Tuyển tập các bài luyện thi đại học môn toán các năm

Bảng công thức tích phân bất định :
∫
= Cdx0
∫
+= Cxdx
1
1
1
−≠+
+
=
∫
+
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
∫
+= Cedxe
xx
∫
= C
a

a
dxa
x
x
ln
∫
+−= Cxxdx cossin
∫
+= Cxxdx sincos
∫
+= Cxdx
x
tan
cos
1
2
∫
+−= Cxdx
x
cot
sin
1
2
∫
+=
′
Cxudx
xu
xu
)(ln

)(
)(
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
∫
+++++=+ Caxx
a
ax
x
dxax
222
ln
22
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số
)(xf

liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
có nguyên hàm là
)(xF
.
Giả sử
)(xu
là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ]
βα
,
và có miền giá trị là
[ ]
ba;

thì ta có :
[ ] [ ]
CxuxFdxxuxuf +=
∫
)()()('.)(
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
1
0
2

1
1x
xdx
I
b)
∫
−
=
1
0
2
1
x
x
e
dxe
I
c)
∫
+
=
e
x
dxx
I
1
3
ln1
Bài làm :
a) Đặt

2
21
2
dt
xdxxdxdtxt =⇒=⇒+=
Đổi cận :



=→=
=→=
21
10
tx
tx
Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2

1
2
1
===
+
=
∫ ∫
t
t
dt
x
xdx
I
b) Đặt
dxedtet
xx
=⇒−= 1
Đổi cận :



−=→=
−=→=
12
11
2
etx
etx
Trang 1
Vậy :

)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫
et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e
x

x
c) Đặt
dx
x
tdtxt
1
ln1 =⇒+=
Đổi cận :



=→=
=→=
2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :
∫
=
β
α
nxdxmxI cos.sin

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
∫
=
β

α
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan=
Nếu
m
chẵn
n
lẻ . Đặt
xt sin
=
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :
∫
++
=
β
α
cxbxa
dx
I
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :








+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x

t
Dạng 4 :
∫
+
+
=
β
α
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
xdxc
xdxcB
A
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
+
−
+=
+
+

Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5:
∫
++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
++

cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức.
Trang 2
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3
−===
+
=
∫∫
tdtt
x
dxx
I
e
BÀI TẬP
Tính tích phân :

a)
∫
+
=
2
0
4
1
)1(sin
cos
π
x
xdx
I
b)
∫
=
2
0
5
2
cos
π
xdxI
c)
∫
=
4
0
6

3
tan
π
xdxI
Bài làm :
a) Đặt :
xdxdtxt cos1sin =⇒+=
Đổi cận :





=→=
=→=
2
2
10
tx
tx
π
Vậy :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1

3
2
1
4
2
0
4
1
=−==
+
=
∫∫
tt
dt
x
xdx
I
π
b) Đặt :
xdxdtxt cossin =⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
1
2

00
tx
tx
π
Vậy :
( ) ( )
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
24
2
2
2
0
5
2
=









+−=
−+=−==
∫
∫ ∫∫
tt
t
dtttdttxdxI
π
c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan
2
+=⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
1
4

00
tx
tx
π
Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
6
4
0
6
3

π
π
π
−=−








+−=






+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt

t
dtt
xdxI
Tính các tích phân sau :
Trang 3
a)
∫
+
=
2
0
2222
1
cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I
b)
∫
+
=
3
0
2
2cos2
cos
π

dx
x
x
I

Bài làm :
a) Đặt :
xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.
222222
+−=⇒+=
Đổi cận :





=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu
ba ≠
Vậy :
( )
ba

ab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
=
∫ ∫
11
2
1

cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22
22
1
2
2
2
2
π
Nếu
ba =
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos

4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
2222
1
=−==
=
+
=
∫
∫∫
π
π
ππ
b) Đặt :
xdxdtxt cossin =⇒=
Đổi cận :






=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
Vậy :
∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0
2
2
3
0
2

3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
Đặt :
ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
Đổi cận :








=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
Trang 4
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2

32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0
2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u

udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
2
0
1
5cos3sin4
1
π
dx
xx
I
b)
∫
++
++
=
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
π
dx

xx
xx
I

Bài làm :
a) Đặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒






+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x

t
Đổi cận :





=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1

2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+
=
∫∫
t
t
dt
dt

t
t
t
t
t
I
b)Đặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1 === CBA
Vậy :
( )
6

1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=






++
+

++
−
+=
++
++
=
∫∫
π
π
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
=
2
6
2
3
1
sin
cos
π

π
dx
x
x
I
b)
∫
=
2
0
3
2
sin.cos
π
xdxxI
c)
∫
+
=
2
0
3
2sin
π
x
dx
I
Trang 5
c)
∫

+
=
2
0
3
3
1cos
sin4
π
dx
x
x
I
d)
∫
++
=
2
0
5
3cos2sin
1
π
dx
xx
I
d)
∫
++
+−

=
2
0
6
3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
( ) ( )
C
ax
n
ax
dx
I
nn
+
−
−
−=
−
=
−
∫
1

1
.
1
1
với
( ) { }( )
1,0, −×∈ NCna
ta có :
Nếu
Ran ∈= ,1
ta có :
Cx
ax
dx
I +=
−
=
∫
ln
Dạng 2 :
( )
∫
++
+
= dx
cbxax
x
I
n
2

βα
trong đó :



<−=∆
∈
04
,,,,
2
acb
Rcba
βα
* Giai đoạn 1 :
0≠
α
,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức
cbxax ++
2
,
sai khác một số :
( ) ( ) ( )
∫∫∫
++







−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2

2
2
α
βαα
α
β
α
* Giai đoạn 2 :
Tính
( ) ( )
∫∫
∆−
+
=
+
∆−






∆−
=
++
=
bax
t
n
n

n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4

* Giai đoạn 3 :
Tính
( )
∫
+
= dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt
φ

tan=t
Dạng 3 :
( )
( )
∫
= dx
xQ
xP
I
n
m

Ta có :
( )
( )
01
01


bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++

+++
=
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg ≥
thì ta thực hiện phép chia
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
+=
−
trong đó
phân số
( )
( )
xQ
xR

n
r
có
( ) ( )
QR degdeg <
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg <
ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:
( )
( )
( )
( ) ( )
n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+

−
++
−
=
−
−
−
1
11

Vdụ 1a :
( )
( )
( )
∑
∏
=
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i

m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b :
( )
( )
2
2
))()((
cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xP
m
−
+
−
+
−
+

−
=
−−−
Trang 6
*Qt 2':
( )
( )
( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++

+
=
++
−
−−
2
1
2
11
2
11
2

với
0
<∆
*Qt 3:
( )
( )
( )
( )
( )
∑ ∑
= =
++
+
+
−
=
++−

m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2
α
α
Vdụ 1 :
( )
( ) ( )
cbxax
CBx
x
A

cbxaxx
xP
t
++
+
+
−
=
++−
22
)(
αα

Vdụ 2 :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2
11
2
2
cbxax
CxB
cbxax

CxB
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
++
+
+
−
=
++−
α
α
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
2
1
23xx
dx
I

b)
( )
∫
++
=
1
0
2
2
2
23xx
dx
I

Bài làm :
a)
( )( )
∫∫∫






+
−
+
=
++
=

++
=
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx
xx
dx
I

b)
( )
( ) ( )
( )( )
dx
xx
xx

dx
xx
dx
I
∫∫






++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
2
2
2
21
2
2

1
1
1
23

( )
OKxx
xx
=






+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a)
∫

++
=
1
0
24
1
33xx
dx
I
b)
( )
( )
∫
++
−
=
1
0
2
2
21
24
dx
xx
x
I

Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
∫

+=
+
= C
a
x
aax
dx
I arctan
1
22
0
với
0
>
a
( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
∫ ∫∫






+

−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
24
1
3
1
1
1
2
1
3133
( )
329
2
3
arctan
3
1

arctan
2
1
1
0
−=






−=
π
x
x
Trang 7
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+=
xx
b) Đặt :
( )
( )
( ) ( )
( )

( )
12
22
1
2
12
24
2
2
22
++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do đó ta có hệ :






=
=
−=
⇔





=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :
( )

( )
∫ ∫






+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
2
2
2
1
2
2
2
21
24
dx
x

x
x
dx
xx
x
I

[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
=−++−=+++−= xx
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−
+
=
3
2
2
1
1
1
dx
xx

x
I
b)
∫
−+
=
5
2
2
2
32xx
dx
I

c)
dx
xx
x
I
∫
−
−
=
2
1
3
3
3
4
1

d)
∫
+−
=
2
3
24
3
23
dx
xx
x
I

HD:
a)
( )
1
1
1
22
−
++=
−
+
x
C
x
B
x

A
xx
x
b)
31
32
1
2
+
+
−
=
−+
x
B
x
A
xx
c)
( )( )








−+
−

+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22
11
23
24
−
+
+
+
+
+
−
=
+−

x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
−=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx
m
n
n
m
Bài làm :

Xét
( )
∫
−=
1
0
1 dxxxI
n
m
Đặt :
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1
Trang 8
Đổi cận :



=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=−=
0
1
1
0

1
0
111 dtttdtttdxxxI
n
m
n
mn
m
(đpcm)
Chứng minh rằng nếu
)(xf
là hàm lẻ và liên tục trên đoạn
[ ]
aa,−
thì :

( )
∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )
1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −

+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
( )
∫
−
0
a
dxxf
. Đặt
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
Đổi cận :



=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf

0 0
0
Thế vào (1) ta được :
0=I
(đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu
)(xf
là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
[ ]
aa,−
thì
( ) ( )
∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho
0
>
a
và
( )
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác định trên
R

.
Chứng minh rằng :
( )
( )
∫ ∫
−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
0
1
Bài làm :
Xét
( )
dx
a
xf
x
∫
−
+
0
1
α

. Đặt
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
Đổi cận :



=→=
=→−=
00 tx
tx
αα
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
+
=
+
−
=
+
−
−
α α
α
0 0
0
111
t
t
tx

a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
Trang 9
( ) ( ) ( )
( )
∫ ∫ ∫
− −
+
+
+
=
+
α
α α
α
0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a

xf
dx
a
xf
xxx
Thế vào (1) ta được :
( ) ( ) ( )
( )
∫∫ ∫ ∫
=
+
+
+
=
+
− −
αα
α α
α
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx

a
xf
xx
x
x
(đpcm)
Cho hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
1,0
. Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
=
π π
π
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét
( )
∫
π
0
sin. dxxfx
. Đặt

dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
π
Đổi cận :



=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
Vậy :
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )
∫ ∫
−=
π π
π
0 0

sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( ) ( )
dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
ba,
và
( ) ( )
xfxbaf =−+
. Thì ta luôn có :

( ) ( )
∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
0
2
.
Cho hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
.
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta
a
T

dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( )
∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét

( )
∫
a
dxxf
0
. Đặt
dxdtTxt =⇒+=
Trang 10
Đổi cận :



+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy :
( ) ( )
∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf

Hay :
( ) ( )
∫ ∫

+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(đpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
, thì ta luôn
có :
( ) ( )
∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
Bạn đọc tự làm :

a)
( )
∫
−=
1
0
6
1
1 dxxxI
b)
(
)
∫
−
++=
1
1
22
2
1lncos.sin dxxxxxI

c)
∫
+
=
π
0
2
3
cos49

sin.
dx
x
xx
I
d)
∫
+
=
π
0
2
4
cos1
sin.
dx
x
xx
I

e)
∫
−
+
=
2
2
2
5
21

sin
π
π
dx
xx
I
x
f)
∫
−
+
+
=
1
1
2
2
6
1
sin
dx
x
xx
I
g)
(
)
∫
++=
∗

π
2
0
2
7
sin1sinln dxxxI
h)
dxxI
∫
−=
∗
π
2009
0
8
2cos1
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
, thì ta có :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a

b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt
xu ln
=
hay
xu
a
log=
.
*ưu tiên 2 : Đặt
??=u
mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
=
1
0
1
. dxexI
x
b)
∫
=

2
0
2
2
cos.
π
xdxxI
c)
∫
=
e
xdxI
1
3
ln
Trang 11
Bài làm :
a) Đặt :



=⇒=
=⇒=
xx
evdxedv
dxduxu
Vậy :
( )
11
1

0
1
0
1
0
1
0
1
=−−=−=−==
∫∫
eeeedxeexdxexI
xxxx

b) Đặt :



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
2
2
Vậy :
( )
1sin.2
4
sin.2cos
2

0
2
0
2
2
0
1
0
1
∫∫∫
−=−−==
ππ
π
π
xdxxxdxxxxdxexI
x
Ta đi tính tích phân
∫
2
0
sin.
π
xdxx
Đặt :



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv

dxduxu
cossin
Vậy :
1sincos.coscos.sin.
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−=
∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx
Thế vào (1) ta được :
4
8
.
2
1
0
1
−

==
∫
π
dxexI
x
c) Đặt :





=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy :
1ln.ln.ln
01
1
1
1
3
=−=−==
∫∫
ee
e

e
e
xxxdxxxxdxI
Tính các tích phân sau :
a)
∫
=
π
0
1
sin. xdxeI
x
b)
∫
=
4
0
2
2
cos
π
dx
x
x
I
c)
( )
∫
=
π

e
dxxI
1
3
lncos
Bài làm :
a) Đặt :



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
cossin
Vậy :
( )
∫∫
++=+−==
π
π
π
π
0
0
0
1
11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx

Đặt :



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
sincos
Trang 12
Vậy :
IxdxexexdxeJ
xxx
−=−==
∫∫
π
π
π
0
0
0
sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta được :
2
1
12
11
+
=⇒+=

π
π
e
IeI
b) Đặt :





=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
Vậy :
( )
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos

4
0
4
0
4
0
4
0
2
2
+=+=−==
∫∫
ππ
π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I
c) Đặt :
( ) ( )





=⇒=
−=⇒=

xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy :
( ) ( ) ( )
( )
JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+==
∫∫
1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π
π
π
Đặt :
( ) ( )






=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
Vậy :
( ) ( ) ( )
3
1
1
1
3
0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
−=−==
∫∫
π
π
π
Thế vào (1) ta được :
( )
2
1
12

33
+
−=⇒+−=
π
π
e
IeI
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
−
=
2ln
0
1
. dxexI
x
b)
( )
∫
−=
e
dxxI
1
2
2
ln1

c)
∫







−=
2
2
3
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I
d)
(
)
∫
++=
1
0
2
4
1ln dxxxI

e)

( )
∫
=
3
4
5
tanln.sin
π
π
dxxxI
f)
( )
∫
=
e
dxxI
1
2
6
lncos
g)
∫
=
∗
4
0
2
7
2cos
π

xxI
h)
∫
+
+
=
∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I
x
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
Muốn tính
( )
∫
=
b
a
dxxfI
ta đi xét dấu
( )
xf
trên đoạn

[ ]
ba,
, khử trị tuyệt đối
Trang 13
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,max
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf −
trên đoạn
[ ]
ba,
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,min
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf −
trên đoạn

[ ]
ba,
Tính các tích phân sau :
a)
∫
−=
4
1
1
2 dxxI
b)
∫
−+=
2
0
2
1
32 dxxxI
Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
Vậy :
( ) ( )
4
2
2
2
1
2

4
2
2
1
4
1
1
2
22
2222






−+






−=++−=−=
∫∫∫
x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )
[ ]

2
5
4288
2
1
224 =−−−+












−−−=
b) Lập bảng xét dấu
[ ]
2,0,32
2
∈−+ xxx
tương tự ta được
( ) ( )
∫∫∫
−++−+−=−+=
2
1

2
1
0
2
2
0
2
1
323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính
∫
−=
1
0
dxaxxI
a
với
a
là tham số :
Bài làm :
x
∞−
a
∞+
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu
0≤a
.

( )
∫∫
−=






−=−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Nếu
10 << a
.
Trang 14
4
3

3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1
=






++−+






−−=
x
xx
x

xxI
( ) ( )
∫ ∫∫
−+−−=−=
a
a
a
dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0
223
1
3232
32
1
32
0
32
aaxaxxax
a
a
+−=







+−+






−=
Nếu
1≥a
.
( )
∫∫
+−=






−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0

23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Tính : a)
( )
∫
=
2
0
2
1
,1min dxxI

( )
∫
=
3
0
2
2
,max dxxxI
Bài làm :
a) Xét hiệu số :
( )
[ ]
2,01
2

∈∀− xx
Vậy :
( )
3
4
3
,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1
=+=+==
∫∫∫
x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số :
( )
[ ]
3,01 ∈∀− xxx

tương tự như trên ta có .
( )
6
55
32
,max
3
1
3
1
0
2
3
1
2
1
0
3
0
2
2
=+=+==
∫∫∫
xx
dxxxdxdxxxI
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−

−=
3
2
2
1
3,min dxxxI
b)
( )
∫
=
2
0
2
cos,sinmax
π
dxxxI
c)
∫
−=
4
3
0
3
cossin
π
dxxxI
d)
( )
∫
−

−=
3
2
2
4
34,max dxxxI
d)
∫






−−+−+=
∗
5
1
4
1212 dxxxxxI

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:
(
)
∫
++ dxcbxaxxR
2
,

ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.














∆−
+
+
∆−
=++→



<∆
>
2
2
2
1
4

0
0
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
+=++
2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut tan=
.
Dạng 2:















∆−
+
−
∆−
=++→



<∆
<
2
2
2
1
4
0
0
bax
a
cbxax
a

Trang 15
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
−=++
2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut sin
=
.
Dạng 3:








−







∆−
+∆
=++→



>∆
>
1
2
4
0
0
2
2
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR

bax
t
∫∫
∆
+
=
−=++
2
22
1,,
Tới đây, đặt
u
t
sin
1
=
.
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
( )
∫∫
+
=
++
=
+++
βα
ζµαβα
x
t
tt

dt
cbxaxx
dx
1
22

Một số cách đặt thường gặp :
(
)
dxxaxS
∫
−
22
,
đặt
π
≤≤= ttax 0cos.
(
)
dxxaxS
∫
+
22
,
đặt
22
tan.
ππ
<<−= ttax
(

)
dxaxxS
∫
−
22
,
đặt
π
π
kt
t
a
x +≠=
2cos
(
)
dxcbxaxxS
∫
++
2
,
đặt
( )






>±±=++

=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫








+
+
m
dcx
bax
xS ,
đặt
0; ≠−
+

+
= cbad
dcx
bax
t
m

Tính :
( )
∫
++
=
3
2
74xx
dx
I
Bài làm :
( ) ( )
∫∫
+=
+
=
++
2
3
2
3
2
374

xt
t
dt
xx
dx
Đặt :
( )
duudtut 1tan3tan3
2
+=⇒=
Ta có
( )
( )
∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos
3
1

1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu +
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
1
3
1
sin
3
1
22
Trang 16
Tính : a)
∫
++
=

1
2
xx
xdx
I
b)
∫
−−
=
12
2
xxx
dx
I
Bài làm :
a)
∫∫∫
+
=
+
−
=
+






+

=
++
3
12
222
1
13
2
1
4
3
2
1
1
x
t
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx
(
)
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I

x
t
+






+++++−++=
+++−+=
+
−
=
∫
+
=
1
2
1
ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3

1
13
2
1
22
22
3
12
2
b)Đặt :
2
1
t
dt
dx
t
x −=⇒=
( )
C
t
t
dt
xxx
dx
I
t
x
+
+
−=

+−
−=
−−
=
∫∫
=
2
1
arcsin
12
12
1
22
C
x
C
x
+
+
−=+
+
−=
2
1
arcsin
2
1
1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau

a)
∫
+++
=
3
11 xx
dx
I
b)
∫
+++
=
11 xx
dx
I

Bài làm :
a)Đặt :
dxdttxtxt =⇒+=⇒+=
56
6
611
Vậy :
∫∫∫
+=+=







+
−+−=
+
=
+++
=
66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx
I
Cxxxx
Ctttt
+++−+++−+=

++−+−=
11ln6161312
1ln6632
663
23
b)
∫ ∫∫∫
+
−








+=
+−+
=
+++
=
−
dx
x
x
dxxdx
x
xx
xx

dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1
( )
1
1
2
1
2
1
dx
x
x
xx
∫
+
−+=
Xét
dx
x

x
∫
+1
Đặt :
( )
dt
t
t
dx
t
x
x
x
t
2
2
2
1
2
1
11
−
−=⇒
−
=⇒
+
=
Trang 17
Vậy :
( )

OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
=
−
−=
+
∫∫
+
=
1
2
2
1
2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a)
∫
+= dxxxI 9.
22
b)
∫
+= dxxxI 4.16

22

Bài làm :
a)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
9
2
9
9
+
=⇒
−
=⇒−=+
Vậy :
( ) ( )
( )
(
)
C
xx

xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+








+−

−+−−
+−
−=
+








−−−=






+−−=
−
−=
−









−−








+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2

2
1
94
6561
9ln162
4
9
16
1
4
6561
ln162
416
16561162
16
1
81
16
1
4
9
.
2
9
.
2
9
b)Đặt :
dt
t

t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4
+
=⇒
−
=⇒−=+
( ) ( )
( )
(
)
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt

t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+








+−
−+−+
+−
−=
+









−−−=






+−−=
−
−=
−








−−









+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2
2
4
64
4ln36
4
4

64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
Tính các tích phân sau :
a)
∫
−=
1
2
1
2
1
dxxxI
b)
∫
−
−
−
=

8
3
2
1
dx
xx
dx
I

Bài làm :
( )
∫∫
−−=−=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
121
2
1
dxxdxxxI
Trang 18
Đặt :
tdtdxtx cos
2

1
sin12 =⇒=−
Đổi cận :







=→=
=→=
2
1
0
2
1
π
tx
tx
Vậy :
( )
2
0
2
0
2
0
2
1

2sin
2
1
1
8
1
2cos1
8
1
cos
4
1
π
ππ






+=+==
∫∫
tdtttdtI
b) Đặt :
dxtdtxt =−⇒−= 21
Đổi cận :



=→−=

=→−=
38
23
tx
tx
Vậy :
( )
∫∫∫
−
=
−
=
−
=
−
−
3
2
2
3
2
2
8
3
2
1
2
1
2
1

t
dt
tt
tdt
dx
xx
dx
I
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
+
=
1
2
1
xx
dx
I
b)
dxxxI
∫
−=
2
2
4
c)
( )
∫
+

=
3
2
3
4x
dx
I
d)
∫
+= dxxI
2
4
1
d)
∫
−−
−+
=
∗
dx
x
x
I
11
11
2
2
5
d)
dx

x
I
11
1
2
6
++
=
∗

Bất đẳng thức tích phân :
Nếu
( )
[ ]
( )
0,0 ≥⇒∈∀≥
∫
dxxfbaxxf
b
a
Nếu
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
dxxgdxxfbaxxgxf
b
a
b
a
∫∫

≥⇒∈∀≥ ,
Nếu
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
abMdxxfabmbaxxfm
b
a
−≤≤−⇒∈∀≤≤
∫
,
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Trang 19
( )
16
000
28
1
ππ
=






+−







−=
2ln1ln
2
1
ln
1
1
ln
3
2
=






−−=
+
−
−=
t
t
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)

( )
∫
≤−
1
0
4
1
1 dxxx
b)
2
1
15
2
2
1
2
≤
+
≤
∫
dx
x
x
c)
( )
∫
≤−++
1
0
211 dxxx

Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
( )
( )
[ ]
1,0
4
1
2
1
1
2
∈∀=






−+
≤− x
xx
xx
Vậy :
( )
4
1
4
1
1

1
0
1
0
=≤−
∫ ∫
dxdxxx
(đpcm)
b) Xét hàm số :
( )
[ ]
2,1
1
2
∈∀
+
= x
x
x
xf
Đạo hàm :
( )
( )
( )



−=
=
⇔=

′
+
−
=
′
1
1
0
1
1
2
2
2
x
x
xf
x
x
xf
Ta có :
( )
( )







=

=
5
2
2
2
1
1
f
f
Vậy :
[ ]
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2

1
2
2
1
2
≤
+
≤⇒
≤
+
≤⇒
∈∀≤
+
≤
∫
∫∫∫
dx
x
x
dxdx
x
x
dx
x
x
x
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
[ ]
1,02111111
22

∈∀=−+++≤−++ xxxxx
Vậy :
( )
( )
01211
1
0
−≤−++
∫
dxxx

( )
∫
≤−++
1
0
211 dxxx
(đpcm)
Chứng minh rằng :
e
dx
x
xe
x
121
sin.
3
1
2
π

<
+
∫
−
Trang 20
Bài làm :
[ ]
e
exx
x
1
13,1 ≤⇒−≤−⇒∈∀
−

( )
∫∫
+
<
+
⇒
−
3
1
2
3
1
2
1
1
1

sin.
dx
xe
dx
x
xe
x
Xét
( )
∫
+
3
1
2
1
1
dx
xe
Đặt :
( )
dttdxtx 1tantan
2
+=⇒=
Đổi cận :








=→=
=→=
3
3
4
1
π
π
tx
tx
Do đó :
( )
( )
12
1tan
1tan
3
4
3
4
2
2
π
π
π
π
π
==
+

+
∫∫
e
dt
te
dtt

Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
10
cos35
16
2
0
2
ππ
π
≤
+
≤
∫
x
dx
b)
2
1sin
4
3

3
6
<<
∫
π
π
dx
x
x
c)
8
2
4
6
3
6
32
ππ
π
π
≤
−−
≤
∫
xx
dx

d
*
) Cho 2 hàm số liên tục :

[ ] [ ] [ ] [ ]
1,01,0:;1,01,0: →→ gf
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫
≤






1
0
1
0
2
1
0
dxxgdxxfdxxgxf
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số
( ) ( )
xfxf &
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường là :

( ) ( )



=
=



=
=
xgy
bx
xfy
ax
;
Được tính như sau :
( ) ( )
∫
−=
b
a
dxxgxfS
2)Tính thể tích :
Trang 21
( )
1
1
1
sin.

22
+
<
+
⇒
−
xex
xe
x
Nếu diện tích
( )
xS
của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là
hàm số liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
thì thể tích vật thể được tính :
( )
dxxfV
b
a
∫
=
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
ba,
và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( )





=
==
Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
( )
[ ]
dxxfV
b
a
∫
=
2
π
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
( ) ( )
dxxfxf
b
a
n
i
ii

n
∫
∑
=∆
=
∞→
1
.lim
ξ
trong đó



−=∆
≤≤
−
−
1
1
iix
ii
xx
xx
ξ
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng :
∑
=







=
n
i
n
n
i
f
n
S
1
1
sau đó lập phân hoạch đều trên
[ ]
1,0
, chọn
n
i
x
ii
==
ξ
ta có
( )
∫
∑
=







=
∞→
1
0
1
1
lim dxxf
n
i
f
n
n
i
n
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh
( )
xfy =
thì độ dài đường cung nó được tính
như sau :
( )
dxyl
b
a

∫
′
+=
2
1
với
ba,
là hoành độ các điểm đầu cung .
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối
cùng là tính tích phân .

Hình1a hình1b
Trang 22

hình1c hình1d
BÀI TẬP
Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường tròn có dạng :

22222
xRyRyx −±=⇔=+
Do tính đối xứng của đồ thị nên :
dxxRS
R
∫
−=
0
22

4
Đặt :
tdtRdxtRx cossin =⇒=
Đổi cận :





=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx





=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
Vậy :
( )

( )
dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2sin
2
1
2
2cos12cossin4
π
π
ππ
=






+=
+=−=

∫∫
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol
2
xy =
, phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.
( )
41 +−= xky
Phương trình hoành độ giao điểm .

( )
0441
22
=−+−⇔+−= kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử
21
xx <
Trang 23
Vậy diện tích là :
( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
*4
2
1

3
1
4
23
41
12
2
121
2
212
2
3
2
2
1
2
1






−+++++−−=







−++−=−+−=
∫
kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x
Với :
( )
( )
( )







−−=−+=−
−=
=+
44.4
4.
2
12
2
1

2
2
2
2
12
12
12
kkxxxxxx
kxx
kxx
Thế vào
( )
*
ta được :
( )
( )
( )
164164
6
1
4
2
1
44
3
1
164
22
222
+−+−=







−+++−−+−=
kkkk
kkkkkkS
( )
( )
[ ]
34122
6
1
164
6
1
3
2
3
2
≥+−=+−= kkk
Vậy :
34min =S
khi
2
=
k
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :






=
=
2
2
xay
yax
Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét
0>a
Xét :
( )( )





>
=
=++−
⇔






>
=
=
0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
xay
yax
Với
yx =
ta được :
( )
( )



=
=
⇔






>
=
=
lx
nax
a
xay
yx
0
0
2
Với
0=++ ayx
ta được :
( )
( )



=
=
⇔





>
=
=++

⇔





>
=
=++
lx
nax
a
xay
aaxx
a
xay
ayx
0
0
0
0
0
2
22
2
Ta lại có :
Trang 24








>
=
±=
⇔





>
=
=
0
0
2
2
2
a
a
x
y
axy
a
xay
yax
Vậy diện tích cần tính là :

( )
dvtta
a
x
xa
dx
a
x
xadx
a
x
axS
a
aa
2
0
3
2
3
0
2
2
1
0
2
3
1
32
3
=







−=






−=






−=
∫∫
Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a)






=
=−+
=+−
2
01
01
3
x
yx
yx
b)





=
=
=
4
4
2
y
xy
xy
c)
0
0
2






=
=−+
=
y
yx
yx
d)





≠
=+
0,
1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x

Hình vẽ tương ứng ↓↓↓

hình a hình b

hình c hình d
Trang 25