Ôn thi chuyên đề Hàm Số tính đơn điệu của hàm số

1
HÀM SỐ
☯
☯☯
☯1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ >
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác định.
B3: Sắp xếp các điểm x

i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
3 2 2
4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4
e. y = x( 3), (x >
0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y =
x +1
a x x x x x
x d
− − + + + −
− +

Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5
c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1

a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+

Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
2
2
y x x
= −
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a. Chứng minh hàm số
2
9
y x
= −
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
b. Hàm số
4
y x

x
= +
ngh
ị
c bi
ế
n trên m
ỗ
i n
ử
a kho
ả
ng [-2; 0) và (0;2]
Ví d
ụ
5. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a.

Hàm s
ố

3
2 1
x
y
x

−
=
+
ngh
ị
ch bi
ế
n trên m
ỗ
i kho
ả
ng xác
đị
nh c
ủ
a nó.
b.

Hàm s
ố

2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+

đồ
ng bi
ế
n trên m
ỗ
i kho
ả
ng xác
đị
nh c
ủ
a nó.
c.

Hàm s
ố

2
8
y x x
= − + +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R.

Dạng 2.
Tìm giá tr

ị
c
ủ
a tham s
ố

để
m
ộ
t hàm s
ố
cho tr
ướ
c
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n trên kho
ả
ng xác
đị
nh cho
tr
ướ
c
Ph

ươ
ng pháp:
+ S
ử
d
ụ
ng qui t
ắ
c xét tính
đơ
n
đ
iêu c
ủ
a hàm s
ố
.
2
+ S
ử
d
ụ
ng
đị
nh lí d
ấ
u c
ủ
a tam th
ứ

c b
ậ
c hai
Ví d
ụ
6.
Tìm giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
a
để
hàm s
ố

3 2
1
( ) ax 4 3
3
f x x x
= + + +

đồ
ng bi
ế
n trên R.
Ví d
ụ

7.
Tìm m
để
hàm s
ố

2 2
5 6
( )
3
x x m
f x
x
+ + +
=
+

đồ
ng bi
ế
n trên kho
ả
ng
(1; )
+∞

Ví d
ụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2
1
m

y x
x
= + +
−
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x
= − + − + + đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số
4
mx
y
x m
+
=
+

a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )
+∞

c. Tìm m để hàm số giảm trên

( ;1)
−∞

Ví dụ 11
Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
= − + + + +
. Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R
b. Tăng trên khoảng
(2; )
+∞

Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)
y x a a x a a
= − − − + + − −
đồng biến trên
[2:+ )
∞

Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì

( ) ( ) ()
f a f x f
≤ ≤

+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
≥ ≥

Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x <
b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
π
− < + < + ∞
≠

Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;

2
π
 


 

b.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈

Ví d
ụ
3
Cho hàm s
ố

( ) t anx - x
f x
=

a.Ch
ứ
ng minh hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên n
ử
a kho
ả
ng
0;
2
π
 


 

b. Ch
ứ
ng minh
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
π

> + ∀ ∈

Ví d
ụ
3
Cho hàm s
ố

4
( ) t anx, x [0; ]
4
f x x
π
π
= − ∈


3
a.

Xét chi
ề
u bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố
trên
[0; ]

4
π

b.

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
4
tan , [0; ]
4
x x x
π
π
≤ ∀ ∈






 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1
. Tìm c
ự
c tr
ị
c

ủ
a hàm s
ố

Ph
ươ
ng pháp:
D
ự
a vào 2 qui t
ắ
c
để
tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
y = f(x)
Qui t
ắ
c I.
B1: Tìm t
ậ
p xác
đị
nh.

B2: Tính f’(x). Tìm các
đ
i
ể
m t
ạ
i
đ
ó f’(x) = 0 ho
ặ
c
f’(x) không xác
đị
nh.
B3. L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên.
B4: T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên suy ra các c
ự
c tr

ị

Qui t
ắ
c II.
B1: Tìm t
ậ
p xác
đị
nh.
B2: Tính f’(x). Gi
ả
i ph
ươ
ng trình f’(x) = 0 và kí hi
ệ
u
là x
i
là các nghi
ệ
m c
ủ
a nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
B4: D
ự
a vào d

ấ
u c
ủ
a f ” (x
i
) suy ra c
ự
c tr
ị

( f ”(x
i
) > 0 thì hàm s
ố
có c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
i
; ( f ”(x
i
) < 0
thì hàm s
ố
có c
ự
c

đạ
i t
ạ
i x
i
)
* Chú ý: Qui t
ắ
c 2 th
ườ
ng dùng v
ớ
i hàm s
ố
l
ượ
ng giác ho
ặ
c vi
ệ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình f’(x) = 0 ph
ứ
c t
ạ
p.
Ví d

ụ
1. Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

3 2
2 3 36 10
y x x x
= + − −

Qui t
ắ
c I.
TX
Đ
: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x

x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −


+
∞
∞∞
∞
-
∞
∞∞
∞
- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3
+
∞

∞∞
∞
-
∞
∞∞
∞
y
y'
x

V
ậ
y x = -3 là
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i và y
cđ
=71
x= 2 là
đ
i
ể
m c
ự
c ti

ể
u và y
ct
= - 54
Qui t
ắ
c II
TX
Đ
: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −


y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x = -3 và
y
cđ
=71

Bài1. Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x
b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7
d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2

x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +

Bài 3. Tìm c
ực trị các hàm số
4
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y =
f. y = x 3 - x

10 - x 6
a
d
x
+
−

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈
y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a)
= 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG

2
' 3 6 1
y x mx m
= − + −
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1
m m m
⇔ − + − = ⇔ =

Với m = 1 ta được hàm số: y = x
3
– 3x
2
+ 2 có :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=

= −
⇒
= ⇔

=


tại x = 2 hàm số đạt giá trị
cực tiểu
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác định m để hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
y mx x x= + + +
Bài 2. Tìm m để hàm số
3 2
2
ă r˜ ă
( ) 5 c cùc t t¹i x = 1. Khi ® hµm sè
că C§ hay CT
3
y x mx m x
= − + − +
Bài 3. Tìm m để hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+

Bài 4. Tìm m để hàm số
3 2 2

2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
y x mx m x
= − + −
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) ax
f x x bx c
= + + +
đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và
đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Hướng dẫn:
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
= − ∀ ≠
+

+ Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ă hµm sè lu

Ơ ă r˜
«n ®ång bi n . Hµm sè kh«ng c cùc t
.
q
≤ ∀ ≠

+ Nếu q > 0 thì:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q
f x
x
x q

= − −
+ + −
= = ⇔

+

= − +


Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào.

Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’
Phương pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý:
• Hàm số
3 2
ax ( 0)
y bx cx d a
= + + + ≠
có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân bi
ệt.
5
•
Cực trị của hàm phân thức
( )
( )
p x
y
Q x
= . Giả sử x
0
là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x
0
) có thể được
tính bằng hai cách: hoặc
0 0
0 0
0 0

( ) '( )
( ) hoÆc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x
= =

Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
2
3 2
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =
3 2
mx m
a x mx m x b
x
+ − −
+ + + −
+

Hướng dẫn.
a. TXĐ: R

2
' 2 6
y x mx m
= + + +
.
Để hàm số có cực trị thì phương trình:

2
2 6 0 că 2 nghiÖm ph©n biÖt
x mx m+ + + =
2
3
' 6 0
2
m
m m
m
>

∆ = − − > ⇔

< −


b. TXĐ:
{
}
\ 2
−



2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'

( 2) ( 2)
µm sè că cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ă hai
nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m
m m
+ + − + − − + + +
= =
+ +
= ⇔ + + + =
∆ > − − >
 
⇔ ⇔ ⇔ <
 
− + + ≠ ≠
 

Bài 1. Tìm m để hàm số
3 2
r˜ ă
3 2. Víi gi¸ t nµo cña m th× hµm sè c
C§, CT?
y x mx= − +

Bài 2. Tìm m để hàm sô
2 3
( 1) 1
x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
2  12 13
y x x
= + − −
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ
thị cách đều trục tung.
Bài 4. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
= − + + −
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 5. Cho hàm
2
1
x mx
y

x
+
=
−
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 6. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.

Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước.
Phương pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Ví dụ .
6
Bài1. Tìm c
ực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x
b. y = x 8 432

. y = x 3 24 7
d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +

− +

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y =
f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈
y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]

Bài 5. Xác định m để hàm số
3 2
3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
y mx x x= + + +
Bài 6. Tìm m để hàm số
3 2
2
ă r˜ ă
( ) 5 c cùc t t¹i x = 1. Khi ® hµm sè
că C§ hay CT
3
y x mx m x= − + − +
Bài 7. Tìm m để hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+

Bài 8. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1
y x mx m x= − + −
Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2

( ) ax
f x x bx c
= + + +
đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và
đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( )
1
q
f x xp
x
= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2

Bài 11. Tìm m để hàm số
3 2
r˜ ă
3 2. Víi gi¸ t nµo cña m th× hµm sè c
C§, CT?
y x mx= − +
Bài 12. Tìm m để hàm sô
2 3
( 1) 1
x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực đại và cực tiểu.

Bài 13. Cho hàm số
3 2
2  12 13
y x x
= + − −
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của
đồ thị cách đều trục tung.
Bài 14. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx
= − + + −
. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m

y
x
+ − −
=
+
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.






 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
7
•
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
(
)
;
a b
:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên

Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm các giá trò x
i

[
]
;
a b
∈
(i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2: Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b

B3: GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )

n
f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
y x
x
= +
trên khoảng
(0; )
+∞

Hướng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )
+∞

2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − =
⇒
= ⇔ − =
⇒

= ±
.
Dễ thấy
1 (0; )
x
= − ∉ +∞

Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x
= + + −
trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2
[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0
3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0

16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y
∈
∈
= −

= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒

= −

− −
− = − = − − = = −
= −
−
=

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3]

d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4;
3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 +
trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a
∞
1 3
= trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2
π π

 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
•
y = y
0
là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn:
0 0
lim ( ) ,hc lim ( )

x x
f x y f x y
→+∞ →−∞
= =

GTLN
-
+
y
y'
b
x
0a
x
GTNN
+
-
y
y'
b
x
0
a
x
+
∞
∞∞
∞
+
∞

∞∞
∞
0
2
+
-
y
y'
+
∞
∞∞
∞
1
0
x
8
•
x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = +∞ = −∞ = −∞

•
Đường thẳng y = ax + b (
0

a
≠
) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0
x x
f x f x
→+∞ →−∞
− −

II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
=

Phương pháp
•
Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.
•
Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng
cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )
x
ε

với
lim ( ) 0
x
x
ε
→∞
=
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2
2x- 1 x 7 x + 2
. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x
− −
− −

Hướng dẫn
a. Ta thấy
2 2
2 1 2 1
lim ; lim
2 2
x x
x x
x x
− +

→− →−
− −
= −∞ = +∞
+ +
nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì
1
2
2 1
lim lim 2
2
2
1
x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7

lim
3
x
x x
x
−
→
− −
= −∞
−
. Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
1
2
3
y x
x
= + −
−
. Ta thấy
1
lim[y - (x + 2)]= lim 0
3
x x
x
→∞ →∞
−
=
−
Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số.

c. Ta thấy
2
1
2
lim .
1
x
x
x
+
→
+
= = +∞
−
Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận đứng.

+
2
2
2
1 2
2
lim 0
1
1
1
x
x
x x
x
x
→+∞
+
+
= =
−
−
. Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.



Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ
2
ax ( 0)
y bx c a
= + + >

Phương pháp
Ta phân tích
2
ax ( )
2
b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +

Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi đó
( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
V
ới
lim ( ) 0

x
x
ε
→−∞
=
khi đó
( )
2
b
y a x
a
= − +
có tiệm cận xiên bên tr ái
VÝ dô
9
T×m tiÖm cËn cña hµm sè:
2
9 18 20
y x x
= − +

H−íng dÉn
2
9( 2) 6
y x
= − +

10
Các tính giới hạn vô cực của hàm số
( )

( )
f x
y
g x
=
lim ( )
0
f x
x x

lim ( )
0
g x
x x

Dấu của g(x)
( )
lim
( )
0
f x
x x
g x


L


Tuỳ ý 0
L > 0 0

+ +


- -


L < 0 0
- +


+ -



Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y =
d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1
e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =
x 3x + 1

Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau:
2 2 2
2 2 2 2

2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x 3
x x x
a
x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+

3 2
2 2
1 2x
g. y = x- 3 +
h. y =
2(x- 1) 1
x
x

+

Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2

2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1
1
.
4
x
a
x
x
c y
x
+

+
=




Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
3
2( 2) 1
x
y

x m x m

=
+ + + +
có đúng 2 tiệm cận đứng.
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
2 2
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +
+

Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2
x m x m
y
x
+ +
=

tạo với hai trục
toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2

(3 2) 3 3
1
x x m m
y
x
+ +
=

(1)
a.

Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm
(4; 3)
A
b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol
2
y x
=
tại hai điểm phân biệt.
2
-2
-4
-5
5
2
-2
-4
-5
5
2

-2
-4
-5
5
11


4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1: Khảo sát và vẽ hàm số
3 2
(a 0)
y ax bx cx d
= + + +

Phơng pháp
1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên của hàm số
a. Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đờng tiệm cận.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
3 2
3 1
y x x
= +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phơng trình:
3 2
3 1
x x m
+ =

Hớng dẫn
a.
1. TXĐ: D
=


2. Sự biến thiên của hàm số
a. Giới hạn tại vô cực
3 3
2 3
3 3
2 3
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x

+ +

+ = + = +
+ = + =

c. Bảng biến thiên
2 2
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x
=

= +

= + =


=


Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ;0) và (2; + )


Và nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; và y
CĐ

=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y
CT
= y(1) = -1
3. Đồ thị
+ Giao với Oy: cho x = 0
0
y
=
. Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1)
+
'' 0 6 6 0 1
y x x
= + = =
. Điểm A (1; 1)
+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng.
b.
Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của 2 đồ thị
3 2
3 1
y x x
= +
và y =m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:
m > 3: Phơng trình có 1 nghiệm.

3 phơng trình c 2 nghiệm
-1< m < 3: Phơng trình c 3 nghiệm.
m = -1: Phơng trình c 2 nghiệm
m < -1: Phơng trình c 1nghiệm

m
=






Các bài toán về hàm bậc ba
Bài 1(TNTHPT 2008)
Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
= +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
3
-



+



-1

+
0

0
2
0
+



-



y
y'
x
2
-2
-5
5
12
b. Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1
x x m
+ =


Bài 2 (TN THPT- lần 2 2008)
Cho hàm số y = x
3
- 3x

2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đ cho.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0
x x m
=
có 3 nghiệm phân biệt.

Bi 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hm s y=
3
3 2
x x
+
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .

Bi 4 (TNTHPT - 2006)
Cho hm s y=
3 2
3
x x
+ cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2
3

x x
+ -m=0 .

Bi 5 (TNTHPT 2004- PB)
Cho hm s y=
3 2
6 9
x x x
+
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0 .
c/ Vi giỏ tr no ca m thỡ ng thng y=x+m
2
-m i qua trung im ca on thng ni cc i vo
cc tiu .
Bi 6 (TNTHPT 2004 - KPB)
Cho hm s y=
3 2 3
3 4
x mx m
+ .
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .

Bài 7 (ĐH- A- 2002)
Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )
y x mx m x m m

= + + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1
b. Tìm k để phơng trình:
3 2 3 2
3 3 0
x x k k
+ + =
có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phơng trình đờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Bài 9 (ĐH-B- 2007)
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1
y x x m x m
= + +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)
Cho hàm số y = x

3
3mx
2
+ 9x + 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
b. Tìm m để nghiệm của phơng trình y= 0 thuộc đờng thẳng y = x+ 1





Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4

13
Bài 3
Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1
y x m x m x
= + +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)
Cho hàm số

3
3 2
y x x
= +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đờng thẳng d cắt (C ) tại 3
điểm phần biệt. (Gợi ý đờng thẳng d qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 7
Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Tìm m để hàm số đ cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =

3 2 2
2 2
x mx m x
+

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
14
Hàm bậc bốn trùng phơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng phơng
Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho
0
a




Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu
2
' 0 2 (2 ) 0
y x ax b
= + =
có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a
<

Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.


Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Ví dụ 1 (TNTHPT-2008)
Cho hàm số
4 2
2
y x x
=
a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b.

Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1
y x mx m x
= + + + +

a.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0
b.

Với giá trị nào của m hàm số có 3 cực trị

15
Bài tập hàm số trùng phơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c.
y = x 6 1
1 5
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +
2 2
a x x x
d x x
+ + +
=
1

Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
= +

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải phơng trình
4 2
2 1 0
x x

+ =

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1
x x
+

c. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
4 2
2 1 0
x x m
+ =

Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)
Cho hàm số
4 2
m
2 (C )
y x mx= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Hy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
5 4
y x x
= +

2. Xác định m để phơng trình

4 2 2
5 3 0
x x m
+ =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x
=

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2
y k x
=
Bài 7
Cho hàm số
4 2 3 2
2
y x mx m m
= +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

b. Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đ cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002)
Cho hàm số
4 2
2 2
y x x m
= +
(C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
16
HỌ ĐƯỜNG CONG

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong ),(:)( mxfyC
m
= ( m là tham số )
Biện luận theo m số đường cong của họ )(
m
C đi qua điểm );(
000

yxM cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Ta có :
Họ đường cong )(
m
C đi qua điểm );(
000
yxM
⇔
),(
00
mxfy = (1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

Cụ thể:
• Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua M
0

• Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M
0

• Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M
0

Trong trường hợp này ta nói rằng M
0
là điểm cố đònh của họ đường cong )(

m
C

D¹ng 1:
TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho họ đường cong ),(:)( mxfyC
m
= ( m là tham số )
Tìm điểm cố đònh của họ đường cong (C
m
)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1: Gọi );(
000
yxM là điểm cố đònh (nếu có) mà họ (C
m
) đi qua. Khi đó phương trình:
),(
00
mxfy = nghiệm đúng
∀
m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:
0
=
+
BAm

m
∀

Dạng 2:
0
2
=++ CBmAm

m
∀

Áp dụng đònh lý:
0
=
+
BAm



=
=
⇔∀
0
0
B
A
m
(2)






=
=
=
⇔∀=++
0
0
0
0
2
C
B
A
mCBmAm
(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
);(
00
yx



Bµi tËp
Bµi 1. Cho hä (C
m
)

3 2 2
3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)
y x m x m m x m m
= − + + + + − +
. CMR: Khi m thay ®ỉi th× hä ®−êng
cong lu«n qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
Bµi 2. Cho hä ®å thÞ (C
m
):
1
mx
x m
+
=
+
. T×m c¸c ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cđa hµm sè lu«n ®i qua víi mäi
1
m
≠ ±

Bµi 3. Cho hä (C
m
) cã ph−¬ng tr×nh:
2
1
1
x mx m
y
x
+ − −

=
+
. Chøng minh r»ng (C
m
) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè
®Þnh.
Bµi 4. Cho hµm sè (C
m
):
3
3 2
y x mx m
= − +

a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1.
17
b. Chứng minh rằng họ đờng cong luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho hàm số:
1
, m 1
mx
y
x m

=

. Gọi (H
m
) là đồ thị của hàm số đ cho.
a. Chứng minh rằng với mọi

1
m

, họ đờng cong luôn qua 2 điểm cố định.
b. Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 6. Cho hàm số:
3 2
m
( 2) 2( 2) ( 3) 2 1 (C )
y m x m x m x m
= + + + + +
. Chứng minh rằng họ đồ thị luôn qua
ba điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đờng thẳng.

Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua
Phơng pháp:
B1: Giả sử M(x
0
; y
0
) là điểm mà họ đờng cong không thể đi qua.
B2: Khi có phơng trình:
),(
00
mxfy
=
vô nghiệm với m từ đó tìm đợc (x
0
; y
0

)
B3: Kết luận về điểm mà họ đờng cong không thể đi qua.

Bài 1. Cho hàm số
2 2
m
( 2)( 2 1) (C )
y x x mx m
= +
. Tìm các điểm mà (C
m
) không thể đi qua.
Bài 2. Cho hàm số
2
(3 1)
m x m m
y
x m
+ +
=
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b. Tìm các điểm trên đờng thẳng x = 1, sao cho không thể có giá trị nào của m để đồ thị hàm số đi qua.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số
3 2
m
2 3( 3) 18 8 (C )
y x m x mx
= + +

. Chứng minh rằng trên đờng cong y = x
2
có
hai điểm mà (C
m
) không đi qua với mọ m.
18
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1. Bình phương 2 vế của phương trình

a)
Phương pháp


Thông th
ườ
ng n
ế
u ta g
ặ
p ph
ươ
ng trình d
ạ
ng :
A B C D
+ = +
, ta th
ườ

ng bình ph
ươ
ng 2 v
ế
,
đ
i
ề
u
đ
ó
đ
ôi khi l
ạ
i g
ặ
p khó kh
ă
n hãy gi
ả
i ví d
ụ
sau


(
)
3 3 3 3
3 3
3 .

A B C A B A B A B C
+ = ⇒ + + + =

và ta sử dụng phép thế :
3 3
A B C
+ =
ta được phương trình :
3
3 . .
A B A B C C
+ + =


b) Ví dụ
Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
3 3 1 2 2 2
x x x x
+ + + = + +

Giải: Đk
0
x
≥

Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
không âm c
ủ
a ph
ươ
ng trình ta
đượ
c:
(
)
(
)
(
)
1 3 3 1 2 2 1
x x x x x
+ + + = + +
,
để
gi
ả
i
ph
ươ
ng trình này d
ĩ
nhiên là không khó nh

ư
ng h
ơ
i ph
ứ
c t
ạ
p m
ộ
t chút .
Ph
ươ
ng trình gi
ả
i s
ẽ
r
ấ
t
đơ
n gi
ả
n n
ế
u ta chuy
ể
n v
ế
ph
ươ

ng trình :
3 1 2 2 4 3
x x x x
+ − + = − +

Bình ph
ươ
ng hai v
ế
ta có :
2 2
6 8 2 4 12 1
x x x x x
+ + = + ⇔ =

Thử lại x=1 thỏa

 Nhận xét :
N
ế
u ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
(
)
(

)
f x g x h x k x
+ = +

Mà có :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x g x k x
+ = +
, thì ta bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng :
(
)
(
)

(
)
(
)
f x h x k x g x
− = −
sau
đ
ó bình ph
ươ
ng ,gi
ả
i ph
ươ
ng trình h
ệ
qu
ả

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
3
2
1
1 1 3
3

x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+

Giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
1
x
≥ −

Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
ph
ươ
ng trình ?
N
ế
u chuy
ể
n v

ế
thì chuy
ể
n nh
ư
th
ế
nào?
Ta có nh
ậ
n xét :
3
2
1
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x
+
+ = − + +
+
, t
ừ
nh
ậ
n xét này ta có l
ờ
i gi
ả

i nh
ư
sau :
3
2
1
(2) 3 1 1
3
x
x x x x
x
+
⇔ − + = − + − +
+

Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
ta
đượ
c:
3
2 2
1 3
1
1 2 2 0
3
1 3
x

x
x x x x
x
x

= −
+
= − − ⇔ − − = ⇔

+
= +



Th
ử
l
ạ
i :
1 3, 1 3
x x= − = +
l nghi
ệ
m
Qua l
ờ
i gi
ả
i trên ta có nh
ậ

n xét : N
ế
u ph
ươ
ng trình :
(
)
(
)
(
)
(
)
f x g x h x k x
+ = +

Mà có :
(
)
(
)
(
)
(
)
. .
f x h x k x g x
=
thì ta bi
ế

n
đổ
i
(
)
(
)
(
)
(
)
f x h x k x g x
− = −


2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung
a) Phương pháp
M
ộ
t s
ố
ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
ta có th
ể
nh
ẩ

m
đượ
c nghi
ệ
m
0
x
nh
ư
v
ậ
y ph
ươ
ng trình luôn
đư
a v
ề

đượ
c
d
ạ
ng tích
(
)
(
)
0
0
x x A x

− =
ta có th
ể
gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
0
A x
=
ho
ặ
c ch
ứ
ng minh
(
)
0
A x
=
vô nghi
ệ
m ,
chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía
(
)
0

A x
=
vô nghiệm


19
b) Ví dụ
Bài 1 .
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
(
)
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4
x x x x x x x
− + − − = − − − − +

Giải:

Ta nh
ậ
n th
ấ
y :
(
)
(

)
(
)
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2
x x x x x
− + − − − = − −
v
(
)
(
)
(
)
2 2
2 3 4 3 2
x x x x
− − − + = −

Ta có th
ể
tr
ụ
c c
ă
n th
ứ
c 2 v
ế
:

( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
=
− + − +
− + + − +

D
ể
dàng nh
ậ
n th
ấ
y x=2 là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình .
Bài 2.

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau
(OLYMPIC 30/4 đề nghị)
:
2 2
12 5 3 5
x x x
+ + = + +

Giải: Để
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m thì :
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x
+ − + = − ≥ ⇔ ≥

Ta nh
ậ
n th
ấ
y : x=2 là nghi

ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình , nh
ư
v
ậ
y ph
ươ
ng trình có th
ể
phân tích v
ề
d
ạ
ng
(
)
(
)
2 0
x A x
− =
,
để
th
ự
c hi

ệ
n
đượ
c
đ
i
ề
u
đ
ó ta ph
ả
i nhóm , tách nh
ư
sau :
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x

x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 
+ + + +
 

D
ễ
dàng ch
ứ
ng minh
đượ
c :
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
− − < ∀ >
+ + + +

Bài 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 3
3
1 1
x x x
− + = −

Gi
ả
i :
Đ
k
3
2
x ≥

Nh
ậ
n th
ấ
y x=3 là nghi
ệ
m c
ủ

a ph
ươ
ng trình , nên ta bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình
( )
( )
( )
( )
2
2 33
2 3
2 2
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
 

− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =
 
− +
− + − +
 
 

Ta ch
ứ
ng minh :
( )
(
)
2
2
2 2 2
3 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2

3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +

V
ậ
y pt có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x=3
2.2. Đưa về “hệ tạm “
a) Phương pháp

N
ế
u ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
có d
ạ
ng

A B C

+ =
, mà :
A B C
α
− =

ở
dây C có th
ể
là hàng s
ố
,có th
ể
là bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a
x
. Ta có th
ể
gi
ả
i nh
ư
sau :

A B

C A B
A B
α
−
=
⇒
− =
−
, khi
đĩ
ta có h
ệ
:
2
A B C
A C
A B
α
α

+ =

⇒
= +

− =



b) Ví dụ

Bài 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2 2
2 9 2 1 4
x x x x x
+ + + − + = +

Giải:
Ta th
ấ
y :
(
)
(
)
(
)
2 2
2 9 2 1 2 4
x x x x x
+ + − − + = +

4
x
= −
không ph

ả
i là nghi
ệ
m
Xét
4
x
≠ −

Tr
ụ
c c
ă
n th
ứ
c ta có :
2 2
2 2
2 8
4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
x
x x x x x
x x x x
+
= +
⇒
+ + − − + =
+ + − − +

20
V
ậ
y ta có h
ệ
:
2 2
2
2 2
0
2 9 2 1 2
2 2 9 6
8
2 9 2 1 4
7
x
x x x x
x x x
x
x x x x x
=


+ + − − + =


⇒ + + = + ⇔


=

+ + + − + = +




Th
ử
l
ạ
i th
ỏ
a; v
ậ
y ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m : x=0 v x=
8
7


Bài 5.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 2
2 1 1 3

x x x x x
+ + + − + =

Ta th
ấ
y :
(
)
(
)
2 2 2
2 1 1 2
x x x x x x
+ + − − + = +
, nh
ư
v
ậ
y không th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n trên.
Ta có th
ể
chia c

ả
hai v
ế
cho x và
đặ
t
1
t
x
=
thì bài toán tr
ở
nên
đơ
n gi
ả
n h
ơ
n
Bài tập đề nghị
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
( )
2 2
3 1 3 1
x x x x
+ + = + +

4 3 10 3 2
x x
− − = −

(HSG Toàn Quốc
2002)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 5 2 10
x x x x x
− − = + − −

2
3
4 1 2 3
x x x
+ = − + −


2 3
3
1 3 2 3 2
x x x

− + − = −

2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
− + − − =

(OLYMPIC 30/4-2007)
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2
x x x x x x x
− + − − = + + + − +

2 2
2 16 18 1 2 4
x x x x
+ + + − = +

2 2
15 3 2 8
x x x
+ = − + +



3. Phương trình biến đổi về tích
 Sử dụng đẳng thức
(
)

(
)
1 1 1 0
u v uv u v
+ = + ⇔ − − =

(
)
(
)
0
au bv ab vu u b v a
+ = + ⇔ − − =

2 2
A B
=

Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2
3
3 3
1 2 1 3 2
x x x x
+ + + = + + +

Giải:

( )( )
3 3
0
1 1 2 1 0
1
x
pt x x
x
=

⇔ + − + − = ⇔

= −


Bi 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 2
3 3
3 3
1
x x x x x
+ + = + +

Giải:
+
0
x
=
, không ph
ả
i là nghi
ệ
m
+
0
x
≠
, ta chia hai v
ế
cho x:
( )
3 3 3
3 3
1 1
1 1 1 1 0 1
x x
x x x x
x x
 
+ +
+ = + + ⇔ − − = ⇔ =
 

 

Bài 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
3 2 1 2 4 3
x x x x x x
+ + + = + + +

Gi
ả
i:
: 1
dk x
≥ −

pt
( )( )
1
3 2 1 1 0
0
x
x x x
x
=


⇔ + − + − = ⇔

=


Bài 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+

Giải:
Đ
k:
0
x
≥

Chia c
ả
hai v

ế
cho
3
x
+
:
2
4 4 4
1 2 1 0 1
3 3 3
x x x
x
x x x
 
+ = ⇔ − = ⇔ =
 
+ + +
 

 Dùng hằng đẳng thức
21
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d

ạ
ng :
k k
A B
=

Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
3 3
x x x
− = +

Gi
ả
i:
Đ
k:
0 3
x≤ ≤
khi
đ
ó pt
đ
cho t
ươ
ng

đươ
ng
:
3 2
3 3 0
x x x
+ + − =
3
3
1 10 10 1
3 3 3 3
x x
−
 
⇔ + = ⇔ =
 
 

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2
2 3 9 4
x x x
+ = − −

Giải:

Đk:
3
x
≥ −

ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng :
( )
2
2
1
3 1 3
1 3 9
5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
x
x x
=


+ + =


+ + = ⇔ ⇔

− −

=
+ + = −





Bài 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
( ) ( )
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2
x x x x x+ + = + +

Gi
ả
i : pttt
(

)
3
3 3
2 3 0 1
x x x
⇔ + − = ⇔ =


II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
 Đố
i v
ớ
i nhi
ề
u ph
ươ
ng trình vô vô t
ỉ
,
để
gi
ả
i chúng ta có th
ể

đặ
t
(
)

t f x
=
và chú ý
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
t
n
ế
u ph
ươ
ng trình ban
đầ
u tr
ở
thành ph
ươ
ng trình ch
ứ
a m
ộ
t bi
ế
n
t

quan tr
ọ
ng h
ơ
n ta có th
ể
gi
ả
i
đượ
c
ph
ươ
ng trình
đ
ó theo
t
thì vi
ệ
c
đặ
t ph
ụ
xem nh
ư
“hoàn toàn ” .Nói chung nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình mà có th

ể

đặ
t hoàn toàn
(
)
t f x
=
th
ườ
ng là nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình d
ễ
.
Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 2
1 1 2
x x x x
− − + + − =

Điều kiện
:

1
x
≥

Nh
ậ
n xét.
2 2
1. 1 1
x x x x
− − + − =

Đặ
t
2
1
t x x
= − −
thì ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
1
2 1
t t
t
+ = ⇔ =

Thay vào tìm

đượ
c
1
x
=

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
2 6 1 4 5
x x x
− − = +

Giải
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
4
5
x
≥ −

Đặ

t
4 5( 0)
t x t
= + ≥
thì
2
5
4
t
x
−
=
. Thay vào ta có ph
ươ
ng trình sau:
4 2
2 4 2
10 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
t t
t t t t t
− +
− − − = ⇔ − − + =

2 2
( 2 7)( 2 11) 0
t t t t
⇔ + − − − =

Ta tìm
đượ
c b
ố
n nghi
ệ
m là:
1,2 3,4
1 2 2; 1 2 3
t t= − ± = ±

Do
0
t
≥
nên ch
ỉ
nh
ậ
n các gái tr
ị

1 3
1 2 2, 1 2 3
t t= − + = +

T
ừ

đ

ó tìm
đượ
c các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình l:
1 2 2 3
vaø x x= − = +

Cách khác: Ta có th
ể
bình ph
ươ
ng hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ

n
2
2 6 1 0
x x
− − ≥

Ta
đượ
c:
2 2 2
( 3) ( 1) 0
x x x
− − − =
, t
ừ

đ
ó ta tìm
đượ
c nghi
ệ
m t
ươ
ng
ứ
ng.
Đơ
n gi
ả
n nh

ấ
t là ta
đặ
t :
2 3 4 5
y x
− = +
và
đư
a v
ề
h
ệ

đố
i x
ứ
ng (
Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)

22
Bài 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:
5 1 6
x x
+ + − =

Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1 6
x
≤ ≤

Đặ
t
1( 0)
y x y
= − ≥
thì ph
ươ
ng trình tr
ở
thnh:
2 4 2
5 5 10 20 0
y y y y y
+ + = ⇔ − − + =
( v
ớ
i
5)
y ≤

2 2
( 4)( 5) 0
y y y y
⇔ + − − − =
1 21 1 17
,
2 2
(loaïi)
y y
+ − +
⇔ = =

T
ừ

đ
ó ta tìm
đượ
c các giá tr
ị
c
ủ
a
11 17
2
x
−
=

Bài 4

.
(THTT 3-2005)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
( )
(
)
2
2004 1 1
x x x
= + − −

Giải:

đ
k
0 1
x
≤ ≤

Đặ
t
1
y x
= −
pttt
(

)
(
)
2
2
2 1 1002 0 1 0
y y y y x
⇔ − + − = ⇔ = ⇔ =

Bài 5.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2
1
2 3 1
x x x x
x
+ − = +

Giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1 0

x
− ≤ <

Chia c
ả
hai v
ế
cho x ta nh
ậ
n
đượ
c:
1 1
2 3x x
x x
+ − = +

Đặ
t
1
t x
x
= −
, ta gi
ả
i
đượ
c.
Bài 6.
Gi

ả
i ph
ươ
ng trình :
2 4 2
3
2 1
x x x x
+ − = +

Gi
ả
i:
0
x
=
không ph
ả
i là nghi
ệ
m , Chia c
ả
hai v
ế
cho x ta
đượ
c:
3
1 1
2

x x
x x
 
− + − =
 
 

Đặ
t t=
3
1
x
x
−
, Ta có :
3
2 0
t t
+ − = ⇔
1 5
1
2
t x
±
= ⇔ =


Bài tập đề nghị
Giải các phương trình sau
2 2

15 2 5 2 15 11
x x x x
− − = − +

2
( 5)(2 ) 3 3
x x x x
+ − = +

2
(1 )(2 ) 1 2 2
x x x x
+ − = + −

2 2
17 17 9
x x x x
+ − + − =

2
3 2 1 4 9 2 3 5 2
x x x x x
− + − = − + − +


2 2
11 31
x x
+ + =

2 2 2
2 (1 ) 3 1 (1 ) 0
n
n n
x x x
+ + − + − =

2
(2004 )(1 1 )
x x x
= + − −

( 3 2)( 9 18) 168
x x x x x
+ + + + =

3
2 2
1 2 1 3
x x
− + − =



Nhận xét
:
đố
i v
ớ
i cách

đặ
t
ẩ
n ph
ụ
nh
ư
trên chúng ta ch
ỉ
gi
ả
i quy
ế
t
đượ
c m
ộ
t l
ớ
p bài
đơ
n gi
ả
n,
đ
ôi khi
ph
ươ
ng trình
đố

i v
ớ
i
t
l
ạ
i quá khó gi
ả
i
2.
Đặ
t
ẩ
n ph
ụ

đư
a v
ề
ph
ươ
ng trình thu
ầ
n nh
ấ
t b
ậ
c 2
đố
i v

ớ
i 2 bi
ế
n :

Chúng ta
đ
ã bi
ế
t cách gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2 2
0
u uv v
α β
+ + =
(1) b
ằ
ng cách
Xét
0
v
≠
ph
ươ
ng trình tr
ở

thành :
2
0
u u
v v
α β
   
+ + =
   
   

0
v
=
th
ử
tr
ự
c ti
ế
p
Các tr
ườ
ng h
ợ
p sau c
ũ
ng
đư
a v

ề

đượ
c (1)

(
)
(
)
(
)
(
)
. .
a A x bB x c A x B x
+ =

23

2 2
u v mu nv
α β
+ = +

Chúng ta hãy thay các bi
ể
u th
ứ
c A(x) , B(x) b
ở

i các bi
ể
u th
ứ
c vô t
ỉ
thì s
ẽ
nh
ậ
n
đượ
c ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
theo
d
ạ
ng này .
a) . Phương trình dạng :
(
)
(
)
(
)
(
)
. .

a A x bB x c A x B x
+ =

Nh
ư
v
ậ
y ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
Q x P x
α
=
có th
ể
gi
ả
i b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp trên n
ế
u
(
)

(
)
(
)
( ) ( ) ( )
.P x A x B x
Q x aA x bB x

=


= +



Xu
ấ
t phát t
ừ

đẳ
ng th
ứ
c :

(
)
(
)
3 2

1 1 1
x x x x
+ = + − +

(
)
(
)
(
)
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1
x x x x x x x x x
+ + = + + − = + + − +

(
)
(
)
4 2 2
1 2 1 2 1
x x x x x
+ = − + + +

(
)
(
)
4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1

x x x x x
+ = − + + +

Hãy t
ạ
o ra nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
d
ạ
ng trên ví d
ụ
nh
ư
:
2 4
4 2 2 4 1
x x x
− + = +

Để
có m
ộ
t ph
ươ
ng trình
đẹ

p , chúng ta ph
ả
i ch
ọ
n h
ệ
s
ố
a,b,c sao cho ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2
0
at bt c
+ − =

gi
ả
i “ nghi
ệ
m
đẹ
p”
Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ

ng trình :
(
)
2 3
2 2 5 1
x x
+ = +

Giải:

Đặ
t
2
1, 1
u x v x x
= + = − +

Ph
ươ
ng trình tr
ở
thành :
( )
2 2
2
2 5
1
2
u v
u v uv

u v
=


+ = ⇔

=

Tìm
đượ
c:
5 37
2
x
±
=

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
− + = − + +

Bài 3:
gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2 3
2 5 1 7 1
x x x
+ − = −

Giải:
Đ
k:
1
x
≥

Nh
ậ
n xt : Ta vi
ế
t
( )
(
)
( )
(
)
2 2

1 1 7 1 1
x x x x x x
α β
− + + + = − + +

Đồ
ng nh
ấ
t th
ứ
c ta
đượ
c:
( )
(
)
( )
(
)
2 2
3 1 2 1 7 1 1
x x x x x x
− + + + = − + +

Đặ
t
2
1 0, 1 0
u x v x x
= − ≥ = + + >

, ta
đượ
c:
9
3 2 7
1
4
v u
u v uv
v u
=


+ = ⇔

=


Ta
đượ
c :
4 6
x = ±

Bài 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :

( )
3
3 2
3 2 2 6 0
x x x x
− + + − =

Gi
ả
i:
Nh
ậ
n xét :
Đặ
t
2
y x
= +
ta hãy bi
ế
n pt trên v
ề
ph
ươ
ng trình thu
ầ
n nh
ấ
t b
ậ

c 3
đố
i v
ớ
i x và y :
3 2 3 3 2 3
3 2 6 0 3 2 0
2
x y
x x y x x xy y
x y
=

− + − = ⇔ − + = ⇔

= −


Pt có nghi
ệ
m :
2, 2 2 3
x x= = −

b).Phương trình dạng :
2 2
u v mu nv
α β
+ = +

Ph
ươ
ng trình cho
ở
d
ạ
ng này th
ườ
ng khó “phát hi
ệ
n “ h
ơ
n d
ạ
ng trên , nh
ư
g n
ế
u ta bình ph
ươ
ng hai v
ế
thì
đư
a v
ề

đượ
c d
ạ

ng trên.
24
Bài 1.
gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 2 4 2
3 1 1
x x x x
+ − = − +

Giải:
Ta
đặ
t :
2
2
1
u x
v x

=


= −


khi

đ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở
thành :
2 2
3
u v u v
+ = −

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2 2
2 2 1 3 4 1
x x x x x
+ + − = + +

Gi
ả
i
Đ
k
1
2
x

≥
. Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
ta có :
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1
x x x x x x x x x x
+ − = + ⇔ + − = + − −

Ta có th
ể

đặ
t :
2
2
2 1
u x x
v x


= +

= −

khi
đ
ó ta có h
ệ
:
2 2
1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v

−
=


= − ⇔

+
=



Do
, 0
u v
≥
.
( )
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x
+ +
= ⇔ + = −

Bài 3.
gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 2
5 14 9 20 5 1
x x x x x
− + − − − = +

Gi
ả
i:
Đ
k

5
x
≥
. Chuy
ể
n v
ế
bình ph
ươ
ng ta
đượ
c:
(
)
( )
2 2
2 5 2 5 20 1
x x x x x
− + = − − +

Nhận xét :
không t
ồ
n t
ạ
i s
ố

,
α β

để
:
(
)
(
)
2 2
2 5 2 20 1
x x x x x
α β
− + = − − + +
v
ậ
y ta không th
ể

đặ
t
2
20
1
u x x
v x

= − −

= +

.

Nh
ư
ng may m
ắ
n ta có :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
20 1 4 5 1 4 4 5
x x x x x x x x x
− − + = + − + = + − −

Ta vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ

ng trình:
(
)
( )
2 2
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)
x x x x x x
− − + + = − − +
.
Đế
n
đ
ây bài toán
đượ
c gi
ả
i
quy
ế
t .
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

T
ừ
nh
ữ
ng ph
ươ

ng trình tích
(
)
(
)
1 1 1 2 0
x x x
+ − + − + =
,
(
)
(
)
2 3 2 3 2 0
x x x x
+ − + − + =

Khai tri
ể
n và rút g
ọ
n ta s
ẽ

đượ
c nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình vô t

ỉ
không t
ầ
m th
ườ
ng chút nào,
độ
khó c
ủ
a ph
ươ
ng
trình d
ạ
ng này ph
ụ
thu
ộ
c vào ph
ươ
ng trình tích mà ta xu
ấ
t phát .
T
ừ

đ
ó chúng ta m
ớ
i

đ
i tìm cách gi
ả
i ph
ươ
ng trình d
ạ
ng này .Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i
đượ
c th
ể
hi
ệ
n qua các ví d
ụ

sau .
Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
(
)
2 2 2

3 2 1 2 2
x x x x
+ − + = + +

Giải:

2
2
t x
= +
, ta có :
( )
2
3
2 3 3 0
1
t
t x t x
t x
=

− + − + = ⇔

= −


Bài 2
. Gi
ả
i ph

ươ
ng trình :
( )
2 2
1 2 3 1
x x x x
+ − + = +

Giải:
Đặ
t :
2
2 3, 2
t x x t= − + ≥
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở
thnh :
(
)
2
1 1
x t x
+ = +
(
)
2

1 1 0
x x t
⇔ + − + =

25
Bây gi
ờ
ta thêm b
ớ
t ,
để

đượ
c ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2 theo t có
∆
ch
ẵ
n
:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x

t x
=

− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔

= −



T
ừ
m
ộ
t ph
ươ
ng trình
đơ
n gi
ả
n :
(
)
(
)
1 2 1 1 2 1 0
x x x x
− − + − − + + =
, khai tri
ể
n ra ta s

ẽ

đượ
c pt
sau
Bài
3. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2
4 1 1 3 2 1 1
x x x x
+ − = + − + −

Gi
ả
i:
Nh
ậ
n xét :
đặ
t
1
t x
= −
, pttt:
4 1 3 2 1
x x t t x

+ = + + +
(1)
Ta rút
2
1
x t
= −
thay vào thì
đượ
c pt:
(
)
(
)
2
3 2 1 4 1 1 0
t x t x
− + + + + − =

Nh
ư
ng không có s
ự
may m
ắ
n
để
gi
ả
i

đượ
c ph
ươ
ng trình theo t
(
)
(
)
2
2 1 48 1 1
x x
∆ = + + − + −
không
có d
ạ
ng bình ph
ươ
ng .
Mu
ố
n
đạ
t
đượ
c m
ụ
c
đ
ích trên thì ta ph
ả

i tách 3x theo
(
)
(
)
2 2
1 , 1
x x
− +

C
ụ
th
ể
nh
ư
sau :
(
)
(
)
3 1 2 1
x x x
= − − + +
thay vào pt (1) ta
đượ
c:
Bài 4
. Gi
ả

i ph
ươ
ng trình:
2
2 2 4 4 2 9 16
x x x
+ + − = +

Giải .

Bình ph
ươ
ng 2 v
ế
ph
ươ
ng trình:
( )
(
)
( )
2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16
x x x x
+ + − + − = +

Ta
đặ
t :
(

)
2
2 4 0
t x
= − ≥
. Ta
đượ
c:
2
9 16 32 8 0
x t x
− − + =

Ta ph
ả
i tách
(
)
(
)
2 2 2
9 2 4 9 2 8
x x x
α α α
= − + + −
làm sao cho
t
∆
có d
ạ

ng chính ph
ươ
ng .
Nhận xét :
Thông th
ườ
ng ta ch
ỉ
c
ầ
n nhóm sao cho h
ế
t h
ệ
s
ố
t
ự
do thì s
ẽ

đạ
t
đượ
c m
ụ
c
đ
ích
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích


Xu
ấ
t phát t
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ệ
“
đạ
i s
ố
“
đẹ
p chúng ta có th
ể
t
ạ
o ra
đượ
c nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
mà khi gi

ả
i
nó chúng ta l
ạ
i
đặ
t nhi
ề
u
ẩ
n ph
ụ
và tìm m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a các
ẩ
n ph
ụ

để

đư
a v
ề
h
ệ

Xu
ấ
t phát t
ừ

đẳ
ng th
ứ
c
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3 3 3
3
a b c a b c a b b c c a
+ + = + + + + + +
, Ta có
(
)
(
)
(
)

(
)
3
3 3 3
0
a b c a b c a b a c b c
+ + = + + ⇔ + + + =

T
ừ
nh
ậ
n xét này ta có th
ể
t
ạ
o ra nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình vô t
ỉ
có ch
ứ
a c
ă
n b
ậ
c ba .
2 2

3 3
3
7 1 8 8 1 2
x x x x x
+ − − − + − + =

3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0
x x x x
+ + − + − − − =

Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2
x x x x x x x
= − − + − − + − −

Gi
ả
i :
2
3
5
u x
v x
w x


= −


= −


= −


, ta có :
(
)
(
)
( )( )
( )( )
2
2
2
2
2
3 3
5
5
u v u w
u uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu
v w u w

 + + =

− = + +

− = + + ⇔ + + =
 
 
− = + +
+ + =


, gi
ả
i h
ệ
ta
đượ
c:
30 239
60 120
u x= ⇔ =

Bài 2.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau :
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2

x x x x x x x
− + − − = + + + − +