Tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp môn toán THPT năm học 2014 – 2015

Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa : Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.
1.Hàm số
( )y f x=
được gọi là đồng biến trên D nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x D x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
2.Hàm số
( )y f x=
được gọi là nghịch biến trên D nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x D x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số
( )y f x=
có đạo hàm trên khoảng D
1.Nếu hàm số
( )y f x=
đồng biến trên D thì
'( ) 0,f x x D≥ ∀ ∈
2.Nếu hàm số
( )y f x=
nghịch biến trên D thì
'( ) 0,f x x D≤ ∀ ∈
III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :
1.Định lý 1. Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn

[ ]
,a b
và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít
nhất một điểm
( , )c a b∈
sao cho:
( ) ( ) '( )( )f b f a f c b a− = −
2.Định lý 2. Giả sử hàm số
( )y f x=
có đạo hàm trên khoảng D
1.Nếu
'( ) 0,f x x D≥ ∀ ∈
và
'( ) 0f x =
chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồng biến trên D
2.Nếu
'( ) 0,f x x D≤ ∀ ∈
và
'( ) 0f x =
chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến trên D
3.Nếu
'( ) 0,f x x D= ∀ ∈
thì hàm số không đổi trên D
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
*Phương pháp : Xét chiều biến thiên của hàm số
( )y f x=
1.Tìm tập xác định của hàm số
( )y f x=
2.Tính
' '( )y f x=

và xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = 0 )
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Ví dụ : Xét tính biến thiên của các hàm số sau:
1.y = -x
3
+3x
2
-3x+1 4. y=
3 2
2 1
x
x
− +
−
2. y= 2x
4
+5x
2
-2 5.
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
3. y= (x+2)

2
(x-2)
2
6.
2
2
2 3
10
x x
y
x
− −
=
−
7.
2
6 10y x x= − +
8.
2
3
2 1
x x
y
x
− +
=
+
9.y=
2 1 3x x+ + −
10.y=2x +

2
1x −
11.y = x + cosx trên khoảng (0;
π
) 12. y= sin2x -
3
x trên khoảng (0;
2
π
)
13.y= x.tanx trên khoảng (
;
2 2
π π
−
) 14.y = -6sinx +4tanx -13x trên (0;
π
)
Ví dụ:
1.Tìm m để hàm số y= 2x
3
-3mx
2
+2(m+5)x-1 đồng biến trên R
2.Tìm m để hàm số y=
2
1
x x m
mx
+ +

+
đồng biến R
3.Tìm m để hàm số y= 3mx+
2
2x +
đồng biến trên R
4.Tìm m để hàm số
3 2
( ) 3 ( 2) 3y f x mx x m x= = − + − +
nghịch biến trên R
Trang 1
Dạng 1.Xét chiều biến thiên của hàm số
( )y f x=
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước .
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
5. Tìm m để hàm số
3 2 2
( ) ( 1) ( 2)y f x x m x m x m= = − + + − + +
nghịch biến trên R
6. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1
( ) 2 2 2 2 5
3
m
y f x x m x m x
−
 
= = − − + − +

 ÷
 
nghịch biến trên R
7. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1
( ) 1 3 2
3
y f x m x mx m x= = − + + −
tăng trên R
8.Tìm m để hàm số y= 3x
3
-2x
2
+mx-4 tăng trên (-1;
+∞
)
9.Tìm m để hàm số y= 4mx
3
-6x
2
+(2m-1)x+1 tăng trên (0;2)
10.Tìm m để hàm số y=
2
6 2
2
mx x
x
+ −

+
giảm trên [1;
+∞
)
11.Tìm m để hàm số y=mx
4
-4x
2
+2m-1 giảm trên (0;3)
12.Tìm m để hàm số y= x
3
+3x
2
+(m+1)x+4m giảm trên (-1;1)
13.Tìm m để hàm số y=
2
2 3
2 1
x x m
x
− − +
+
giảm trên (
1
;
2
− +∞
)
14.Cho hàm số y=
2

2 1
2
x mx m
x
− + −
+
a.Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b.Tìm m để hàm số giảm trên khoảng (a;b) với b-a =2
15.Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1
3 2
( ) 3y f x x x mx m= = + + +
16. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1
( ) 1 3 4
3
y f x x m x m x= = − + − + + −
tăng trên
( )
0,3
17. Tìm m để hàm số
( )
3 2
( ) 3 1 4y f x x x m x m= = + + + +
giảm trên
( )
1,1−
18. Tìm m để hàm số
4

( )
mx
y f x
x m
+
= =
+
giảm trên khoảng
( )
,1−∞
19. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
( ) 1 3 2
3 3
y f x mx m x m x= = − − + − +
tăng trên
( )
2,+∞
20. Tìm m để hàm số
( )
( )
2 2
1 4 4 2
( )
1
x m x m m
y f x
x m

+ + + − −
= =
− −
đồng biến trên
( )
0,+∞
Ví dụ:
1.Giải phương trình
3 2
3 4 7x x x x+ = − − +
( ĐK x
3
+3x
≥
0
0x
⇔ ≥
)
2.Giải phương trình x
5
+x
3
-
1 3x−
+4=0
3.Giải phương trình
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x

x
− −
− = −
4. Giải phương trình sinx =x
5.Tìm m để phương trình có nghiệm
1x x m+ + =
6.Tìm để phương trình có nghiệm m
2
1x +
- x = 0
7.Chứng minh rằng
2
0 :1 cos
2
x
x x∀ > − <
(HD xét hàm số
2
( ) 1 cos
2
x
y f x x= = − −
)
8.Chứng minh rằng
2
0 : 1
2
x
x
x e x∀ > > + +

(HD xét hàm số
2
( ) 1
2
x
x
y f x e x= = − − −
)
9.Chứng minh rằng
3
(0; ): tan
2 3
x
x x x
π
∀ ∈ > +
10.Chứng minh rằng : Nếu
1x y+ =
thì
4 4
1
8
x y+ ≥
( HD xét hàm số
4 4
( ) (1 )y f x x x= = + −
)
Trang 2
Dạng 3. Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015

11.Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x

+ = + +

+ = + +


+ = + +


HD. Xét hàm đặc trưng
3 2
( ) ,y f x t t t t= = + + ∈¡
. Chứng minh hàm số tăng trên R .ĐS
1
1
x y z
x y z
= = =



= = = −

12.Giải hệ phương trình
3
3
3
sin
6
sin
6
sin
6
y
x y
z
y z
x
z x

= +



= +



= +



Chủ đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa : Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên
D ⊂ ¡
và
0
x D∈
1.
0
x
được gọi là một điểm cực đại của hàm số
( )y f x=
nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm
0
x
sao cho
( , )a b D⊂
và
{ }
0 0
( ) ( ), ( , ) \f x f x x a b x< ∀ ∈
. Khi đó
0
( )f x
được gọi là già trị cực đại của hàm số và
0 0
( ; ( ))M x f x
được gọi là điểm cực đại của hàm số .

2.
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số
( )y f x=
nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm
0
x
sao cho
( , )a b D⊂
và
{ }
0 0
( ) ( ), ( , ) \f x f x x a b x> ∀ ∈
. Khi đó
0
( )f x
được gọi là già trị cực tiểu của hàm số và
0 0
( ; ( ))M x f x
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số .
3.Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số
II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số
( )y f x=
có cực trị tại
0
x
.Khi đó, nếu
( )y f x=
có

đạo hàm tại điểm
0
x
thì
0
'( ) 0f x =
.
III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :
1.Định lý 1. (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số
( )y f x=
liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các khoảng
0 0
( , ) và ( , )a x x b
. Khi đó :
+ Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm
0
x
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
+ Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm
0
x
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x

2.Định lý 2. (Dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số
( )y f x=
có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm
0
x
,
0
'( ) 0f x =
và f(x) có đạo hàm cấp
hai khác 0 tại điểm
0
x
. Khi đó:
+ Nếu
0
''( ) 0f x <
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x
+ Nếu
0
''( ) 0f x >
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
0
x

PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
*Phương pháp1. (Quy tắc 1)Tìm cực trị của hàm số
( )y f x=

1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )f x
và giải phương trình
'( ) 0f x =
tìm nghiệm thuộc tập xác định
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Ví dụ1: Dùng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
Trang 3
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
1. y =
1
3
x
3
+x
2
-3x+2 2.y = x
4
+2x
2
-3
2. y =
3 1
2 4
x
x
−

+
4.y =
2
3 3
1
x x
x
− +
−
3. y=
2
2 4 5x x− +
6. y=(2x+1)
2
9 x−
7. y =
3 1x x+ + −
8. y=
2
2 3
1
x
x x
+
+ +
9. y =
2
2 2
2 1
x x

x
− + +
+
10.
4 2
6 8 25y x x x= − + +
11.
2 2
( 2) ( 2)y x x= + −
12.
5 3
15 15 2y x x= − +
*Phương pháp 2. (Quy tắc 2)Tìm cực trị của hàm số
( )y f x=
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )f x
và giải phương trình
'( ) 0f x =
tìm nghiệm
( 1,2,3 )
i
x i =
thuộc tập xác định
3.Tính
''( ) và ''( )
i
f x f x
4.Kết luận
+Nếu

''( ) 0
i
f x <
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
i
x
+Nếu
''( ) 0
i
f x >
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
i
x
Ví dụ 2: Dùng quy tắc II tìm cực trị của hàm số
1.y= 3x
5
-20x
3
+1 2. y =
2
5 6 4x x− +
3.y = cos
2
3x 4. y =
sin cos
2 2
x x
−
5.y = -2sin3x+3sin2x-12sinx 6. y= sin
3

x + cos
3
x (
0 2x
π
≤ ≤
)
7.
2
9y x x= −
8.
3
2
9
x
y
x
=
−
9.
3
3y x x= −
10.
[ ]
sinx cos , ,y x x
π π
= + ∈ −
VD1: Tìm điều kiện của m sao cho :
1. y= x
3

-mx
2
+2(m+1)x-1 đạt cực đại tại x= -1
2. y=
2
1x mx
x m
+ +
+
đạt cực tiểu tại x=2
3. y=
4 2 2
2 2x mx m− − −
đạt cực đại tại x=
2
VD2:Cho hàm số y=
1
3
x
3
-(7m+1)x
2
+16x-m .Tìm m để
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu
b. Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu tại x
1
,x
2

(1; )∈ +∞

VD3:Cho hàm số y= x
3
-mx
2
+(m+36)x-5 .Tìm m để
a. Hàm số không có cực trị
b. Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu tại các điểm x
1
,x
2
và
1 2
4 2x x− =
VD3:Cho hàm số y=
2
2 2 1
1
x mx m
x
+ + −
+
.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
VD4:Cho hàm số y= 2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1
Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2
Trang 4
Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3. Một số bài toán liên quan đến điểm cực trị của đồ thị hàm số
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
VD5: Cho hàm số y= x
3
-3x
2
-mx+2 .Tìm m để
a. Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)
b. Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1
VD6:Cho hàm số
2
(3 1) 4
2 1
x m x m
y
x
− + +
=
−
.Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng
: 1 0x y∆ + + =
.
VD1: Cho hàm số y= x
3
+mx
2
-x
a. CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m
b. Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng

(d) y=-2x
VD2:Cho hàm số y=
2
(3 2) 4
1
x m x m
x
− + + +
−
a. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và CĐ,CT và điểm M(-2;1) thẳng hàng
b. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và trung điểm của đoạn nối 2 điểm CĐ,CT cách gốc O một khoảng
bằng 3
VD3.Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của
(C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn :
2 2 2
2 4 5 1 0x y mx my m+ − − + − =
.
VD4.Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
.Tìm giá trị của tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều .
VD5.Cho hàm số
2
2
1
x mx

y
x
+ +
=
−
.Tìm để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên Parabol (P)
2
4y x x= + −
VD6.Cho hàm số
2
( 2) 3 2
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
a. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b. Giả sử hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu là y
CĐ
, y
CT
. Chứng minh rằng :
2 2
CD
1
2
CT
y y+ >

.
VD7.Cho hàm số
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x= − + + − + +
a. Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu
VD8.Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
a.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại
1 2
,x x
và
2 1
x x−
không phụ thuộc vào tham số m.
b.Tìm m để
1
CD
y >
VD9.Cho hàm số
3 2
1
( ) 1
3
y f x x mx x m= = − − + +
.Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại
cực tiểu .Hãy xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất .
VD10.Cho hàm số
2 2

2( 1) 4
( )
2
x m x m m
y f x
x
+ + + +
= =
+
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời các
điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. ( A – 2007)
VD11.Cho hàm số
1
( )y f x mx
x
= = +
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực tiểu
của đồ thị hàm số đền tiệm cận xiên bằng
1
2
.(A – 2005)
VD12.Cho hàm số
3 2 2 2
( ) 3 3( 1) 3 1y f x x x m x m= = − + + − − −
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm
cực trị cách đều gốc tọa độ O. ( B – 2007)
Trang 5
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
VD13.Cho hàm số
2

( 1) 1
( )
1
x m x m
y f x
x
+ + + +
= =
+
(Cm) . CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu và
khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng
20
. ( B – 2005)
VD14.Cho hàm số
3 2
( ) (2 1) (2 ) 2y f x x m x m x= = − − + − +
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm
cực trị có hoành độ dương . ( CĐ – D – 2009)
VD15. Cho hàm số
4 2
2( 1)y x m x m= − + +
(1) m là tham số
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa độ , A
là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại . ( B – 2011)
Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa : Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên

D ⊂ ¡

1.Nếu tồn tại một điểm
0
x D∈
sao cho
0
( ) ( ),f x f x x D≤ ∀ ∈
thì số
0
( )M f x=
được gọi là giá trị lớn
nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu
ax ( )
x D
M M f x
∈
=
Như vậy
x D
0 0
, ( )
ax ( )
, ( )
x D f x M
M M f x
x D f x M
∈
∀ ∈ ≤


= ⇔

∃ ∈ =

2. Nếu tồn tại một điểm
0
x D∈
sao cho
0
( ) ( ),f x f x x D≥ ∀ ∈
thì số
0
( )m f x=
được gọi là giá trị nhỏ
nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu
( )
x D
m Min f x
∈
=
Như vậy
x D
0 0
, ( )
( )
, ( )
x D f x m
m Min f x
x D f x m
∈

∀ ∈ ≥

= ⇔

∃ ∈ =

II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số : Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên
D ⊂ ¡
Bài toán 1.Nếu
( , )D a b=
thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )f x
và giải phương trình
'( ) 0f x =
tìm nghiệm thuộc tập xác định
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Bài toán 2. Nếu
[ ]
,D a b=
thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:
1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )f x
và giải phương trình
'( ) 0f x =

tìm nghiệm
1 2
, x x
thuộc tập xác định
3.Tính
1 2
( ), ( ), ( ) ( )f a f x f x f b
4.Kết luận: Số lớn nhất là
[ ]
,
ax ( )
x a b
M M f x
∈
=
và số nhỏ nhất là
[ ]
,
( )
x a b
m Min f x
∈
=
Bài toán 3.Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Cauchy, Bunhiacốpxki, …
Bài toán 4.Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình, tập giá trị của hàm số
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:
1.
4 2
( ) 2y f x x x= = −

2.
3 1
( )
3
x
y f x
x
−
= =
−
trên
[ ]
0;2
3.
2
( ) 4y f x x x= = + −
(B-2003) 4.
2
ln
( )
x
y f x
x
= =
trên
3
1,e
 
 
(B-2004)

5.
2
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
trên
[ ]
1,2−
(D-2003) 6.
2
2
3 10 20
( )
2 3
x x
y f x
x x
+ +
= =
+ +
(SPTPHCM2000)
Trang 6
Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015

7.
( ) 5cos os5xy f x x c= = −
trên
,
4 4
π π
 
−
 
 
8.
3sin
( ) 1
2 cos
x
y f x
x
= = +
+
9.
( ) 1 sinx 1 osxy f x c= = + + +
10.
( ) 2cos2 osx-3y f x x c= = − +
11.
2
2 1 2y x x x x= − + + − − + +
12.
2sin .cos sin cosy x x x x= + −
13.
2

2 1
1
x x
y
x
+ +
=
+
trên
( 1, )− +∞
14.
2
4 3 3 1y x x x= − + + −
trên đoạn
13
0,
4
 
 
 
15.
3 2
1
3
4
y x x= −
trên
[ ]
2,4−
16.

3 3
sin os 3sin 2y x c x x= + +
VD1 .Cho hàm số
2
2 4y x x a= + + −
.Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên
[ ]
2,1−
đạt GTLN.
VD2. Cho hàm số
4 4
( ) sin os sin .cosy f x x c x m x x= = + +
.Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.
VD3. Cho hàm số
cos 1
cos 2
k x
y
x
+
=
+
.Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -1.
VD4. Tìm các giá trị của tham số a,b sao cho hàm số
2
a +b
( )
1
x
y f x

x
= =
+
có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ
nhất bằng -1.
VD5.Cho hàm số
2
( ) 2 4 2 1y f x x x a= = + − +
với
3 4x
− ≤ ≤
.Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá
trị nhỏ nhất .
VD1. Một tấm tôn hình vuông cạnh bằng a. Người ta phải cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc để gò
thành một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp, cạnh hình vuông cắt đi bằng bao nhiêu thì bể có thể tích lớn
nhất . ĐS. Cạnh hình vuông cắt đi bằng
6
a
VD2. Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp đường tròn bán kính R cho trước.
ĐS.Các kích thước của hình chữ nhật là
2R
(hình vuông)
VD3. Trong các khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định khối trụ có thể tích lớn nhất .
ĐS.Hình trụ có chiều cao
2
3
R
h =
bán kính đáy
2

2
4
h
r R= −
VD4. Cho đường (C) có phương trình
2 2 2
x y R+ =
.Hãy tìm các điểm H trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó cắt
hai trục tọa độ tại A và B có độ dài đoạn AB nhỏ nhất .
VD5. Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước .
VD6. Cho
2 2
1x y+ =
. Tìm Max, Min của biểu thức
2
2
2( )
2 2 1
xy y
P
xy x
+
=
+ +
.
ĐS.
2 6 2 6
,
2 2
MaxP MinP

+ −
= =
VD7.Cho
, 0x y >
và
1x y+ =
.Tìm Min của biểu thức
1 1
x y
P
x y
= +
− −
VD8.Cho hai số thực thay đổi x, y thõa mãn
2 2
2x y+ =
.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
3 3
2( ) 3P x y xy= + −
( CĐ Khối A – 2008)
VD9. Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn
2 2
1x y+ =
.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P

xy y
+
=
+ +
( ĐH Khối B – 2008)
Trang 7
Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN của hàm số có chứa tham số
Dạng 3.Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
VD10.Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thõa điều kiện x + y = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức
2 2
(4 3 )(4 3 ) 25P x y y x xy= + + +
( ĐH Khối D – 2009)
Chủ đề 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Đường tiệm cận đứng .
Đường thẳng (d):
0
x x=
được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) của hàm số
( )y f x=
nếu
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= +∞

hoặc
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
Hoặc
0
lim ( )
x x
f x
−
→
= −∞
hoặc
0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
2.Đường tiệm cận ngang .
Đường thẳng (d):
0
y y=
được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số
( )y f x=

nếu
0
lim ( )
x
f x y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=
3.Đường tiệm cận xiên .
Đường thẳng (d)
( 0)y ax b a= + ≠
được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) của đồ thị hàm số
( )y f x=
nếu
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
hoặc
[ ]
lim ( ) ( ) 0
x

f x ax b
→−∞
− + =
Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
( )y f x=
Đường thẳng (d)
( 0)y ax b a= + ≠
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
( )y f x=
khi và chỉ khi
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
hoặc
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
1.
2 3
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
2.
2
2
2 3
( )
4
x x
y f x
x
+ +
= =
−
3.
3
3
( )
27
x
y f x

x
= =
+
4.
2
( )
5
y f x
x
= =
−
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
1.
2
( ) 2 1
1
y f x x
x
= = + +
+
2.
2
3 5 2
( )
3 1
x x
y f x
x
− + −
= =

+
3.
3 2
2
2 5 1
( )
1
x x
y f x
x x
+ −
= =
− +
4.
2
2 5 1
( )
2 3
x x
y f x
x
− + −
= =
−
Ví dụ 3.Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:
1.
2
2 1
( )
2 1

x
y f x
x
+
= =
−
2.
2
2 1
( )
2
x
y f x
x x
− −
= =
+ +
3.
2
( ) 2 4 2y f x x x x= = − − +
4.
2
( ) 3 2 4y f x x x= = − +
Ví dụ 1.Tìm giá trị của tham số m sao cho:
1.Đồ thị hàm số
2 2 1
( )
x m
y f x
x m

+ −
= =
+
có tiệm cận đứng qua điểm M(-3,1)
2.Đồ thị hàm số
2
2 3 2
( )
1
x mx m
y f x
x
+ − +
= =
−
có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có
diện tích bằng 4.
Trang 8
Dạng 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
Dạng 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
Ví dụ 2. Cho đường cong (Cm):
1 2
( ) 3
2 1
y f x x
mx
= = − + +
−
và đường thẳng (dm)

2y mx m= − +
. Xác định m
biết rằng (Cm) có cực đại cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với đường thẳng (dm)một góc
α
có
1
os
5
c
α
=
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
( )
1
x m
y f x
mx
+
= =
−
.Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các
tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bắng 8.
Ví dụ 4. Cho hàm số
3 5
( )
2
x
y f x

x
−
= =
−
có đồ thị (C). Tìm
( )M C∈
để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận
của (C) là nhỏ nhất ?
Ví dụ 5. Cho hàm số
1
( )
1
x
y f x
x
−
= =
+
có đồ thị (C). Tìm
( )M C∈
để khoảng cách từ M đến giao điểm hai tiệm
cận là nhỏ nhất ?
Chủ đề 5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Bài toán 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
có đồ thị (C) tại một điểm .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
0 0
( , ) ( )M x y C∈

có dang :
0 0 0
'( )( )y y f x x x− = −
.
Trong đó
0
'( )f x
được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
0 0
( , )M x y
.
2.Bài toán 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước.
1.Gọi
0 0
( , )M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
( )M C∈
0 0
( )y f x⇒ =
Phương trình tiếp tuyến có dạng
0 0 0
( ) '( )( )y f x f x x x− = −
2.Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng k nên
0
'( )f x k=
, giải PT
0
'( )f x k=

tìm được
0 0
x y⇒
3.Kết luận .
Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau. Nếu hai đường thẳng vuông góc thì
tích hai hệ số góc bằng -1
3.Bài toán 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )y f x=
có đồ thị (C) đi qua một điểm
( , )
A A
A x y
1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d:
( )
A A
y k x x y= − +
(1)
2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=

(I)

3.Giải hệ (I) tìm k. Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến .
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví dụ 1. Cho hàm số
3 2
( ) 4 6 4 1y f x x x x= = − + −
có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
4 1 0x y− − =
.
c.Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 2.Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai.
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)
Ví dụ 3.Cho hàm số
4 2
( ) 6y f x x x= = − − +
.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng

1
1
6
y x= −
( Khối D – 2010)
Trang 9
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trước
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
Ví dụ 4. Cho hàm số
3 2
( ) 4 6 1y f x x x= = − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi
qua điểm M(-1, -9). ( Khối B – 2008)
Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
biết :
b. Tung độ tiếp điểm bằng
5
2
c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 3 0x y∆ + − =

d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 4 10 0x y∆ − + =
e. Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0)
Ví dụ 1 Gọi
( )
m
C
là đồ thị hàm số
3 2
1 1
( )
3 2 3
m
y f x x x= = − +
( m là tham số ). Gọi M là điểm thuộc
( )
m
C
có
hoành độ bằng -1.Tìm m để tiếp tuyến của
( )
m
C
tại M song song với đường thẳng
5 0x y− =
.
( Khối D – 2005)
Ví dụ 2.Cho hàm số
3 2
( ) 3 1 ( )

m
y f x x x mx C= = + + +
.
a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C
b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau .
Ví dụ 3.Cho hàm số
3 2
( ) 3 9 5y f x x x x= = + − +
(C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất .
Ví dụ 4.Cho hàm số
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
(C). Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x
= =

+
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M
cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam, giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
( Khối D – 2007)
Ví dụ 6.Cho hàm số
2
( )
2 3
x
y f x
x
+
= =
+
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại A và B và tam giác OAB cân tại O.
( Khối A – 2009)
Ví dụ 7. Cho hàm số
2
1
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =

+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. ( Khối B – 2006)
Ví dụ 8.Cho hàm số
2
2
( )
1
x x
y f x
x
+ +
= =
−
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
( Đại học An Ninh – 2001)
Ví dụ 9.Cho hàm số
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng
: 2d y x m= +
cắt đồ thị (C) tại

hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
(CĐ-SPTPHCM – 2005)
Ví dụ 10.Cho hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = − +
có đồ thị (C). Viết phương trình Parabol đi qua các điểm cực trị
của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng
2 2y x= − +
( Đại học An Ninh – 1999)
Trang 10
Dạng 2.Viết phương trình tiếp tuyến thõa điều kiện cho trước
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
Ví dụ 11. Cho hàm số
3 2
1
( ) 3 1
3
y f x x x x= = − + + −
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp
tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Ví dụ 12. Cho hàm số
4 3
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
tuyến tạo với trục Ox một góc
0
45
.
Ví dụ 13.Cho hàm số
3 7
( )
2 5
x
y f x
x
−
= =
− +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
2 2 0x y− + =
b. Tiếp tuyến tạo với
: 2y x∆ = −
một góc
0
45
c. Tiếp tuyến tạo với
: y x∆ = −
một góc
0
60
Ví dụ 14. Cho hàm số
2 1

( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có đồ thị (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm
cận của đồ thị (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB
b. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi
c. Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Ví dụ 15. Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y x m= +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B .
Gọi
1 2
,k k
lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C) tại A và B .Tìm m để tổng

1 2
k k+
đạt giá trị lớn nhất .
( Khối A – 2011)
Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua
( , )
A A
A x y
1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d:
( )
A A
y k x x y= − +
(1)
2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=

(I)
3.Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A .
Ví dụ 1.Cho hàm số
3
( ) 3 (C)y f x x x= = −

.Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba
tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 2. Cho hàm số
3
( ) 3 (C)y f x x x= = −
.Tìm trên đường thẳng y= 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng ba
tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số .
Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d):x = 2 và hàm số
3 2
( ) 6 9 1y f x x x x= = − + −
có đồ thị (C). Từ một điểm bất kỳ
trên (d) có thể được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C).
Ví dụ 4.Cho hàm số
3 2
( ) 3 2y f x x x= = − +
có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó kẻ
được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số
4 2
( ) 2y f x x x= = −
có đồ thị (C)
f. Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O.
g. Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho A
là trung điểm của MB.
h. Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Trang 11
Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
Ví dụ 6.Cho hàm số
3 2

( ) 3 4y f x x x= = − +
có đồ thị (C). Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó có thể kẻ
được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 7.Cho hàm số
3 2
( ) 3 2 1y f x x x x= = − + + −
có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng
2 1y x= −
các điểm kẻ
được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 8.Cho hàm số
3 2
( ) 3 2y f x x x= = − +
có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng
3 2y x= − +
các điểm kẻ được
hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C).
Ví dụ 9. Cho hàm số
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách từ
điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn nhất.
Ví dụ 10.Cho hàm số

3 2
( ) 3y f x x x= = +
có đồ thị (C).Tìm các điểm thuộc trục hoành mà từ đó có thể kẻ được
ba tiếp tuyến đến đồ thị (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 11. Cho hàm số
( )
2
x m
y f x
x
+
= =
−
. Tìm m để từ điểm A(1,2) kẻ được hai tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị
hàm số sao cho
ABC∆
đều ( Với B, C là hai tiếp điểm ).
Ví dụ 12.Cho hàm số
3
( ) 1 ( 1)y f x x m x= = + − +
có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến
∆
tại giao điểm của (C) và trục Oy.
b.Tìm m để
∆
chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8.
Chủ đề 6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Giao điểm của hai đồ thị. Cho hàm số

( )y f x=
có đồ thị
1
( )C
và hàm số
( )y g x=
có đồ thị
2
( )C
+ Hai đồ thị
1
( )C
và
2
( )C
cắt nhau tại điểm
0 0 0 0
( ; ) ( ; )M x y x y⇔
là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )
y f x
y g x
=


=

+Hoành độ giao điểm của hai đồ thị
1

( )C
và
2
( )C
là nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g x=
(1)
+Phương trình (1) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
1
( )C
và
2
( )C
+Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của
1
( )C
và
2
( )C
2.Sự tiếp xúc của hai đường cong. Cho hai hàm số
( )y f x=
và
( )y g x=
có đồ thị lần lượt là
1
( )C
và
2
( )C
và có đạo hàm tại điểm

0
x
.
+Hai đồ thị
1
( )C
và
2
( )C
tiếp xúc với nhau tại một điểm chung
0 0
( , )M x y
nếu tại điểm đó chúng
có chung cùng một tiếp tuyến . Khi đó điểm M được gọi là tiếp điểm.
+Hai đồ thị
1
( )C
và
2
( )C
tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=


Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ của tiếp điểm.
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví dụ 1.Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
có đồ thị (C) và đường thẳng (d) :
y x m= − +
i. Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt .
j. Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Ví dụ 2.Cho hàm số
3 2
( ) 6 9 6 (C)y f x x x x= = − + −
.Định m để đường thẳng (d):
2 4y mx m= − −
cắt đồ thị
(C) tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 3.Cho hàm số
4 2
( ) 2( 2) 2 3y f x x m x m= = − + + − −

( )
m
C

. Định m để đồ thị
( )
m
C
cắt trục Ox tại bốn điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số
3 2
( ) 1y f x x mx m= = − + − −
cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt .
Trang 12
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
Ví dụ 5.Cho hàm số
4 2
( ) (3 2) 3y f x x m x m= = − + +
có đồ thị
( )
m
C
.Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ thị
( )
m
C
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. ( Khối D – 2009)
Ví dụ 6.Cho hàm số
3 2
( ) 3 4y f x x x= = − +
(C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1,2) với hệ
số góc k (k>-3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.
( Khối D – 2008)

Ví dụ 7. Cho hàm số
3
( ) 3 2y f x x x= = − +
(C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3,20) và có hệ số góc m.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. ( Khối D – 2006)
Ví dụ 8. Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
+
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng
2y x m= − +
cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
( O là gốc tọa độ )
( Khối B – 2010)
Ví dụ 9. Cho hàm số
3 2
( ) 2 (1 )y f x x x m x m= = − + − +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;x x x
thõa mãn điều kiện

2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
. ( Khối A – 2010)
Ví dụ 10.Cho hàm số
3 2
1 2
( )
3 3
y f x x mx x m= = − − + +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;x x x
thõa mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
15x x x+ + >
Ví dụ 11.Cho hàm số
1
( )
1
y f x x
x
= = −
+
có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = m cắt
đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB. (Với O là gốc tọa độ )
Ví dụ 12.Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số
3 2

( ) axy f x x bx c= = + + +
(C) cắt trục hoành tại ba điểm cách
đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
Ví dụ 13. Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho
b. Tìm k để đường thẳng
2 1y kx k= + +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng cách
từ A và B đến trục hoành bằng nhau. ( Khối D – 2011)
Chủ đề 7. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. PHƯƠNG PHÁP
Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
( )y f x=
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Tính giới hạn và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (Nếu có)
3. Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0
4. Lập bảng biến thiên
5. Nêu kết luận về tính biến thiên và cực trị của hàm số
6. Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số (Đối với hàm bậc ba và hàm trùng phương )
7. Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số
8. Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
3 2
( ) 3 1y f x x x= = − +
b.
3 2
( ) 2 3 12 13y f x x x x= = + − −
c.
3
( ) 3y f x x x= = − +
d.
3 2
( ) 3 3 2y f x x x x= = + + +
e.
3 2
( ) 3 5 2y f x x x x= = − + − +
f.
2
( ) ( 3)y f x x x= = −
g.
3 2
( ) 2 4 3y f x x x x= = + − −
h.
3 2
( ) 6 9 8y f x x x x= = + + +
Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
4 2
( ) 3 6 2y f x x x= = − +
b.

2 4
( ) 2y f x x x= = −
Trang 13
Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
c.
4 2
( ) 2 3y f x x x= = + −
d.
4 2
( ) 2 3y f x x x= = − + +
e.
4 2
1 1
( )
2 2
y f x x x= = −
f.
4 2
( ) 5 4y f x x x= = − +
Ví dụ 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
2 1
( )
2
x
y f x
x
+
= =

+
b.
1
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−
c.
( )
1
x
y f x
x
= =
+
d.
1
( )
2
x
y f x
x
+
= =
−
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a.
2
1
( )
2
x x
y f x
x
+ −
= =
+
b.
2
2 5
( )
1
x x
y f x
x
− + −
= =
−
c.
2
2
( )
1
x x
y f x
x

− −
= =
−
d.
2
3 3
( )
2
x x
y f x
x
− +
= =
−
e.
2
1
( )
1
x x
y f x
x
− + +
= =
+
f.
2
2 6
( )
2 2

x x
y f x
x
− +
= =
+
Ví dụ 1.Cho hàm số
3
( ) 3 1y f x x x= = − +
có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
3
3 1 0x x k− − + =
Ví dụ 2. Cho hàm số
1
( )y f x mx
x
= = +
có đồ thị (Cm)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
1
4
m =
b. Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm)
bằng
1
2
(Khối A – Năm 2005)
Ví dụ 3.Cho hàm số

3 2
( ) 2 9 12 4y f x x x x= = − + −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phận biệt :
3
2
2 9 12x x x m− + =
(Khối A – Năm 2006)
Ví dụ 4. Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x
−
= =
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm điểm trên đồ thị (C) thõa :
1. Có tọa độ nguyên
2. Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số
3. Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)
4. Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Ví dụ 5.Cho hàm số
3 2
( ) 3 6y f x x x= = − −
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình:

3 2
3 6x x a− − =
Ví dụ 6.Cho hàm số
3 2 2 3 2
( ) 3 3(1 )y f x x mx m x m m= = − + + − + −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)
b. Tìm k để phương trình
3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − =
có ba nghiệm phân biệt
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)
Trang 14
Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng :
( ) ( )f x g x
a a=
(1)
Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1)
( ) ( )f x g x⇔ =

Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì
[ ]
0
(1)
( 1) ( ) ( ) 0
a
a f x g x

>


⇔

− − =


(ít gặp)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
ĐS :
{ }
2; 3− −
2.
2
5 6
5 1
x x
− −
=
3.
2
5 125
x

=
ĐS:
3
2
 
 
 
4.
3 1
4 7 16
0
7 4 49
x x−
   
− =
 ÷  ÷
   
5.
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
ĐS :
{ }
1;7−
6.
3

(3 2 2) 3 2 2
x
− = +
ĐS :
1
3
 
−
 
 
7.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x+ −
+ − =
ĐS :
{ }
1
8.
2 3 2 3 5 5
3 .5 3 .5
x x x x+ +
=
9.
1
1 1
5 25
x x
x x
+

− −
=

10.
1 2 2 9
3 .2 12
x x x− − −
=
11.
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x+ + + + +
+ + = + +
ĐS :
{ }
0
12.
1
3 .2 72
x x+
=
ĐS :
{ }
2
13.
1 2
2 .3 .5 12
x x x− −
=
ĐS :

{ }
2
14.
2 5
3 9
x x− −
=
15.
4 4
1
3 81
x
x
−
−
=
ĐS :
1x
≥
16.
1
2 2
2 ( 4 2) 4 4 4 8
x
x x x x+ − − = + − −
ĐS :
1
2
 
 

 
17.
6 4.3 2 4 0
x x x
− − + =
ĐS :
{ }
0;2
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
2
2 2 2 3
( 1) ( 1)
x x
x x
+
− = −
ĐS :
{ }
2; 3± −
2.
3
( 1) 1
x
x
−
+ =
ĐS :
{ }
3

3.
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x− − − −
+ + = − +
ĐS : 2
4.
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
− +
− +
+ = −
ĐS :
5±
5.
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
(ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS :
{ }
1;3
6.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =

(ĐH D-2006) ĐS :
{ }
0;1
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt
( )
, 0
f x
t a t= >
với a và
( )f x
thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến
t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
9 4.3 45 0
x x
− − =
ĐS : 2
Trang 15
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
2.
2
2 2 6 0
x x
+ − =
3.
9 8.3 7 0
x x
− + =

4.
2 2
4 6.2 8 0
x x
− + =
5.
1
8 6.2 2 0
x x−
− + =
ĐS : 0
6.
1 1
5 5 26
x x+ −
+ =
ĐS : 1; -1
7.
1
7 7 6 0
x x−
− + =
ĐS : 1
8.
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
ĐS :

2
k
π
9.
2 2
4 16 10.2
x x− −
+ =
ĐS : 3; 11
10.
2 2
5 5 2
4 2 4
x x x x+ − + − +
− = −
(đặt t=
2
5
2
x x+ −
) ĐS : 2
11.
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
− + =
ĐS : 3;
6

log 8
12.
(7 4 3) (2 3) 2 0
x x
+ + + − =
ĐS : 0
13.
(2 3) (2 3) 14
x x
+ + − =
ĐS : 2
14.
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
15.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
ĐS : 1; -1
16.
2 4
3.4 2.3 5.36
x x x
+ =
ĐS : 0; 1/2
17.
3

(3 5) 16.(3 5) 2
x x x+
+ + − =
ĐS :
3 5
( )
2
log 4
+
18.
2 2 2
2 6 9 3 5 2 6 9
3 4.15 3.5
x x x x x x+ − + − + −
+ =
ĐS : 1; -4
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
(ĐH A-2006) ĐS : 1
2.
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
(ĐH D-2003) ĐS : -1; 2
3.

( 2 1) ( 2 1) 2 2 0
x x
− + + − =
(ĐH B-2007) ĐS : 1; -1
4.
2
4.3 9.2 5.6
x
x x
− =
(ĐH Hàng Hải-1999) ĐS : 4
5.
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x+ + +
− + =
(ĐH Thủy Lợi-2000) ĐS : -1; 2
6.
25 15 2.9
x x x
+ =
(ĐHSP Hải Phòng-2000) ĐS : 0
7.
3 1
125 50 2
x x x+
+ =
(ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0
8.

2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
(HV Quan Hệ Quốc Tế-1999) ĐS :
1;2; 5± −
9.
cos cos
( 7 4 3) ( 7 4 3) 4
x x
+ + − =
(ĐH Luật HN-1998) ĐS :
k
π
10.
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
(ĐH Y HN-2000) ĐS : 1
Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :
•
( )
( ) log

f x
a
a b f x b= ⇔ =
•
( ) ( )
( ) ( )log
f x g x
a
a b f x g x b= ⇔ =
•
( ) ( )
. ( ) ( )log log
f x g x
a a
a b c f x g x b c= ⇔ + =
Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ.
VD. Giải các phương trình sau
1.
2
3 .2 1
x x
=
ĐS :
3
0; log 2−
2
4 2
2. 2 3
x x− −
=

ĐS :
3
2;log 2 2−
3.
2
5 6 3
5 2
x x x− + −
=
ĐS :
5
3;2 log 2+
1
4. 3 .4 18
x
x
x
−
=
ĐS :
3
2; log 2−
5.
2
2
8 36.3
x
x
x
−

+
=
ĐS :
3
4; 2 log 2− −
7 5
6. 5 7
x x
=
ĐS :
7 5
5
log (log 7)
Trang 16
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
7.
5
3 log
5 25
x
x
−
=
ĐS :
5

log 5
4 3
8. .5 5
x

x =
ĐS :
4
1
; 5
5
9.
9
log
2
9.
x
x x=
ĐS : 9
1
10. 5 .8 500
x
x
x
−
=
ĐS :
5
3; log 2−
Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng
( ) ( )f x g x=
(*)
• Bước 1 : Chỉ ra

0
x
là một nghiệm của phương trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh
( )f x
là hàm đồng biến,
( )g x
là hàm nghịch biến hoặc
( )f x
là hàm đồng biến,
( )g x
là hàm hằng hoặc
( )f x
là hàm nghịch biến,
( )g x
là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng
( ) ( )f u f v=
, rồi chứng minh
f
là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch
biến trên D). Từ đó suy ra
( ) ( )f u f v u v= ⇔ =
.
Ví dụ 1: Giải phương trình
3 4 0
x
x+ − =
Cách 1 :

3 4 0 3 4 (*)
x x
x x+ − = ⇔ + =
• Ta thấy
1x =
là một nghiệm của phương trình (*)
• Đặt :
( ) 3
( ) 4
x
f x x
g x

= +

=

Ta có :
'( ) 3 .ln 3 1 >0 x
x
f x = + ∀
Suy ra
( ) 3
x
f x x= +
là hàm đồng biến trên R.
Mà
( ) 4g x =
là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là

1x =
Cách 2 :
3 4 0 3 4 (*)
x x
x x+ − = ⇔ + =
Ta thấy
1x =
là một nghiệm của phương trình (*)
• Nếu
1x >
, ta có
1
3 3 3
1
x
x

> =

>

3 3 1 4
x
x⇒ + > + =
(vô lý)
• Nếu
1x <
, ta có
1
3 3 3

1
x
x

< =

<

3 3 1 4
x
x⇒ + < + =
(vô lý).
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
1x
=
.
Ví dụ 2: Giải phương trình
2
2 3 1
x
x
= +
Ta có :
2
2 3 1
x
x
= +
2 ( 3) 1
x x

⇔ = +

3 1
1 ( ) ( )
2 2
x x
⇔ = +
(*)
• Ta thấy
2x =
là một nghiệm của phương trình (*)
• Đặt :
3 1
( ) ( ) ( )
2 2
( ) 1
x x
f x
g x

= +



=

Ta có :
3 3 1 1
'( ) ( ) .ln( ) ( ) ln( ) 0 x
2 2 2 2

x x
f x R= + < ∀ ∈
Suyra
3 1
( ) ( ) ( )
2 2
x x
f x = +
là hàm nghịch biến trên R
Mà
( ) 1g x =
là hàm hằng
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
2x =
Ví dụ 3: Giải pt
1 1
3.9 (3 7).3 2 0
x x
x x
− −
+ − + − =
(1)
Đặt
1
3 , 0
x
t t
−
= >
.

Phương trình (1)
2
3. (3 7). 2 0t x t x⇔ + − + − =
2 2 2
(3 7) 12(2 ) 9 30 25 (3 5)x x x x x∆ = − − − = − + = −
3 7 3 5 1
6 3
3 7 3 5
2
6
x x
t
x x
t x
− + + −

= =

⇒

− + − +

= = − +


1
1 1
3 0
3 3
x

t x
−
• = ⇔ = ⇔ =
1
2 3 2
x
t x x
−
• = − + ⇔ = − +
(*)
 Ta thấy
1x =
là một nghiệm của phương trình (*)
 Đặt :
1
( ) 3
( ) 2
x
f x
g x x
−

=

= − +

Ta có :
1
'( ) 3 .ln3 0
x

f x x R
−
= > ∀ ∈

Suy ra
1
( ) 3
x
f x
−
=
là hàm đồng biến trên R

'( ) 1 0 g x x R= − < ∀ ∈
Suy ra
( )g x
là hàm nghịch biến trên R
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
1x
=
.
Vậy pt (1) có 2 nghiệm là
0; 1x x= =
.
Trang 17
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
1
2 3 17

x x−
+ =
ĐS : 3
2.
3 4 5
x x x
+ =
ĐS : 2
3.
2
( 3 2) ( 3 2) 10
x
x x
+ + − =
ĐS : 2
4.
2 2
3.25 (3 10).5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
ĐS :
{ }
5
2;2 log 3−
5.
2
(2 3) 2(1 2 ) 0
x x

x x+ − + − =
ĐS :
{ }
0;2
6.
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =
ĐS : 2
7.
(2.3 1) 3 2
x x
x − = +
ĐS : 1
8.
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x
− −
− = −
− −
ĐS : 2; 4
9.
3 2 2 3

2 3 .2 (1 3 ).2 2 0
x x x
x x x x+ + + + + − =
ĐS : 0
10.
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x− + + +
+ + = + +
ĐS : 1
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
(2 3) (2 3) 4
x x x
− + + =
(Học Viện Công Nghệ BCVT-1998) ĐS : 1
2.
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
(ĐH Thủy lợi-2001) ĐS : 1
3.
1
2 4 1
x x
x

+
− = −
(ĐH Bách khoa TPHCM-1995) ĐS : 1
4.
( 3 2) ( 3 2) ( 5)
x x x
+ + − =
(Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997) ĐS :
∅
5.
3 5 6 2
x x
x+ = +
(ĐH Sư Phạm HN-2001) ĐS :
{ }
0;1
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng
•
[ ] [ ]
log ( ) log ( )
a a
f x g x=
0 1
( ) ( ) 0
a
f x g x
< ≠


⇔

= >


•
[ ]
0 1
log ( )
( )
a
b
a
f x b
f x a
< ≠

= ⇔

=

Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
log (5 1) 4x + =
ĐS : 3
2.
3 9 27
log log log 11x x x+ + =
ĐS : 729

3.
3 3
log log ( 2) 1x x+ + =
ĐS : 1
4.
2
2 2
log ( 3) log (6 10) 1 0x x− − − + =
ĐS : 2
5.
3 2
1
log( 1) log( 2 1) log
2
x x x x+ − + + =
ĐS : 1
6.
3
2 2
log (1 1) 3log 40 0x x+ + − − =
ĐS : 48
7.
4 2
log ( 3) log ( 7) 2 0x x+ − + + =
ĐS : 1
8.
2 1
8
log ( 2) 6log 3 5 2x x− − − =
ĐS : 3

9.
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1)x x x+ − − = −
ĐS :
1 17
2
+
10.
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x− + − =
ĐS : 2
11.
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
ĐS :
5
2
Bài 2 : Giải các phương trình sau

Trang 18
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
1.
2 2
1
log (4 15.2 27) 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
(ĐH D-2007) ĐS :
2
log 3
2.
4
log ( 2).log 2 1
x
x + =
(ĐH Huế-1999) ĐS : 2
3.
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = +
(ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0;-5
4.
2
9 3 3
2log log .log ( 2 1 1)x x x= + −
(ĐH Thủy Lợi-1998) ĐS : 1; 4

5.
2 3 2 3
log log log .logx x x x+ =
(ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; 6
6.
5 3 5 9
log log log 3.log 225x x+ =
(ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 3
7.
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x x x+ + = − + +
(ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS :
2;2 2 6−
8.
2 2 2
2 3 2 3
log ( 1 ) log ( 1 ) 6x x x x
+ −
+ + + + − =
(ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS :
4 3
9.
2 2
9 3
3
1 1
log ( 5 6) log log 3
2 2

x
x x x
−
− + = + −
(HV BCVT-2000) ĐS :
3
2
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã
cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
2 2
log 2log 2 0x x+ − =
ĐS :
1
2;
4
2.
2 2
3 log log (8 ) 1 0x x− + =
ĐS : 2; 16
3.
2 1
1 log ( 1) log 4
x
x
−
+ − =

ĐS :
5
3;
4
4.
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
ĐS :
1
3
4;2
−
5.
2 2
3
log (3 ).log 3 1
x
x =
ĐS :
1 2
3
±
6.
2
2
log (2 ) log 2

x
x
x x
+
+ + =
ĐS : 2
7.
2
5 5
5
log log ( ) 1
x
x
x
+ =
ĐS :
1
1;5;
25
8.
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
ĐS : 2
9.
1
3 3

log (3 1).log (3 3) 6
x x+
− − =
ĐS :
3 3
28
log 10;log
27
10.
2 2
1 2 1 3
log (6 5 1) log (4 4 1) 2 0
x x
x x x x
− −
− + − − + − =
ĐS :
1
4
11.
2
lg(10 ) lg lg(100 )
4 6 2.3
x x x
− =
ĐS :
1
100
12.
2 2 2

log 9 log log 3
2
.3
x
x x x= −
ĐS : 2
13. log
4
(log
2
x) + log
2
(log
4
x) = 2 (đặt t=
4
log x
)
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
3
3
2 2
4
log log
3
x x+ =
(ĐH Công Đoàn-2000) ĐS : 2
2.
2

2 2
log ( 1) 6log 1 2 0x x+ − + + =
(Cao Đẳng -2008) ĐS : 1; 3
3.
9
4log log 3 3
x
x + =
(ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS :
3; 3
4.
4 2 2 3
log ( 1) log ( 1) 25x x− + − =
(ĐH Y HN-2000)
5.
2 2
log 2 log 4 3
x
x+ =
(HV CNBCVT-1999) ĐS : 1; 4
Trang 19
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
6.
1
5 25
log (5 1).log (5 5) 1
x x+
− − =
(ĐH Sư Phạm HN-1998) ĐS :
5 5

26
log 6;log
25
7.
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x− =
(ĐH Sư Phạm TPHCM-2001) ĐS :
1
4
8.
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
(ĐH Khối A-2008) ĐS :
5
2;
4
9.
2 2
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
x x

x x x x
+ +
+ + + + + =
(ĐH Kinh Tế Quốc Dân-2001) ĐS :
1
4
−
10.
2 2
log log
2
(2 2) (2 2) 1
x x
x x+ + − = +
(ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 0;1
11.
2 2 2
4 5 20
log ( 1).log ( 1) log ( 1)x x x x x x− − + − = − −
(ĐHSP Vinh-2001) ĐS : 1;
20
20
log 4
log 4
1 1
(5 )
2 5
+
Dạng 3 : Phương pháp mũ hóa
Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau

•
( )
0 1
log ( ) ( )
( )
a
g x
a
f x g x
f x a
< ≠

= ⇔

=

•
log ( ) log ( )
a b
f x g x=
đặt
t=
suy ra
( )
( )
t
t
f x a
g x b


=


=


. Khử x trong hpt để thu được phương trình theo ẩn t,
giải pt này tìm t, từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
3
log (9 8) 2
x
x+ = +
ĐS :
3
0;log 8
2.
1
5
log (5 20) 2
x
x
+
+ − =
ĐS : 1
3.
3
3 2
3log (1 ) 2logx x x+ + =

ĐS : 4096
4.
3 2
2log tan log sinx x=
ĐS :
2
6
k
π
π
+
5.
2
5 3
log ( 6 2) logx x x− − =
ĐS : 9
6.
4
6 4
2log ( ) logx x x+ =
(ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
2
log (9 2 ) 3
x
x + − =
(ĐH Huế-2000) ĐS : 0; 3
2.
5 7

log log ( 2)x x= +
(ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 5
3.
7 3
log log ( 2)x x= +
(ĐH Thái Nguyên-2000) ĐS : 49
4.
8
4
6 4
2log ( ) logx x x+ =
(ĐH Y HN-1998) ĐS : 256
5.
3 2
2log cot log cosx x=
(ĐH Y Dược TPHCM-1986) ĐS :
2
3
k
π
π
+
Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
Đưa phương trình đã cho về dạng
( ) ( )f x g x=
(*)
• Bước 1 : Chỉ ra
0
x

là một nghiệm của phương trình (*)
• Bước 2 : Chứng minh
( )f x
là hàm đồng biến,
( )g x
là hàm nghịch biến hoặc
( )f x
là hàm đồng biến,
( )g x
là hàm hằng hoặc
( )f x
là hàm nghịch biến,
( )g x
là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng
( ) ( )f u f v=
, rồi chứng minh
f
là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch
biến trên D). Từ đó suy ra
( ) ( )f u f v u v= ⇔ =
.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
5
log ( 3) 4x x− = −
ĐS : 4
Trang 20
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015

2.
2
lg( 12) lg( 3) 5x x x x− − + = + +
ĐS : 5
3.
2
2 2
log ( 3).log 2 0x x x x+ − − + =
ĐS : 2; 4
4.
2
3 3
(log 3) 4 log 0x x x x+ − − + =
ĐS : 3
5.
2 2 2
ln( 1) ln(2 1)x x x x x+ + − + = −
ĐS : 0; 1
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
2
2 2
log ( 1)log 6 2x x x x+ − = −
(ĐH Đông Đô-1997) ĐS :
1
;2
4
2.
2
2

3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
(ĐH Ngoại Thương-2001) ĐS :
1; 2− −
CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x xy y
x y xy
− +

+ = +


=



(ĐH A-2009) ĐS : (2;2), (-2;-2)
2.
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

 +
(ĐH D-2002) ĐS : (0;1), (2;4)
3.
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1
25

y x
y
x y

− − =



+ =

(ĐH A-2004) ĐS : (3;4)
4.
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y

− + − =


− =


(ĐH B-2005) ĐS : (1;1), (2;2)
5.
1
3 2
3 9 18

y
y
x
x
−

+ =


+ =


ĐS :
3
2
( ;log 4)
3

3
3
3 .2 972
6.
log ( ) 3
x y
x y

=


− =



ĐS : (5;2)
2
log log 2
7.
12
y x
x y
x y
+ =



+ =


ĐS : (3;3)
3 3
4 32
8.
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+


=



+ = − −

ĐS : (2;1)
4
1 log
9.
4096
y
y x
x
= +


=

ĐS : (16;3), (1/64;-2)
4 2
4 3 0
10.
log log 0
x y
x y
 − + =


− =


ĐS : (1;1), (9;3)

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau :
1.
5
3 .2 1152
log ( ) 2
x y
x y
−

=


+ =


ĐS : (-2;7)
2.
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
y x
+ −
+ −

− + + + + =



+ + + =


ĐS :
2 2
( ; )
5 5
−
3.
3 3
log ( ) log 2
2 2
4 2 ( )
3 3 22
xy
xy
x y x y

= +


+ + + =


ĐS : (1;3), (3;1)
4.
2 2
1

2 2
x y x
x y y x
x y
+ −

+ = +


− = −


ĐS : (-1;-1), (1;0)
5.
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

ĐS : (0;0)
Trang 21
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
6.
2 1
2 1

2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
−
−

+ − + = +


+ − + = +


ĐS : (1;1)
CHUYÊN ĐỀ:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. PHƯƠNG PHÁP
Áp dụng các phương pháp như khi giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất :
• Nếu
1a
>
thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ >
• Nếu
0 1a
< <

thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ <
Tổng quát :
[ ]
( ) ( )
0
( 1) ( ) ( ) 0
f x g x
a
a a
a f x g x
>


> ⇔

− − >


II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
1.
2
2
3 27
x x+

<
ĐS :
3 1x
− < <
2.
1
1
1
( 5 2) ( 5 2)
x
x
x
−
−
+
+ ≥ −
ĐS :
[
)
[
)
2; 1 1;− − ∪ +∞
3.
2
2 16
1 1
( ) ( )
3 9
x x x+ −
<

ĐS :
8 4x x
< − ∨ >
4.
1
2
1
1
2
16
x
x
+
+
 
>
 ÷
 
ĐS :
2x
> −
5.
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x− − − −
+ + < − +
ĐS :
2x
>
6.

2 2 2
3 2 3 3 3 4
2 .3 .5 12
x x x x x x− − − − − −
≥
ĐS :
1 4x x
≤ − ∨ ≥
7.
3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
− +
− +
+ < −
ĐS :
3 5 1 5x x− < < − ∨ < <
8.
2
1 3 9
x x−
< <
ĐS :
( ) { }
1;2 \ 0;1−
9.
2
2

5 6
1 1
3
3
x
x x
+
+ −
<
ĐS :
6 10x x
≤ − ∨ ≥
10.
( )
2
2 7
2 1
x x
x
−
− >
ĐS :
7
2 3
2
x x< < ∨ >
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :
1.
1 1
2 2 3 3

x x x x+ −
+ ≤ +
(ĐH Quốc Gia HN-1996) ĐS :
2x
≥
2.
1
1
( 2 1) ( 2 1)
x
x
x
+
−
+ ≥ −
(Học Viện Quân Y-1995) ĐS :
1 5 1 5
1
2 2
x x
− − − +
< < ∨ >
3.
2
1
2
1
3
3
x x

x x
− −
−
 
≥
 ÷
 
(ĐH Bách Khoa HN-1997) ĐS :
2x
≥
4.
( )
2
1 1
x
x x+ + <
(ĐH Sư Phạm TPHCM-1976) ĐS :
1x
< −
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :
1.
9 2.3 3 0
x x
− − >
ĐS :
1x
>
2.
2 6 7

2 2 17 0
x x+ +
+ − >
ĐS :
3x
> −
3.
3
2 2 9
x x−
+ ≤
ĐS :
0 9x
≤ ≤
4.
2.49 7.4 9.14
x x x
+ <
ĐS :
0 1x
< <
5.
5.2 7. 10 2.5
x x x
< −
ĐS :
0 2x
< <
6.
1

4 3.2 4
x x x x+ +
≤ +
ĐS :
0 4x
≤ ≤
Trang 22
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
7.
2 2 2
2 2 2
6.9 13.6 6.4 0
x x x x x x− − −
− + <
ĐS :
1
1
2
x− < <
8.
2 1 2
4 .3 3 2 .3 2 6
x x x
x x x x
+
+ + < + +
ĐS :
2
3
3

0 log 2
2
x x≤ < ∨ >
9.
2
8.3 2
1
3 2 3
x
x
x x
−
 
> +
 ÷
−
 
ĐS :
2
3
1
0 log
3
x< <
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :
1.
2
2
2
2

1
9 2. 3
3
x x
x x
−
−
 
− ≤
 ÷
 
(Dự Bị D-2005) ĐS :
1 2 1 2x− ≤ ≤ +
2.
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
x x
+
   
+ >
 ÷  ÷
   
(ĐH Văn Hóa HN-1996) ĐS :
1x
> −
3.
1 2 1

2
3 2 12 0
x
x x+ +
− − <
(HV CNBCVT-1998) ĐS :
0x
>
4.
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
−
≤
−
(HV Hành Chính QG-2001) ĐS :
3
2
0 log 3x< ≤
5.
( ) ( )
2 2
2
1
5 1 2 3. 5 1
x x x x

x x
− + − +
− + +
+ + < −
(ĐH Phương Đông-2000) ĐS :
0 1x x
< ∨ >
Dạng 3 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
1.
1
3 2 3
x
x
−
+ >
ĐS :
1x
>
2.
2
2 3 1
x
x
< +
ĐS :
2x
<
3.
2.2 3.3 6 1
x x x

+ > −
ĐS :
2x
<
CHUYÊN ĐỀ : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. PHƯƠNG PHÁP
• Nếu
1a
>
thì
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
a a
f x g x f x g x> ⇔ > >
• Nếu
0 1a
< <
thì
log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )
a a
f x g x f x g x> ⇔ < <
Tổng quát :
[ ]
0
log ( ) log ( ) ( ) 0; ( ) 0
( 1) ( ) ( ) 0
a a
a
f x g x f x g x
a f x g x


>

> ⇔ > >


− − >

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Giải các bất phương trình sau :
1.
3
log (2 1) 2x + <
ĐS :
1
4
2
x− < <
2.
2 0,5
31
log log (2 ) 2
16
x
 
− ≤
 
 
ĐS :
2x
>

3.
3 2
log ( ) 1
2
x
x
x
+
>
+
ĐS :
1 2x
< <
4.
3 1
3
2log (4 3 ) log (2 3) 2x x− + + ≤
(ĐH A-2007) ĐS :
3
3
4
x< ≤
5.
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 

+
<
 ÷
+
 
(ĐH B-2008) ĐS :
4 3 8x x
− < < − ∨ >
Trang 23
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
6.
4
2 1 1
log ( )
1 2
x
x
−
< −
+
(ĐH Văn Hóa HN-1998) ĐS :
1
1
2
x< <
7.
2
3 1 1
3 3
1

log 5 6 log 2 log ( 3)
2
x x x x− + + − > +
(ĐH GTVT-2000) ĐS :
10x >
8.
3
log log (9 72) 1
x
x
 
− ≤
 
(ĐH B-2002) ĐS :
9
log 73 2x< ≤
9.
2
log (5 8 3) 2
x
x x− + >
(ĐH Văn Lang-1997) ĐS :
1 3 3
2 5 2
x x< < ∨ >
10.
2
2
log 64 log 16 3
x

x
+ ≥
(ĐH Y Hà Nội-1997) ĐS :
3
1 1
1 4
2
2
x x< ≤ ∨ < ≤
11.
2
lg( 3 2)
2
lg lg2
x x
x
− +
>
+
(ĐH Kiến Trúc HN-1997) ĐS :
3 33 1
6 2
x
− +
< <
12.
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x

x x x x
+
+ + > + +
(ĐH Dược HN-1997) ĐS :
2 1 2 3x x− < < − ∨ < <
CHUYÊN ĐỀ :NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
I.1. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
1.
0dx C=
∫

2.
dx x C= +
∫
3.
( )
1
1
1
1
x dx x C
α α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
4.

1
lndx x C
x
= +
∫

5.
x x
e dx e C= +
∫
6.
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫
7.
cos sinxdx x C= +
∫
8.
sin cosxdx x C= − +
∫
9.
2
1
tan
cos

dx x C
x
= +
∫
10.
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
11.
( )
2
1 tan tanx dx x C+ = +
∫
12.
( )
2
1 cot tx dx co x C+ = − +
∫
13.
( ) ( ) ( )
1
1
1
( 1)
ax b dx ax b C

a
α α
α
α
+
+ = + + ≠ −
+
∫
15.
1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫
16.
1
ln
kx b
kx b
a
a dx C
k a
+
+
= +
∫
17.
( ) ( )

1
cos sinax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
18.
( ) ( )
1
sin cosax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
19.
( )
( )
2
1 1
tan
cos
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
20.
( )
( )
2
1 1
cot

sin
dx ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
21.
( )
( )
( )
2
1
1 tan tanax b dx ax b C
a
+ + = + +
∫
22.
( )
( )
( )
2
1
1 cot tax b dx co ax b C
a
+ + = − + +
∫
23.
2
1 1
dx C

x x
= − +
∫
24.
( )
2
1 1 1
.dx C
a ax b
ax b
= − +
+
+
∫
Trang 24
Tài liệu ôn tập thi TN THPT năm học 2014 – 2015
14.
1 1
lndx ax b C
ax b a
= + +
+
∫
25.
( )
( )
( )
'
ln
u x

dx u x C
u x
= +
∫
Các công thức trên với:
( )
0a ≠
I.2. Các tính chất:
1.
( ) ( )
'f x dx f x C= +
∫
; 2.
( ) ( ) ( )
. 0k f x dx k f x dx k= ≠
∫ ∫
; 3.
( ) ( )
( )
( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
I.3. Bài tập áp dụng:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
2
3
3x x x
dx
x

− +
∫
;2.
( ) ( )
2 1
1 1
x
dx
x x
+
− +
∫
;3.
sin 3 os2xc xdx
∫
;4.
2 2
1
sin . os
dx
x c x
∫
; 5.
1
sinx
dx
∫
6.
1
cosx

dx
∫
; 7.
1
tanx
dx
∫
; 8.
1
cotx
dx
∫
; 9.
3 2
2
x x
x
e e
dx
e
−
−
∫
; 10.
2
2 1
2 1
x x
dx
x

− +
−
∫
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số thõa điều kiện cho trước
1.
2
1
3 4
dx
x x+ −
∫
, Biết: F(2)=5 ; 2.
3
1
dx
x x+
∫
, Biết: F(1)=2; 3.
2 2
sin 3 os 2xc xdx
∫
, Biết: F(
2
π
)=2
4.
3
sin 3xdx
∫
, Biết: F(

2
π
)=2 ; 5.
4
sin 3xdx
∫
, Biết: F(
2
π
)=2 ; 6.
∫
+− 45
3
2
xx
xdx
, Biết: F(0)=3
7.
∫
−−
−−
dx
xx
xx
32
2035
2
2
, Biết: F(-2)=3
* Chú ý: Việc tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến và phương pháp từng phần các dạng và cách đặt

giống như tính tích phân
II. TÍCH PHÂN:
II.1.ĐN:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
II.2.Tính chất:
1.
( )
0
a
a
f x dx
=
∫
; 2.
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
; 3.
( ) ( ) ( )
0

b b
a a
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫

4.
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
; 5.
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
Với: a<c<b
II.2.1. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân sau:
1.
( )
1
4 3 2
1
5 4 7 5x x x x dx
−

− + − +
∫
; 2.
2
3 2
2
1
2 4 5x x x
dx
x
− + −
∫
; 3.
1
2
0
2
4 5
x
dx
x x
−
− −
∫
; 4.
4
1
2 3
3
x x

dx
x
− +
∫
;5.
2
3
1
2 1
2
x
x
dx
−
∫

Trang 25