Ôn tập tốt nghiệp môn toán lớp 12 trường THPT Chu Văn An

TRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN ANTRNG THPT CHU VN AN
TRNG THPT CHU VN AN



T TỐN
T TỐNT TỐN
T TỐN





GV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước SangGV: Dương Phước Sang
GV: Dương Phước Sang


Môn Toán
Môn ToánMôn Toán
Môn Toán


2013

Ôn tập Tốt nghiệp

Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An



















1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và bài toán có liên quan

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1 Tập xác định: D = R
2 Tính
y
′

3 Cho
0
y
′

=
để tìm các nghiệm
0
x
(nếu có).
4 Tính hai giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).
8 Lập bảng giá trị.
9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.


y = ax

3
+ bx

2
+ cx + d (a ≠ 0)
Số nghiệm của phương
trình
0
y
′

=

a > 0

a < 0

0
y
′
=
có 2 nghiệm
phân biệt


x
y
O



x
y
O

0
y
′
=
có nghiệm kép

x
y
O



x
y
O

0
y
′
=
vô nghiệm

x
y
O


x
y
O

Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

01688559752

Tài liệu tham khảo - 2 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn
y = ax

4
+ bx

2
+ c (a ≠ 0)
Số nghiệm của phương
trình
0
y
′
=

a > 0

a < 0

0
y
′
=
có 3 nghiệm
phân biệt
x
y
O

x
y
O

0
y
′
=
có 1 nghiệm
duy nhất
x
y
O

x
y
O

Đồ thị hàm số trùng phương ln nhận trục tung làm trục đối xứng


b) Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) (dạng 1 - biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0
x
và
0

y
(hồnh độ & tung độ của điểm M
0
)
2 Tính
0
( )
f x
′

3 Cơng thức:
0 0 0
( )( )
y y f x x x
′
− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )
f x k
′
=
(*)
2 Thay
0
( )
y x
′

vào (*) để tìm
0
x

3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng cơng thức viết phương trình tiếp tuyến.
 Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với y = ax + b có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vng góc với y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số
góc
1
a
k
= −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C

): y = f(x

)
1 Đưa phương trình về dạng: f

(x

) = b(m) (*)
2 Đặt

là đồ thò hàm số đã vẽ.
là đường thẳng nằm ngang qua
( ) : ( ) ( )
: ( ) (0; ( ))
C y f x y f x
d y b m A b m


= =


=




3 Kết quả:  (*) có 4 nghiệm ⇔ (C

) và d có 4 điểm chung ⇔ …
 (*) có 3 nghiệm ⇔ (C

) và d có 3 điểm chung ⇔ …
 (*) có 2 nghiệm
⇔
(C

) và d có 2 điểm chung
⇔
…
Dương Phước Sang

Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An
x
y
y =1 - m
3
3
2 4
5
1
O 1
e) Sự tương giao giữa đồ thị (C

):y = f

(x

) và đường thẳng d

:

y = ax + b
1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C

) và d

:

f

(x

) = ax + b (*)
2 Lập luận: số giao điểm của (C

) và d bằng với số nghiệm của (*)
3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của (C

) và d
f) Tính diện tích hình phẳng: (H

) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = f

(x

) , y = g(x

) , x = a và x = b
Khi đó, hình (H

) có diện tích:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −
∫

VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 1 : Cho hàm số y = x

3
– 6x

2
+ 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C

) tại giao điểm của (C

) với
trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất: x

3
– 6x

2
+ 9x + m = 0
Bài giải
Câu a: Hàm số y = x

3
– 6x

2

+ 9x + 1  Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 12 9
y x x
′
= − +

 Cho
2
0 3 12 9 0 1
y x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ =
hoặc x = 3
 Giới hạn:

lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(1;5),
điểm cực tiểu T(3;1)

Cho
6 12. 0 2 3

y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =

Điểm uốn I(2;3)
 Bảng giá trị:

x 0 1 2 3 4
y 1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong nhận điểm
I(2;3) làm tâm đối xứng như hình vẽ bên đây:
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a > 0)
.x
–
∞
1 3 +
∞

y
′

+ 0 – 0 +
y
5 +
∞

–∞ 1
01688559752

Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
x
y
y = -1,5a
-0,5
1
O
1
Câu b: Cho x = 0 ⇒ y(0) = 1. Giao điểm của
( )
C
với trục Oy là: A(0;1)

(0) 9
y
′
=

 Phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại A là: y = 9x + 1
Câu c: Ta có, x

3
– 6x

2
+ 9x + m = 0

⇔
x

3
– 6x

2
+ 9x + 1 = 1 – m (*)
 Đặt (C

) : y = x

3
– 6x

2
+ 9x + 1 và d : y = 1 – m thì
Phương trình (*) có nghiệm duy nhất
⇔
(C

) và d có 1 điểm chung
1 5 4
1 1 0
m m
m m
 
− > < −
 
⇔ ⇔

 
− < >
 
 

Bài 2 : Cho hàm số y = 3x

2
– 2x

3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C

) tại các giao điểm của (C

)


với trục hoành.
c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 4x

3
– 6x

2
– 3a = 0
Bài giải
Câu a: Hàm số y = 3x

2
– 2x

3
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
6 6
y x x
′
= −

 Cho
2
0 6 6 0 0
y x x x
′
= ⇔ − = ⇔ =
hoặc x = 1
 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1), nghịch biến trên các khoảng
(–
∞
;0) và (1;+
∞
), điểm cực đại D(1;1), điểm cực tiểu O(0;0)

Cho
1 1
2 2
6 12 . 0y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
1 1
2 2
( ; )
I

 Bảng gtrị:
x

1
2
−
0
1
2
1

3
2

y
1 0
1
2
1 0
 Đồ thị hàm số là một đường cong nhận
điểm
1 1
2 2
( ; )
I
làm tâm đối xứng như hình:
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a < 0)
x
–
∞
0 1 +
∞

y
′

– 0 + 0 –
y
+
∞

1
0 –
∞

Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 5 - THPT Chu Văn An
Câu b: Cho
2 3
0 3 2 0
y x x
= ⇔ − =

⇔ x = 0 hoặc
3
2
x
=

Giao điểm của
( )
C
với trục hoành là: O(0;0) và
3
2
( ;0)
B

 Tại O(0;0):
(0) 0
y

′
=
, phương trình tiếp tuyến là: y = 0
 Tại
3
2
( ;0)
B
:
3 9
2 2
( )
y
′
= −
, phương trình tiếp tuyến là:
27
9 3 9
2 2 2 4
0 ( )
y x y x
− = − − ⇔ = − +

 Vậy, có 2 tiếp tuyến thoả đề là: y = 0 và
27
9
2 4
y x
= − +

Câu c: Phương trình (*): 4x

3
– 6x

2
– 3a = 0
⇔
3x

2
– 2x

3

3
2
a
= −

 Đặt
( )
C
: y = 3x

2
– 2x

3
và

3
2
:
d y a
= −
ta có,
 (*) có 3 nghiệm
⇔
(C

) và d có 3 điểm chung
3 2
2 3
0 1 0
a a
⇔ < − < ⇔ − < <

 (*) có 2 nghiệm
⇔
(C

) và d có 2 điểm chung

3
2
2
3
3
2
1

0
0
a
a
a
a


− =
= −


⇔ ⇔


=
− =





 (*) có 1 nghiệm
⇔
(C

) và d có 1 điểm chung

3
2

2
3
3
2
1
0
0
a
a
a
a


− >
< −


⇔ ⇔


>
− <





Bài 3 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C

của hàm số
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng 3x – 2y = 0
c) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )
C
với đường thẳng
3
2
2
y x
= +

Bài giải
Câu a:
3 2
3 3
2
x x x

y
+ +
=
 Tập xác định:
D
=
ℝ

 Đạo hàm
2
3 6 3
0,
3
x x
y x
+ +
′
= ≥ ∀ ∈
ℝ

do đó hàm số luôn đồng biến trên
ℝ
và không đạt cực trị.
cho
2
( 0 3 6 3 0 1)
y x x x
′
= ⇔ + + = ⇔ = −

01688559752


Tài liệu tham khảo - 6 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
x
y
-3
-4,5
-1
-2 -1
3,5
O
1
 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Bảng biến thiên:








1

2
3 3 0 1
y x x y
′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −

Điểm uốn
1
2
( 1; )
I
− −

 Bảng giá trị:
x
3
−

2
−

1
−
0 1

y

9
2
−

1
−

1
2
−
0
7
2

 Đồ thị hàm số là đường cong nhận điểm
1
2
( 1; )
I
− −
làm tâm đ.xứng
Câu b: Tiếp tuyến của
( )
C
song song với đường thẳng
3
2
:
y x
=
△
nên
có hệ số góc

0
( )
k f x
′
= =
3
2

(trong đó
0
x
là hoành độ tiếp điểm)
2
2
0
0 0
0 0
0
0
3 6 3
3
3 6 0
2
2 2
x
x x
x x
x

=

+ +

⇔ = ⇔ + = ⇔

= −



 Với
0
0
x
=
thì
0
(0) 0
y y
= =
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
0 ( 0)
y x y x
− = − ⇔ =

(trùng với

△
)

 Với
0
2
x
= −
thì
0
( 2) 1
y y
= − = −
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 ( 2) 2
y x y x
+ = + ⇔ = +
(song song với
△
)
 Vậy, chỉ có một tiếp tuyến thoả đề là
3
2
2
y x
= +

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )
C
và

3
2
2
y x
= +
là nghiệm
phương trình
3 2
3 2
3 3 3
2 3 3 3 4
2 2
x x x
x x x x x
+ +
= + ⇔ + + = +

3 2 2
1
3 4 0 ( 1)( 4 4) 0
2
x
x x x x x
x

=

⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔

= −




 x = 1
7
2
y
⇒ =
và x = –2 ⇒ y = –1
 Vậy,
( )
C
và d :
3
2
2
y x
= +
cắt nhau tại
7
2
(1; )
A
và
( 2; 1)
B
− −

x
−∞

1
−

+∞

y
′

+ 0 +
y
+
∞


1
2
−

−∞



Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 7 - THPT Chu Văn An
Bài 4 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C

) của hàm số y = f

(x

) = x

4
– 2x

2
– 3
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C

) tại điểm trên (C

)
có hoành độ x là nghiệm của phương trình
( ) 20
f x
′′
=

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều
hơn hai nghiệm: x

4
– 2x

2
+

m = 0
Bài giải
Câu a: Hàm số y = x

4
– 2x

2
– 3  Tập xác định:
D
=
ℝ


3
4 4
y x x
′
= −
 Cho
3
0 4 4 0 0; 1
y x x x x
′
= ⇔ − = ⇔ = = ±

 Giới hạn:

lim ; lim

x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

 Bảng biến thiên:
x
−∞
–1 0 1
+∞

y
′

– 0 + 0 – 0 +
y
+∞

3
−

+∞


–4 –4
 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch
biến trên các khoảng (–
∞;–1), (0;1).
Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(0;–

3)
và hai điểm cực tiểu
1 2
( 1; 4), (1; 4)
T T
− − −

 Bảng giá trị:
x

2
−
–1 0 1
2

y
–3 –4 –3 –4 –3
 Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
Câu b:Ta có,
2 2 2
12 4 20 12 24 2 2
y x x x x
′′
= − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

 Với
0 0
2, 3
x y
= = −

và
( 2) 4 2
f
′
=
, phương trình tiếp tuyến:
4 2( 2) 3 4 2 11
y x y x
= − − ⇔ = −

 Với
0 0
2, 3
x y
= − = −
và
( 2) 4 2
f
′
= −
, phương trình tiếp
tuyến:
4 2( 2) 3 4 2 11
y x y x
= − + − ⇔ = − −

 Vậy, có 2 tiếp tuyến thoả đề là:

4 2 11
y x

= −
;
4 2 11
y x
= − −

Câu c:Ta có, x

4
– 2x

2
+

m = 0 ⇔ x

4
– 2x

2
– 3 = –m –

3 (*)
 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi đồ thị (C

)
và đường thẳng d

:

y = –m – 3 có nhiều hơn 2 giao điểm (3 hoặc 4
giao điểm) ⇔ –

4 <

–m –

3 ≤ –

3 ⇔ 0 ≤ m < 1

 Vậy với m ∈

[

0;1) thì phương trình đã cho có nhiều hơn 2 nghiệm
x
y
-4
-1
-3
O
1
01688559752


Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài tập về hàm số bậc ba và hàm số trùng phương
Bài 5 : Cho hàm số y = x

3
– 3x + 1 có đồ thị là (C

)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) tại điểm thuộc (C

) có hoành độ bằng 2.
c) Viết pttt với (C

) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
x

3
– 3x + 2m = 0
Bài 6 : Cho hàm số
1
2
y
= −
x

3
+

3
2
x

2
– 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt của (C

)

tại điểm trên

(C

)

có tung độ bằng –2
c) Viết pttt với (C

) song song với đường thẳng d

:

9
2
2
y x

= − +

d) Tìm các giá trị của k để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x

3
– 3x

2
– 4 + k = 0
Bài 7 : Cho hàm số y = 2x

3
+ 3x

2
– 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) tại giao điểm của (C

) với trục hoành.
c) Viết pttt với (C

) biết tiếp tuyến song song với d

:

y = 12x – 1
d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x

3
+ 3x

2
+ 2m = 0
Bài 8 : Cho hàm số
1
3
y
=
x

3
– x

2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt của (C

) tại điểm trên (C

) có tung độ bằng 0.
c) Viết pttt của (C

) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8.
d) Tìm toạ độ các giao điểm của (C

)với đường thẳng d

:

y = 3x – 9
e) Tìm điều kiện của tham số k để đường thẳng qua gốc toạ độ có
hệ số góc k cắt đồ thị (C

) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 9 : Cho hàm số y = –

4x

3
+ 3x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

)
b) Tìm a để phương trình 4x

3
– 3x + a = 0 có đúng 3 nghiệm.
c) Viết pttt với (C

) tại giao điểm của (C

) với trục hoành.
d) Viết pttt với (C

) biết tiếp tuyến vuông góc với
1
72
:
d y x
=

Bài 10 : Cho hàm số y = –x

3
+ 3x

2
– 2 có đồ thị (C

)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Biện luận theo m số giao điểm của (C

) và d
m
: y = mx – 2
c) Viết pttt của (C

)

biết tiếp tuyến song song với d

:

9x – 4y – 4 = 0
d
*
)Xác định toạ độ các điểm M thuộc đồ thị (C

)

sao cho tiếp tuyến
của (C

) tại điểm M đi qua điểm A(0;–3)
Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 9 - THPT Chu Văn An
Bài 11 : Cho hàm số
1
3
y
= −
x

3
+

3
2

x

2
5
2
−
có đồ thị là (C

)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) tại điểm trên (C

) có hoành độ x thoả
1
y
′′
=

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

) và d

:

y – 2 = 0
d) Xác định các điểm trên (C

)

có tung độ bằng
5
2
−

e
*
)Tìm điều kiện của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm:
2e

3x
– 9e

2x
+ 6m = 0
Bài 12 : Cho hàm số y = 2x

3
– 3x

2

có đồ thị (C

)

và đường thẳng

d

:

y = 2x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x

3
– 6x

2
– m = 0
c) Tìm toạ độ các giao điểm của đồ thị (C

) và đường thẳng d
d
*
)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C

), d và Ox.
Bài 13 : Cho hàm số
1
2
y
=
(x

3
+ 3x

2
+ 3x)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

), Ox , x = 1 và x = –2
c
*
)Với m nào thì
3
2 2
:
m
m
d y x
= −
cắt (C

)

tại ba điểm phân biệt.
Bài 14 : Cho hàm số
1
16

y
=
x

3
3
4
−
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt của (C

) biết tiếp tuyến vuông góc với d
1
:

16x – 3y =0
c) Tìm k để đường thẳng y = 4k cắt (C

) tại ba điểm phân biệt.
d
*
)Dùng đồ thị (C

) hãy xác định điều kiện cần và đủ của tham số
a để phương trình sau đây có đúng hai nghiệm:
2 2
12

x x a
− =

e
*
)Gọi d là tiếp tuyến của (C

) tại điểm A(6;9) thuộc (C

).

Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi (C

), d và tia Ox.
f
*
)Tìm điểm M trên đường thẳng x + y = 3 để tổng khoảng cách từ
điểm M đến hai điểm cực trị của (C

) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 15 : Cho hàm số y = x

2
(2 – x

2
)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) tại điểm trên (C

) có hoành độ bằng
2
−

c) Viết pttt với (C

) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
d) Với m nào thì phương trình sau có 4 nghiệm: x

4
– 2x

2
+ m = 0
Bài 16 : Cho hàm số y = x

4
+ 2x

2
– 3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt của (C

) tại điểm trên (C

) có tung độ bằng 5.
c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm:
x

4
+ 2x

2
+ 3 + 2m = 0
01688559752


Tài liệu tham khảo - 10 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 17 : Cho hàm số
1
2
y
=
x

4
– 3x

2
+

5

2
có đồ thị (C

).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –4.
c) Tìm b để phương trình sau có 4 nghiệm: x

4
– 6x

2
+ logb = 0
d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

) và trục hoành.
Bài 18 : Cho hàm số y = (1 – x

2
)
2
– 6 có đồ thị (C

)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x

4
– 2x

2
= m
c) Viết pttt của (C

) biết tiếp tuyến vuông góc với d

:

x + 24y = 0
d) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

) và △

:

y = 3x – 3
Bài 19 : Cho hàm số
1
4
y
= −
x

4

+ 2x

2
–

1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình x

4
– 8x

2
+ m = 0 có nhiều hơn 2 nghiệm
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C

) tại điểm trên (C

) có
hoành độ là nghiệm của phương trình
( ) 2 0
y x
′′
+ =

Bài 20 : Cho hàm số
1
3

y
=
x

4
– 2x

2
+

1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình x

4

– 6x

2

+

2m

=

0 có 4 nghiệm phân biệt.
c) Viết pttt của (C

) song song với d
1
:

y = 24x + 2013.
d) Gọi d
2
là tiếp tuyến của (C

)tại điểm
5
3
(2; )
A
−
. Tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi (C

), d
2
và trục tung.
Bài 21 : Cho hàm số y =

mx

4
– (2 – 3m)x

2

5
2
−
có đồ thị (C
m
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C

) của hàm số khi
2
9
m
=
.
b) Viết pttt của (C

) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 16.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

) và trục hoành.
d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đồ thị (C
m
)
không thể cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 22 : Cho hàm số y = (1 – m)x

4
– 3mx

2

+ 3m – 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) hàm số khi
2
3
m
=

b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình x
4
– 6x
2
+ 2a = 0
c) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt.
Bài 23 : Cho hàm số y = x

4
– (m + 4)x

2
+ 3 có đồ thị (C
m
)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
0

)
b) Tìm m để (C

m
) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành
độ đều lớn hơn – 2.
Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 11 - THPT Chu Văn An
2. Hàm số nhất biến và bài toán có liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
( 0, 0)
c ad cb
≠ − ≠

ax b
y
cx d
+
=
+

1 Tập xác định:
{
}
\
d
c
D = −ℝ

2 Tính
2
( )
ad cb

y
cx d
−
′
=
+
và khẳng định
y
′
dương hay âm,
d
c
x
∀ ≠ −

3 Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định
( ; ),( ; )
d d
c c
−∞ − − +∞
và không đạt cực trị.
4 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận:
 Tính
lim
x
y
→−∞
a
c

=
và
lim
x
y
→+∞
a
c
=
, suy ra
a
c
y
=
là TCN
 Tính
( )
lim
d
c
x
y
−
→ −
và
( )
lim
d
c
x

y
+
→ −
, suy ra
d
c
y
= −
là TCĐ
5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Lập bảng giá trị.
7 Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét.


( 0, 0)
ax b
y c ad cb
cx d
+
= ≠ − ≠
+

0
y
′
>

0
y
′

<

x
y
O

x
y
O

Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt
luôn đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận

b) Các dạng toán có liên quan: (xem lại trang 2 và trang 3)
 Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 và dạng 2)
 Biện luận sự tương giao giữa hai đường,…
 Diện tích hình phẳng, …

01688559752


Tài liệu tham khảo - 12 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
x
y
-2
32
-1
O
1
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 24 : Cho hàm số
3
2
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
b) Viết pttt của
( )
C

tại điểm trên

( )
C

có tung độ bằng –2
c) Viết pttt của
( )
C
biết tiếp tuyến song song với d: y = –x
d) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )

C

với đường thẳng y = –2x + 6
e) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d
m
: y = mx + m cắt đồ thị

( )
C

tại 2 điểm phân biệt.
f) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )
C
, đường thẳng x = 1
và hai trục toạ độ.
Bài giải
Câu a: Hàm số
3 3
2 2
x x
y
x x
− −
= =
− − +
 Tập xác định: D = R\{2}
 Đạo hàm:
2
1

0, 2
(2 )
y x
x
−
′
= < ∀ ≠
−
, do đó hàm số nghịch biến
trên các khoảng (–∞;2), (2;+∞) và không đạt cực trị.
 Giới hạn và tiệm cận:

lim 1 ; lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= − = − ⇒ = −
là tiệm cận ngang.

2 2
lim ; lim
x x
y y
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒
x = 2 là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:

 Bảng giá trị:

x
0 1 2 3 4
y

3
2
−
–2

0
1
2
−

 Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng nhau qua điểm I(2;–1)
Câu b: Với y = –2 thì
3
2 3 4 2 1
2
x
x x x
x
−
= − ⇔ − = − + ⇔ =
−

 Ta có

2
1

(2 1)
(1) 1
y
−
−
′
= = −
nên tiếp tuyến của
( )
C
tại M(1;–2) là:
y + 2 = –1(x – 1)
⇔
y = –x – 1
x
−∞
2
+∞
y
′

– –
y
–1



−∞
+∞

–1

Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 13 - THPT Chu Văn An
Câu c:Vì tiếp tuyến song song với d:y = –x

nên có hệ số góc
0
( ) 1
y x
′
= −


2
0
1
1
(2 )x
−
⇔ = −
−
2
0
(2 ) 1
x
⇔ − =
0 0
0 0

2 1 1
2 1 3
x x
x x
 
− = =
 
⇔ ⇔
 
− = − =
 
 

 Với
0
1
x
=
thì
0
(1) 2
y y
= = −
. Phương trình tiếp tuyến là:
y + 2 = –1(x – 1) ⇔ y = –x – 1
 Với
0
3
x
=

thì
0
(3) 0
y y
= =
. Phương trình tiếp tuyến là:
y – 0 = –1(x – 3) ⇔ y = –x + 3
 Vậy, có 2 tiếp tuyến thoả đề là y = –x – 1 và y = –x + 3
Câu d: Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và y = –2x + 6 là:
3
2 6
2
x
x
x
−
= − +
−
⇔ x – 3 = (–2x + 6)(2 – x) (x ≠ 2)
⇔ 2x

2
– 11x + 15 = 0 ⇔ x = 3 hoặc
5
2
x
=

(thoả mãn x ≠ 2)
 Với x = 3 thì y = 0 và với
5
2
x
=
thì y = 1
 Các giao điểm của
( )
C
và y = –2x + 6 là: A(3;0) và
5
2
( ;1)
B

Câu e: Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và d
m
: y = mx + m là
3
2
x
mx m
x
−
= +

−

⇔ x – 3 = (mx + m)(2 – x) (x = 2 không thoả phương trình này)
⇔ mx

2
– (m – 1)x – (2m + 3) = 0 (*)
 d
m
cắt
( )
C

tại 2 điểm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt
2
0
0
0
9 10 1 0
m
m
m m




≠
≠




⇔ ⇔
 
 
∆ >
+ + >
 




hoaëc
1
9
0
1
m
m m


≠


⇔


< − > −




 Vậy với
1
9
( ; 1) ( ; ) \ {0}
m ∈ −∞ − ∪ − +∞
thì đồ thị
( )
C
và đường
thẳng d
m
: y = mx + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Câu f: Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị
( )
C
, đường thẳng x = 1 và hai trục toạ độ là:
(
)
1
1 1
0 0
0
3 1
1 ln 2 ln(2 )
2 2
x
S dx dx x x e
x x

   
−
 
 
 
= − = − = − − =
 
 
 
   
− −
∫ ∫


01688559752


Tài liệu tham khảo - 14 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài tập về hàm số nhất biến
Bài 25 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

( )
C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
c) Viết pttt với
( )
C
tại điểm trên
( )
C
có tung độ bằng
7
2

d) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )
C

với đường thẳng y = 3x – 1
e) Tìm m để d
m
: y = m(x + 1) + 2 cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt.
Bài 26 : Cho hàm số
2

3
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
tại điểm trên
( )
C
có hoành độ bằng 1.
c) Viết pttt với
( )
C
tại điểm trên
( )
C
có tung độ bằng 6.
d) Viết pttt với

( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
5
4
−

e) Xác định toạ độ các giao điểm của
( )
C
và d: y = –3x + 2
Bài 27 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) tại điểm trên (C

) có hoành độ bằng –3.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C

) biết tiếp tuyến song song
với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
d) Tìm m để đường thẳng y = mx + 1 cắt (C

) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 28 : Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
4

c) Chứng minh rằng đường thẳng y

=

m –

x luôn cắt đồ thị
( )
C
tại
hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
Bài 29 : Cho hàm số
1
2
2
y
x
= +
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với đồ thị (C

) tại giao điểm của (C

) với trục hoành.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

)

và hai trục toạ độ.
d

*
)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

), tiếp tuyến của (C

)
tại điểm
3
2
(0; )
A
và trục hoành.
Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 15 - THPT Chu Văn An
Bài 30 : Cho hàm số
2
1
y
x
=
+
có đồ thị là (C

).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C

tại các giao điểm
của (C

) với đường thẳng d: y = 2x – 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]
d) Viết pttt của (C

) biết tiếp tuyến song song với d: x + 2y – 3 = 0
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

), trục hoành và hai
đường thẳng x = 0, x = 2.
Bài 31 : Cho hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.
b) Viết pttt với (C

) tại giao điểm của (C

) với trục tung.

c) Viết pttt với (C

) tại các giao điểm của (C

) với d: y = 2x + 4
d) Tìm a để đường thẳng ∆:y =

ax –

3 và (C

) không giao nhau.
e
*
)Tìm tất cả các điểm trên (C

) có toạ độ đều là các số nguyên.
Bài 32 : Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C

) của hàm số.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C

), Ox và
2
x
=
.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
d: y =

x +

3 đồng thời tiếp xúc với đồ thị (C

)

d
*
)Tìm các giá trị của k để đường thẳng d

:

y =

kx –

k +

2 cắt đồ thị
(C

)

tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,
x x
thoả
2
1 2
2 7
x x
+ =

e
*
)Tìm các điểm trên (C

) có toạ độ đều là các số nguyên.
Bài 33 : Cho hàm số
2 4
4
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C

)


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Viết pttt của (C

) tại điểm trên (C

) có tung độ bằng 1.
c
*
)Tìm các điểm M trên trục hoành sao cho từ điểm M có thể kẻ
được tiếp tuyến với (C

) song song với đường thẳng y = –4x
d
*
)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C

),đường thẳng
d: 4x +

y =

10, tiệm cận ngang của (C

) và trục tung.
e

*
)Tìm điều kiện của tham số k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ
thị (C

) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh.
f
*
)Tìm điểm trên đồ thị có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đạt
giá trị nhỏ nhất.

01688559752


Tài liệu tham khảo - 16 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x ) trên đoạn [a;b ]
1 Hàm số y = f

(x

) liên tục trên đoạn [a;b].
2 Tính
( )
y f x
′ ′
=
.
3 Cho
0
y
′

=
để tìm các nghiệm
[ ; ]
i
x a b
∈
(nếu có) và các số

[ ; ]
j
x a b
∈
làm cho
y
′
không xác định (nhớ loại các số
[ ; ]
x a b
∉
l
)
4 Tính các giá trị
( ) , ( )
i j
f x f x
và f

(a

) , f

(b

)
(không được tính f của các
x
l
đã bị loại)
5 Chọn kết quả lớn nhất và nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận
về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]
4. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị (tóm tắt)
 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

′

=


′′

<




thì hàm số y = f

(x

) đạt cực đại tại
0
x

 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

′

=


′′

>



thì hàm số y = f

(x

) đạt cực tiểu tại
0
x

 Hàm số y = ax

3
+ bx

2
+ cx +

d có cực đại, cực tiểu
0
0
y
a
′


≠


⇔


>




△

 Hàm số y = ax

4
+ bx

2
+ c có cực đại và cực tiểu ⇔ ab < 0
5. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định
 Hàm số y = ax

3
+ bx

2
+ cx + d
( 0)
a
≠
đồng biến trên
ℝ

0
0,
0
y
y x
a

′


≤


′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔


>



△
ℝ

 Hàm số y = ax

3
+ bx

2
+ cx + d
( 0)
a
≠
nghịch biến trên
ℝ

0
0,
0
y
y x
a
′


≤


′
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔


<



△
ℝ

 Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+

luôn đồng biến trên các khoảng xác định
0, 0
y x D ad cb
′
⇔ > ∀ ∈ ⇔ − >
(không có dấu “=”)
 Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
luôn nghịch biến trên các khoảng xác định
0, 0
y x D ad cb
′
⇔ < ∀ ∈ ⇔ − <
(không có dấu “=”)
Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 17 - THPT Chu Văn An
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 34 : Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x

3
– 8x

2
+ 16x – 9 trên đoạn [1;3]

b) y = x

2
– 4ln(1 – x) trên đoạn [–3;0]
c) y = 2

ln

3
x – 3

ln

2
x – 2 trên đoạn [1;e

2
]
d) y = e

x
(x

2
– x – 1) trên đoạn [0;2]
Bài giải
Câu a: Hàm số y = x

3
– 8x

2
+ 16x – 9 liên tục trên đoạn [1;3]
 Đạo hàm:
2
3 16 16
y x x
′
= − +

 Cho
2
0 3 16 16 0
y x x
′
= ⇔ − + =
loaïi
nhaän
4
3
4 [1;3] ( )
[1; 3]( )
x
x

= ∉

⇔

= ∈




 Trên đoạn [1;3] ta có:
; ;
4 13
3 27
( ) (1) 0 (3) 6
y y y
= = = −

 Do
13
27
6 0
− < <
nên
[1;3]
min (3) 6
x
y y
∈
= = −
và
[1;3]
max
x
y
∈
4 13

3 27
( )
y
= =

Câu b: Hàm số y = x

2
– 4ln(1 – x) liên tục trên đoạn [–3;0]
 Đạo hàm:
2
4 2 2 4
2
1 1
x x
y x
x x
− + +
′
= + =
− −

 Cho
(nhaän)
(loaïi)
2
1 [ 3; 0]
0 2 2 4 0
2 [ 3; 0]
x

y x x
x

= − ∈ −

′
= ⇔ − + + = ⇔

= ∉ −



 Trên đoạn [–2;0]: y(–1) = 1 – 4

ln2 ; y(–3) = 9 – 8

ln2 ; y(0) = 0
 Do
16
1 4 ln 2 ln 0
e
− = <
và
2
9 8 ln 2 1 8 ln 0
e
− = + >
nên
[ 3;0]
min ( 1) 1 4 ln 2

x
y y
∈ −
= − = −
và
[ 3;0]
max ( 3) 9 8 ln 2
x
y y
∈ −
= − = −

Câu c: Hàm số y = 2

ln

3
x – 3

ln

2
x – 2 liên tục trên đoạn [1;e

2
]
 Đặt t = lnx thì x ∈ [1;e

2
] ⇔ t ∈ [0;2] và hàm số trở thành

y = g(t

) = 2t

3
– 3t

2
– 2 có
2
0 [0;2]
( ) 6 6 0
1 [0;2]
t
g t t t
t

= ∈

′
= − = ⇔

= ∈



 Trên đoạn [0;2]: g

(0) = –2 ; g(1) = –3 ; g

(2) = 2
 Do –3 < –2 < 2 nên
2
[1; ]
min (1) 3
x e
y g
∈
= = −
và
2
[1; ]
max (2) 2
x e
y g
∈
= =

Câu d: y = e

x
(x

2
– x – 1) liên tục trên đoạn [0;2] có
2
( 2)
x
y e x x
′

= + −

 Đáp số:
[0;2]
min (1)
y y e
= = −
và
2
[0;2]
max (2)
y y e
= =

01688559752


Tài liệu tham khảo - 18 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 35 : Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = x

3
+ mx

2
+ 4x + 3
a) Đồng biến trên R b) Có cực đại và cực tiểu
Câu a: y = x

3
+ mx

2
+ 4x + 3 (*)  Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:
2
3 2 4
y x mx
′
= + +
có biệt thức
2
12
y
m
′
′
= −
△

 Hàm số (*) đồng biến trên R
0,
y x
′
⇔ ≥ ∀ ∈
ℝ

2
2
3 0
0

12 0 2 3;2 3
0
12 0
y
a
m m
m
′



>

>



 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ⇔ ∈ −
 
 
 
≤
− ≤
 




△

 Vậy, với
2 3;2 3
m
 
∈ −
 
thì hàm số (*) đồng biến trên R
Câu b:Hàm số (*) có cực đại và cực tiểu
0
y
′
⇔ =
có 2 nghiệm phân
biệt
2
0 12 0 ( ; 2 3) (2 3; )
y
m m
′
′
⇔ > ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
△

 Vậy
( ; 2 3) (2 3; )
m
∈ −∞ − ∪ +∞

Bài 36 : Tìm điều kiện của m để hàm số y = x

3
– 3mx

2
+ (m

2
– 1)x + 2
đạt cực đại tại
0
2
x
=

y = x

3
– 3mx

2
+ (m

2
– 1)x + 2 (*)  Tập xác định: D = R
 Ta có
2 2 2
3 6 ( 1) (2) 12 11
6 6 (2) 12 6
y x mx m y m m

y x m y m
 
 
′ ′
= − + − = − +
 
 
⇒
 
 
′′ ′′
= − = −
 
 
 


Do hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2
x
=
nên
(2) 0
y
′
=

⇔ m

2
– 12m + 11 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 11
 Với m = 1 thì
(2) 6 0
y
′′
= >
còn với m = 11 thì
(2) 54 0
y
′′
= − <


Vậy với m = 11 thì hàm số (*) đạt cực đại tại
0
2
x
=


Bài 37 : Chứng minh rằng nếu
sin
x
x
y
e
=
thì
2 2 0

y y y
′′ ′
+ + =

Hàm số
sin
.sin
x
x
x
y e x
e
−
= =
có tập xác định D = R

( ) .sin .(sin ) (cos sin )
x x x
y e x e x e x x
− − −
′ ′ ′
= + = −


( ) (cos sin ) (cos sin ) 2 cos
x x x
y e x x e x x e x
− −
′′ ′ ′
= − + − = −


2 2 2 cos 2 (cos sin ) 2 sin 0
x x x
y y y e x e x x e x
− − −
′′ ′
+ + = − + − + =

 Vậy, với
.sin
x
y e x
−
=
thì
2 2 0
y y y
′′ ′
+ + =

Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 19 - THPT Chu Văn An
Bài tập về các vấn đề khác liên quan đến hàm số
Bài 38 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
a) f

(x

) = 2x

3
– 3x

2
– 12x + 10 trên đoạn [–2;0]
b) f

(x

) = x

5
– 5x

4
+ 5x

3
+ 1 trên đoạn [–1;2]
c) f

(x

) = x

4
– 2x

3

+ x

2
– 1 trên đoạn [–1;1]
d) f

(x

) = x

5
– 5x

3
+ 10x – 1 trên đoạn [–1;2]
e)
2
( ) 25
f x x
= −
trên đoạn [–3;4]
f)
2
( ) 2 5
f x x x
= + −
trên tập xác định của hàm số.
g)
4
2

( ) 1
x
f x x
+
= − + −
trên đoạn [–1;2]
h) f

(x

) = 3sinx – 2sin
3
x + 1 trên đoạn [0;π]
i) f

(x

) = cos2x – sinx + 3
j) f

(x

) = 2sinx + sin2x trên đoạn
[ ]
3
2
0;
π

Bài 39 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:

a)

2
( )
x x
f x e e
−
= +
trên đoạn [–1;2]
b)
2
( ) ( 1)
x
f x x e
−
= −
trên đoạn [0;2]
c)
2
( ) ( 1)
x
f x x x e
−
= − −
trên đoạn [–1;1]
d)
2
( ) 2 2
x
f x xe x x

= − −
trên đoạn [0;1]
e)
2
( ) 2( 2) 2
x
f x x e x x
= − + −
trên đoạn [0;2]
f)
2
( ) ln(1 2 )
f x x x
= − −
trên đoạn [–2;0]
g)
2
( ) 2 4 ln
f x x x x
= − −
trên đoạn [1;2]
h)
2
( ) ln( 1)
f x x x
= − +
trên đoạn [0;2]
i)
( ) ln 2 2
f x x x x

= − +
trên đoạn
2
[1; ]
e

j)
2 2
( ) 2 ln 3
f x x x x
= −
trên đoạn [1;2e]
k)
2
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn
[ ]
3
1;
e

l)
ln
( )
x

f x
x
= trên đoạn
2
[ ;
e
2
]
e

Bài 40
*
: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2
A x y x y y
= − + + + + + −

với
,
x y
∈
ℝ

1 1 1
2B xyz
x y z
= + + +
, với
, , 0

x y z
>

thoả mãn
2 2 2
1
x y z
+ + =

01688559752


Tài liệu tham khảo - 20 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 41 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây luôn đồng biến
a) y = x

3
– mx

2
+ (m + 6)x – 2
b) y = x

3
– 2(m – 1)x

2
+ (2m

2

– m + 2)x + m – 3
Bài 42 : Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau luôn nghịch biến
a) y = –x

3
+ (a +

1)x

2
– (2a +

1)x – 3

b)
7
5 3
ax a
y
x a
+ −
=
− +

Bài 43 : Tìm các giá trị của m để hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
a) y = x

3
+ 2mx

2
+ (m

2
– m)x + 2 b) y = (m –

1)x

4
– 2mx

2
– 3
c)
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+

d)
2
8
x mx
y
x m

+ −
=
−

Bài 44 : Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
a) y = 2x

3
+ (m + 1)x

2
+ (m

2
– 4)x – m + 1 đạt cực đại tại
0
0
x
=

b) y = (2m

2
– 1)x

3
– mx

2
+ (2m + 3)x – 2 đạt cực tiểu tại

0
1
x
= −

c)
2
6
3
m
y
−
=
3 2
1
x mx
+ +
đạt cực tiểu tại
0
2
x
=

d)
1
2
y
=
4 2
x mx n

− +
đạt cực tiểu bằng –2 tại
0
1
x
=

Bài 45
*
: Tìm các giá trị của α để hàm số sau luôn đồng biến trên R:
1
3
y
=
3 2
(sin cos ) ( 3 cos2 1). 3
x x x
α α α
− − + − +

Bài 46 :Tìm m để hàm số y = mx

3
– mx

2
– (m +

1)x + 4 nghịch biến trên
a) Khoảng (–∞;0) b) Khoảng

1
3
( ;2)

Bài 47
*
: Tìm m để hàm số y = x

3
+ 2(m – 1)x

2
+ (m

2
– 3m + 2)x + 2 có
các điểm cực đại, cực tiểu
1 2
,
x x
sao cho
1 2
1 2
1 1
2
x x
x x
+
+ =

Bài 48
*
: Tìm m để đồ thị hàm số y = x

4
– 2mx

2
+ 2m có ba điểm cực trị
lập thành ba đỉnh của một tam giác đều.
Bài 49 : Chứng minh rằng
a) Nếu
(cos 2 sin 2 )
x
y e x x
= +
thì
2 5 0
y y y
′′ ′
− + =

b) Nếu
4
2
x x
y e e
−
= +
thì

13 12
y y y
′′′ ′
− =

c) Nếu
ln
x
y
x
= thì
2
3 0
y xy x y
′ ′′
+ + =

Bài 50
*
: Giải phương trình
3
4 3 ( 2) 2 1
x x x x
+ = + +

Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 21 - THPT Chu Văn An













 !
 ! !
 !"
""
"

#
##
#

1. Phương trình mũ
Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với a > 0, b > 0 và m,n ∈ R ta có
(
)
.
1 1
n
m n m n m mn
m
m
m n m

n
n
n
n n
n n
a a a a a
a
a a a
a
a a
a a
+
−
−
−
= =
= =
= =
i i
i i
i i

( )
(
)
(
)
( ) .
n
n

n n n
n
a a
b
b
n n
a b
b a
ab a b
−
=
=
=
i
i
i

a) Phương trình mũ cơ bản: với a > 0 và a ≠ 1, ta có
 a

x
= b vô nghiệm nếu b ≤ 0

log
x
a
a b x b
= ⇔ =
nếu b > 0
b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với a > 0 và a ≠ 1, ta có

( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:
 Phương pháp giải chung:
0 Biến đổi phương trình theo luỹ thừa
( )
f x
a
, chẳng hạn:

2 ( ) ( )
. . 0
f x f x
ma na p
+ + =


( )
( )
1
. . 0
f x
f x
a
ma n p
+ + =

1 Đặt
( )
f x
t a
=
(kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình
2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Đối chiếu nghiệm
0
t
tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x.
 Lưu ý 1: với a > 0 ta có
( )
( )
1
f x
f x
a
a
−
=

 Lưu ý 2: gặp dạng
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x

ma n ab pb
+ + =
, ta chia 2 vế
phương trình cho
2 ( )
f x
b

d) Phương pháp lôgarit hoá: với 0 < a ≠ 1 và 0 < b ≠ 1, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
log log
f x g x f x g x
a a
a b a b
   
= ⇔ =
   
   

e) Phương pháp khác: dùng tính đơn điệu của hàm số, dùng bất đẳng
thức, đặt nhiều ẩn phụ, …

01688559752


Tài liệu tham khảo - 22 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
2. Phương trình lôgarit
Phương pháp chung:  Đặt điều kiện xác định của phương trình
 Biến đổi phương trình để tìm x (nếu có)
 Đối chiếu x tìm được với điều kiện để kết luận

Các công thức và quy tắc tính lôgarit: với
0 1
a
< ≠
và b > 0,
0
α
≠
:



log 1 0
a
=



log ( ) log
n
m
m
a
n
a
b b
= ⋅
(n ≠ 0)




log ( )
a
a
α
α
=



.
log ( ) log log
a a a
m n m n
= +
(m,n > 0)



log
a
b
a b
=



(
)
log log log

m
a a a
n
m n
= −
(m,n > 0)



log ( ) .log
a a
b b
α
α=



log
log
log log .log
c
c
b
a a c
a
b c b
= =
(0 < c ≠ 1)




1
log log
a
a
b b
α
α
= ⋅



1
log
log
b
a
a
b
=
(b ≠ 1)
a) Phương trình lôgarit cơ bản: với
0
a
>
và
1
a
≠
, ta có

log
b
a
x b x a
= ⇔ =

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với
0
a
>
và
1
a
≠
, ta có

log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
= ⇔ =
(kèm điều kiện
( ) 0
f x
>
)

log ( ) ( )
b
a
f x b f x a

= ⇔ =

 Lưu ý: Nếu đã có
( ) 0
f x
>
thì
2
log ( ) 2 log ( )
n
a a
f x n f x
 
=
 
 

 Nếu chỉ có
( ) 0
f x
≠
thì
2
log ( ) 2 log ( )
n
a a
f x n f x
 
=
 

 

 Biến đổi sau đây rất dễ sai sót (không nên sử dụng):
 Đưa
α
ra ngoài:
log ( )
a
f x
α
 
 
 
thành
.log ( )
a
f x
α

 Tách
log ( ). ( )
a
f x g x
 
 
 
thành
log ( ) log ( )
a a
f x g x

+

 Tách
( )
( )
log
f x
a
g x
 
 
 
thành
log ( ) log ( )
a a
f x g x
−

(chỉ được dùng các biến đổi trên khi
( ) 0, ( ) 0
f x g x
> >
)
 Nên dùng biến đổi dưới đây:
 Đưa
α
vào trong:
.log ( )
a
f x

α
thành
log ( )
a
f x
α
 
 
 

 Nhập
log ( ) log ( )
a a
f x g x
+
thành
log ( ). ( )
a
f x g x
 
 
 

 Nhập
log ( ) log ( )
a a
f x g x
−
thành
( )

( )
log
f x
a
g x
 
 
 


Dương Phước Sang
Dương Phước Sang - 23 - THPT Chu Văn An
c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:
0 Biến đổi phương trình theo
log ( )
a
f x
, chẳng hạn:
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a
m f x n f x p
+ + =

1 Đặt
log ( )
a
t f x
=
và thay vào phương trình.

2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm
0
t
(nếu có)
3 Từ
0
t t
=
ta giải phương trình lôgarit cơ bản tìm x.
d) Phương pháp mũ hoá: với
0 1
a
< ≠
và
0 1
b
< ≠
, ta có
log ( ) log ( )
log ( ) log ( )
a b
f x g x
a a
f x g x a a= ⇔ =

e) Phương pháp khác: dùng tính đơn điệu của hàm số, bất đẳng thức,…
3. Bất phương trình mũ – lôgarit (đơn giản)
Hàm số mũ
x
y a

=
và hàm số lôgarit
log
a
y x
=
đều có tính chất:
“đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi
0 1
a
< <
”
a) Bất phương trình cơ bản
 Trường hợp a > 1:
Với b ≤ 0 ta có 
x
a b x
> ⇔ ∈
ℝ

x
a b x
φ
< ⇔ ∈


Với b > 0 ta có 
log
x
a

a b x b
> ⇔ >


log
x
a
a b x b
< ⇔ <

Với
b
∈
ℝ
ta có 
log
b
a
x b x a
> ⇔ >

log 0
b
a
x b x a
< ⇔ < <

 Trường hợp 0 < a < 1:
Với b
≤

0 ta có 
x
a b x
> ⇔ ∈
ℝ

x
a b x
φ
< ⇔ ∈


Với b > 0 ta có 
log
x
a
a b x b
> ⇔ <


log
x
a
a b x b
< ⇔ >

Với
b
∈
ℝ

ta có 
log 0
b
a
x b x a
> ⇔ < <

log
b
a
x b x a
< ⇔ >

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số
 Trường hợp a > 1: 
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >


log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
a a
f x g x f x g x
> ⇔ > >

 Trường hợp 0 < a < 1: 
( ) ( )
( ) ( )

f x g x
a a f x g x
> ⇔ <


log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )
a a
f x g x f x g x
> ⇔ < <

(giả sử
( ), ( )
f x g x
đều có nghĩa)
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
Cách đặt ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) hoàn toàn tương
tự như cách đặt khi giải phương trình mũ, phương trình lôgarit.
d) Phương pháp khác: dùng bảng xét dấu, tính đơn điệu hàm số,…


01688559752


Ti liu tham kho - 24 - ễn tp tt nghip mụn Toỏn
V D MINH HO

Bi 1 : Gii cỏc phng trỡnh sau õy:
a)
2
3

5 625
x x+
=
b)
(
)
1
5 7
2
3
(1, 5)
x
x
+

=
c)
1
2 .5 200
x x+
=

Bi gii
Cõu a:
2 2
3 3 4 2 2
5 625 5 5 3 4 3 4 0
x x x x
x x x x
+ +

= = + = + =

hoaởc
1 4
x x
= =

Vy, phng trỡnh ó cho cú 2 nghim: x = 1 v x = 4
Cõu b:

(
)
(
)
(
)
1 5 7 1
5 7
2 3 3
3 2 2
(1,5) 5 7 1 1
x x x
x
x x x
+

= = = =

Vy, phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht: x = 1
Cõu c: 2

x + 1
.5
x
= 200 2.2
x
.5
x
= 200 10
x
= 100 x = 2
Vy, phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht: x = 2

Bi 2 : Gii cỏc phng trỡnh sau õy:
a) 9
x
5.3
x
+ 6 = 0 b) 4
x 1
+ 2.2
x + 1
21 = 0
c) 5
x
2.5
2 x
+ 5 = 0 d) 6.9
x
13.6
x

+ 6.4
x
= 0

Hng dn gii v ỏp s
Cõu a: 9
x
5.3
x
+ 6 = 0 3
2x
5.3
x
+ 6 = 0
t t = 3
x
(t > 0), phng trỡnh trờn tr thnh:
(nhaọn so vụựi )
(nhaọn so vụựi )
2
3 0
5 6 0
2 0
t t
t t
t t

= >

+ =

= >




3
t
=
thỡ 3
x
= 3 x = 1 t = 2 thỡ
3
3 2 log 2
x
x
= =

Vy, phng trỡnh ó cho cú 2 nghim: x = 1 v
3
log 2
x
=

Cõu b: 4
x 1
+ 2.2
x + 1
21 = 0
4

4
x

+ 2.2
x
21 = 0 4
x
+ 8.2
x
84 = 0
Hng dn: t t = 2
x
(t > 0). ỏp s:
2
log 6
x
=

Cõu c:
2
50
5 2.5 5 0 5 5 0
5
x x x
x

+ = + =

Hng dn: t t = 5
x

(t > 0). ỏp s: x = 1
Cõu d: 6.9
x
13.6
x
+ 6.4
x
= 0. Chia 2 v ca phng trỡnh cho 4
x
ta c
(
)
(
)
(
)
(
)
2
9 6 3 3
4 4 2 2
6 13 6 0 6 13 6 0
x x x x
+ = + =

Hng dn: t
(
)
3
2

( 0)
x
t t= >
. ỏp s:
1
x
=