Bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay

PHÒNG GIÁO D
ỤC CHỢ MỚI
TRƯ
ỜNG THCS LONG KIẾN
󽞛󽞜󽜧󽞛󽞜
SÁNG KI
󰖿N KINH NGHI󰗇M
Đ
ề tài
:
“BỒ I DƯ Ỡ NG HỌ C SI NH GI Ỏ I
GI
Ả I TOÁN TRÊN
MÁY TÍ NH C
Ầ M TAY
”
(thu
ộc lĩnh vực:
b
ồi dưỡng học sinh giỏi
)
Th
ực hiện
: Nguy
󰗆n Chí Dng
Ch
ức vụ:
Giáo viên
T
ổ chuyên môn:
Toán

Năm h
ọc: 201
2 - 2013
M
ục lục
Ph
ầ n m ở đầ u
1
I ) B
ố i cả nh củ a đề tài
1
I I ) Lý do chọ n đề tài 1
I I I ) Ph
ạ m vi nghiên cứ u
1
I V) Đi
ể m m ớ i trong kế t quả nghiên
c
ứ u
2
Ph
ầ n nộ i dung
2
I ) Cơ s
ở lý luậ n
2
I I ) Th
ự c trạ ng củ a vấ n
đ
ề

2
I I I ) Các bi
ệ n pháp tiế n hành để giả i quyế t vấ n đề
3
I V) Hi
ệ u quả củ a sáng kiế n kinh nghiệ m
21
Ph
ầ n kế t luậ n
22
I ) Nh
ữ ng bài họ c kinh nghiệ m
2 2
I I ) Ý ngh
ĩa củ a SKKN
23
I I I ) Kh
ả năng ứ ng dụ ng, triể n khai
23
I V) Nh
ữ ng kiế n nghị , đề xuấ t
2 4
Danh m
ục chữ cái viết tắt
:
- Máy tính c
ầm t
ay : MTCT
- Trung h
ọc cơ sở: THCS

- Sáng ki
ến kinh nghiệm
: SKKN
- Giáo viên: GV
- H
ọc sinh: HS
1
Ph
ầ n m ở đầ u
I ) Bố i cả nh củ a đề tài
Năm h
ọc 2012
-2013 là năm h
ọc thứ ba liên tiếp, học sinh trường THCS
Long Ki
ến đạt giải thủ khoa trong kỳ thi giải toán trên MTC
T do Phòng Giáo
D
ục và Đào Tạo Huyện Chợ Mới tổ chức và những học sinh này cũng đạt giải
cao khi tham d
ự kỳ thi giải toán trên MTCT do Sở Giáo Dục và Đào Tạo An
Giang t
ổ chức
.
Như v
ậy, phong trào giải toán trên MTCT hiện nay được sự quan tâm rất
nhi
ều từ c
ác c
ấp lãnh đạo Sở, Phòng, Trường và đây cũng là một môn học được

xem là m
ới và nó tạo được sự ham muốn, hứng thú học toán của rất nhiều học
sinh.
I I ) Lý do ch
ọ n đề tài
- Khi tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy học sinh khi được giáo
viên hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay thì học ngày càng tiến bộ, yêu thích
học toán, thấy máy tính cầm tay thật sự cần thiết trong học tập. Từ việc chỉ biết
sử dụng máy tính đ
ể
thực hiện các phép tính đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia,
lũy thừa thì sau quá trình bồi dưỡng các em đã nắm được rất nhiều kỹ năng sử
dụng máy, các em có thể viết được quy trình cho máy đ
ể
giải toán, tạo niềm đam
mê học tập, nghiên cứu những ứng dụng của máy tính cầm tay trong học tập
ph
ục vụ cho việc học tập môn toán và một số môn học khác như vậ
t lý, sinh h
ọc,
hóa h
ọc
.
- Giúp cho t
ất cả đối tượng
học sinh (gi
ỏi, khá, trung bình, yếu)
biết cách
dùng MTCT đ
ể

kiểm tra kết quả m
ột bài toán
. Ch
ẳng hạn, kiểm tra kết quả rút
g
ọn của một biểu thức số, bài toán chứng minh đẳng thức, nghiệm của một
phương trình, h
ệ phương trình,
Điều nầy rất có ích khi h
ọc sinh tham gia làm
bài ki
ểm tra, cũng như tham dự các kỳ thi học kỳ, tuyển sinh
. Giúp các em đ
ịnh
hư
ớng và tự tin hơn khi làm bài.
- Mu
ốn chia sẽ với quí đồng nghiệp những kinh nghiệm thực tế qua nhiều
năm b
ồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT mà bản thân đã rút ra được và
học hỏi từ bạn bè.
I I I ) Ph
ạ m vi nghiên cứ u
Do khuôn kh
ổ của b
ài vi
ết
, tôi xin đ
ề xuất một
s

ố dạng toán th
ư
ờng dùng
MTCT h
ỗ trợ giải m
à nhi
ều năm nay tôi đã áp dụng cho học sinh trường
THCS
Long Ki
ến.
Không trình bày cách s
ử dụng MTCT (phần n
ày xem ở Sách hướng dẫn
s
ử dụng máy tính k
èm theo khi mua máy).
Nh
ững
bài toán trình bày trong bài vi
ết này được áp dụng minh họa cho
máy tính casio
570fx ES plus󽜮
.
2
Gi
ải toán tr
ên MTCT
là m
ột môn học có tính sáng tạo rất cao. V
ì vậy, mỗi

bài toán s
ẽ có thể có rất nhiều cách giải, trong phạm vi của b
ài viết, tôi sẽ chỉ
trình bày nh
ững cách giải m
à bản thân tôi cho là có hiệu quả cao.
V
ề đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 của trường THCS
Long Ki
ến
trong su
ốt
mư
ời một năm từ năm 2001 đến hiện nay
.
I V) Đi
ể m m ớ i trong kế t quả nghiên cứ u
Hiện nay, nếu lên google để search, bạn sẽ tìm được rất nhiều đề tài sáng
ki
ến kinh nghiệm giải toán trên MTCT, tuy vậy mỗi đề tài đều có những nét
riêng đ
ộc đáo
c
ủa nó, đề tài mà tôi chia sẽ với quí đồng nghiệp cũng không
ngo
ại lệ, cụ thể như sau:
󽞸 V
ận dụng sáng tạo việc giải toán trên MTCT qua một dạng toán
đi
ển hình

.
󽞸 Đầu tư nghiên cứu sâu các chức năng của từng loại MTCT để khai
thác t
ối đa tính ưu việt của chún
g, t
ừ đó giúp GV, HS có thể giải
quy
ết nhanh chóng, chính xác cho từng dạng toán.
󽞸 Nêu những lỗi thường gặp của HS khi làm các bài toán MTCT và
nêu các bi
ện pháp khắc phục.
󽞸 Nghiên c
ứu sâu một số thủ thuật để giải nhanh, chính xác một số
dạng toán thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi giải toán trên
MTCT, t
ừ đó giúp
h
ọc sinh
có th
ể giành thắng lợi trong các kỳ thi
các c
ấp.
Ph
ầ n
n
ộ i dung
I ) Cơ s
ở lý luậ n
Th
ực tế, không chỉ học sinh trung bình mà cả học sinh giỏi khi gặp một

bài toán cần có kỹ năng tính toán và phải hoàn thành trong một khoảng thời gian
nh
ất định, chắc chắc các em căng thẳng và ngại kiểm tra, tính toán (chẳng hạn,
ki
ểm tra xem số 2013 có là số nguyên tố không
?). Vì v
ậy, để giúp học sinh có
k
ỹ năng tính toán tốt và đỡ tốn nhiều thời gian, tôi
khuyên các em nên dùng
MTCT đ
ể kiểm tra, với cách này các em thích thú và không ngán ngại làm toán,
t
ạo nên sự đam mê học toán.
I I ) Th
ự c trạ ng củ a vấ n đề
- Đư
ợc sự động viên, khích lệ to lớn của Ban Giám Hiệu, đặc biệt là sự giúp
đ
ỡ tân tình của các anh em tron
g t
ổ toán
ủng hộ tôi trong công tác bồi
dư
ỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT
.
3
- Trong nh
ững năm gần đây, Sở Giáo Dục
, Phòng Giáo D

ục
đ
ã phát
động
m
ạnh mẽ phong tr
ào
thi gi
ải toán tr
ên MTCT
. Đi
ều n
ày đã làm dấy lên
phong trào b
ồi d
ưỡng học sinh giỏi giải t
oán trên MTCT, đ
ồng thời thúc
đ
ẩy giáo vi
ên nghiên cứu nhiều dạng toán phục vụ cho công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi. Và sức nóng của phong trào này tiếp thêm sức mạnh cho tôi
th
ực hiện đề tài này
.
- Đ
ội tuyển
H
ọc sinh
gi

ỏi MTCT
đa s
ố là những em trong đội t
uy
ển học
sinh gi
ỏi
c
ủa nh
à trường
, vì v
ậy các em
có kh
ả năng t
ư duy
r
ất
t
ốt,
r
ất ph
ù
h
ợp để chọn bồi d
ưỡng giải toán trên MTCT.
Tuy nhiên, khi ti
ến hành công tác bồi dưỡng, bản thân tôi cũng gặp một số
khó khăn nhất định như sau:
- Đây là b
ộ môn chưa đưa vào

gi
ảng dạy chính thức trên lớp, chưa có một
tài liệu chính thức về bộ môn. Đa số các dạng toán bồi dưỡng là do bản
thân t
ự tìm tòi là chính
.
- M
ột số phụ huynh chưa quan tâm đến việc học của con em. Họ cho rằng
đây không phải là bộ môn chính khóa, không cần đầu tư, và việc lĩnh hội
t
ốt kiến thức của bộ môn là dễ dàng
, không có gì khó kh
ăn
.
I I I ) Các bi
ệ n pháp tiế n hành để giả i quyế t vấ n đề
V
ới thực trạng đ
ư
ợc phân tích như trên
, đ
ể đạt đ
ư
ợc mục tiêu đề ra, tôi
đưa ra các gi
ải pháp thực hiện nh
ư sau:
- Đ
ầu ti
ên, tôi

ch
ọn học sinh giỏi ở khối lớp 8, mở một cuộc họp, t
ư vấn,
gi
ới thiệu chiếc MTCT v
à lợi ích của nó mang lại khi tham gia lớp bồi
dư
ỡng học sinh giỏi giải toán tr
ên MTCT.
- Phân lo
ại các dạng toán rõ ràng, đầy đủ
. Đ
ịnh hướng, dẫn dắt cho học sinh
t
ự tìm ra phư
ơng pháp gi
ải cho từng dạng toán
đó. Đ
ể làm được điều này,
tôi luôn hư
ớng học sinh phải bắt nguồn từ
n
ền tảng toán học mà các em đã
đư
ợc học tại lớp
. Đây là khâu then ch
ốt trong quá trình bồi dưỡng.
- Đ
ịnh hướng ôn tập cho học sinh. Tôi cung cấp cho học sin
h m

ột hệ thống
các chuyên đ
ề và
các bài t
ập thuộc các dạng
toán theo th
ứ tự từ dễ đến
khó. Tôi c
ũng trích các bài toán liên quan trong các đề thi các cấp. Tôi yêu
c
ầu học sinh mỗi bài giải đều phải trình bày
l
ời giải rõ ràng
và ghi quy
trình
ấn phím
n
ộp ch
o tôi, sau đó m
ỗi học sinh sẽ trình bày bài giải của
mình, nh
ững học sinh còn lại phân tích, so sánh với cách giải của bản thân
r
ồi nhận xét, v
à cuối cùng tôi chốt lại vấn đề
.
Sau đây tôi tr
ình bày cụ thể cách thực hiện giải pháp của mình khi dạy một
s
ố

chuyên đ
ề về MTCT
:
󽜧 Chuyên đ
ề
1: Các phép tính v
ề số dư của phép chia A cho B
4
a) S
ố dư của
A
A B
B
󽜾 󽜮 󽞵
ph
ần nguyên của
( )A B󽞹
󽝁 Ví dụ: Tìm số dư của phép chia
9124565217
cho
123456
Ghi vào màn hình
9124565217 123456󽞹
,
ấn
=, máy hi
ện th
ương số là
73909,45128
.

Đưa con tr
ỏ l
ên dòng bi
ểu thức sửa lại là:
9124565217 123456 73909󽜮 󽞵
và
ấn =, ta đư
ợc số dư cần tìm là:
55713
b) Khi đề bài cho số lớn hơn 10 chữ số:
b1) N
ếu số bị chia l
à số tự nhiên lớn hơn 10 chữ số:
C
ắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số (kể từ bên trái), tìm số dư như phần a) .
Vi
ết liên tiếp sau số dư phần còn lại khi đã bỏ 9 chữ số của số bị chia rồi tìm số
dư l
ần 2. Nếu còn nữa t
hì tính liên ti
ếp như vậy.
󽝁 Ví d
ụ
: Tìm s
ố dư của phép chia
1357924680135791
cho
24680
Trước tiên, ta tìm dư của phép chia
135792468

cho
24680
, ta được dư là
3108
. Tìm ti
ếp số dư của phép chia
31080135791
cho
24680
, ta đư
ợc số dư
cu
ối cùng là
19471
b2) N
ếu số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn:
Khi đó ta dùng phép đ
ồng d
ư (mod) theo công thứ
c:
(mod )
(mod ) ; (mod )
(mod )
c c
a m p
a b m n p a m p
b n p
󽞻
󽟭
󽟟 󽞵 󽞻 󽞵 󽞻

󽟮
󽞻
󽟯
󽝁 Ví d
ụ
: Tìm d
ư của phép toán
2011
2009 2010󽞹
Ta có
2 2010 2 1005 1005
2009 1(mod2010) 2009 (2009 ) 1 1(mod2010)󽞻 󽟟 󽞻 󽞻 󽞻
2011 2010
2009 2009 2009 2009(mod2010)󽟟 󽞻 󽞵 󽞻
V
ậy
2011
2009 2010󽞹
dư
2009
c)
Ứng dụng tìm n chữ số tận cùng của một
l
ũy thừa:
Đ
ể tìm
n
ch
ữ số tận cùng của lũy thừa
n

x a󽜾
, ta tìm d
ư của lũy thừa đó khi
chia cho
10
n
󽝁 Ví dụ: Tìm chữ số hàng trăm của số
2007
29
Ta có:
2 5
29 841(mod1000); 29 149(mod1000)󽞻 󽞻
10 5 2 2 40 4
29 (29 ) 149 201(mod1000) 29 201 801(mod1000)󽜾 󽞻 󽞻 󽟟 󽞻 󽞻
80 2
29 801 601(mod1000)󽟟 󽞻 󽞻
100 10 10 80
29 29 29 29 201 201 601 1(mod1000)󽟟 󽜾 󽞵 󽞵 󽞻 󽞵 󽞵 󽞻
2000 100 20 20
29 (29 ) 1 1(mod1000)󽟟 󽜾 󽞻 󽞻
5
2007 2000 5 2
29 29 29 29 1 149 841 309(mod1000)󽟟 󽜾 󽞵 󽞵 󽞻 󽞵 󽞵 󽞻
Vậy chữ số hàng trăm cần tìm là chữ số 3.
󽜧 Chuyên đ
ề
2: Tìm
ư
ớc chung lớn nhất (UCLN), bội chung nh
ỏ

nh
ất (BCNN)
󽝀 Trư
ờng hợp 1
: Tìm UCLN và BCNN c
ủa hai số nguyên dương A
và B (A < B)
Xét thương
A
B
. N
ếu:
1. Thương
A
B
cho ra k
ết quả d
ưới dạng phân số tối giản hoặc cho ra kết
qu
ả dưới dạng số thập phân mà c
ó th
ể đưa về dạng phân số tối giản
a
b
(
a
,
b
là các số nguyên dương) thì:
( , )

: :
A B
UCLN A a B b󽜾 󽜾
;
( , )A B
BCNN A b B a󽜾 󽞵 󽜾 󽞵
2. Thương
A
B
cho ra k
ết
qu
ả l
à số thập phân mà không thể đổi về dạng
phân s
ố tối giản thì ta làm như sau:
Tìm s
ố dư của phép chia
B
A
. Gi
ả sử số dư đó là
R
(
R
là s
ố
nguyên dương nh
ỏ hơn
A

) thì:
( , ) ( , )B A A R
UCLN UCLN󽜾
(chú ý:
( , ) ( , )B A A B
UCLN UCLN󽜾
)
Đ
ến đây ta quay về giải bài toán tìm
UCLN c
ủa hai số
A và R.
Ti
ếp tục xét thương
A
R
và làm theo t
ừng bước như đã nêu trên.
Sau khi tìm
được
( , )A B
UCLN
, ta tìm
( , )A B
BCNN
b
ằng đẳng
th
ức:
( , ) ( , )A B A B

UCLN BCNN A B󽞵 󽜾 󽞵
.
Suy ra:
( , )
( , )
A B
A B
A B
BCNN
UCLN
󽞵
󽜾
󽝀 Trư
ờng hợp
2 : Tìm UCLN và BCNN c
ủa
ba s
ố nguyên dương A
, B
và C.
1. Đ
ể tìm
( , , )A B C
UCLN
ta tìm
( , )A B
UCLN
r
ồi tìm
( ( , ), )UCLN A B C

UCLN
6
2. Đ
ể t
ìm
( , , )A B C
BCNN
ta làm tương t
ự. Ta có:
( , , ) ( ( , ), )A B C BCNN A B C
BCNN BCNN󽜾
󽝁 Ví d
ụ
1: Tìm UCLN và BCNN c
ủa 220887 và 1697507
Đầu tiên ấn !,(setup) c để chọn chế độ hiển thị LINE
Ấn 220887 N 1697507 = đư
ợc kết quả
2187
16807
Đưa con tr
ỏ lên dòng biểu thức sửa thành:
220887 2187󽞹
và
ấn
=, ta
đư
ợc kết quả
: UCLN = 101
Đưa con tr

ỏ lên dòng biểu thức sửa thành:
220887 16807󽞵
và
ấn
=, ta
đư
ợc kết
qu
ả
: 3712447809
󽝁 Ví d
ụ
2: Tìm UCLN và BCNN c
ủa 3995649 và 15859375
Ta có:
3995649
0,2519424
15859375
󽜾
. Ta không th
ể đ
ưa số thập phân này về dạng
phân s
ố tối giản được. Vậy ta dùng phương pháp 2.
Số dư của phép chia
15859375
3995649
là 3872428.
Suy ra:
(15859375,3995649) (3995649,3872428)

UCLN UCLN󽜾
.
Ta có:
3872428
0,9691612051
3995649
󽜾
Ta c
ũng không thể đưa số thập phân này về dạng phân số tối giản được. Ta
ti
ếp tục tìm số dư của phép chia:
3995649
3872428
. S
ố dư tìm được là 123221.
Suy ra:
(3995649,3872428) (3872428,123221)
UCLN UCLN󽜾
. Ta có:
123221 607
3872428 19076
󽜾
.
Suy ra:
(3872428,123221)
123221:607 203UCLN 󽜾 󽜾
.
Suy ra:
(15859375,3995649)
203UCLN 󽜾

Ta có:
(15859375,3995649)
15859375 3995649
312160078125
203
BCNN
󽞵
󽜾 󽜾
7
󽝁 Ví d
ụ
3: Tìm UCLN và BCNN c
ủa 51712, 73629 v
à 134431
Ta tìm
(51712,73629)
UCLN
b
ằng phương pháp đã nêu ở trên.
K
ết quả
(51712,73629)
101UCLN 󽜾
và
(101,134431)
101UCLN 󽜾
Suy ra:
(51712,73629,134431)
101UCLN 󽜾
󽜧 Chuyên đ

ề
3: Bi
ểu diễn số hữu tỉ và liên phân số
Biểu diễn các phân số
󽜩 󽜪
0
a
b
b
󽞺
về dạng sau:
0 0 0
1 1
1
1
2
2
3
1
1 1 1

1 1
1
1
1

n
n
a
q q q

b
b
q q
r
r
q
r
q
q
q
󽜮
󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜾 󽜬
󽜬 󽜬
󽜬
󽜬
󽜬
, v
ới
0 1 2 3
, , , ,
n
q q q q q
󽜬
󽟏 󽟏󽞣 󽞣
,
1
n
q 󽜿
Khi đó, kí hi
ệu:

󽝜 󽝞
0 1 2
; , , ,
n
a
q q q q
b
󽜾
g
ọi là một liên phân số hữu hạn cấp
n. Cách bi
ểu diễn như trên được gọi là biểu diễn về dạng liên phân số.
Ngư
ợc lại, ta cũ
ng có th
ể biểu diễn liên phân số về dạng phân số.
󽝁 Ví d
ụ
: Tìm x , bi
ết:
3 381978
3
382007
8
3
8
3
8
3
8

3
8
3
8
3
8
3
8
1
8
1 x
󽜾
󽜬
󽜬
󽜬
󽜬
󽜬
󽜬
󽜬
󽜬
󽜬
󽜬
Ta có quy trình
ấn phím liên tục như sau:
381978:382007 0.9999240852󽜾
ấn tiếp X*3-8 và
ấn
==…= (9 l
ần dấu
=)

8
Ta đư
ợc:
K=
1
1 x󽜬
. Ti
ếp
t
ục ấn
X-1 và
ấn
=
K
ết quả :
1,119632981x 󽜾 󽜮
󽜧 Chuyên đ
ề
4: Tính chính xác giá tr
ị biểu thức
󽝁 Ví d
ụ
1: Tính toán trên máy k
ết hợp trên giấy
Tính chính xác giá tr
ị của các biểu thức sau:
a)
12578963 14375A 󽜾 󽞵
b)
123456789987654321 41976B 󽜾 󽞵

c)
2
123456789C 󽜾
d)
3
1023456D 󽜾
Giải:
a) Tính tr
ực tiếp trên máy:
Ấn 12578963 * 14375 =(k
ết quả:
11
1.808225931 10󽞵
; k
ết quả
có 12 ch
ữ số)
Ấn tiếp -1.8082 K 11 (k
ết quả: 2593125)
V
ậy
180822593125A 󽜾
Đây là dạng tính tràn máy đơn giản, máy tính
570fx ES PLUS󽜮
có
thể xử lý chính xác đ
ế
n 15 chữ số nên ta áp dụng cách này đ
ể tính
chính xác giá tr

ị biểu thức.
b) N
ếu kết quả từ 15 chữ số trở lên, ta sử dụng cách giải sau:
Ấn
123456789987654321
*
41976
= (k
ết quả:
21
5.182222217 10󽞵
)
Do kết quả có 22 chữ số nên máy sẽ không tính chính xác được. Ta
có th
ể xử lý như sau:
󽞸 Ta chia s
ố
󽝼
󽝼
1 4
2 3
123 45678 99876 54321
n n
n n
󽜲󽜳󽜴 󽜲󽜳󽜴
thành các nhóm, m
ỗi nhóm
có 5 ch
ữ số theo thứ tự từ phải sang trái, nhóm
cu

ối c
ùng có
th
ể ít h
ơn 5 ch
ữ số)
o Bư
ớc 1
: tính
54321 41976 22801󽞵 󽜾 78296
o Bư
ớc 2
: tính
22801 99876 41976 41924󽜬 󽞵 󽜾 17777
o Bư
ớc 3
: tính
41924 45678 41976 19174󽜬 󽞵 󽜾 21652
o Bư
ớc 4
: tính
19174 123 41976󽜬 󽞵 󽜾 5182222
󽞸 V
ậy
5182222216521777778296B 󽜾
c) Bi
ến đổi
:
9
󽜩 󽜪

2
2
123456789 123450000 6789B 󽜾 󽜾 󽜬
󽜩 󽜪
2
4 4 2
= 1234 10 2 12345 10 6789 6789󽞵 󽜬 󽞵 󽞵 󽞵 󽜬
Kết hợp trên giấy và trên máy, ta có :
4 2
(1234 10 )󽞵 󽜾
15 239 902 500 000 000
4
2 12345 10 6789󽞵 󽞵 󽞵 󽜾
1 676 204 100 000
6789
2
= 46 090 521
V
ậy
2
123456789B 󽜾 󽜾
15 241 578 750 190 521
d) Bi
ến đổi
:
󽜩 󽜪
3
3 3 3
1023456 1023000 456 (1023 10 456)C 󽜾 󽜾 󽜬 󽜾 󽞵 󽜬
3 9 2 6 3 2 3

1023 10 3 1023 10 456 3 1023 10 456 456󽜾 󽜬 󽞵 󽞵 󽞵 󽜬 󽞵 󽞵 󽞵 󽜬
K
ết hợp trên giấy và trên máy, ta có
:
3 9
1023 10 󽜾
1 070 599 167 000 000 000
2 6
3 1023 10 456󽞵 󽞵 󽞵 󽜾
1 431 651 672 000 000
3 2
3 1023 10 456󽞵 󽞵 󽞵 󽜾
638 155 584 000
456
3
= 94 818 816
V
ậy
2
123456789B 󽜾 󽜾
1 072 031 456 922 402 816
󽝁 Ví d
ụ
2: Bi
ểu thức có sử dụng số thập phân vô hạn tuần hoàn
2 2 2
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
E 󽜾 󽜬 󽜬
Gi
ải:

2 2 2
0,(1998) 0,0(1998) 0,00(1998)
E 󽜾 󽜬 󽜬
Áp dụng công thức:
󽝼
󽝼
󽝼
󽝼
󽝼
󽝼
-
0, ( )
99 900 0
n m n
m
n
m n
aa abb b aa a
aa a bb b 󽜾
󽜲󽜳󽜴
Ta có:
1998
0,(1998)
9999
󽜾
;
1998
0,0(1998)
99990
󽜾

;
1998
0,00(1998)
999900
󽜾
10
󽜩 󽜪
2 9999 2 99990 2 999900 2 9999
. 1 10 100 1111
1998 1998 1998 1998
E
󽞵 󽞵 󽞵 󽞵
󽜾 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜾
󽜧 Chuyên đề 5: Các bài toán liên quan đến số nguyên tố
Đ
ể phân tích một số ra tích các th
ừa số nguy
ên tố thì ta tìm tất cả các ước
nguyên tố của số đó. Tuy nhiên vấn đề khó khăn ở đây là việc tìm ước nguyên tố
ti
ếp theo nhưng chúng ta không biết đó là số nguyên tố nào, khi đó bắt buộc ta
ph
ải kiểm tra những số tiếp theo là số nguyên tố hay là
h
ợp số để tiếp tục phân
tích.
󽝷 Phương pháp ki
ểm tra một số
t
ự nhiên

a có nguyên t
ố
hay không?
󽝀
Đ
ịnh lý
: N
ếu số tự nhiên a > 1 không có một ước nguyên tố nào
trong kho
ảng từ 1 đến
a
󽟪 󽟺
󽟬 󽟼
thì a là s
ố nguyên tố.
Quy trình b
ấm phím: (nên
chuy
ển chế độ hiển thị ở dạng LineIO
– b
ấm
!Zc)
Gán s
ố
a vào bi
ến
A trong máy: a !'A
Ghi vào màn hình công th
ức:
( 2)A A Ans󽞹 󽞹 󽜬

Ti
ếp tục bấm:
===…
Ki
ểm tra cho tới khi kết quả hạ xuống
a
󽟪 󽟺
󽟬 󽟼
thì ng
ưng.
󽝁 Ví d
ụ
: Ki
ểm tra xem số 2003 có nguy
ên tố không.
2003 !'A
2003
(gán s
ố 2003 cho biến A trong
máy)
Ghi vào màn hình:
( 2)A A Ans󽞹 󽞹 󽜬
===…
(k
ết quả không nguyên)

44,5xxx
2003 44,755 2003 44
󽟪 󽟺
󽞼 󽟟 󽜾

󽟬 󽟼
D
ừng lại và khẳng định 2003 là số nguyên tố
󽝷 Phân tích s
ố
t
ự nhiên
a ra tích các th
ừa số nguyên tố
** Phương pháp: Th
ực hiện phép chia
a l
ần lượt cho các số nguyên tố từ
nh
ỏ tới lớn cho tới khi thương số là một số nguyên tố.
** Chú ý:
1. Khi c
ần thiết chia
a cho s
ố nguyên
k nhi
ều lần chúng ta sử dụ
ng liên
ti
ếp dấu
=
2. Khi a không chia h
ết cho
k xong l
ỡ ấn

= thì
ấn tiếp
* k =đ
ể nhận
l
ại giá trị của
a.
11
󽝁 Ví d
ụ
: Phân tích s
ố
202521 ra th
ừa số nguy
ên tố
202521 !'A/ 3
=
67507
(không chia ti
ếp được cho 3)
/ 7
=
9643,85
(không nh
ận 7)
* 7
=
67507
/ 11
=

6137
(không chia ti
ếp được cho 11)
/ 13
=
472,076
(không nh
ận 13)
* 13
=
6137
/ 17
=
361
=
21,2352
(không nh
ận 17)
* 17
=
361
/ 19
=
19
(đ
ã là s
ố nguy
ên tố
󽟡 d
ừng

)
V
ậy
2
202521 3 11 17 19󽜾 󽞵 󽞵 󽞵
󽜧 Chuyên đ
ề
6: Tính t
ổng hữu hạn
Nguyên tắc chung: nên xét số hạng tổng quát và tìm cách phân tích chúng
cho h
ợp lý để triệt tiêu hoặc đơn giản. Trong một số trường hợp, ta có thể dùng
ch
ức năng tính tổng
󽟦
c
ủa d
òng máy
-570Casio fx ES Plus
, tuy nhiên th
ời
gian x
ử lý c
ủa máy khá lâu.
󽝁 D
ạng 1
: Các s
ố hạng của tổng có dạng phân số, trong đó mẫu là các tích có
qui lu
ật và tử là hằng số

Phương pháp chung : Xét s
ố hạng tổng quát và tìm cách phân tích chúng
h
ợp lý để xuất hiện các hạng tử triệt tiêu.
󽝁 Ví d
ụ
1: Tính các t
ổn
g sau:
1 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 998.999 999.1000
󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
Gi
ải:
Ta có:
1 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 998.999 999.1000
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 999
1
1 2 2 3 3 4 998 999 999 1000 1000 1000
󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
󽜾 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜾 󽜮 󽜾
Nh
ận xét
: Ta phân tích theo hư
ớng
1 1
1 1

.
k k k k
u u u u
α
β
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
. Khi đó t
ổng
c
ần tính sẽ chỉ còn các số hạng đặc biệt (thường là số hạng đầu và số hạng
cu
ối).
Tuy nhiên, n
ếu ta tìm
ra công th
ức tổng quát và vận dụng chức năng tính
t
ổng
󽟦
, ta s
ẽ làm như sau:
12
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)n n
󽜬 󽜬 󽜬 󽜬

󽜬
v
ới
n = 1 999
Ghi vào màn hình bi
ểu thức:
999
1
1
( 1)
x
X X
󽜾
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜬
󽟩 󽟹
󽟦
, sau đó
ấn
=. K
ết quả:
999
1000
󽝁 D
ạng 2
: T
ổng của các tích có qui luật
󽝁 Ví d
ụ

2: Tính các t
ổng sau:
a)
1.2 2.3 3.4 2011.2012󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
Gi
ải:
Đ
ặt
1.2 2.3 3.4 2011.2012S 󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
Ta có:
3 3(1.2 2.3 3.4 2011.2012)S 󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
3 1.2(3 0) 2.3(4 1) 3.4(5 2) 2011.2012(2013 2010)S 󽜾 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮
3 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 2011.2012.2013 2010.2011.2012S 󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮
2011.2012.2013
3 2011.2012.2013 2714954572
3
S S󽜾 󽟜 󽜾 󽜾
Hoặc có thể áp dụng công thức:
( 1)( 2)
1.2 2.3 3.4 ( 1)
3
n n n
n n
󽜬 󽜬
󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾
2011(2011 1)(2011 2)
2714954572
3
󽜬 󽜬
󽜾 󽜾

Tuy nhiên, ta dễ dàng nhận thấy được:
1.2 2.3 3.4 .( 1)S n n󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
v
ới
n = 1 2011
Ghi vào màn hình bi
ểu thức:
󽜩 󽜪
2011
1
( 1)
x
X X
󽜾
󽜬
󽟦
, sau đó
ấn
=. K
ết quả:
2714954572
󽝁 D
ạng 3
: T
ổng
bình ph
ương, lập phương các số tự nhiên liên tiếp
󽝁 Ví d
ụ
3: Tính các t

ổng sau:
a)
2 2 2 2
1 2 3 2012A 󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
Gi
ải:
Áp d
ụng công thức:
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3
6
n n n
n
󽜬 󽜬
󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾
2 2 2 2
2012(2012 1)(2.2012 1)
1 2 3 2012 2716979650
6
A
󽜬 󽜬
󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 󽜾
Tuy nhiên, ta d
ễ dàng nhận thấy
đư
ợc:
13
2 2 2 2
1 2 3 A n󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬

v
ới
n = 1 2012
Ghi vào màn hình bi
ểu thức:
󽜩 󽜪
2012
2
1x
X
󽜾
󽟦
, sau đó
ấn
=. K
ết quả:
2716979650
b)
3 3 3 3
1 2 3 2012B 󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
Gi
ải:
Áp d
ụng công thức:
2
3 3 3 3
( 1)
1 2 3
2
n n

n
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
2
3 3 3 3
2012(2012 1)
1 2 3 2012 4100940906084
2
B
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Tuy nhiên, ta d
ễ d
àng nhận thấy được:
3 3 3 3
1 2 3 B n󽜾 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
v
ới
n = 1 2013
Ghi vào màn hình bi
ểu thức:
󽜩 󽜪
2012
3

1x
X
󽜾
󽟦
, sau đó
ấn
=.
K
ết quả:
4100940906084
Trên đây là các d
ạng bài tập kinh điển về tổng sai
phân h
ữu hạn thường
g
ặp. Thực tế khi đi thi có rất nhiều bài tập rất khó đòi hỏi phải tư duy có
chi
ều sâu và độ nhạy bén thông qua quá trình rèn luyện và tiếp thu các
kiến thức cơ bản về tổng hữu hạn.
󽜧 Chuyên đ
ề
7: Các bài toán v
ề đa thức
1 – Tính giá tr
ị
đa th
ức
: Tính giá tr
ị P(x
o

) c
ủa đa thức (hoặc biểu
th
ức bất kì)
󽝁 Ví d
ụ
1: Tính giá tr
ị biểu thức
5 4 2
3 2
3 2 3 1
4 3 5
x x x x
A
x x x
󽜮 󽜬 󽜮 󽜬
󽜾
󽜮 󽜬 󽜬
khi
1,8165x 󽜾
;
1,11952x 󽜾
;
2,0102011x 󽜾
Ấn !rd= (ch
ỉnh máy về chế độ mặc địn
h)
Nh
ập toàn bộ biểu thức trên vào màn hình:
5 4 2

3 2
3 2 3 1
4 3 5
X X X X
X X X
󽜮 󽜬 󽜮 󽜬
󽜮 󽜬 󽜬
Ấn Máy hỏi X? . Ta khai báo x = 1,8165 và bấm =
Máy hi
ện kết quả: 1.498465582
Ti
ếp tục ấn
- m
ột lần nữa và thực hiện tương tự như trên để tiếp tục
tính giá tr
ị của biểu thức tại cá
c giá tr
ị biến khác nhau.
14
Phím - (calculate – tính) trên fx – 570 ES r
ất hay, nó cho phép tính giá
tr
ị của biểu thức theo giá trị bất k
ì của biến số sau khi khai báo biểu thức. Như ví
d
ụ tr
ên, bây giờ muốn tính thêm giá trị của
A t
ại
x = 2,0112012 ta ch

ỉ
c
ần bấm
ti
ếp
-, máy h
ỏi X? Ta khai báo biến mới l
à 2.0112012 và bấm phím
=,
máy cho ngay kết quả:
2 – Tìm d
ư trong phép chia đa th
ức cho đơn thức
:
*) Cơ s
ở lý luận:
Th
ực hiện phép chia
P(x) cho (x – a) ta đư
ợc:
( ) ( ) ( )P x x a Q x r󽜾 󽜮 󽜬
v
ới
r là s
ố
dư trong phép chia.
Cho x = a , ta có:
( ) ( ) ( )P a a a Q a r󽜾 󽜮 󽜬
. Suy ra r = P(a)
*) K

ết luận
Dư c
ủa phép chia đa thức
P(x) cho x – a b
ằng chính giá trị của đa thức
đó khi x l
ấy giá trị là
a.
*) Áp d
ụng:
Tìm d
ư của phép chia
5 3 2
6,723 1,857 6,458 4,319
2,318
x x x x
x
󽜮 󽜬 󽜮 󽜬
󽜬
(K
ết quả: r = 46,07910779)
3 – Xác đ
ịnh tham số để đa thức P(x) + m chia hết cho x
- c :
*) Cơ s
ở lý luận:
Vì
( ) ( ) ( )P x m x c Q x r m󽜬 󽜾 󽜮 󽜬 󽜬
nên đ
ể

P(x) + m chia h
ết cho
x – c
thì
0r m󽜬 󽜾
t
ức là
( )m r P c󽜾 󽜮 󽜾 󽜮
. Tr
ở về dạng
Tìm d
ư của phép
chia đa th
ức cho đơn thức.
*) Áp d
ụng
: Cho đa th
ức
3 2
11x x x m󽜬 󽜮 󽜬
. H
ỏi rằng
m b
ằng bao nhiêu
thì đa thức đã cho chia hết cho nhị thức ( x – 2)
(Hư
ớng dẫn
:
Cho x – 2 = 0 suy ra x = 2
Đ

ể tìm m ta chọn P(x) = x
3
+ x
2
– 11x và tính P(2)
Tính được P(2) = -10. Vậy m = - P(2) = 10)
4 – Tìm
đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
:
*) Cơ sở lý luận:
Chia đa th
ức
3 2
1 2 3
( )
o
P x a x a x a x a󽜾 󽜬 󽜬 󽜬
cho (x – c) ta s
ẽ đ
ư
ợc
thương là đa th
ức bậc hai
2
1 2
( )
o
Q x b x b x b󽜾 󽜬 󽜬
và s
ố dư

r.
2
1 2
( ) ( )( )
o
P x x c b x b x b r󽜾 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬
15
3 2 2
1 2 1 2
( )
o o
P x b x b x b x b cx bcx b c r󽜾 󽜬 󽜬 󽜮 󽜮 󽜮 󽜬
3 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
o o
P x b x b b c x b bc x r b c󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮
Theo công th
ức truy hồi Horner, ta có:
1 1 2 1 2 2 3
; ; ;
o o o
b a b b c a b bc a r b c a󽜾 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬
*) Áp d
ụng
:
Tìm th
ương và dư trong phép chia
P(x) = x
7

– 2x
5
– 3x
4
+ x – 1 cho
5x 󽜬
.
󽝁
Hư
ớng dẫn
:
Ta có: c = -5 ; a
o
= 1 ; a
1
= 0 ; a
2
= -2 ; a
3
= -3 ; a
4
= 0 ; a
5
= 0 ; a
6
= 1 ;
a
7
= -1
a

n
1
0
-2
-3
0
0
1
-1
c = -5
1
-5
23
-118
590
-2950
14751
-73756
Cách
ấn phím:
-5!'M1*aM+0=(k
ết quả
-5)*aM-2=(k
ết
quả: 23)…
V
ậy
P(x) = (x + 5)(x
6
– 5x

5
+ 23x
4
– 118x
3
+ 590x
2
– 2950x + 14751) –
73756
5 – Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức :
*) Cơ s
ở lý luận:
Áp d
ụng
n – 1 l
ần dạng toán 4) ta sẽ tìm đa thức thương khi chia đa
th
ức cho đơn thức, ta có thể phân tích đa thức
P(x) b
ậc
n theo x – c
P(x) = r
o
+ r
1
(x – c) + r
2
(x – c)
2
+ …. + r

n
(x –
c)
n
*) Áp d
ụng
:
Phân tích P(x) = x
4
– 3x
3
+ x – 2 theo b
ậc của
x – 3
󽝁
Hư
ớng dẫn
:
Th
ực hiện phép chia
P(x) = (x – c)Q
1
(x) + r
o
theo sơ đ
ồ Horner để
đư
ợc
Q(x) và r
1

-3
0
1
-2
x
4
– 3x
3
+ x – 2
3
1
0
0
1
1
Q
1
(x) = x
3
+ 1 và r
o
= 1
3
1
3
9
28
Q
2
(x) = x

2
+ 3x + 9 và r
1
= 28
3
1
6
27
Q
3
(x) = x + 6 và r
2
= 27
3
1
9
Q
4
(x) = 1và r
3
= 9
16
V
ậy P(x) = 1 + 28(x
– 3) + 27(x – 3)
2
+ 9(x – 3)
3
+ (x – 3)
4

.
󽜧 Chuyên đ
ề
8: Các bài toán v
ề đa thức
󽝀 D
ạng
1 : Dãy số Lucas
Dãy s
ố Lucas là dãy số tổng quát của dãy số Fibonaci: Các số hạng của nó
tuân theo quy lu
ật
1 2 1 1
; ;
n n n
u a u b u u u
󽜬 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜬
v
ới mọi
2n 󽞴
, trong đó a,
b là hai số tùy ý.
V
ới
1a b󽜾 󽜾
thì dãy Lucas tr
ở thành dãy
Fibonaci.
(Các k

ỹ thuật ấn phím sau dựa theo máy tính
570Casio fx ES PLUS
)
Phương pháp:
Ghi vào màn hình:
1 1D D A B A D D B A B󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬: : :
Ấn 󰜑
D?
ấn 2
=
A?
ấn a
=
B?
ấn b
=
󽝁 Ví d
ụ
1: V
ới
1 2 1 1
1; 3;
n n n
u u u u u
󽜬 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜬
v
ới mọi
2n 󽞴
. Ta l

ần lượt
nh
ận được các giá trị như sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322,
521, 843, 1364, …
󽝁 Ví d
ụ
2: V
ới
1 2 1 1
3; 4;
n n n
u u u u u
󽜬 󽜮
󽜾 󽜮 󽜾 󽜾 󽜬
v
ới mọi
2n 󽞴
. Ta l
ần lượt
nh
ận được các giá trị như sau:
-3, 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191,
309, 500, 809, 1309,…
󽝀 D
ạng 2
: Dãy s
ố Lucas suy rộng tuyến tính.
1 2 1 1
; ; . .
n n n

u a u b u mu nu
󽜬 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜬
v
ới mọi
2n 󽞴
, trong đó a, b là hai s
ố
tùy ý.
Phương pháp:
Ghi vào màn hình:
1 . . 1 . .D D A m B n A D D B m A n B󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬: : :
Ấn 󰜑
D?
ấn 2
=
A?
ấn a
=
B?
ấn b
=
󽝁 Ví d
ụ
: V
ới
1 2 1 1
2; 3; 4 5
n n n
u u u u u

󽜬 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜬
v
ới mọi
2n 󽞴
. Ta l
ần lượt
nh
ận được các giá trị như sau: 2, 3, 22, 103, 522, 2603, 13022, 65103,
17
325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522, 1017252603,
5086263022, 25431315103, …
󽝀 D
ạng 3
: Dãy s
ố Lucas suy rộng bậc hai.
2 2
1 2 1 1
; ;
n n n
u a u b u u u
󽜬 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜬
v
ới mọi
2n 󽞴
, trong đó a, b là hai s
ố tùy ý.
Phương pháp:
Ghi vào màn hình:

2 2 2 2
1 1D D A B A D D B A B󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬: : :
Ấn 󰜑
D?
ấn 2
=
A?
ấn a
=
B?
ấn b
=
󽝁 Ví d
ụ
: V
ới
2 2
1 2 1 1
1; 1;
n n n
u u u u u
󽜬 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜬
v
ới mọi
2n 󽞴
. Ta l
ần lượt
nh
ận đ

ược các giá trị như sau: 1, 1, 2, 5, 29, 866, 750797,…
󽝀 Dạng 4 : Dãy số Lucas bậc ba.
1 2 3 1 1 2
; ; ;
n n n n
u a u b u c u u u u
󽜬 󽜮 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜾 󽜬 󽜬
v
ới mọi
3n 󽞴
, trong đó a, b, c
là ba s
ố tùy ý.
Phương pháp:
Ghi vào màn hình:
1 1 1D D A C B A D D B A C B D D C B A C󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬: : : : :
Ấn 󰜑
D? ấn 3 =
A?
ấn a
=
B?
ấn b
=
C?
ấn c
=
󽝁 Ví d
ụ

: V
ới
1 2 3 1 1 2
1; 1; 1;
n n n n
u u u u u u u
󽜬 󽜮 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜾 󽜬 󽜬
v
ới mọi
3n 󽞴
. Ta
l
ần lượt nhận đ
ư
ợc các giá trị như sau: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105,
193, 355, 653,…
󽝀 D
ạng 5
: Dãy s
ố Lucas bậc ba suy rộng tuyến tính.
1 2 3 1 1 2
; ; ; . . .
n n n n
u a u b u c u m u nu p u
󽜬 󽜮 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜾 󽜬 󽜬
v
ới mọi
3n 󽞴

, trong đó
a, b, c là ba s
ố t
ùy ý.
Phương pháp:
18
Ghi vào màn hình:
1 1 1D D A mC nB pA D D B mA nC pB D D
C mB nA pC
󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜾 󽜬
󽜾 󽜬 󽜬
: : : : :
Ấn 󰜑
D?
ấn 3
=
A? ấn a =
B?
ấn b
=
C?
ấn c
=
󽝁 Ví d
ụ
: V
ới
1 2 3 1 1 2
1; 2; 3; 2 3 4
n n n n

u u u u u u u
󽜬 󽜮 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜾 󽜬 󽜬
v
ới mọi
3n 󽞴
. Ta l
ần lượt nhận được các giá trị như sau: 1, 2, 3, 16, 49, 158,
527,…
󽝀 D
ạng 6
: Tính s
ố hạng t
h
ứ n của d
ãy số Fibonaci theo công thức nghiệm
t
ổng quát.
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜮
󽟫 󽟻
󽜾 󽜮
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸

󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Phương pháp:
Ghi vào màn hình bi
ểu thức:
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜮
󽟫 󽟻
󽜾 󽜮
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Ấn 󰜑
X?
ấn n
=
󽝁 Ví d
ụ
: Cho dãy s
ố:
3 5 3 5

2 2
n n
n
u
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜮
󽟫 󽟻
󽜾 󽜬
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
. Tính
6 18
;u u
?
K
ết quả
:
6 18
322 ; 33385282u u󽜾 󽜾
󽜧 Chuyên đ
ề
9: Tìm s
ố hoặc cặp số (x;y) thỏa điều kiện cho tr
ước
󽝁 Ví d
ụ
1: Tìm c

ặp số (
x; y) nguyên dương sao cho:
2 2
37 1x y󽜾 󽜬
v
ới
y nh
ỏ
nh
ất.
Gi
ải:
Quy trình b
ấm phím như sau:
1. Lưu 0 vào Y: Bấm 0 !'Y
19
2. Ghi vào màn hình:
2
1 37 1:Y Y Y󽜬 󽞯 󽜬
3. B
ấm
=…= cho đ
ến khi phép khăn căn là
s
ố nguyên
thì d
ừng lại,
khi đó x đ
ạt giá trị của phép khai căn, còn
y là giá tr

ị của
Y ứng với giá trị
khai căn đó.
KQ: x = 73; y = 12
V
ậy giá trị (
x; y) c
ần
tìm là (73; 12)
󽝁 Ví d
ụ
2: Tìm t
ất cả các số nguy
ên dương của
x sao cho
2
2 2 1x x󽜬 󽜬
là m
ột số
chính phương nh
ỏ h
ơn 1000.
Gi
ải:
Quy trình b
ấm phím như sau:
1. Lưu 0 vào X: B
ấm 0
!'X
2. Ghi vào màn hình:

2
1 : 2 2 1X X X X󽜬 󽞯 󽜬 󽜬
3. B
ấm
=…= cho đ
ến khi phép khai căn lớn hơn 31,6227766
(
1000
) thì d
ừng lại, chú ý sau mỗi lần bấm “=” thì dừng lại xem kết quả
khai căn có là s
ố nguyên không, nếu nguyên thì nhận
X ứng với giá trị đó.
KQ: 3; 20
V
ậy
v
ới
x = 3 ho
ặc
x = 20 thì
2
2 2 1x x󽜬 󽜬
là m
ột số chính phương nhỏ
hơn 1000
󽜧 Chuyên đ
ề
10: Các bài toán liên quan v
ề l

ãi suất, tiền lương, tăng
trư
ởng
.
󽝀 D
ạng
1 :
M
ột người gửi vào ngân hàng một số tiền là
a đ
ồng với lãi suất là
m%
m
ột tháng. Biết rằng người đó khô
ng rút ti
ền lãi ra. Hỏi cuối tháng thứ
n
ngư
ời ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
Gi
ải
Ta có:
Sau 1 tháng thì s
ố tiền cả gốc lẫn lãi là:
a + a.m% = a.(1 + m%)
Sau 2 tháng thì s
ố tiền cả gốc lẫn lãi là:
a.(1 + m%) + a.(1 + m%).m% =
a.(1 + m%)
2

Sau 3 tháng thì s
ố tiền cả gốc lẫn lãi là:
a.(1 + m%)
2
+ a.(1 + m%)
2
.m% =
a.(1+m%)
3
…………………………………
Sau n tháng thì s
ố tiền cả gốc lẫn l
ãi là:
a.(1+m%)
n
.
20
󽝀 D
ạng 2
:
M
ột người
g
ửi hàng tháng
vào ngân hàng m
ột số tiền là
a đ
ồng với lãi
su
ất là

m% m
ột tháng. B
i
ết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi cuối
tháng th
ứ
n ngư
ời ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?
Gi
ải
Ta có:
Sau 1 tháng thì s
ố tiền cả gốc lẫn lãi là:
a + a.m% = a.(1 + m%)
Sau 2 tháng thì s
ố tiền cả gốc lẫn lãi là:
a.(2 + m%)+ a(2 + m%).m%
(2 %)(1 %)a m m󽜾 󽜬 󽜬
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
2
1 % . 1 % 1
%
a m m
m
󽟪 󽟺
󽜬 󽜬 󽜮
󽟬 󽟼
󽜾
Sau 3 tháng thì s
ố tiền cả gốc lẫn lãi là:

󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
2
1 % . 1 % 1
%
a m m
a
m
󽟪 󽟺
󽜬 󽜬 󽜮
󽟬 󽟼
󽜬
+
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
2
1 % . 1 % 1
. %
%
a m m
a m
m
󽟧 󽟷
󽟪 󽟺
󽜬 󽜬 󽜮
󽟬 󽟼
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
3

1 % . 1 % 1
%
a m m
m
󽟪 󽟺
󽜬 󽜬 󽜮
󽟬 󽟼
󽜾
…………………………….
Sau n tháng thì s
ố tiền cả gốc lẫn lãi là:
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽟪 󽟺
󽟬 󽟼
n
a 1+ m% . 1+ m% - 1
m%
󽝀 D
ạng 3
:
M
ột ng
ười mua một món đồ với số tiền là
A đ
ồng v
à trả góp hàng tháng
v
ới số tiền l
à
a đ

ồng, l
ãi suất là
m% m
ột tháng. Hỏi sau bao lâu ng
ười đó
tr
ả hết tiền.
Gi
ải
Ta có:
Sau 1 tháng s
ố tiền nợ còn lại là:
( )( % 1) ( % 1) ( % 1)A a m A m a m󽜮 󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜬
Sau 2 tháng s
ố tiền nợ c
òn lại là:
[ ( % 1) ( % 1) ]( % 1)A m a m a m󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜬
2 2
( % 1) [( % 1) ( % 1)]A m a m m󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬
Sau 3 tháng s
ố tiền nợ c
òn lại là:
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽝼 󽝾
󽜩 󽜪
2 2
. % 1 % 1 % 1 . % 1A m a m m a m
󽟪 󽟺
󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜮 󽜬
󽟬 󽟼

21
3 3 2
( % 1) [( % 1) ( % 1) ( % 1)]A m a m m m󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜬
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
4
3
% 1 % 1
( % 1) .
%
m m
A m a
m
󽜬 󽜮 󽜬
󽜾 󽜬 󽜮
………………….
Sau n tháng s
ố
ti
ền nợ còn lại là:
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
1
% 1 % 1
.( % 1) .
%
n
n
m m
A m a
m
󽜬

󽜬 󽜮 󽜬
󽜬 󽜮
Khi ngư
ời ấy trả hết nợ tức l
à:
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
n+1
n
m%+ 1 - m%+ 1
A.(m%+ 1) - a. = 0
m%
󽝀 D
ạng 4
:
M
ột người được lãnh lương khởi điểm là
a đ
ồng/tháng. Cứ
t tháng (1
b
ậc) anh ta lại được tăng lương thêm
m%. Hai sau nt tháng (n b
ậc)
làm
vi
ệc anh ta được l
ãnh t
ất cả bao nhiêu tiền.
Gi
ải

Sau t tháng s
ố tiền mà anh ta nhận được tất cả là:
.a t
Sau 2t tháng s
ố tiền mà anh ta nhận được tất cả là:
󽜩 󽜪
2
1 % 1
. . (1 %) . (2 %) . .
%
m
a t a t m at m at
m
󽟪 󽟺
󽜬 󽜮
󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜾
󽟫 󽟻
󽟫 󽟻
󽟬 󽟼
Sau 3t tháng s
ố tiền mà anh ta nhận đượ
c t
ất cả là:
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
2 3
2
1 % 1 1 % 1
. . . 1 % . .

% %
m m
a t a t m a t
m m
󽟪 󽟺 󽟪 󽟺
󽜬 󽜮 󽜬 󽜮
󽜬 󽜬 󽜾
󽟫 󽟻 󽟫 󽟻
󽟫 󽟻 󽟫 󽟻
󽟬 󽟼 󽟬 󽟼
……………………….
Sau n b
ậc số tiền mà anh ta nhận được tất cả là:
󽜩 󽜪
󽟪 󽟺
󽟫 󽟻
󽟫 󽟻
󽟬 󽟼
n
1+ m% - 1
a.t.
m%
󽝻
Chú ý: Đây là 4 dạng bài tập hay ra trong thi (nhất là dạng 1,2). Trên
là các d
ạng tổng quát. Khi làm bài nên lưu ý đọc kĩ đ
ề b
ài xem có yêu cầu
ta làm t
ừng bước không? Đa số các bài tập thì chỉ cần ta thuộc công thức

và thay th
ế số
vào là xong.
I V) Hi
ệ u quả củ a
sáng ki
ế n kinh nghiệ m
Qua quá trình tri
ển khai thực hiện giải pháp như trên (từ năm học
2010 2011󽜮
) tôi nh
ận thấy
bư
ớc đầu đ
ã
đem lại những kết quả rất khả quan
.
V
ới sự cố gắng của bản thân tôi, sự hợp tác c
ùng các
đồng nghiệp v
à s
ự nổ lực
ph
ấn dấu học tập của học sinh, n
ên nhi
ều n
ăm li
ền những học sinh tôi bồi duỡng
22

đều đạt k
ết quả khá tốt trong các kỳ thi
ch
ọn học sinh giỏi các cấp. Cụ thể
như
sau:
Năm h
ọc
2010-2011
2011-2012
2012-2013
S
ố học sinh dự thi
c
ấp huyện
3
3
5
S
ố học sinh đạt
gi
ải cấp huyện
3 gi
ải nhất
(1 đ
ạt
th
ủ khoa)
3 gi
ải; 2 giải nhất

(1 gi
ải thủ khoa);
1 gi
ải C
5 gi
ải; 3 giải A (1
gi
ải thủ
khoa); 2
gi
ải B
S
ố học sinh dự thi
c
ấp tỉnh
3
2
5
S
ố học sinh đạt
gi
ải cấp tỉnh
3 gi
ải; 1 giải A; 1
gi
ải B; 1 giải C
2 gi
ải A
5 gi
ải

Gi
ải
pháp trên đ
ã
giúp tôi thành công trong công tác b
ồi dưỡng học sinh
gi
ỏi giải toán tr
ên MTCT trong 11 năm qua (tí
nh t
ừ năm học 2001
-2002), không
năm nào mà tôi không có h
ọc sinh đạt giải cấp tỉnh, kết quả n
ày đã
t
ạo ra một
s
ự
chuy
ển biến ý thức
c
ủa học sinh v
à ph
ụ huynh ở địa bàn xã Long Kiến về việc
h
ọc tập
gi
ải toán tr
ên MTCT

c
ủa học sinh, chuyển biến
trong cách h
ọ
c toán c
ủa
h
ọc sinh.
Đa s
ố phần lớn học sinh cuối năm lớp 8 tìm tôi để đăng ký được tham
gia l
ớp học bồi dưỡng học sinh giải toán trên MTCT.
Ph
ầ n
k
ế t luậ n
I ) Nh
ữ ng bài họ c kinh nghiệ m
Qua th
ực tế
b
ồi dưỡng học sinh giỏi giải toán trên MTCT ở đơn vị THCS
Long Kiến, tôi rút ra được những kinh nghiệm sau đây:
- Giáo viên c
ần
có ni
ề
m đam mê, nhi
ệt huyết trong công tác bồi d
ưỡng học

sinh giỏi, nếu không chắc chắn sẽ không thành công. Và về mặt kiến thức cần
chuẩn bị kỹ lưỡng các nội dung giảng dạy theo từng dạng toán, không d
ạy tủ mà
ph
ải dạy đầy đủ các chuyên đề, th
ường xuyên trao đ
ổ
i chuyên môn v
ề giải toán
trên MTCT cùng các đ
ồ
ng nghiệp, tìm tòi học tập đ
ể
nâng cao trình đ
ộ
chuyên
môn. T
ừ đó tuy
ển chọn được học sinh có năng lực học tập gi
ải toán trên MTCT.
- Đ
ố
i v
ới tổ, nhóm chuy
ên môn
thì c
ũng c
ần có sự trao đ
ổ
i kinh nghiệm

giữa các giáo viên giảng dạy đ
ể
nâng cao chất lượng sử dụng máy tính cầm tay
trong hoạt đ
ộ
ng dạy và học toán ở trường phổ thông.
23
- Đ
ối với tr
ường cần động viên, thay đổi nhận thức về vai trò
quan tr
ọng v
à
c
ấp bách của việc
v
ận dụng MTCT hỗ trợ học sinh học tốt các môn Toán, Lý,
Hóa, Sinh, ph
ục vụ đổi mới ph
ương pháp giảng dạy
.
Nh
ững vấn đề cần lưu ý khi áp dụng
sáng ki
ến kinh nghiệm
: Nh
ững kỹ
thu
ật vừa trình bày trên, chủ yếu sử dụng ưu điểm
c

ủa thiết bị hiện đại
là chi
ếc
MTCT casio và l
ợi ích của
nó mang l
ại. Vì vậy,
công tác b
ồi dưỡng học sinh
s
ẽ
g
ặp trở ngại, thất bại nếu như giáo viên không nắm vững
đ
ặc điểm kỹ thuật của
t
ừng dạng máy, phải th
ường xuyên cập nhật những dòng máy tính mới và
ch
ức
năng c
ủa nó.
Ngoài ra, c
ần giáo dục cho học sinh biết khi n
ào thì sử dụng chiếc
MTCT đ
ể hỗ trợ giải toán, nếu lạm dụng, sử dụng
không đúng ch
ỗ sẽ l
àm m

ất đi
v
ẻ đẹp thuần túy của toán học cũng nh
ư m
ất đi cái hay, ý nghĩa của phương
pháp d
ạy học truyền
th
ống.
I I ) Ý ngh
ĩa củ a
SKKN
󽞩 Đ
ối với bản thân
: Bi
ết khai thác thế mạnh của MTCT khi vận
d
ụng hỗ trợ giải các dạng toán
.
󽞩
Đối với học sinh: Kích thích khả năng độc lập suy nghĩ, tìm tòi
hư
ớng giải quyết cho một vấn đề mới mà không phải chịu sự áp
đ
ặt
. Th
ỏa mãn đư
ợc nhu cầu học toán của học sinh.
󽞩
Đ

ối với tổ
b
ộ
môn toán: Gi
ải pháp trên phần nào đã nâng cao được
ch
ất lượng học tập của học sinh và chất lượng giảng dạy của giáo
viên trong tổ chuyên môn cũng như trong tổ liên trường.
I I I ) Kh
ả năng ứ ng dụ ng, triể n khai
MTCT casio hi
ện nay có giá th
ành vừa túi tiền của đa số gia đình phụ
huynh h
ọc sinh,
th
ậm chí có gia đ
ình trang bị cho con em mình 2, 3 máy để
cho các em th
ỏa sức nghi
ên c
ứu, vận dụng
. Vì th
ế về thiết bị vật chất th
ì
không g
ặp khó khăn g
ì khi tri
ển khai kế hoạch
b

ồi d
ư
ỡng học sinh.
Giáo viên tham gia b
ồi dưỡng là người có lòng say mê các dạng toán giải
trên MTCT, ham h
ọc hỏi, trải nghiệm nhiều năm. V
ì thế có đủ năng lực để
hư
ớng dẫn các em giải toán tr
ên MTCT, tạo động lực tự tin cho học sinh khi
tham gia các k
ỳ
thi các c
ấp
.
Các d
ạng toán giải trên MTCT hiện nay đang được rất nhiều giáo viên và
h
ọc sinh tham gia nghiên cứu, thường xuyên trao đổi với nhau qua tạp chí,
sách, và các di
ễn đàn trên Internet. V
ì v
ậy giáo viên và học sinh dễ dàng tìm
ki
ếm t
ài liệu
h
ọc tậ
p, trao đ

ổi
.
Ph
ạm vi áp dụng kiến thức tiết dạy
: Với các dạng toán đư
ợc trình bày ở
trên, rõ ràng là không chỉ dành riêng cho học sinh dự thi học sinh giỏi giải
toán trên MTCT mà còn rất có ích trong quá trình học tập với tất cả các em
học sinh có máy tính cầm tay t
ừ lớp 6 đến lớp 12. Th
ầy cô có thể hướng dẫn