:
(So sánh f(a) và f(b) để chọn Max, Min)
 Nếu a > 0  hàm số luôn tăng trên ℝ  hàm số
tăng trên [a;b] 
[ ; ] [ ; ]
ax ( ), ( )
x a b x a b
M y f b Miny f a
 

 

 Nếu a < 0  hàm số luôn giảm trên ℝ  hàm số
giảm trên [a;b] 
[ ; ] [ ; ]
( ), ax ( )
x a b x a b
Miny f b M y f a
 
 

Chú ý:
 ≥
(

)
,∀∈[;] ⟺
≥()
≥()



≤

(

)
,
∀


∈
[

;

]
⟺

≤
(

)

≤

(

)


Phương pháp:
(So sánh f(a), f(b)và

(
−


)
để chọn Max, Min)
 Nếu



 [a;b]:
[ ; ] [ ; ]
ax ax{ ( ); ( )} , { ( ); ( )}
x a b x a b
M y M f b f b Miny Min f b f b
 
 

 Nếu


 [a;b]:

[ ; ]
[ ; ]
ax ax{ ( ); ( ); ( )} ,
2
{ ( ); ( ); ( )}
2
x a b
x a b
b
M y M f b f b f
a
b
Miny Min f b f b f
a



 
 

Chú ý: x = -b/2a là hoành độ đỉnh của parabol.
Dạng 45: Cho hàm số y = f(x). Tìm GTLN –
GTNN của hàm số trên [a;b].
(phương pháp chung sử dụng đạo hàm)

Dạng 46: Cho hàm số y = f(x). Tìm GTLN – GTNN
của hàm số trên (a;b).
(phương pháp chung sử dụng đạo hàm)
Phương pháp:
 Xét hàm số trên [a;b]
 Tìm y’ và cho y’ = 0 giải tìm nghiệm x
1
, x
2

thuộc [a;b]
(các nghiệm không thuộc [a;b] bị loại )
 Tính các giá trị f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
) , và so
sánh và kết luận
- GTLN của hàm số là: M = tại x =
(
[ ; ]

ax
x a b
M y


tại x = )
- GTNN của hàm số là: m = tại x =
(
[ ; ]x a b
Miny


tại x = )



Phương pháp:
 Xét hàm số trên (a;b).
 Tìm y’ và cho y’ = 0 giải tìm nghiệm (nếu có)
 Lập BBT của hàm số trên (a;b)
 Dựa vào BBT để kết luận

- GTLN của hàm số là: M = tại x =
(
( ; )
ax
x a b
M y



tại x = )
- GTNN của hàm số là: m = tại x =
(
( ; )x a b
Miny


tại x = )





 BÀI TOÁN: CHỨNG MINH SỰ ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ ( TRỤC ĐX – TÂM ĐX)

Dạng 47: Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số
đối xứng qua trục tung Oy
Dạng 48: Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số
đối xứng qua đường thẳng x = a
(song song trục tung)

Phương pháp: (CM hàm số y = f(x) là hàm số chẵn)
 Tìm TXĐ D
( xác nhận tập D là tập đối xứng:

x

D

-x


D)

 Tính f(-x) = = f(x)
 Kết luận hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nên có
Phương pháp:
 Dùng công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo
vec tơ

⃗
=
(

;
0
)
:


=

−


=

(*)
 Thay (*) vào biểu thức y = f(x) và rút gọn thành
Trường hợp này luôn tìm được GTLN và
GTNN c

ủ
a hàm s
ố

Trường hợp này GTLN, GTNN của hàm số có
th
ể

không t
ồ
n t
ạ
i

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ DẠNG CĂN BẢN TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.




Y = g(X). (rồi CM hàm số Y = g(X) là hàm số chẵn)
 Tìm TXĐ D của hàm số Y = g(X)
( xác nhận tập D là tập đối xứng:

X

D

-X


D)
 Tính g(-X) = = g(X)
 Kết luận hàm số Y = g(X) có đồ thị đối xứng qua
đường thẳng x = a.

Dạng 49: Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số
đối xứng qua gốc tọa độ O.
Dạng 50 : Cho hàm số y = f(x). CMR đồ thị hàm số
đối xứng qua điểm I(a;b). ( Điểm I có thể là giao
điểm của 2 tiêm cận, hoặc 1 điểm I(a;b) cho trước
nào đó)

Phương pháp: (CM hàm số y = f(x) là hàm số lẻ)

 Tìm TXĐ D
( xác nhận tập D là tập đối xứng:

x

D

-x

D)
 Tính f(-x) = = - f(x)
 Kết luận hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên có đồ
thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

Phương pháp:

 Dùng công thức đổi trục bằng phép tịnh tiến theo
vec tơ : (*)
 Thay (*) vào biểu thức y = f(x) và rút gọn thành
Y = g(X). (rồi CM hàm số Y = g(X) là hàm số lẻ)
 Tìm TXĐ D của hàm số Y = g(X)
( xác nhận tập D là tập đối xứng:

X

D

-X

D)
 Tính g(-X) = = - g(X)
 Kết luận hàm số Y = g(X) có đồ thị đối xứng qua
đường thẳng điểm I(a;b).

 BÀI TOÁN: VỀ ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ - ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA 1 HỌ ĐƯỜNG (Cm)

Dạng 51: Cho hàm số y = f(x,m) (*) có đồ thị (Cm).
Tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị (Cm)
đi qua M
0
(x
0
;y
0
).

Dạng 52: Cho hàm số y = f(x,m) có đồ thị (Cm).
Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm).
Phương pháp:

 Thay tọa độ điểm M
0
(x
0
;y
0
) vào (*) ta được
phương trình ẩn số m: y
0
= f(x
0
,m)
 Giải pt tìm m
 Kết luận
Phương pháp:

 Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là điểm cố định của họ (Cm) ( tức
là thuộc (Cm) với mọi m)
 Biến đổi và thu gọn theo ẩn số m ta được 1 trong

các dạng phương trình sau:

 Cho tất cả các hệ số a,b,c bằng không ta được 1
hệ phương trình theo x
0
; y
0
.
 Giải tìm x
0
, y
0
và kết luận theo từng cặp (x
0
;y
0
)



x

y

O