SKKN Khai thác yếu tố trung điểm trong bài Toán hình học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"KHAI THÁC YẾU TỐ TRUNG ĐIỂM TRONG BÀI TOÁN HÌNH
HỌC"
Phần I. Mở đầu
I. lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học mang tính trừu tượng và lôgíc cao,đồng thời còn là
môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc học tập các môn học khác của chương trình phổ
thông. Hình học là phân môn quan trọng của Toán học vừa rèn luyện khả năng đo đạc,
tính toán, suy luận lôgíc vừa phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.Khi nắm chắc kiến
thức và học giỏi hình học nó còn có tác dụng làm cho các em phát huy được tính độc lập
sáng tạo,linh hoạt trong cách tìm lời giải cho các bài toán nói chung và nó còn có ý nghĩa
thực tiễn rất cao trong việc vận dụng kiến thức vào cuộc sống sau này. Qua nhiều năm
trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi rút ra được kinh nghiệm thực tế là:
Việc bồi dưỡng HSG không đơn thuần chỉ là cung cấp cho các em các dạng toán từ cơ
bản đến nâng cao mà phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, tư duy trừu tượng và suy luận
lôgíc – phải biến những điều đó thành kỹ năng và cao hơn là hình thành phương pháp giải
toán, học toán, ứng dụng kiến thức toán thế nào cho hiệu quả. Muốn đạt được những điều
đó trước hết người thầy giáo phải nắm chắc bản chất của từng loại toán, từ đó vừa phân
loại vừa liên kết được từng dạng với nhau đó chính là phương pháp dạy và học toán nói
chung cũng như việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng. Trong rất nhiều những dạng
toán mà tôi đã dày công nghiên cứu, tập hợp trên hai mươi năm làm nghề dạy học qua rất
nhiều tài liệu và các kênh thông tin khác nhau từ SGK trong chương trình đến các loại tài
liệu tham khảo, đề thi các như : Toán về phần nguyên, Toán về diện tích, Toán về
thẳng hàng, Đồng qui,Bất đẳng thức, Cực trị…, từ việc ban đầu là tâp hợp thành
những dạng toán sau đó liên kết chúng để hình thành kỹ năng, phương pháp dạy và học
toán như tôi đã trinh bày ở trên.
Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học là một đề tài mà tôi muốn
xâydựng một phương pháp học mới để đạt được những yêu cầu sau đây:
- Sử dụng thành thạo kẻ đường phụ trong bài toán có yếu tố trung điểm.
- Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy…

- Biết được yếu tố trung điểm có nhiều trong các bài toán : Chứng minh, dựng hình,
quĩ tích, cực trị…
- Vận dụng được nhiều kiến thức khi giải một bài toán đó là cách hay nhất để ôn cũ
biết mới và hình thành kỹ năng tư duy cho học sinh

II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
Thuận lợi : Trong những năm gần đây chất lượng giáo dục được nâng lên rõ rệt, các nhà
trường chú trọng vào việc đổi mới phương pháp dạy và học đặc biệt quan tâm hơn đến
học sinh nhất là coi trọng năng lực tự học của các em.
Môn Toán là môn học mà học sinh rất thích, có nhiều em học rất giỏi đó chính là lợi
thế rất lớn để giáo viên có thể tập trung được tâm huyết và trách nhiệm cũng như lòng
yêu nghề của mình.
Việc dạy cho các em học kiến thức cơ bản trong chương trình rồi từ đó hình thành
phương pháp học bằng việc đưa vào những chuyên đề toán thông qua các hệ thống tài
liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi.
Các kỳ thi HSG ngoài sự quan tâm chỉ đạo của các cấp quản lý giáo dục còn thu hút
được sự quan tâm của đông đảo PHHS. Với hệ thống đề thi ngày càng phù hợp, vừa sát
chương trình
Khó khăn: Với đặc thù vùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, vì vậy việc quan
tâm đến học hành còn hạn chế cả về tinh thần và vật chất dẫn đến hạn chế việc học hành
của các em đặc biệt là môn toán.Chinh vì vậy càng cần phải rèn luyện, bồi dưỡng nhằm
giúp cho các em học sinh khả năng tự học, tự tìm tòi, sáng tạo trong việc học tập, nghiên
cứu để chiếm lĩnh tri thức nhân loại, tích lũy kinh nghiệm cuộc sống mai sau. Vì thế càng
khiến tôi tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu để giảng dạy có hiệu quả cao nhất.

PHẦN II. NỘI DUNG
A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản ,
một số bài tập khó và nâng cao về bài toán có yếu tố trung điểm, ở đây tôi không đưa ra
nhiều cách giải mà chỉ minh hoạ chỉ ra đường lối, phương pháp , thói quen thường gặp ở

bậc THCS . Đó là khi gặp bài toán có yếu tố trung điểm ta nghĩ ngay đến việc tạo ra
đường phụ theo một trong các hướng sau:
+ Hướng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung điểm từ
đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tính chất của hình
bình hành ở lớp 8.
+ Hướng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đường trung bình trong tam giác,
trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đường trung bình liền nhau càng tốt, từ đó sử
dụng các tính chất của các đường trung bình này.
+ Hướng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông đăc
biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đường trung
tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền
trong tam giác vuông.
+ Hướng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đường tròn thì ta kẻ ngay
đường kính của đường tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đường kính đi
qua trung điểm của dây cung trong đường tròn.
Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm mà tôi đã
có được trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi.
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN QUEN THUỘC TRONG CHƯƠNG TRÌNH.
Trong chương trình toán 7 khi nghiên cứu các trường hợp bằng nhau của tam gíac để
giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học
sinh các bài toán sau:
Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn
lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó.
Ta hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia đối
của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM,
Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểm
chung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai đoạn
MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh.
Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngược lại. Qua đó
học sinh được hình dung tính chất đường trung bình của tam giác.

Cũng như vây ta cho học sinh làm bài toán sau:
Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đường trung tuyến thuộc cạnh huyền
bằng nửa cạnh huyền.
P
N
M
C
B
A
Ta cũng hướng dẫn cho học sinh tạo ra trung điểm M là trung điểm chung của hai đoạn
BC và AD.
Khi đó sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC và CDA
bằng nhau để có hai đoạn BC và AD bằng nhau, từ đó ta có điều cần chứng minh của bài
toán.

Sau đó ta cũng cho hoc học sinh chứng minh bài toán ngược lại
Từ bài toán này ta cho học sinh chứng minh bài toán sau:
Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 60° khi và
chỉ khi cạnh kề góc đó bằng một nửa cạnh huyền.
Để giải bài này ta sử dụng đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét tam
giác cân MAB khi có góc B bằng 60° suy ra MAB là tam giác đều và ngược lại, từ cạnh
AB bằng nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB đều dẫn đến góc B bằng 60°.
Cũng từ bài toán 3 ta lại có bài toán sau:
Bài toán 4: Một tam giác có một góc bằng 60° mà hai cạnh kề góc này có một cạnh
bằng một nửa cạnh kia thì đó là tam giác vuông.
D
M
C
B
A

A
D
C
B
Ta có thể hướng dẫn cho học sinh làm bài này như sau:
Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD với trung
tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh.
Hoàn toàn tương tự ta cho học sinh lớp 7 làm các bài toán sau:
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Chứng
minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC.
Hướng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc
CAM cũng như cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh CD
với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trong tam giác).
Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đường trung tuyến luôn bé
hơn nửa tổng hai cạnh còn lại.
Hướng làm: Cũng tương tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong tam
giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh.
Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm.
Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứng minh
tính chất đường trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đường trung
bình của hình thang, tính chất “ Đường trung bình của tứ giác”.
Bài toán 7: Chứng minh đường trung bình của hình thang song song với cạnh đáy và
có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.
Hướng làm: Xét thêm trung điểm I của đường chẻo AC,Ta có IM,IN là các đường trung
bình của các tam giác ADC vầ ABC

Khi đó sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được bài toán
này.
Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng minh
độ dài đoạn MN

≤

2
CDAB +
.
Hướng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất của
hình thang ta có MN đúng bằng nửa tổng AB và CD.
còn nếu AB không song song với CD, ta cũng lấy I là trung điểm của AC.
I
N
M
C
D
B
A
I
N
M
B
C
A
D
Khi đó MI, NI là các đường trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thời xet
quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh.
Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau:
Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại
Cũng với tính chất đường trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:.
Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q. lần lượt là trung điểm các cạnh AB,
BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta thay đổi
một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc
chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất đường trung
bình của tam giác, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, hai
tam giác bằng nhau, . . .
Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học:
Các “đường trung bình của tứ giác” gặp nhau tại trung điểm của chúng
Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:.

Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lượt là trung điểm của
các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC.
Chứng minh các đường MN, PQ, EF, GH đồng quy.
C. CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN
I. BÀI TOÁN CHỨNG MINH
Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại A là
ABM và ACN. Chứng minh rằng đường thẳng chứa trung tuyến AI của tam giác ABC
cũng chứa đường cao của AH của tam giác AMN.
Hướng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại được
gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau:
Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chung của
hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm của AD.

D
H
I
N
M
C
B
A

Khi đó từ tính chất trung ôiểm chung I của hai đoạn AD , BC ta có được hai đoạn CD và
AB song song và bằng nhau từ đó ta có được hai tam giác ACD, MAN bằng nhau, sử
dụng các góc bằng nhau của hai tam giác này và tính chất các góc tại đỉnh A ta có được
AH vuông góc với MN.
Từ bài toán này ta có bài toán sau:
Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và
ACHF, vẽ hình bình hành AEQF,
Chứng minh ba đường QA, HB, DC đồng quy.

Hướng làm: Theo bài 12 ta đã có QA vuông góc với BC, ta chỉ cần chứng minh BH
vuông góc với QC và CD vuông góc với QB (bằng cách xét cho các tam giác AQC ,
CBH bằng nhau và các tam giác AQB, BCD bằng nhau) khi đó QA, HB, DC chứa ba
đường cao của tam giác QBC nên ba đường QA, HB, DC đồng quy.
Tương tự như vậy ta có các bài toán sau:
Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC,Dựng về phía ngòai các
hình vuông ABDE, ACHF có tâm là I, J.
Chứng minh tam giác MIJ vuông cân.
B
C
A
P
H
F
E
D
Q
Hướng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC và ABF bằng nhau
⇒
hai đoạn EC, BF bằng nhau và vuông góc với nhau mà MI, MJ là các đường trung
bình của hai tam giác BEC và CBF nên ta chứng minh được hai đoạn MI, MJ băng nhau

và vuông góc với nhau.
Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau:
Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam giác
ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại
Q.
Chứng minh rằng tứ giác NMPQ là hình vuông.
B
C
A
H
F
E
D
I
J
M
B
C
A
D
N
Q
P
M
I
Hướng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều
vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông.
Từ bài toán này ta lại đưa ra bài toán sau:
Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình
vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lượt là tâm của các hình vuông

trên.
Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông.
Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một tứ
giác bất kỳ thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán sau:.
Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác dựng các hình vuông
ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lượt là tâm của các hình vuông trên.
Chứng minh rằng KS = VJ và KS
⊥
VJ.
B
C
A
D
M
F
E
Q
K
L
N
P
G
H
R
S

Hướng làm: Do có V, S, J, K là trung điểm của các đường chéo hình vuông nên để sử
dụng đường trung bình của tam giác ta xét thêm trung điểm I của AC. Từ kết quả bài
toán 14 ta có IV, IK vuông góc và bằng nhau cũng như vậy hai đoạn IS, IJ cũng vuông
góc và bằng nhau. Từ đó hai tam giácIKS và IVJ bằng nhau. Suy ra hai đoạn thẳng KS và

VJ bằng nhau và vuông góc với nhau.
Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu tố
trung điểm như đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau, kiến
D
C
B
A
P
Q
M
N
F
E
H
G
V
K
J
S
I
R
thức về tam giác cân, tam giác đều , đã được học vào giải bài toán.Từ đó học sinh mới
tư duy và tìm tòi lời giải. Giáo viên không nên đưa ra lời giải mà phải hướng dẫn để học
sinh dần dần tìm lời giải cho mỗi bài toán.
Bài toán 18: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho
BM = CN, gọi E, F là trung điểm các đoạn BC, MN. Chứng minh EF song song với phân
giác góc A.
Hướng làm: Trong bài toán này đã có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc lấy
thêm một trung điểm nữa để cùng với hai trung điểm đã cho tao ra các đường trung bình
của tam giác sẽ giúp ta giải bài toán, cụ thể như sau:

Gọi I là trung điểm của BM khi đó IE, IF là đường trung bình của các tam giác BCM và
MBN, Từ tính chất đường trung bình của tam giác và giả thiết của bài toán ta có tam giác
IEF cân tại I. Từ đặc điểm các góc của tam giác IEF và các góc tại đỉnh A ta có được EF
song song với phân giác của góc BAC.
Ta biết từ bài toán này chúng ra có thể đưa ra nhiều yêu cầu khá hay như:
+ Chứng minh đường thẳng MN tạo với hai đường thẳng AB, AC những góc bằng nhau.
+ Khi M,N thay đổi chứng minh trung điểm của đoạn MN luôn nằm trên một đường cố
định.
Bài toán 19: Chứng minh rằng trong một tam giác Trọng tâm, Trực tâm và Tâm
đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng ( Đường thẳng Ơ le).
Hướng làm: Có rất nhiều cách chứng minh bài toán này, các cách đều sử dụng tính
chất của trung điểm để tạo ra đường trung bình của tam giác để chứng minh: Khoảng
cách từ trực tâm đến mỗi đỉnh luôn gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến
cạnh đối diện với đỉnh đó (HA = 2 OM)

A
B
M
N
E
F
I
C
M
I
K
O
G
H
C

B
A

Sau đó lại sử dụng tính chất đường trung bình IK của tam giác GAH để chứng minh hai
tam giác: GIK và GOM bằng nhau từ đó có được ba điểm G, H, O thẳng hàng. ( Xin phép
không trình bày chi tiết phép chứng minh này vì đây là bài toán điển hình mà ai cũng
biết)
Bài toán 20: Cho lục giác ABCDEF
có M, N, P, I, K, L lần lượt là trung
điểm các cạnh: AB, CD, EF, BC, DE, FA.
Chứng minh hai tam giác MNP và IKL
có chung trọng tâm.
S
G
Y
X
L
K
I
P
N
M
F
E
D
C
B
A
Hướng làm: Từ kết quả bài toán 10, gọi S là trung điểm đoạn BE thì hai đoạn
MP và LS cũng như hai đoạn IK và SN có chung trung điểm là X và Y, khi đó NX và

LY là các đường trung tuyến của các tam giác MNP và IKL, đồng thời NX và LY cũng là
các đường trung tuyến của tam giác SNL mà NX và LY cắt nhau tại G nên G là trọng tâm
của các tam giác này.
Vậy hai tam giác MNP và IKL có chung trọng tâm.
Bài toán 21: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AB, CD.Trên đoạn
MN lấy điểm I bất kỳ, một đường thẳng d qua I cắt AD, AC, BD, BC lần lượt tại E, F, G,
H.
Chứng minh:
ED
EA
+
FC
FA
+
RD
RB
+
HC
HB
≥
4.
IN
IM
Hướng làm: Do có các trung điểm M,N nên ta nghĩ đến đường trung bình, mà bài
toán lại có các tỷ số nên ta lại nghĩ đến định lý Talet, từ đó buộc ta phải nghĩ đến việc tạo
ra các đường thẳng song song. cụ thể qua A, B, C, D kẻ các đường thẳng song song với
MN chúng lần lượt cắt đường thẳng d tại A’, B’, C’, D’. Khi đó IM, IN là đường trung
bình của các hình thang ABB’A’, DCC’D’, sử dụng tính chất đường trung bình của hình
thang và định lý Talet ta có biểu thức vế trái được thay bằng tổng sau:
DD'

A'A
+
CC'
A'A
+
D'
'
D
BB
+
'
'
CC
BB
= (A’A + B’B)(
'
1
CC
+
D'
1
D
)
=
( )( )
DDCC
DDCCBBAA
'.'
'''' ++

Đến đây ta sử dung tính chất đường trung bình hình thang và bất đẳng thức Côsi ta có
kêt quả cần chứng minh.
Nhiều khi đã thành kỹ năng sử dụng trung điểm, mà trong bài toán không cho trung
điểm thì chúng ta dự đoán và tạo ra trung điểm, như bài toán sau:
Bài toán 22: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O có BN là đường phân
giác. Từ A kẻ một đường thẳng vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Chứng minh bốn
điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn.
Đối với bài toán này xảy ra hai trường hợp đối với hình vẽ .
Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC Hình 1
Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC Hình 2
Khi có đường phân giác trong tam giác ta có thể tạo ra tam giác cân để đường phân
giác cũng là đường cao, đường trung tuyến từ đó ta làm như sau:
Hướng làm:(Trường hợp 1) Qua A kẻ các đường vuông góc với các phân giác của các
góc ACB và ABC có các giao điểm như hình vẽ.Khi đó IK là đường trung bình của tam
giác APH từ đó ta có góc IKC bằng góc KCB, mà tứ giác AIOK nội tiếp nên góc IKO
bằng góc OAI từ đây ta có hai góc OAH và OCH bằng nhau
Do đó bốn điểm A,O,H,C cùng nằm trên một đường tròn.
Bài toán 23:Cho đường tròn và hai dây AB, CD cắt nhau tại M, đường thẳng đi qua M
và trung điểm N của BD cắt AC tại K.
Chứng minh:
KC
KA
=
2
2
MC
MA
.
Hướng làm: Ta thấy đã có trung điểm N của BD nên ta kẻ qua C đường song song với
MN cắt AB tại P, từ P lại kẻ đường song song với BD cắI MN, CD tại I, Q. Ta có I là

trung điểm của PQ dẫn đến M là trung điểm của CQ, từ đó ta có tứ giác ACPQ nội tiếp
.
⇒
MA.MP = MC.MQ = MC
2

⇒
MP =
MA
MC
2
Q
I
P
K
N
M
D
C
B
A
A
Khi đó :
KC
KA
=
MP
MA
= MA :
MA

MC
2
=
2
2
MC
MA
Bài toán 24: Cho đường tròn tâm O và hai đường kính AB, CD. Trên đường kính CD
lấy hai điểm M,N sao cho O là trung điểm của MN, các tia AM, AN cắt đường tròn tại E,
F, đường thẳng EF cắt CD tại S.
Chứng minh SB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Hướng làm: Ta thấy bài toán đã có O là trung điẻm chung của hai đoạn MN và AB nên
ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất trung điểm chung.
Cụ thể ta nối BM,BN và đặt các giao điểm P, Q (hình vẽ) Từ tính chất trung điểm
chung, tính chất song song và góc nội tiếp ta có BE // PQ và do đó tứ giác BQFP nội
tiếp
⇒
Góc BEF = Góc FBP = Góc BAF = Góc ABM. mà:
Góc ABM + Góc ABF = 90°
⇒
Góc ABF + Góc FBP = 90°
⇒
SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) .
P
Q
S
F
E
N
M

O
D
C
B
A
Bài toán 25: Cho đường tròn tâm O, qua trung điển I của dây cung AB kẻ hai dây
cung bất kỳ CD và MN, gọi P, Q là giao điểm của CN, DM với AB. Chứng minh I cũng
là trung điểm của PQ.
Hướng làm: Đây là bài toán “ Con bướm” nổi tiếng !
Ta thấy trong bài toán đã có trung điểm của dây cung nên ta kẻ ngay đường kính đi qua
trung điểm I của dây cung AB, cũng như vậy ta kẻ các đường kính đi qua các trung điểm
của các dây cung CD, MN (hình vẽ ).
O
F
E
Q
P
N
M
D
C
I
B
A
R
Khi đó xét các tứ giác nội tiếp PIOE, QIOF và từ các tam giác đồng dạng ICN, IMD
dẫn đến các tam giác ICE, IMF đồng dạng dẫn đến tam giác OPQ cân tại O (vì có đường
cao cũng là phân giác) từ đó suy ra I là trung điểm của PQ
Bài toán “Con bướm” này cũng có trong tam giác:
Bài toán 26: cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC, đường trẳng d bất kỳ qua I

cắt AB, AC tại M, N. Đường thẳng d’ qua I cắt AB, AC tại P, Q. Gọi E, F là giao điểm
của MP, NQ với BC. Chứng minh IE = IF.
Bài toán “Con bướm” trong tứ giác:
Bài toán 27: Cho tứ giác ABCD. Qua giao điểm I của hai đường chéo kẻ đường thẳng
d bất kỳ cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng: I là trung điểm
của MP khi và chỉ khi I là trung điểm của NQ.
Việc kẻ thêm đường phụ khi có yếu tố trung điểm được thực hiện trong bài toán chứng
minh, chứng ta cũng thực hiện trong các bài toán khác.

II. TOÁN DỰNG HÌNH