chuyen de do thi va ham so

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
Chuyên đề 4 : Hàm số và đồ thị

A.Lý thuyết :
I,Hàm số bậc nhất y = ax+ b (a

0)
1. Định nghĩa : Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax +b trong đó a, b
là các số cho trớc và a

0.
2. Tính chất : Hàm số y = ax +b đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0.
3. Đồ thị :
+ Đồ thị của hàm số y = ax +b (a

0) là một đờng thẳng đi qua gốc toạ độ O(0;0) và điểm
A(1; a).
+ Đồ thị của hàm số y = ax (a

0) là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax và cắt
trục tung tại điểm B(0; b), cắt trục hoành tại điểm A(
a
b

; 0).
4. Hệ số góc :
* a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b ( a

0).
* Gọi

là góc tạo bởi trục Ox và đờng thẳng y = ax + b ( a

0) , ta có:
+ a > 0



< 90
0
+ a < 0



> 90
0
5. Sự tơng giao giữa hai đờng thẳng :
Với hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax + b (d) trong đó a và a khác 0, ta có:
+ (d ) và (d) cắt nhau

a

a
+ (d ) và (d) song song với nhau

a = a; b

b
+ (d ) và (d) trùng nhau

a = a; b = b.

- 1 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
II,Hàm số bậc hai
2
axy =

)0( a
1. Tính chất : Hàm số bậc hai
2
axy =

)0( a
xác định với mọi
Rx

.
+ Với a > 0 hàm số đồng biến khi x > 0,hàm số nghịch biến khi x < 0.
GTNN của hàm số là y = 0 khi x = 0
+ Với a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0,hàm số nghịch biến khi x > 0.
GTLN của hàm số là y = 0 tại x = 0
2. Đồ thị : Hàm số bậc hai
2
axy =

)0( a
là một đờng cong đi qua gốc toạ độ và nhận Oy
làm trục đối xứng.Đờng cong đó gọi là Parapol với đỉnh O.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành,O là điểm thấp nhất.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành,O là điểm cao nhất.
A.Bài tập :

I.Cách vẽ và xác định các hệ số của (P) và (d)
*Dạng 1 : Vẽ đồ thị hàm số y = ax,y=ax+b,y=ax
2
.
Vẽ đồ thị các hàm số sau :
xy =
xy =
xy 2=
xy 2=
xy 5=
xy 5=
xy
2
1
=
xy
3
1
=
xy
2
1
=
xy
3
1
=
xy
5
2

=
xy
5
2
=
xy
4
3
=
xy
4
3
=
1+= xy
1+= xy
32 += xy
32 = xy
12 += xy
23 = xy
2
2
1
+= xy
3
4
1
+= xy
2
4
3

= xy
3
5
2
= xy
- 2 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
1
5
4
= xy
2
5
3
+= xy
2
xy =
2
xy =
2
2xy =
2
2xy =
2
3xy =
2
3xy =
2
2
1

xy =
2
2
1
xy =
2
3
2
xy =
23 = xy
2
4
1
xy =
2
4
1
xy =
2
4
3
xy =
2
4
3
xy =
*Dạng 2 : Vẽ đồ thị hàm số y = ax,y=ax+b và y=ax
2
trên cùng một trục toạ độ.
Vẽ các đồ thị hàm số sau trên cùng một trục toạ độ:

a)
2
xy =
và
xy
2
1
=
b)
2
4
1
xy =
và
xy
4
3
=
c)
2
3
2
xy =
và
1+= xy
d)
2
4
3
xy =

và
23 = xy
e)
23 = xy
và
2
5
3
+= xy
f)
2
2
1
xy =
và
1
5
4
= xy
g)
2
3xy =
và
1+= xy
*Dạng 3 : Xác định phơng trình đờng thẳng (d) y = ax,y=ax+b và parapol (P) y=ax
2
trong một số trờng hợp.
1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
a. Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2,5) và B(-3,-4).
b. Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A(2,-2) và B(1,-4).

c. Đờng thẳng (d) đi qua A(3,-2) và tiếp xúc với parapol (P) y =
4
2
x
.
2) Cho (P) y = -2x
2
và đờng thẳng (d) y = 3x - 2.Viết phơng trình đờng thẳng (d) //(d) và
tiếp xúc với (P).
3) Tìm các giá trị a,b biết rằng đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2,-1) và B(
2
1
,2).
- 3 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
4) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(-1,-4) và :
a.Có hệ số góc bằng 0,5.
b.Song song với đờng thẳng y = -3x + 1.
c.Vuông góc với đờng thẳng y = 5x 3.
5) Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(3,1) và :
a.Có hệ số góc bằng -2.
b.Song song với đờng thẳng y = 5x +1.
c.Vuông góc với đờng thẳng y =
5
3
1
+ x
.
6) Xác định hàm số y = ax
2

trong các trờng hợp sau :
a.Đi qua điểm A(-1,2).
b.Đi qua điểm B(2,4).
c.Đi qua điểm C(-2,-2).
II.Sự tơng giao giữa (P) và (d)
*Dạng 1 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
VD1 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = x
2
và đờng thẳng (d) y = x + 6.
Giải
Hoành độ giao điểm của (P) y = x
2
và đờng thẳng (d) y = x + 6 là nghiệm của phơng trình :
x
2
= x + 6
<=> x
2
- x - 6 = 0
Ta có
acb 4
2
=

)6.(1.4)1(
2
=

25241
=+=

> 0
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
3
1.2
25)1(
2
1
=
+
=
+
=
a
b
x
;
2
1.2
25)1(
2
2
=

=

=
a
b
x
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là : 3 và -2.

VD2 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = -x
2
và đờng thẳng (d) y = -5x + 4.
VD3 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y =
2
1
x
2
và đờng thẳng (d) y = 3x - 4.
VD4 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = -3x
2
và đờng thẳng (d) y = -2x -1.
VD5 : Tìm hoành độ giao điểm của (P) y = 3x
2
và đờng thẳng (d) y = 4x -1.
*Dạng 2 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
- 4 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
VD1 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y =
2
1
x
2
và đờng thẳng (d) y = 3x - 4.
Giải
+ Cách 1:
Hoành độ giao điểm của (P) y =
2
1
x

2
và đờng thẳng (d) y = 3x - 4 là nghiệm của phơng
trình :
2
1
x
2
= 3x - 4
<=> x
2
- 6x + 8 = 0
Ta có
acb =
2
''

8.1)3(
2
=

189
==
> 0
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
4
1
1)3(''
1
=
+

=
+
=
a
b
x
;
2
1
1)3(''
2
=

=

=
a
b
x
Thay
4
1
=x
vào ta đợc
8
1
=y

Thay
2

1
=x
vào ta đợc
2
1
=y

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là : A(4;8) ; B(2;2).
+ Cách 2 :
Toạ độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình:





=
=
43
2
1
2
xy
xy

=
=
43
43
2
1
2
xy
xx






=
=+
43
086
2
xy
xx

=



=
=
43
2
4
xy
x
x











=
=



=

=
2
2
8
4
y
x
y
x
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là : A(4;8) ; B(2;2).
VD2 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y =
3
1
x
2
và đờng thẳng (d) y = 2x - 3.
VD3 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = x
2
và đờng thẳng (d) y = 3x - 2.
VD4 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = -2x
2
và đờng thẳng (d) y = 3x +1.
VD5 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = -x
2
và đờng thẳng (d) y = x - 2.
VD6 : Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = -
2
1
x
2

và đờng thẳng (d) y = 3x + 4.
*Dạng 3 : Chứng minh vị trí tơng đối của Parapol (P) và đờng thẳng (d).
- 5 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
Không cắt nhau
0<

m
Chứng minh (P) và (d) Cắt tại 1 điểm(tiếp xúc)
0=

m
Cắt tại 2 điểm
0>
m
1)Chứng minh rằng Parapol (P) y = -4x
2
luôn tiếp xúc với đờng thẳng (d) y = 4mx +m
2
khi
m thay đổi.
Giải
Hoành độ giao điểm của (P) y = - 4x
2
và đờng thẳng (d) y = 4mx +m
2
là nghiệm của phơng
trình :
4x
2

= 4mx - m
2


4x
2
- 4mx - m
2
= 0
Ta có
acb =
2
''

22
4)2( mm =

044
22
== mm

m
Phơng trình có nghiệm kép với mọi m.Do đó parapol (P) y = -4x
2
luôn tiếp xúc với đờng
thẳng (d) y = 4mx +m
2
khi m thay đổi.
2) CMR parapol (P) y = x
2

luôn có điểm chung với đờng thẳng (d) y = 2(m-1)x-2m + 3 khi
m thay đổi.
3) Cho parabol (P): y =
2
1
x
4
và đờng thẳng (d): y = mx + 1.Chứng minh với mọi giá trị của
m đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
4) Cho parabol (P): y = -x
2
v ng thng (d): y = mx 1.Chng minh rng vi mi gi tr
ca m thỡ ng thng (d) luụn ct parabol (P) ti hai im phõn bit.
5) Cho parabol (P) y=
2
2
x
và đờng thẳng (d): y = mx - m + 2 (m là tham số).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
*Dạng 4 : Biện luận số giao điểm của Parapol (P) và đờng thẳng (d).
- 6 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
Không cắt nhau
0<

Để (P) và (d) Cắt tại 1 điểm(tiếp xúc)
0=

Cắt tại 2 điểm
0>

1) Cho parabol (P): y = x
2
và đờng thẳng (d): y = 2(m+1)x - m
2
-9.Tìm m để :
a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau.
c.(P) và (d) không cắt nhau.
Giải
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình :
x
2
= 2(m+1)x - m
2
-9


x
2
- 2(m+1)x + m
2
+ 9 = 0
Ta có
acb =
2
''

)9()}1({
22
++= mm

912
22
++= mmm


82 = m

a. (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

0'>


082 >m


82
>
m


4>m
Vậy với m > 4 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
b. (P) và (d) tiếp xúc với nhau

0'=


082 =m

82
=
m


4=m
Vậy với m = 4 thì (P) cắt (d) tiếp xúc với nhau.
c. (P) và (d) không cắt nhau

0'<


082 <m


82
<
m


4<m
Vậy với m < 4 thì (P) cắt (d) không cắt nhau.
2) Cho parabol (P): y = x
2
và đờng thẳng (d): y = 4x + 2m.Tìm m để :
a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau.
c.(P) và (d) không cắt nhau.
3) Cho parabol (P): y =

4
2
x

và đờng thẳng (d): y = mx - 2m -1.Tìm m để (P) và (d) tiếp
xúc với nhau.
- 7 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
4) Cho (P)
4
2
x
y =
và (d) y = x + m.Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
5) Cho (P)
2
xy
=
(P) và (d) y = x + m .Tìm m để :
a.(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b.(P) và (d) tiếp xúc với nhau.
c.(P) và (d) không cắt nhau.
6).Cho hàm số y = -2.x
2
có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) : y = - k.x + k.Định k để:
a) (P) không cắt (d)
b) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
c) (P)tiếp xúc với (d).Tìm tọa độ tiếp điểm trong trờng hợp này.
7) Cho parabol (P): y =
2

4
x

và đờng thẳng (d): y =
2
1

x + m.Tìm m để :
a.(P) tiếp xúc với (d)
b.(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
c. (P) không cắt (d).
*Dạng 5 : Chứng minh về tính chất,vị trí của giao điểm trong mặt phẳng toạ độ giữa
Parapol (P) và đờng thẳng (d).
- 8 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm
1) Chứng tỏ rằng Parapol (P) y = 3x
2
cắt đờng thẳng (d) y = 5x - 2 tại hai điểm nằm cùng
một phía đối với trục tung.
Giải
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình :
3x
2
= 5x - 2


3x
2
- 5x + 2 = 0
Ta có

acb 4
2
=

2.3.4)5(
2
=

12425
==
> 0
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt :
1
3.2
1)5(
2
1
=
+
=
+
=
a
b
x
;
3
2
3.2
1)5(

2
2
=

=

=
a
b
x
Ta thấy hai nghiệm cùng dơng hay hai điểm cùng có hoành độ dơng.Do đó giao điểm của
(P) và (d) nằm cùng một phía với trục tung.
2) Chứng tỏ rằng Parapol (P) y = - x
2
cắt đờng thẳng (d) y = 2x - 2007 tại hai điểm thuộc
hai phía đối với trục tung.
*Dạng 6 : Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua.
- Hàm số y = ax (a #0) ,y = ax + b (a #0).
Cách giải : Biến đổi về dạng Am + B = 0

m




=
=

0
0

b
A
Giải hệ
yx,
.Kết luận.
1) Cho hàm số y = (m+5)x + 2m - 10.Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với
mọi m.
Giải
Giả sử
);(
ooo
yxM
là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
Ta có y
o
= (m+5)x
o
+ 2m - 10

m


(m+5)x
o
+ 2m - 10 - y
o
= 0

m

mx
o
+ 5x
o
+ 2m - 10 - y
o
= 0

m


(x
o
+ 2)m + 5x
o
- y
o
- 10 = 0

m







=
=+

0105
02
oo
o
yx
x






=
=
20
2
o
o
y
x
Vậy
)20;2(
o
M
là điểm cố định mà đồ thi hàm số luôn đi qua với mọi m.
- 9 -
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 Giáo viên : Đỗ Tiến Lâm

*Dạng 3 : Chứng minh về vị trí tơng đối của Parapol với đờng thẳng.
1) Chứng minh rằng Parapol (P)

2
4xy =
luôn tiếp xúc với đờng thẳng (d)
2
4 mmxy +=
khi
m thay đổi(hay với mọi m)
- 10 -
Chuyªn ®Ò «n thi vµo líp 10 Gi¸o viªn : §ç TiÕn L©m
- 11 -