PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ CÙNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÙNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG


1. BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN

Bài toán 1.1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
+ Tìm tập xác định.
+ Tính đạo hàm
'
y
. Cho
' 0
y

, tìm các nghiệm (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến.

Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số:
a)
3 2
3 2
y x x
  
b)
2 3
3 8
y x x

  c)
3 2
6 9
y x x x
  
d)
4
2
1
4 4
x
y x
  

e)
4 2
8 5
y x x
  
f)
2 3 4
16
16 2
3
y x x x x
   
g)
3 2
7
x

y
x



h)
1
2 1
y
x



i)
3 2
x
y
x

 j)
2
1
2
x x
y
x
 


k)

2
1
1
x x
y
x
  


l)
2
2 3
2
x x
y
x
 



Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số:
a)
2
4 5
y x x
  
b)
2
2 5 3
y x x

  
c)
2
3
y x x
 
d)
2
18 2
y x
 
e) 3
y x x
  
f)
2
1
y x x
 
g)
10
x
y
x


h)
3
2
6

x
y
x



Bài 3. Xét tính đơn điệu của các hàm số:
a)
sin , [0;2 ]
y x x x

  
b)
5
2cos , ;
6 6
y x x x
 
 
  
 
 
c)
2
sin cos , [0; ]
y x x x

  
d)
2

cos
y x x
  trên

e)
2sin tan 3
y x x x
  
trên
0;
2

 
 
 
f)
1
sin
2
y x x
  trên
[0;2 ]

.

Bài toán 1.2. Tìm m để hàm số đa thức bậc 3 đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định (trên

)

+ Tập xác định:

D


.
+ Đạo hàm
2
'
y ax bx c
  


 Nếu a có chứa tham số m:
* Xét trường hợp
0
a

để nhận xét
'
y
và xem giá trị tham số m thỏa đề bài không.
* Xét trường hợp
0
a

:
+ Hàm số đồng biến trên

0
' 0,
0

a
y x


    

 



+ Hàm số nghịch biến trên

0
' 0,
0
a
y x


    

 



 Tìm m và kết hợp cả 2 trường hợp để kết luận.

 Nếu a không chứa tham số m:
+ Hàm số đồng biến trên


0
' 0,
0
a
y x


    

 



+ Hàm số nghịch biến trên

0
' 0,
0
a
y x


    

 



 Tìm m và kết luận.

GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 2

Bài 4. Tìm m để hàm số sau đồng biến với mọi
x
:
a)
3 2
1
( 1) 9
3
y x x m x
    
b)
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
     

c)
3 2 2
(2 1) ( 2 4) 3
y x m x m m x
      
d)
3
2
3
( 6) 3
3 2

x m
y x m x

    

e)
3 2
1
( 1) 4 5
3
y x m x m
    
f)
3 2
1
( 3) 2
3
y m x x mx
   
g)
3 2
1
2(2 ) 2(2 ) 5
3
m
y x m x m x

     
h)
2 3 2

1
( 1) ( 1) 3 5
3
y m x m x x
     

i)
2 3 2
( 2 3) ( 3) 2
y m m x m x x m
      
j)
3 2
1
( 3) ( 2) 2( 1)
3
y m x m x m x m
       

Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên tập xác định:
a)
3 2
(2 5) 1
y x x m x
     
b)
3 2
(6 3) (12 5) 2
y x m x m x
      

c)
3 2 2
1
( 2) (2 4 5) 5
3
y x m x m m x
       
d)
3 2
( 4) (5 3 ) 6
3 2
x x
y m m x
      

e)
3 2 2
1
( 1) (2 3 5) 11
3
y x m x m m x
       
f)
3 2
1
( 3) 2 1
3
y m x x mx
    

g)
3 2
1
( 1) (2 4) 2( 2) 7
3
y m x m x m x
       
h)
2 3 2
1
( 4) ( 2) 4 1
3
y m x m x x
     

Bài 6. Chứng minh rằng với m mọi thì hàm số:
a)
3 2 2
( 1) ( 2)
y x m x m x m
      
luôn nghịch biến.
b)
3 2 2
1
( 2) (2 4 5) 2
3
y x m x m m x
      

đồng biến trên tập xác định của nó.
Bài 7. Cho hàm số
4
mx
y
x m



. Tìm m để hàm số:
a) Nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. b) Nghịch biến trên khoảng
( ;1)

.

Bài toán 1.3. Tìm m để hàm số đa thức bậc 3 đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng K.

 Cách 1. Biện luận theo dấu của đạo hàm và nghiệm của phương trình y’ = 0.
Xét từng trường hợp cụ thể:
 Phương trình
' 0
y

vô nghiệm và có nghiệm kép.
 Phương trình
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt.
 Dẫn đến điều kiện của tham số m.

 Cách 2. Dùng phương pháp biến thiên hàm số.
 Hàm số đồng biến trên khoảng K ' 0,
y x K
   

+ Đưa biểu thức về dạng ( ) ( ),
g m h x x K
  

+ Tính
'( )
h x
và lập bảng biến thiên của hàm số
( )
h x
trên K.
+ Suy ra giá trị
( )
g m
rồi kết luận m.
 Hàm số nghịch biến trên khoảng K ' 0,
y x K
   

+ Đưa biểu thức về dạng ( ) ( ),
g m h x x K
  

+ Tính
'( )

h x
và lập bảng biến thiên của hàm số
( )
h x
trên K.
+ Suy ra giá trị
( )
g m
rồi kết luận m.

Bài 8. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng đã chỉ ra:
a)
3 2
3 2
y x x mx
    
trên


0;2
. b)
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
      
trên



0;3
.
c)
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
     
trên


2;

; trên
( ; 1)
 
.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 3
d)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
     
trên


2;


.
e)
3 2
3 ( 1) 4
y x x m x m
      trên
( 1;1)

. f)
2
( )
y x m x m
  
trên


1;2
.
g)
2 2
5 6
3
x x m
y
x
  


trên
(1; )


. h)
2
2 (2 1) 1
2
x m x k
y
x
   


trên


3;

.
Bài 9. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trong khoảng cho trước:
a)
3 2
3 3
y x x mx m
   
trong


0;3
. b)
3 2
1 1 7

( 1)
3 2 3
y x x m x
    
trong


2;0

c)
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
      
trong


0;1
. d)
2
6 2
2
mx x
y
x
 



trong
(1; )


e)
2
2 3
2 1
x x m
y
x
  


trong
1
;
2
 
 
 
 
. e)
3
2
( 1) ( 6)
3
x
y m x m x
     trong (1;4).

Bài 10. Tìm m để hàm số
a)
3 2
3
y x x mx m
   
nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
b)
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
      
đồng biến trong đoạn có độ dài bằng 4.

Bài toán 1.4. Chứng minh bất đẳng thức ( ) ( ),
g x h x x K
  
dựa vào tính đơn điệu của hàm số.
+ Xét hàm số
( ) ( ) ( )
f x g x h x
 
với
x K

.
+ Tính
'( )

f x
.
+ Chứng minh hàm số
( )
f x
đơn điệu trên K (đồng biến hoặc nghịch biến trên K).
+ Dựa vào tính đơn điệu của
( )
f x
trên K để suy ra điều cần chứng minh.

Bài 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
sin
x x

với
0
x

. b) khi
0
x

thì
sin 2012 2013
x x

. c)
2

cos 1
2
x
x
 
với
0
x

.
d)
2
cos 1 ,
2
x
x x
   

. e)
tan sin
x x

,0
2
x

 
. f)
tan
x x


, 0
2
x

 
.
g)
3
tan
3
x
x x  ,
0;
2
x

 
 
 
 
. h)
sin tan 2
x x x
 
,
0;
2
x


 
 
 
 
.
i)
sin cos 1
x x x
 
,
0;
2
x

 
 
 
 
. j)
2
sin
x
x

 với 0
2
x

 
.

Bài toán 1.5. Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng tính đơn điệu của hàm số.
+ Đưa phương trình, bất phương trình về dạng ( ) , ( )
f x m f x m
 
.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
.
+ Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Bài 12. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)
2
2 . 2 144
x x   b)
2
4 1 4 1 1
x x
   
c)
5 5
x x   , tìm nghiệm duy nhất
đó.
Bài 13. Cho phương trình
2
3 1
x m x
  

. Tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm duy nhất. b) Vô nghiệm.
Bài tập tương tự: 13.1. Tìm m để phương trình 2
x x m
  
có:
a) nghiệm duy nhất
b) hai nghiệm phân biệt.
Bài 14. Tìm m để bất phương trình
3 1
mx x m
   
có nghiệm.
Bài 15. Tìm m để phương trình
4
4
13 1 0
x x m x
    
có đúng một nghiệm.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 4
2. BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Bài toán 2.1. Tìm cực trị hàm số theo Quy tắc 1.
+ Tìm tập xác định.
+ Tính đạo hàm
'
y
. Cho

' 0
y

, tìm các nghiệm (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên kết luận cực đại, cực tiểu của hàm số.

Bài 16. Tìm cực trị của các hàm số:
a)
3 2
2 9 12 3
y x x x
   
b)
3 2
3 3 7
y x x x
    
c)
4 2
1 1 1
4 2 4
y x x
  
d)
4 3
27
y x x
  

e)
2
10 9
y x x
  
f)
2
8 2
y x x
  g)
2
4
y x x
 
h)
3 1
2
x
y
x
 



i)
2
1
x
y
x


 
j)
2
2 5
1
x x
y
x
 


k)
2
5
1
x x
y
x
 


l)
2
1
8
x
y
x






Bài toán 2.2. Tìm cực trị hàm số theo Quy tắc 2.
+ Tìm tập xác định.
+ Tính đạo hàm
'
y
và
''
y
.
Cho
' 0
y

. Tìm các nghiệm
1 2
, ,
x x
thuộc tập xác định.
+ Tính
1 2
''( ), ''( ),
y x y x Rồi kết luận cực đại và cực tiểu của hàm số.

Bài 17. Tìm cực trị của các hàm số:
a)
3 2

2 3 12 1
y x x x
   
b)
4 3
4 2
y x x
  
c)
2 3
5 3
y x x
  
d)
3 2
9 27
y x x x
  
e)
4
y x
x
 
f)
1
x
y
x



g)
cos , 0 3
y x x x

   

h)
2sin cos2
y x x
 
với


0;
x

 i) 2sin
y x x
 
trên


;
 

j)
2
3 cos sin
y x x
  trên



0;

k)
sin cos , ;
2
y x x x


 
   
 
 

l)
sin 2
y x

m)
2
sin
y x
 n)
cos sin
y x x
 

o)
sin .cos

y x x

p)
sin sin
y x x

 

Bài toán 2.3. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực đại và cực tiểu (có 2 cực trị)
+ Tập xác định.
+ Tính
'
y
(Giả sử
2
'
y ax bx c
  
).
+ Để hàm số có cực đại và cực tiểu

phương trình
' 0
y

có 2 nghiệm phân biệt.
0
0 ( ' 0)
a
hay





   


 Tìm m và kết luận.

Bài 18. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu:
a)
3 2
1
(3 2) 1
3
y x mx m x
    
b)
2 2
1
( 3) 2 4
3
y m x x mx
    

c)
3 2
( 2) 3 5
y m x x mx
    

d)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) 2
y x m x m m x m
      

Bài toán 2.4. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị.
+ Tập xác định.
+ Tính
'
y
(Giả sử
2
'
y ax bx c
  
).
 Nếu a không chứa tham số m: Thực hiện tương tự bài toán 2.3.
 Nếu a có chứa tham số m:
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 5
* Xét trường hợp
0
a

để nhận xét
'
y
có đổi dấu không.
* Xét trường hợp

0
a

:
Để hàm số có cực đại và cực tiểu

phương trình
' 0
y

có 2 nghiệm phân biệt.
0 ( ' 0)
hay
    

 Tìm m. Kết hợp cả 2 trường hợp để kết luận.
Bài toán 2.4’. Tìm m để hàm số bậc 3 không có cực trị.

Bài 19. Tìm m để hàm số sau có cực trị:
a)
3 2
1
( 3) 2 ( 4)
3
y m x x mx m m
     
b)
3 2
2 1
y x x mx

   
c)
3 2 3
3 3
y x mx m
  
d)
3
( 3) 2 3
y m x mx
   
e)
3 2 2
2 2
2(3 1)
3 3
y x mx m x
    

Bài 20. Tìm m để hàm số sau không có cực trị:
a)
3 2
3 3 2 4
y x x mx m
    
b)
3 2
3 ( 1) 3
y mx mx m x
    

Bài toán 2.5. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
0
x x


+ Tìm TXĐ.
+ Tính
'
y
.
 Cách 1
+ Tìm m để hàm số có cực trị (BT 2.4) (*)
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
x x

thì
0
'( ) 0
y x

 Tìm m.
+ So với điều kiện (*) để kết luận m thỏa đề bài.
 Cách 2
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
x x


thì
0
'( ) 0
y x

 Tìm m.
+ Với mỗi giá trị m vừa tìm, thử lại bằng cách lập bảng biến thiên.
(Với m nào làm cho
'
y
đổi dấu khi đi qua
0
x
thì nhận)
+ Kết luận m thỏa đề bài.
 Cách 3
+ Để hàm số đạt cực trị tại
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
x x
y x


 





 Tìm m và kết luận.

Bài 21. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
(2 1) ( 5) 1
y x m x m x
      
đạt cực trị tại
1
x

.
b)
3 2 2 2 2
1
( 2) (3 1) 2
3
y x m m x m x m
       
đạt cực trị tại
2
x
 
.
c)
3 2
2

5
3
y x mx m x
 
    
 
 
đạt cực trị tại
1
x

, khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu?

Bài toán 2.6. Tìm m để hàm số đạt cực đại / cực tiểu tại
0
x x

.
+ Tìm TXĐ.
+ Tính
'
y
và
''
y
.
+ Để hàm số đạt cực đại tại
0
0
0

'( ) 0
''( ) 0
y x
x x
y x


 




+ Để hàm số đạt cực tiểu tại
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
y x
x x
y x


 




 Tìm m và kết luận.

GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 6

Bài 22. Tìm m để hàm số:
a)


3 2
(2 1) 5 1
y x m x m x
      
đạt cực tiểu tại
1
x

.
b)
3 2 2 2
1
( 2) (3 1) 4
3
y x m m x m x m
      đạt cực đại tại
2
x
 
.
c)
4 2
2( 2) 5

y mx m x m
     
có một cực đại là
1
2
x

.
d)
2 3 2
( 5 ) 6 6 6
y m m x mx x
     
đạt cực đại tại
1
x

.
e)
sin 3 sin
y x m x
 
đạt cực đại tại
3
x


. f)
4 2
2 5 3

y x mx m
    
đạt cực đại tại
3
3
x 
Bài 23. Tìm a và b để hàm số:
a)
4 2
1
2
y x ax b
  
đạt cực tiểu bằng
2

tại
1
x

.
b)
4 2
1
4
y x bx a
   
đạt cực đại tại
2
x

 
với giá trị cực đại là 5.
Bài 24. Cho hàm số
3 2
y x ax bx c
   
. Tìm
, ,
a b c
để hàm số đạt cực trị bằng 0 tại
2
x
 
và đồ thị
của nó đi qua điểm
(1;0)
M .

Bài toán 2.7. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3.
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị (Bài toán 2.3)
Khi đó:
+ Thực hiện phép chia
y
cho
'
y
(đôi khi ta lấy
3
y
chia cho

'
y
), ta được:
 Thương là
( )
g x


 Dư là ( )
r x ax b
 

+ Ta có:
'( ). ( ) ( )
y y x g x r x
 

+ Gọi
1 2
,
x x
là hoành độ của 2 cực trị
1 2
'( ) 0, '( ) 0
y x y x
  

+ Do đó, phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là
y ax b
 

.

Bài 25. Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị đó:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m
    
b)
3 2
7 3
y x mx x
   

c)
3 2 2 3 2
3 3(1 )
y x mx m x m m
      
d)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1
y x m x m x
     


Bài toán 2.8. Cực trị của hàm trùng phương
4 2
( 0)
y ax bx c a

   

+ Đạo hàm
3
' 4 2
y ax bx
 
+ Phương trình
2
0
' 0
4 2 0 (*)
x
y
ax b


 

 


 Hàm số luôn đạt cực trị tại
0
x

.
 Hàm số có 3 cực trị

phương trình

' 0
y

có 3 nghiệm phân biệt


phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
0
x




. 0
a b


Lưu ý: Khi đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C (với A nằm trên Oy) thì
ABC

cân tại A.
 Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu

phương trình
' 0
y

có 3 nghiệm phân biệt và
0
a




0
0
a
b







 Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

phương trình
' 0
y

có 3 nghiệm phân biệt và
0
a



0
0
a
b








GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 7
 Hàm số có đúng 1 cực trị

phương trình (*) vô nghiệm hoặc có duy nhất nghiệm
0
x



. 0
0
a b
b








Bài 26. Tìm giá trị tham số m hoặc k để hàm số:

a)
4 2 2
1 1
5
4 2
y x mx m
    
có ba điểm cực trị. b)
4 2 2
2( 1) 3
y x m x m
    
có ba cực trị.
c)
4 2
( 1) 1 2
y kx k x k
    
chỉ có một cực trị.
d)
2 4 2
(3 ) ( 1) 6 9
y k k x k x k
     
có một cực đại và hai cực tiểu.

Bài toán 2.9. Tìm m để hàm số bậc 3/bậc 4 có cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K cho trước.
+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*)
+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của phương trình
' 0

y

.
(Có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng tích của các hoành độ).
+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K.
+ So với điều kiện (*) để kết luận m thỏa đề bài.

Bài 27. Xác định giá trị tham số m để đồ thị hàm số:
a)
3 2
3 2
y x x mx
   
có điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng
1
y x
 
.
b)
3 2 3
3 4
y x mx m
   có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
y x

.
c)
3 2
3 3 1
y x mx m

    
có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
8 74 0
x y
  
.
d)
3 2
3( 1) 9 2
y x m x x m
     
có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
1
2
y x
 .
e)
3 2
3 2
y x x mx
   
có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua 2 điểm cực trị này song
song với đường thẳng
4 3
y x
  
.
f)
3 2
7 3

y x mx x
   
có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua 2 điểm cực trị này vuông
góc với đường thẳng
3 7
y x
 
.
g)
3 2
3 2
y x x mx
   
có đường thẳng qua 2 cực trị tạo với đường thẳng
4 5 0
x y
  
một góc
0
45
.
h)
3 2
3 2
y x x
  
có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu tiếp xúc với đường tròn (C) có phương
trình
2 2
( ) ( 1) 5

x m y m
    
.
i)
3 2
6 9 2
y x mx x m
    có 2 điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng
qua hai cực trị bằng
4
5
.
j)
3 2
3 2
y x x mx
   
có 2 cực trị và đường thẳng qua 2 cực trị tạo với 2 trục một tam giác cân.
Bài 28. Tìm giá trị tham số m (hoặc tham số a) để hàm số
a)
3 2
3( 1) 9
y x m x x m
    
có 2 cực trị
1 2
,
x x
thỏa
1 2

| | 2
x x
 
.
b)
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
y x m x m x m
      
đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
1
| |
3
x x
 
.
c)
3 2
4 3
y x mx x
  
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x

thỏa
1 2
4
x x
 
.
d)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y x m x m x
     
có cực trị
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2 1
x x
 
.
e)
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
y x m x m x m
      
có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của
điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

f)
3 2
1
3 4
3
y x mx mx
   
đạt 2 cực trị
1 2
,
x x
thỏa điểu kiện
2
2
1 2
2 2
1 2
2 9
2
2 9
x mx a a
a x mx a
 
 
 
.
g)
3 2 2
1 1
( 3)

3 2
y x mx m x
    có các điểm cực trị có hoành độ dương và
2 2
1 2
5
2
x x
 
.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 8
h)
3 2 3
2 3( 1) 6
y x m x mx m
    
có hai điểm cực trị A và B sao cho
2
AB 
.
i)
3 2 2 3
3 3( 1) 4 1
y x mx m x m m
      
có hai điểm cực trị A, B thỏa điều kiện
OAB

vuông tại O.

j)
3 2 2
3 1
y x x m m
    
có hai điểm cực trị A và B sao cho diện tích
ABC

bằng 7, biết
( 2;4)
C

.
k)
3 2
1
1
3
y x mx x m
    
có 2 điểm cực trị và khoảng các giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất.
l)
3 2 3
1 4
( 1) ( 1)
3 3
y x m x m
    
có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía của đường tròn (c) có
phương trình

2 2
4 3 0
x y x
   
.
Bài 29. Xác định tham số m để hàm số
a)
4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
     
có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân.
b)
4 2 2
2( 2) 5 5
y x m x m m
     
có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác đều.
c)
4 2 4
2 2
y x mx m m
    có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
d)
4 2 2 4
2
y x m x m m
   
có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.
e)

4 2 2
2
y x mx m m
   
có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng
0
120
.

3. BÀI TOÁN TÌM GTLN – GTNN

Bài toán 3.1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số
( )
y f x

trên đoạn D = [a;b].
+ Xét hàm số trên
[ ; ]
D a b


+ Tính
'
y
. Cho
' 0
y

, tìm các nghiệm
1 2

, ,
x x D

.
+ Tính các giá trị
1 2
( ), ( ), , ( ), ( ).
y x y x y a y b

+ Kết luận
[ ; ]
max
a b
y
và
[ ; ]
min
a b
y
.

Bài 30. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a)
3 2
1
3
y x x
 
trên đoạn



1;3
. b)
 
4 2
1 1
2 2
y f x x x
    
trên đoạn


0;2
.
c)


3 2
2 3 12 1
y f x x x x
    
trên
5
2;
2
 

 
 
. d)



4 2
8 16
y f x x x
   
trên đoạn


1;3
 .
e)
2 1
2
x
y
x



trên đoạn
1
;1
2
 

 
 
. f)
4

1
2
y x
x
   

trên đoạn


1;2
 .
g)
 
2
2 3
2
x x
y f x
x
 
 

trên đoạn


0;3
. h)
 
2 1
1

x
y f x
x

 

trên đoạn


2;4
.
i)


5 4
y f x x
  
trên đoạn


1;1
 . j)
2
4
y x x
 
trên đoạn
1
;3
2

 
 
 
.
k)
2
4
y x x
  
. l)
2
100
y x
 
trên
[ 8;6]

. m)
2
25
y x
 
. n)
2
3 4
y x x
  
.
Bài 31. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a) sin 2

y x x
 
trên đoạn
;
2 2
 
 

 
 
. b)
2 cos
y x x
  trên đoạn
0;
2

 
 
 
.
c)
2sin sin 2
y x x
 
trên đoạn
3
0;
2


 
 
 
. d)
2 cos2 4sin
y x x
  trên đoạn
0;
2

 
 
 
.
f) sin 2
y x x
 
trên
;
6 2
 
 

 
 
. g)
sin
2 cos
x
y

x


trên


0;

h)
3. 2sin
y x x
  trên


0;

.
Bài 32. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a)
2
cos 2 cos 3
y x x
   
. b)
3 2
2sin cos 4sin 1
y x x x
   
trên
[0; ]



GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 9
c)
2
2sin cos 1
y x x
   
trên
0;
2

 
 
 
. d)
3sin 5
sin 2
x
y
x



trên


0;2


.
e)
2
cos cos 3
cos 2
x x
y
x
 


trên


0;

. f)
3
sin cos 2 sin 2
y x x x
   
trên

.
Bài 33. Tìm tham số m để hàm số
a*)
2
2 2
y x mx m
   

đạt GTLN bằng 6 trên
[1;3]
.
b)
2
1
x m m
y
x
 


đạt GTNN trên
[0;1]
bằng
2

.
c)
3 2 2
1 1
( 1) (2 2 2)
3 3
y x m x m m x
       
đạt GTLN bằng 1 trên
[-1;2]
D

.

Bài toán 3.2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số
( )
y f x

trên khoảng
( ; )
K a b

.
+ Xét hàm số trên
( ; )
K a b


+ Tính
'
y
. Cho
' 0
y

, tìm các nghiệm
1 2
, ,
x x K

.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng K.
+ Dựa vào BBT kết luận

( ; )
max
a b
y
và
( ; )
min
a b
y
.

Bài 34. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a)
1
2
1
y x
x
  

tên khoảng


1;

. b)
2
1
1
x

y
x x


 
c)
2
1
1
x x
y
x
 


với
1
x

.
d)
2
9
1
y
x


e)
2 1

1
y
x x
 

trên
(0;1)
. f)
2
2
y x
x
 
,
0
x
 
.
g)
2
x
y
x


trên


2;4
 . i)

2
3
1
x
y
x



j)
2
1
x x
y
x
 

trên


0;

.

Bài toán 3.3. Ứng dụng GTLN – GTNN giải bài toán.

Ví dụ: Trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Giải
Gọi
x

(cm) là chiều dài của hình chữ nhật, với
0 6
x
 
.

Chiều rộng của hình chữ nhật là
6
x



Diện tích của hình chữ nhật là
2
( ) (6 ) 6
S x x x x x
   

Ta cần tìm
(0;6)
x

để
( )
S x
đạt giá trị lớn nhất.
Xét trên khoảng (0;6), ta có
'( ) 6 2
S x x
 

'( ) 0 6 2 0 3
S x x x
     


(0;6)
max ( ) (3) 9
S x S
  

Vậy hình chữ nhật cần tìm là hình vuông có cạnh bằng 3cm.


Bài 35. Tìm cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. Biết rằng diện tích không đổi bằng
2
24
cm
.
Bài 36. Trong tất cả các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10, tam giác có diện tích lớn nhất
là tam giác có tính chất gì?
Bài 37. Tìm hai số có hiệu bằng 13 sao cho tích của chúng bé nhất.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 10
Bài 38. Một tấm bìa hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 30cm và 40cm, người ta cắt bỏ ở bốn gốc bốn
hình vuông bằng nhau để tạo thành một khối hộp không nắp. Tìm cạnh của hình vuông bị cắt bỏ để thể
tích của khối hộp tạo thành là lớn nhất.
Bài 39. Cho hàm số
2
4

y x
 
có đồ thị (C). Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm
đó đến điểm
(0;2)
A là ngắn nhất.

4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán 4.1. Khảo sát và vẽ đồ thị
 Hàm bậc 3 và hàm trùng phương.
+ Tập xác định:
D


.
+ Tính đạo hàm
'
y
. Cho
' 0
y

, tìm nghiệm (nếu có).
+ Giới hạn:
lim
x
y

và

lim
x
y

.
+ Bảng biến thiên.
Kết luận: đồng biến, nghịch biến, cực đại và cực tiểu.
+ Bảng giá trị (5 điểm đặc biệt).
+ Vẽ đồ thị.
 Hàm phân thức
ax b
y
cx d



(với
ad bc

).
+ Tập xác định: \
d
D
c
 
 
 
 
 .
+ Tính đạo hàm

'
y
. Nhận xét
' 0
y

hoặc
' 0
y

,
d
x
c
  
.
+ Giới hạn và tiệm cận:

lim
x
y

= lim
x
y k



Đường thẳng
y k


là tiệm cận ngang.
 lim
d
x
c
y

 
 
 
 
và lim
d
x
c
y

 
 
 
 


Đường thẳng
d
x
c
 
là tiệm cận đứng.

+ Bảng biến thiên.
Kết luận:
 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định.
 Hàm số không có cực trị.
+ Bảng giá trị (4 điểm đặc biệt).
+ Vẽ đồ thị.

Bài 40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a)
3 2
3 4
y x x
  
b)
3 2
1 1
3
3 3
y x x x
    
c)
3 2
3 3 2
y x x x
    

d)
3 2
3 4 1
y x x x

   
e)
3 2
2
y x x x
  
f)
3 2
6 6 2
y x x x
   

g)
3
3
y x x
 
h)
3 2
3 3 2
y x x x
   
i)
3 2
2 2
4
3 3
y x x x
   

Bài 41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
4 2
3 6 2
y x x
  
b)
4 2
2 1
y x x
   
c)
4 2
1
2
4
y x x
  d)
4 2
1
1
2
y x x
  

e)
4 2
2 3
y x x
   

f)
4 2
4 3
y x x
  
g)
4 2
1
3 2
2
y x x
   
h)


2
2
2
y x 
Bài 42. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
a)
2
1
x
y
x



b)

2
x
y
x


c)
2 1
1
x
y
x



d)
2
2 1
x
y
x




e)
3
3
y
x


 
f)
2 1
x
y
x
 
 g)
1
1
3
y
x
 

h)
1
4y
x
 

GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 11
Bài tốn 4.2. Bài tốn tương giao giữa hai đồ thị
1
( ) : ( )
C y f x
 và
2

( ) : ( )
C y g x
 .
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
( ) ( )
f x g x

(1)
 Số nghiệm của phương trình (1) bẳng số giao điểm của hai đồ thị.
 Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc là hệ phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x





.
Bài tốn 4.2.1. Dựa vào đồ thị
( ): ( )
C y f x

đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
( , ) 0
F x m

(1).

+ Đưa phương trình (1) về dạng
( ) ( )
f x g m

.
+ Đây là phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và đường thẳng
: ( )
d y g m

(nằm ngang).
Số giao điểm của hai đồ thị bằng số nghiệm của phương trình (1).
+ Dựa vào đồ thị, đưa ra bảng biện luận và kết luận.

Bài tốn 4.2.1. Đồ thị hàm bậc ba
3 2
( 0)
y ax bx cx d a
    
cắt trục hồnh (Ox) tại 3 điểm
phân biệt

Phương trình
3 2
0
ax bx cx d
   
có 3 nghiệm phân biệt.


Hàm số

3 2
y ax bx cx d
   
có cực đại, cực tiểu thoả y
CĐ
.y
CT
< 0.

VẤN ĐỀ. Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thò
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba:
3 2
0
ax bx cx d
   
(a

0) (1)
Gọi (C) là đồ thò của hàm số bậc ba:
3 2
( )
y f x ax bx cx d
    

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3


Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm


(C) và Ox có 1 điểm chung



CĐ CT
f không có cực trò h a
f có cực trò
h b
y y
( .1 )
2
( .1 )
. 0













Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm

(C) tiếp xúc với Ox



2
( .2)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y










Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt



2
( .3)
. 0
CĐ CT
f có cực trò

h
y y






x"
0

C

x
1

(C)

y
CĐ

y
A

o
x
2

x
(H.3)

y
CĐ

x
0

x'
0

B
(C)

y
CĐ

y
A

x
0

o
x
1

B
x'
0

(y

CT
= f(x
0
) = 0)

x
(H.2)
(C)
A
x
0

O
x
y
(h.1a)

(C)
A
x
0

x
y
(h.1b)

x
1
o

x
2

y
CT

y
CĐ

GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 12
Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu


Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt


(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương



2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y
x x

a f hay ad





 

 






Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt


(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm



2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y

x x
a f hay ad





 

 






Bài 43. Cho hàm số
2
2
x
y
x



có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
1
y x

 
.
Bài 44. Cho hàm số
3
3 2
y x x
  
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và parabol (P):
2
2 2
y x
  
, biết giao điểm có hồnh độ dương.
Bài 45. a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C):
2 1
1
x
y
x



.
b) Tìm m để đường thẳng d: 3
y x m
  
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Bài tập tương tự:

45.1. (C):
2 1
2
x
y
x



và đường thẳng d: 2
y x m
 
.
45.2. (C):
1
1
x
y
x



và đường thẳng d: 2
y x m
  
.
Bài 46. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C):
1
1
x

y
x



.
b) Tìm trên đồ thị những điểm cách đều hai trục tọa độ.

x
1

x
A

x
B

x
C

C

(C)

y
CĐ

y
A

o
x
2

x
a > 0

y
CT

B
f(0)

x
1

x
A

x
B

x
C

C

(C)

y

CĐ

y
A

o
x
2

x
a < 0

y
CT

B
f(0)

x
1

x
A

x
B

x
C

C

(C)

y
CĐ

y
A

o
x
2

x
a > 0

y
CT

B
f(0)

x
C

x
2

x

1

x
A

x
B

C

(C)

y
CĐ

y
A

o
x
a < 0

y
CT

B
f(0)

GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 13

Bài 47. Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
  
có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 0
x x m
  
.
c) Với giá trị nào của k thì phương trình:
3 2
4 6 3 0
x x k
   

* Có đúng 2 nghiệm.
* Có 3 nghiệm phân biệt.
* Có đúng 1 nghiệm âm.
Bài 48. Cho hàm số
4 2
4 3
y x x
  
, (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo a số nghiệm của phương trình

4 2
1
4
x a x
 
.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình
4 2
2 8 0
x x m
   
có ít nhất 3 nghiệm.
Bài 49. Cho hàm số
3 2
(2 1) (3 1) 1
y x m x m x m
      
(C
m
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 0.
b) Xác định m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 50. Cho hàm số
3 2
3 2
y x mx m
   (C
m

)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi
1
m
 
.
b) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
Bài 51. Cho hàm số
3 2
2 3 2 1
y x mx m
   
(C
m
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi
1
m
 
.
b) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
c) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất.
d) Tìm m để đồ thị (C
m

) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt.
Bài 52. Tìm m để (C) và đường thẳng d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt:
a)
3
( ): 3 2
C y x x
  
và
: ( 2)
d y m x
 
. b)
3
( ): 3
3
x
C y x

 
và
: 3
d y mx m
 
.
Bài 53. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
2 2
( 1)( 3)
y x x mx m
    

cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
b)
3 2
3 2
y x x mx m
    cắt d:
2
y x
  
tại 3 điểm phân biệt.
c)
3 2
3 (1 2 ) 1
y mx mx m x
    
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
d)
3 2
2 2 2 1
y x x x m
    
cắt (P):
2
2 2
y x x
  
tại 3 điểm phân biệt.
Bài 54. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
4 2

2 1
y x x
  
và đường thẳng :
d y m

cắt tại 4 điểm phân biệt.
b)
4 2 3
( 1)
y x m m x m
   
cắt Ox tại 4 điểm phân biệt.
Bài 55. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
3 2
3 6 8
y x mx mx
   
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
b)
4 2
(2 4)
y x m x m
   
cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
c)
3 2
( 1) ( 1) 2 1
y x m x m x m

      
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp
số nhân.
d)
3 2
3 2( 1) 9 192
y x m x mx     cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Bài 56. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
3 1
4
x
y
x



cắt đường thẳng
: 2
d y x m
 
tại 2 điểm phân biệt A, B. Với giá trị nào của m thì đoạn
AB có độ dài ngắn nhất.
b)
4 1
2
x
y
x




cắt :
d y x m
  
tại 2 điểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa chúng ngắn nhất.
Bài 57. Tìm m để phương trình chỉ có 1 nghiệm
a)
3 2
2 3( 1) 6 2 0
x m x mx
    
b)
3 2
6 3( 4) 4 8 0
x x m x m
     
c)
3
3 2 0
x mx m
  

GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 14
Bài 58. Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm
a)
3 2 2
( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0
x m x m m x m m

       

b)
3
3 2 0
x mx m
  
c)
3 2
3 3(1 ) 3 1 0
x x m x m
     

Bài 59. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
a)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m
     
b)
3
1
0
3
x x m
  

Bài 60. Tìm m để phương trình
a)
3 2

6 3( 4) 4 8 0
x x m x m
     
có 3 nghiệm phân biệt dương.
b)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m
     
có 3 nghiệm phân biệt âm.

Bài tốn 4.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( ): ( )
C y f x

.
 Tiếp tuyến tại điểm
0 0
M( ; )
x y
.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
0 0 0
'( )( )
y y x x x y
  
.
 Biết hệ số góc của tiếp tuyến

là

k
.
+ Gọi
0 0
( ; )
M x y
là tiếp điểm và tiếp tuyến

có dạng
0 0
( )
y k x x y
  
.
+ Ta có
0
'( )
y x k

. Giải tìm
0
x
và
0
y
.
+ Kết luận phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến

có thể được cho gián tiếp như sau:

+

tạo với chiều dương trục hoành góc

thì k = tan


+

song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+

vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a

0) thì k =
1
a


+

tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc

thì
tan
1
k a
ka






 Tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
.
+ Gọi

là tiếp tuyến qua A và có hệ số góc k : ( )
A A
y k x x y
    

+

tiếp xúc với
( )
C
khi hệ
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
A A
f x k x x y
f x k
  





có nghiệm
+ Thay (2) vào (1) tìm x, rồi suy ra k và kết luận tiếp tuyến.

Bài 61. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a)
3 2
( ): 3 7 1
C y x x x
   
tại
(0;1)
M b)
3 4
( ):
2 3
x
C y
x



tại
(1; 7)
N


c)
4 2
( ): 2 1

C y x x
  
tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
Bài 62. Cho hàm số
3 2
1
3
y x x
 
có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và d:
1
3
y x
  
.
Bài 63. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a)
3 2
( ): 2 3 5
C y x x
  
biết hệ số góc của tiếp tuyến là
12
k

.
b)
2 1

( ):
2
x
C y
x



có hệ số góc của tiếp tuyến là
3
k
 
.
c)
4 2
1 3
( ): 3
2 2
C y x x
  
biết tiếp tuyến song song với
: 4 1
d y x
  
.
d)
2 1
( ):
2
x

C y
x



biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng :
d y x

.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 15
e)
3 2
( ):
1
x
C y
x



biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc
0
45
.
f)
3
2
( ): 2 4
3

x
C y x x
   
biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc
0
60
.
g)
3
2
( ): 2 4
3
x
C y x x
   
biết tiếp tuyến tạo với
1
: 3
2
d y x
  
một góc
0
30
.
h)
3 7
( ):
2 5
x

C y
x


 
, tiếp tuyến tạo với đường thẳng :
d y x
 
một góc
0
60
.
Bài 64. Cho hàm số
4 2
1
1
8
y x x
   
có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm
(2; 5)
A

.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua
1
1;
8

B
 

 
 
và tiếp xúc với (C).
Bài 65. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
a)
2
( ):
2
x
C y
x



biết tiếp tuyến đi qua
( 6;5)
A

.
b)
3 4
( ):
1
x
C y
x




biết tiếp tuyến đi qua
(2;3)
A .
c)
4 2
1 3
( ): 3
2 2
C y x x
  
biết tiếp tuyến xuất phát từ
3
0;
2
M
 
 
 
.
Bài 66. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
3 2
( ): (3 ) 2
C y x m x mx
    
tiếp xúc với trục Ox.
b)
3

( ): ( 1) 1
C y x m x
   
tiếp xúc với
: 1
d y x
 
.
c)
3 2
( ): 2 2 1
C y x x x
   
tiếp xúc với đường thẳng :
d y x m
 
.
d)
4 2
( ) : 2 1
C y x x
  
tiếp xúc
2
( ): 2
P y mx m
 
.
e)
4 2

( ): 1
C y x x
   
tiếp xúc
2
( ):
P y x m
  
.
Bài 67. Cho đồ thị hàm số (C):
3 2
10
y x x x
   
. Tìm các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M
a) Song song với đường thẳng
1
: 2
d y x

. b) Vuông góc với đường thẳng
2
:
d y x
 
.
Bài 68. Tìm các điểm trên đường đường thẳng
: 2
d y
 

mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị
(C):
3 2
3 2
y x x
  
vuông góc với nhau.
Bài tập tương tự:
68.1. (C):
3 2
3
y x x
  và đường thẳng d là trục hoành.
Bài 69. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với (C), biết:
a)
3 2
( ): 3 2
C y x x
   
và
: 2
d y

.
b)
3
( ): 3
C y x x
 
và

: 2
d x

.
c)
3
( ): 3 2
C y x x
   
và d là trục Ox.

Bài toán 4.4. Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối.
Cho đồ thị
( ): ( )
C y f x

. Dựa vào đồ thị (C), vẽ đồ thị:

( ') : (| |)
C y f x

.
Ta có
( ) 0
(| |)
( ) 0
f x khi x
y f x
f x khi x



 

 


Đồ thị
( ')
C
gồm 2 phần:
+ Phần 1: là phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy.
+ Phần 2: lấy đối xứng của phần 1 qua trục Oy.

GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 16
Minh họa:



( ') : | ( ) |
C y f x


Ta có
( ) 0
| ( ) |
( ) 0
f x khi y
y f x
f x khi y



 

 


Đồ thị
( ')
C
gồm 2 phần:
+ Phần 1: là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox.
+ Phần 2: lấy đối xứng của phần đồ thị (C) phía dưới Ox qua trục Ox.
Minh họa:


Bài 70. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Suy ra đồ thị (C’). Dựa vào (C’), biện luận theo m số nghiệm của
phương trình (1) đã cho:
a) (C):
3 2
3 6
y x x
  
; (C):
3 2
3 6
y x x
  
;
3 2

3 6
x x m
  
(1)
b) (C):
4 2
2 3
y x x
  
; (C):
4 2
2 3
y x x
  
;
4 2
2 3
x x m
  
(1)
c) (C):
2 2
2
x
y
x



; (C):

2 2
2
x
y
x



;
2 2
2
x
m
x



(1)
d) (C):
3 2
2 9 12 4
y x x x
   
; (C):
3
2
2 9 12 4
y x x x
   
;

3
2
2 9 12
x x x m
  
(1)
e) (C):
2
1
x
y
x


; (C):
2
1
x
y
x


;
( 2). 0
m x m
  
(1)
Bài 71. Cho đồ thị hàm số (C):
3 2
6 9

y x x x
  

a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Vẽ đồ thị (C):
3
2
6 9
y x x x
   .
GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 17
c) Tìm m để phương trình
3
2
6 9 3 0
x x x m
    
có 6 nghiệm phân biệt.
Bài 72. Cho đồ thị hàm số (C):
4
2
5
3
2 2
x
y x
  

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).

b) Tìm k để phương trình
   
4
2 2
5
3 2
2 2
x
x k k
có 8 nghiệm phân biệt.
Bài 73. Cho đồ thị hàm số
4 2
( ): 4 3
C y x x
  

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b) Tìm
a
để phương trình
4 2
| 3 12 9 | 3 0
x x a
    
có đúng 4 nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì phương trình
4 2
| 4 3| 2
x x m
   

có ít nhất 6 nghiệm.

VẤN ĐỀ. Tìm điểm cố đònh của họ đồ thò (C
m
): y = f(x, m)
Cách 1:


Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố đònh (nếu có) của họ (C
m
).
M(x
0
; y
0
)

(C
m
),

m

y
0
= f(x

0
, m),

m (1)


Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:


Dạng 1: (1)

Am + B = 0,

m

Dạng 2: (1)


2
0
Am Bm C
  
,

m



0
0

A
B





(2a)


0
0
0
A
B
C








(2b)


Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x
0
; y

0
) của điểm cố đònh.
Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x
0
, y
0
.
Cách 2:


Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố đònh (nếu có) của họ (C
m
).
M(x
0
; y
0
)

(C
m
),

m

y

0
= f(x
0
, m),

m (1)


Đặt F(m) = f(x
0
, m) thì F(m) = y
0
không đổi

F

(m) = 0 (3)


Giải (3) tìm được x
0
. Thay x
0
vào (1) tìm được y
0
. Từ đósuy ra được các điểm cố đònh.

Bài 74. Tìm điểm có định của họ đồ thị (C
m
) có phương trình:

a)
3 2
9 9
y x mx x m
    b)
4 2
2 4 1
y mx x m
   
c)
3
( 2) 2
y m x mx
   

d)
4 2
5
y x mx m
   
e)
3 2
( 1) 2 ( 2) 2 1
y m x mx m x m
      

Bài 75. Cho hàm số
4 2
1
y x mx m

   
có đồ thị (C
m
). CMR khi m thay đổi thì (C
m
) ln đi qua 2
điểm cố định A, B. Tìm m để tiếp tuyến tại A và B vng góc nhau.

VẤN ĐỀ. Tìm điểm trên đồ thò (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
Tìm các điểm trên đồ thò hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
 có toạ độ là những số nguyên:


Phân tích
( )
( )
P x
y
Q x
 thành dạng ( )
( )
a
y A x
Q x
  , với A(x) là đa thức, a là số nguyên.


Khi đó
x
y








Q(x) là ước số của a. Từ đó tìm các giá trò x nguyên để Q(x) là ước số của a.


Thử lại các giá trò tìm được và kết luận.

Bài 76. Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tọa độ ngun, biết (C) có phương trình:
a)
2
1
x
y
x



b)
10

2
x
y
x



c)
2
2
x
y
x



d)
2
2
1
x x
y
x




GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 18
VẤN ĐỀ. Tìm cặp điểm trên đồ thò (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d

d là trung trực của đoạn AB



Phương trình đường thẳng

vuông góc với d: y = ax = b có dạng:


:
1
y x m
a
  



Phương trình hoành độ giao điểm của

và (C):
f(x) =
1
x m
a
 
(1)



Tìm điều kiện của m để

cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó x
A
, x
B
là các nghiệm của (1).


Tìm toạ độ trung điểm I của AB.


Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d

I

d, ta tìm
được m

x
A
, x
B


y
A
, y
B


A, B.
Chú ý:

A, B đối xứng nhau qua trục hoành


A B
A B
x x
y y



 




A, B đối xứng nhau qua trục tung


A B
A B
x x
y y

 







A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b


2
A B
A B
x x
y y b



 




A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a


2
A B
A B
x x a
y y


 





Bài 77. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
a)
   
3
( ): ; : 2 0
C y x x d x y b)

   

4
( ): ; : 2 6 0
2
x
C y d x y
x

Bài 78. Cho đồ thị hàm số
3
2
11
( ): 3
3 3
x
C y x x

    

a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Tìm trên (C) hai điểm phân biệt M và N đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 79. Tìm trên đồ thị
3
( ): 3 2
C y x x
   
hai điểm sao cho chúng đối xứng nhau qua
( 1;3)
I

.


Bài 80. Cho hàm số
4 2
2 1
y x x
  
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
b) Tìm trên (C) hai điểm A, B sao cho đường thẳng AB song song với trục Ox và khoảng cách từ
điểm cực đại của (C) đến đường thẳng AB bằng 8.
Bài 81. Cho đồ thị hàm số
2
( ):
2 1
x

C y
x




a) Khảo sát và vẽ (C).
b) Tìm những điểm trên (C) cách đều hai điểm
(2;0)
A và
(0;2)
B .
Bài 82. Tìm trên (C):
3 4
2
x
y
x



các điểm các đều 2 đường tiệm cận.
Bài 83. Tìm trên (C):
2 1
1
x
y
x




các điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 84. Tìm trên (C):
2
1
x
y
x



điểm M sao cho
6 5
( , )
5
d M   biết
: 2 2 0
x y
   
.
(d)

(C)

()

B
A
I
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số

Trang 19
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÍCH TỪ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Từ 2002 - 2012

A.12. Cho hàm số
4 2 2
2( 1)
y x m x m
   
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
0
m

.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
B.12. Cho hàm số
3 2 3
3 3
y x mx m
   (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m

.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho

OAB có diện tích bằng 48.
D.12. Cho hàm số

3 2 2
2 2
2(3 1)
3 3
y x mx m x
    
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m

.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
1 2 1 2
2( ) 1.
x x x x
  

CĐ.12. Cho hàm số
2 3
1
x
y
x




(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1), biết rằng d vuông góc với đường thẳng
2
y x
 
.
A.11. Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
 



a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y x m
 
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B.
Gọi
1 2
,
k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để

1 2
k k

đạt giá trị lớn
nhất.
B.11. Cho hàm số
4 2
2 1
y x ( m )x m
   
(1), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m

.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
OA BC

; trong đó O là gốc tọa
độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
D.11. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x




a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng
cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
CĐ.11. Cho hàm số
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
    

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
A.10. Cho hàm số


3 2
2 1 (1)
y x x m x m    
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m

.
b) T ìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
thỏa mãn

điều kiện
2 2 2
1 2 3
4
x x x
  
.
B.10. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x




a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng
2
y x m
  
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng
3
.
D.10. Cho hàm số
4 2
6
y x x

   

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 20
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y x
 
.
CĐ.10. Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
  

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng
1

.
A.09. Cho hàm số
2
2 3
x
y
x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy lần lượt tại 2 điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O.
B.09. Cho hàm số
4 2
2 4
y x x
 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Với giá trị nào của m, phương trình
2 2
2
x x m
 
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
D.09. Cho hàm số


4 2
3 2 3
y x m x m
    có đồ thị là


m
C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi

0
m

.
b) T ìm m để đường thẳng
1
y
 
cắt đồ thị


m
C
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
CĐ.09. Cho hàm số




3 2
2 1 2 2
y x m x m x
     
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
2
m

.
b) T ìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương.

B.08. Cho hàm số
3 2
4 6 1
y x x
  
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm
( 1; 9)
M
 
.
D.08. Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
  
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua
(1;2)
I với hệ số góc
( 3)
k k
 
đều cắt đồ thị hàm số
(1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.
CĐ.08. Cho hàm số
1
x

y
x



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm m để đường thẳng :
d y x m
  
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
B.07. Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1 (1)
y x x m x m      
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m

.
b) T ìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc
tọa độ O.
D.07. Cho hàm số
2
1
x
y
x



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm tọa độ điểm M trên (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác
OAB có diện tích bằng
1
4
.
CĐ.07(CĐ KT Đối ngoại). Cho hàm số
2
( 1)( 2 1) (1)
y x x mx m    
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m

.
b) Định m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn
1

.
CĐ.07(CĐ Xây dựng). Cho hàm số
3 2
2 8
4
3 3
y x x x
   

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 21

b) Tìm m để đường thẳng
8
:
3
d y mx
 
cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
A.06. a) Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
   
.
b) Tìm m để phương trình
3 2
2 | | 9 12 | |
x x x m
  
có 6 nghiệm phân biệt.
D.06. Cho hàm số
3
3 2
y x x
  

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
(3;20)
A và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt.

D.05. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
3 2
1 1
(1)
3 2 3
m
y x x  
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
b) Gọi M là điểm trên (C
m
) có hoành độ bằng
1

. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M song song với
đường thẳng
5 0
x y
 
.
B.04. Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
  
có đồ thị (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hoành độ
0
x
thỏa
0
''( ) 0
y x

. Chứng minh rằng
d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
D.04. Cho hàm số
3 2
3 9 1 (1)
y x mx x   
a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 2.
b) Tìm m để điểm
0 0
( ; )
M x y
của đồ thị hàm số (1) nằm trên đường thẳng
: 1
d y x
 
và có
0
''( ) 0
y x

.
B.03. Cho hàm số

3 2
3 (1)
y x x m  
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
A.02. Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 ) (1)
y x mx m x m m      
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm k để phương trình
3 2 3 2
3 3 0
x x k k
    
có ba nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
B.02. Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10 (1)
y mx m x   
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
D.02. Cho hàm số
2
(2 1)
(1)
1
m x m
y

x
 



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
 
.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng
y x

.
 













GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số
Trang 22

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN LƯU Ý
ĐẠO HÀM
Đạo hàm cơ bản Đạo hàm của hàm hợp Quy tắc