ĐỀ tài CHUYÊN đề kỹ THUẬT QUY HOẠCH ĐỘNG

Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
MẪU CHẤM NIÊN LUẬN
TÊN ĐỀ TÀI: CHUYÊN ĐỀ KỸ THUẬT QUY HOẠCH ĐỘNG
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: Th.s Trần Quốc Nghĩa
SINH VIÊN THỰC HIỆN: Châu Đình Phong
I .)HÌNH THỨC: (tối đa 1,0 điểm)
Bìa: (tối đa 0,5 điểm)
Các tiêu đề:
Loại đồ án, Tên đề tài, Giáo viên hướng dẫn, Thông tin về sinh viên thực
hiện, Năm thực hiện
Bố cục: (tối đa 0,5 điểm)
Trang nhận xét của GVHD và GV chấm. Mục lục: (cấu trúc chương, Mục,
Tiểu mục.), Phụ lục: (nếu có), Tài liệu tam khảo.
II .)NỘI DUNG: (tối đa 4,5 điểm)
II.1 Giới thiệu (tối đa 0,5 điểm)
Giới thiệu tổng quan
Mục tiêu cần đạt:
II.2 Lý thuyết: (tối đa 1,0 điểm)
Các khái niệm sử dụng trong đề tài:
Kết quả vận dụng lý thuyết vào đề tài:
II.3 Ứng dụng: (tối đa 2,5 điểm)
Kết quả/Lưu đồ
Giới thiệu chương trình:
II. 4 Kết luận: (tối đa 0,5 điểm)
Nhận xét kết quả đạt được:
Hạn chế
Hướng phát triển:
III .) CHƯƠNG TRÌNH DEMO: (tối đa 3,5 điểm)
Giao diện:
Hướng dẫn sử dụng:

SVTH: Châu Đình Phong Trang 1
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
Kết quả thực hiện đúng với kết quả của phần ứng dụng
IV.) THƯỞNG: (tối đa 1,0 điểm)
TỔNG CỘNG:
Bạc Liêu, ngày tháng năm 2010
GV CHẤM
SVTH: Châu Đình Phong Trang 2
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN


Trong quá trình học tập, chúng ta gặp rất nhiều các bài tập về Toán-
Tin. Các bài tập dạng này rất phong phú và đa dạng. Thực tế chưa có thuật
SVTH: Châu Đình Phong Trang 3
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
toán hoàn chỉnh có thể áp dụng cho mọi bài toán. Tuy nhiên người ta đã tìm
ra một số thuật toán chung như chia để trị, tham ăn, quay lui, Các thuật
toán này có thể áp dụng để giải một lớp khá rộng các bài toán hay gặp trong
thực tế. Trong bài viết này, tôi muốn đề cập với các bạn một thuật toán
khác, đó là thuật toán quy hoạch động. Tư tưởng cơ bản của thuật toán là:
Để giải một bài toán ta chia bài toán đó thành các bài toán nhỏ hơn có
thể giải một cách dễ dàng. Sau đó kết hợp lời giải các bài toán con, ta có
được lời giải bài toán ban đầu. Trong quá trình giải các bài toán con đôi khi
ta gặp rất nhiều kết quả trùng lặp của các bài toán con. Để tăng tính hiệu
quả, thay vì phải tính lại các kết quả đó, ta lưu chúng vào một bảng. Khi cần
lời giải của một bài toán con nào đó ta chỉ cần tim trong bảng, không cần
tính lại.
Tư tưởng của thuật toán quy hoạch động khá đơn giản. Tuy nhiên khi
áp dụng thuật toán vào trường hợp cụ thể lại không dễ dàng (điều này cũng
tương tự như nguyên tắc Dirichlet trong toán vậy). Khi giải bài toán bằng
phương pháp này, chúng ta phải thực hiện hai yêu cầu quan trọng sau:
- Tìm công thức truy hồi xác định nghiệm bài toán qua nghiệm các bài
toán con nhỏ hơn.
- Với mỗi bài toán cụ thể, ta đề ra phương án lưu trữ nghiệm một cách
hợp lý để từ đó có thể truy cập một cách thuận tiện nhất.

Giải toán bằng phương pháp qui hoạch động
1. Phương pháp quy hoạch động
Phương pháp quy hoạch động cùng nguyên lý tối ưu được nhà toán học
Mỹ R.Bellman đề xuất vào những năm 50 của thế kỷ 20. Phương pháp này đã
được áp dụng để giải hàng loạt bài toán thực tế trong các quá trình kỹ thuật cộng
SVTH: Châu Đình Phong Trang 4
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
nghệ, tổ chức sản xuất, kế hoạch hoá kinh tế… Tuy nhiên cần lưu ý rằng có một
số bài toán mà cách giải bằng quy hoạch động tỏ ra không thích hợp.
Trong thực tế, ta thường gặp một số bài toán tối ưu loại sau: Có một đại
lượng f hình thành trong một quá trình gồm nhiều giai đoạn và ta chỉ quan tâm
đến kết quả cuối cùng là giá trị của f phải lớn nhất hoặc nhỏ nhất, ta gọi chung là
giá trị tối ưu của f. Giá trị của f phụ thuộc vào những đại lượng xuất hiện trong
bài toán mà mỗi bộ giá trị của chúng được gọi là một trạng thái của hệ thống và
phụ thuộc vào cách thức đạt được giá trị f trong từng giai đoạn mà mỗi cách tổ
chức được gọi là một điều khiển. Đại lượng f thường được gọi là hàm mục tiêu và
quá trình đạt được giá trị tối ưu của f được gọi là quá trình điều khiển tối ưu.
Bellman phát biểu nguyên lý tối ưu (cũng gọi là nguyên lý Bellman) mà ý
tưởng cơ bản là như sau: “Với mỗi quá trình điều khiển tối ưu, đối với trạng thái
bắt đầu A
0
, với trạng thái A trong quá trình đó, phần quá trình kể từ trạng thái A
xem như trạng thái bắt đầu cũng là tối ưu”.
Chú ý rằng nguyên lý này được thừa nhận mà không chứng minh.
Phương pháp tìm điều khiển tối ưu theo nguyên lý Bellman thường được
gọi là quy hoạch động. Thuật ngữ này nói lên thực chất của quá trình điều khiển
là động: có thể trong một số bước đầu tiên lựa chọn điều khiển tối ưu dường như
không tốt nhưng tựu chung cả quá trình lại là tốt nhất.
Ta có thể giải thích ý này qua bài toán sau: Cho một dãy N số nguyên A

1
,
A
2
,…,A
N
. Hãy tìm cách xoá đi một số ít nhất số hạng để dãy còn lại là đơn điệu
hay nói cách khác hãy chọn một số nhiều nhất các số hạng sao cho dãy B gồm
các số hạng đó theo trình tự xuất hiện trong dãy A là đơn điệu.
Quá trình chọn B được điều khiển qua N giai đoạn để đạt được mục tiêu là
số lượng số hạng của dãy B là nhiều nhất, điều khiển ở giai đoạn i thể hiện việc
chọn hay không chọn A
i
vào dãy B.
Giả sử dãy đã cho là 1 8 10 2 4 6 7. Nếu ta chọn lần lượt 1, 8, 10 thì chỉ
chọn được 3 số hạng nhưng nếu bỏ qua 8 và 10 thì ta chọn được 5 số hạng 1, 2,
4, 6, 7.
Khi giải một bài toán bằng cách “chia để trị” chuyển việc giải bài toán
kích thước lớn về việc giải nhiều bài toán cùng kiểu có kích thước nhỏ hơn thì
SVTH: Châu Đình Phong Trang 5
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
thuật toán này thường được thể hiện bằng các chương trình con đệ quy. Khi đó,
trên thực tế, nhiều kết quả trung gian phải tính nhiều lần.
Vậy ý tưởng cơ bản của quy hoạch động thật đơn giản: tránh tính toán lại
mọi thứ hai lần, mà lưu giữ kết quả đã tìm kiếm được vào một bảng làm giả thiết
cho việc tìm kiếm những kết quả của trường hợp sau. Chúng ta sẽ làm đầy dần
giá trị của bảng này bởi các kết quả của những trường hợp trước đã được giải.
Kết quả cuối cùng chính là kết quả của bài toán cần giải. Nói cách khác phương
pháp quy hoạch động đã thể hiện sức mạnh của nguyên lý chia để trị đến cao độ.

Quy hoạch động là kỹ thuật thiết kế bottom-up (từ dưới lên). Nó được bắt
đầu với những trường hợp con nhỏ nhất (thường là đơn giải nhất và giải được
ngay). Bằng cách tổ hợp các kết quả đã có (không phải tính lại) của các trường
hợp con, sẽ đạt đạt tới kết quả của trường hợp có kích thước lớn dần lên và tổng
quát hơn, cho đến khi cuối cùng đạt tới lời giải của trường hợp tổng quát nhất.
Trong một số trường hợp, khi giải một bài toán A, trước hết ta tìm họ bài
toán A(p) phụ thuộc tham số p (có thể p là một véc tơ) mà A(p
0
)=A với p
0
là trạng
thái ban đầu của bài toán A. Sau đó tìm cách giải họ bài toán A(p) với tham số p
bằng cách áp dụng nguyên lý tối ưu của Bellman. Cuối cùng cho p=p
0
sẽ nhận
được kết quả của bài toán A ban đầu.
2. Các bước thực hiện quy hoạch động
Bước 1: Lập hệ thức
Dựa vào nguyên lý tối ưu tìm cách chia quá trình giải bài toán thành từng
giai đoạn, sau đó tìm hệ thức biểu diễn tương quan quyết định của bước đang xử
lý với các bước đã xử lý trước đó. Hoặc tìm cách phân rã bài toán thành các “bài
toán con” tương tự có kích thước nhỏ hơn, tìm hệ thức nêu quan hệ giữa kết quả
bài toán kích thước đã cho với kết quả của các “bài toán con” cùng kiểu có kích
thước nhỏ hơn của nó nhằm xây dựng phương trình truy toán (dạng hàm hoặc thủ
tục đệ quy).
Về một cách xây dựng phương trình truy toán:
Ta chia việc giải bài toán thành n giai đoạn. Mỗi giai đoạn i có trạng thái
ban đầu là t(i) và chịu tác động điều khiển d(i) sẽ biến thành trạng thái tiếp theo
t(i+1) của giai đoạn i+1 (i=1,2,…,n-1). Theo nguyên lý tối ưu của Bellman thì
việc tối ưu giai đoạn cuối cùng không làm ảnh hưởng đến kết quả toàn bài toán.

SVTH: Châu Đình Phong Trang 6
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
Với trạng thái ban đầu là t(n) sau khi làm giai đoạn n tốt nhất ta có trạng thái ban
đầu của giai đoạn n-1 là t(n-1) và tác động điều khiển của giai đoạn n-1 là d(n-1),
có thể tiếp tục xét đến giai đoạn n-1. Sau khi tối ưu giai đoạn n-1 ta lại có t(n-2)
và d(n-2) và lại có thể tối ưu giai đoạn n-2 … cho đến khi các giai đoạn từ n giảm
đến 1 được tối ưu thì coi như hoàn thành bài toán. Gọi giá trị tối ưu của bài toán
tính đến giai đoạn k là F
k
giá trị tối ưu của bài toán tính riêng ở giai đoạn k là G
k
thì
F
k
= F
k-1
+ G
k
Hay là:
Bước 2: Tổ chức dữ liệu và chương trình
Tổ chức dữ liệu sao cho đạt các yêu cầu sau:
• Dữ liệu được tính toán dần theo các bước.
• Dữ liệu được lưu trữ để giảm lượng tính toán lặp lại.
• Kích thước miền nhớ dành cho lưu trữ dữ liệu càng nhỏ càng tốt, kiểu dữ
liệu được chọn phù hợp, nên chọn đơn giản dễ truy cập.
Cụ thể
• Các giá trị của F
k
thường được lưu trữ trong một bảng (mảng một chiều

hoặc hai, ba, v.v… chiều).
• Cần lưu ý khởi trị các giá trị ban đầu của bảng cho thích hợp, đó là các kết
quả của các bài toán con có kích cỡ nhỏ nhất của bài toán đang giải:
• Dựa vào công thức, phương trình truy toán (*) và các giá trị đã có trong
bảng để tìm dần các giá trị còn lại của bảng.
• Ngoài ra còn cần mảng lưu trữ nghiệm tương ứng với các giá trị tối ưu
trong từng gian đoạn.
• Dựa vào bảng lưu trữ nghiệm và bảng giá trị tối ưu trong từng giai đoạn
đã xây dựng, tìm ra kết quả bài toán.
Bước 3: Làm tốt
Làm tốt thuật toán bằng cách thu gọn hệ thức (*) và giảm kích thước miền
nhớ. Thường tìm cách dùng mảng một chiều thay cho mảng hai chiều nếu giá trị
một dòng (hoặc cột) của mảng hai chiều chỉ phụ thuộc một dòng (hoặc cột) kề
trước.
SVTH: Châu Đình Phong Trang 7
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
Trong một số trường hợp có thể thay mảng hai chiều với các giá trị phần
tử chỉ nhận giá trị 0, 1 bởi mảng hai chiều mới bằng cách dùng kỹ thuật quản lý
bit.
3. Hạn chế của quy hoạch động
• Việc tìm công thức, phương trình truy toán hoặc tìm cách phân rã bài toán
nhiều khi đòi hỏi sự phân tích tổng hợp rất công phu,dễ sai sót, khó nhận
ra như thế nào là thích hợp, đòi hỏi nhiều thời gian suy nghĩ. Đồng thời
không phải lúc nào kết hợp lời giải của các bài toán con cũng cho kết quả
của bài toán lớn hơn.
• Khi bảng lưu trữ đòi hỏi mảng hai, ba chiều … thì khó có thể xử lý dữ liệu
với kích cỡ mỗi chiều lớn hàng trăm.
• Có những bài toán không thể giải được bằng quy hoạch động.
SVTH: Châu Đình Phong Trang 8

Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
Các bài toán về quy hoach động
Một số bài toán đơn giản:
Bài toán 1: Cho hai dãy số nguyên (a
1
,a
2
, ,a
m
), (b
1
,b
2
, ,b
n
). Tìm dãy con chung
có độ dài lớn nhất của hai dãy trên (coi dãy không có số nguyên nào là dãy con
của mọi dãy và có độ dài bằng 0).
Lời giải
Chúng ta có thể thấy ngay rằng độ phức tạp của bài toán trên phụ thuộc
vào hai số m, n. Xét hai trường hợp:
+Trường hợp1:; m=0 hoặc n=0.
Đây là trường hợp đặc biệt, có duy nhất một dãy con chung của hai dãy có
độ dài bằng 0. Vì vậy dãy con chung có độ dài lớn nhất của chúng có độ dài
bằng 0.
+Trường hợp 2: m# 0 và n # 0.
Trong trường hợp này, ta xét các bài toán nhỏ hơn là tìm dãy con chung
có độ dài lớn nhất của hai dãy (a
1

,a
2
, ,a
i
), (b
1
,b
2
, ,b
j
) với 0 <= i <= m, 0 <= j <=
n. Gọi [i,j] là độ dài của dãy con chung lớn nhất của hai dãy (a
1
, ,a
i
), (b
1
, ,b
j
). ;
Như vậy ta phải tính tất cả các l[i,j] trong đó 0<=i<=m, 0<=j<=n.
Chúng ta có thể thấy ngay rằng l[0,0]=0. Giả sử ta tính được l[s,t] với 1
- Nếu ii # bj thì l[i,j]=max{l[i-1,j], l[i,j-1]}.
- Nếu ii=bj thì l[i,j]= 1+l[i-1,j-1].
Với những nhận xét trên, ta hoàn toàn tính được l[m,n] chính là độ dài dãy
con chung dài nhất của (a1, am), (b1, bn).
Để tìm phần tử của dãy con, ta xuất phát từ ô l[m,n] tới ô l[0,0]. Giả sử ta
đang ở ô l[i,j]. Nếu ai=bj thì ta thêm ai vào dãy con rồi nhảy tới ô l[i-1,j-1]. Nếu
aibj thì l[i,j]=l[i-1,j] hoặc l[i,j]=l[i,j-1]. Nếu l[i,j]=l[i-1,j] thì nhảy tới ô l[i-1,j],
ngược lại thì nhảy tới ô l[i,j-1].

SVTH: Châu Đình Phong Trang 9
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
Sau đây là lời giải của bài toán. Chương trình được viết bằng ngôn ngữ Pascal:
uses crt;
const
fi='b2.inp';
var
a:array[1 10] of integer;
b:array[1 10] of integer;
kq:array[0 10,0 10] of integer;
i,j,maxa,maxb:integer;
f:text;
procedure init;
begin
assign(f,fi);
reset(f);
i:=0;
while not(eoln(f)) do
begin
inc(i);
read(f,a[i]);
end;
maxa:=i;
readln(f);
i:=0;
while not(eoln(f)) do
begin
inc(i);
read(f,b[i]);

end;
maxb:=i;
close(f);
end;

SVTH: Châu Đình Phong Trang 10
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
function max(a,b:integer):integer;
begin
if a>b then max:=a
else max:=b;
end;
begin
init;
kq[0,0]:=0;
for i:=1 to maxa do
for j:=1 to maxb do
if a[i]<>b[j] then kq[i,j]:=max(kq[i-1,j],kq[i,j-1])
else kq[i,j]:=kq[i-1,j-1]+1;
writeln('Do dai day con chung lon nhat:',kq[maxa,maxb]);
i:=maxa;
j:=maxb;
while (i>0)or(j>0) do
if a[i]=b[j] then
begin
write(a[i]);
dec(i);
dec(j);
end

else
if kq[i-1,j]=kq[i,j] then dec(i)
else dec(j);
end.
Với nội dung file ‘b2.inp’ chứa 2 dãy (a1,a2, am) ,(b1,b2, bn) sau:
1 2 3 2 3 4 6
6 9 8 7
Xét bài toán kinh điển về tối ưu tổ hợp:
SVTH: Châu Đình Phong Trang 11
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
Bài toán 2: Cho cái túi chứa được trọng lượng tối đa là w. Có n đồ vật, đồ vật
thứ i có khối lượng a[i] và giá trị c[i], 1<= i <=n. Tìm cách xếp đồ vật vào túi
sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Gọi f(k,v) là giá trị lớn nhất của túi đựng trọng lượng v và chỉ chứa các đồ
vật từ 1 đến k.
Nếu k=1 thì f(k,v)=(v div a[1])*c[1]. Giả sử tính được f(s,t) với 1<S< tinh
Can 1<t
Đặt: tg=v div a[k], f(k,v)=max{f(k-1,u)+x*c[k]} (*) ,với x=0,1,2, ,tg,
u=v-x*a[k]
Giá trị lớn nhất là f(n,w). Ta dùng mảng bản ghi a[1 n,1 w] chứa kết quả
trung gian. Mỗi bản ghi a[k,v] chứa giá trị f(k,v) và giá trị x thoả mãn công thức
(*).
Để xác định số lượng x[i] đồ vật i thoả mãn điều kiện tối ưu, ta xuất phát
từ a[n,w] xác định được x[n]. Nhảy tới a[n-1,w-x[n]*a[n]] xác định được x[n-1].
Cứ như vậy tới x[1].
uses crt;
const
n=5;

w=17;
fi='b3.inp';
type
kq=record
num,val:integer;
end;
var
a:array[1 10] of integer; {khoi luong}
c:array[1 10] of integer; {Gia tri}
i,j,tg,k,max,save:integer;
f:text;
b:array[1 n,1 w] of kq;
procedure init;
SVTH: Châu Đình Phong Trang 12
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
begin
assign(f,fi);
reset(f);
for i:=1 to n do
begin
read(f,a[i],c[i]);
end;
close(f);
end;
begin
init;
for j:=1 to w do
for i:=1 to n do
begin

tg:=j div a[i];
max:=0;
for k:=0 to tg do
if (b[i-1,j-k*a[i]].val+k*c[i])>max then
begin
max:=b[i-1,j-k*a[i]].val+k*c[i];
save:=k;
end;
b[i,j].val:=max;
b[i,j].num:=save;
end;
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to w do write(b[i,j].val:3);
writeln;
end;
writeln('Max:',b[n,w].val);
i:=n;
SVTH: Châu Đình Phong Trang 13
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
j:=w;
while i>=1 do
begin
if b[i,j].num>0 then writeln('Co ',b[i,j].num,' do vat ',i);
j:=j-a[i]*b[i,j].num;
dec(i);
end;
readln;
end.

Với nội dung file ‘b3.inp’ :hàng i chứa khối lượng a[i], giá trị c[i]:
3 4
4 5
7 10
8 11
9 13
Bài toán 3: Trò chơi Tán thủ
Giả sử có hai tán thủ A, B cần đấu trực diện với nhau, qui định chung là
người thắng trước n ván sẽ là người thắng cuộc. Trên thực tế thường giá trị n = 4.
Giả sử hai tán thủ A, B là mạnh ngang nhau và do đó sác xuất thắng, thua trong
mỗi ván là 50/50. Giả sử P(i,j) là sác xuất sao cho A cần thắng thêm i ván nữa , B
cần thắng thêm j ván nữa thì A sẽ chắc chắn thắng chung cuộc. Chúng ta cần tính
những giá trị P(i,j) này với i, j bất kỳ.
Lời giải
Nếu i=0, j>0, tức là A đã thắng rồi và do đó P(0,j)=1. Nếu i>0, j=0, tức là
B đã thắng và A đã thua rồi, do đó P(i,0)=0. Với i, j > 0 ta có nhận xét sau: sác
xuất để A thắng chung cuộc dựa vào ván tiếp theo A thắng hay thua. Nếu ván
tiếp theo A thắng, khi đó sác xuất để A thắng sẽ là P(i-1,j), còn nếu A thua ở ván
tiếp theo thì sác xuất để A vẫn thắng chung cuộc sẽ là P(i,j-1). Vì ván tiếp theo
khả năng A thắng thua là 50/50 nên ta có công thức P(i,j) = (P(i-1,j)+P(i,j-1))/2.
SVTH: Châu Đình Phong Trang 14
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
Tóm lại ta có công thức truy hồi sau để tính P(i,j).
Từ công thức (4) với i+j=n ta dễ dàng tính được công thức truy hồi của độ
phức tạp tính toán T(n) như sau:
T(1) = C(C-const)
T(n) = 2T(n-1) + D (D-const)
(5) Ta tính được T(n) = O(2
n

). Như vậy việc tính toán các hệ số P(i,j) sẽ có độ
phức tạp tăng theo số mũ của n nếu tính toán bằng kỹ thuật đệ qui và đây là một
kết quả rất lớn. Tuy nhiên công thức trên chỉ cho ta giới hạn trên của tính toán,
để hiểu rõ hơn sự″tồi tệ″ thực sự của việc sử dụng đệ qui tính toán theo công
thức(4) chúng ta sẽ thử tính toán giới hạn dưới của công việc tính toán này. (Giới
hạn dưới của độ phức tạp được ký hiệu là big-omega: W).
Để tính được giá trị này chúng ta sẽ tính số lần gọi hàm P khi thực hiện đệ
qui cách tính P(i,j) theo công thức (4). Công thức (4) với i+j=n nếu xem xét kỹ sẽ
gợi ý cho chúng ta về một đẳng thức tương tự của hệ số tổ hợp là
(tổ hợp chập i từ n phần tử, số cách chọn ra i phần tử từ tập hợp ban đầu n phần
tử). Từ nhận xét trên dễ dàng suy ra rằng số lần gọi hàm P trong lời gọi P(i,j) sẽ ít
nhất là .
Với i=j=n/2 dễ thấy giá trị này sẽ bằng
.
Vậy ta vừa chứng minh được
rằng cận dưới độ phức tạp tính toán P(i,j) là là một giá trị rất lớn (tuy có
nhỏ hơn 2
n
) và hầu như không thể áp dụng tính toán trên thực tế.
Cách tính P(i,j) tốt nhất là vừa tính vừa điền số vào bảng như mô tả trong hình 3
SVTH: Châu Đình Phong Trang 15
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
dưới đây.
Bảng hệ số P(i,j) được điền tuần tự như sau: Trước tiên để ý rằng hàng dưới cùng
của bảng là toàn 0 và hàng đầu tiên bên phải sẽ là toàn 1. Xuất phát từ góc phải
dưới chúng ta lần lượt điền số vào bảng theo hướng Tây-Bắc dọc theo đường
chéo ngược với i+j không thay đổi. Thuật toán điền số P(i,j) vào bảng được mô tả
như sau:
Function Ođs(i,j: integer):real;

(7)
var s,k:integer;
Begin
for s:=1 to i+j do
begin P[0,s]:=1;
P[s,0]:=0;
for k:=1 to s-1 do
P[k,s-k]:=(P[k-1,s-k]+P[k,s-k-1])/2;
end;
Ođs:=(P[i,j]);
End; {Ođs}
Ta hãy thử phân tích thuật toán trên. Vòng lặp bên trong là O(s) thời gian, hai
lệnh gán 0 và 1 chỉ là O(1) thời gian, như vậy tổng số thời gian tính từ vòng lặp
SVTH: Châu Đình Phong Trang 16
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
ngoài sẽ là với n=i+j. Chắc các bạn đã thấy sự kỳ diệu của
phương pháp điền bảng số so sánh với việc gọi đệ qui, và đó là tư tưởng của
thuật toán qui hoạch động.
SVTH: Châu Đình Phong Trang 17
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
Một số bài toán nâng cao:
1. Bài toán cái túi.
Trong siêu thị có n gói hàng (n ≤ 100) gói hàng thứ i co trọng lượng là W[i]≤100
và trị giá V[i] ≤ 100. Một tên trộm đột nhập vào siêu thị, tên trộm mang theo một
cái túi có thể mang được tối đa trọng lượng M ( M ≤100 ). Hỏi tên trộm sẽ lấy đi
những gói hàng nào để được tổng giá trị lớn nhất.
Input:five văn bản BAG.INP
• Dòng 1:Chứa hai số n, M cách nhau ít nhất một dấu cách

• n dòng tiếp theo, dòng thứ I chứa hai số nguyên dương W[i], V[i] cách
nhau ít nhất một dấu cách
Output: five văn bản BAG.OUT
• Dòng 1: Ghi giá trị lớn nhất tên trộm có thể lấy
• Dòng 2: Ghi chỉ số những gói bị lấy
Cách giải:
Nếu gọi F[i,j] là giá trị lớn nhất có thể có bằng cách chọn các gói {1,2,…., i} với
giới hạn trọng lượng j. Thì giá trị lớn nhất khi được chọn trong số n gói với giới
hạn trọng lượng M chính là F[n,M].
Công thức truy hồi tính F[i,j].
Với giới hạn trọng lượng j, việc chọn tối ưu trong số các gói {1,2,…,i-1,i} để có
giá trị lớn nhất sẽ có hai khả năng:
• Nếu không chọn gói thứ i thì F[i,j] là giá trị lớn nhất có thể bằng cách
chọn trong số các gói {1,2,…,i-1} với giới hạn trọng lượng là j. Tức là
F[i,j] = F[i-1,j]
• Nếu có chọn gói thứ i (tất nhiên chỉ xét tới trường hợp này khi mà W[i] ≤
j) thì F[i,j] bằng giá trị gói thứ i là V[i] cộng với giá trị lớn nhất có thể có
SVTH: Châu Đình Phong Trang 18
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
được bằng cách chọn trong số các gói {1,2,…,i-1} với giới hạn trọng
lượng j-W[i]. Tức là về mặt giá trị thu được:
F[i,j]=V[i] + F[i-1,j-W[i]]
Vì theo cách xây dựng F[i,j] là giá trị lớn nhất có thể, nên F[i,j] sẽ là max
trong 2 giá trị thu được ở trên.
Cơ sở quy hoạch động:
Dễ thấy F[0,j]= giá trị lớn nhất có thể bằng cách chọn trong số 0 gói= 0.
Tính bảng phương án:
Bảng phương án F gồm n + 1 dòng, M + 1 cột, trứơc tiên được điền cơ sở quy
hoạch động:

Dòng 0 gồm toàn số 0. Sử dụng công thức truy hồi, dùng dòng 0 tính dòng 1,
dùng dòng 1 tính dòng 2,v.v… đến khi tính hết dòng n.
Truy vết:
Tính song bảng phương án thì ta quan tâm đến F[n,M] đó chính là giá trị lớn
nhất thu được khi chọn trong cả n gói với giới hạn trọng lượng M. Nếu
F[n,M]=F[n -1,M] thì tức là không chọn gói thứ n, ta truy tiếp F[n-1,M]. Còn
nếu F[n,M] = F[n-1,M] thì ta thông báo rằng phép chọn tối ưu có chọn gói thứ
n và truy tiếp F[n-1,M-W[n]]. Cứ tiếp tục cho tới khi truy lên tới hàng 0 của
bảng phương án.
SVTH: Châu Đình Phong Trang 19
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
P 3 03 5.PAS * Bài toán cái túi
program The_Bag;
const
inputfile = ‘BAG.INP’;
outputfile = ‘BAG.OUT’;
max = 100;
var
W, V:array[1 max] of integer;
F: array[0 max, 0 max] of integer;
n, M: integer;
procedure enter;
var
i: integer;
fi: text;
begin
assign(fi, inputfile); reset(fi);
readln(fi, n, M) ;
for i :=1 to n do readln (fi, W[i], V[i]) ;

close(fi) ;
end;
procedure optimize; {Tính bảng phương án bằng công thức truy hồi}
var
i, j: integer;
begin
fillchar(F[0], sizeof (F[0], 0); {Điền cơ sở quy hoạch động}
for i :=1 to n do
for j :=0 to M do
begin {Tính F[i, j]}
F[i, j] := F[i-1,j];
if (j >= W[i]) and (F[i,j] <F[i-1, j-W[i]] + V[i]) then
SVTH: Châu Đình Phong Trang 20
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
F[i,j] := F[i -1, j – W[i]] + V[i];
end;
end;
procedure trance; {Truy vết tìm nghiệm tối ưu}
var
fo: text;
begin
assign (fo, outputfile) ; rewrite(fo);
writeln (fo, F[n, M] ; {In ra giá trị lớn nhất có thể kiếm được}
while n <> 0 do {Truy vết trên mảng phương án từ hàng n lên
hàng 0}

begin
if F[n,M] <> F[n – 1,M] then

begin
write (fo, n, ‘ ‘);
M := M- W[n];
end;
dec (n);
end;
close(fo);
end;
begin
enter;
optimize;
trace;
end;
SVTH: Châu Đình Phong Trang 21
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
2. Dãy con có tổng chia hết co K
Cho một dẫy A gồm n ( 1≤ n ≤1000) số nguyên dương a[1 n] và số nguyên
dương k (k ≤ 1000). Hãy tìm dãy con gồm nhiều phần tử nhất của dãy đả cho
sao cho tổng các phần tử của dãy con này chia hết cho k.
Input: file văn bản SUBSEQ.INP
• Dòng 1: Chứa số n
• Dòng 2: Chứa n số a[1],a[2],…,a[n] cách nhau ít nhất một dấu cách
Output: file văn bản SUBSEQ.OUT
• Dòng 1: Ghi độ dài của dãy con tìm được.
• Các dòng tiếp : Ghi các phần tử được chọn vào dãy con.
• Dòng cuối : Ghi tổng các phần tử của dãy con đó.
SUBSEQ.INP
10 5
1 6 11 5 10 15 20 2 4

9
SUBSEQ.OUT
8
a[10] = 9
a[9] = 4
a[7] = 20
a[6] = 15
a[5] = 10
a[4] = 5
a[3] = 11
a[2] = 6
Sum = 80
Cách giải :
Không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng, ta có thể đặt: a[i] := a[i] mod k với
∀i:1≤ i ≤ n. Gọi S là tổng các phần tử của dãy A, thay đổi cách tiếp cận bài toán:
thay vì tìm xem phải chọn ra một tối đa những phần tử để có tông chia hết cho k,
ta chọn ra một số tối thiểu các phần tử có tổng dư với S theo mudul k. Khi đó chỉ
cần loại bỏ những phần tử này thì những phần tử còn lại sẽ là kết quả. Cách tiếp
SVTH: Châu Đình Phong Trang 22
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
cận này cho phép tiết kiệm được không gian lưu trữ bởi số phần tử tối thiểu cần
loại bỏ bao giờ cũng nhỏ hơn k.
Công thức truy hồi: Nếu ta goi f[i,t] là số phần tử tối thiểu phải chọn trong dãy
a[1 i] để có tổng chia k dư t. Nếu không có phương án chọn ta coi f[i,t] = +∞.
Khi đó f[i,t] được tính qua công thức truy hồi sau:
• Nếu trong dãy trên không phải chọn a[i] thì f[i,t] = f[i-1,t];
• Nếu trong dãy trên phải chọn a[i] thì f[i,t] = 1 + f[i -1,t- A[i]] (t – A[i] ở
đây hiểu là phép trừ trên các lớp đồng dư mod k. Ví dụ khi K = 7 thì
1-3=5)

Từ trên suy ra f[i,t] = min (f [i-1,t], 1+ f[i-1,t-A[i]])
Cơ sở quy hoạch động : f[0, 0] = 0; f[0,i] = +∞ (với ∀i:1≤ i < k).
P 3 03 5.PAS * Dãy con có tổng chia hết cho k
{SMODE DELPHI} (*This program uses 32-bit Integer [-2
31
2
31
-1]*)
Program SubSequence;
const
InputFile = ‘SUBEQ.INP’;
OutputFile= ‘SUBSEQ.OUT’;
maxN = 1000;
maxK = 1000;
var
a: array[1 maxN] of Integer;
f: array[0 maxN, 0 maxK – 1] of Integer;
n, k: Integer;
procedure Enter;
var
fi: text;
i: interger;
begin
assign (fi, inputfile); reset(fi);
SVTH: Châu Đình Phong Trang 23
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1
readln(fi,n,k);
for i:= 1 to n do read(fi, a[i]);
close(fi)

end;
function sub(x, y: integer): integer; {tính x-y (theo mod k)}
var
tmp: integer;
begin
tmp := (x-y) mod k;
if tmp>= 0 then sub := tmp
else dub := tmp + k;
end;
procedure optimize;
var
i,t: integer;
begin
F[0, 0] := 0;
For t := 1 to k -1 do f[0, t] :=maxk;
For i := 1 to n do
For t:= 0 to k -1 do {tính f[i,t] :=min(f[i -1, sub(t, a[i])] + 1}
If f[i -1,t] < f[i -1, sub (t, a[i])] + 1 then
F[i, t] := f[i-1, t]
Else
F[i, t] := f[i-1, sub(t,a[i])] + 1;
End;
Procedure result;
Var
Fo: text;
I, t: integer;
Sumall, sum: integer;
SVTH: Châu Đình Phong Trang 24
Khoa
CNTT Báo cáo Niên Luận 1

Begin
Sumall := 0;
For I := 1 to n do sumall + a[i];
Assign(fo, OutputFile); Rewrite(fo);
Writeln(fo, outputfile); rewrite(fo);
i := n; t := sumall mod k;
sum := 0;
for i := n downto 1 do
if f[i-1], t] then
begin
writeln(fo, ‘a[‘, i, ‘] =’, a[i]);
sum := sum + a[i];
end
else
t := sub(t, a[i]);
writeln(fo, ‘sum=’,sum);
close(fo);
end;
begin
enter;
optimize;
result;
end.

SVTH: Châu Đình Phong Trang 25