Hướng dẫn sử dụng Maple trong hình học

72

> plane(P2,[d,EC],[x,y,z]);
P2

> Equation(P2);
=
−
−
+
−
288
144
x
144
y
48
z
0

> line(d3,[P,P2]);
d3

> Equation(d3,m);
[
]
,
,
+
2

10368
m
4
−
31104
m



1

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MAPLE TRONG HÌNH HỌC
Phần I. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
* Trước khi bắt đầu làm việc với hình học giải tích trong mặt phẳng
bằng Maple, ta phải dùng lệnh: [
>
with(geometry);

1) Một vài thao tác cơ bản
a) Nhập toạ độ một điểm .
Để nhập toạ độ của điểm A(a; b) ta nhập như sau:
[> point (A, a, b);
b) Tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2), ta nhập:
[> point(A,x1,y1),point(B,x2,y2);
,
A
B

[> distance(A,B);

+ ( ) − x1 x2
2
( ) − y1 y2
2

c) Đường thẳng :
Để nhập phương trình của đường thẳng l : ax + by + c = 0, ta nhập
[> line(l,a*x +b*y + c = 0,[x,y]);

I. TAM GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
1) Khai báo một tam giác trong Maple

a) Tam giác có tên là ABC đi qua ba đỉnh A, B, C cho trước, ta nhập:

triangle[ABC, [A, B, C] );
Ví dụ
: Khai báo một tam giác ABC đi qua ba điểm A(1; 1), B(0; 0) và
C(0; 5) ta làm như sau:
[> point(A,1,1), point(B,0,0),point(C,0,5);
,
,
A
B
C

[> triangle(ABC,[A,B,C]);
ABC

b) Tam giác có tên là T được lập bởi ba đường thẳng l
1

, l
2
, l
3
. Ta nhập:


2

triangle(T, [l1, l2, l3]);
Ví dụ: Ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC có phương trình lần lượt là :
x + 21y – 22 = 0, 5x – 12y + 7 = 0 , 4x – 33y + 146 = 0. Khi đó, ta nhập
[> line(AB, x + 21*y -22 = 0,[x,y]),line(BC,5*x - 12*y +7 =
0,[x,y]),line(AC, 4*x - 33*y +146 =
0,[x,y]),triangle(ABC,[AB,BC,AC]);
c) Tam giác khi biết độ dài ba cạnh.

triangle(Tên tam giác , [cạnh 1, cạnh 2, cạnh 3]);
Ví dụ
: Để nhập tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5. Nếu tam giác này
có tên là ABC, ta nhập:

[> triangle(ABC,[3,4,5]);
ABC

d)
Tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó
triangle(T, [cạnh 1, 'angle'= góc xen giữa hai cạnh, cạnh 2]) ;
Ví dụ
: Để nhập tam giác có độ dài hai cạnh là 2, 1 và góc xen giữa hai

cạnh là
π
/2, ta nhập:
[
> triangle(T4,[2,'angle'=Pi/2,1]):

2)
CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC
A. ĐƯỜNG CAO
Để khai báo đường cao h
A
đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập :

altitude(hA, A, ABC);


hay altitude(hA, A, ABC, H );

v Ở đây, H là chân đường cao.

71

> a:=ParallelVector(d);
:=
a
[
]
,
,
-12

0
36

> point(A,2,0,0);point(E,0,0,0);
A

E

> point(B,0,4,0);
B

> point(C,2,4,6);
C

> line(AB,[A,B],t);
AB

> Equation(AB);
[
]
,
,
−
2
2
t
4
t
0

> plane(P,[d,AB],[x,y,z]);
P

> Equation(P);
=
−
−
−
576
144
x
72
y
48
z
0

> line(EC,[E,C]);
EC

> Equation(EC,t);
[
]
,
,
2
t
4
t
6

t

> intersection(M,EC,P);
M

> coordinates(M);








, ,
4
3
8
3
4


70

Use d1, d2, and d3 to define the parallelepiped pp.
> parallelepiped(pp,[d1,d2,d3]);
pp

> form(pp);
parallelepiped3d

> DefinedAs(pp);
[
]
,
,
d1
d2
d3

> detail(pp);
name of the object: pp
form of the object: parallelepiped3d
the 6 parallelogram faces of the object: [[[0, 0, 0], [4, 0, 0], [9, 5, 1], [5, 5, 1] \
], [[0, 2, 5], [4, 2, 5], [9, 7, 6], [5, 7, 6]], [[0, 0, 0], [4, 0, 0], [4, 2, 5], [0, 2, 5 \
]], [[4, 0, 0], [9, 5, 1], [9, 7, 6], [4, 2, 5]], [[5, 5, 1], [9, 5, 1], [9, 7, 6], [5, 7,
\
6]], [[0, 0, 0], [5, 5, 1], [5, 7, 6], [0, 2, 5]]]
coordinates of the 8 vertices: [[0, 0, 0], [4, 0, 0], [5, 5, 1], [9, 5, 1], [0, 2, 5], [ \
4, 2, 5], [5, 7, 6], [9, 7, 6]]

(Đề dự bò khối A, 2007)
> plane(alpha,6*x-3*y+2*z=0,[x,y,z]);
α

> plane(beta,6*x+3*y+2*z-24=0,[x,y,z]);
β

> n1:=NormalVector(alpha);
:=

n1
[
]
,
,
6
-3
2

> n2:=NormalVector(beta);
:=
n2
[
]
,
,
6
3
2

> line(d,[alpha,beta]);
d


3

v Để xem chi tiết về đường cao h
A
ta dùng lệnh detail(hA);
v Trong detail, nếu khai báo theo cách 1 ta sẽ biết được phương

trình đường cao h
A,
còn nếu khai báo theo cách 2 ta sẽ biết được
toạ độ chân đường cao H.
Ví dụ:
Viết phương trình đường cao h
A
của tam giác ABC với ba đỉnh
A(0; 0), B(2; 0) và C(1; 3). Ta làm như sau:
Cách 1

[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0), point(C,1,3)]):
altitude(hA1,A,ABC);
hA1

[> detail(hA1);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y,
respectively

name of the object: hA1
form of the object: line2d
equation of the line: -_x+3*_y = 0

Trong detail ta có phương trình đường cao h
A1
là – x + 3y = 0
Cách 2

[> with(geometry);
[> triangle(ABC, [point(A,0,0), point(B,2,0),

point(C,1,3)]):altitude(hA1,A,ABC,H);
hA1

[> detail(hA1);
name of the object: hA1
form of the object: segment2d
the two ends of the segment: [[0, 0], [9/5, 3/5]]

Chú ý
: Trong detail [9/5,3/5] là toạ độ chân đường vuông góc H.
B. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Để khai báo đường trung tuyến AM đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta
nhập :

4

median(AM, A, ABC);

* Để xem chi tiết về đường trung tuyến AM, ta dùng lệnh detail(AM);
Ví du
ï : Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC biết
A(5; 1), B(2; 3) và C(– 6; – 1).
[> triangle(ABC, [point(A,5,1),point(B,2,3),point(C,-6,-
1)]):median(AM,A,ABC);
AM

[> detail(AM);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y,
respectively
name of the object: AM

form of the object: line2d
equation of the line: 7-7*_y = 0

trong detail cho biết phương trình đường trung tuyến AM là 7 – 7y = 0.

C. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC.
Để khai báo đường phân giác trong AD đi qua đỉnh A của tam giác ABC,
ta nhập :
bisector(AD, A, ABC);

* Để xem chi tiết về đường phân giác trong AD, ta dùng lệnh
detail(AD);
Ví du
ï : Viết phương trình đường phân giác trong AD của tam giác ABC
biết A(1; 6), B(3; 4) và C(0; 1).
[>
triangle(ABC,[point(A,1,6),point(B,3,4),point(C,0,1)]):bisector(AD,A,
ABC);
AD

[> detail(AD);
assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y,
respectively

69

Description
A parallelepiped is a polyhedron bounded by six parallelograms. It
can be defined from three given directed segments having a
common initial point.

To access the information related to a parallelepiped pp, use the
following function calls:
form(pp)
returns the form of the geometric object
(that is,
parallelepiped3d
if
pp
is a parallelepiped).
See
geom3d[form]
.
DefinedAs(pp)
returns the list of three directed segments
defining
pp
. See
geom3d[DefinedAs]
.
detail(pp)
returns a detailed description of the
parallelepiped
pp
. See
geom3d[detail]
.
This function is part of the geom3d package, and so it can be used
in the form parallelepiped( ) only after executing the
command with(geom3d). However, it can always be accessed
through the long form of the command by using

geom3d[parallelepiped]( ).
Examples
> with(geom3d):
Define four points A, B, C, and E.
> point(A,0,0,0), point(B,4,0,0), point(C,5,5,1), point(E,0,2,5):
Define three directed segments d1, d2, and d3 with initial point A and
end points B, C, and E respectively.
> dsegment(d1,[A,B]), dsegment(d2,[A,C]), dsegment(d3,[A,E]):

6
8

MBD

[> Equation(MBD);
= + + −
1
2
a~ b~ x
1
2
a~ b~ y









− + 2








+
1
2
a~
1
2
a~ a~ a~
2
z
1
2
a~
2
b~ 0

[> ArePerpendicular(A1BD,MBD,'cond');
FAIL

[> cond;
= + a~
2

b~
2
a~
2








− + 2








+
1
2
a~
1
2
a~ a~ a~
2
0

Ta hiểu là a
2
b
2
+ a
2
(– 2a
2
+ a
2
) = 0 hay a
2
b
2
– a
4
= 0
[> solve(a^2*b^2+a^2*(-2*(1/2*a+1/2*a)*a+a^2) = 0,{a});
,
,
,
{
}
=
a~
0
{
}
=

a~
0
{
}
=
a~
−
b~
{
}
=
a~
b~

Chú ý :
1)
Các ký hiệu a ~ , b ~ ta hiểu là a và b phải thỏa điều kiện
mà ta đã đặt trong
assume, tức là
a > 0 và b > 0.
2)
Do a > 0 và b > 0, nên ta chỉ nhận a = b hay
1=
b
a
.
Xác đònh lăng trụ
Cú pháp
parallelepiped(pp, [d1, d2, d3]) xác đònh lăng trụ “pp” với ba
cạnh là d1, d2, d3.

geom3d[parallelepiped]
- define a parallelepiped

Calling Sequence
parallelepiped(pp, [d1, d2, d3])
Parameters
pp - name of the parallelepiped
d1, d2, d3 - three directed segments having a common initial point

5

name of the object: ba
form of the object: line2d
equation of the line: (5*8^(1/2)+2*26^(1/2))*_x+(2*26^(1/2)-8^(1/2))*_y-14*2
6^(1/2)+8^(1/2) = 0
D. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NGOÀI CỦA TAM GIÁC.
Để khai báo đường phân giác AE đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta
nhập :
ExternalBisector(AE, A, ABC);

* Để xem chi tiết về đường phân giác ngoài AE, ta dùng lệnh detail(AE);
3) CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

A. TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó:
a) G được khai báo bởi lệnh centroid(G, ABC);
b) Toạ độ G được xác đònh bởi lệnh coordinates(G);
Ví du1:ï Cho tam giác ABC với A(2; 3), B(-2; 4), C( – 4; 7). Tìm toạ độ

trọng tâm G của tam giác ABC.
[> triangle(ABC,[point(A,2,3),point(B,-2,4),point(C,-4,7)]);
ABC


[> centroid(G,ABC);
G

[> coordinates(G);








,
-4
3
14
3

Ví dụ2:
Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(2; 3), C(0; 7). Tìm toạ độ trọng
tâm G của tam giác ABC.
Ta có thể làm gọn hơn như sau:
[> point(A,1,2),point(B,2,3),point(C,0,7);

6

,
,
A
B
C

[> coordinates(centroid(G,triangle(ABC,[A,B,C])));
[
]
,
1
4

B. TRỰC TÂM CỦA TAM GIÁC
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, khi đó:
a)
H được khai báo bởi lệnh orthorcenter(H, ABC);
b)
Toạ độ H được xác đònh bởi lệnh coordinates(H);
Ví dụ
: Các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC lần lượt có phương trình:
4x – y – 7 = 0, x + 3y – 31 = 0 , x + 5y – 7 = 0.
Xác đònh trực tâm H của tam giác.
[> line(AB,4*x- y -7 = 0,[x,y]),line(BC,x + 3*y -31 = 0,[x,y]),line(AC,x
+5*y -7 =0,[x,y]),triangle(ABC,[AB,BC,AC],[x,y]);
,
,
,
AB

BC
AC
ABC

[> orthocenter(H,ABC);
H

[> coordinates(H);
[
]
,
3
4

[> map(coordinates,DefinedAs(ABC));
[
]
,
,
[
]
,
4
9
[
]
,
2
1
[

]
,
67
-12

Chú ý
: lệnh map(coordinates,DefinedAs(ABC)); Cho ta xác đònh được
toạ độ của ba đỉnh A, B, C.

4)TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG.

Để khai báo
l
là trung trực của đoạn thẳng AB, ta dùng

lệnh

PerpenBisector(l, A, B );
Viết phương trình trung trực
l
của đoạn thẳng BC, biết B(2; 0) và C(1; 3)


67

[> assume(a>0), assume(b>0);
[> dsegment(d1,[A,B]),dsegment(d2,[A,D]),dsegment(d3,[A,A1]);
,
,
d1

d2
d3

[> parallelepiped(HHCN,[d1, d2, d3]);
HHCN

[> detail(HHCN);
* Vì không đủ giấy, nên không in ra đây kết quả của detail(HHCN);
[> point(C1,a,a,b);
C1

[> midpoint(M,C,C1);
M

[> coordinates(M);








, ,
+
1
2
a~
1
2

a~
+
1
2
a~
1
2
a~
1
2
b~

( ở đây ta hiểu M






2
b
aa ;; )
[>
gtetrahedron(BDA1M,[A,D,A1,M]);

BDA1M

[>
volume(BDA1M);

1
6
a~ b~








+
1
2
a~
1
2
a~

[>
plane(A1BD,[A1,B,D],[x,y,z]);

A1BD

[>
Equation(A1BD);

=
+
+

−
a~ b~ x a~ b~ y a~
2
z a~
2
b~ 0

[>
n1:=NormalVector(A1BD);

:= n1 [ ], ,a~ b~ a~ b~ a~
2

[>
plane(MBD,[M,B,D],[x,y,z]);


66

,
,
,
A
B
D
A1

[>
dsegment(d1,[A,B]),dsegment(d2,[A,D]),dsegment(d3,[A,A1]);

,
,
d1
d2
d3

[>
assume(a > 0);

[>
parallelepiped(ABCDA1B1C1D1,[d1, d2, d3]);

ABCDA1B1C1D1

[>
detail(ABCDA1B1C1D1);

[>
point(D1,0,a,a), point(C,a,a,0);

,
D1
C

[>
plane(BA1C,[B,A1,C],[x,y,z]);

BA1C

[>

Equation(BA1C);

=
−
−
+
a~
2
x a~
2
z a~
3
0

[>
plane(DA1C,[D,A1,C],[x,y,z]);

DA1C

[>
Equation(DA1C);

=
+
−
a~
2
y a~
2
z a~

3
0

[>
FindAngle(BA1C,DA1C);

1
3
π

Lưu ý
: Đây là góc giữa hai mặt phẳng
2) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình
hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ, B(a; 0; 0), D(0;
a; 0), A’(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BD’M theo a và b.
b) Xác đònh tỷ số
b
a
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc.
a) [>
point(A,0,0,0),point(B,a,0,0),point(D,0,a,0),point(A1,0,0,b);

,
,
,
A
B
D
A1

7

[>
point(B,2,0), point(C,1,3);

,
B
C

[>
PerpenBisector(l,B,C);

l

[>
detail(l);

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y,
respectively
name of the object: l
form of the object: line2d
equation of the line: -3-_x+3*_y = 0

máy trả lời l có phương trình là – 3 – x + 3y = 0.

5) DIỆN TÍCH CỦA MỘT TAM GIÁC

Để tính diện tích của tam giác ABC ta dùng lệnh

area(ABC);
Ví dụ
: Tính diện tích tam giác ABC với A(2; – 3), B(3; 2) và C( – 2; 5).

[>
with(geometry);

[>
triangle(ABC,[point(A,2,-3),point(B,3,2), point(C,-2,5)]);

ABC

[>
area(ABC);

14

Máy trả lời

diện tích tam giác ABC là 14.


ĐƯỜNG THẲNG
*
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ta dùng lệnh:

distance(M, d);

Ví dụ 1
. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng

8

d : 3x + 6y = 1
[>
with(geometry);
[>
point(M,2,3),line(d,3*x+6*y=1,[x,y]);

,
M
l

[>
distance(M,d);

23
15
5

Ví dụ 2
: Ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC có phương trình lần lượt
là : x + 21y – 22 = 0, 5x – 12y + 7 = 0 , 4x – 33y + 146 = 0.
Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến cạnh BC .
[>
line(AB, x + 21*y -22 = 0,[x,y]),line(BC,5*x - 12*y +7 =
0,[x,y]),line(AC, 4*x - 33*y +146 =
0,[x,y]),triangle(ABC,[AB,BC,AC],[x,y]);

,
,
,
AB
BC
AC
ABC

[>
centroid(G,ABC);

G

[>
coordinates(G);

[
]
,
-2
3

[>
distance(G,BC);

3

*
Hình chiếu của một điểm lên

một đường thẳng
a) Để khai báo H là hình chiếu của điểm P lên đường thẳng l, ta dùng
lệnh:
projection(H, P, l);

b) Để tìm toạ độ hình chiếu H, ta dùng lệnh:
coordinates(H);
Ví dụ :
Tìm hình chiếu Q của điểm P(2; 3) lên đường thẳng
l : x + y + 1 = 0.
[>
point(P,2,3), line(l,x+y-1=0,[x,y]);


65

Bài 9
: (TN, 2000, 2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt
cầu (S) có các phương trình tương ứng:
(P) 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và (S) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3x + 4y – z + 6 = 0.
a)

Xác đònh toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b)

Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó suy ra rằng
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu
là (C). Xác đònh bán kính r và toạ độ tâm H của đường tròn (C).
[>
sphere(S,x^2+y^2+z^2+3*x+4*y-z+6=0,[x,y,z],'centername'=O);

S

[>
center(S);

O

[>
coordinates(O);









, ,
-3
2

-2
1
2

[>
R:=radius(S);

:= R
1
2
2

[>
plane(P,2*x-3*y+4*z-5=0,[x,y,z]);

P

[>
d:=distance(O,P);

:=
d
0

Chú y
ù: Vì khoảng cách từ tâm O của (S) đến (P) bằng 0 nên điểm O
∈
(P). Do đó, tâm của đường tròn giao tuyến chính là O và bán kính bằng
bán kính của (S).
Bài 10

:(
ĐH, CĐ toàn quốc, khối A, 2003
)
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Tính số đo của góc phẳng
nhò diện [B, A’C, D].
[>
point(A,0,0,0),point(B,a,0,0),point(D,0,a,0),point(A1,0,0,a);


64

b)

Viết phương trình của đường thẳng qua C và vuông góc với mặt
phẳng (A, B, D).
c)

Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (A, B, D).
a) [>
point(O,0,0,0),point(A,3,0,0),point(B,0,4,0),point(C,0,0,5);

,
,
,
O
A
B
C

[>

dsegment(d1,[O,A]),dsegment(d2,[O,B]),dsegment(d3,[O,C]);

,
,
d1
d2
d3

[>
parallelepiped(HH,[d1, d2, d3]);

HH

[>
detail(HH);

[[0, 0, 0], [0, 4, 0], [0, 4, 5], [0, 0, 5]]]
coordinates of the 8 vertices: [[0, 0, 0], [3, 0, 0], [0, 4, 0], [3, 4, 0], [0, 0, 5], [ \
3, 0, 5], [0, 4, 5], [3, 4, 5]]

[>
point(D,3,4,5);

D

b) [>
plane(ABD,[A,B,D],[x,y,z]);

ABD

[>
Equation(ABD);

=
−
+
+
−
60
20
x
15
y
12
z
0

[>
n:=NormalVector(ABD);

:=
n
[
]
,
,
20
15
-12

[>
line(L,[C,n]);

L

[>
Equation(L,t);

[
]
,
,
20
t
15
t
−
5
12
t

c) [>
distance(C,ABD);

120
769
769


9

,
P
l

[>
projection(Q,P,l);

Q

[>
coordinates(Q);

[
]
,
0
1


* Điểm đối xứng của

một điểm qua một đường thẳng

a) Để khai báo Q là của điểm đối xứng

của điểm P

lên đường thẳng l, ta
dùng lệnh:

reflection(Q, P, l);


b) ) Để tìm toạ độ của Q, ta dùng lệnh:
coordinates(Q);

Ví dụ
: Tìm điểm M
1
đối xứng với điểm M
2
(8; – 9) qua đường thẳng đi
qua hai điểm A(3; – 4) và B( – 1; – 2).
Giải
[>
point(M2,8,-9),point(A,3,-4),point(B,-1,-2);

,
,
M2
A
B

[>
line(AB,[A,B],[x,y]);

AB

[>
Equation(AB);

=
−
−
−
10
2
x
4
y
0

[>
reflection(M1,M2,AB);

M1

[>
coordinates(M1);

[
]
,
10
-5

Lưu y
ù: Lệnh
Equation(AB);
cho ta phương trình của đường thẳng AB.

*
NHÓM LỆNH KIỂM TRA
Sau khi đánh lệnh >
with(geometry);

10

Ta được các lệnh, trong đó có các lệnh bắt đầu bằng Are hay Is.
Các lệnh này nhằm kiểm tra tính đúng (true), sai (false) của một tính
chất hình học nào đó. Sau đây là một số lệnh cơ bản:
Tên lệnh Cú pháp Chức năng
AreCollinear

AreCollinear(P, Q, R, cond) Kiểm tra tính thẳng hàng
của ba điểm P, Q, R.
AreConcurrent

AreConcurrent(l1, l2, l3, cond )

Kiểm tra tính đồng quy
của ba đường thẳng l
1
, l
2
,
l
3
.

AreParallel
AreParallel(l1, l2, cond)

Kiểm tra tính song song
của hai đường thẳng l
1
,
l
2
.
ArePerpendicular

ArePerpendicular(l1, l2, cond
)

Kiểm tra tính vuông góc
của hai đường thẳng l
1
,
l
2
.
AreTangent
AreTangent(f, g)

Kiểm tra sự tiếp xúc của
đường thẳng f và đường
tròn g hay sự tiếp xúc
của hai đường tròn f và g

IsOnCircle
IsOnCircle(f, c, cond)
Kiểm tra xem điểm
(hoặc tập hợp các điểm)
f có nằm trên đường tròn
c hay không ?
IsOnLine
IsOnLine(f, l, cond)

Kiểm tra xem điểm
(hoặc tập hợp các điểm)
f có nằm trên đường
thẳng l hay không ?
IsRightTriangle
IsRightTriangle(ABC, cond )

Kiểm tra tính vuông góc
của tam giác ABC.
Lưu ý:
1)

Có thể bỏ cond hoặc sử dụng cond trong trường hợp có chứa
tham số.

63

[>
Equation(anpha);

= − + + +

1
3
1
3
x
1
3
y
1
3
z 0

[>
AreCollinear(O,B,C);

true

[>
sphere(S,[B,sqrt(2)],[x,y,z]);

S

[>
Equation(S);

=
+
+
+
−

−
−
x
2
y
2
z
2
1 2 x 2 y 2 z 0

[>
R:=radius(S);

:= R 2

[>
d:=distance(B,anpha);

:= d
2
3
3

[>
line(AB,[A,B]);

AB

[>
Equation(AB,t);

[
]
,
,
1
t
t

[>
projection(l,AB,anpha);

l

[>
Equation(l);









, ,
−
1
2
3

t
1
3
t
1
3
t

Đây là phương trình tham số .
Bài 8
: (TN, 1999, đợt 2, 3 điểm)
Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3; 0;
0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối diện với O.
a)

Xác đònh toạ độ đỉnh D. Viết PTTQ của mặt phẳng (A, B, D).

62

[>
coordinates(center_S_1);










, ,
3
2
3 1

[>
R:=radius(S);

:=
R
1
2
21

[>
d:=distance(center_S_1,anpha);

:=
d
1
2
+
3
m

[>
solve(R=d,{m});

,{ }
=

m
−
+
3 21 { }
=
m
−
−
3 21

Bài 7
: (TN, 2000 – 2001, 2,5 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm
A(1; 0; 0), B(1; 1; 1),






3
1
3
1
3
1
;;C .
a)

Viết PTTQ của mặt phẳng (

α
)vuông góc đường thẳng OC tại C.
Chứng minh rằng ba điểm O, B, C thẳng hàng. Xét vò trí tương
đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính
2 với mặt phẳng (
α
).
b)

Viết PTTQ của đường thẳng g là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB trên mặt phẳng (
α
).
a) [>
point(A,1,0,0), point(B,1,1,1), point(C,1/3,1/3,1/3),point(O,0,0,0);

,
,
,
A
B
C
O

[>
line(OC,[O,C]);

OC

[>

v:=ParallelVector(OC);

:=
v








, ,
1
3
1
3
1
3

[>
plane(anpha,[C,v],[x,y,z]);

anpha


11

2)

Khi kết thúc các lệnh này và nhấn Enter thì máy trả lời là
true(đúng) hoặc false (sai).
Ví dụ 1
: Xét tính thẳng hàng của ba đ
iểm
A(1; 2), B(2; 3) và C(0; 7).

Ta làm như sau:
[
point(A,1,2),point(B,2,3),point(C,0,7);

,
,
A
B
C

[
AreCollinear(A, B, C);

false

Máy trả lời false, tức ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Ví dụ 2
: Cho tam giác ABC với A(1; m – 2), B(2; 3 + m), C(0; 7). Tìm m
để ABC là tam giác vuông.

Trước hết ta dùng lệnh [>
AreCollinear(A, B, C);

để kiểm tra tính thẳng hàng của

ba điểm A, B, C
[>
AreCollinear(A, B, C);
AreCollinear: "hint: could not determine if -m+14 is zero"
FAIL

máy báo không thể xác đònh nếu – m + 14 = 0, tức ba điểm A, B, C
thẳng hàng khi – m + 14 = 0 hay m = 14.
Lưu ý: Trong một số bài toán ta phải sử dụng lệnh
assume
(giả sử)
m không thỏa giá trò ở trên thì máy mới thực hiện tiếp bài toán. Cụ thể,
trong bài này, ta phải giả sử m
≠
14, tức là ta phải nhập :
assume (m <> 14;
Tuy nhiên, trong

bài này thì không
[>
point(A,1,m -2),point(B,2,3+m), point(C,0,7);

,
,
A
B
C

[>
IsRightTriangle(ABC,cond);

IsRightTriangle: "hint: one of the following conditions must be satisfied: {-76+26*m-
2*m^2 = 0, -88+10*m = 0, 36-10*m = 0}"
FAIL

Máy thông báo : Một trong các điều kiện sau phải thỏa mãn:

12

{-76+26*m-2*m^2 = 0, -88+10*m = 0, 36-10*m = 0}"
Bây giờ ta dùng lệnh solve để tìm m.
[>
solve(-76+26*m-2*m^2 = 0,{m});

,{ }
=
m
−
13
2
1
2
17 { }
=
m
+
13
2

1
2
17

[>
solve(-88+10*m = 0, {m});

{ }
=
m
44
5

[>
solve(36-10*m = 0,{m});

{ }
=
m
18
5

Vậy ta phải có :

5
18
5
44
17
2

1
2
13
17
2
1
2
13
==+=−=
mmmm
;;;

Ví dụ 3
: Cho hai đường thẳng :
l
1
: 2x + 5y = 1 và
l
2
: 5x – 2y = 0.
Chứng minh rằng
l
1
vuông góc với
l
2


[>
line(l1,2*x+5*y=1,[x,y]),line(l2,5*x-2*y=0,[x,y]);

,
l1
l2

[>
ArePerpendicular(l1,l2);

true

Máy trả lời
true
tức ta có đpcm.
*
Phương trình của đường thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc
với một đường thẳng cho trước.
Để viết phương trình của đường thẳng
lp
qua điểm P và vuông góc với
một đường thẳng
l
cho trước ta dùng lệnh:

61

[>
ArePerpendicular(AD,AC);

true

[>
gtetrahedron(ABCD,[A,B,C,D]);

ABCD

[>
volume(ABCD);

4
3

c) [>
plane(ABD,[A,B,D],[x,y,z]);

ABD

[>
Equation(ABD);

=
+
2
2
z
0

[>
NormalVector(ABD);

[

]
,
,
0
0
2

[>
plane(anpha,2*x+m=0,[x,y,z]);

anpha

[>
sphere(S,[A,B,C,D],[x,y,z]);

S

[>
Equation(S);

=
+
+
+
−
−
−
x
2
y

2
z
2
7 3 x 6 y 2 z 0

[>
detail(S);

name of the object: S
form of the object: sphere3d
name of the center: center_S_2
coordinates of the center: [3/2, 3, 1]
radius of the sphere: 1/2*21^(1/2)
surface area of the sphere: 21*Pi
volume of the sphere: 7/2*Pi*21^(1/2)
equation of the sphere: x^2+y^2+z^2+7-3*x-6*y-2*z = 0


60

Trong không gian Oxyz với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C,
D xác đònh bởi các hệ thức:
A = (2; 4; – 1),
→→→→
−+= kjiOB 4
, C = ( 2; 4; 3),
→→→→
−+= kjiOD 22
.
a)

Chứng minh rằng
AB
⊥
AC
,
AC
⊥
AD
,
AD

⊥
AB
. Tính thể tích của
khối tứ diện
ABCD
.
b)

Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung 
của hai đường thẳng
AB
và
CD
. Tính góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng (
ABD
).
c)

Viết phương trình mặt cầu (
S
) đi qua bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
. Viết
phương trình tiếp diện
)
(
α
của mặt cầu (
S
) song song với mặt
phẳng (
ABD
).
a) [>
point(A,2,4,-1),point(B,1,4,-1),point(C,2,4,3),point(D,2,2,-1);

,
,
,
A
B

C
D

[>
line(AB,[A,B]);

AB

[>
Equation(AB,t);

[
]
,
,
−
2
t
4
-1

[>
line(AC,[A,C]);

AC

[>
Equation(AC,t);

[

]
,
,
2
4
−
+
1
4
t

[>
line(AD,[A,D]);

AD

[>
Equation(AD,t);

[
]
,
,
2
−
4
2
t
-1

[>
ArePerpendicular(AB,AC);

true

[>
ArePerpendicular(AB,AD);

true


13

PerpendicularLine(lp, P, l; )
V
iết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(5; – 1) và vuông góc
với đường thẳng l : x + 4y + 5 =0.
[>
point(A,5,-1),line(l,x + 4*y + 5 =0,[x,y]);

,
A
l

[>
PerpendicularLine(D,A,l);

D

[>

Equation(D);

=
−
+
−
21
4
x
y
0

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình – 21 + 4x – y = 0.

* Phương trình của đường thẳng qua một điểm cho trước và song song
với một đường thẳng cho trước.
Để viết phương trình của đường thẳng
lp
qua điểm P và song song với
một đường thẳng
l
cho trước ta dùng lệnh:

ParallelLine(lp, P, l);


V
iết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; 3) và song song
với đường thẳng
l

: x + y = 1
[>
with(geometry):

[>
point(P, 2 , 3), line(l, x + y =1, [x,y]);

,
P
l

[>
ParallelLine(D,P,l);

D

[>
Equation(D);

=
−
+
+
5
x
y
0


14

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình – 5 + x + y = 0.








GÓC
* Góc tạo bởi hai đường thẳng.

Để tính góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
ta dùng lệnh :

FindAngle(d1, d2);
Ví dụ
: Xác đònh góc
ϕ
giữa hai đường thẳng:
1) 5x – y + 7 = 0, 3x + 2y = 0;
2) 3x + 2y – 1 = 0, 5x – 2y + 3 = 0.
1)
[>
line(D1,5*x-+7=0,[x,y]),line(D2,3*x+2*y=0,[x,y]);

,
D1
D2

[>
FindAngle(D1,D2);

1
4
π

2) [>
line(D1,3*x+2*y-1=0,[x,y]),line(D2,5*x-2*y+3=0,[x,y]);

,
D1
D2

[>
FindAngle(D1,D2);









arctan

16
11

ĐƯỜNG TRÒN

59

=
−
+
56
28
x
14
z
0

Bài 5
: (
TN, 1999, đợt 1, 4 điểm)
Trong không gian
Oxyz
cho điểm
D
( –3; 1; 2) và mặt phẳng
α
đi
qua
A
(1; 0; 11),

B
(0; 1; 10) và
C
(1; 1; 8).
a)

Viết phương trình đường thẳng
AC
.
b)

Viết PTTQ của mặt phẳng
α
.
c)

Viết phương trình mặt cầu tâm
D
, bán kính
R
= 5. Chứng minh
rằng mặt cầu này cắt mặt phẳng
α
.
a) [>
point(A,1,0,11),point(B,0,1,10),point(C,1,1,8),point(D,-3,1,2);

,
,
,

A
B
C
D

[>
line(AC,[A,C]);

AC

[>
Equation(AC,t);

[
]
,
,
1
t
−
11
3
t

b) [>
plane(anpha,[A,B,C],[x,y,z]);

anpha

[>

Equation(anpha);

=
−
−
−
13
2
x
3
y
z
0

[>
sphere(S,[D,5],[x,y,z]);

S

c) [>
Equation(S);

=
+
+
−
+
−
−
x

2
y
2
z
2
11 6 x 2 y 4 z 0

[>
distance(D,anpha);

14

[>
radius(S);

5

Để ý :
distance(D,anpha)< radius(S)

Bài 6
: (
TN, 2002– 2003, 2,5 điểm).


58

a) [>
point(A,1,0,-2),point(B,0,-4,-4), plane(anpha,3*x-
2*y+6*z+2=0,[x,y,z]);

,
,
A
B
anpha

[>
sphere(S,[A,anpha],[x,y,z]);

S

[>
Equation(S);

=
+
+
+
−
+
x
2
y
2
z
2
4 2 x 4 z 0

[>

line(L,[A,B]);

L

[>
Equation(L,t);

[
]
,
,
−
1
t
−
4
t
−
−
2
2
t

[>
intersection(giaodiem,L,anpha);

giaodiem

[>
coordinates(giaodiem);

[
]
,
,
2
4
0

b) [>
a:=ParallelVector(L);

:=
a
[
]
,
,
-1
-4
-2

[>
n:=NormalVector(anpha);

:=
n
[
]
,

,
3
-2
6

[>
with(linalg);

Warning, the name inverse has been redefined
[>
crossprod(a,n);

[
]
,
,
-28
0
14

[>
v:=vector([-28, 0, 14]);

:=
v
[
]
,
,
-28

0
14

[>
plane(P,[point(A,1,0,-2),v],[x,y,z]);

P

[>
Equation(P);


15

1)
Khai báo phương trình một đường tròn

Nếu đường tròn C, có phương trình
x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0
Trong Maple ta nhập:
circle(C,x^2 + y^2 – 2*a*x – 2*b*y + c = 0,[x, y]);

2)
Thiết lập phương trình đường tròn
.
Maple cho phép lập phương trình đường tròn thỏa một trong các Đ. K sau:

a)
Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C cho trước với cú pháp như sau:
circle(tên đường tròn, [A, B, C], [x, y]);
VD
: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3)
[>
point(A,5,0),point(B,0,1),point(C,3,3);

,
,
A
B
C

>
circle(ABC,[A,B,C],[x,y]);

ABC

[>
Equation(ABC);

=
+
−
−
x
2
y
2

5 x y 0

[>
coordinates(center(ABC));









,
5
2
1
2

[>
radius(ABC);

1
2
13 2

Chú ý:
a)

Lệnh

coordinates(center(ABC));
cho ta toạ độ của tâm đường
tròn ABC.
b)

Lệnh
radius(ABC);
cho ta bán kính của đường tròn ABC.

16

c)

Lệnh
Equation(ABC);
cho ta phương trình của đường tròn ABC.
d)

Nếu không dùng các lệnh này, ta có thể xem chi tiết về đường
tròn ABC bằng lệnh
detail(ABC);

[>
detail(ABC);

name of the object: ABC
form of the object: circle2d
name of the center: center_ABC
coordinates of the center: [5/2, 1/2]
radius of the circle: 1/2*13^(1/2)*2^(1/2)

equation of the circle: x^2+y^2-5*x-y = 0

b)
Đường tròn có tâm A cho trước và bán kính R cho trước
với cú pháp như sau:
circle(tên đường tròn, [A, R], [x, y]);
Ví dụ 1
: Viết phương trình đường tròn có tâm A(4; – 8) và bán kính là 5.
[>
point(A,4,-8);

A

[>
Equation(circle(C,[A,5],[x,y]));

=
+
+
−
+
x
2
55 y
2
8 x 16 y 0

Ví dụ 2:
Viết phương trình đường tròn có tâm C(1; – 1) và tiếp xúc với
đường thẳng 5x – 12y + 9 = 0.

[>
point(C,1,-1),line(D,5*x-12*y+9=0,[x,y]);

,
C
D

[>
R:= distance(C,D);

:=
R
2

[>
circle(T,[C,R],[x,y]);

T

[>
Equation(T);

=
−
+
−
+
x
2
2 y

2
2 x 2 y 0


57

,
,
,
A
B
C
O

[>
sphere(S,[A,B,C,O],[x,y,z]);

S

[>
Equation(S);

=
+
+
−
−
−
x
2

y
2
z
2
2 x 4 y 4 z 0

[>
center(S);

center_S_1

[>
coordinates(center_S_1);

[
]
,
,
1
2
2

[>
R:=radius(S);

:=
R
3

b) [>

plane(P,[A,B,C],[x,y,z]);

P

[>
Equation(P);

=
−
+
+
+
32
16
x
8
y
8
z
0

[>
NormalVector(P);

[
]
,
,
16
8

8

[>
line(D,[point(center_S_1,1,2,2),[16, 8, 8]]);

D

[>
Equation(D,t);

[
]
,
,
+
1
16
t
+
2
8
t
+
2
8
t


Bài 4
: (

TN, 1998, đợt 2, 2 điểm
)
Trong không gian
Oxyz
cho hai điểm
A
(1; 0; – 2),
B
(0; – 4; – 4) và
mặt phẳng (
α
) có phương trình 3x – 2y + 6z + 2 = 0.
a)

Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (
α
) và nhận
A

làm tâm. Tìm toạ độ giao điểm của AB và mặt phẳng (
α
).
b)

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
AB
và vuông góc
với mặt phẳng (
α
).

56

obj

[>
coordinates(obj);

[
]
,
,
4
0
1

Bài 2
.(
TN, 1997, đợt 2)

Trong không gian
Oxyz
cho
A
(1; 4; 0),
B
(0; 2; 1),
C
(1; 0; 4).
a)

Viết PTTS của đường thẳng AB.
b)

Viết PTTQ của mặt phẳng
α
qua
C
và vuông góc với
AB
. Xác
đònh toạ độ giao điểm của
AB
và
α
.
a) [>
point(A,1,4,0),point(B,0,2,1), point(C,1,0,4),line(L,[A,B]);

,
,
,
A
B
C
L

[>
Equation(L,t);

[
]
,
,
−
1
t
−
4
2
t
t

[>
v:=ParallelVector(L);

:=
v
[
]
,
,
-1
-2
1

b)[>
plane(anpha,[C,v],[x,y,z]);

anpha

[>
Equation(anpha);

=
−
−
−
+
3
x
2
y
z
0

[>
intersection(H,L,anpha);

H

[>
coordinates(H);

[
]
,
,
-1
0

2

Bài 3
: (
TN, 1998, đợt 1, 2 điểm
)
Trong không gian
Oxyz
cho các điểm
A
(2; 0; 0),
B
(0; 4; 0),
C
(0; 0; 4).
a)

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm
O, A, B, C
. Xác đònh
toạ độ tâm
I
và độ dài bán kính
R
của mặt cầu đó.
b)

Viết phương trình mặt phẳng (
ABC
). Viết PTTS của đường thẳng

đi qua
I
và vuông góc với mặt phẳng (
ABC
).
a) [>
point(A,2,0,0),point(B,0,4,0), point(C,0,0,4),point(O,0,0,0);


17

3) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn.
Để tính phương tích của điểm P đối với đường tròn C, ta dùng lệnh:

powerpc(P, C);

Ví dụ
: Cho đường tròn có phương trình x
2

+ y
2
– 2x + 4y – 8 = 0
và các điểm A(1; – 5), B(6; 1) và C( –
m
;
m
). Hãy xét xem điểm A, B
nằm trong hay nằm ngoài đường tròn. Tìm
m

để C thuộc đường tròn.
[>
point(A,1,-5), point(B,6,1), circle(DTRON,x^2+y^2-2*x+4*y-
8=0,[x,y]),point(C,-m,m);

,
,
,
A
B
DTRON
C

[>
powerpc(A,DTRON);

-4

[>
powerpc(B,DTRON);

21

[>
powerpc(C,DTRON);

+
−
( )
−

−
m 1
2
( )
+
m 2
2
13

[>
simplify((-m-1)^2+(m+2)^2-13);

+
−
2 m
2
6 m 8

[>
solve(2*m^2+6*m-8 =0,{m});

,
{
}
=
m
1
{
}
=

m
-4

Lưu ý:
a)

Từ đáp số ta thấy: A ở trong đường tròn và B ở ngoài đường tròn.
b)

Có thể dùng lệnh IsOnCircle để tìm
m
để C thuộc đường tròn.
4) Lệnh
intersection
: Tìm giao điểm của hai đường thẳng, một đường
thẳng và một đường tròn, hoặc hai đường tròn.
(find the intersections between two lines, a line and a circle, or two
circles).
Cú pháp
:

18

intersection(obj,f,g);
hay intersection(ten,f,g,[M, N]);


obj - (một tên )
a name

f, g - (
đường thẳng hoặc đường tròn
)
the lines or circles
404
. Trong các trường hợp sau xác đònh xem đường thẳng cắt, tiếp xúc
hoặc không có điểm chung với đường tròn :
1) y = 2x – 3, x
2
+ y
2
– 3x + 2y – 3 = 0;
2) y =
2
1
x –
2
1
, x
2
+ y
2
– 8x + 2y + 12 = 0;
3) y = x + 10, x
2

+ y
2
– 1 = 0.
1) [

>
circle(C,x^2+y^2-3*x+2*y-3=0,[x,y]),line(D,y=2*x-3,[x,y]);

,
C
D

[>
intersection(H,D,C,[M,N]);

[
]
,
M
N

[>
coordinates(M);









,
11
5

7
5

[>
coordinates(N);


Máy báo đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm
M
);(;
30
5
7
5
11
−






Nvà

2)
[
>
circle(C,x^2+y^2-8*x+2*y+12=0,[x,y]),line(D,y=1/2*x-1/2,[x,y]);

,

C
D

[>
AreTangent(C,D);

true

[>
intersection(TX,C,D,[M,N]);

TX

[>
coordinates(TX);

[
]
,
0
-3

55

a) [>
point(A,3,-2,-2),point(B,3,2,0),point(C,0,2,1),point(D,-1,1,2);

,
,
,

A
B
C
D

[>
plane(BCD,[B,C,D],[x,y,z]);

BCD

[>
Equation(BCD);

=
−
+
+
+
7
x
2
y
3
z
0

[>
IsOnObject(A,BCD);

false

b) [>
sphere(S,[A,BCD],[x,y,z]);

S

[>
Equation(S);

=
+
+
+
−
+
+
x
2
y
2
z
2
3 6 x 4 y 4 z 0

[>
detail(S);

name of the object: S
form of the object: sphere3d
name of the center: A

coordinates of the center: [3, -2, -2]
radius of the sphere: 14^(1/2)
surface area of the sphere: 56*Pi
volume of the sphere: 56/3*Pi*14^(1/2)
equation of the sphere: x^2+y^2+z^2+3-6*x+4*y+4*z = 0

[>
n:=NormalVector(BCD);

:=
n
[
]
,
,
1
2
3

[>
line(L,[point(A,3,-2,-2),[1, 2, 3]]);

L

[>
Equation(L,t);

[
]
,

,
+
3
t
−
+
2
2
t
−
+
2
3
t

[>
intersection(obj,L,BCD);


54

gd1

[>
coordinates(gd1);

[
]
,
,

3
7
-6

[>
plane(P,2*x + 4*y - 2 = 0,[x,y,z]);

P

[>
coordinates(intersection(gd2,l1,P));;

[
]
,
,
-1
1
2

[>
sphere(S,x^2+y^2+z^2-3*z=25,[x,y,z]);

S

[>
intersection(gd3,l1,S);

Error, (in intersection) wrong number/type of arguments

[>
detail(gd3);

name of the object: l1_intersect1_S
[
form of the object: point3d
coordinates of the point: [-25/29, 35/29, 50/29] name of the object: l1_intersec \,
t2_S
form of the object: point3d
coordinates of the point: [-1, 1, 2]
]

Qua detail(gd3) ta có hai giao điểm của l
1
và S là :
( – 25/ 29; 35/29 ; 50/ 29)và ( – 1; 1; 2).
MỘT SỐ ĐỀ THI
Bài 1
. (
TN, 1997, đợt 1
)
Trong không gian
Oxyz
cho bốn điểm
A
(3; –2; –2),
B
(3; 2; 0),
C
(0;

2; 1) và
D(
–1; 1; 2).
a)

Viết phương trình mặt phẳng (
BCD
). Suy ra
ABCD
là một tứ
diện.
b)

Viết phương trình mặt cầu tâm
A
tiếp xúc với mặt phẳng (
BCD
).
Tìm toạ độ tiếp điểm.

19

[
]
,
3
1

Máy báo đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại điểm TX(3; 1)
3) [>

circle(C,x^2+y^2-1=0,[x,y]),line(D,y=x+10,[x,y]);

,
C
D

[>
AreTangent(C,D);

false

[>
intersection(H,C,D,[M,N]);

intersection: "there is no point of intersection"
Máy báo đường thẳng và đường tròn không có điểm chung
434
.Từ điểm M(4; – 4), vẽ các tiếp tuyến tới đường tròn
x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 5 = 0.
Tính độ dài dây cung nối các tiếp điểm.(ĐS.
10
)
[>
circle(C,x^2+y^2-6*x+2*y+5=0,[x,y]);

C

[>
point(M,4,-4);

M

[>
TangentLine(TT,M,C,[L1,L2]);

[
]
,
L1
L2

[>
Equation(L1);

=
−
−
−
4
x
2
y
0

[>
Equation(L2);

=
−
+
12
2
x
y
0

[>
intersection(TX1,L1,C,[M,N]);

TX1

[>
A:=coordinates(TX1);

:=
A
[
]
,
2
-3


20

[>

intersection(TX2,L2,C,[M,N]);

TX2

[>
B:=coordinates(TX2);

:=
B
[
]
,
5
-2

[>
with(student);

Warning, the names distance, midpoint and slope have been redefined

[>
distance(A,B);

10


* ĐH, CĐ toàn quốc, khối D, 2003

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn
(

C
) : (x– 1)
2
+ (y – 1)
2
= 4 và đường thẳng
d
: x – y – 1 = 0.
Viết phương trình của đường tròn (
C
’) đối xứng với đường tròn (
C
) qua
đường thẳng
d
. Tìm toạ độ giao điểm của (
C
) và (
C
’).
[>
circle(C,(x-1)^2+(y-2)^2=4,[x,y]);

C

[>
line(d,x-y-1=0,[x,y]);

d

[>
reflection(C1,C,d);

C1

[>
Equation(C1);

=
+
+
−
y
2
5 x
2
6 x 0

[>
intersection(giaodiem,C,C1,[M,N]);

[
]
,
M
N

[>
coordinates(M);

[
]
,
3
2


53

[>
IsTangent(Q,S,'cond');

IsTangent: "unable to determine if 2*77^(1/2)-1/77*abs(-51+m)*77^(1/2) is zero"
FAIL

[>
solve(2*77^(1/2)-1/77*abs(-51+m)*77^(1/2)=0,{m});

,
{
}
=
m~
205
{
}
=
m~
-103

lệnh

intersection

Cú pháp Chức năng
intersection(obj, l1, l2)

Tìm toạ độ giao điểm của hai
đường thẳng l1 và l2.
intersection(obj, l1, p1)

Tìm toạ độ giao điểm của đường
thẳng l1 và mặt phẳng P1.
intersection(obj, l1, S)

Tìm toạ độ giao điểm của đường
thẳng l1 và mặt cầu S.
intersection(obj, p1, p2)

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
p1 và p2.
intersection(obj, p1, p2, p3 ) Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt
phẳng p1, p2, p3.
Ví dụ
: Cho hai đường thẳng :
l
1
:
5,
4 1,

4.
x t
y t
z t
= +


= − −


= −

l
2
:
5,
4 1,
4.
x t
y t
z t
= +


= − −


= −


Cho mặt phẳng P : 2x + 4y – 2 = 0 và mặt cầu S : x
2
+ y
2
+ z
2
= 25.
Tìm toạ độ giao điểm của:
a)

l
1
và l
2
;
b)

l
1
và P;
c)

l
1
và S.

[>
line(l1,[2*t-3,3*t-2,-4*t+6],t),line(l2,[t+5,-4*t-1,t-4],t);

,

l1
l2

[>
intersection(gd1,l1,l2);


52

[>
plane(P,4*x+3*z-17=0,[x,y,z]),sphere(S,(x-3)^2+(y+2)^2+(z-
1)^2=25,[x,y,z]);

,
P
S

[>
assume( m <>-17);

[>
plane(P1,4*x+3*z+m=0,[x,y,z]);

P1

[>
IsTangent(P1,S,'cond');

IsTangent: "unable to determine if 5-1/5*abs(15+m) is zero"
FAIL

[>
solve(5-1/5*abs(15+m)=0,{m});

,
{
}
=
m~
10
{
}
=
m~
-40

1117
. Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
x
2
+ y
2
+ z
2
– 10x + 2y + 26z – 113 = 0
và song song với các đường thẳng
0
8
2
1

3
7
2
13
3
1
2
5
−
=
−
+
=
++
=
−
−
=
+
z
y
x
z
y
x
, .
ĐS. 4x + 6y + 5z – 103 = 0, 4x + 6y + 5z + 205 = 0.
[>
line(L1,[point(M1,-5,1,-13),[2,-3,2]]),line(L2,[point(M2,-7,-1,8),[3,-
2,0]]);

,
L1
L2

[>
sphere(S,x^2+y^2+z^2-10*x+2*y+26*z-113,[x,y,z]);

S

[>
plane(P,[L1, L2]);

P

[>
Equation(P);

=
+
+
+
79
4
x
6
y
5
z
0

[>
plane(Q,4*x+6*y+5*z+m=0,[x,y,z]);

Q


21

[>
coordinates(N);

[
]
,
1
0

Ở đây, (C1) là (C’) của đề bài.
412.
Viết phương trình của đường tròn đi qua điểm A(1; –1) và qua các
giao điểm của hai đường tròn
x
2
+ y
2
+ 2x – 2y – 23 = 0, x
2
+ y
2

– 6x + 12y – 35 = 0.
Write the equation of the circle which passes through the point A(1;
– 1) and through the points of intersection of the two circles
x
2
+ y
2
+ 2x – 2y – 23 = 0, x
2
+ y
2
– 6x + 12y – 35 = 0.
ĐS. x
2
+ y
2
+ 6x – 9y – 17 = 0.
[>
circle(C1,x^2+y^2+2*x-2*y-23=0,[x,y]),circle(C2,x^2+y^2-
6*x+12*y-35=0,[x,y]),point(A,1,-1);

,
,
C1
C2
A

[>
intersection(GIAODIEM,C1,C2,[M,N]);

[
]
,
M
N

[>
coordinates(M);









,
47
13
38
13

[>
coordinates(N);

[
]
,
-5

-2

[>
circle(C,[M,N,A],[x,y]);

C

[>
Equation(C);

=
−
+
+
−
x
2
17 y
2
6 x 9 y 0

4)
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

*
Loại 1
: Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C tại điểm P, ta
dùng lệnh

tangentpc(l, P, c );

22


l -
the name of the tangent line (tên tiếp tuyến ).
418
. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (x + 2)
2
+ (y – 3)
2
=25
tại điểm A(–5; 7)
Write the equation of the line tangent to the circle(x + 2)
2
+ (y – 3)
2
=25
at the point A(–5;7). (ĐS. 3x – 4y + 43= 0).
[>
point(A,-5,7),circle(C,(x+2)^2+(y-3)^2=25,[x,y]);

,
A
C

[>
tangentpc(l,A,C);

l

[>
Equation(l);

=
−
−
+
43
3
x
4
y
0


* Loại 2
: Tiếp tuyến với đường tròn đi qua một điểm cho trước.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C đi qua điểm P
cho trước
TangentLine( TÊN , P, C, [x, y] );
427
. Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn x
2
+ y
2
= 5 kẻ từ
điểm







−
3
5
3
5
;A .
From the point






−
3
5
3
5
;A , tangent lines are drawn to the circle
x
2
+ y
2
= 5. Find their equations. (ĐS. x – 2y – 5 = 0 và 2x – y – 5 = 0).

[>
point(A,5/3,-5/3),circle(C,x^2+y^2=5,[x,y]);

,
A
C

[>
TangentLine(Tieptuyen,A,C,[L1,L2]);

[
]
,
L1
L2

[>
TangentLine(Tieptuyen,A,C,[L1,L2]);

[
]
,
L1
L2


51

Ví dụ1
: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu x

2
+ y
2
+ z
2

= 49 tại điểm
M(6; – 3; – 2).
[>
sphere(S,x^2+y^2+z^2=49,[x,y,z]),point(M,6,-3,-2);

,
S
M

[>
TangentPlane(P,M,S);

P

[>
Equation(P,[x,y,z]);

=
−
+
+
49
6
x

3
y
2
z
0

Ví dụ 2
: Tìm phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(x – 3)
2
+ (y – 1)
2
+ ( z + 2)
2
= 24 tại điểm M
1
( – 1; 3; 0).
Find the equation of the tangent plane to the sphere
(x – 3)
2
+ (y – 1)
2
+ ( z + 2)
2
= 24 at the point M
1
( – 1; 3; 0).
( ĐS. 2x – y – z + 5 = 0 ).
[>
sphere(S,(x-3)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=24,[x,y,z]), point(M1,-1,3,0);

,
S
M1

[>
TangentPlane(P,M1,S);
P

[>
Equation(P,[x,y,z]);

=
+
−
−
10
4
x
2
y
2
z
0

* Loại 2 : Tiếp diện song song hoặc vuông góc với một mặt phẳng cho
trước
1116
. Viết phương trình của các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(x – 3)
2

+ (y+ 2)
2
+ ( z – 1)
2
= 25
và song song với mặt phẳng 4x + 3z – 17 = 0.
Write the equations of the tangent planes to the sphere
(x – 3)
2
+ (y+ 2)
2
+ ( z – 1)
2
= 25
which are parallel to the plane 4x + 3z – 17 = 0.
ĐS. 4x + 3z – 40 = 0, 4x + 3z + 10 = 0.

50


III. Phương tích của một điểm đối với mặt cầu.
Để tính phương tích của điểm P đối với mặt cầu S (The power of
point P with respect to sphere S ),
ta dùng lệnh :

Powerps(P, S);

Ví dụ
: Cho mặt cầu S : x
2

+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y + 6z – 25 = 0 và các điểm :
A(1; 2; 0), B(n; n – 3; – 4), C( – m; 2; 4)
a)

Tìm phương tích của điểm A đối với mặt cầu S;
b)

Tìm n để điểm B ở trong mặt cầu S;
c)

Chứng minh rằng điểm C luôn ở ngoài mặt cầu
∀
m
∈
R.

a [>
powerps(A,S);

-30

b) [>
point(B,n, n-3,-4);

B

[>
powerps(B,S);

−
−
+
12 12 n 2 n
2

[>
solve(-12-12*n+2*n^2<0,{n});

{ },
<
−
3 15 n
<
n
+
3 15

c) [>
powerps(C,S);

+
+
11 2 m m
2

Do m

2

+ 2m + 11 = (m + 1)
2

+ 10 > 0,
∀
m nên có ĐPCM
IV.
Tiếp diện của mặt cầu

* Loại 1: Tiếp diện tại một điểm thuộc mặt cầu

Để khai báo tiếp diện của mặt cầu S tại điểm P, ta nhập :

TangentPlane( tên tiếp diện, P, S);


23

[>
Equation(L1);

= − + −
5
3
1
3
x
2

3
y 0

[>
Equation(L2);

= − +
5
3
2
3
x
1
3
y 0

* Loại 3
.
tiếp tuyến của đường tròn song song hoặc vuông góc với một
đường thẳng cho trước
436
. Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn
x
2
+ y
2
+ 10x – 2y + 6 = 0,
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2x + y – 7 = 0.
Find the equations of the lines tangent to the circle
x

2
+ y
2
+ 10x – 2y + 6 = 0 and parallel to the line 2x + y – 7 = 0.
(ĐS. 2x + y – 1 = 0, 2x + y + 19 = 0).
[>
line(D,2*x+y+m=0,[x,y]),circle(C,x^2+y^2+10*x-2*y+6=0,[x,y]);

,
D
C

[>
AreTangent(D,C,'cond');

AreTangent: "hint: unable to determine if -19-18*m+m^2 is zero"
FAIL

[>
solve(m^2-18*m-19=0,{m});

,
{
}
=
m
19
{
}
=

m
-1

a)

Ở dòng lệnh 1, ta gọi đường thẳng song song với đường thẳng 2x
+ y – 7 = 0 có dạng D : 2x + y + m = 0 ( m  – 7).
b)

Ở dòng lệnh 2, ta dùng lệnh
AreTangent(D,C,'cond');
để tìm
điều kiện để D tiếp xúc với đường tròn C. Từ đó, ta tìm được m.

* Đường tròn nội tiếp tam giác
Để viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta thực hiện:
v
Bước 1: Khai báo tam giác ABC. Giả sử tam giác có tên là T.

24

v
Bước 2 : Dùng lệnh incircle(tên đường tròn , T); để khai báo
đường tròn.
v
Bước 3 : Dùng lệnh Equation(tên đường tròn) để viết phương
trình đường tròn .
* Có thể xem chi tiết đường tròn bằng lệnh detail
Ví dụ
: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABO, biết A(0; 1),

B(1; 0) và O(0; 0)
[>
point(A,0,1),point(B,1,0),point(O,0,0),triangle(T,[A,B,O]);

,
,
,
A
B
O
T

[>
incircle(noitiep,T);

noitiep

[>
Equation(noitiep);

enter name of the horizontal axis >
x;

enter name of the vertical axis >
y;

= + − − + − x
2
y
2

2 x
+ 2
2
2 y
+ 2
2
2
( ) + 2 2
2
1
2








− 1
2
+ 2
2
2
0

Để cho đáp số gọn lại, bạn sử dụng lệnh
factor(%);
như sau:
[>

factor(%);

= + − + − + + − x
2
y
2
2 x x 2 2 y y 2
3
2
2 0

Các phép biến đổi trong hình học phẳng
Ở phần trước, chúng ta đã xét phép đối xứng của một điểm qua
một đường thẳng, trong phần này ta xét tất cả các phép biến đổi trong
hình học phẳng.
1) Phép tònh tiến
geometry[translation]
- find the translation of a geometric object with
respect to a directed segment

Calling Sequence
translation(
Q
,
obj
,
AB
)
Parameters

49


a)[>
point(A,3,-2,-2),point(B,3,2,0),point(C,0,2,1),point(D,-1,1,2);

,
,
,
A
B
C
D

[>
Equation(sphere(S,[A,B,C,D],[x,y,z]));

= + + − − + − x
2
y
2
z
2
7
24
7
x
15
7
y

16
7
z 0

b) [>
plane(BCD,[B,C,D],[x,y,z]);

BCD

[>
Equation(sphere(S,[A,BCD],[x,y,z]));

=
+
+
+
−
+
+
x
2
y
2
z
2
3 6 x 4 y 4 z 0

c) [>
Equation(sphere(S,[A,B],[x,y,z]));

=
+
+
+
−
+
x
2
y
2
z
2
5 6 x 2 z 0

d) [>
line(BC,[B,C]);

BC

[>
R:=distance(D,BC);

:= R
1
10
14 10

[>
Equation(sphere(S,[D,R],[x,y,z]));

= + + + + − − x
2
y
2
z
2
23
5
2 x 2 y 4 z 0

Chú ý
: Trong câu d)
v
Ở dòng lệnh thứ nhất, ta khai báo BC là đường thẳng qua hai
điểm B và C.
v
Ở dòng lệnh thứ hai, ta gán R là khoảng cách từ điểm D đến
đường thẳng BC.





48



II) Lập phương trình mặt cầu thỏa điều kiện cho trước.
Maple cho phép lập phương trình mặt cầu thỏa một trong các điều kiện
sau:

Cú pháp Chức năng
sphere(S, [A, B, C, D], [x,
y, z] , 'centername'= m )
Khai báo S là mặt cầu đi qua bốn điểm
A, B, C, D có tâm m.
sphere(S, [A, B], [x, y, z] ,
'centername' = m)
Khai báo S là mặt cầu nhận AB làm
đường kính với tâm m.
sphere(S, [A, R], [x, y, z]) Khai báo S là mặt cầu tâm A, bán kính
R.
sphere(S, [A, P], [x, y, z]) Khai báo S là mặt cầu tâm A tiếp xúc
với mặt phẳng P.

Chú ý:
Sau khi khai báo S,
v
Để viết phương trình của S, ta dùng lệnh
Equation(S);

v
Để tìm toạ độ tâm m của S, ta dùng lệnh
coordinates(m);
v
Để tìm bán kính của S, ta dùng lệnh
radius(S);
v
Ta cũng có thể xem chi tiết về S bằng cách dùng lệnh
detail(S);

v
Nếu không cần để ý tới tâm m thì ta có thể bỏ

'
centername
'= m
khi khai báo.
v
Ta cũng có thể lồng lệnh Equation trong khi khai báo, chẳng hạn :
Equation(sphere(S, [A, B, C, D], [x, y, z] , 'centername'= m );
Khi đó, Maple sẽ viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
có tâm m.

Ví dụ
: Cho bốn điểm A(3; – 2; – 2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D( – 1; 1; 2).
Viết phương trình mặt cầu :
a)

Đi qua bốn điểm A, B, C, D;
b)

Tâm A và tiếp xúcvới mặt phẳng (BCD);
c)

Đường kính AB;
d)

Tâm D và tiếp xúc với đường thẳng BC.

25

Q - the name of the object to be created: Tên của đối tượng được tạo
qua phép tònh tiến.
obj - geometric object: Đối tượng hình học cần lấy qua phép tònh tiến
AB - directed segment: Hướng của đoạn thẳng AB, ta hiểu chính là
phép tònh tiến theo vectơ
AB
→
.
2) Phép quay
geometry[rotation]
- find the rotation of a geometric object with respect
to a given point

Calling Sequence
rotation(
Q
,
P
,
g
,
co
,
R
)
Parameters

Q -

the name of the object to be created

P -
geometric object

g -
the angle of rotation

co -
the direction of rotation, either
clockwise
or
counterclockwise


R -
(optional) the center of rotation

3) Phép vò tự:
geometry[dilatation]
- find the dilatation of a geometric object

geometry[expansion]
- find the expansion of a geometric object

geometry[homothety]
- find the homothety of a geometric object

geometry[stretch]
- find the stretch of a geometric object

Calling Sequence
dilatation(
Q
,
P
,
k
,
O
)
expansion(
Q
,
P
,
k
,
O
)
homothety(
Q
,
P
,
k
,
O
)
stretch(

Q
,
P
,
k
,
O
)
Parameters
Q - the name of the object to be created
P - geometric object