SKKN Nâng cao năng lực học sinh THPT để giải bài toán xác suất

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“NÂNG CAO NĂNG LỰC HỌC SINH THPT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
“NÂNG CAO NĂNG LỰC HỌC SINH THPT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
XÁC SUẤT”
XÁC SUẤT”
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ khi xuất hiện xác suất đã khẳng định đó là một môn mới và có tính hấp dẫn cao
được áp dụng phổ biến trong cuộc sống. Xác suất được ứng dụng rộng rãi trong nhiều
nghành khoa học khác nhau như Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, y học, công
nghệ thông tin và các nghành kinh tế. Trong trường phổ thông thì đòi hỏi học sinh phải
biết giải bài toán xác suất và áp dụng được vào các môn học đặc biệt là môn sinh học, vật
lý
Đối với học sinh phổ thông chương trình sách giáo khoa đã đưa xác suất vào dạy ở lớp
11 nên việc làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất là học sinh rất bỡ ngỡ và
thấy khó. Việc giải bài toán xác suất liên quan đến đại số tổ hợp và những bài toán liên
quan đến công thức xác suất là học sinh chưa phân biệt được và hay bị nhầm lẫn.
Trong những năm gần đây các bài toán xác suất là một trong các chủ đề có mặt trong
các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định ( đây
là một trong các nội dung ở câu số 7 của đề thi ), chính vì thế nên tôi đã chú trọng vào
việc dạy kỹ lý thuyết cho học sinh và phân dạng các loại toán xác suất từ dễ đến khó và
có hệ thống móc nối giữa các kiến thức cũ và mới để học sinh có hứng thú học, say mê
tìm hiểu và giải quyết được các dạng bài tập trong chương trình phổ thông.
II. GIẢI QUYẾT VÂN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề
Xuất phát từ những bài toán trên thực tế đã hình thành nên môn xác suất chính vì thế
khi bắt đầu dạy lý thuyết cho học sinh tôi cũng dùng các ví dụ cụ thể và cho học sinh tự
làm ví dụ và ghi kết quả sau đó hình thành định nghĩa và liên hệ với kiến thức trong tập
hợp và trong đại số tổ hợp để dần dần hình thành công thức tính xác suất đơn giản.
Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản của xác suất

đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ
thể. Trên thực tế học sinh khó hiểu được các khái niệm và các định nghĩa, trong khi sách
tham khảo về nội dung này cũng không có nhiều, khai thác kỹ hơn thì học sinh lại phải
đọc thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo khoa. Trên thực tế đó đòi hỏi giáo viên phải có
những phương pháp dạy hợp lý và phát huy tính sáng tạo của học sinh.
Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời
biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác
nhau, tôi chọn đề tài:
“ Nâng cao năng lực của học sinh THPT để giải bài toán xác suất ”.
2. Thực trạng của vấn đề.
Xác suất là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụng thực tế
của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo các
bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. Trong quá trình dạy phụ đạo và ôn
luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạy cho học sinh hiểu bài không chỉ
dạy lý thuyết mà phải có áp dụng đi cùng.
Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm
cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…
các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc độc lập. Đa số
học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc để giải quyết các tình huống cụ thể.
Khi chọn đề tài này đã phần nào giúp học sinh tháo gỡ việc nhận thức học xác suất và
có công cụ giải quyết được một số dạng bài tập mà từ trước đến nay học sinh cho là khó
và đã áp dụng được vào các môn học liên quan.
3. Mục đích yêu cầu:
- Giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm về xác suất, liên hệ và áp dụng được vào các
dạng bài tập liên quan.
- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng
nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà trường và sở
phát động.
4. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài

liệu liên quan khác, khai thác trên mạng …
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường PTTH Nguyễn Siêu.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 11 và một số lớp 12
ôn thi đại học sau đó khảo sát các lớp dạy.
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:
Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể
lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán
trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép
thử, ký hiệu Ω.
b. Xác suất các biến cố:
Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và
kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và Ω
A
là
tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký hiệu là P(A), được xác định
bởi công thức:

( )
A
P A
Ω
=
Ω
trong đó
A
Ω

và
Ω
lần lượt là số phần tử của tập Ω
A
và Ω
- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất bằng 1.
- Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác xuất bằng
0.
2. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
2.1. Quy tắc cộng xác suất
a. Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Nếu “biến cố A hoặc biến cố B
xảy ra”, kí hiệu là
A B∪
được gọi là hợp của hai biến A và B. Nếu kí hiệu Ω
A
và Ω
B
lần
lượt là tập hợp mô tả A và B thì tập hợp mô tả biến cố
A B∪
và Ω
A
∪
Ω
B
.
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A
1
, A

2
, …, A
k
cùng liên quan đến phép thử T. Biến
cố “ có ít nhất một trong các biến cố A
1
, A
2
, …, A
k
xảy ra, ký hiệu là
1 2 k
A A A∪ ∪ …∪
,
được gọi là hợp của k biến cố đó.
b. Biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là
xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố xung khắc
nếu và chỉ nếu.
Ω
A
∩
Ω
B
=
∅
c. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
( ) ( ) ( ) (1)P A B P A P B∪ = +
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A

1
, A
2
, …, A
k
đôi một xung khắc thì ta có:
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) (2)
k k
P A A A P A P A P A∪ ∪ ∪ = + + +
d. Biến cố đối
Cho biến cố A thì biến cố “ Không xảy ra A”, ký hiệu là
¸A
−
được gọi là biến cố đối của
A.
Cho biến cố A xác suất của biến cố đối
¸A
−
là:
( ) 1 ( )P A P A
−
= −
(3)
2.2. Quy tắc nhân xác suất
a. Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy
ra”, ký hiệu là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
Nếu Ω
A

và Ω
B
lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết
quả thuận lợi cho AB là Ω
A
∩
Ω
B
.
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A
1
, A
2
, …, A
k
cùng liên quan đến phép thử T. Biến
cố “ tất cả k biến cố A
1
, A
2
, …, A
k
xảy ra “, ký hiệu là
1 2 k
A A A…
, được gọi là giao của k
biến cố đó.
b. Biến cố độc lập
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là
độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng

tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia.
c. Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
( ) ( ). ( )P AB P A P B=
Một cách tổng quát : Cho k biến cố A
1
, A
2
, …, A
k
độc lập thì ta có:
1 2 1 2
( ) ( ). ( ) ( )
k k
P A A A P A P A P A
=
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA
DẠNG 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến
cố độc lập
Đây là bước đầu tiên xác định giả thiết trong bài toán tính xác suất, nếu không phân
biệt kỹ và hiểu kỹ thì học sinh (đặc biệt là học sinh trung bình, yếu) không giải quyết
được bài tập, hoặc sẽ bị nhầm lẫn khi áp dụng quy tắc tính xác suất, do đó tôi nhấn
mạnh cho học sinh phân biệt được các loại biến cố bằng cách nhận biết ở dạng đơn giản
trước.
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A1 trường THPT Nguyễn Siêu. Gọi A là
biến cố “Bạn đó là học sinh giỏi Toán” và B là biến cố “ Bạn đó là học sinh giỏi Văn”.
a. A và B có phải là hai biến cố xung khắc hay không?
b. Biến cố
A B∪
là gì?

Hướng dẫn
a. A và B là hai biến cố không xung khắc vì một học sinh có thể vừa học giỏi Toán vừa
học giỏi Văn.
b. Biến cố
A B∪
là “ Bạn đó là học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn”.
Bài 2: Gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp. Gọi A là biến cố “ lần gieo thứ nhất được số
chấm trên mặt con súc sắc là chẵn”, B là biến cố “ lần gieo thứ hai được số chấm trên
mặt con súc sắc là lẻ”.
a. Hai biến cố A và B độc lập hay không ?
b. Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì ?
Hướng dẫn
a. Hai biến cố A và B độc lập vì việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không
làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B
b. Giao của hai biến cố A và B là biến cố” lần gieo thứ nhất được số chẵn và lần
thứ hai được số lẻ”
Nhận xét: Khi xác định các biến cố độc lập hay xung khắc thông thường học sinh hay
dựa vào các khái niệm hoặc thực tế việc xảy ra của biến cố. Nhưng cũng có những bài
toán xác đinh được điều đó phải dựa vào quy tắc tính xác suất, dưới đây là một ví dụ
minh hoạ
Bài 3: Cho
2
( ) ;
5
P A =
5
( ) ;
12
P B =
1

( )
6
P AB =
. Hỏi hai biến cố A và B có:
a. Xung khắc hay không?
b. Độc lập với nhau hay không?
Hướng dẫn
a. Vì
1
( ) 0
6
P AB = ≠
nên A và B không xung khắc.
b. Vì
2 5 1
( ) ( ) ( )
5 12 6
P A P B P AB= × = =
Vậy A và B là hai biến cố độc lập.
Bài tập tương tự: Một chi tiết máy được lấy ngẫu nhiên.Chi tiết loại 1(chi tiết A);chi tiết
loại 2(chi tiết B);chi tiết loại 3(chi tiết C). Hãy mô tả các biến cố sau đây:
a.
A B
∪
b.
A B
∪
c.
( . )A B C
∪

d.
.A C
DẠNG 2: Áp dụng các quy tắc tính xác suất
1. Những bài toán biến đổi công thức xác suất và tính xác suất trực tiếp.
Đối với học sinh THPT vì mới được học xác suất nên các em thường ít đọc sách tham
khảo và có nhiều học sinh cho rằng đây là dạng bài tập khó. Trong khi áp dụng công
thức thì hay bị nhầm nên thường bỏ không làm, thậm chí có học sinh không thuộc công
thức để áp dụng, nên đòi hỏi giáo viên phải có biện pháp khắc phục tình trạng đó. Nhằm
giúp học sinh phân biệt đựơc công thức áp dụng và cũng thành thạo khi áp dụng tôi đã
chia nhỏ, lồng ghép khéo léo dạng này để học sinh hiểu rõ hơn, chủ động và thành thạo
hơn khi áp dụng, tạo động lực để học sinh có hứng thú học những dạng tiếp theo.
Bài 1: Gieo một con xúc sắc, gọi A là biến cố gieo được mặt có số chấm là chẵn và B là
biến cố gieo được mặt có số chấm là bội số của 2.
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB∪ = + −
Hướng dẫn
Ta có A = { 2, 4, 6 } , B = { 3, 6 }. Do đó
{ }
2,3,4,6A B∪ =
và AB = {6}
Nên
3 1 2 1 1
( ) , ( ) , ( )
6 2 6 3 6
P A P B P AB= = = = =
Mà
4 2
( )
6 3
P A B∪ = =

Vậy:
1 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 6 3
P A P B P AB P A B+ − = + − = = ∪
. (ĐPCM)
Như vậy : Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì công thức sau còn đúng không?

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB∪ = + −
Bài 2: Cho hai biến cố bất kỳ A và B. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )P A P AB P AB= +
Hướng dẫn
Ta có
( ) ( )A AB AB= ∪
vì sự xảy ra của A là kết quả của sự xảy ra :của A và B hoặc là
sự xảy ra của A và không xảy ra của B
Mà
AB
và
AB
là hai biến cố xung khắc.
Vậy:
( ) ( ) ( )P A P AB P AB= +
Bài 3: Xét không gian mẫu E và hai biến cố xung khắc A và B biết
3 1
( ) , ( )
10 2
P A P B= =
.

Tính
( ); ( ); ( ); ( )P AB P A B P A P B∪
Hướng dẫn
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên
8 4
( ) 0; ( ) ( ) ( )
10 5
P AB P A B P A P B= ∪ = + = =
Ta có:
7
( ) 1 ( )
10
P A P A= − =
và
1
( ) 1 ( )
2
P B P B= − =
Bài 4: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác xuất để người
công nhân phải can thiệp máy dệt A trong một giờ là
1
7
và máy dệt B trong cùng thời gian
trên là
1
2
. Tính xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ.
Hướng dẫn
Xác suất để máy dệt A hỏng độc lập với xác suất để máy dệt B hỏng
Ta có P(

A
) = 1- P(A) = 1-
1
7
=
6
7
với
A
là biến cố máy dệt A không hỏng
và P(
B
) = 1-
1
5
=
4
5
với
B
là biến cố máy dệt B không hỏng.
Vậy xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ là P(
.A B
)=
6 4
.
7 5
=
24
35

=0,69
Bài 5: Trong một nhà máy có 3 máy dệt. Trong một ngày, xác suất để máy thứ nhất bị sự
cố là 0,05, xác suất để máy thứ hai bị sự cố là 0,1 và xác suất để máy thứ ba bị sự cố là
0,15. Tính xác suất để trong một ngày mà :
a. Chỉ có một máy bị sự cố
b. Chỉ có hai máy bị sự cố
c. Không có máy nào bị sự cố
Hướng dẫn
Cách 1 : Hướng dẫn học sinh làm trực tiếp
a. Xác suất để một và chỉ một máy bị sự cố là:
P
1
= 0,05 + 0,10 + 0,15 – 2(0,05
×
0,10+0,05
×
0,15 + 0,10
×
0,15) +
+3(0,05
×
0,10
×
0,15) = 0,25
b. Xác suất để chỉ có hai máy bị sự cố là:
P
2
= 0,05
×
0,10+0,05

×
0,15 + 0,10
×
0,15 - 3(0,05
×
0,10
×
0,15) = 0,025
c. Xác suất để không có máy nào bị sự cố là:
P
3
= 0,95
×
0,90
×
0,85 = 0,727
Cách 2 : Hướng dẫn học sinh làm gián tiếp( Tức là sử dụng các biến cố đối)
2. Những bài toán tính xác suất khi biết xác suất của biến cố liên quan
Để áp dụng công thức tính thì phải yêu cầu học sinh biết cách sử dụng khái niệm
biến cố và phân biệt mối quan hệ của các biến cố trong bài toán. Khi chưa phân biệt
đựơc thì việc tính toán sẽ khó khăn, học sinh không thể tiếp cận đến công thức được. Với
suy nghĩ này tôi đã chọn cách dạy phân tích bài toán để bước đầu học sinh biết tìm ra
các biến cố, tìm mối quan hệ của các biến cố và tính được xác suất của biến cố theo yêu
cầu.
Bài 1: Một lớp học gồm 40 học sinh trong đó có : 15 học sinh giỏi toán, 10 học sinh giỏi
Lý và 5 học sinh giỏi Toán lẫn Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy tính xác suất để
học sinh đó giỏi toán hay giỏi lý.
Hướng dẫn
GV:Yêu cầu học sinh chỉ ra các biến cố, mối quan hệ các biến cố là gì?
Từ đó học sinh tự áp dụng công thức để tính.

A là biến cố học sinh giỏi toán
B là biến cố học sinh giỏi lý
Ta có: AB là biến cố học sinh giỏi toán và lý
A
∪
B là biến cố học sinh giỏi toán hay lý
Ta có: P(A)=
15
40
=
3
8
; P(B)=
10
40
=
1
4
; P(AB)=
5
40
=
1
8
Vậy P(A
∪
B) = P(A) + P(B) – P(AB) =
3
8
+

1
4
-
1
8
=
4
8
=
1
2
Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 52 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại lá bài
trong cỗ bài và rút một lá bài khác. Tính xác suất để được lá bài là bích và lá bài là cơ.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “chọn lá bài thứ nhất là bích”
B là biến cố “chọn được lá bài thứ hai là cơ”
Ta tìm P(AB)
Ta biết A và B là hai biến cố độc lập vì ta trả lại lá bài thứ nhất trước khi rút lá bài thứ
hai. Do đó P(AB) = P(A).P(B)
Mà P(A) =
1
52
và P(B) =
1
52
. Vậy P(AB) =
1
52
.
1

52
Bài 3: Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là
1
4
. Lớp học có
đủ ánh sáng nếu ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tìm xác suất để lớp học có đủ ánh sáng
Hướng dẫn
Gọi A, B, C tương ứng là các biến cố “ lớp có 6 bóng đèn sáng ”, “ lớp có 5 bóng đèn
sáng ” và “ lớp có 4 bóng đèn sáng ”.
Mỗi bóng có xác suất sáng là
3
4
. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, ta có:
P(A) =
6
3
4
 
 ÷
 
; P(B)=
5
6
C

5
3
4
 
 ÷

 
1
4
 
 ÷
 
P(C) =
4
6
C

4
3
4
 
 ÷
 
2
1
4
 
 ÷
 
.
Gọi X là biến cố lớp có đủ ánh sáng . Ta có :
P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,8305
Bài 4: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn
người xạ thủ bắn trúng bia một lần.
Hướng dẫn
A là biến cố người xạ thủ bắn trúng bia

A
là biến cố người xạ thủ không bắn trúng bia
Ta có P(A) = 0,4 và P(
A
) = 1- 0,4 =0,6
Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần 1 và không trúng hai lần sau là
P
1
=
0,4 0,6 0,6 0,14× × =
Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần 1 và lần 3 không trúng là P
2
= P
1

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 3, lần 1 và lần 2 không trúng là
3
P

= P
1

Vậy xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng một lần là
P = 0,14 + 0,14 + 0,14 = 0,42
Bài 5 :Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn. Xác suất để trúng ba viên vòng 10
là 0,008 , xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng dưới vòng 8
là 0,4. Biết rằng các lần bắn là độc lập với nhau. Tìm xác suất để viên đạn đạt ít nhất 28
điểm.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “ 1 viên trúng vòng 10”. Khi đó từ giả thiết ta có :

0,008 = (P(A))
3
=> P(A) = 0,2. (1)
Gọi B là biến cố “ 1 viên trúng vòng 9”. C là biến cố “ 1 viên trúng vòng 8”, D là biến cố
“ 1 viên trúng dưới vòng 8”. Theo giả thiết ta có :
P(C) = 0,15 ; P(D) = 0,4 . (2)
Rõ ràng A, B, C, D là các biến cố đôi một xung khắc với nhau nên ta có :
1= P(A
∪
B
∪
C
∪
D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra P(B) = 1- (0,2 +0,15 + 0,4) = 0,25 (4)
Gọi X là biến cố “vận động viên đạt ít nhất 28 điểm”.
Để đạt được ít nhất 28 điểm thì:
- Hoặc là 2 viên trúng vòng 10, một viên vòng 8. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất
điều này xảy ra với xác suất
2
3
C
(0,2)
2
(0,15).
- Hoặc 2 viên trúng vòng 9 một viên trúng vòng 10. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất
điều này xảy ra với xác suất
2
3
C

(0,2)(0,25).
- Hoặc 2 viên trúng vòng 10, một viên trúng vòng 9 . Điều này xảy ra với xác suất:
2
3
C
(0,2)
2
(0,25).
- Hoặc cả ba viên điều trúng vòng 10 với xác suất theo giả thiết là 0,008. Theo quy tắc
cộng và nhân xác suất của các biến cố xung khắc, ta có:
P(X) =
2
3
C
(0,2)
2
(0,15) +
2
3
C
(0,2)(0,25) +
2
3
C
(0,2)
2
(0,25) +0,008 = 0,0935
Vậy vận động viên bắn súng đạt ít nhất 28 điểm với xác suất là 0,0935
Bài 6: Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở
cánh trái. Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1. Còn mỗi động cơ bên cánh

trái là 0,05, các động cơ hoạt động độc lập. Tìm xác suất để máy bay thực hiện chuyến
bay an toàn trong các trường hợp sau đây.
1. Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 3 động cơ làm việc.
2. Máy bay chỉ bay được nếu mỗi cánh máy bay có ít nhất một động cơ làm việc.
Hướng dẫn
1. Xét trường hợp máy bay bay an toàn nếu có ít nhất hai động cơ làm việc.
Gọi
A
là biến cố “ máy bay thực hiện chuyến bay an toàn”, thì biến cố
A
−
là máy bay
bay không an toàn, theo quy tắc biến cố đối ta có:
P(
A
) = 1 – P(
A
−
)(1)
Máy bay không an toàn nếu:
- Hoặc là cả 5 động cơ bị hỏng. Theo quy tắc nhân xác suất để điều này xảy ra với xác
suất: (0,1)
3
(0,05)
2
.
- Hoặc chỉ có một động cơ ở cánh phải hoạt động còn lại mọi động cơ bị hỏng. Theo quy
tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất :
1
3

C
(0,95)(0,05)(0,1)
3
.
- Hoặc chỉ có một động cơ ở cánh trái hoạt động còn lại mọi động cơ bị hỏng. Theo quy
tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất :
1
2
C
(0,95)(0,05)(0,1)
3
Theo quy tắc cộng xác suất ta có:
P(
A
−
) = (0,1)
3
(0,05)
2
+
1
3
C
(0,95)(0,05)
2
(0,1)
2
+
1
2

C
(0,95)(0,05)(0,1)
3
= 0,00016. (2)
Thay (2) vào (1) ta có:
P(A) = 1 – 0,00016 = 0, 99984.
2. Xét trường hợp máy bay thực hiện chuyến bay an toàn nếu như ở mỗi cánh ít nhất có
một động cơ hoạt động tốt. Gọi
B
là biến cố “ máy bay thực hiện chuyến bay an toàn” ,
thì:
P(
B
) = 1 – P(
B
−
). (3)
Máy bay bay không an toàn nếu:
- Hoặc cả ba động cơ bên phải bị hỏng, điều này xảy ra với xác suất là(0,1)
3
.
- Hoặc cả 2 động cơ bên trái bị hỏng. Điều này xảy ra với xác suất là (0,005)
2
.
Theo quy tắc cộng ta có: P(
B
−
) = (0,1)
3
+(0,005)

2
= 0,00035 (4)
Thay (4) vào (3) ta có: P(
B
) = 1 – 0,00035 = 0,9965
Bài 7: Một bình đựng 5 bi trắng và 4 bi đỏ. Ta lần lượt lấy một bi 3 lần liên tiếp theo
luật: nếu bi lấy được là đỏ thì trả lại bi này vào bình còn nếu lấy được bi trắng thì không
trả lại bi này vào bình. Gọi E
k
(1
≤
k
≤
3) là biến cố chỉ được bi trắng trong lần lấy thứ k
a. Tính xác suất của E
1.
b. Tính xác suất của E
2
và E
3
. Suy ra xác suất lấy được chỉ một bi trắng trong 3 lần lấy.
Hướng dẫn
a. E
1
là biến cố chỉ lấy được bi trắng trong lần lấy thứ nhất, do đó lần lấy thứ hai và lần
lấy thứ 3 là bi đỏ
Vậy P(E
1
) =
5

9
×
4
8
×
4
8
=
5
36
b. E
2
là biến cố chỉ lấy được bi trắng trong lần lấy thứ hai, do đó lần lấy thứ nhất và lần
lấy thứ 3 là bi đỏ
Vậy P(E
2
) =
4
9
×
5
9
×
4
8
=
10
81
E
3

là biến cố chỉ lấy được bi trắng lần thứ 3, do đó lần thứ nhất và lần thứ 3 là bi đỏ. Vậy
P(E
3
) =
4
9
4
9
×
5
9
×
=
100
729
Gọi F là biến cố chỉ lấy đựoc 1 bi trắng trong 3 lần lấy thì
F= E
1

∪
E
2

∪
E
3
vơí E
1,
E
2,

E
3
là ba biến cố đôi một xung khắc
Vậy P(F) = P(E
1
) + P(E
2
) + P(E
3
) =
5
36
+
10
81
+
100
729
=
1165
2916
Nhận xét : Qua các bài tập này ta thấy
-Việc xác định xác suất của các biến cố ( tính trực tiếp) phức tạp nên sử dụng xác suất
biến cố đối.
- Và xác định xác suất của các biến cố trong các trường hợp mà biến cố đó xảy ra là
biến cố hợp và biến cố giao.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của :
a. Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
(Đáp số:

7
8
)
b. Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.” (Đáp số:
3
4
)
Bài 2: Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4
nữ. Người quản lí khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để:
1. Có 4 khách nam và 2 khách nữ.(Đáp số:
3
7
)
2. Có ít nhất 2 khách nữ.(Đáp số:
37
42
)
Bài 3: Một đoàn tàu có 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu
nhiên một toa tàu. Tìm xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách lên tàu. (Đáp số:
50
81
)
Bài 4: Một người bỏ ngẫu nhiên bốn lá thư vào bốn chiếc phong bì thư đã đề sẵn địa chỉ.
Tìm xác xuất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ. (Đáp số:
5
8
)
3. Những bài toán tính xác suất khi phải xác định các biến cố và không gian mẫu.
Khi phân tích công thức tính xác suất của biến cố thì đòi hỏi học sinh tìm được biến cố
để xác định mối quan hệ của biến cố với các giả thiết ở bài toán và nhằm đến mục đích

cuối của công thức đó là tìm được không gian mẫu và không gian các kết quả thuận lợi.
Ở các dạng trên học sinh chỉ việc đọc kỹ và hiểu khái niệm là các em đã áp dụng công
thức để tính, nhưng trên thực tế các bài toán xảy có rất nhiều giả thiết và các mối quan
hệ ràng buộc của các biến cố nhiều hơn nên tôi đưa ra cho học sinh một lớp các bài
toán tính xác suất nhưng chú trọng tới việc xác định biến cố, không gian mẫu, không
gian các kết quả thuận lợi kết hợp với các bài toán tổ hợp.
Bài 1: Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời, nhưng chỉ
có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai sẽ bị trừ đi
1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất
để :
1. Học sinh được 13 điểm
2. Học sinh đó bị điểm âm.
Hướng dẫn
1. Gọi x là số câu trả lời đúng, 12 – x là số câu trả lời sai.
Để được 13 điểm ta cần có : 4x – (12 –x) = 13
 x=5.
Bài toán trở thành : Tìm xác suất để học sinh trả lời 5 câu đúng. Xác suất để có câu trả
lời đúng là
1
5
(và sai là
4
5
). Theo quy tắc cộng và nhân xác suất để học sinh có được 13
điểm là :
P =
5
12
C

5
1
5
 
 ÷
 
7
4
5
 
 ÷
 
2. Anh ta bị điểm âm khi
4x – (12 - x) < 0  x <
12
5
 x = 0, 1, 2( do x nguyên).
Gọi A là biến cố “ trả lời sai toàn bộ ”, B là biến cố “ trả lời đúng 1 câu”, C là biến cố
“ trả lời đúng 2 câu”. Lập luận như phần 1., ta có:
P(A) =
12
4
5
 
 ÷
 
; P(B) =
1
12
C

1
5
 
 ÷
 
11
4
5
 
 ÷
 
; P(C) =
2
12
C

2
1
5
 
 ÷
 
10
4
5
 
 ÷
 
Gọi X là biến cố “ bị điểm âm”, thì X = A

∪
B
∪
C , trong đó A, B, C là các biến cố
đôi một xung khắc. Theo quy tắc cộng xác suất ta có:
P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,5583.
Bài 2: Một người bước 8 bước. Mỗi bước anh tiến lên phía trước 0,5 m hoặc lùi lại phía
sau 0,5m với xác suất như nhau. Tìm xác xuất để.
1. Anh ta trở lại vạch xuất phát
2. Anh ta cách điểm xuất phát hơn 2m.
Hướng dẫn
Để giải được bài toán này việc xác định các biến cố là quan trong, do đó học sinh phải
xác định mối quan hệ của các giả thiết để tìm ra biến cố, và có những trường hợp nào
xảy ra.
1. Anh ta quay lại điểm xuất phát nếu như trong 8 bước có 4 bước tiến, 4 bước lùi. Theo
quy tắc cộng và nhân xác suất, xác suất xảy ra trong trường hợp này là:
P =
4
8
C

4
1
2
 
 ÷
 
4
1
2

 
 ÷
 
=
70
256

2. Gọi x là số bước tiến lên và 8 – x là số bước lùi lại. Khoảng cách giữa anh say rượu với
điểm xuất phát là
|x – (8 – x ) | = |2x – 8|
Từ đó theo giả thiết ta có : |2x – 8 | > 4
⇔

6
2
x
x
>


<


⇔
x = 0 ; 1 ; 7 ; 8
(do x là số nguyên)
Vì thế chúng ta áp dụng quy tắc cộng và nhân xác suất, thì xác suất trong trường hợp này
là :
P =
8 7 7 8

8 7 1 0
8 8 8 8
1 1 1 1 1 1 9
2 2 2 2 2 2 128
C C C C
           
+ + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           

Nhận xét :
Qua các bài toán trên các em đã thấy rõ tính hiệu quả của phương pháp sử dụng xác
định được các biến cố và các định lý và phép tính xác suất để tìm xác suất của một biến
cố hợp.
Bài 3 : 1. Gieo đồng thời hai con xúc sắc. Tính xác suất để :
a. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9.
b. Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau là 2
2. Gieo đồng thời ba con xúc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên ba
con là 10.
Hướng dẫn
1. Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Vì có hai con xúc sắc, mỗi con có sáu khả
năng xuất hiện nên :
Ω
= 6.6=36.
a. Gọi A là biến cố” tổng các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là 9”. Khả năng
thuận lợi là: (3;6), (4:5), (6:3), (5:4) nên có
A
Ω
= 4.
Từ đó ta có

( )
A
P A
Ω
=
Ω
=
4 1
36 9
=
b. Gọi B là biến cố ” tổng các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc hơn kém nhau là
2”. Các khả năng thuận lợi là: (1;3), (2;4),(3;5),(4;6), (3;1), (4;2), (4;2), (6;4) nên có
B
Ω
= 8
Từ đó ta có
( )
B
P A
Ω
=
Ω
=
8 2
36 9
=
2. Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Vì có ba con xúc sắc, mỗi con có sáu khả
năng xuất hiện nên :
Ω
= 6.6.6=216

Gọi C là biến cố ” tổng các chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc là 10”. Các khả năng
thuận lợi của C là chính là các tổ hợp có tổng bằng 10 sau đây: (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),
(2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) và các hoán vị của các tổ hợp ấy.
Do vậy
Ω
= 6+6+3+6+3=24.
Để ý rằng (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),(2;3;5) thì mỗi tập có 6 hoán vị, còn (2;2;6), (3;3;4)
thì mỗi tập có ba hoán vị. Vậy nên:
( )
c
P C
Ω
=
Ω
=
24 1
216 9
=
Nhận xét: Với bài toán trên để xác định được số phần tử của không gian mẫu và
không gian các kết quả thuận lợi thì chung ta phải dùng phương pháp liệt kê.
Hạn chế của phương pháp này là không thể giả quyết được các bài toán mà các biến
cố xảy ra nhiều trường hợp, và các bài toán cho số phần tử của không gian mẫu lớn.
Chính vì thế ta sẽ tìm cách đưa về các dạng toán tìm số phần tử theo các định nghĩa của
đại số tổ hợp.
Bài 4: Trong bình thứ nhất đựng 3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen. Trong bình thứ hai đựng 4
bi đỏ và 6 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi của bình thứ nhất và 1 viên bi của bình
thứ hai. Gọi A là biến cố lấy được 3 viên bi đỏ, B là biến cố lấy được cả ba viên bi không
cùng màu và C là biến cố lấy được bi đỏ từ bình thứ hai.
a. Tính xác suất của biến cố A.
b. Tính xác suất để lấy được ba viên bi cùng màu

Hướng dẫn
a. Lấy 2 bi từ bình thứ nhất đựng 10 viên bi (3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen), và 1 viên bi
từ bình thứ hai đựng 10 viên bi ( 4 bi đỏ và 6 viên bi đen). Gọi A là biến cố lấy được 3
viên bi đỏ. Biến cố A chỉ xảy ra khi ta lấy được 2 bi đỏ từ bình thứ nhất và 1 bi đỏ từ bình
thứ hai
Xác suất lấy 2 bi đỏ ở bình thứ nhất là:
2
3
2
10
1
15
C
C
=
Xác suất lấy 1 bi đỏ ở bình thứ hai là:
2
5
.
Vậy xác suất của biến cố A là:
1 2 2
( )
15 5 75
P A = × =
b. Gọi E là biến cố lấy được 3 bi cùng màu. Biến cố E xảy ra khi ta lấy được bi đỏ hay 3
bi đen.
Xác suất lấy được 2 bi đen tronng bình thứ nhất là:
2
7
2

10
7
15
C
C
=
Xác suất lấy được 1 bi đen tronng bình thứ hai là:
3
5
Do đó xác suất lấy được 3 bi đen là :
7 3 7
15 5 25
× =
Mà hai biến cố lấy được 3 bi đỏ và 3 bi đen là hai biến cố xung khắc. Vậy xác suất
lấy được 3 bi cùng màu là
2 7 23
( )
75 25 75
P E = + =
Do B là biến cố được 3 bi không cùng màu chứng tỏ B là biến cố của biến cố E
nên ta có:
52
( ) 1 ( )
75
P B P E= − =
.
Bài 5: Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh.
Lấy ngẫu nhiên một lần ba viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau:
a. Lấy được 3 viên cùng màu xanh.
b. Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.

Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách lấy ra 3 viên bi trong đó số 12 viên bi
Khi đó có
Ω
=
3
12
C
= 220.
a. Gọi A là biến cố “ lấy được ba viên bi màu xanh”. Do đó
A
Ω
=
3
5
C
= 10
Vậy
( )
A
P A
Ω
=
Ω
=
10 1
220 22
=
b. Gọi B là biến cố “ lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh”
Để lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh ta có hai cách:

- Hoặc lấy ra cả 3 viên bi xanh.
- Hoặc lấy ra 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ
Nên
B
Ω
=
3
5
C
+
2 1
5 7
C C
= 80
Vậy
( )
B
P B
Ω
=
Ω
=
4
11
Bài 6: Trong một trăm vé sổ số có 1 vé trúng 100000đồng, 5 vé trúng 50000 đồng và 10
vé trúng 10000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên ba vé.
a. Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 30000 đồng.
b. Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 200000 đồng.
Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách mua 3 vé trong 100 vé. Ta có:

Ω
=
3
100
C

a. Gọi A là biến cố “Người mua trúng thưởng 30000 đồng”.
Để trúng thưởng 30000 đồng thì cả ba vé mua đều trúng thưởng và mỗi vé trúng thưởng
là 10000 đồng. Do đó
A
Ω
=
3
100
C
.
Khi đó
( )
A
P A
Ω
=
Ω
=
2
2695
b. Gọi B là biến cố ” Người mua trúng thưởng 200000 đồng”.
Để trúng thưởng 200000 đồng thì do chỉ có 1 vé mua trúng 100000 thưởng và 2 vé mỗi
vé trúng thưởng là 50000 đồng. Nên
B

Ω
=
1 2
1 5
C C
= 10.
Từ đó ta có:
( )
B
P B
Ω
=
Ω
=
1
15620
.
Bài 7. Một nhóm gồm 5 người đàn ông, 4 người phụ nữ và 1 đứa bé xếp vào 1 bàn dài.
Tính xác suất để:
a. Đứa bé ở giữa 2 người đàn ông.
b. Mỗi nhóm ngồi cạnh nhau.
c. 4 người phụ nữ ngồi xen kẽ giữa 5 người đàn ông.
Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp các cách xếp chỗ ngồi cho 10 người
10! 3628800
Ω = =
a. Gọi A là biến cố “đứa bé ở giữa 2 người đàn ông”
- Chọn vị trí đứa bé: 8 cách
- Chọn 2 người đàn ông ngồi 2 bên đứa bé:
2

10
5
C
=
cách
- Hoán vị 2 người đàn ông đó: 2! = 2 cách.
- Chọn chỗ cho 7 người còn lại: 7! = 5040
Có 80640 cách chọn,
80640
A
Ω =
. Vây ta có:
( )
80640 1
10! 45
P A
= =
b. Gọi B là biến cố “mỗi nhóm ngồi cạnh nhau”
- Chọn vị trí cho 3 nhóm: 3! = 6 cách.
- Hoán vị 5 người đàn ông: 5! =120 cách.
- Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách
Nên có
172080
cách xếp.
17280
B
Ω =
( )
17280 1
10! 210

P B
= =
c. Gọi C là biến cố “4 người phụ nữ ngồi xen kẽ 5 người đàn ông”
- Chọn vị trí cho đứa bé: 2 cách
- Hoán vị 5 người đàn ông: 5! = 120 cách
- Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách
Nên có 5760 cách xếp,
5760
C
Ω =
. Vậy
( )
5760 1
10! 630
P C
= =
Bài 8: Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam
làm đại diện. Nếu mà không có quả cam nào hỏng thì sọt cam được xếp loại 1; nếu mà có
1 hoặc 2 quả cam hỏng thì sọt cam được xếp loại 2, còn lại được xếp loại 3. Giả sử tỉ lệ
cam hỏng là 3% . Hãy tính xác suất để:
1. Cam được xếp loại 1 .
2. Cam được xếp loại 2.
3. Cam được xếp loại 3.
Hướng dẫn
Tỉ lệ cam hỏng là 3%, tức là xác suất lấy ra cam hỏng là 0,03; còn xác suất lấy ra 1 quả
cam tốt là 0,97.
1/ Giả thiết sọt cam lớn nhất có nghĩa là phép lấy các quả cam ra là các biến cố độc lập .
Gọi A là biến cố “ sọt cam xếp loại 1”, theo quy tắc nhân, ta có:
P(A)=(0,97)
20

.
2/ Gọi B là biến cố “ sọt cam xếp loại 2”
Gọi B
1
là biến cố “ trong 20 quả cam lấy ra có 1 quả cam hỏng”
Gọi B
2
là biến cố “ trong 20 quả cam lấy ra có 2 quả cam hỏng”
Khi đó B= B
1

∪
B
2
, trong đó B
1
, B
2
là hai biến cố xung khắc. Theo quy tắc cộng xác suất
ta có : P(B) =P(B
1
)+P(B
2
). (1)
Trong 20 quả cam lấy ra có 1 quả hỏng, tức là có 1 lần lấy ra cam hỏng và 19 lần lấy ra
cam tốt ; 20 quả cam hỏng có thể lấy ra theo
1
20
C
cách . Vậy theo quy tắc nhân ta có :

P(B
1
)=
1
20
C
(0,03)(0,97)
19
. (2)
Tương tự ta có :
P(B
2
)=
2
20
C
(0,03)
2
(0,97)
18
. (3)
Thay (2), (3) vào (1) ta có :
P(B) =
1
20
C
(0,03)(0,97)
19
+
2

20
C
(0,03)
2
(0,97)
18
3/ Gọi C là biến cố “ sọt cam loại 3”, thì C là biến cố đối của biến cố A
∪
B vậy P(C) = 1-
P(A
∪
B) (4)
Do A, B là hai biến cố xung khắc, nên theo quy tắc cộng ta có :
P(A
∪
B) = P(A) + P(B) (5)
Thay (5) và (4) ta có:
P(C) = 1 – P(A) – P(B) = 1- (0,97)
20
-
1
20
C
(0,03)(0,97)
19
-
2
20
C
(0,03)

2
(0,97)
18
Bài 9: Có 25 quả cầu gồm hai loại đen và trắng được đặt vào hai thùng. Thùng nào có số
quả cầu nhiều hơn thì số quả cầu trắng cũng nhiều hơn. Lấy ngẫu nhiên mỗi thùng ra một
quả cầu. Tìm xác suất để lấy được một quả cầu đen và một quả cầu trắng. Biết rằng xác
suất để lấy được hai quả cùng trắng là 0,48.
Hướng dẫn
Gọi
1 2 1 2 1 2
, , , , ,m m t t d d
lần lượt là số quả cầu, số quả cầu trắng, số quả cầu đen trong hai
thùng. Giả sử
1 2
m m>
Ta có
1 2
25m m+ =
Xác suất để lấy mỗi thùng một quả cầu và cả hai cùng màu trắng là
0,48
nên:
1 2 1 2
1 2 1 2
12
0,48
25
t t t t
m m m m
= ⇒ =
( )

1 2 1 2
25 12 *t t m m⇔ =
Mặt khác
1 2
25m m+ =
suy ra
1 2
,m m
đều là bội của 5.
và
1 2
m m>
nên ta xét các khả năng sau:
Trường hợp 1:
1 2
20; 5m m= =
Từ
( )
*
suy ra
1 2
48t t =
Theo giả thiết và do điều giả sử ta có
2 1
0 25t t< < <
nên ta được
1 2
16, 3t t= =
hoặc
1 2

12, 4t t= =
*) Với
1 2
16, 3t t= =
thì suy ra
1 2
4, 2d d= =
, xác suất để lấy được hai quả cùng màu là:
4 2
0,48 . 0,56
20 5
+ =
Nên xác suất để lấy được 1 trắng, 1 đen là:
1
1 0,56 0,44P = − =
*) Với
1 2
12, 4t t= =
thì suy ra
1 2
8, 1d d= =
, xác suất để lấy được hai quả cùng màu là:
8 1
0,48 . 0,56
20 5
+ =
Nên xác suất để lấy được 1 trắng, 1 đen là:
2
1 0,56 0,44P = − =
Trường hợp 2:

1 2
15; 10m m= =
Giải tương tự ta cũng được
3
0,44P =
Kết luận: Xác suất cần tìm là
0,44P
=
Nhận xét:
-Trong thí dụ trên ta đã sử dụng xen kẽ quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất và quy tắc
tính xác suất của biến cố đối.
- Nhiều học sinh bị nhầm việc xác định không gian mẫu do học sinh chưa xác định kỹ
mối quan hệ của biến cố với định nghĩa tổ hợp.
Bài tập áp dụng
Bài 1:.Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 (không có
hòa ). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiên trận để xác suất An thắng ít nhất một trận
trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95.
Bài 2: Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm
có 1 câu hỏi lý thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A
chỉ học 4 câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn 1 đề thị
một cách ngẫu nhiên. Với giả thiết học sinh A chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã
học. Tính xác suất để học sinh A :
a. Không trả lời được lý thuyết.
b. Chỉ trả lời được 2 câu bài tập.
c. Đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và
ít nhất 2 bài tập.
Bài 3: Biết xác suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và
0,6. Tính xác suất để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép
thi tối đa 2 lần.
Bài 4: Một căn phòng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong

vòng một giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9. Tìm các xác suất sao cho
trong vòng một giờ :
a. Có hai bệnh nhân cần cấp cứu.
b. Có ít nhất một bệnh nhân không cần cấp cứu.
Bài 5: Phải gieo ít nhất bao nhiêu lần một con súc sắc để xác suất có ít nhất một lần xuất
hiện mặt 6 lớn hơn hay bằng 0,9?
Bài 6: ( Đề thi ĐH-CĐ khối A-2013)
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất
để chọn là số chẵn.
PHẦN III: HIỆU QUẢ, KẾT LUẬN
I. Hiệu quả :
Trong những năm được phân công dạy khối 11, tôi thấy học sinh rất nản khi phải học
và làm bài toán xác suất. Điều đó làm tôi suy nghĩ và tôi đã tìm tòi, tham khảo đọc tài
liệu để tìm ra một cách dạy cho riêng mình mà khuyến khích được học sinh học và thúc
đẩy niềm say mê, tính sáng tạo và ham tìm tòi của học sinh.Tôi đã sử dụng sáng kiến này
để dạy trên các lớp 11A2, 11A4 và các lớp ôn thi đại học 12A2 và 12A3 .
Kết quả khảo sát qua các lớp trong năm học 2012-2013 tôi dạy lớp 11 và 12 như sau:
Kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến:
ĐỀ KIỂM TRA LỚP 11( Thời gian làm bài 30’)
Bài 1(3đ): Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình.
Tìm xác suất để:
a) Một học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình.
b) Một học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.
Hướng dẫn
a) Gọi A là biến cố “Học sinh bắt được đề trung bình”
1
20
1
30

C 20 2
P(A)
C 30 3
= = =
b) Gọi B là biến cố” học sinh bắt được 1 đề trung bình và một đề khó” Gọi C là
biến cố “học sinh bắt được 2 đề trung bình”. Gọi D là biến cố “học sinh bắt hai đề, được
ít nhất một đề trung bình”.
Khi đó:
1 1 2
20 10 20
2
30
C .C C 200 190
P(D) P(B) P(C) 0,896
C 435
+ +
= + = = =
Bài 2(2đ): Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì
thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần
thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
Hướng dẫn
Gọi A
i
là biến cố thí sinh thi đâu lần thứ i (i = 1;2;3)