SKKN Nhìn bài toán Hình học phẳng thuần túy bằng con mắt tọa độ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"NHÌN BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY BẰNG CON
MẮT TỌA ĐỘ"

1. Đặt vấn đề
- Có không ít bài toán hình học phẳng thuần túy khá “hóc búa” gây nhiều khó khăn, trăn
trở cho người làm toán. Vì thế việc tìm hiểu và tường minh một giải pháp khả dĩ là kỳ
vọng của tác giả.
- Sử dụng công cụ tọa độ là giải pháp được đề cập và luận bàn trong đề tài này.
2. Mô tả giải pháp cũ
- Tồn tại những bài toán hình học phẳng, khi giải bằng phương pháp thuần túy hình học
thì thiếu chặt chẽ, thuyết phục (đề thi vô địch Nam Tư, trang 42), hoặc phải xét nhiều
trường hợp phức tạp (đề thi chọn học sinh quốc gia năm học 2008 – 2009, trang 15).
3. Mô tả giải pháp sáng kiến
* Nội dung giải pháp mới: Giải pháp đi sâu phân tích, luận bàn 12 dạng toán trọng tâm
của hình học phẳng thuần túy.
- Dạng bài: Tính toán
- Dạng bài: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
- Dạng bài: Chứng minh đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng.
- Dạng bài: Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định.
- Bài toán minh họa: 2 cách chọn hệ trục tọa độ khác nhau.
- Dạng bài: Tính tỷ số giữa hai đoạn thẳng.
- Dạng bài: Tương giao giữa các đường thẳng.
- Dạng bài: Xác định vị trí của điểm.
- Dạng bài: Chứng minh hai đường thẳng song song.
- Dạng bài: Chứng minh 1 điểm di động trên 1 đường cố định.
- Dạng bài: Liên quan đến giá trị lớn nhất của biểu thức.
- Dạng bài: Tìm quỹ tích.

* Thuyết minh tính mới của giải pháp

- Tính mới của giải pháp thể hiện ở 7 điểm sau:
(7 điểm mới này cũng đồng thời khắc phục được những nhược điểm của giải pháp đã
biết).
Một là: Bên cạnh lời giải có sẵn, tác giả sáng tác thêm ít nhất một lời giải mới cho mỗi
bài toán (có những bài toán tác giả trình bày 4 lời giải).
Những lời giải do tác giả tự sáng tác chưa từng xuất hiện trong bất kỳ tài liệu nào.
Hai là: Làm rõ tính tương tác, quan hệ biện chứng, sự hỗ trợ, bổ sung lẫn nhau giữa cách
giải truyền thống và cách giải sử dụng công cụ tọa độ, từ suy nghĩ cho cách giải này giúp
nảy sinh ý tưởng cho cách giải khác và ngược lại. Từ đó tạo ra nhiều sự lựa chọn và cơ
hội giải bài toán cao hơn, có đường lối hơn.
Ba là: Chỉ ra được trên cùng một bài toán, ta có thể xác lập được các hệ trục tọa độ Đề
các với những vị trí khác nhau, mà bài toán vẫn cho cùng kết quả. Điều này thể hiện tính
độc đáo, sự “tự do” không bị gò bó, cứng nhắc của giải pháp. Đây lại là một ưu điểm rõ
ràng của giải pháp.
Bốn là:Chỉ ra được những bài toán nếu sử dụng giải pháp công cụ tọa độ, thì bài giải cho
kết quả đẹp, ngắn gọn, cô đọng và trọn vẹn.
Năm là: Đề cập đến những bài toán hình học phẳng, nếu giải bằng cách thuần túy truyền
thống thì khó thực hiện, thậm chí bế tắc. Trong khi đó giải pháp vận dụng công cụ tọa độ
vẫn khả thi.
Sáu là: Xử lý được bài toán bằng cách sử dụng công cụ tọa độ thì chặt chẽ, thuyết phục
“dứt điểm” hơn so với cách giải thuần túy truyền thống.
Bảy là: Xác lập được nguyên tắc hình thành hệ trục tọa độ Đề các tương thích cho mỗi
loại hình.
* Bài toán minh họa

* Tác giả xử lý bài toán này bằng 4 giải pháp:
+ Giải pháp sử dụng công cụ véc tơ.
+ Giải pháp thuần túy hình học.
+ Giải pháp sử dụng đường thẳng Simson.
+ Giải pháp sử dụng công cụ tọa độ.

Bằng giải pháp sử dụng công cụ tọa độ, giúp việc chứng minh giao điểm của PQ và RS
nằm trên một trong hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD, được chặt chẽ và rõ ràng.
Ta chỉ việc kiểm tra tọa độ giao điểm E thỏa mãn phương trình của đường thẳng BD và
AC hay không?
Người viết đã dành khá nhiều thời gian trong việc chứng minh giao điểm của hai đường
thẳng PQ và RS nằm trên một trong hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD bằng các
giải pháp khác, tuy nhiên khó diễn đạt một cách chặt chẽ thuyết phục như giải pháp sử
dụng công cụ tọa độ.
2. Khả năng áp dụng
Đề tài làm phong phú hơn “hành trang” của người dạy toán, học toán.
Tạo ra một góc nhìn đa chiều về bài toán rất phổ thông và thường gặp trong các kỳ thi
chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia và quốc tế.
3. Hiệu quả
- Người viết đã vận dụng giải pháp trên trong việc bồi dưỡng đội học sinh giỏi của trường
THPT Tăng Bạt Hổ và đội tuyển học sinh giỏi toán của tỉnh Bình Định dự thi học sinh
giỏi cấp quốc gia.
- Trong 5 năm học gần đây đạt kết quả như sau;
Tổng số giải học sinh đạt cấp tỉnh trong 5 năm. 12 giải
Tổng số giải học sinh đạt cấp quốc gia trong 5
năm.
9 giải