SKKN Ứng dụng công nghệ thông tin ra đề môn Toán bậc THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


ĐỀ TÀI:
“ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN RA ĐỀ MÔN TOÁN BẬC
THPT”
1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


BẢNG MÔ TẢ GIẢI PHÁP KỸ THUẬT

1. Tên giải pháp: ỨNG DỤNG CNTT RA ĐỀ MÔN TOÁN

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Giáo dục ( Chương trình Toán THPT )

3. Mô tả bản chất sáng kiến:
3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:
Trong nhiều năm qua Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có chủ trương khuyến khích giáo viên ứng
dụng CNTT vào công việc giảng dạy, tuy nhiên kết quả thu được cũng chưa cao, đa số giáo viên chỉ
dừng lại ở việc soạn ra các giáo án điện tử bằng phần mềm powerpoint để trình chiếu trên các tiết
dạy và thao giảng mà chưa có những nghiên cứu ở mức độ chuyên sâu. Là một giáo viên toán đã có
nhiều năm giảng dạy và tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy rằng việc sáng tạo ra các
đề toán mới là một việc làm cần thiết mà mỗi giáo viên cần phải đầu tư nghiên cứu. Qua thực tế
giảng dạy chúng tôi thấy đối với các giáo viên trẻ chưa có kinh nghiệm thường lấy các bài tập có
sẵn trong sách giáo khoa hoặc các sách tham khảo cho học sinh làm chứ ít khi có suy nghĩ tự sáng

tạo ra các bài toán mới. Việc sáng tác ra các bài toán mới sẽ giúp cho chúng ta nâng cao trình độ
chuyên môn đồng thời tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.
3.2 Nội dung của giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
- Mục đích của giải pháp:
Mục đích của giải pháp là gợi ý để giáo viên có thể ứng dụng CNTT trong việc sáng tạo ra
các bài toán mới phục vụ cho công tác kiểm tra và thi cử.
- Nội dung của giải pháp:
* Nhằm tổng kết lại một số kinh nghiệm sáng tạo các bài toán mới trong quá trình giảng dạy.
Việc sáng tạo các bài toán mới dựa trên kinh nghiệm của nhiều năm giảng dạy, đồng thời ứng
dụng CNTT vào công việc nầy giúp cho việc ra đề được nhanh chóng và chính xác. Cụ thể tôi đã
áp dụng các phần mềm toán như Maple, Mathematica
* Nhằm chia sẻ với các bạn đồng nghiệp các kinh nghiệm mà bản thân đã tích lũy được trong
quá trình giảng dạy. Qua giải pháp kỹ thuật nầy tôi hy vọng các bạn đồng nghiệp sẽ yêu nghề hơn,
các bạn sẽ cùng với tôi tiếp tục sáng tạo ra nhiều dạng toán mới phục vụ tốt cho công tác dạy và học
môn toán một cách sáng tạo.
- Tính mới:
* SKKN nầy kết hợp tư duy sáng tạo của giáo viên với sự hỗ trợ của các phần mềm về toán
như Maple, Mathematica trong việc sáng tạo ra các bài toán mới phục vụ cho công tác ra đề
kiểm tra, ra đề thi. Ý tưởng của giải pháp nầy thể hiện được tính mới so với trước đây, bởi vì từ
trước đến nay để ra một đề kiểm tra môn toán thường GV hay tìm trong các sách giáo khoa, sách
tham khảo. Việc làm như vậy không thể hiện được tính sáng tạo của GV, mặt khác các sách
tham khảo có trên thị trường hiện nay một số kết quả tính toán không được chính xác. Việc ra đề
môn toán có ứng dụng CNTT sẽ giúp cho công việc được nhanh chóng và chính xác.
* Một số vấn đề cụ thể được đề cập đến trong giải pháp nầy như sau:
+ Sáng tác các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bằng cách đổi biến số.
+ Sáng tác các giới hạn có dạng vô định
+ Sáng tác các dạng toán về đạo hàm cấp n
MSHS:
2

+ Sáng tác các dạng toán về đẳng thức có liên quan đến đạo hàm cấp 1, 2, 3
+ Sáng tác các bài toán về nguyên hàm và tích phân
+ Sáng tác các dạng toán về số phức
+ Sáng tác các bài toán về tìm số hạng tổng quát của dãy số.
+ Ra đề và tự động giải các dạng toán về phương pháp tọa độ trên máy tính.

* SKKN nầy đặt ra một vấn đề mới để các bạn đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu đó là phát
huy khả năng tư duy sáng tạo kết hợp với các công cụ mạnh mẽ của phần mềm để sáng tạo ra
các bài toán mới.

* Các vấn đề được đề cập trong giải pháp nầy là các ý tưởng mới, các vấn đề nầy chưa xuất
bản trên bất kì tạp chí chuyên ngành nào. Lần đầu tiên thực hiện tại khu vực đồng bằng sông
Cửu Long.

3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp:
Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường trung học phổ
thông, các em học sinh lớp 11, 12 yêu thích môn toán.

3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp:
Giải pháp kỹ thuật nầy nhằm mục đích chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh những
kinh nghiệm mà bản thân tích lũy được trong quá trình giảng dạy. Các chuyên đề được trình bày
trong giải pháp thể hiện các ý tưởng mới, mong muốn khai thác các ứng dụng của CNTT và sự
sáng tạo của giáo viên trong công tác dạy học. Những vấn đề được trình bày trong giải pháp nầy là
những gợi ý giúp giáo viên tiếp tục nghiên cứu để đưa ra ngày càng nhiều các kỹ thuật sáng tác các
bài toán hay và ứng dụng tốt các phần mềm chuyên nghiệp vào công tác giảng dạy của mình.
Đề tài nầy có thể xem như là một chuyên đề bồi dưỡng cho các giáo viên trẻ, cung cấp cho
các giáo viên dạy toán THPT một số kinh nghiệm trong việc sáng tác các bài toán với sự trợ giúp
của các phần mềm toán mà cả thế giới đang quan tâm.
Nếu nắm vững những vấn đề mà giải pháp nầy nêu ra sẽ giúp cho GV sáng tạo ra các bài toán
hay với lời giải chính xác, phục vụ tốt cho công việc ra đề kiểm tra, ra đề thi học kì và ra đề để minh

họa cho bài giảng trên lớp. Việc ứng dụng CNTT sẽ giúp cho GV đỡ vất vả hơn khi kiểm tra lại đáp
án, vì kết quả tìm được do các phần mềm tính toán chuyên nghiệp nên không xảy ra sai sót.

3.5 Tài liệu kèm theo:
- Đơn xin dự thi
- Bản mô tả giải pháp kỹ thuật
- Toàn văn giải pháp dự thi
Bến Tre, ngày 26 tháng 8 năm 2013
Tác giả: Nguyễn Văn Quí

Nguyễn Văn Quí Trường THPT Chuyên Bến Tre Giáo viên 8,8đ

1



SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE










TOÀN VĂN GIẢI PHÁP DỰ THI

2






Trong nhiều năm qua Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có chủ trương khuyến khích
giáo viên ứng dụng công nghệ thông tin vào công việc giảng dạy, tuy nhiên kết quả
thu được cũng chưa cao, đa số giáo viên chỉ dừng lại ở việc soạn ra các giáo án điện
tử bằng phần mềm powerpoint để trình chiếu trên các tiết dạy và thao giảng mà chưa
có những nghiên cứu ở mức độ chuyên sâu. Là một giáo viên toán đã có nhiều năm

giảng dạy và tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy rằng việc sáng tạo ra
các đề toán mới là một việc làm cần thiết mà mỗi giáo viên cần phải đầu tư nghiên
cứu. Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy đối với các giáo viên trẻ chưa có kinh
nghiệm thường lấy các bài tập có sẵn trong sách giáo khoa hoặc các sách tham khảo
cho học sinh làm chứ ít khi có suy nghĩ tự sáng tạo ra các bài toán mới. Việc sáng
tác ra các bài toán mới sẽ giúp cho chúng ta nâng cao trình độ chuyên môn đồng thời
tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.
Qua quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung
nầy. Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm là các chuyên đề đã được ứng
dụng trong giảng dạy và đã được phổ biến đến đồng nghiệp trong các lần hội nghị
chuyên môn do SGD tổ chức trong các năm học qua. Bản thân tôi đã nhận được
nhiều ý kiến phản hồi khích lệ từ các đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh. Sáng kiến
kinh nghiệm nầy là sự tổng kết có chọn lọc các chuyên đề của bản thân đã viết ra
trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của đồng nghiệp.

Lý do chọn đề tài của tôi xuất phát từ những suy nghĩ sau:
* Nhằm tổng kết lại một số kinh nghiệm sáng tạo các bài toán mới trong quá trình
giảng dạy. Việc sáng tạo các bài toán mới mà tôi trình bày ở phần sau có ứng dụng các
phần mềm hỗ trợ như Maple, Mathematica
* Nhằm chia sẻ với các bạn đồng nghiệp các kinh nghiệm mà bản thân đã tích lũy
được trong quá trình giảng dạy. Qua chuyên đề nầy tôi hy vọng các bạn đồng nghiệp
sẽ yêu nghề hơn, các bạn sẽ cùng với tôi tiếp tục sáng tạo ra nhiều dạng toán mới
phục vụ tốt cho công tác dạy và học của chúng ta.


Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường
trung học phổ thông, các em học sinh lớp 11, 12 yêu thích môn toán.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
* Giới thiệu một số nghiên cứu về kỹ thuật ra đề môn toán

* Ứng dụng phần mềm Maple, Mathematica hỗ trợ cho việc tính toán
* Các vấn đề minh họa thuộc chương trình toán lớp 11, 12 thi TN THPT và ôn
thi đại học.

3




Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:
* Chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về sáng tạo các đề
toán mới với sự trợ giúp của các phần mềm toán.
* Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
* Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của
Công Đoàn ngành Giáo dục phát động.

* SKKN nầy không trình bày lại các kiến thức cơ bản như các lệnh, hàm của các
phần mềm Maple, Mathematica vì các vấn đề nầy đã được trình bày ở các giáo trình
đã có.
* SKKN nầy gợi ý ứng dụng phần mềm toán cộng với tư duy sáng tạo của giáo
viên trong việc nghĩ ra các bài toán mới.
* Một số vấn đề cụ thể được đề cập đến trong chuyên đề nầy như sau:
+ Sáng tác các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bằng cách đổi
biến số.
+ Ra đề các giới hạn có dạng vô định
+ Ra đề đạo hàm cấp n
+ Ra đề chứng minh các đẳng thức có liên quan đến đạo hàm cấp 1, 2, 3
+ Ra đề tích phân
+ Ra đề tìm số hạng tổng quát của dãy số.
+ Ra đề và tự động giải các dạng toán về phương pháp tọa độ.

* SKKN nầy đặt ra một vấn đề mới để các bạn đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu
đó là phát huy khả năng tư duy sáng tạo kết hợp với các công cụ mạnh mẽ của phần
mềm để sáng tạo ra các bài toán mới.
* Các vấn đề được đề cập trong SKKN nầy là các ý tưởng mới, các vấn đề nầy
chưa xuất bản trên bất kì tạp chí chuyên ngành nào.

















4





Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:
* Các kiến thức toán cơ bản trong chương trình phổ thông

* Các tư duy sáng tạo trong quá trình giảng dạy
* Kết hợp với các tính năng tính toán của Maple, Mathematica.


Trong giai đoạn hiện nay sách tham khảo về môn toán trên thị trường rất nhiều,
tuy nhiên rất ít sách có chất lượng tốt. Một số sách có nhiều lỗi trong in ấn và chất
lượng các bài toán không cao. Việc sáng tạo ra các đề toán hay để phục vụ cho công
tác giảng dạy là một yêu cầu cấp thiết, tuy nhiên một số giáo viên trẻ chưa có đủ
kinh nghiệm và tự tin khi ra một đề toán mới. SKKN nầy nhằm chia sẻ với các bạn
đồng nghiệp một số kinh nghiệm qua các chuyên đề cụ thể.

SÁNG TÁC CÁC PT-HPT-BPT
Trong quá trình giảng dạy nếu ta gặp một phương trình, một hệ phương trình với
cách giải hay thì bằng cách đổi biến số ta sẽ được một loạt các bài toán cùng dạng.
Điều nầy rất có ích cho HS luyện tập. Sau đây là các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2
15 3 2 8
x x x
    

Giải
Cách 1
Phương trình
2 2
2 2
7
15 8 3 2 3 2
15 8
x x x x

x x
        
  
(*)
Từ PT(*) ta suy ra
2
3 2 0
3
x x
   
.
Nhận thấy hàm số
2 2
7
( )
15 8
f x
x x

  
nghịch biến trên
2
( ; )
3
 

hàm số
( ) 3 2
g x x
 

đồng biến trên
2
( ; )
3
 

Mà x = 1 là một nghiệm của phương trình. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Cách giải trên dựa vào tính đơn điệu của hàm số và đoán nghiệm.
Cách 2
Phương trình
2 2
15 4 3( 1) 8 3
x x x
       

5



2 2
2 2
1 1
3( 1)
15 4 8 3
x x
x
x x
 
   
   

2 2
1 1
( 1) 3 0
15 4 8 3
x x
x
x x
 
 
 
 
 
    
   

Tương tự với cách 1, ta thấy
2
3
x

, khi đó
2 2
0
1 1
3
15 4 8 3
x x
x x
 


 
 
 
 
 
   
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
Nhận xét: Cách giải nầy dựa vào nhẩm nghiệm x = 1, sau đó dùng kỹ thuật thêm bớt
để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
* Từ phương trình trên bằng cách đổi biến số ta được các phương trình sau:
1) Thay x bởi 2x + 3, ta được phương trình:


PT có nghiệm x = -1.
2) Thay x bởi 5x + 8, ta được phương trình:


PT có nghiệm
7
5
x



3) Thay x bởi
2
3 2
x


, ta được phương trình:


PT có nghiệm
1
x
 
.
Bằng cách đổi biến như trên ta có thể sáng tác được vô số dạng phương trình cùng
thể loại với phương trình đã cho.
Chú ý: Để việc tính toán được nhanh chóng, ta có thể dùng chức năng thay thế của
phần mềm Maple được minh họa như sau:
* Trước hết chọn chức năng thay thế trong menu bên trái màn hình của phần mềm
Maple

* Nhập số liệu vào:

6





Ví dụ 2
Giải hệ phương trình:
2
(23 3 ) 7 (20 3 ) 6
2 2 3 2 8 3 14 8
x x y y

x y x y x x





    
         

Giải
2
(23 3 ) 7 (20 3 ) 6 (1)
2 2 3 2 8 3 14 8 (2)
x x y y
x y x y x x





    
         

* Điều kiện :
7
6
2 2 0
3 2 8 0
x
y

x y
x y









  
   

* Phương trình (1)
3(7 ) 2] 7 6[ [3(6-y)+2]
x x y
     
(3)
* Xét hàm số
2 3
( ) (3 2). 3 2
f t t t t t
   
với
0
t

.
Dùng định nghĩa ta chứng minh hàm số

( )
f t
đồng biến trên
0 ; ).
[


Thật vậy:
1 2 1 2
, 0; ):
[
t t t t
    
ta có :
3 3
1 1 2 2 1 2
3 2 3 2 ( ) ( )
t t t t f t f t
    
.
Vậy hàm số
( )
f t
đồng biến trên
0 ; ).
[


* Phương trình (3)
( 7 ) ( 6 ) 7 6 1.

f x f y x y y x
          

* Thay
1
y x
 
vào phương trình (2), ta được :
2
3 1 6 3 14 8 0 (4)
x x x x      

* Giải phương trình (4) với điều kiện:
1
6
3
x
  
. (a)
Phương trình (4)
2
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0
x x x x
         

3 15 5
( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
x x
x x

x x
 
     
   

3 1
( 5) 3 1 0
3 1 4 1 6
x x
x x
 
 
 
     
   

Do điều kiện (a), nên ta có:
3 1
3 1 0
3 1 4 1 6
x
x x
 
 
 
   
   

Vậy phương trình (4)
5

x
 
.
* Tóm lại HPT đã cho có nghiệm: ( x ; y ) = ( 5 ; 4 ).
7



* Bây giờ ta dùng cách đổi biến số để sáng tác ra các bài toán cùng loại:
1) Thay x bởi x + 3 và thay y bởi 2y - 4, ta được HPT:
2
(14 3 ) 4 (32 6 ) 10 2
2 2 4 3 4 9 3 4 23
x x y y
x y x y x x





    
         

HPT có nghiệm (x ; y) = (2; 4)
2) Thay x bởi 2x + 1, thay y bởi 3y + 2 ta được HPT:
2
16
(20 6 ) 6 2 (14 9 ) 4 3
4 3 6 6 6 9 12 19
x x y y

x y x y x x






    
        

HPT có nghiệm
2
( ; ) (2; )
3
x y 
.
Nhận xét:
Bằng phương pháp đổi biến số như trên, từ một PT, HPT, BPT hay ta có thể sáng tác
ra vô số các bài toán cùng dạng giúp cho HS rèn luyện và làm phong phú kho tư liệu
giảng dạy của GV.
DÙNG PHẦN MỀM MAPLE LẬP TRÌNH ĐỂ CHO LỜI GIẢI
TỰ ĐỘNG.
GV toán có thể dùng phần mềm Maple lập trình để chương trình tự động cho lời
giải bài toán khi ta nhập dữ liệu của để bài. Việc làm nầy giúp giáo viên sáng tạo ra
hàng loạt các bài toán cùng dạng. Sau đây là một số bài toán minh họa.
Ví dụ 1
Lập trình giải bài toán sau:

Khi chạy chương trình ta được lời giải như sau:

8




Dưới đây là đoạn chương trình cho lời giải bài toán trên:

( Nhập số liệu của đề bài )



9



Ví dụ 2
Lập trình giải bài toán sau:

Khi chạy chương trình ta được lời giải sau:



/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Dưới đây là đoạn chương trình tạo ra lời giải trên
10

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Bằng cách chịu khó nghiên cứu viết các đoạn chương trình tương tự như trên, GV
sẽ có một kho các bài toán mà khi ta nhập đề bài thì chương trình sẽ được tạo ra một
cách tự động. Điều nầy giúp GV ra đề và đáp án một cách nhẹ nhàng.



11




KỸ THUẬT RA ĐỀ GIỚI HẠN CÓ DẠNG VÔ ĐỊNH
A. Đặt vấn đề
Trong chương trình giải tích lớp 11, phần giới hạn hàm số có dạng vô định là một phần
quan trọng của chương trình. Trong chuyên đề nầy sẽ giới thiệu một số kỹ thuật ra đề
các dạng giới hạn có dạng vô định
0
0
với sự trợ giúp của Maple.
B. Phương pháp






12

13













14

C. Phân dạng
Bằng kỹ thuật như trên, ta có thể ra đề về giới hạn có dạng vô định
0
0
đủ các loại như
sau:
Dạng 1: Dạng vô định
0
0
với tử và mẫu là các đa thức
Ví dụ 1
Gợi ý:

Ra đề: Tính giới hạn:

Ví dụ 2
Gợi ý:

Ra đề: Tính giới hạn:

Dạng 2: Dạng vô định
0
0
chứa 2 căn bậc hai ở tử
Ví dụ 1

Ra đề: Tính giới hạn:

15

Ví dụ 2

Ra đề: Tính giới hạn:


Dạng 3: Dạng vô định
0
0
chứa 2 căn bậc hai ở mẫu
Ví dụ 1

Ra đề: Tính giới hạn:


Ví dụ 2

Ra đề: Tính giới hạn:


Dạng 4: Dạng vô định
0
0
chứa 1 căn bậc hai ở tử và một căn bậc hai ở mẫu
Ví dụ 1

Ra đề: Tính giới hạn:

16





Ví dụ 2

Ra đề: Tính giới hạn:


Dạng 5: Dạng vô định
0
0
chứa 1 căn bậc ba ở tử
Ví dụ 1

Ra đề: Tính giới hạn:



Ví dụ 2

Ra đề: Tính giới hạn:

17



Dạng 6: Dạng vô định
0
0
chứa 1 căn bậc ba ở tử và một căn bậc ba ở mẫu
Ví dụ 1


Ra đề: Tính giới hạn:


Ví dụ 2

Ra đề: Tính giới hạn:


Dạng 7: Dạng vô định
0
0
chứa 1 căn bậc ba và một căn bậc hai ở tử
Ví dụ 1

Ra đề: Tính giới hạn:


Ví dụ 2

18



Ra đề: Tính giới hạn:


Dạng 8: Dạng vô định
0
0
với tử có chứa một căn bậc ba và một căn bậc hai, mẫu có
chứa một căn bậc ba và một căn bậc hai.

Ví dụ 1




Ví dụ 2

Ra đề: Tính giới hạn:
19






Kết luận:
Bằng kỹ thuật như trên, ta có thể sáng tạo ra vô số các bài toán về tính giới hạn

của hàm số có dạng vô định
0
0
và các dạng vô định khác…
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

SÁNG TÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN







20



Ví dụ 1


Ví dụ 2


Ví dụ 3

Ví dụ 4


Ví dụ 5

21







Ví dụ 6




22



Lệnh đổi biến của Maple và ứng dụng


Với lệnh đổi biến số nầy xuất phát từ một tích phân cơ bản, bằng phương pháp
đổi biến số ta có thể sáng tác ra vô số các tích phân ( hiển nhiên các tích phân vừa tạo ra
sẽ có cùng một kết quả ). Sau đây là các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: