Đề ôn tập Toán 11 HK2 - đề số 6

Đề số 6
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
A. PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a)
x x
x
x
2
3 4 1
lim
1
1
− +
→
−
b)
x
x
x
2
9
lim
3
3
−
→−
+
c)

x
x
x
2
lim
2
7 3
−
→
+ −
d)
x x
x
x
2
2 3
lim
2 1
+ −
→−∞
+

Câu 2: Cho hàm số
x x
khi x
f x
x
m khi x
2
2

2
( )
2
2

− −

≠
=

−

=

.
a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình
x x x
5 4
3 5 2 0− + − =
có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng
(–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b)
y x x
2 3
( 1)( 2)= − +
c)
y

x
2 2
1
( 1)
=
+
d)
y x x
2
2= +
e)
x
y
x
4
2
2
2 1
3
 
+
=
 ÷
 ÷
−
 

B.PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC=

a 2
, I là trung điểm cạnh AC, AM là đường
cao của ∆SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy
ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 6
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1:
a)
x x x x
x
x x x
x x
2
3 4 1 ( 1)(3 1)
lim lim lim (3 1) 2
1 1 1
1 1

− + − −
= = − =
→ → →
− −
b)
x
x
x x
x
2
9
lim lim ( 3) 6
3 3
3
−
= − = −
→− →−
+
c)
( )
x
x
x x
x
2
lim lim 7 3 6
2 2
7 3
−
= + + =

→ →
+ −
d)
x x x
x x
x x
x x x
x x x
2 2
1 3 1 3
2
2 2
2 3
lim lim lim
2 1 2 1 2 1
   
+ − − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
= =
→−∞ →−∞ →−∞
+ + +
x
x
x
2
1 3
2

lim 2
1
2
 
 ÷
− + +
 ÷
 
= = −
→−∞
+
Câu 2:
x x
khi x
f x
x
m khi x
2
2
2
( )
2
2

− −

≠
=

−


=

• Ta có tập xác định của hàm số là D = R
a) Khi m = 3 ta có
x x
x khi x
khi x
f x
x
khi x
khi x
( 1)( 2)
1, 2
, 2
( )
2
3 , 2
3 , 2

+ −


+ ≠
≠
= =
 
−
=



=

⇒ f(x) liên tục tại mọi x ≠ 2.
Tại x = 2 ta có: f(2) = 3;
f x x
x x
lim ( ) lim ( 1) 3
2 2
= + =
→ →
⇒ f(x) liên tục tại x = 2.
Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
b)
x x
khi x
x khi x
f x
x
m khi x
m khi x
2
2
2
1 2
( )
2
2
2


− −


≠
+ ≠
= =
 
−
=


=

Tại x = 2 ta có: f(2) = m ,
f x
x
lim ( ) 3
2
=
→
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 ⇔
f f x m
x
(2) lim ( ) 3
2
= ⇔ =
→
Câu 3: Xét hàm số
f x x x x
5 4

( ) 3 5 2= − + −
⇒ f liên tục trên R.
Ta có:
f f f f(0) 2, (1) 1, (2) 8, (4) 16= − = = − =
⇒
f f(0). (1) 0<
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c
1
(0;1)∈
f f(1). (2) 0<
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c
2
(1;2)∈
f f(2). (4) 0<
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
c
3
(2;4)∈
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Câu 4:
a)
y x x x
4 2
' 5 3 4= − +
b)
( )
x
y

x
3
2
4
'
1
−
=
+
c)
x
y
x x
2
1
'
2
+
=
+
d)
( )
x x
y
x
x
3
2
2 2
2

56 2 3
'
3
3
 
+
= −
 ÷
 ÷
−
 
−
2
Câu 5a:
a) • AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB.
• SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC)
b) SI ⊥ (ABC) ⇒
·
( )
·
SB ABC SBI,( ) =
AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒
·
SBI
0
45=
c) SB ⊥ (AMC) ⇒
·
( )
·

SC AMC SCM,( ) =
Tính được SB = SC =
a 2
= BC ⇒ ∆SBC đều ⇒ M là trung điểm của
SB ⇒
·
SCM
0
30=
Câu 5b:
a) • Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên
SO ABCD
AC BD
( )

⊥

⊥

⇒
SO BD
BD SAC
AC BD
( )

⊥
⇒ ⊥

⊥


⇒ (SAC) ⊥ (SBD)
•
SO (ABCD
SO SBD
)
( )

⊥

⊂

⇒ (SBD) ⊥ (ABCD)
b) • Tính
d S ABCD( ,( ))
SO ⊥ (ABCD) ⇒
d S ABCD S O( ,( )) =
Xét tam giác SOB có
a a a
OB SB a SO SA OB SO
2
2 2 2
2 7 14
, 2
2 2 2
= = ⇒ = − = ⇒ =
• Tính
d O SBC( ,( ))
Lấy M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOM) ⇒ (SBC) ⊥ (SOM).
Trong ∆SOM, vẽ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒
d O SBC OH( ,( )) =

Tính OH:
∆SOM có
a
SO
OM .OS a a
OH OH
a
OH OM OS OM OS
OM
2 2 2
2
2 2 2 2 2
14
1 1 1 7 210
2
30 30
2

=


⇒ = + ⇒ = = ⇒ =

+

=


c) Tính
d BD SC( , )

Trong ∆SOC, vẽ OK ⊥ SC. Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OK ⇒ OK là đường vuông góc chung của
BD và SC ⇒
d BD SC OK( , ) =
.
Tính OK:
∆SOC có
a
SO
OC .OS a a
OK OK
a
OK OC OS OC OS
OC
2 2 2
2
2 2 2 2 2
14
1 1 1 7 7
2
16 4
2
2

=


⇒ = + ⇒ = = ⇒ =

+


=


========================
3
S
A B
C
M
D
O
H
K
S
A
B
C
I
M