SKKN Phương pháp giải bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều Vật lý 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH
ĐIỆN XOAY CHIỀU VẬT LÝ 12"

1
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong các đề thi tốt nghiệp, thi đại học, thi học sinh giỏi thường có các câu hỏi
tìm giá trị cực trị của các đại lượng trong mạch điện xoay chiều như: công suất, cường
độ dòng điện, hiệu điện thế khi có sự biến thiên của các phần tử trong mạch như: R,
L, C hoặc tần số góc
ω
. Gặp những bài toán này học sinh thường lúng túng trong việc
tìm cho mình một phương pháp giải tốt nhất và hiệu quả nhất. Do đó mất thời gian và
làm ảnh hưởng đến thời gian làm các bài toán khác và kết quả không cao.
Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi thấy có một số phương pháp cơ bản để giải
các bài toán dạng này. Trong đề tài này tôi muốn giới thiệu một số dạng bài toán cực
trị trong mạch điện xoay chiều và phương pháp giải để giúp các em học sinh có nhiều
phương pháp để giải và lựa chọn cho mình một phương pháp tối ưu nhất, nhanh, chính
xác và đạt hiệu quả cao nhất.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Qua tìm hiểu các đề thi, nghiên cứu các tài liệu tham khảo về mạch điện xoay
chiều RLC mắc nối tiếp, tôi thấy có một số dạng bài toán cực trị thường gặp và có các
phương pháp giải như sau:
DẠNG 1: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO R.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong
mạch điện xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi R thay đổi, trong đó U, L, C,
ω
không đổi ( mạch điện như hình vẽ).
A R L C B
1.1. Tìm R để I

max
=?
Lập biểu thức tính cường độ dòng điện: Theo định luật ôm
I =
22
)(
cL
ZZR
U
Z
U
−+
=


2
do U = Const nên I
max
khi Z
min
khi đó R ->0 => I
max
=
CL
ZZ
U
−
1.2. Tìm R để P
max
=?

Lập biểu thức công suất của mạch: P = I
2
R =
)1(
)(

22
2
2
2
cL
ZZR
RU
Z
RU
−+
=
- Phương pháp đạo hàm: Đạo hàm P theo R ta được:
P' = U
2

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
22
222
2
22

2222
)(
)(
)(
2)(
CL
CL
CL
CL
ZZR
RZZU
ZZR
RUZZR
−+
−−
=
−+
−−+
P' = 0 => R = /Z
L
- Z
C
/ khảo
sát biến thiên của P theo R.
R 0
/Z
L
- Z
C
/

+∞
P' + 0 -
P
0
Pmax
0
Ta thấy khi R =
/Z
L
- Z
C
/ thì P = Pmax => Pmax =
R
U
ZZ
U
CL
22
22
=
−
- Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:
Từ (1) => P =
2
2
( )
L C
U
Z Z
R

R
−
+
=> Rmax khi R +
R
ZZ
CL
2
)( −
min
Do Rvà
R
ZZ
CL
2
)( −
là những số dương nên theo bất đẳng thức côsi ta có:
R +
R
ZZ
CL
2
)( −
≥ 2/Z
L
- Z
C
/. Dấu "=" xảy ra khi: R = /Z
L
- Z

C
/
Vậy với R = /Z
L
- Z
C
/ thì: Pmax =
R
U
ZZ
U
CL
22
22
=
−
.

3
Nhận xét : Trong 2 phương pháp trên ta có thể thấy dùng phương pháp bất đẳng thức
côsi dễ hiểu hơn, nhanh hơn và không bị nhầm lẫn so với phương pháp đạo hàm.
1.3. Tìm R để U
R
; U
L
; U
C
đạt giá trị cực đại?
a.Tìm R để U
Rmax

= ?
Lập biểu thức tính U
R
ta có: U
R
= I.R =
2
222
)(
1
)(
.
R
ZZ
U
ZZR
RU
CLCL
−
+
=
−+
=> U
Rmax
khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R
-> ∞ và U
Rmax
= U.
b.Tìm R để U
Lmax

= ?
Lập biểu thức tính U
L
ta có: U
L
= I.Z
L
=
2 2
.
( )
L
L C
U Z
R Z Z+ −
=> U
Lmax
khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R
= 0 và
U
Lmax
=
.
| |
L
L C
U Z
Z Z−
c.
Tìm R để U

Cmax
= ?
Lập biểu thức tính U
C
ta có: U
C
= I.Z
C
=
2 2
.
( )
C
L C
U Z
R Z Z+ −
=> U
Cmax
khi mẫu số nhỏ nhất, khi đó R
= 0 và
U
Cmax
=
.
| |
C
L C
U Z
Z Z−
Nhận xét: Do

U
Rmax
= U nên không xãy ra trường hợp U
R
> U, còn
U
Lmax
và

U
Cmax
có
thể lớn hơn U khi giải các bài toán trắc nghiệm chúng ta cần chú ý.
1.4. Tìm R để U
RL
, U
RC
, U
LC
đạt cực đại:
a. Tìm R để U
RL
đạt cực đại:
Ta có: U
RL
= I.Z
RL
=
2 2
2

R
.
( )
L
RL
L C
U Z
U
Z
Z
R Z Z
+
=
+ −
=> U
RL
=
22
2
R
2
1
L
CLC
Z
ZZZ
U
+
−
+

Để U
RLmax
thì mẫu số nhỏ nhất. Ta thấy để mẫu số nhỏ nhất khi R -> ∞ khi đó U
RLmax
= U.
b. Tìm R để U
RC
đạt cực đại:

4
Ta có U
RC
= I.Z
RC
=
2 2
2 2
R
.
( )
C
RC
L C
U Z
U
Z
Z
R Z Z
+
=

+ −
=
22
2
R
2
1
C
CLL
Z
ZZZ
U
+
−
+
=> U
RCmax
= U khi R -> ∞
c. Tìm R để U
LC
đạt cực đại:
Ta có U
LC
=

I.Z
LC
=
22
2

L
)(
)(Z
CL
C
ZZR
ZU
−+
−
; U
Lcmax
khi R -> 0 => U
LCmax
= U.
Ví dụ1: Cho mạch điện như hình vẽ:
A R L C B
Hiệu điện thế ở hai đầu mạch điện u
AB
= 100
2
cos 100
∏
t (V). Cho cuộn dây thuần cảm
có độ tự cảm L =
∏
2
(H); tụ điện có điện dung C =
∏
−4
10

(F), R thay đổi được.Tìm R để
công suất tiêu thụ trên mạch cực đại, tính Pmax=?
*Phương pháp đạo hàm:
Ta có công suất P = I
2
R =
22
2
)(
CL
ZZR
RU
−+
;
U = 100(v); Z
L
= 200(Ω); Z
C
= 100(Ω)
=> P =
222
22222
)(
22
2
)100(
2.100)100(100
'
100
.100

+
−+
==>
+ R
RR
P
R
R
R
=> P' = 0 => 100
2
(100
2
- R
2
) = 0 => R = 100(Ω).
Ta thấy khi R = 100(Ω) thì P' = 0 và đổi dấu từ dương sang âm.
Do đó Pmax khi R = 100(Ω) và P
max
=
2
100
100100
100.100
22
2
=
+
= 50(W)
* Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi:

5
Ta có: P =
R
R
2
2
100
100
+
. Theo Côsi ta có: R +
100.2
100
2
≥
R
Dấu "=" khi R
2
= 100
2
=> R = 100(Ω) (loại nghiệm R = -100 <0 )
=> P
max
= 100
2
/1.200 = 50 (W).
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ:
A R R
0,
L C B

U
AB
= 100
2
cos 100
∏
t (v) cuộn dây có độ tự cảm L =
∏
4.1
(H) và điện trở trong R
0
= 30
(Ω), tụ điện có điện dung C =
∏
−4
10
(F)
a. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
b. Tìm R để công suất trên R cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ?
Bài giải:
*Phương pháp dùng BĐT Côsi:
a. Công suất tiêu thụ của mạch: P = I
2
(R+R
0
) =
( )
2
2
0

0
2
)(
)(
CL
ZZRR
RRU
−++
+
=> P =
A
U
RR
ZZ
RR
U
CL
2
0
2
0
2
)(
)(
=
+
−
++
Do U = Const nên P
max

khi Amin theo bất đẳng thức
côsi ta có: A = (R + R
0
) +
0
2
)(
RR
ZZ
CL
+
−
≥ 2 / Z
L
- Z
C
/
=> Amin = 2 / Z
L
- Z
C
/ = 2 (140 - 100) = 80(Ω).
Dấu "=" khi R + R
0
= / Z
L
- Z
C
/ = (140 - 100) = 40(Ω) => R = 40 - R
0

= 10(Ω) khi đó
P
max
=
min
2
A
U
=
2
100
125( )
80
W=

6
Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở thuần R
0
thì ta có thể đặt R
tđ
= R + R
0
rồi áp dụng
BĐT Cô si . Khi đó công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại khi
R
tđ
= R + R
0
= / Z
L

- Z
C
/ => R= / Z
L
- Z
C
/- R
0
. Nếu R
0
> / Z
L
- Z
C
/
thì do R không âm nên ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên mạch đạt cực
đại :
Pmax =
2
0
2 2
0
.
( )
L C
U R
R Z Z+ −
.
b. Công suất tiêu thụ trên R: P
R

= I
2
R =
2
2
Z
RU
=> P
R
=
2 2
2 2 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) ( ) 2
L C L C
U R U R
R R Z Z R R Z Z RR
=
+ + − + + − +

P
R
=
0
2
0
22
0
2
2

2
)(
RA
U
R
R
ZZR
R
U
CL
+
=
+






−+
+
Do U, R
0
không đổi nên P
Rmax
khi Amin
Theo bất đẳng thức côsi ta có: A = R +
[ ]
22
0

22
0
)(2
)(
CL
CL
ZZR
R
ZZR
−+≥
−+
Dấu "=" khi R =
22
0
)(
CL
ZZR −+
=
22
4030 +
= 50Ω => Amin = 2R = 100Ω
=> P
Rmax
=
2 2 2 2
0 0
100 100
62,5(W)
min 2 2( ) 2(50 30) 160
U U

A R R R
= = = =
+ + +
DẠNG 2:
BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO L.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện và hiệu điện thế, công suất trong
m
ạch xoay chiều: R, L, C mắc nối tiếp khi L thay đổi, các đại lượng U, R, C,
ω
không đổi. (mạch điện như hình vẽ)
A R L C B
2.1. Tìm L để
Imax
, P
max
= ?

7
a. Theo định luật ôm ta có: I =
22
)(
cL
ZZR
U
Z
U
−+
=
.
Do U không đổi nên Imax khi mẫu số min.

Ta thấy mẫu số cực tiểu khi Z
L
- Z
C
= 0 => Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1
ϖ
=> I
max
=
R
U
mạch xảy ra cộng hưởng điện.
b. Ta có: P = I
2
R. Do R không đổi nên Pmax khi Imax theo trên L =
C
2
1
ϖ
=> Pmax =
2
max
I

R=
R
U
R
R
U
2
2
2
. =
2.2. Tìm L để U
Lmax
;U
Rmax;
U
cmax
=?
a. Tìm L để U
Rmax
= ?
Lập biểu thức tính U
R
ta có: U
R
= I.R =
2 2
.
( )
L C
U R

R Z Z+ −
ta thấy U
Rmax
khi
Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1
ϖ
=> U
Rmax
= U.
b. Tìm L để U
Lmax
=?
*Phương pháp dùng đạo hàm:
Ta có: U
L
= I.Z
L
=
.
L
U
Z
Z

=
22
)(
.
CL
L
ZZR
ZU
−+
= U. f (Z
L)
(1)
Với f (Z
L
) =
22
)(
CL
L
ZZR
Z
−+
đạo hàm theo Z
L
rút gọn ta được:
f' (Z
L
) =
[ ]

2
/3
22
22
)(
CL
CLC
ZZR
ZZZR
−+
−+

ta có f' (Z
L
) = 0 => Z
L
=
C
C
Z
ZR
22
+
và đổi dấu từ dương sang âm.

8
=> fmax =
R
ZR
Z

Z
ZR
R
Z
ZR
C
C
C
C
C
C
22
2
22
2
22
+
=








−
+
+
+

; U
Lmax
= U.f
max
=
2 2
.
C
U R Z
R
+
* Phương pháp hình học: Giản đồ véc tơ như hình vẽ:
Theo định lý hàm số sin ta có:
α
β
αβ
sin
sin.U
U
Sin
U
Sin
U
L
L
=⇒=
Ta thấy Sin α =
22
RC
R

U
C
ZR
R
U
+
=
do R, C không đổi nên sin
α
không đổi. Mặt khác do U
không đổi nên U
L
cực đại khi sinβ = 1 = > β = Π/2.=>
RC
U
uuuur
và
U
ur
vuông pha với nhau.
=> U
Lmax
=
R
ZRU
C
22
. +
Mặt khác ta có:
RC

L
U
U
Sin Sin
β ϕ
=
. Trong đó Sinϕ =
RC
C
U
U
=>
=
β
Sin
U
L
2
C
U
RC
U
mà Sin β = 1 => U
L
=
2
C
U
RC
U

=> Z
L
=
2
C
Z
RC
Z
=> Z
L
=
C
C
Z
ZR
22
+
* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:
Từ (1) ta có: U
L
=
22
)(
.
CL
L
ZZR
ZU
−+
=

2
2
2
L
2
)(
Z
R
L
CL
Z
ZZ
U
−
+
U
L
=
)(
1
2
Z
R
2
L
22
L
L
CC
Zf

U
Z
ZZ
U
=
+−
+
Với f(Z
L
) =
1
2
2
22
+−
+
L
C
L
C
Z
Z
Z
ZR

9
U
C
0
U

U
L
U
R
U
RC
I
β
ϕ
ϕ
α
Đặt X =
L
Z
1
= f(Z
L
) = f(x) = (R
2
+ Z
2
C
) X
2
- 2Z
C
X + 1. Ta thấy: f(x) là tam thức bậc 2 có a
= (R
2
+ Z

2
C
) > 0 => f(x) min khi X = -
=
a
b
2
LC
C
ZZR
Z
1
22
=
+
=> Z
L
=
C
C
Z
ZR
22
+
=> f(
Z
L
)
min =
22

2
C
ZR
R
+
=> U
Lmax
=
R
ZRU
C
22
+

c. Tìm L để U
Cmax
= ?
Lập biểu thức tính U
C
ta có: U
C
= I.Z
C
=
2 2
.
( )
C
L C
U Z

R Z Z+ −
ta thấy U
Cmax
khi
Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1
ϖ
=>
ax
.
C
Cm
U Z
U
R
=

2.3. Tìm L để U
RLmax;
U
Rcmax;
U
Lcmax
=?.

a. Tìm L để U
RLmax
=? . Theo định luật ôm ta có: U
RL
= I. Z
RL
=
Z
U
Z
RL
=> U
RL
=
22
22
)(
CL
L
ZZR
ZRU
−
+
=
)(1
ZR
2
1
2
L

2
2
L
CLC
Zf
U
ZZZ
U
+
=
+
−
+
Trong đó: f(Z
L
) =
2
L
2
2
ZR
2
+
−
CLC
ZZZ
(1) đạo hàm theo Z
L
.
Ta có: f'(Z

L
) =
22
L
2
22
L
2
)ZR(
)2(2)Z(2
+
−−+−
CLCLC
ZZZZRZ
f' (Z
L
) = 0 =>

Z
2
L
- Z
L
Z
C
- R
2
= 0 ta có ∆ = Z
2
C

+ 4R
2
> 0

10
=> Z
L1
=
2
4
22
RZZ
CC
++
(loại nghiệm âm) f' (Z
L
) triệt tiêu và đổi dấu từ âm sang dương
nên f (Z
L1
) min khi Z
L1
=
2
4
22
RZZ
CC
++
khi đó U
RLmax

=
min)(1
1L
Zf
U
+
với f (Z
L1
) theo (1) hoặc có thể thay Z
L1
vừa tìm được ta
có U
RLmax
=
2 2
1
2 2
1
( )
L
L C
U R Z
R Z Z
+
−
b. Tìm L để U
RCmax
= ?
Ta có : U
RC

=
2 2
2 2
.
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −
=> U
RCmax
khi Z
L
= Z
C
=> L =
C
2
1
ϖ
=> U
RCmax
=
2 2
.
C
U R Z
R

+
c. Tìm L để U
LCmax
= ?
Ta có: U
LC
=
2
222
2
)(
1
)(
)(
CL
CL
CL
ZZ
R
U
ZZR
ZZU
−
+
=
−
−
U
LCmax
khi Z

L
-> ∞ => L -∞ => U
LCmax
= U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ: Trong đó U
AB
= 200
2
sin 100
∏
t (V)
A R C L B
Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi; R
V
= ∞; R = 50 (Ω); C =
∏
−4
10
(F)
a. Khi L = L
1
thì P = P
max
. Tìm L
1
và P
max
?
b. Khi L = L
2

thì Uv
max
. Tìm L
2
và Uv
max
?

11
V
Bài giải:
a. Ta có: P = I
2
R =
( )
2
2
2
CL
ZZR
RU
−+
Do U, R = Const
=> P
max
khi Z
L1
= Z
C
= 100(Ω) => Z

L1
= 100(Ω) => L
1
=
∏
1
(H)
=> P
max
=
50
100.2
50
)2100(
222
==
R
U
= 400(w)
b. Ta có U
V
= U
L
= I.Z
L
=
22
)(
.
CL

L
ZZR
ZU
−+

U
L
=
)(
1
.2
22
L
L
C
C
Zf
U
Z
Z
ZR
U
=
+−+
f(Z
L
) = f(x) = (R
2
+ R
2

C
) x
2
- 2Z
C
.x + 1 .
Ta có : a = R
2

+ Z
2
C
> 0 => f(x) min khi x =
a
b
2
−
=>
)(
25,1
)(125
100
10050
1
2
22
22
2
22
2

HL
Z
ZR
Z
ZR
Z
Z
C
C
L
C
C
L
∏
==>Ω=
+
=
+
==>
+
=
=> U
Vmax
=
2 2
100. 2.125 100. 2.125
100 10 ( )
25. 5
50 (125 100)
V+ =

+ −
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó U
AB
= 200
2
sin 100
∏
t (v)
A M N B
L R C
Cuộng dây thuần cảm có L thay đổi ; R = 24 (Ω); C =
)(
2
10
3
F
∏
−
a. Tìm L = L
1
để U
ANmax
?

12
b. Tìm L = L
2
để U
MBmax
?

Bài giải:
a. Ta có U
AN
= U
RL
=
22
22
)(
.
.
CL
L
RL
ZZR
ZRU
Z
ZU
−+
+
=

U
AN
=
)(1
2
1
22
2

L
L
CLL
Zf
U
ZR
ZZZ
U
+
=
+
−
+
=> U
ANmax
khi f
min
. Theo mục (d)
=> f(Z
L
) min khi Z
L1
=
)(36
2
24.42020
2
4
22
22

Ω=
++
=
++ RZZ
CC
loại nghiệm âm.=> f
min
=
1872
1040
2
2
1
2
2
−
=
+
−
L
CLC
ZR
ZZZ
=> U
ANmax
=
120 1872
120 120 2,25 180( )
832
1 ( ) min 1040

1
1872
L
U
V
f Z
= = = =
+
−
Hoặc U
ANmax
= U
RLmax
=
2 2
2 2
1
2 2 2 2
1
.
120. 24 36
180( )
( ) 24 (36 20)
L
L C
U R Z
V
R Z Z
+
+

= =
+ − + −
b. Ta có: U
MB
= I.Z
MB
= I
Z
ZRU
ZR
C
C
22
22
. +
=+
=
22
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZRU
−+
+
U
MBmax
khi Z

min
=> Z
L2
= Z
C
= 20(Ω) => L
2
=
)(
2,0
H
∏
=> U
MBmax
=
2
2
2
2
24
20
11201 +=+
R
Z
U
C
= 156,2(V)
DẠNG 3: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO C.
Tìm các giá trị cực đại của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong
mạch R, L, C mắc nối tiếp khi C thay đổi còn U, R, L,

ω
không đổi ( mạch điện như
hình vẽ)

13
A R L C B
3.1. Tìm C để I
max
; P
max
=?
a. Tìm C để I
max
=?
Ta có: I =
22
)(
cL
ZZR
U
Z
U
−+
=
=> I
max
=
R
U
Khi Z

L
= Z
C
= > C =
L
2
0
1
ϖ

=>

trong mạch xảy ra cộng hưởng điện.
b. Tìm C để P
max
=?
Ta có công suất tiêu thụ P = I
2
.R => P
max
= I
2
max
.R. =
R
U
2
khi C =
L
2

0
1
ϖ
3.2. Tìm C để U
Rmax
;U
Lmax
; U
Cmax
=?
a. Tìm C để U
Rmax
= ?
Lập biểu thức tính U
R
ta có: U
R
= I.R =
2 2
.
( )
L C
U R
R Z Z+ −
ta thấy U
Rmax
khi
Z
L
= Z

C
=> C =
2
1
L
ϖ
=> U
Rmax
= U.
b. Tìm C để U
Lmax
= ?
Lập biểu thức tính U
L
ta có: U
L
= I.Z
L
=
2 2
.
( )
L
L C
U Z
R Z Z+ −
ta thấy U
Lmax
khi
Z

L
= Z
C
=> C =
2
1
L
ϖ
=>
ax
.
L
Lm
U Z
U
R
=

c. Tìm C để U
Cmax
=?
*Phương pháp dùng đạo hàm.
Ta có U
C
= I.Z
C
=
22
)(
cL

C
ZZR
UZ
−+
= U. f (c); Đặt f(Zc) =
22
)(
cL
C
ZZR
Z
−+
f'(Zc) =
[ ] [ ]
22
/3
22
22
/3
22
22
)()(
2
CL
CLL
CL
LCCLL
ZZR
ZZZR
ZZR

ZZZZZR
−+
−+
=
−+
+−+

14
f’ (Zc) = 0 => Z
C1
=
R
ZR
L
22
+
=> f’(Zc) triệt tiêu tại Z
C
và đổi dấu từ dương sang âm nên đạt
cực đại tại Z c => f(Z
Cmax
) =
R
ZR
L
22
+
=> U
Cmax
= U. f(Z

Cmax
)
U
Cmax
= U .
R
ZR
L
22
+
khi Zc =
L
L
Z
ZR
22
+
* Phương pháp hình học:
Vẽ giản đồ véc tơ:
Theo định lý hàm số sin ta có:
α
β
αβ
sin
sin.U
U
Sin
U
Sin
U

C
C
=⇒=
Mà Sin α =
22
RL
R
U
L
ZR
R
U
+
=
= Const
=> U
Cmax
khi Sin β = 1 => B = π/2 => U
Cmax
=
R
ZRU
L
22
. +
Mặt khác ta có:
=
β
Sin
U

C
γ
Sin
RL
U
; sinγ =
RL
L
U
U
=> U
C
=
2
.
RL
L
U Sin
U
β
mà Sin β = 1 => U
C
=
2
L
U
RL
U
=> Z
C

=
L
L
Z
ZR
22
+
=> C =
222
LR
L
ω
+
* Phương pháp dùng tam thức bậc 2:
Ta có : U
C
= I.Z
C
=
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZU
−+
=
1
Z2

Z
ZR
2
L
2
C
2
L
2
++
+
C
Z
U
U
C
=
)(
C
Zf
U
=> Ucmax khi f (Zc) min => f (Zc) =
1
2
Z
R
2
C
22
++

+
C
LL
Z
ZZ
Đặt X =
C
Z
1
=> f(x) = (R
2
+ Z
2
L
) X
2
- 2Z
L
X + 1 Ta có: a = R
2
+ Z
2
L
> 0
=> f(x) min khi X = -
a
b
2
=>
22

1
RZ
Z
Z
L
L
C
+
=
=>

15
0
U
RL
U
L
U
R
U
I
α
U
C
β
γ
Z
C
=
L

22
Z
R
L
Z+
=> C =
222
LR
L
ω
+
=>fmin =
22
2
R
R
L
Z+
=> U
Cmax
=
minf
U

=> U
Cmax
=
R
ZRU
L

22
+
3.3. Tìm C để U
RCmax
; U
RLmax
; U
LCmax
=?
a. Tìm C để U
RLmax
= ?
Ta có : U
RL
= I.Z
RL
=
2 2
2 2
.
( )
L
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −
=> U
RLmax
khi Z

L
= Z
C
=> C =
2
1
L
ϖ
=> U
RLmax
=
2 2
.
L
U R Z
R
+
b. Tìm C để U
RCmax
=?
T acó: U
RC
= I. Z
RC
=
22
22
)(
CL
C

ZZR
ZRU
−+
+
=
)(1
ZR
2
1
C
2
2
C
CLL
Zf
U
ZZZ
U
+
=
+
−
+
Đặt f(Z
C
) =
2
C
2
2

ZR
2
+
−
CLL
ZZZ
(1) để U
RCmax
thì f (Z
C
) min.
Ta có: f'(Z
C
) =
22
C
2
22
C
2
)ZR(
)2(2)Z(2
+
−−+−
CLLCL
ZZZZRZ
f'(Z
C
) =
22

C
2
22
22
C
2
22
)ZR(
)(2
)ZR(
422
+
−−−
=
+
+−−− RZZZZZZZZZZRZ
CLCLCLCLCLL
f'(Z
C
) = 0 =>

Z
2
C
- Z
L
Z
C
- R
2

= 0
Z
C1
=
2
4
22
RZZ
LL
++
(loại nghiệm
Z
C2
< 0
) Ta thấy f' (x) triệt tiêu và đổi dấu từ âm sang
dương nên f (Z
C
) min tại Z
C1
.
=> U
RCmax
=
min)(1
C
Zf
U
+
với f (Z
C

) theo (1)
Hoặc U
RCmax
=
2 2
1
2 2
1
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −

16
c. Tìm C để U
LCmax
:
Ta có U
LC
= I. Z
LC
=
2
222
2
)(
1

)(
)(
CL
CL
CL
ZZ
R
U
ZZR
ZZU
−
+
=
−
−
Ta thấy để U
LCmax
khi
2
2
)(
CL
ZZ
R
−
->
0 => Z
C
-> ∞ => C -> 0 .Vậy khi C -> 0 Khi đó U
LCmax

= U.
Ví dụ 1: Cho mạch điện R, L, C mắc nối tiếp như hình vẽ. C thay đổi
A R L C B
Có : u=120
2
sin 100
∏
t(V); R =240(Ω) cuộn dây thuần cảm có L=
∏
2,3
(H)
a. Tìm C để I, P cực đại. Tính I
max
, P
max
= ?
b. Tìm C để U
Cmax
. Tính U
Cmax
?
Bài giải:
a. *Ta có: I =
Z
U
=> I
max
khi Z
min
=> Z

L
= Z
C
=> Z
C
= 320Ω
=> C =
)(10.
2,3
1
4
F
−
∏
=> I
max
=
)(5,0
240
120
A
R
U
==
* Công suất tiêu thụ: P = I
2
. R => P
max
= I
2

max
.R = 0,5
2
. 240 = 60 (W)
Kết luận: Vậy C =
)(10.
2,3
1
4
F
−
∏
thì I
max
= 0,5(A); P
max
= 60(W)
b. Ta có : U
C
= I.Z
C
=
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZU
−+

theo lý thuyết ta có:
U
Cmax
=
R
ZR
L
22
+
khi Z
C
=
L
L
Z
ZR
22
+
=
320
320240
22
+
= 320 + 180 = 500(Ω)
=> C =
4
10.
5
1
−

π
(F) khi đó U
Cmax
= 200(V).

17
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ
Trong đó U
AB
= 60
2
sin 100
∏
t (V), Tụ điện có điện dung C thay đổi
A R C L B
Điện trở R = 10
)(3 Ω
; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L =
)(
5
1
H
∏
a. Tìm C để U
RCmax
.Tìm U
RCmax
= ?
b. Tìm C để U
LCmax,

U
RLmax
= ?
Bài giải:
a.U
RC
= I.Z
RC
=
22
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZRU
−+
+
Theo bài toán tổng quát:
U
RCmax
=
min)(1
C
Zf
U
+
Khi Z
C1

=
2
4
22
RZZ
LL
++

)(30
2
4020
2
10.3.42020
22
Ω=
+
=
++
=
=> f(Z
C
) min =
22
2
22
2
3010.3
30.20.220
2
+

−
=
+
−
C
CLL
ZR
ZZZ
=> f(Z
C
) min =
3
2
12
8
12
124 −
=
−
=
−
> U
RCmax
=
. 3 60 3( )
2
1
3
U
U V= =

−

hoặc U
RCmax
=
2 2
1
2 2
1
( )
C
L C
U R Z
R Z Z
+
+ −
=
2 2
2 2
60 3.10 30
60 3( )
3.10 (20 30)
V
+
=
+ −
b.* U
LC
=
2

222
2
)(
1
)(
)(.
CL
CL
CL
ZZ
R
U
ZZR
ZZU
−
+
=
−+
+
; U
LCmax
= U = 60(V) khi C->0
* Ta có: U
RLmax
=
22
222
)(
)(.
CL

L
ZZR
ZRU
−+
+
; U
RLmax
=
22
L
ZR
R
U
+

18
Khi Z
C
= Z
L
= 20(Ω) => C =
20.100
1
.
1
∏
=
C
Z
ω

=
)(
2,0
10
4
F
∏
−
khi đó U
RLmax
=
310
60

22
2010.3 +
= 2
3.10 3 4 20. 21 ( )V+ =
DẠNG 4: BÀI TOÁN BIỆN LUẬN THEO
ω

Tìm các giá trị cực trị của cường độ dòng điện, công suất và hiệu điện thế trong
mạch xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp khi tần số góc thay đổi , các đại lượng U, R, L,
C không đổi .
1. Tìm
ω
để I
max
=? I
min

= ? Pmax =?P
min
=?
a. Tìm
ω
để I
max
=? I
min
= ?
* Ta có I =
2
2
.
1
R








−+
C
L
U
ω
ω

Imax khi ω L -
LC
C
1
0
1
==>=
ω
ω
;
Imax =
R
U
mạch có cộng hưởng điện
* Tìm ω để Imin: Imin khi (ωL -
0)
1
2
>−=>∞>−
ω
ω
C
hoặc ω -> ∞
=> Imin = 0
b.Tìm
ω
để Pmax =?P
min
=?
* Công suất tiêu thụ P = I

2
.R => Pmax = I
2
max.R =
LC
khi
R
U 1
2
=
ω
* Pmin = 0 khi Imin = 0 =>



∞>−
>−
ω
ω
0
2. Tìm
ω
để U
Rmax
, U
Rmin
Ta có: U
R
= IR =
22

)(
R
CL
ZZR
U
−+
* U
Rmin
= 0 khi (Z
L
- Z
C
)
2
max

-> ∞ => /ωL -



∞>−
>−
=>∞>−
ω
ω
ω
0
/
1
C

19
* U
Rmax
=> (Z
L
- Z
C
)
2
= 0 => Z
L
- Z
C
=> ω
0
=
LC
1
=> U
Rmax
= U
3. Tìm
ω
để U
Cmax
, U
Cmin
:
* Ta có: U

C
= I.Z
C
=
22
C
)(
Z.
CL
ZZR
U
−+
Ta có U
Cmin
= 0 khi Z
C
= 0 => ω -> ∞
* Mặt khác: U
C
=
222
C
2
Z.
CL
Z
C
L
ZR
U

+−+
=
2 2
2 2 2
2 2
1
.
2 1
U
L
C
L R
C C
ω
ω
ω
 
− −
 ÷
 
U
C
=
1.)2(.
22422
+−−
ωω
CRLCCL
U
=

)(
ω
f
U
; U
Cmax
khi f (ω) min:
f
(
ω
)
= L
2
C
2
ω
4
- (2LC - R
2
C
2
) ω
2
+ 1 (1) Có a = L
2
C
2
> 0
=> f(ω) min khi ω
2

=
a
b
2
−
=
22
22
2
2
CL
CRLC −
=> ω
1
=
C
CRL
L 2
21
2
−

ω =
2
1
2
R
C
L
L

−
với ĐK
C
L2
> R
2
Khi đó: U
Cmax
=
min)(
ω
f
U
với f(ω) min xác định theo (1)
4. Tìm
ω
để U
Lmin
U
Lmax
= ?
Ta có: U
L
= I.Z
L
=
22
)(
Z.
CL

L
ZZR
U
−+
=
222
2
Z.
LC
L
Z
C
L
ZR
U
+−+
* U
Lmin
= 0 khi Z
L
= 0 => ω = 0
* U
L
=
222
2
Z.
LC
L
ZR

C
L
Z
U
+






−−
=
1
12
.
1
22
2
422
+






−−
ωω
L

R
LCCL
U
=
)(
ω
f
U
;
U
Lmax
khi f (ω) min. Ta có f
(
ω
)
=
1
12
.
1
22
2
422
+







−−
ωω
L
R
LCCL
(1)

20
Ta có a =
22
1
CL
> 0 => f(ω) min khi
2
1
ω
=
a
b
2
−
=













−
22
2
2
1
.2
2
CL
L
R
LC
=>
2
1
ω
=
22
.
2
2222
2
2
CR
LC
CL
L

R
LC
−=






−
=> ω
2
=
1
C
2
2
2
C
L R C−
với điều kiện:
2
2
R
C
L
>
=> U
Lmax
=

min)(
ω
f
U
với f(ω) min xác định theo (1)
Nhận xét: Ta thấy khi
ω
thay đổi nếu U
Rmax
khi
ω
=
ω
0
;U
Lmax
khi
ω
=
ω
1
U
Cmax
khi
ω
=
ω
2
ta luôn có
ω

1
.
ω
2
=
ω
0
2
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp.
U

= 100
3
sin ω thay đổi. R = 100(Ω); C =
4
10.
1
−
π
(F); L =
π
1
(H).
a. Xác định ω để I
max
, P
max
= ?
b. Xác định ω để U
Rmax

, U
Lmax
, U
Cmax
= ?
Bài giải:
a. I =
Z
U
=
22
)(
CL
ZZR
U
−+
để I
max
=> Z
L
= Z
C
=> ω
0
=
π
ππ
100
10
.

1
11
4
==
−
LC
(rad/s). Khi đó P
max
= I
2
max
.R;
I
max

=
5,1
2.100
3.100
==
R
U
(A) => P
max
= 1,5 . 100 = 150 (W).
b. * U
Rmax
= U =
650
2

3.100
=
(v) khi Z
L
= Z
C
=> ω
0
=
π
100
1
=
LC
(rad/s)
* U
C
=
22
)(
.
CL
C
ZZR
ZU
−+
theo bài toán tổng quát U
Cmax
khi:

21
ω
1
=
π
=−
2
1
.
1
2
R
CL
.
π
π
π
2.50
2
100
2
100
10
1
22
4
==−
−
(rad/s)
Khi đó: Z

C1
=
)(2100
2
200
250
10
4
Ω==
; Z
L1
= ω
1
L = 50.
)(2.50.2 Ω=
π
=> U
Cmax
=
2100
2
200
650
3200.50
2.50100
2100.650
)(
.
22
11

2
1
===
+
=
−+
CL
C
ZZR
ZU
(v)
* U
Lmax
khi: ω
2
=
2
24
2
4
22
)10(
100
101
.2
2
2
2
πππ
−−

−
=
− CRLC
100 2 .
π
=
(rad/s)
Ta có Z
C2 =
);(250
10
2100
11
4
2
Ω==
π
π
ω
C

Z
L2
= ω
2
.L
100 2( )= Ω

Khi đó: U
Lmax

=
2100
2.50100
2100.650
)(
.
22
22
2
2
=
+
=
−+
CL
L
ZZR
ZU
(V)
Nhận xét:

1. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của dòng điện xoay chiều là khảo sát
hàm số: I(R); I(C); I(L); I(ω), dự vào biểu thức của định luật ôm. Quá trình giải có thể tổng
kết theo sơ đồ sau:
Định
hướng lập
mối
tương quan
Áp dụng
định luật ôm

lập biểu thức
Khảo sát
sự phụ thuộc
Nhận xét và
lựa chọn kết
quả
2. Phương pháp chung để giải bài tập khảo sát xét cực trị của hiệu điện thế theo các đại
lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:
Phân tích Dùng định Lựa chọn Nhận xét và

22
bài toán
xác định
mối tương
quan
luật ôm để
lập biểu
thức
phương pháp:
đạo, hàm,
hình học,
côsin, tam
thức
lựa chọn kết
quả đúng
3. Phương pháp chung để giải bài tập xét cực trị của công suất và hệ số công suất theo
các đại lượng biến thiên có thể tổng kết theo sơ đồ sau:
Xác
định
mối

tương
quan
Lập hệ
thức liên
hệ
Lựa chọn
phương
pháp giải
(đạo hàm,
cô sin )
Xét cực
trị theo
phương
pháp đã
lựa chọn
Nhận xét
và lựa
chọn kết
quả
III- KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trong đề tài này với khả năng có hạn và thời gian không cho phép, tôi chỉ mạnh
dạn trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị và một số ví dụ cụ thể áp dụng
các phương pháp mà qua thực tế giảng dạy, tôi thấy khi giới thiệu cho học sinh các em tự
tin hơn, có định hướng và lựa chọn chính xác phương pháp thích hợp để giải các bài toán
cực trị trong mạch điện xoay chiều, áp dụng tốt cả khi thi tự luận hoặc thi trắc nghiệm.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nên tôi tin
chắc rằng trong đề tài này sẽ còn có những thiếu sót. Tôi rất mong được sự nhận xét và
góp ý chân thành của các đồng chí đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài được hoàn
chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm
2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

23
Nguyễn Văn Trào

24